Viime vuoden USE:n ja GIA:n käytäntö osoittaa, että geometriaongelmat aiheuttavat vaikeuksia monille opiskelijoille. Voit selviytyä niistä helposti, jos opettelet kaiken ulkoa tarvittavat kaavat ja harjoitella ongelmanratkaisua.
Tässä artikkelissa näet kaavoja puolisuunnikkaan alueen löytämiseksi sekä esimerkkejä ratkaisuihin liittyvistä ongelmista. Samoja voi kohdata KIM:issä sertifiointikokeissa tai olympialaisissa. Siksi käsittele niitä huolellisesti.
Mitä sinun tulee tietää trapetsista?
Aluksi muistetaan se trapetsi kutsutaan nelikulmioksi, jolla on kaksi vastakkaiset puolet, niitä kutsutaan myös emäksiksi, ne ovat yhdensuuntaisia, ja kaksi muuta eivät ole.
Puolisuunnikkaan korkeus (suoraan pohjaan nähden) voidaan myös jättää pois. Keskiviiva piirretään - tämä on suora viiva, joka on yhdensuuntainen kantojen kanssa ja on yhtä suuri kuin puolet niiden summasta. Sekä lävistäjät, jotka voivat risteämään muodostaen teräviä ja tylpät kulmat. Tai joissain tapauksissa suorassa kulmassa. Lisäksi, jos puolisuunnikkaan on tasakylkinen, siihen voidaan piirtää ympyrä. Ja kuvaile ympyrää sen ympärillä.
Puolisuunnikkaan pinta-alan kaavat
Aloita harkitsemalla vakiokaavat puolisuunnikkaan alueen löytäminen. Alla tarkastellaan tapoja laskea tasakylkisten ja kaarevien puolisuunnikkaan pinta-ala.
Kuvittele siis, että sinulla on puolisuunnikkaan kantat a ja b, joissa korkeus h on laskettu suurempaan kantaan. Tässä tapauksessa kuvion pinta-alan laskeminen on helppoa. Sinun tarvitsee vain jakaa kahdella pohjan pituuksien summa ja kertoa se, mitä tapahtuu korkeudella: S = 1/2(a + b)*h.
Otetaan toinen tapaus: oletetaan, että puolisuunnikkaan korkeuden lisäksi on mediaaniviiva m. Tiedämme kaavan keskiviivan pituuden löytämiseksi: m = 1/2(a + b). Siksi voimme oikeutetusti yksinkertaistaa puolisuunnikkaan pinta-alan kaavaa seuraavanlaista: S = m * h. Toisin sanoen puolisuunnikkaan alueen löytämiseksi sinun on kerrottava keskiviiva korkeudella.
Tarkastellaan vielä yhtä vaihtoehtoa: puolisuunnikkaan piirretään lävistäjät d 1 ja d 2, jotka eivät leikkaa suorassa kulmassa α. Tällaisen puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi sinun on puolitettava diagonaalien tulo ja kerrottava saamasi kulman synnillä niiden välillä: S = 1/2 d 1 d 2 *sina.
Harkitse nyt kaavaa puolisuunnikkaan alueen löytämiseksi, jos siitä ei tiedetä mitään paitsi sen kaikkien sivujen pituudet: a, b, c ja d. Se on iso ja monimutkainen kaava, mutta sinun on hyödyllistä muistaa se siltä varalta: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.
Muuten, yllä olevat esimerkit pätevät myös silloin, kun tarvitset pinta-alakaavaa suorakaiteen muotoinen trapetsi. Tämä on puolisuunnikkaan muotoinen sivu, jonka sivu liittyy pohjaan suorassa kulmassa.
Tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen
Puolisuunnikasta, jonka sivut ovat yhtä suuret, kutsutaan tasakylkiseksi. Harkitsemme useita aluekaavan muunnelmia tasakylkinen puolisuunnikas.
Ensimmäinen vaihtoehto: tapaukseen, jossa ympyrä, jonka säde on r, on kirjoitettu tasakylkisen puolisuunnikkaan sisään ja sivu ja suurempi kanta muodostavat terävä kulma a. Ympyrä voidaan piirtää puolisuunnikkaan, jos sen kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa.
Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan seuraavasti: kerro ympyrän säteen neliö neljällä ja jaa se kaikki sinα:lla: S = 4r2/sina. Toinen aluekaava on erikoistapaus vaihtoehdolle, kun suuren alustan ja sivun välinen kulma on 30 0: S = 8r2.
