जब कोई छात्र जाता है उच्च विद्यालय, गणित को 2 विषयों में बांटा गया है: बीजगणित और ज्यामिति। अधिक से अधिक अवधारणाएं हैं, कार्य अधिक कठिन होते जा रहे हैं। कुछ लोगों को भिन्नों को समझने में कठिनाई होती है। इस विषय पर पहला पाठ याद किया, और वोइला। भिन्न? एक सवाल जो पूरे स्कूली जीवन में पीड़ा देगा।

बीजीय अंश की अवधारणा

आइए एक परिभाषा के साथ शुरू करते हैं। नीचे बीजीय भिन्न P/Q व्यंजकों को समझा जाता है, जहाँ P अंश है और Q हर है। नीचे वर्णमाला संकेतनएक संख्या, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति, एक संख्यात्मक-वर्णमाला अभिव्यक्ति छुपा सकता है।

इससे पहले कि आप सोचें कि कैसे हल करें बीजीय भिन्नसबसे पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि समान अभिव्यक्ति- पूरे का हिस्सा।

एक नियम के रूप में, पूर्ण 1 है। हर में संख्या दर्शाती है कि इकाई को कितने भागों में विभाजित किया गया था। कितने तत्व लिए गए हैं, यह पता लगाने के लिए अंश की आवश्यकता होती है। भिन्नात्मक पट्टी विभाजन चिह्न से मेल खाती है। रिकॉर्डिंग की अनुमति है भिन्नात्मक अभिव्यक्तिगणितीय ऑपरेशन "डिवीजन" के रूप में। इस मामले में, अंश लाभांश है, भाजक भाजक है।

सामान्य भिन्नों के लिए मूल नियम

जब छात्र पास यह विषयस्कूल में, उन्हें सुदृढ़ करने के लिए उदाहरण दिए जाते हैं। उन्हें सही ढंग से हल करने और खोजने के लिए विभिन्न तरीकेसे कठिन स्थितियां, आपको भिन्नों के मूल गुण को लागू करने की आवश्यकता है।

यह इस तरह लगता है: यदि आप अंश और हर दोनों को एक ही संख्या या व्यंजक (शून्य के अलावा) से गुणा करते हैं, तो मान सामान्य अंशबदलेगा नहीं। से एक विशेष मामला यह नियमव्यंजक के दोनों भागों का एक ही संख्या या बहुपद में विभाजन है। ऐसे परिवर्तनों को समान समानताएं कहा जाता है।

नीचे हम इस बात पर विचार करेंगे कि बीजीय भिन्नों के जोड़ और घटाव को कैसे हल किया जाए, गुणा, भाग और अंशों को घटाया जाए।

भिन्नों के साथ गणितीय संचालन

विचार करें कि बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति को कैसे हल किया जाए, इसे व्यवहार में कैसे लागू किया जाए। यदि आपको दो भिन्नों को गुणा करना है, उन्हें जोड़ना है, एक को दूसरे से विभाजित करना है, या घटाना है, तो आपको हमेशा नियमों का पालन करना चाहिए।

तो, जोड़ और घटाव के संचालन के लिए, किसी को खोजना चाहिए अतिरिक्त गुणकभाव लाने के लिए आम विभाजक. यदि प्रारंभ में भिन्नों को के साथ दिया जाता है वही भावप्रश्न, तो आपको इस मद को छोड़ना होगा। जब एक सामान्य भाजक मिल जाए, तो बीजीय भिन्नों को कैसे हल करें? अंशों को जोड़ें या घटाएं। लेकिन! यह याद रखना चाहिए कि यदि भिन्न के आगे "-" का चिन्ह हो तो अंश के सभी चिन्ह उलट जाते हैं। कभी-कभी आपको कोई प्रतिस्थापन नहीं करना चाहिए और गणितीय संचालन. भिन्न के सामने के चिन्ह को बदलने के लिए पर्याप्त है।

शब्द का प्रयोग अक्सर के रूप में किया जाता है अंश में कमी. इसका अर्थ निम्न है: यदि अंश और हर को एकता के अलावा किसी अन्य व्यंजक (दोनों भागों के लिए समान) से विभाजित किया जाता है, तो एक नया अंश प्राप्त होता है। लाभांश और भाजक पहले की तुलना में छोटे होते हैं, लेकिन भिन्नों के मूल नियम के कारण वे मूल उदाहरण के बराबर रहते हैं।

इस ऑपरेशन का उद्देश्य एक नई अपरिवर्तनीय अभिव्यक्ति प्राप्त करना है। निर्णय करना इस कार्यसंभव है, यदि हम अंश और हर को सबसे बड़ा घटा दें सामान्य भाजक. ऑपरेशन एल्गोरिथ्म में दो बिंदु होते हैं:

1. भिन्न के दोनों भागों के लिए GCD ज्ञात करना।
2. अंश और हर को पाए गए व्यंजक से विभाजित करना और पिछले एक के बराबर एक अभेद्य अंश प्राप्त करना।

नीचे दी गई तालिका सूत्र दिखाती है। सुविधा के लिए, आप इसका प्रिंट आउट ले सकते हैं और इसे एक नोटबुक में अपने साथ ले जा सकते हैं। हालाँकि, ताकि भविष्य में, नियंत्रण या परीक्षा को हल करते समय, इस प्रश्न में कोई कठिनाई न हो कि बीजीय अंशों को कैसे हल किया जाए, कहा सूत्रदिल से सीखना चाहिए।

समाधान के साथ कुछ उदाहरण

साथ में सैद्धांतिक बिंदुदृश्य इस प्रश्न पर विचार करता है कि बीजीय भिन्नों को कैसे हल किया जाए। लेख में दिए गए उदाहरण आपको सामग्री को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेंगे।

