एक प्रतिशत एक संख्या का सौवां हिस्सा है। यह अवधारणाइसका उपयोग तब किया जाता है जब किसी शेयर के पूरे अनुपात को इंगित करना आवश्यक होता है। इसके अलावा, कई मूल्यों की तुलना प्रतिशत के रूप में की जा सकती है, जबकि आवश्यक रूप से यह दर्शाता है कि प्रतिशत किस पूर्णांक के सापेक्ष गणना की जाती है। उदाहरण के लिए, खर्च आय से 10% अधिक है या ट्रेन टिकट की कीमत पिछले वर्ष के किराए की तुलना में 15% की वृद्धि हुई है। 100 से ऊपर के प्रतिशत का मतलब है कि अनुपात पूरे से अधिक है, जैसा कि अक्सर सांख्यिकीय गणना में होता है।

एक वित्तीय अवधारणा के रूप में ब्याज - भुगतान, अस्थायी उपयोग के लिए धन के प्रावधान के लिए ऋणदाता को उधारकर्ता। व्यापार में, "रुचि के लिए काम करने के लिए" एक अभिव्यक्ति है। पर इस मामले मेंयह समझा जाता है कि पारिश्रमिक की राशि लाभ या टर्नओवर (कमीशन) पर निर्भर करती है। लेखांकन, व्यवसाय में रुचि की गणना के बिना करना असंभव है, बैंकिंग. गणना को सरल बनाने के लिए, एक ऑनलाइन प्रतिशत कैलकुलेटर विकसित किया गया है।

कैलकुलेटर आपको गणना करने की अनुमति देता है:

• निर्धारित मूल्य का प्रतिशत।
• राशि का प्रतिशत (वास्तविक वेतन पर कर)।
• अंतर का प्रतिशत (वैट से ).
• और भी बहुत कुछ...

प्रतिशत कैलकुलेटर पर समस्याओं को हल करते समय, आपको तीन मानों के साथ काम करने की आवश्यकता होती है, जिनमें से एक अज्ञात है (के अनुसार दिए गए पैरामीटरचर की गणना की जाती है)। गणना परिदृश्य को निर्दिष्ट शर्तों के आधार पर चुना जाना चाहिए।

गणना उदाहरण

1. किसी संख्या के प्रतिशत की गणना करें

एक संख्या खोजने के लिए जो 1,000 रूबल का 25% है, आपको चाहिए:

• 1,000 × 25/100 = 250 रूबल
• या 1,000 × 0.25 = 250 रूबल।

एक नियमित कैलकुलेटर पर गणना करने के लिए, आपको 1,000 को 25 से गुणा करना होगा और% बटन दबाना होगा।

2. एक पूर्णांक की परिभाषा (100%)

हम जानते हैं कि 250 रूबल। किसी संख्या का 25% है। इसकी गणना कैसे करें?

आइए एक साधारण अनुपात बनाएं:

• 250 रगड़। - 25%
• वाई रगड़। - 100%
• वाई \u003d 250 × 100/25 \u003d 1,000 रूबल।

3. दो संख्याओं के बीच प्रतिशत

मान लीजिए कि 800 रूबल का लाभ माना जाता था, लेकिन उन्हें 1,040 रूबल मिले। ओवरएज प्रतिशत क्या है?

अनुपात होगा:

• 800 रगड़। - 100%
• रगड़ 1,040 - वाई%
• वाई = 1040 × 100/800 = 130%

लाभ के लिए योजना की अधिकता - 30%, अर्थात कार्यान्वयन - 130%।

4. गणना 100% से नहीं

उदाहरण के लिए, तीन विभागों वाले स्टोर पर 100% ग्राहक आते हैं। किराना विभाग में - 800 लोग (67%), घरेलू रसायन विभाग में - 55. घरेलू रसायन विभाग में कितने प्रतिशत खरीदार आते हैं?

अनुपात:

• 800 आगंतुक - 67%
• 55 आगंतुक - Y %
• वाई = 55 × 67/800 = 4.6%

5. एक संख्या दूसरी संख्या से कितना प्रतिशत कम है

माल की कीमत 2,000 से 1,200 रूबल तक गिर गई। वस्तु कितने प्रतिशत सस्ती हुई, या 2,000 से 1,200 कितने प्रतिशत कम है?

• 2 000 - 100 %
• 1 200 - वाई%
• वाई = 1200 × 100/2000 = 60% (2000 का 60% से 1200)
• 100% - 60% = 40% (संख्या 1200, 2000 से 40% कम है)

6. एक संख्या दूसरी संख्या से कितने प्रतिशत अधिक है

वेतन 5,000 से बढ़कर 7,500 रूबल हो गया। वेतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई? 7,500, 5,000 से कितने प्रतिशत अधिक है?

