वीडियो पाठ्यक्रम "गेट ए ए" में वे सभी विषय शामिल हैं जिनकी आपको आवश्यकता है सफल वितरण 60-65 अंक के लिए गणित में उपयोग करें। पूरी तरह से सभी कार्य 1-13 प्रोफाइल परीक्षाअंक शास्त्र। गणित में बेसिक USE पास करने के लिए भी उपयुक्त है। यदि आप 90-100 अंकों के साथ परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और बिना किसी गलती के हल करना होगा!

कक्षा 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा पर 70 से अधिक अंक है, और न तो सौ अंकों का छात्र और न ही कोई मानवतावादी उनके बिना कर सकता है।

सभी आवश्यक सिद्धांत। त्वरित तरीकेसमाधान, जाल और रहस्यों का उपयोग करें. बैंक ऑफ FIPI के भाग 1 के सभी प्रासंगिक कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से USE-2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।

पाठ्यक्रम में शामिल हैं 5 बड़े विषय, 2.5 घंटे प्रत्येक। प्रत्येक विषय खरोंच से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों परीक्षा कार्य। पाठ कार्यऔर संभाव्यता सिद्धांत। सरल और याद रखने में आसान समस्या समाधान एल्गोरिदम। ज्यामिति। लिखित, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के USE कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। मुश्किल समाधान, उपयोगी चीट शीट, विकास स्थानिक कल्पना. खरोंच से त्रिकोणमिति - कार्य करने के लिए 13. रटना के बजाय समझना। दृश्य व्याख्या जटिल अवधारणाएं. बीजगणित। जड़ें, शक्तियां और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। समाधान के लिए आधार चुनौतीपूर्ण कार्यपरीक्षा के 2 भाग।

बहुतों को हल करते समय गणित की समस्याये , विशेष रूप से वे जो कक्षा 10 से पहले होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम जो लक्ष्य तक ले जाएगा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। ऐसी समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और वर्ग असमानताएं, भिन्नात्मक समीकरणऔर समीकरण जो द्विघात को कम करते हैं। सिद्धांत सफल समाधानउल्लिखित कार्यों में से प्रत्येक इस प्रकार है: यह स्थापित करना आवश्यक है कि किस प्रकार का कार्य हल किया जा रहा है, क्रियाओं के आवश्यक अनुक्रम को याद रखें जो आगे बढ़ेंगे वांछित परिणाम, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें।

जाहिर है, किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण का प्रकार कितना सही है, इसके समाधान के सभी चरणों का क्रम कितना सही है। बेशक, प्रदर्शन करने के लिए कौशल होना आवश्यक है समान परिवर्तनऔर कंप्यूटिंग।

एक अलग स्थिति होती है त्रिकोणमितीय समीकरण।इस तथ्य को स्थापित करना कठिन नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं का क्रम निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाती हैं।

द्वारा दिखावटसमीकरण कभी-कभी इसके प्रकार को निर्धारित करना मुश्किल होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों में से सही को चुनना लगभग असंभव है।

समाधान करना त्रिकोणमितीय समीकरणतुम्हें कोशिश करनी चाहिए:

1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएं;
2. समीकरण को "समान कार्यों" में लाएं;
3. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें, आदि।

विचार करना त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

I. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी

समाधान योजना

स्टेप 1।अभिव्यक्त करना त्रिकोणमितीय फलनज्ञात घटकों के माध्यम से।

चरण दोसूत्रों का उपयोग करके फ़ंक्शन तर्क खोजें:

कॉस एक्स = ए; x = ±arccos a + 2πn, n Z।

पाप एक्स = ए; x \u003d (-1) n चापएक + n, n Z में।

तन एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कटग ए + πn, एन Є जेड।

सीटीजी एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कसीटीजी ए + πn, एन Є जेड।

चरण 3एक अज्ञात चर खोजें।

उदाहरण।

2 cos(3x - /4) = -√2।

समाधान।

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x - /4 = ± (π - π/4) + 2πn, n Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Z;

एक्स = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, एन Є जेड।

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.

द्वितीय. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

समाधान योजना

स्टेप 1।समीकरण को में लाओ बीजीय रूपत्रिकोणमितीय कार्यों में से एक के संबंध में।

चरण दोपरिणामी फलन को चर t द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, t पर प्रतिबंध लागू करें)।

चरण 3परिणामी बीजीय समीकरण लिखिए और हल कीजिए।

चरण 4एक रिवर्स प्रतिस्थापन करें।

चरण 5सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

समाधान।

1) 2(1 - पाप 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) माना sin (x/2) = t, जहाँ |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

टी = 1 या ई = -3/2 शर्त को पूरा नहीं करता |t| 1.