1. भिन्नों को परिवर्तित करें और उन्हें एक सामान्य हर में लाएं।

2. भिन्नों को परिवर्तित करें और उन्हें एक सामान्य हर में लाएं।

सैद्धांतिक भाग का अध्ययन करने और विचार करने के बाद व्यावहारिक मुदेदोबारा नहीं होना चाहिए।

लक्ष्य:

1. शिक्षात्मक- अधिक हल करते समय बीजीय अंशों को कम करने के अर्जित ज्ञान और कौशल को समेकित करें कठिन व्यायाम, एक बहुपद के गुणनखंडन को अलग-अलग तरीकों से लागू करना, बीजीय भिन्नों को कम करने की क्षमता का पता लगाना। संक्षिप्त गुणन सूत्र दोहराएं: (ए+बी)2=ए2+2एबी+बी 2,
(ए-बी) 2 =ए 2 -2एबी+बी 2,ए 2 -बी 2 =(ए+बी)(ए-बी), समूहीकरण विधि, सामान्य कारक को ब्रैकेट से बाहर ले जाना।

2. विकसित होना -सचेत धारणा के लिए तार्किक सोच का विकास शैक्षिक सामग्री, ध्यान, पाठ में छात्रों की गतिविधि।

3. पालन-पोषण -लालन - पालन संज्ञानात्मक गतिविधि, गठन व्यक्तिगत गुण: सटीकता और स्पष्टता मौखिक अभिव्यक्तिविचार; एकाग्रता और ध्यान; दृढ़ता और जिम्मेदारी, विषय का अध्ययन करने के लिए सकारात्मक प्रेरणा, सटीकता, कर्तव्यनिष्ठा और जिम्मेदारी की भावना।

कार्य:

1. अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने के लिए, इस विषय पर "बीजगणितीय अंश" पर काम के प्रकार को बदलना। अंशों की कमी।

2. का उपयोग कर बीजीय अंशों को कम करने में कौशल और क्षमताओं का विकास करना विभिन्न तरीकेअंश और हर का गुणनखंड, विकसित करना तर्कसम्मत सोच, सही और सक्षम गणितीय भाषण, प्रदर्शन करते समय स्वतंत्रता और उनके ज्ञान और कौशल में विश्वास का विकास अलग - अलग प्रकारकाम करता है।

3. सामग्री के विभिन्न प्रकार के समेकन की शुरुआत करके गणित में रुचि बढ़ाएं: मौखिक कार्य, पाठ्यपुस्तक के साथ काम करें, ब्लैकबोर्ड पर काम करें, गणितीय श्रुतलेख, परीक्षण, स्वतंत्र कार्य, खेल " गणित टूर्नामेंट»; छात्रों की गतिविधियों को प्रोत्साहित और प्रोत्साहित करना।

योजना:
मैं। आयोजन का समय।
द्वितीय . मौखिक कार्य।
III. गणितीय श्रुतलेख।
चतुर्थ।
1. पाठ्यपुस्तक के अनुसार और ब्लैकबोर्ड पर काम करें।
2. कार्ड पर समूहों में काम करें - खेल "गणितीय टूर्नामेंट"।
3. स्वतंत्र कामस्तरों द्वारा (ए, बी, सी)।
वी नतीजा।
1. टेस्ट (आपसी सत्यापन)।
VI. गृहकार्य।

कक्षाओं के दौरान:

I. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के लिए शिक्षक और छात्रों की भावनात्मक मनोदशा और तत्परता। छात्र लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करते हैं यह सबक, शिक्षक के प्रमुख प्रश्नों पर, पाठ का विषय निर्धारित करें।

द्वितीय. मौखिक कार्य।

1. भिन्नों को कम करें:

2. बीजीय भिन्न का मान ज्ञात कीजिए:
सी = 8, सी = -13, सी = 11 पर।
उत्तर: 6; -एक; 3.

3. प्रश्नों के उत्तर दें:

1) बहुपदों के गुणनखंड में उपयोगी क्रम क्या है?
(बहुपदों का गुणनखंडन करते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन करना उपयोगी होता है: a) निकालें सामान्य अवयवकोष्ठक के लिए, यदि कोई हो; बी) संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके बहुपद को गुणनखंड करने का प्रयास करें; ग) समूहीकरण पद्धति को लागू करने का प्रयास करें यदि पिछली विधियां लक्ष्य तक नहीं ले जाती हैं)।

2) योग का वर्ग क्या है?
(दो संख्याओं के योग का वर्ग वर्ग के बराबर हैपहली संख्या जमा पहली संख्या के गुणनफल का दुगुना और दूसरा जोड़ दूसरी संख्या का वर्ग)।

3) अंतर का वर्ग क्या है?
(दो संख्याओं के बीच के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर है जो पहली संख्या के गुणनफल का दोगुना है और दूसरा जोड़ दूसरी संख्या का वर्ग है।)

4) दो संख्याओं के वर्गों में क्या अंतर है?
(दो संख्याओं के वर्गों का अंतर इन संख्याओं के अंतर और उनके योग के गुणनफल के बराबर होता है)।

5) समूहीकरण पद्धति का उपयोग करते समय क्या करने की आवश्यकता है? (समूहीकरण विधि द्वारा बहुपद का गुणनखंडन करने के लिए, आपको: क) बहुपद के सदस्यों को ऐसे समूहों में संयोजित करना होगा जिनका बहुपद के रूप में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो; बी) इस सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें)।
6) कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने के लिए, आपको ...... की आवश्यकता है?
(इस सामान्य गुणनखंड को खोजें; 2. इसे कोष्ठक से बाहर निकालें)।

7) एक बहुपद के गुणनखंड की कौन-सी विधियाँ आप जानते हैं?
(सामान्य गुणनखंड, समूहन विधि, संक्षिप्त गुणन सूत्र को ब्रैकेट करना)।

8) भिन्न को कम करने के लिए क्या आवश्यक है?
(एक अंश को कम करने के लिए, आपको अंश और हर को उनके सामान्य कारक से विभाजित करना होगा)।

III. गणितीय श्रुतलेख।

1. बीजीय भिन्नों को रेखांकित करें:

मैं विकल्प:

द्वितीय विकल्प:

1. क्या अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करना संभव है

मैं विकल्प:

द्वितीय विकल्प:

बहुपद के रूप में? अगर आप कल्पना कर सकते हैं?