• 5 000 रगड़। - 100%
• 7 500 रगड़। - वाई%
• वाई = 7,500 × 100 / 5,000 = 150% (आंकड़े में 7,500 5,000 का 150% है)
• 150% - 100% = 50% (संख्या 7,500, 5,000 से 50% अधिक है)

7. संख्या में एक निश्चित प्रतिशत की वृद्धि करें

माल एस की कीमत 1,000 रूबल से अधिक है। 27% से। वस्तु की कीमत क्या है?

• 1 000 रगड़। - 100%
• एस - 100% + 27%
• एस \u003d 1,000 × (100 + 27) / 100 \u003d 1,270 रूबल।

ऑनलाइन कैलकुलेटर गणना को बहुत आसान बनाता है: आपको गणना के प्रकार का चयन करने की आवश्यकता है, संख्या और प्रतिशत दर्ज करें (गणना के मामले में) प्रतिशत- दूसरी संख्या), गणना की सटीकता को इंगित करें और कार्रवाई शुरू करने का आदेश दें।

आज हम गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से प्रतिशत समस्याओं पर वीडियो ट्यूटोरियल की एक श्रृंखला जारी रखते हैं। विशेष रूप से, हम दो का पूरी तरह से विश्लेषण करेंगे वास्तविक कार्यएकीकृत राज्य परीक्षा से और एक बार फिर हम देखेंगे कि समस्या की स्थिति को ध्यान से पढ़ना और उसकी सही व्याख्या करना कितना महत्वपूर्ण है।

तो पहला कार्य है:

काम। शहर के केवल 95% और 37,500 स्नातकों ने समस्या B1 को सही ढंग से हल किया। कितने लोगों ने समस्या B1 को सही ढंग से हल किया?

पहली नज़र में ऐसा लगता है कि यह कैप्स के लिए किसी तरह का काम है। पसंद करना:

काम। पेड़ पर 7 पक्षी थे। उनमें से 3 उड़ गए। कितने पक्षी उड़ गए हैं?

हालाँकि, चलो गणित करते हैं। हम अनुपात की विधि से हल करेंगे। तो, हमारे पास 37,500 छात्र हैं - यह 100% है। और छात्रों की एक निश्चित संख्या x भी है, जो बहुत भाग्यशाली लोगों का 95% है जिन्होंने समस्या B1 को सही ढंग से हल किया। हम इसे लिखते हैं:

37 500 — 100%
एक्स - 95%

आपको अनुपात बनाने और x खोजने की आवश्यकता है। हम पाते हैं:

हमारे सामने शास्त्रीय अनुपात, लेकिन मुख्य संपत्ति का उपयोग करने और इसे क्रॉसवाइज गुणा करने से पहले, मैं समीकरण के दोनों हिस्सों को 100 से विभाजित करने का प्रस्ताव करता हूं। दूसरे शब्दों में, हम प्रत्येक अंश के अंश में दो शून्य को पार करते हैं। आइए परिणामी समीकरण को फिर से लिखें:

अनुपात के मूल गुण के अनुसार, चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में:

एक्स = 375 95

यह सुंदर है बड़ी संख्या, इसलिए आपको उन्हें एक कॉलम से गुणा करना होगा। मैं आपको याद दिलाता हूं कि गणित में परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग करना सख्त मना है। हम पाते हैं:

एक्स = 35625

कुल उत्तर: 35,625। मूल 37,500 हल की गई समस्या बी 1 में से कितने लोगों ने सही ढंग से हल किया। जैसा कि आप देख सकते हैं, ये संख्याएं काफी करीब हैं, जो समझ में आता है क्योंकि 95% भी 100% के बहुत करीब है। सामान्य तौर पर, पहला कार्य हल किया जाता है। चलिए दूसरे पर चलते हैं।

ब्याज समस्या #2

काम। शहर के 45,000 स्नातकों में से केवल 80% ने समस्या B9 को सही ढंग से हल किया। कितने लोगों ने समस्या B9 को गलत तरीके से हल किया?