Toinen vaihtoehto: tällä kertaa otamme tasakylkisen puolisuunnikkaan, johon lisäksi piirretään diagonaalit d 1 ja d 2 sekä korkeus h. Jos puolisuunnikkaan diagonaalit ovat keskenään kohtisuorassa, korkeus on puolet kantajen summasta: h = 1/2(a + b). Tämän tietäen on helppo muuntaa sinulle jo tuttu puolisuunnikkaan pintakaava tähän muotoon: S = h2.
Kaareva puolisuunnikkaan pinta-alan kaava
Aloitetaan ymmärtämällä: mikä on kaareva puolisuunnikkaan muoto. Kuvittele koordinaattiakseli ja kuvaaja jatkuvasta ja ei-negatiivisesta funktiosta f, joka ei muuta etumerkkiä sisällä tiettyä segmenttiä x-akselilla. Kaareva puolisuunnikkaan muodostaa funktion y \u003d f (x) kuvaaja - ylhäällä, x-akseli - alhaalla (segmentti) ja sivuilla - pisteiden a ja b väliin vedetyt suorat viivat sekä kaavio funktiosta.
On mahdotonta laskea tällaisen epätyypillisen kuvan pinta-alaa yllä olevilla menetelmillä. Täällä sinun täytyy hakea matemaattinen analyysi ja käytä integraalia. Nimittäin Newton-Leibnizin kaava - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Tässä kaavassa F on funktiomme antiderivaata valitulla aikavälillä. Ja alue kaareva trapetsi vastaa antiderivaatin lisäystä annetulla aikavälillä.
Tehtäväesimerkkejä
Jotta kaikki nämä kaavat olisivat parempia päässäsi, tässä on joitain esimerkkejä ongelmista puolisuunnikkaan alueen löytämisessä. Olisi parasta, jos yrität ensin ratkaista ongelmat itse ja vasta sitten tarkistat saamasi vastauksen valmiilla ratkaisulla.
Tehtävä 1: Annettu puolisuunnikkaan. Sen suurempi pohja on 11 cm, pienempi on 4 cm. Trapetsissa on diagonaalit, joista toinen on 12 cm pitkä, toinen 9 cm pitkä.
Ratkaisu: Rakenna puolisuunnikkaan AMRS. Piirrä viiva PX kärjen P läpi niin, että se on yhdensuuntainen lävistäjä MC ja ylitti linjan AC pisteessä X. Saat kolmion ARCH.
Tarkastellaan kahta näiden manipulaatioiden tuloksena saatua kuviota: kolmiota APX ja suuntaviivaa CMPX.
Suunnikkaan ansiosta opimme, että PX = MC = 12 cm ja CX = MP = 4 cm. Mistä voimme laskea kolmion ARCH sivun AX: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.
Voimme myös todistaa, että kolmio ARCH on suorakulmainen (tehdäksesi tämän, käytä Pythagoraan lausetta - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Ja laske sen pinta-ala: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.
Seuraavaksi sinun on todistettava, että kolmiot AMP ja PCX ovat pinta-alaltaan yhtä suuret. Perustana on puolien MP ja CX tasa-arvo (jo todistettu edellä). Ja myös korkeudet, jotka lasket näillä sivuilla - ne ovat yhtä suuria kuin AMRS-suunnikkaan korkeus.
Kaiken tämän avulla voit väittää, että S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.
Tehtävä #2: Annettu puolisuunnikkaan muotoinen KRMS. Pisteet O ja E sijaitsevat sen sivuilla, kun taas OE ja KS ovat yhdensuuntaiset. Tiedetään myös, että puolisuunnikkaan ORME:n ja OXE:n pinta-alat ovat suhteessa 1:5. PM = a ja KS = b. Sinun on löydettävä OE.
Ratkaisu: Piirrä pisteen M kautta RK:n suuntainen viiva ja määritä sen leikkauspiste OE:n kanssa T:ksi. A - pisteen E kautta piirretyn suoran leikkauspiste RK:n suuntaisesti KS:n kannan kanssa.
Esitetään vielä yksi merkintä - OE = x. Sekä korkeus h 1 kolmiolle TME ja korkeus h 2 kolmiolle AEC (voit todistaa itsenäisesti näiden kolmioiden samankaltaisuuden).
Oletetaan, että b > a. Puolisuunnikkaan ORME ja OXE alueet ovat suhteessa 1:5, mikä antaa meille oikeuden muodostaa seuraava yhtälö: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Muunnetaan ja saadaan: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).