3. अभिव्यक्ति के लिए कौन से अक्षर मान मान्य हैं:
मैं विकल्प:

द्वितीय विकल्प:
(एक्स -5) (एक्स + 7)।

4. एक अंश के साथ एक बीजीय भिन्न लिखिए
मैं विकल्प:
3x2.
द्वितीय विकल्प:
5y.
और हर

मैं विकल्प:
एक्स (एक्स + 3)।
द्वितीय विकल्प:
वाई 2 (वाई+7)।
और इसे छोटा करें।

चतुर्थ। विषय का समेकन: “बीजगणितीय अंश। भिन्नों की कमी ":

1. पाठ्यपुस्तक के अनुसार और ब्लैकबोर्ड पर काम करें।

भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड करें और इसे कम करें।
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2. कार्ड पर समूहों में काम करें - खेल "गणितीय टूर्नामेंट"।

(खेल के लिए कार्य - "परिशिष्ट 1"।)
इस विषय पर उदाहरणों को हल करने में कौशल का समेकन और परीक्षण एक टूर्नामेंट के रूप में किया जाता है। कक्षा को समूहों में विभाजित किया जाता है और उन्हें कार्ड (विभिन्न स्तरों के कार्ड) पर कार्यों की पेशकश की जाती है।
द्वारा कुछ समय, प्रत्येक छात्र को अपनी टीम के कार्यों का समाधान एक नोटबुक में लिखना चाहिए और उन्हें समझाने में सक्षम होना चाहिए।
टीम के भीतर परामर्श की अनुमति है (वे कप्तान द्वारा संचालित किए जाते हैं)।
फिर टूर्नामेंट शुरू होता है: प्रत्येक टीम को दूसरों को चुनौती देने का अधिकार है, लेकिन केवल एक बार। जैसे, पहली टीम का कप्तान दूसरी टीम के छात्रों को टूर्नामेंट में भाग लेने के लिए बुलाता है; दूसरी टीम का कप्तान भी ऐसा ही करता है, वे बोर्ड में जाते हैं, कार्डों का आदान-प्रदान करते हैं और कार्यों को हल करते हैं, आदि।

3. स्तरों द्वारा स्वतंत्र कार्य (ए, बी, सी)

"उपदेशात्मक सामग्री" एल.आई. ज़्वाविच एट अल।, पी। 95, पी -52। (सभी छात्रों के पास किताब है)
लेकिन . №1: मैं विकल्प -1) ए, बी; 2) ए, सी; 5) क.
II विकल्प -1) सी, डी; 2) बी, डी, 5) सी।
बी . №2: विकल्प I - ए।
विकल्प II - बी।
पर . №3: विकल्प I - ए।
विकल्प II - बी।

वी नतीजा।

1. टेस्ट (आपसी सत्यापन)।
(परीक्षण के लिए कार्य - "परिशिष्ट 2"।)
(प्रत्येक छात्र के लिए कार्ड पर, विकल्पों के अनुसार)

VI. गृहकार्य।

1) "डीएम" पेज 95 नंबर 1. (3,4,6);
2) नंबर 447 (सम);
3) 24, §19 - §23 दोहराएं।

भिन्न को सरल रूप में लाने के लिए भिन्नों को घटाना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, व्यंजक को हल करने के परिणामस्वरूप प्राप्त उत्तर में।

भिन्नों की कमी, परिभाषा और सूत्र।

अंश कमी क्या है? अंश को कम करने का क्या अर्थ है?

परिभाषा:
अंश में कमीअंश और हर का एक ही भिन्न में विभाजन है सकारात्मक संख्यानहीं शून्यऔर इकाई। कमी के परिणामस्वरूप, एक छोटे अंश और हर के साथ एक अंश प्राप्त होता है, जो पिछले अंश के बराबर होता है।

अंश कमी सूत्रमुख्य संपत्ति परिमेय संख्या.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

एक उदाहरण पर विचार करें:
भिन्न को कम करें \(\frac(9)(15)\)

फेसला:
हम भिन्न को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित कर सकते हैं और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को कम कर सकते हैं।

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

उत्तर: घटाने के बाद हमें भिन्न \(\frac(3)(5)\) मिलता है। परिमेय संख्याओं के मुख्य गुण के अनुसार, प्रारंभिक और परिणामी भिन्न बराबर होते हैं।

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

अंशों को कैसे कम करें? एक अंश को एक अपरिवर्तनीय रूप में घटाना।

परिणामस्वरूप हमें एक इरेड्यूसेबल भिन्न प्राप्त करने के लिए, हमें चाहिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें (gcd)भिन्न के अंश और हर के लिए।

GCD को खोजने के कई तरीके हैं, हम उदाहरण में संख्याओं के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में उपयोग करेंगे।

अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त करें \(\frac(48)(136)\)।

फेसला:
जीसीडी (48, 136) खोजें। आइए संख्या 48 और 136 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
जीसीडी(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \बार 2 \बार्स 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \बार 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ फ़्रैक(6)(17)\)