4) पाप (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

एक्स = + 4πn, एन Є जेड।

उत्तर: x = + 4πn, n Z।

III. समीकरण क्रम कमी विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।बदलने के दिया गया समीकरणइसके लिए कमी सूत्रों का उपयोग करके रैखिक:

पाप 2 x \u003d 1/2 (1 - क्योंकि 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)।

चरण दो I और II विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

cos2x + cos2x = 5/4।

समाधान।

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4।

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

उत्तर: x = ±π/6 + n, n Z.

चतुर्थ। सजातीय समीकरण

समाधान योजना

स्टेप 1।इस समीकरण को रूप में लाओ

a) a sin x + b cos x = 0 ( सजातीय समीकरणप्रथम श्रेणी)

या देखने के लिए

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण दोसमीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें

ए) कॉस एक्स ≠ 0;

बी) cos 2 x 0;

और tg x के लिए समीकरण प्राप्त करें:

ए) ए टीजी एक्स + बी = 0;

बी) ए टीजी 2 एक्स + बी आर्कटीजी एक्स + सी = 0।

चरण 3ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

समाधान।

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

पाप 2 x + 3पाप x cos x -4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) टीजी 2 एक्स + 3 टीजी एक्स - 4 = 0।

3) माना tg x = t, तब

टी 2 + 3टी - 4 = 0;

टी = 1 या टी = -4, तो

टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4।

पहले समीकरण से x = /4 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -arctg 4 + k, k Z.

उत्तर: x = /4 + n, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।सभी प्रकार का उपयोग करना त्रिकोणमितीय सूत्र, इस समीकरण को I, II, III, IV विधियों द्वारा हल किए गए समीकरण में लाएं।

चरण दोज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

sinx + sin2x + sin3x = 0.

समाधान।

1) (पाप x + पाप 3x) + पाप 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) पाप 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;

पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Z; दूसरे से cos समीकरणएक्स = -1/2।

हमारे पास x = π/4 + πn/2, n Z; दूसरे समीकरण से x = ±(π - π/3) + 2πk, k Z।

नतीजतन, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

उत्तर: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता और कौशल बहुत हैं महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से काफी प्रयास की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के साथ स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं। इस तरह की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में कई ज्ञान और कौशल शामिल हैं जो त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करते समय हासिल किए जाते हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण लेते हैं महत्वपूर्ण स्थानसामान्य रूप से गणित और व्यक्तित्व विकास सिखाने की प्रक्रिया में।

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बहुतों को हल करते समय गणित की समस्याये, विशेष रूप से वे जो कक्षा 10 से पहले होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम जो लक्ष्य तक ले जाएगा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। इस तरह की समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और द्विघात असमानताएं, भिन्नात्मक समीकरण और समीकरण जो द्विघात समीकरणों को कम करते हैं। उल्लिखित कार्यों में से प्रत्येक के सफल समाधान का सिद्धांत इस प्रकार है: यह स्थापित करना आवश्यक है कि किस प्रकार की समस्या का समाधान किया जा रहा है, क्रियाओं के आवश्यक अनुक्रम को याद रखें जो वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें।

जाहिर है, किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण का प्रकार कितना सही है, इसके समाधान के सभी चरणों का क्रम कितना सही है। बेशक, इस मामले में, समान परिवर्तन और गणना करने के लिए कौशल होना आवश्यक है।

एक अलग स्थिति होती है त्रिकोणमितीय समीकरण।इस तथ्य को स्थापित करना कठिन नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं का क्रम निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाती हैं।

कभी-कभी समीकरण की उपस्थिति से इसके प्रकार का निर्धारण करना कठिन होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों में से सही को चुनना लगभग असंभव है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हमें प्रयास करना चाहिए:

1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएं;
2. समीकरण को "समान कार्यों" में लाएं;
3. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें, आदि।

विचार करना त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

I. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलन को ज्ञात घटकों के रूप में व्यक्त कीजिए।

चरण दोसूत्रों का उपयोग करके फ़ंक्शन तर्क खोजें:

कॉस एक्स = ए; x = ±arccos a + 2πn, n Z।

पाप एक्स = ए; x \u003d (-1) n चापएक + n, n Z में।

तन एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कटग ए + πn, एन Є जेड।

सीटीजी एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कसीटीजी ए + πn, एन Є जेड।

चरण 3एक अज्ञात चर खोजें।

उदाहरण।

2 cos(3x - /4) = -√2।

समाधान।

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x - /4 = ± (π - π/4) + 2πn, n Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Z;

एक्स = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, एन Є जेड।

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.