Koska kolmiot TME ja AEC ovat samanlaisia, meillä on h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Yhdistä molemmat merkinnät ja saa: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Siten OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Johtopäätös
Geometria ei ole tieteistä helpoin, mutta voit varmasti selviytyä siitä tenttitehtävät. Valmistautuminen vaatii vain hieman kärsivällisyyttä. Ja tietysti muista kaikki tarvittavat kaavat.
Yritimme koota yhteen paikkaan kaikki puolisuunnikkaan pinta-alan laskentakaavat, jotta voit käyttää niitä kokeisiin valmistautuessasi ja materiaalia toistettaessa.
Muista kertoa luokkatovereillesi ja ystävillesi tästä artikkelista sosiaalisissa verkostoissa. Päästää hyviä arvosanoja tulee lisää USE:lle ja GIA:lle!
Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.
Elämässämme joudumme hyvin usein käsittelemään geometrian soveltamista käytännössä, esimerkiksi rakentamisessa. Yleisimpien geometristen muotojen joukossa on puolisuunnikkaan muoto. Ja jotta projekti olisi onnistunut ja kaunis, tällaisen hahmon elementtien oikea ja tarkka laskeminen on välttämätöntä.
Mikä on kupera nelikulmio, jossa on pari yhdensuuntaisia sivuja, joita kutsutaan puolisuunnikkaan kantaviksi. Mutta näitä tukikohtia yhdistää kaksi muuta puolta. Niitä kutsutaan lateraaliseksi. Yksi tätä lukua koskevista kysymyksistä on: "Kuinka löytää puolisuunnikkaan korkeus?" On välittömästi kiinnitettävä huomiota siihen, että korkeus on segmentti, joka määrittää etäisyyden alustasta toiseen. On olemassa useita tapoja määrittää tämä etäisyys tunnetuista arvoista riippuen.
1. Molempien kantojen arvot tunnetaan, merkitsemme niitä b:llä ja k:llä sekä tämän puolisuunnikkaan pinta-alalla. Tunnettuja arvoja käyttämällä on tässä tapauksessa erittäin helppo löytää puolisuunnikkaan korkeus. Kuten geometriasta tiedetään, se lasketaan puolen kantamien summan ja korkeuden tulona. Tämän kaavan avulla voit helposti johtaa haluttu arvo. Tätä varten sinun on jaettava pinta-ala puolella emästen summasta. Kaavamuodossa se näyttäisi tältä:
S=((b+k)/2)*h, joten h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)
2. Keskiviivan pituus tunnetaan, merkitään se d:llä ja pinta-ala. Niille, jotka eivät tiedä, kutsun keskiviivaa sivujen keskipisteiden väliseksi etäisyydeksi. Kuinka löytää puolisuunnikkaan korkeus tässä tapauksessa? Puolisuunnikkaan ominaisuuden mukaan keskiviiva vastaa puolta kantajen summasta, eli d=(b+k)/2. Käytämme jälleen pintakaavaa. Korvaamalla puolet kantojen summasta keskiviivan arvolla, saamme seuraavan:
Kuten näet, korkeus on erittäin helppo johtaa tuloksena olevasta kaavasta. Jakamalla alueen keskiviivan arvolla, löydämme halutun arvon. Kirjoitetaan tämä kaava:
3. Yhden sivun pituus (b) ja tämän sivun ja suurimman alustan välinen kulma tunnetaan. Vastaus kysymykseen, kuinka löytää puolisuunnikkaan korkeus, on myös tässä tapauksessa. Tarkastellaan puolisuunnikasta ABCD, jossa AB ja CD ovat sivuja ja AB=b. Suurin syy on AD. AB:n ja AD:n muodostama kulma merkitään α:lla. Pisteestä B lasketaan korkeus h kantaan AD. Tarkastellaan nyt tuloksena olevaa kolmiota ABF, joka on suorakulmainen kolmio. Sivu AB on hypotenuusa ja BF on jalka. Suorakulmaisen kolmion ominaisuudesta jalan arvon ja hypotenuusan arvon suhde vastaa jalkaa vastakkaisen kulman siniä (BF). Siksi edellä olevan perusteella puolisuunnikkaan korkeuden laskemiseksi kerromme arvon tunnettu puolue ja kulman α sini. Kaavamuodossa se näyttää tältä:
4. Samoin tapausta tarkastellaan, jos sivun koko ja kulma ovat tiedossa, merkitään se β:lla, joka muodostuu tämän sivun ja pienemmän kannan väliin. Kun tällainen ongelma ratkaistaan, tunnetun sivupuolen ja piirretyn korkeuden välinen kulma on 90 ° - β. Kolmioiden ominaisuuksista - jalan ja hypotenuusan pituuden suhde vastaa niiden välisen kulman kosinia. Tästä kaavasta on helppo johtaa korkeusarvo:
h = b *cos(β-90°)
5. Kuinka löytää puolisuunnikkaan korkeus, jos tunnetaan vain piirretyn ympyrän säde? Ympyrän määritelmän mukaan se koskettaa yhtä pistettä jokaisella kannalla. Lisäksi nämä pisteet ovat samalla linjalla ympyrän keskipisteen kanssa. Tästä seuraa, että niiden välinen etäisyys on puolisuunnikkaan halkaisija ja samalla korkeus. Näyttää tältä:
6. Usein on ongelmia, joissa on tarpeen löytää tasakylkisen puolisuunnikkaan korkeus. Muista, että puolisuunnikasta, jolla on yhtäläiset sivut, kutsutaan tasakylkiseksi. Kuinka löytää tasakylkisen puolisuunnikkaan korkeus? klo kohtisuorat diagonaalit korkeus on puolet kantojen summasta.
Mutta entä jos diagonaalit eivät ole kohtisuorassa? Tarkastellaan tasakylkistä puolisuunnikasta ABCD. Ominaisuuksiensa mukaan pohjat ovat yhdensuuntaiset. Tästä seuraa, että myös kulmat kantassa ovat yhtä suuret. Piirretään kaksi korkeutta BF ja CM. Edellä olevan perusteella voidaan väittää, että kolmiot ABF ja DCM ovat yhtä suuret, eli AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Nyt tehtävän ehdon perusteella voimme päättää tunnetut määrät, ja vasta sitten löydämme korkeuden ottaen huomioon kaikki tasakylkisen puolisuunnikkaan ominaisuudet.
Trapetsi kutsutaan nelikulmioksi vain kaksi sivut ovat yhdensuuntaiset keskenään.
Niitä kutsutaan hahmon pohjaksi, loput - sivuiksi. Suuntaviivaa pidetään kuvion erikoistapauksena. Käytettävissä on myös kaareva puolisuunnikas, joka sisältää funktiokaavion. Puolisuunnikkaan alueen kaavat sisältävät melkein kaikki sen elementit ja paras ratkaisu valitaan annettujen arvojen mukaan.
Puolisuunnikkaan pääroolit on määritetty korkeudelle ja keskiviivalle. keskiviiva- tämä on viiva, joka yhdistää sivujen keskipisteet. Korkeus trapetsiumia pidetään suorassa kulmassa alkaen yläkulma tukikohtaan.
Puolisuunnikkaan pinta-ala korkeuden läpi on yhtä suuri kuin puolet kannan pituuksien summasta kerrottuna korkeudella:
Jos mediaaniviiva tunnetaan ehtojen mukaan, tämä kaava yksinkertaistuu huomattavasti, koska se on yhtä suuri kuin puolet kantajen pituuksien summasta:
Jos olosuhteiden mukaan annetaan kaikkien sivujen pituudet, voimme harkita esimerkkiä puolisuunnikkaan pinta-alan laskemisesta näiden tietojen avulla: 
Oletetaan, että meille annetaan puolisuunnikkaan kantat a = 3 cm, b = 7 cm ja sivut c = 5 cm, d = 4 cm. löytää alue luvut: 
Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala
Erillinen tapaus on tasakylkinen tai, kuten sitä myös kutsutaan, tasakylkinen puolisuunnikas.
Erikoistapaus on myös tasakylkisen (tasakylkisen) puolisuunnikkaan alueen löytäminen. Kaava johdettu eri tavoilla- diagonaalien läpi, pohjan viereisten kulmien ja piirretyn ympyrän säteen kautta.
Jos olosuhteet määrittävät diagonaalien pituuden ja niiden välinen kulma tunnetaan, voit käyttää seuraavaa kaavaa:
Muista, että tasakylkisen puolisuunnikkaan lävistäjät ovat keskenään yhtä suuret!
Toisin sanoen, kun tiedät yhden niiden kannan, sivun ja kulman, voit helposti laskea alueen.
Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala
Erillinen tapaus on kaareva puolisuunnikas. Se sijaitsee koordinaattiakselilla ja on rajoitettu jatkuvan positiivisen funktion kuvaajaan.
Sen pohja sijaitsee X-akselilla ja on rajoitettu kahteen pisteeseen: 
Integraalit auttavat laskemaan kaarevan puolisuunnikkaan alueen.
Kaava on kirjoitettu näin:
Harkitse esimerkkiä kaarevan puolisuunnikkaan alueen laskemisesta. Kaava vaatii tiettyä tietoa toimiakseen tiettyjen integraalien kanssa. Analysoidaan ensin määrätyn integraalin arvo: 
Tässä F(a) on arvo antiderivatiivinen toiminto f(x) pisteessä a , F(b) on saman funktion f(x) arvo pisteessä b . 
Nyt ratkaistaan ongelma. Kuvassa on kaareva puolisuunnikas, jota rajoittaa funktio. Toiminto 
Meidän on löydettävä valitun kuvion pinta-ala, joka on kaareva puolisuunnikas, jota ylhäältä rajoittaa kaavio, oikealla on suora x = (-8), vasemmalla on suora x = ( -10) ja akseli OX on alla.
Laskemme tämän kuvan pinta-alan kaavalla: 
Meille annetaan funktio ongelman ehtojen mukaan. Hänen mukaansa me löytää arvot antiderivatiivit jokaisessa pisteessämme:
Nyt
Vastaus: tietyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on 4.
Tämän arvon laskemisessa ei ole mitään vaikeaa. Vain äärimmäinen huolellisuus laskelmissa on tärkeää.
JA . Nyt voimme alkaa pohtia kysymystä siitä, kuinka löytää puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämä tehtävä jokapäiväisessä elämässä tapahtuu hyvin harvoin, mutta joskus osoittautuu tarpeelliseksi löytää esimerkiksi huoneen pinta-ala puolisuunnikkaan muodossa, jota käytetään yhä enemmän nykyaikaisten asuntojen rakentamisessa, tai remonttisuunnitteluprojekteissa.
Trapetsi on geometrinen kuvio, joka muodostuu neljästä leikkaavasta segmentistä, joista kaksi on yhdensuuntaisia toistensa kanssa ja joita kutsutaan puolisuunnikkaan kantaviksi. Kahta muuta segmenttiä kutsutaan puolisuunnikkaan sivuiksi. Lisäksi tarvitsemme myöhemmin toisen määritelmän. Tämä on puolisuunnikkaan keskiviiva, joka on jana, joka yhdistää sivujen keskipisteet ja puolisuunnikkaan korkeuden, joka on yhtä suuri kuin kantojen välinen etäisyys.
Kolmioiden tapaan puolisuunnikkaan on tietyt tyypit tasakylkinen (tasakylkinen) puolisuunnikkaan muodossa, jossa sivujen pituudet ovat samat, ja suorakaiteen muotoisena puolisuunnikkaana, jossa yksi sivuista muodostaa suoran kulman kantaan.
Trapetsoilla on mielenkiintoisia ominaisuuksia:
- Puolisuunnikkaan keskiviiva on puolet kantojen summasta ja yhdensuuntainen niiden kanssa.
- Tasakylkisellä puolisuunnikkaalla on yhtäläiset sivut ja kulmat, jotka ne muodostavat kantojen kanssa.
- Puolisuunnikkaan lävistäjien keskipisteet ja sen lävistäjien leikkauspisteet ovat samalla suoralla.
- Jos puolisuunnikkaan sivujen summa on yhtä suuri kuin kantojen summa, siihen voidaan kirjoittaa ympyrä
- Jos puolisuunnikkaan sivujen muodostamien kulmien summa missä tahansa kannassa on 90, niin kantajen keskipisteitä yhdistävän janan pituus on yhtä suuri kuin niiden puoliero.
- Tasakylkistä puolisuunnikasta voidaan kuvata ympyrällä. Ja päinvastoin. Jos puolisuunnikas on piirretty ympyrään, se on tasakylkinen.
- Jana, joka kulkee tasakylkisen puolisuunnikkaan kantojen keskipisteiden kautta, on kohtisuorassa kantaansa nähden ja edustaa symmetria-akselia.
Kuinka löytää puolisuunnikkaan pinta-ala.