हम उसी तरह हल करते हैं। प्रारंभ में, 45,000 स्नातक थे - यह 100% है। फिर, इस संख्या से x स्नातकों का चयन किया जाना चाहिए, जो मूल संख्या का 80% होना चाहिए। हम एक अनुपात बनाते हैं और हल करते हैं:

45 000 — 100%
एक्स - 80%

आइए दूसरी भिन्न के अंश और हर में एक शून्य घटाएं। आइए परिणामी निर्माण को एक बार फिर से लिखें:

अनुपात का मुख्य गुण: चरम पदों का गुणनफल मध्य के गुणनफल के बराबर होता है। हम पाते हैं:

45,000 8 = x 10

यह सबसे सरल है रेखीय समीकरण. आइए इससे वेरिएबल x को व्यक्त करें:

एक्स = 45,000 8:10

हम एक शून्य को 45,000 पर घटाते हैं और 10 पर, हर एक रहता है, इसलिए हमें केवल व्यंजक का मान ज्ञात करना है:

एक्स = 4500 8

बेशक, आप ऐसा ही कर सकते हैं पिछली बार, और इन नंबरों को एक कॉलम से गुणा करें। लेकिन आइए हम अपने लिए जीवन को कठिन न बनाएं, और एक कॉलम से गुणा करने के बजाय, हम आठ को कारकों में विभाजित करते हैं:

x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36,000

और अब - सबसे महत्वपूर्ण बात जिसके बारे में मैंने पाठ की शुरुआत में ही बात की थी। आपको समस्या की स्थिति को ध्यान से पढ़ने की जरूरत है!

हमें क्या जानने की जरूरत है? कितने लोगों ने समस्या हल की B9 सही नहीं. और हमने सिर्फ उन लोगों को पाया जिन्होंने सही फैसला किया। ये निकले 80% मूल संख्या, अर्थात। 36, 000। इसका मतलब है कि अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, हमारे 80% छात्रों की मूल संख्या से घटाया जाना चाहिए। हम पाते हैं:

45 000 − 36 000 = 9000

परिणामी संख्या 9000 समस्या का उत्तर है। इस शहर में कुल मिलाकर 45,000 स्नातकों में से 9,000 लोगों ने समस्या B9 को गलत तरीके से हल किया। सब कुछ, कार्य हल हो गया है।

गणित की दृष्टि से अनुपात दो अनुपातों की समानता है। अन्योन्याश्रय अनुपात के सभी भागों के साथ-साथ उनके अपरिवर्तनीय परिणाम की विशेषता है। आप अपने आप को गुण और अनुपात के सूत्र से परिचित करके समझ सकते हैं कि अनुपात कैसे बनाया जाता है। अनुपातों को हल करने के सिद्धांत को समझने के लिए, एक उदाहरण पर विचार करना पर्याप्त होगा। केवल सीधे अनुपातों को हल करके, आप आसानी से और जल्दी से इन कौशलों को सीख सकते हैं। और यह लेख पाठक को इसमें मदद करेगा।

आनुपातिक गुण और सूत्र

1. अनुपात का उलटा। उस स्थिति में जब दी गई समानता 1a: 2b = 3c: 4d जैसी दिखती है, 2b: 1a = 4d: 3c लिखें। (इसके अलावा, 1a, 2b, 3c और 4d हैं अभाज्य सँख्या, 0 के अलावा)।
2. गुणा दिए गए सदस्यक्रॉस अनुपात। पर शाब्दिक अभिव्यक्तियह इस तरह दिखता है: 1a: 2b = 3c: 4d, और 1a4d = 2b3c लिखना इसके बराबर होगा। इस प्रकार, किसी भी अनुपात (समानता के किनारों पर संख्या) के चरम भागों का गुणनफल हमेशा होता है उत्पाद के बराबरमध्य भाग (समानता के मध्य में स्थित संख्याएँ)।
3. अनुपात संकलित करते समय, चरम और मध्यम शब्दों के क्रमपरिवर्तन के रूप में इसकी ऐसी संपत्ति भी उपयोगी हो सकती है। समानता सूत्र 1a: 2b = 3c: 4d निम्नलिखित तरीकों से प्रदर्शित किया जा सकता है:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (जब अनुपात के मध्य सदस्यों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है)।
   • 4d: 2b = 3c: 1a (जब अनुपात के चरम सदस्यों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है)।
4. इसकी वृद्धि और कमी की संपत्ति के अनुपात को हल करने में पूरी तरह से मदद करता है। 1a: 2b = 3c: 4d के साथ, लिखें:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (बढ़ते अनुपात से समानता)।
   • (1a - 2b) : 2b = (3c - 4d) : 4d (घटते अनुपात से समानता)।
5. आप जोड़ और घटाकर अनुपात बना सकते हैं। जब अनुपात को 1a:2b = 3c:4d के रूप में लिखा जाता है तो:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (अनुपात जोड़ा जाता है)।
   • (1a - 3c) : (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (अनुपात घटाया जाता है)।
6. साथ ही, भिन्नात्मक या बड़ी संख्या वाले अनुपात को हल करते समय, आप इसके दोनों सदस्यों को विभाजित या गुणा कर सकते हैं वही नंबर. उदाहरण के लिए, अनुपात 70:40=320:60 के घटकों को इस तरह लिखा जा सकता है: 10*(7:4=32:6)।
7. प्रतिशत के साथ अनुपात को हल करने का प्रकार इस तरह दिखता है। उदाहरण के लिए, 30=100%, 12=x लिखें। अब आपको मध्य पदों (12*100) को गुणा करना चाहिए और ज्ञात चरम (30) से भाग देना चाहिए। इस प्रकार, उत्तर है: x=40%। एक समान तरीके सेयदि आवश्यक हो, तो ज्ञात चरम पदों को गुणा करना और वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए उन्हें किसी दिए गए औसत संख्या से विभाजित करना संभव है।