द्वितीय. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलनों में से किसी एक के संबंध में समीकरण को बीजीय रूप में लाएं।

चरण दोपरिणामी फलन को चर t द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, t पर प्रतिबंध लागू करें)।

चरण 3परिणामी बीजीय समीकरण लिखिए और हल कीजिए।

चरण 4एक रिवर्स प्रतिस्थापन करें।

चरण 5सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

समाधान।

1) 2(1 - पाप 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) माना sin (x/2) = t, जहाँ |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

टी = 1 या ई = -3/2 शर्त को पूरा नहीं करता |t| 1.

4) पाप (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

एक्स = + 4πn, एन Є जेड।

उत्तर: x = + 4πn, n Z।

III. समीकरण क्रम कमी विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।बिजली कटौती सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को एक रैखिक के साथ बदलें:

पाप 2 x \u003d 1/2 (1 - क्योंकि 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)।

चरण दो I और II विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

cos2x + cos2x = 5/4।

समाधान।

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4।

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

उत्तर: x = ±π/6 + n, n Z.

चतुर्थ। सजातीय समीकरण

समाधान योजना

स्टेप 1।इस समीकरण को रूप में लाओ

a) a sin x + b cos x = 0 (पहली डिग्री का समांगी समीकरण)

या देखने के लिए

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण दोसमीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें

ए) कॉस एक्स ≠ 0;

बी) cos 2 x 0;

और tg x के लिए समीकरण प्राप्त करें:

ए) ए टीजी एक्स + बी = 0;

बी) ए टीजी 2 एक्स + बी आर्कटीजी एक्स + सी = 0।

चरण 3ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

समाधान।

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

पाप 2 x + 3पाप x cos x -4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) टीजी 2 एक्स + 3 टीजी एक्स - 4 = 0।

3) माना tg x = t, तब

टी 2 + 3टी - 4 = 0;

टी = 1 या टी = -4, तो

टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4।

पहले समीकरण से x = /4 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -arctg 4 + k, k Z.

उत्तर: x = /4 + n, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।सभी प्रकार के त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को एक ऐसे समीकरण में लाएं जिसे I, II, III, IV विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।

चरण दोज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

sinx + sin2x + sin3x = 0.

समाधान।

1) (पाप x + पाप 3x) + पाप 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) पाप 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;

पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -1/2।

हमारे पास x = π/4 + πn/2, n Z; दूसरे समीकरण से x = ±(π - π/3) + 2πk, k Z।

नतीजतन, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

उत्तर: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता और कौशल बहुत हैं महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से काफी प्रयास की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के साथ स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं। इस तरह की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में कई ज्ञान और कौशल शामिल हैं जो त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करते समय हासिल किए जाते हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण सामान्य रूप से गणित पढ़ाने और व्यक्तित्व विकास की प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

क्या आपका कोई प्रश्न है? त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना नहीं जानते?
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अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरण

समीकरण

पाप एक्स = ए,
क्योंकि एक्स = ए,
टीजी एक्स = ए,
सीटीजी एक्स = ए

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। इस पैराग्राफ में ठोस उदाहरणहम अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों पर विचार करेंगे। उनका समाधान, एक नियम के रूप में, सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए कम हो जाता है।

उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें

पाप 2 एक्स= कोस एक्सपाप 2 एक्स.

इस समीकरण के सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करने और परिणामी अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पाप 2 एक्स(1 - कोस एक्स) = 0.

दो व्यंजकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि कम से कम एक गुणनखंड शून्य, और दूसरा कोई भी स्वीकार करता है अंकीय मूल्य, जब तक इसे परिभाषित किया गया है।

यदि एक पाप 2 एक्स = 0 , फिर 2 एक्स=एन π ; एक्स = π / 2एन.

यदि 1 - कोस एक्स = 0 , फिर कोस एक्स = 1; एक्स = 2kπ .

तो, हमें जड़ों के दो समूह मिले: एक्स = π / 2एन; एक्स = 2kπ . जड़ों का दूसरा समूह स्पष्ट रूप से पहले में निहित है, क्योंकि n = 4k के लिए व्यंजक एक्स = π / 2एनहो जाता है
एक्स = 2kπ .