एक अंश को एक अपरिवर्तनीय रूप में कम करने का नियम।

1. अंश और हर के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें।
2. एक इरेड्यूसबल भिन्न प्राप्त करने के लिए आपको विभाजन के परिणामस्वरूप अंश और हर को सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण:
भिन्न \(\frac(152)(168)\) को कम करें।

फेसला:
GCD(152, 168) खोजें। आइए संख्याओं 152 और 168 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
जीसीडी(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

उत्तर: \(\frac(19)(21)\) एक इरेड्यूसबल भिन्न है।

एक अनुचित अंश का संक्षिप्त नाम।

कैसे काटें अनुचित अंश?
उचित और अनुचित भिन्नों के लिए भिन्नों को कम करने के नियम समान हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें:
अनुचित भिन्न \(\frac(44)(32)\) को कम करें।

फेसला:
आइए अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। और फिर हम सामान्य कारकों को कम करते हैं।

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2) \times 11)(\color(red) (2 \times 2) \times 2 \बार 2 \बार 2 )=\frac(11)(2 \बार 2 \बार 2)=\frac(11)(8)\)

मिश्रित अंशों की कमी।

मिश्रित भिन्न सामान्य भिन्नों के समान नियमों का पालन करते हैं। फर्क सिर्फ इतना है कि हम कर सकते हैं पूरे हिस्से को न छुएं, लेकिन आंशिक हिस्से को कम करेंया मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें, घटाएं और वापस उचित भिन्न में बदलें।

एक उदाहरण पर विचार करें:
मिश्रित भिन्न \(2\frac(30)(45)\) को कम करें।

फेसला:
आइए इसे दो तरीकों से हल करें:
पहला तरीका:
हम भिन्नात्मक भाग को अभाज्य गुणनखंडों में लिखेंगे, और हम पूर्णांक भाग को स्पर्श नहीं करेंगे।

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ फ़्रैक(2)(3)\)

दूसरा तरीका:
पहले हम एक अनुचित भिन्न में अनुवाद करते हैं, और फिर हम इसे प्रमुख कारकों में लिखते हैं और इसे कम करते हैं। परिणामी अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times) 3) \बार 2 \बार 2)(3 \बार \रंग(लाल) (3 \बार 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

संबंधित सवाल:
क्या अंशों को जोड़ने या घटाने पर भिन्नों को घटाया जा सकता है?
उत्तर: नहीं, आपको पहले नियमों के अनुसार भिन्नों को जोड़ना या घटाना होगा, और उसके बाद ही घटाना होगा। एक उदाहरण पर विचार करें:

व्यंजक का मूल्यांकन करें \(\frac(50+20-10)(20)\) ।

फेसला:
वे अक्सर काटने की गलती करते हैं वही नंबरहमारे मामले में अंश और हर में, संख्या 20 है, लेकिन जब तक आप जोड़ और घटाव नहीं करते हैं, तब तक उन्हें कम नहीं किया जा सकता है।

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

आप भिन्न को किस संख्या से घटा सकते हैं?
उत्तर: आप अंश को सबसे बड़े सामान्य भाजक या अंश और हर के सामान्य भाजक से घटा सकते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(100)(150)\)।

आइए संख्या 100 और 150 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
सबसे बड़ा सामान्य भाजक gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 . की संख्या होगी

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

हमें अपरिमेय अंश \(\frac(2)(3)\) मिला है।

लेकिन जीसीडी द्वारा विभाजित करना हमेशा आवश्यक नहीं होता है, एक अपरिवर्तनीय अंश की हमेशा आवश्यकता नहीं होती है, आप अंश और हर के एक साधारण भाजक द्वारा अंश को कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 100 और 150 में एक उभयनिष्ठ भाजक है। आइए भिन्न \(\frac(100)(150)\) को 2 से कम करें।

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \बार 75)=\frac(50)(75)\)

हमें घटा हुआ अंश \(\frac(50)(75)\) मिला है।

क्या अंशों को कम किया जा सकता है?
उत्तर: आप उन भिन्नों को कम कर सकते हैं जिनमें अंश और हर का एक उभयनिष्ठ भाजक होता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(4)(8)\). संख्या 4 और 8 में एक संख्या है जिससे वे दोनों इस संख्या 2 से विभाज्य हैं। इसलिए, ऐसी भिन्न को संख्या 2 से घटाया जा सकता है।

उदाहरण:
दो भिन्नों \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(8)(12)\) की तुलना करें।

ये दोनों अंश बराबर हैं। भिन्न \(\frac(8)(12)\) पर विस्तार से विचार करें:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \गुना 1=\frac(2)(3)\)

यहाँ से हम पाते हैं, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

दो भिन्न समान होते हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अंश और हर के एक सामान्य कारक द्वारा दूसरे अंश को कम करके प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण:
यदि संभव हो तो निम्नलिखित भिन्नों को कम करें: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

फेसला:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \गुना 3 \गुना 3)(13)=\frac(18)(13)\)
बी) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
सी) \(\frac(17)(100)\) इरेड्यूसबल अंश
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ टाइम्स 5)=\frac(2)(5)\)

प्रथम स्तर

अभिव्यक्ति रूपांतरण। विस्तृत सिद्धांत (2019)

अभिव्यक्ति रूपांतरण

अक्सर हम यह सुनते हैं एक अप्रिय वाक्यांश: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।" आमतौर पर, इस मामले में, हमारे पास इस तरह का कोई राक्षस होता है:

"हाँ, बहुत आसान है," हम कहते हैं, लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।

अब मैं तुम्हें सिखाऊंगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो। इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को (सिर्फ!) साधारण संख्या(हाँ, उन पत्रों के साथ नरक में)।

लेकिन इससे पहले कि आप इस पाठ को शुरू करें, आपको भिन्नों और गुणनखंड बहुपदों को संभालने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, पहले, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।

पढ़ना? अगर हां, तो आप तैयार हैं।

बुनियादी सरलीकरण संचालन

अब हम उन मुख्य तकनीकों का विश्लेषण करेंगे जिनका प्रयोग व्यंजकों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

उनमें से सबसे सरल है

1. समान लाना

समान क्या हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में पढ़ा था, जब पहली बार गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर दिखाई देते थे। समान अक्षर वाले भाग वाले शब्द (मोनोमियल) समान हैं। उदाहरण के लिए, कुल समान शब्द- यह और।

याद आया?