यदि आप एक विशिष्ट अनुपात सूत्र में रुचि रखते हैं, तो सबसे सरल और सबसे सामान्य संस्करण में, अनुपात एक ऐसी समानता (सूत्र) है: a / b \u003d c / d, जिसमें a, b, c और d चार गैर हैं -शून्य संख्या।

§ 125. अनुपात की अवधारणा।

अनुपात दो अनुपातों की समानता है। यहाँ समानता के उदाहरण दिए गए हैं जिन्हें अनुपात कहा जाता है:

टिप्पणी। अनुपात में मात्राओं के नाम इंगित नहीं किए गए हैं।

अनुपात आमतौर पर निम्नानुसार पढ़ा जाता है: 2 1 (एक) से संबंधित है, क्योंकि 10 5 (पहला अनुपात) से संबंधित है। आप इसे अलग तरह से पढ़ सकते हैं, उदाहरण के लिए: 2, 1 से कई गुना बड़ा है, 5 से 10 का कितना गुना बड़ा है। तीसरा अनुपात इस प्रकार पढ़ा जा सकता है: - 0.5, 2 से कई गुना कम, 0.75 कितनी बार 3 से कम है।

अनुपात में संख्याएँ कहलाती हैं अनुपात के सदस्य. इसलिए, अनुपात में चार सदस्य होते हैं। पहले और आखिरी सदस्य, यानी किनारों पर खड़े सदस्यों को कहा जाता है चरम, और अनुपात के पद जो बीच में हैं, कहलाते हैं औसतसदस्य। इसका मतलब है कि पहले अनुपात में, संख्या 2 और 5 चरम सदस्य होंगे, और संख्या 1 और 10 अनुपात के मध्य सदस्य होंगे।

126. अनुपात की मुख्य संपत्ति।

अनुपात पर विचार करें:

हम इसके चरम और मध्य पदों को अलग-अलग गुणा करते हैं। चरम 6 4 \u003d 24 का उत्पाद, औसत 3 8 \u003d 24 का उत्पाद।

एक अन्य अनुपात पर विचार करें: 10: 5 \u003d 12: 6। हम यहाँ अलग-अलग चरम और मध्य पदों को भी गुणा करते हैं।

चरम 10 6 \u003d 60 का उत्पाद, औसत 5 12 \u003d 60 का उत्पाद।

अनुपात की मुख्य संपत्ति: अनुपात के चरम पदों का गुणनफल इसके मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

पर सामान्य दृष्टि सेअनुपात की मुख्य संपत्ति इस प्रकार लिखी गई है: विज्ञापन = बीसी .

आइए इसे कई अनुपातों में देखें:

1) 12: 4 = 30: 10.

यह अनुपात सत्य है, क्योंकि जिन अनुपातों से यह बना है वे समान हैं। उसी समय, अनुपात के चरम पदों (12 10) और इसके मध्य पदों (4 30) के गुणनफल को लेने पर, हम देखेंगे कि वे एक दूसरे के बराबर हैं, अर्थात।

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

अनुपात सही है, जिसे पहले और दूसरे संबंधों को सरल करके सत्यापित करना आसान है। अनुपात की मुख्य संपत्ति रूप लेगी:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

यह देखना आसान है कि यदि हम ऐसी समानता लिखते हैं, जिसमें किन्हीं दो संख्याओं का गुणनफल बाईं ओर हो, और दो अन्य संख्याओं का गुणनफल दाईं ओर हो, तो इनमें से चार नंबरआप अनुपात बना सकते हैं।