Puolisuunnikkaan pinta-ala on puolet sen kantajen summasta kerrottuna sen korkeudella. Kaavan muodossa tämä kirjoitetaan lausekkeena:
missä S on puolisuunnikkaan pinta-ala, a,b on puolisuunnikkaan kunkin kannan pituus, h on puolisuunnikkaan korkeus.
Voit ymmärtää ja muistaa tämän kaavan seuraavasti. Kuten alla olevasta kuvasta seuraa, keskiviivaa käyttävä puolisuunnikkaan voidaan muuntaa suorakulmioksi, jonka pituus on yhtä suuri kuin puolet kantojen summasta.
Voit myös jakaa minkä tahansa puolisuunnikkaan useammiksi yksinkertaiset hahmot: suorakulmio ja yksi tai kaksi kolmiota, ja jos se on sinulle helpompaa, niin etsi puolisuunnikkaan pinta-ala sen muodostavien lukujen pinta-alojen summana.
On vielä yksi yksinkertainen kaava laskeakseen sen pinta-alan. Sen mukaan puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen keskiviivan ja puolisuunnikkaan korkeuden tulo ja se kirjoitetaan seuraavasti: S = m * h, missä S on pinta-ala, m on puolisuunnikkaan pituus. keskiviiva, h on puolisuunnikkaan korkeus. Tämä kaava soveltuu paremmin matemaattisiin ongelmiin kuin jokapäiväisiin tehtäviin, vuodesta lähtien todelliset olosuhteet et tiedä keskiviivan pituutta ilman alustavia laskelmia. Ja tiedät vain pohjien ja sivujen pituudet.
Tässä tapauksessa puolisuunnikkaan pinta-ala voidaan löytää kaavalla:
S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2
missä S-alue, a,b-kanta, c,d-puolet puolisuunnikkaan muotoinen.
On olemassa useita muita tapoja löytää puolisuunnikkaan pinta-ala. Mutta ne ovat suunnilleen yhtä hankalia kuin viimeinen kaava, mikä tarkoittaa, että ei ole mitään järkeä jäädä niihin. Siksi suosittelemme, että käytät artikkelin ensimmäistä kaavaa ja toivomme, että saat aina tarkkoja tuloksia.
Puolisuunnikas on kohokuvioinen nelikulmio, jossa kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaisia ja kaksi muuta eivät ole yhdensuuntaisia. Jos nelikulmion kaikki vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaisia, niin se on suuntaviiva.
Tarvitset
- - puolisuunnikkaan kaikki sivut (AB, BC, CD, DA).
Ohje
1. ei-rinnakkaiset sivut trapetsi kutsutaan sivusivuiksi ja yhdensuuntaisiksi - kantaviksi. Pohjien välinen viiva, kohtisuorassa niihin - korkeus trapetsi. Jos puoli sivut trapetsi yhtä suuri, sitä kutsutaan tasakylkiseksi. Katsotaanpa ensin ratkaisua trapetsi, joka ei ole tasakylkinen.
2. Piirrä viiva BE pisteestä B alempaan alustaan AD sivun suuntaisesti trapetsi CD. Koska BE ja CD ovat rinnakkaisia ja piirretty rinnakkaisten kantakohtien väliin trapetsi BC ja DA, niin BCDE on suunnikas ja sen vastakohdat sivut BE ja CD ovat samat. BE = CD.
3. Harkitse kolmiota ABE. Laske sivu AE. AE = AD-ED. Säätiöt trapetsi BC ja AD tunnetaan, ja suunnikkaassa BCDE ovat vastakkaiset sivut ED ja BC ovat yhtä suuret. ED = BC, joten AE = AD-BC.
4. Selvitä nyt kolmion ABE pinta-ala käyttämällä Heronin kaavaa laskemalla puolikehä. S=juuri(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). Tässä kaavassa p on kolmion ABE puolikehä. p=1/2*(AB+BE+AE). Pinta-alan laskemiseksi tiedät kaikki tarvittavat tiedot: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
6. Ilmaise tästä kaavasta kolmion korkeus, joka on myös korkeus trapetsi. BH = 2*S/AE. Laske se.
7. Jos puolisuunnikkaan on tasakylkinen, päätös voidaan suorittaa eri tavalla. Harkitse kolmiota ABH. Se on suorakaiteen muotoinen, koska yksi kulmista, BHA, on suora.
8. Piirrä korkeus CF kärjestä C.
9. Tarkista HBCF-luku. HBCF-suorakulmio, koska sitä on kaksi sivut ovat korkeuksia ja kaksi muuta ovat tukikohtia trapetsi, eli kulmat ovat oikeat ja vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaisia. Tämä tarkoittaa, että BC = HF.