समान पदों को लाने का अर्थ है कई समान पदों को एक दूसरे से जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।

लेकिन हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - तुम पूछो।

यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करते हैं कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, पत्र एक कुर्सी है। फिर अभिव्यक्ति क्या है? दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .

अब इस अभिव्यक्ति का प्रयास करें:

भ्रमित न होने के लिए, आइए अलग अक्षरविभिन्न चीजों का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, - यह (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - यह एक मेज है। फिर:

कुर्सियाँ मेजें कुर्सी मेज़ कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेज़

वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों. उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और वह बराबर है।

तो, समान लाने का नियम:

उदाहरण:

समान लाओ:

उत्तर:

2. (और समान हैं, इसलिए, इन शब्दों में एक ही अक्षर भाग है)।

2. गुणनखंड

यह आमतौर पर सबसे अधिक है मुख्य हिस्साअभिव्यक्तियों को सरल बनाने में। आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति को गुणनखंडित किया जाना चाहिए, अर्थात उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यह भिन्नों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: आखिरकार, एक अंश को कम करने के लिए, अंश और हर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

आपने "" विषय में व्यंजकों के गुणनखंडन की विस्तृत विधियों का अध्ययन किया है, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा है। ऐसा करने के लिए, कुछ हल करें उदाहरण(गुणन करने के लिए):

समाधान:

3. अंश में कमी।

खैर, अंश और हर के एक हिस्से को काटकर अपने जीवन से बाहर निकालने से अच्छा और क्या हो सकता है?

यही संक्षेप की सुंदरता है।

यह आसान है:

यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें घटाया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।

यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:

यानी कमी ऑपरेशन का सार यह है कि हम भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही व्यंजक) से विभाजित करते हैं।

अंश को कम करने के लिए, आपको चाहिए:

1) अंश और हर खंड करना

2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें हटाया जा सकता है।

सिद्धांत, मुझे लगता है, स्पष्ट है?

मैं एक की ओर ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं सामान्य गलतीकम करते समय। हालाँकि यह विषय सरल है, लेकिन बहुत से लोग सब कुछ गलत करते हैं, यह महसूस नहीं करते हैं कट गया- मतलब है विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या से।

यदि अंश या हर योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं है।

उदाहरण के लिए: आपको सरल बनाने की आवश्यकता है।

कुछ ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है।

एक और उदाहरण: कम करें।

"सबसे चतुर" यह करेगा:।

मुझे बताओ यहाँ क्या गलत है? ऐसा प्रतीत होता है: - यह एक गुणक है, इसलिए आप कम कर सकते हैं।

लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन अंश स्वयं समग्र रूप से कारकों में विघटित नहीं होता है।

यहाँ एक और उदाहरण है:।

यह अभिव्यक्ति कारकों में विघटित हो जाती है, जिसका अर्थ है कि आप कम कर सकते हैं, अर्थात अंश और हर को विभाजित कर सकते हैं, और फिर:

आप तुरंत विभाजित कर सकते हैं:

ऐसी गलतियों से बचने के लिए याद रखें आसान तरीकायह निर्धारित करने के लिए कि कोई अभिव्यक्ति कारक है या नहीं:

व्यंजक के मान की गणना करते समय अंतिम रूप से किया जाने वाला अंकगणितीय ऑपरेशन "मुख्य" है। अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, और व्यंजक के मान की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक गुणनफल होता है (व्यंजक गुणनखंडों में विघटित होता है)। यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका अर्थ है कि व्यंजक गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए कम नहीं किया जा सकता)।

इसे ठीक करने के लिए, इसे स्वयं कुछ हल करें उदाहरण:

उत्तर:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने के लिए नहीं गए और? यह अभी भी इस तरह की इकाइयों को "कम" करने के लिए पर्याप्त नहीं था:

कारक बनाने के लिए पहला कदम होना चाहिए:

4. भिन्नों का जोड़ और घटाव। भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना।

जोड़ना और घटाना साधारण अंश- ऑपरेशन सर्वविदित है: हम एक सामान्य भाजक की तलाश कर रहे हैं, हम प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं। चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और सह अभाज्य हैं, अर्थात उनके समान गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का एलसीएम उनके उत्पाद के बराबर है। यह आम भाजक होगा:

2. यहाँ सार्व भाजक है:

3. पहली बात यहाँ मिश्रित भिन्नउन्हें गलत में बदल दें, और फिर - सामान्य योजना के अनुसार:

उदाहरण के लिए, भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल दूसरी बात है:

आइए सरल शुरू करें:

क) हर में अक्षर नहीं होते हैं

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक अंशों के समान है: हम एक सामान्य भाजक पाते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं:

अब अंश में आप समान, यदि कोई हों, ला सकते हैं और उनका गुणनखंड कर सकते हैं:

इसे स्वयं आज़माएं:

b) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य भाजक खोजने का सिद्धांत याद रखें:

सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखते हैं;

और उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करें, सामान्य नहीं।

हर के सामान्य कारकों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें सरल कारकों में विघटित करते हैं:

हम सामान्य कारकों पर जोर देते हैं:

अब हम सामान्य गुणनखंडों को एक बार लिखते हैं और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारक जोड़ते हैं:

यह सामान्य भाजक है।

आइए पत्रों पर वापस जाएं। भाजक ठीक उसी तरह दिए गए हैं:

हम भाजक को कारकों में विघटित करते हैं;

सामान्य (समान) गुणक निर्धारित करें;

सभी सामान्य कारकों को एक बार लिख लें;

हम उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करते हैं, सामान्य नहीं।

तो, क्रम में:

1) हर को कारकों में विघटित करें:

2) सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (रेखांकित नहीं) कारकों से गुणा करें:

तो आम भाजक यहाँ है। पहले अंश से गुणा किया जाना चाहिए, दूसरा - द्वारा:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान कारक देखते हैं, केवल सब कुछ के साथ विभिन्न संकेतक. आम भाजक होगा:

सीमा तक

सीमा तक

सीमा तक

डिग्री में।

आइए कार्य को जटिल करें:

भिन्नों को एक ही भाजक कैसे बनाते हैं?

आइए एक भिन्न का मूल गुण याद रखें:

यह कहीं नहीं कहा गया है कि एक भिन्न के अंश और हर में से एक ही संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

अपने लिए देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए, . क्या सीखा है?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप एक सामान्य हर में भिन्न लाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन पाने के लिए आपको गुणा करने की क्या ज़रूरत है?

यहां पर और गुणा करें। और इससे गुणा करें:

जिन व्यंजकों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें "प्राथमिक कारक" कहा जाएगा। उदाहरण के लिए, एक प्राथमिक कारक है। - भी। लेकिन - नहीं: यह कारकों में विघटित हो जाता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही "" विषय में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

तो, प्राथमिक कारक जिसमें आप अक्षरों के साथ अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, एक अनुरूप है प्रधान कारणजिसमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनके साथ भी ऐसा ही करेंगे।

हम देखते हैं कि दोनों हरों में एक गुणनखंड होता है। यह सत्ता में आम भाजक के पास जाएगा (याद रखें क्यों?)

गुणक प्राथमिक है, और उनके पास यह सामान्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

फेसला:

पैनिक में इन हरों को गुणा करने से पहले, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे फ़ैक्टर किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

बढ़िया! फिर:

एक और उदाहरण:

फेसला:

हमेशा की तरह, हम भाजक का गुणनखंड करते हैं। पहले हर में, हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा लगता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप करीब से देखें, तो वे पहले से ही बहुत समान हैं ... और सच्चाई यह है:

तो चलिए लिखते हैं:

यही है, यह इस तरह निकला: ब्रैकेट के अंदर, हमने शर्तों की अदला-बदली की, और साथ ही, अंश के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल गया। ध्यान दें, आपको ऐसा अक्सर करना होगा।

अब हम एक सामान्य भाजक को लाते हैं:

समझ गया? अब चलो जाँच करते हैं।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी चाहिए - क्यूब्स का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे भिन्न के हर में "योग का वर्ग" सूत्र नहीं होता है! योग का वर्ग इस तरह दिखेगा:

A योग का तथाकथित अधूरा वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोगुना गुणनफल। योग का अधूरा वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

क्या होगा यदि पहले से ही तीन अंश हैं?

हाँ वही! सबसे पहले इसे बनाते हैं ताकि अधिकतम राशिहर में कारक समान थे:

ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर के चिन्हों को बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिन्ह बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह फिर से उलट जाता है। नतीजतन, वह (अंश के सामने का चिन्ह) नहीं बदला है।

हम सामान्य हर में पहले हर को पूर्ण रूप से लिखते हैं, और फिर हम इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक अंश हैं)। यानी यह इस प्रकार है:

हम्म ... भिन्नों के साथ, यह स्पष्ट है कि क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह आसान है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि ड्यूस एक अंश बन जाए! याद रखें: एक अंश एक विभाजन ऑपरेशन है (अंश को हर से विभाजित किया जाता है, यदि आप अचानक भूल जाते हैं)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस मामले में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, लेकिन एक अंश में बदल जाएगी:

बिल्कुल क्या चाहिए!

5. भिन्नों का गुणा और भाग।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल है, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण है:

प्रक्रिया

मतगणना की प्रक्रिया क्या है संख्यात्मक अभिव्यक्ति? याद रखें, ऐसी अभिव्यक्ति के मूल्य को देखते हुए:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिलाता हूं।

डिग्री की गणना करने के लिए पहला कदम है।

दूसरा गुणन और भाग है। यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हैं, तो आप उन्हें किसी भी क्रम में कर सकते हैं।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर से, किसी भी क्रम में।

लेकिन: कोष्ठक की अभिव्यक्ति का मूल्यांकन क्रम से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

क्या होगा यदि कोष्ठक के अंदर अन्य कोष्ठक हैं? अच्छा, आइए सोचते हैं: कोष्ठक के अंदर कुछ व्यंजक लिखे गए हैं। किसी व्यंजक का मूल्यांकन करते समय सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सब कुछ।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए क्रियाओं का क्रम इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूँ):

ठीक है, यह सब आसान है।

लेकिन यह अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति के समान नहीं है, है ना?

नहीं, यह वही है! केवल इसके बजाय अंकगणितीय आपरेशनसआपको बीजगणित करने की आवश्यकता है, अर्थात्, पिछले भाग में वर्णित क्रियाएं: समान लाना, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को घटाना, इत्यादि। फर्क सिर्फ इतना है कि बहुपदों को फैक्टरिंग करने की क्रिया होगी (अक्सर हम इसका इस्तेमाल भिन्नों के साथ काम करते समय करते हैं)। बहुधा, गुणनखंडन के लिए, आपको i का उपयोग करना होगा या सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य किसी व्यंजक को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले हम कोष्ठक में व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और सरल बनाना असंभव है, यहाँ सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी इसका अर्थ याद है?)