आइए हम एक समानता रखते हैं, जिसमें चार संख्याएँ शामिल हैं, जो जोड़े में गुणा की जाती हैं:

ये चार नंबर एक अनुपात के सदस्य हो सकते हैं, जिसे लिखना मुश्किल नहीं है, अगर हम पहले उत्पाद को चरम शर्तों के उत्पाद के रूप में लेते हैं, और दूसरे को बीच के उत्पाद के रूप में लेते हैं। प्रकाशित समानता बनाई जा सकती है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अनुपात:

सामान्य तौर पर, समानता से विज्ञापन = बीसी आप निम्नलिखित अनुपात प्राप्त कर सकते हैं:

निम्नलिखित व्यायाम स्वयं करें। संख्याओं के दो युग्मों के गुणनफल को देखते हुए, प्रत्येक समानता के अनुरूप अनुपात लिखिए:

क) 1 6 = 2 3;

बी) 2 15 = बी 5।

127. अनुपात के अज्ञात सदस्यों की गणना।

अनुपात की मुख्य संपत्ति आपको अज्ञात होने पर अनुपात की किसी भी शर्तों की गणना करने की अनुमति देती है। आइए अनुपात लें:

एक्स : 4 = 15: 3.

इस अनुपात में, एक चरम पद अज्ञात है। हम जानते हैं कि प्रत्येक अनुपात में चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है। इस आधार पर हम लिख सकते हैं:

एक्स 3 = 4 15.

4 को 15 से गुणा करने के बाद, हम इस समीकरण को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

एक्स 3 = 60.

आइए इस समानता को देखें। इसमें पहला कारक अज्ञात है, दूसरा कारक ज्ञात है, और उत्पाद ज्ञात है। हम जानते हैं कि एक अज्ञात कारक को खोजने के लिए, उत्पाद को दूसरे (ज्ञात) कारक से विभाजित करना पर्याप्त है। तब यह निकलेगा:

एक्स = 60:3, या एक्स = 20.

आइए के स्थान पर संख्या 20 को प्रतिस्थापित करके पाया गया परिणाम देखें एक्स इस अनुपात में:

अनुपात सही है।

आइए इस बारे में सोचें कि अनुपात के अज्ञात चरम पद की गणना करने के लिए हमें कौन से कार्य करने होंगे। अनुपात के चार सदस्यों में से केवल एक चरम हमारे लिए अज्ञात था; दो मध्य और द्वितीय चरम ज्ञात थे। अनुपात का चरम पद ज्ञात करने के लिए, हमने पहले मध्य पदों (4 और 15) को गुणा किया, और फिर ज्ञात चरम पद से प्राप्त गुणनफल को विभाजित किया। अब हम दिखाएंगे कि यदि अनुपात के आवश्यक चरम पद पहले स्थान पर नहीं थे, लेकिन अंतिम स्थान पर थे, तो क्रियाएं नहीं बदलेगी। आइए अनुपात लें:

70: 10 = 21: एक्स .

आइए अनुपात की मुख्य संपत्ति को लिखें: 70 एक्स = 10 21.

संख्या 10 और 21 को गुणा करके, हम इस रूप में समानता को फिर से लिखते हैं:

70 एक्स = 210.

यहां एक कारक अज्ञात है, इसकी गणना करने के लिए, उत्पाद (210) को दूसरे कारक (70) से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है,

एक्स = 210: 70; एक्स = 3.

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि अनुपात का प्रत्येक चरम सदस्य दूसरे चरम से विभाजित औसत के उत्पाद के बराबर है।

आइए अब हम अज्ञात माध्य पद की गणना के लिए आगे बढ़ें। आइए अनुपात लें:

30: एक्स = 27: 9.

आइए अनुपात की मुख्य संपत्ति लिखें:

30 9 = एक्स 27.

हम 30 बटा 9 के गुणनफल की गणना करते हैं और अंतिम समानता के भागों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

एक्स 27 = 270.

आइए अज्ञात कारक खोजें:

एक्स = 270: 27, या एक्स = 10.

आइए एक प्रतिस्थापन के साथ जांचें:

30:10 = 27:9 अनुपात सही है।

आइए एक और अनुपात लें:

12:बी= एक्स : 8. आइए अनुपात का मुख्य गुण लिखें:

12 . 8 = 6 एक्स . 12 और 8 को गुणा करने और समीकरण के भागों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

6 एक्स = 96. अज्ञात कारक खोजें:

एक्स = 96:6, या एक्स = 16.