10. Katso suorakulmaiset kolmiot ABH ja FCD. Kulmat BHA- ja CFD-korkeuksilla ovat suoria ja kulmat sivuttain sivut x BAH ja CDF ovat yhtä suuret, koska puolisuunnikkaan ABCD on tasakylkinen, joten kolmiot ovat samanlaisia. Koska BH:n ja CF:n korkeudet ovat joko lateraalisia sivut tasakylkinen trapetsi AB ja CD ovat yhtä suuret, silloin samanlaiset kolmiot ovat myös yhtä suuret. Joten heidän sivut AH ja FD ovat myös yhtä suuret.
11. Tunnista AH. AH+FD=AD-HF. Koska suunnikkaasta HF=BC, ja kolmioista AH=FD, niin AH=(AD-BC)*1/2.
Puolisuunnikas on geometrinen kuvio, joka on nelikulmio, jossa kaksi sivua, joita kutsutaan kantaviksi, ovat yhdensuuntaisia ja kaksi muuta eivät ole yhdensuuntaisia. Niitä kutsutaan sivuiksi. trapetsi. Sivujen keskipisteiden läpi piirrettyä janaa kutsutaan keskiviivaksi. trapetsi. Trapetsilla voi olla eri pituuksia sivut tai identtiset, jolloin sitä kutsutaan tasakylkiseksi. Jos yksi sivuista on kohtisuorassa pohjaan nähden, puolisuunnikkaan tulee olla suorakaiteen muotoinen. Mutta on paljon käytännöllisempää tietää, miten havaita neliö- trapetsi .
Tarvitset
- Viivain millimetrijaolla
Ohje
1. Mittaa kaikki puolet trapetsi: AB, BC, CD ja DA. Kirjoita mittaustesi tulokset muistiin.
2. Merkitse janalle AB keskipiste K. Janaan DA piste L, joka on myös janan AD keskellä. Yhdistä pisteet K ja L, tuloksena oleva jana KL on keskiviiva trapetsi ABCD. Mittaa segmentti KL.
3. Alusta trapetsi- kaipaa C, laske kohtisuora sen kantaan AD o segmentti CE. Hän tulee olemaan korkeus trapetsi ABCD. Mittaa segmentti CE.
4. Kutsumme janaa KL kirjaimeksi m ja segmenttiä CE kirjaimeksi h neliö- S trapetsi Laske ABCD kaavalla: S=m*h, missä m on keskiviiva trapetsi ABCD, h - korkeus trapetsi ABCD.
5. On toinen kaava, jonka avulla voit laskea neliö- trapetsi ABCD. Pohjapohja trapetsi Kutsutaan AD kirjaimeksi b ja ylempää kantaa BC kirjaimeksi a. Pinta-ala määritetään kaavalla S=1/2*(a+b)*h, jossa a ja b ovat emäksiä trapetsi, h - korkeus trapetsi .
Liittyvät videot
Vinkki 3: Kuinka löytää puolisuunnikkaan korkeus, jos tiedät alueen
Puolisuunnikas on nelikulmio, jonka kaksi sen neljästä sivusta ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa. Yhdensuuntaiset sivut ovat tämän perusta trapetsi, kun taas kaksi muuta ovat annetun sivusivuja trapetsi. löytää korkeus trapetsi, jos sen alue tunnetaan, se on erittäin helppoa.
Ohje
1. Meidän on selvitettävä, kuinka alkuluvun pinta-ala voidaan laskea trapetsi. Tätä varten on useita kaavoja lähtötiedoista riippuen: S = ((a + b) * h) / 2, missä a ja b ovat kantaosien pituuksia trapetsi, ja h on sen korkeus (Height trapetsi- yhdestä alustasta pudonnut kohtisuora trapetsi toiseen); S \u003d m * h, missä m on keskiviiva trapetsi(Keskiviiva on tukien suuntainen segmentti trapetsi ja yhdistää sen sivujen keskipisteet).
2. Nyt, kun tiedät pinta-alan laskentakaavat trapetsi, niistä saa johtaa uusia, löytää korkeus trapetsi:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.