2) हमें मिलता है:

भिन्नों का गुणन: क्या आसान हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

यही बात है। कुछ भी जटिल नहीं है, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान देखें।

सबसे पहले, आइए प्रक्रिया को परिभाषित करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, दो भिन्नों के बजाय, एक निकलेगा। फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, हम परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ते हैं। मैं योजनाबद्ध रूप से चरणों की संख्या दूंगा:

अब मैं वर्तमान क्रिया को लाल रंग से रंगते हुए पूरी प्रक्रिया दिखाऊंगा:

अंत में, मैं आपको दो उपयोगी टिप्स दूंगा:

1. यदि समान हैं, तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे पास जो भी क्षण हैं, उन्हें तुरंत लाने की सलाह दी जाती है।

2. भिन्नों को कम करने के लिए भी यही होता है: जैसे ही कम करने का अवसर आता है, इसका उपयोग किया जाना चाहिए। अपवाद वे अंश हैं जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि उनके पास है एक ही भाजक, तो कटौती को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आप स्वयं हल कर सकते हैं:

और शुरुआत में ही वादा किया था:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना किया है, तो विचार करें कि आपने इस विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने के लिए!

अभिव्यक्ति रूपांतरण। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

• समान लाना: समान पदों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
• गुणनखंडन:कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना, आवेदन करना आदि।
• अंश में कमी: किसी भिन्न के अंश और हर को उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
  1) अंश और हर खंड करना
  2) यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हैं, तो उन्हें काट दिया जा सकता है।

  महत्वपूर्ण: केवल गुणक कम किए जा सकते हैं!

• भिन्नों का जोड़ और घटाव:
  ;
• भिन्नों का गुणन और विभाजन:
  ;

इस लेख में, हम पर ध्यान दिया जाएगा बीजीय भिन्नों की कमी. सबसे पहले, आइए जानें कि "बीजीय अंश की कमी" शब्द का क्या अर्थ है, और पता करें कि क्या एक बीजीय अंश हमेशा कम करने योग्य होता है। अगला, हम एक नियम देते हैं जो हमें इस परिवर्तन को करने की अनुमति देता है। अंत में, समाधान पर विचार करें विशिष्ट उदाहरणजो आपको प्रक्रिया की सभी सूक्ष्मताओं को समझने की अनुमति देगा।

पृष्ठ नेविगेशन।

बीजीय भिन्न को कम करने का क्या अर्थ है?

पढ़कर हमने उनकी कमी के बारे में बात की। हम इसके अंश और हर के सार्व गुणनखंड से भाग कहते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 30/54 को 6 से घटाया जा सकता है (अर्थात, इसके अंश और हर 6 से विभाजित), जो हमें भिन्न 5/9 तक ले जाएगा।

एक बीजीय अंश की कमी को एक समान क्रिया के रूप में समझा जाता है। बीजीय अंश कम करेंइसके अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करना है। लेकिन यदि किसी साधारण भिन्न के अंश और हर का सार्व गुणनखंड केवल एक संख्या हो सकता है, तो एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का उभयनिष्ठ गुणनखंड एक बहुपद, विशेष रूप से, एक एकपदी या एक संख्या हो सकता है।

उदाहरण के लिए, एक बीजीय भिन्न को संख्या 3 से घटाया जा सकता है, जो भिन्न देता है . चर x को कम करना भी संभव है, जिसके परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति होगी . मूल बीजीय भिन्न को एकपदी 3 x, साथ ही किसी भी बहुपद x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y या 3 x 2 +6 x y द्वारा घटाया जा सकता है।

एक बीजीय भिन्न को कम करने का अंतिम लक्ष्य भिन्न को अधिक प्राप्त करना है अराल तरीका, में सबसे अच्छा मामला- एक अपरिवर्तनीय अंश।

क्या कोई बीजीय भिन्न कमी के अधीन है?

हम जानते हैं कि साधारण भिन्नों को उप-विभाजित किया जाता है। इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंसअंश और हर में एकता के अलावा अन्य सामान्य कारक नहीं हैं, इसलिए, वे कमी के अधीन नहीं हैं।

बीजीय भिन्नों में सामान्य अंश और हर कारक हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं। सामान्य कारकों की उपस्थिति में, बीजीय अंश को कम करना संभव है। यदि कोई सामान्य कारक नहीं हैं, तो इसकी कमी के माध्यम से बीजीय अंश का सरलीकरण असंभव है।

पर सामान्य मामलापर उपस्थितिबीजीय भिन्न, यह निर्धारित करना काफी कठिन है कि क्या इसकी कमी करना संभव है। निस्संदेह, कुछ मामलों में अंश और हर के सामान्य गुणनखंड स्पष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का एक सामान्य गुणनखंड 3 होता है। यह देखना भी आसान है कि एक बीजीय भिन्न को x, y या तुरंत x·y से घटाया जा सकता है। लेकिन बहुत अधिक बार, बीजीय अंश के अंश और हर का सामान्य कारक तुरंत दिखाई नहीं देता है, और इससे भी अधिक बार, यह बस मौजूद नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक भिन्न को x−1 से कम किया जा सकता है, लेकिन यह सामान्य कारक स्पष्ट रूप से संकेतन में मौजूद नहीं है। और एक बीजीय भिन्न कम नहीं किया जा सकता क्योंकि इसके अंश और हर में सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