इस प्रकार, हर कोई मध्य सदस्यअनुपात चरम सीमा के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे दूसरे औसत से विभाजित किया जाता है।

निम्नलिखित अनुपातों के अज्ञात पद ज्ञात कीजिए:

1) ए : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = एक्स : 5;

2) 8: बी = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: एक्स .

दो नवीनतम नियमसामान्य तौर पर इसे इस तरह लिखा जा सकता है:

1) यदि अनुपात दिखता है:

एक्स: ए = बी: सी , तब

2) यदि अनुपात दिखता है:

ए: एक्स = बी: सी , तब

128. अपने सदस्यों के अनुपात और पुनर्व्यवस्था का सरलीकरण।

इस खंड में, हम ऐसे नियम प्राप्त करेंगे जो हमें उस स्थिति में अनुपात को सरल बनाने की अनुमति देते हैं जब इसमें बड़ी संख्या या भिन्नात्मक शब्द शामिल होते हैं। अनुपात का उल्लंघन नहीं करने वाले रूपांतरणों में निम्नलिखित शामिल हैं:

1. किसी भी अनुपात के दोनों सदस्यों की एक साथ एक ही संख्या में वृद्धि या कमी।

उदाहरण 40:10 = 60:15।

पहले संबंध के दोनों पदों को 3 गुना से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

120:30 = 60: 15.

अनुपात नहीं बदला है।

दूसरे संबंध के दोनों पदों को 5 गुना कम करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

हमें फिर से सही अनुपात मिला।

2. एक ही समय में पिछले या दोनों बाद के पदों की एक साथ वृद्धि या कमी।

उदाहरण। 16:8 = 40:20।

आइए दोनों संबंधों के पिछले सदस्यों को दोगुना करें:

सही अनुपात मिला।

आइए हम दोनों संबंधों की अगली शर्तों को 4 गुना कम करें:

अनुपात नहीं बदला है।

प्राप्त दो निष्कर्षों को निम्नानुसार संक्षेपित किया जा सकता है: यदि हम अनुपात के किसी भी चरम सदस्य को एक साथ बढ़ाते या घटाते हैं तो अनुपात का उल्लंघन नहीं होगा और कोई भी मध्य एक समान संख्या में होगा।

उदाहरण के लिए, अनुपात के पहले चरम और दूसरे मध्य सदस्यों को 16:8 = 40:20 से 4 गुना कम करके, हम प्राप्त करते हैं:

3. अनुपात के सभी सदस्यों की एक साथ वृद्धि या कमी समान संख्या में। उदाहरण। 36:12 = 60:20। आइए चारों संख्याओं को 2 गुना बढ़ाएँ:

अनुपात नहीं बदला है। आइए सभी चार संख्याओं को 4 गुना कम करें:

अनुपात सही है।

सूचीबद्ध परिवर्तन संभव बनाते हैं, पहला, अनुपातों को सरल बनाना, और दूसरा, उन्हें भिन्नात्मक सदस्यों से मुक्त करना। आइए उदाहरण देते हैं।

1) एक अनुपात होने दें:

200: 25 = 56: एक्स .

इसमें, पहले संबंध की शर्तें अपेक्षाकृत बड़ी संख्याएं हैं, और यदि हम मूल्य का पता लगाना चाहते हैं एक्स , तो हमें इन नंबरों पर गणना करनी होगी; लेकिन हम जानते हैं कि यदि अनुपात के दोनों पदों को समान संख्या से विभाजित किया जाए तो अनुपात का उल्लंघन नहीं होता है। उनमें से प्रत्येक को 25 से विभाजित करें। अनुपात रूप लेगा:

8:1 = 56: एक्स .

इस प्रकार हमने एक अधिक सुविधाजनक अनुपात प्राप्त किया है, जिससे एक्स मन में पाया जा सकता है:

2) अनुपात लें:

2: 1 / 2 = 20: 5.

इस अनुपात में एक भिन्नात्मक पद (1/2) होता है, जिससे आप छुटकारा पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें इस पद को गुणा करना होगा, उदाहरण के लिए, 2 से। लेकिन हमें अनुपात के मध्य पद को बढ़ाने का अधिकार नहीं है; यह आवश्यक है, इसके साथ, चरम शर्तों में से एक को बढ़ाने के लिए; तो अनुपात का उल्लंघन नहीं किया जाएगा (पहले दो बिंदुओं के आधार पर)। आइए पहले चरम पदों को बढ़ाते हैं

(2 2) : (2 1/2) = 20:5, या 4: 1 = 20:5।

आइए दूसरे चरम पद को बढ़ाएं:

2: (2 1/2) = 20: (2 5), या 2: 1 = 20:10.