3. Vastaavien ongelmien ratkaisemisen selventämiseksi on sallittua nähdä esimerkkejä: Esimerkki 1: Annettu puolisuunnikkaan pinta-ala on 68 cm ?, jonka keskiviiva on 8 cm korkeus annettu trapetsi. Päättääkseen tämä tehtävä, sinun on käytettävä aiemmin johdettua kaavaa: h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Vastaus: tämän korkeus trapetsi on 8,5 cm Esimerkki 2: Olkoon trapetsi pinta-ala on 120 cm ?, tietyn kannan pituudet trapetsi ovat 8 cm ja 12 cm, vastaavasti, se vaaditaan havaitsemiseksi korkeus Tämä trapetsi. Käytä tätä varten yhtä johdetuista kaavoista: h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Vastaus: annetun korkeus trapetsi yhtä suuri kuin 12 cm
Liittyvät videot
Merkintä!
Jokaisella puolisuunnikkaalla on useita ominaisuuksia: - puolisuunnikkaan keskiviiva on puolet sen kantojen summasta; - puolisuunnikkaan lävistäjät yhdistävä jana on yhtä suuri kuin puolet sen kantajen erosta; - jos suora viiva piirretään kantojen keskipisteiden läpi, niin se leikkaa puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen; - puolisuunnikkaan saa piirtää ympyrän, jos tämän puolisuunnikkaan kantajen summa on yhtä suuri kuin sen puolisuunnikkaan kantojen summa Käytä näitä ominaisuuksia ratkaiseessasi ongelmia.
Vihje 4: Kuinka löytää kolmion korkeus pisteiden koordinaatit
Kolmion korkeus on suora jana, joka yhdistää kuvion yläosan vastakkaiseen sivuun. Tämä segmentti on välttämättä kohtisuorassa sivuun nähden, joten mistä tahansa kärjestä saa piirtää vain yhden korkeus. Siitä tosiasiasta, että tässä kuviossa on kolme kärkeä, siinä on yhtä monta korkeutta. Jos kolmio on annettu sen kärkipisteiden koordinaateista, voidaan minkä tahansa korkeuden pituus laskea esimerkiksi käyttämällä kaavaa, jolla lasketaan pinta-ala ja lasketaan sivujen pituudet.
Ohje
1. Laskelmien perusteella pinta-ala kolmio yhtä suuri kuin puolet sen kunkin sivun pituuden ja tälle sivulle lasketun korkeuden tulosta. Tästä määritelmästä seuraa, että korkeuden löytämiseksi sinun on tiedettävä hahmon pinta-ala ja sivun pituus.
2. Aloita laskemalla sivujen pituudet kolmio. Merkitse kuvion kärkien koordinaatit seuraavasti: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) ja C(X?,Y?,Z?). Sitten voit laskea sivun AB pituuden kaavalla AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Kahdella muulla puolella nämä kaavat näyttävät tältä: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) ja AC = ?(( X a-X 2) + (Y 2 - Y 2) + (Z 2 - Z 5) 2). Sanotaanpa puolesta kolmio koordinaateilla A(3,5,7), B(16,14,19) ja C(1,2,13) sivun AB pituus on ?((3-16)? + (5-14) 8+ (7-19)?) = 8(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394? 19.85. Sivujen BC ja AC pituudet samalla menetelmällä laskettuna ovat ? (15? + 12? + 6?) =? 405? 20,12 ja ?(2? + 3? + (-6?)) = ?49 = 7.
3. Edellisessä vaiheessa saatujen 3 sivun pituuksien taito riittää laskemaan pinta-alan kolmio(S) Heronin kaavan mukaan: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Sano, kun olet korvannut koordinaateista saadut arvot tähän kaavaan kolmio-esimerkki edellisestä vaiheesta, tämä kaava antaa seuraavan arvon: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12) * (19.85+ 20.12-7)) = ?*?(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ? ?*?75768.55 ? ?*275,26 = 68,815.
4. Alueen perusteella kolmio, lasketaan edellisessä vaiheessa, ja toisessa vaiheessa saadut sivujen pituudet, lasketaan kunkin sivun korkeudet. Koska pinta-ala on puolet korkeuden ja sen sivun pituuden tulosta, johon se on vedetty, korkeuden löytämiseksi jaa pinta-ala kaksi kertaa halutun sivun pituudella: H \u003d 2 * S / a. Yllä käytetyssä esimerkissä sivulle AB laskettu korkeus on 2 * 68,815 / 16,09? 8.55, korkeus BC-puolelle on pituus 2 * 68.815 / 20.12? 6,84, ja AC-puolella tämä arvo on yhtä suuri kuin 2 * 68,815 / 7? 19.66.