सामान्य तौर पर, बीजीय अंश की सिकुड़न का प्रश्न बहुत कठिन होता है। और कभी-कभी यह पता लगाने की तुलना में कि क्या यह अंश प्रारंभिक रूप से कम किया जा सकता है, अपने मूल रूप में बीजीय अंश के साथ काम करके किसी समस्या को हल करना आसान होता है। लेकिन फिर भी, ऐसे परिवर्तन हैं जो कुछ मामलों में, अपेक्षाकृत कम प्रयास के साथ, अंश और हर के सामान्य कारकों को खोजने के लिए, यदि कोई हो, या यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि मूल बीजगणितीय अंश इरेड्यूसेबल है। इस जानकारी का खुलासा अगले पैराग्राफ में किया जाएगा।

बीजीय भिन्न में कमी का नियम

पिछले पैराग्राफ की जानकारी आपको निम्नलिखित को स्वाभाविक रूप से समझने की अनुमति देती है बीजीय भिन्न में कमी नियम, जिसमें दो चरण होते हैं:

• सबसे पहले, मूल भिन्न के अंश और हर के उभयनिष्ठ गुणनखंड पाए जाते हैं;
• यदि कोई हो, तो इन कारकों द्वारा कमी की जाती है।

घोषित नियम के इन चरणों के स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

ज़्यादातर सुविधाजनक तरीकामूल बीजीय भिन्न के अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंडन करना सामान्य खोज है। इस मामले में, अंश और हर के सामान्य कारक तुरंत दिखाई देते हैं, या यह स्पष्ट हो जाता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं।

यदि कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बीजीय भिन्न अपरिमेय है। यदि सामान्य कारक पाए जाते हैं, तो दूसरे चरण में वे कम हो जाते हैं। परिणाम एक सरल रूप का एक नया अंश है।

बीजीय भिन्नों को घटाने का नियम एक बीजीय भिन्न के मुख्य गुण पर आधारित होता है, जिसे समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां a, b और c कुछ बहुपद हैं, और b और c शून्येतर नहीं हैं। पहले चरण में, मूल बीजीय अंश को उस रूप में घटाया जाता है, जिसमें से सामान्य कारक c दिखाई देता है, और दूसरे चरण में, कमी का प्रदर्शन किया जाता है - अंश में संक्रमण।

आइए इस नियम का उपयोग करके उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। उन पर, हम उन सभी संभावित बारीकियों का विश्लेषण करेंगे जो बीजीय अंश के अंश और हर को कारकों और बाद में कमी में विघटित करते समय उत्पन्न होती हैं।

विशिष्ट उदाहरण

पहले आपको बीजीय अंशों की कमी के बारे में कहना होगा, जिनमें से अंश और हर समान हैं। इस तरह के अंश इसमें शामिल चरों के संपूर्ण ODZ पर एक समान होते हैं, उदाहरण के लिए,
आदि।

अब यह याद रखने में कोई दिक्कत नहीं है कि साधारण अंशों की कमी कैसे की जाती है - आखिरकार, वे बीजीय अंशों का एक विशेष मामला हैं। एक साधारण भिन्न के अंश और हर में प्राकृतिक संख्याएँ, जिसके बाद सामान्य गुणनखंड कम हो जाते हैं (यदि कोई हो)। उदाहरण के लिए, . समान अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल को अंशों के रूप में लिखा जा सकता है, और जब घटाया जाता है, तो उपयोग किया जाता है। इस मामले में, समाधान इस तरह दिखेगा: यहाँ हमने अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 2 3 से विभाजित किया है। या, अधिक स्पष्टता के लिए, गुणन और भाग के गुणों के आधार पर, समाधान रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

बिल्कुल समान सिद्धांतों के अनुसार, अंश और हर में बीजीय अंशों की कमी की जाती है, जिनमें पूर्णांक गुणांक वाले मोनोमियल होते हैं।

उदाहरण।

बीजीय अंश कम करें .

फेसला।

आप मूल बीजीय भिन्न के अंश और हर को साधारण गुणनखंडों और चरों के गुणनफल के रूप में निरूपित कर सकते हैं और फिर घटाव कर सकते हैं:

लेकिन समाधान को शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति के रूप में लिखना अधिक तर्कसंगत है:

जवाब:

.

जहां तक ​​अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक वाले बीजीय अंशों की कमी के लिए, आप दो काम कर सकते हैं: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग-अलग विभाजित करें, या पहले अंश और हर को कुछ से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। प्राकृतिक संख्या. हमने लेख में अंतिम परिवर्तन के बारे में बात की, एक बीजीय अंश को एक नए हर में लाया, यह एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति के कारण किया जा सकता है। आइए एक उदाहरण के साथ इससे निपटें।

उदाहरण।

अंश में कमी करें।

फेसला।

आप अंश को इस तरह कम कर सकते हैं: .

और पहले इन गुणांकों के हर से, यानी LCM(5, 10)=10 से अंश और हर को गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाना संभव था। इस मामले में हमारे पास है .

जवाब:

.

आप बीजीय भिन्नों पर जा सकते हैं सामान्य दृष्टि से, जिसके अंश और हर में संख्याएँ और एकपदी, और बहुपद दोनों हो सकते हैं।

इस तरह के अंशों को कम करते समय, मुख्य समस्या यह है कि अंश और हर का सामान्य कारक हमेशा दिखाई नहीं देता है। इसके अलावा, यह हमेशा मौजूद नहीं होता है। एक सामान्य कारक खोजने के लिए या यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह मौजूद नहीं है, आपको बीजीय अंश के अंश और हर का गुणनखंड करना होगा।

उदाहरण।

कम करना तर्कसंगत अंश .

फेसला।

ऐसा करने के लिए, हम अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करते हैं। आइए कोष्ठकों से शुरू करें: . जाहिर है, कोष्ठक के भावों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है