आइए अनुपात को भिन्नात्मक पदों से मुक्त करने के तीन और उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1. 1/4: 3/8 = 20:30।

भिन्नों को यहाँ लाएँ आम विभाजक:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

पहले संबंध के दोनों पदों को 8 से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2। 12: 15/14 \u003d 16: 10 / 7। आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

हम बाद के दोनों पदों को 14 से गुणा करते हैं, हमें मिलता है: 12:15 \u003d 16:20।

उदाहरण 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6।

आइए अनुपात के सभी पदों को 48 से गुणा करें:

24: 1 = 960: 40.

उन समस्याओं को हल करते समय जिनमें कुछ अनुपात होते हैं, अक्सर विभिन्न उद्देश्यों के लिए अनुपात की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करना आवश्यक होता है। विचार करें कि कौन से क्रमपरिवर्तन कानूनी हैं, अर्थात, अनुपातों का उल्लंघन नहीं करते हैं। आइए अनुपात लें:

3: 5 = 12: 20. (1)

इसमें चरम पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

20: 5 = 12:3. (2)

अब हम मध्य पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

3:12 = 5: 20. (3)

हम एक ही समय में चरम और मध्यम दोनों शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

20: 12 = 5: 3. (4)

ये सभी अनुपात सही हैं। अब हम पहले संबंध को दूसरे के स्थान पर और दूसरे को पहले के स्थान पर रखते हैं। अनुपात प्राप्त करें:

12: 20 = 3: 5. (5)

इस अनुपात में, हम वही क्रमपरिवर्तन करेंगे जो हमने पहले किया था, यानी, हम पहले चरम शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करेंगे, फिर मध्य वाले, और अंत में, चरम और मध्य दोनों को एक ही समय में पुनर्व्यवस्थित करेंगे। तीन और अनुपात निकलेंगे, जो उचित भी होंगे:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

तो, एक दिए गए अनुपात से, पुनर्व्यवस्थित करके, आप 7 और अनुपात प्राप्त कर सकते हैं, जो इसके साथ मिलकर 8 अनुपात बनाता है।

इन सभी अनुपातों की वैधता विशेष रूप से आसानी से प्रकट होती है जब पत्र प्रविष्टि. ऊपर प्राप्त 8 अनुपात रूप लेते हैं:

ए: बी = सी: डी; सी: डी = ए: बी;

डी: बी = सी: ए; बी: डी = ए: सी;

ए: सी = बी: डी; सी: ए = डी: बी;

डी: सी = बी: ए; बी: ए = डी: सी।

यह देखना आसान है कि इनमें से प्रत्येक अनुपात में मुख्य संपत्ति रूप लेती है:

विज्ञापन = ई.पू.

इस प्रकार, ये क्रमपरिवर्तन अनुपात की निष्पक्षता का उल्लंघन नहीं करते हैं, और यदि आवश्यक हो तो उनका उपयोग किया जा सकता है।

पिछले वीडियो ट्यूटोरियल में, हमने अनुपात का उपयोग करके प्रतिशत समस्याओं को हल करने पर विचार किया। फिर, समस्या की स्थिति के अनुसार, हमें एक या दूसरी मात्रा का मान ज्ञात करने की आवश्यकता थी।

इस बार, प्रारंभिक और अंतिम मान हमें पहले ही दिए जा चुके हैं। इसलिए, कार्यों में प्रतिशत खोजने की आवश्यकता होगी। अधिक सटीक रूप से, यह या वह मान कितने प्रतिशत तक बदल गया है। कोशिश करते हैं।

काम। स्नीकर्स की कीमत 3200 रूबल है। मूल्य वृद्धि के बाद, उन्हें 4000 रूबल की लागत आने लगी। स्नीकर्स की कीमत में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

तो, हम अनुपात के माध्यम से हल करते हैं। पहला कदम - मूल कीमत 3200 रूबल के बराबर थी। इसलिए, 3200 रूबल 100% है।

इसके अलावा, हमें अंतिम कीमत दी गई - 4000 रूबल। यह एक अज्ञात प्रतिशत है, तो चलिए इसे x के रूप में निरूपित करते हैं। हमें निम्नलिखित निर्माण मिलता है:

3200 — 100%
4000 - x%

खैर, समस्या की स्थिति लिख दी गई है। हम एक अनुपात बनाते हैं:

बाईं ओर का अंश पूरी तरह से 100: 3200: 100 = 32 से कम हो जाता है; 4000: 100 = 40। इसके अलावा, आप 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. हमें निम्नलिखित अनुपात प्राप्त होता है:

आइए अनुपात के मूल गुण का उपयोग करें: चरम पदों का गुणनफल मध्य वाले के गुणनफल के बराबर होता है। हम पाते हैं:

8 एक्स = 100 10;
8x = 1000।

यह सामान्य रैखिक समीकरण है। यहाँ से हम x पाते हैं:

एक्स=1000:8=125

तो, हमें अंतिम प्रतिशत x = 125 मिला। लेकिन क्या संख्या 125 समस्या का समाधान है? बिलकुल नहीं! क्योंकि कार्य के लिए आपको यह पता लगाना होगा कि स्नीकर्स की कीमत में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई है।

कितने प्रतिशत से - इसका मतलब है कि हमें बदलाव खोजने की जरूरत है:

∆ = 125 − 100 = 25

हमें 25% मिले - यानी मूल कीमत में कितनी वृद्धि की गई। यह उत्तर है: 25।

समस्या B2 ब्याज के लिए #2

चलिए दूसरे कार्य पर चलते हैं।

काम। शर्ट की कीमत 1800 रूबल है। कीमत में कमी के बाद, इसकी कीमत 1530 रूबल होने लगी। कमीज के मूल्य में कितने प्रतिशत की कमी की गई?

हम स्थिति का अनुवाद करते हैं गणितीय भाषा. 1800 रूबल की शुरुआती कीमत 100% है। और अंतिम कीमत 1530 रूबल है - हम इसे जानते हैं, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि यह मूल मूल्य का कितना प्रतिशत है। इसलिए, हम इसे x से निरूपित करते हैं। हमें निम्नलिखित निर्माण मिलता है:

1800 — 100%
1530 - x%

परिणामी रिकॉर्ड के आधार पर, हम अनुपात बनाते हैं:

आइए आगे की गणनाओं को सरल बनाने के लिए दोनों भागों को अलग करें। दिया गया समीकरण 100 से। दूसरे शब्दों में, बाईं ओर का अंश और सही अंशहम दो शून्य को पार करेंगे। हम पाते हैं:

अब आइए अनुपात के मूल गुण का फिर से उपयोग करें: चरम पदों का गुणनफल औसत के गुणनफल के बराबर होता है।

18 एक्स = 1530 1;
18x = 1530।

यह x खोजना बाकी है:

x = 1530: 18 = (765 2): (9 2) = 765: 9 = (720 + 45): 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

हमें वह x = 85 मिला। लेकिन, पिछली समस्या की तरह, यह संख्या अपने आप में उत्तर नहीं है। चलिए वापस अपनी स्थिति में आते हैं। अब हम जानते हैं कि कटौती के बाद की नई कीमत पुरानी कीमत का 85% है। और परिवर्तनों को खोजने के लिए, आपको पुराने मूल्य की आवश्यकता है, अर्थात। 100%, घटाना नया मूल्य, अर्थात। 85%। हम पाते हैं:

∆ = 100 − 85 = 15

यह संख्या उत्तर होगी: कृपया ध्यान दें: ठीक 15, और किसी भी स्थिति में 85 नहीं। बस! समस्या सुलझ गयी।

चौकस छात्र शायद पूछेंगे: पहले कार्य में, अंतर खोजने पर, हमने अंतिम संख्या से प्रारंभिक संख्या क्यों घटाई, और दूसरे कार्य में हमने ठीक इसके विपरीत किया: प्रारंभिक 100% से हमने अंतिम 85% घटाया?

आइए इसे साफ करते हैं। औपचारिक रूप से, गणित में, मात्रा में परिवर्तन हमेशा के बीच का अंतर होता है अंतिम मूल्यऔर प्रारंभिक। दूसरे शब्दों में, दूसरी समस्या में, हमें 15 नहीं, बल्कि -15 मिलना चाहिए था।

हालाँकि, किसी भी स्थिति में इस माइनस को उत्तर में शामिल नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि मूल समस्या की स्थिति में इसे पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। यह वहीं कीमत में कमी के बारे में कहता है। 15% मूल्य में कमी -15% मूल्य वृद्धि के समान है। यही कारण है कि समस्या के समाधान और उत्तर में केवल 15 लिखना पर्याप्त है - बिना किसी नुकसान के।

सब, मुझे आशा है, इस क्षण के साथ हम समझ गए हैं। यह आज के लिए हमारे पाठ का समापन करता है। जल्द ही फिर मिलेंगे!