इसलिए, उत्तर एक सूत्र में लिखा जा सकता है: एक्स = π / 2एन, कहाँ पे एन-कोई पूर्णांक।

ध्यान दें कि इस समीकरण को sin 2 . से कम करके हल नहीं किया जा सकता है एक्स. दरअसल, कमी के बाद, हमें 1 - cos x = 0 मिलेगा, जहां से एक्स= 2k π . इस प्रकार, हम कुछ जड़ें खो देंगे, उदाहरण के लिए π / 2 , π , 3π / 2 .

उदाहरण 2.प्रश्न हल करें

एक भिन्न शून्य तभी होती है जब उसका अंश शून्य हो।
इसीलिए पाप 2 एक्स = 0 , जहां से 2 एक्स=एन π ; एक्स = π / 2एन.

इन मूल्यों से एक्स उन मूल्यों को बाहरी के रूप में त्याग दिया जाना चाहिए जिनके लिए पापएक्स गायब हो जाता है (शून्य भाजक वाले अंश अर्थहीन हैं: शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है)। ये मान वे संख्याएँ हैं जो के गुणज हैं π . सूत्र में
एक्स = π / 2एनवे सम के लिए प्राप्त होते हैं एन. अत: इस समीकरण के मूल संख्याएँ होंगी

एक्स = π / 2 (2k + 1),

जहाँ k कोई पूर्णांक है।

उदाहरण 3 . प्रश्न हल करें

2 पाप 2 एक्स+ 7 कोस एक्स - 5 = 0.

अभिव्यक्त करना पाप 2 एक्स के माध्यम से क्योंकिएक्स : पाप 2 एक्स = 1 - क्योंकि 2एक्स . तब इस समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

2 (1 - क्योंकि 2 एक्स) + 7 कोस एक्स - 5 = 0 , या

2कोस 2 एक्स- 7cos एक्स + 3 = 0.

दर्शाने क्योंकिएक्स के माध्यम से पर, हम आते हैं द्विघात समीकरण

2y 2 - 7y + 3 = 0,

जिनकी जड़ें संख्या 1/2 और 3 हैं। इसलिए, या तो cos एक्स= 1/2 या cos एक्स= 3. हालांकि, बाद वाला असंभव है, क्योंकि में किसी भी कोण की कोज्या निरपेक्ष मूल्य 1 से अधिक नहीं है।

यह पहचाना जाना बाकी है कि क्योंकि एक्स = 1 / 2 , कहाँ पे

एक्स = ± 60° + 360° n.

उदाहरण 4 . प्रश्न हल करें

2 पाप एक्स+ 3कोस एक्स = 6.

क्योंकि पाप एक्सऔर इसलिए एक्सनिरपेक्ष मान में 1 से अधिक न हो, तो व्यंजक
2 पाप एक्स+ 3कोस एक्स से अधिक मान नहीं ले सकते 5 . इसलिए, इस समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

उदाहरण 5 . प्रश्न हल करें

पाप एक्स+ कोस एक्स = 1

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पाप 2 एक्स+ 2 पाप एक्सक्योंकि एक्स+ cos2 एक्स = 1,

लेकिन पाप 2 एक्स + क्योंकि 2 एक्स = 1 . इसीलिए 2 पाप एक्सक्योंकि एक्स = 0 . यदि एक पाप एक्स = 0 , फिर एक्स = एनπ ; यदि
क्योंकि एक्स , फिर एक्स = π / 2 + कπ . समाधान के इन दो समूहों को एक सूत्र में लिखा जा सकता है:

एक्स = π / 2एन

चूँकि हमने इस समीकरण के दोनों भागों को चुकता कर दिया है, इसलिए संभव है कि हमें प्राप्त होने वाले मूलों में से बाहर वाले भी हों। इसलिए, इस उदाहरण में, पिछले सभी के विपरीत, एक चेक बनाना आवश्यक है। सभी मान

एक्स = π / 2एन 4 समूहों में विभाजित किया जा सकता है

	1) एक्स = 2kπ .	(एन = 4k)
	2) एक्स = π / 2 + 2kπ .	(एन = 4k+1)
	3) एक्स = π + 2kπ .	(एन = 4k+2)
	4) एक्स = 3π / 2 + 2kπ .	(एन = 4k+3)

पर एक्स = 2kπपाप एक्स+ कोस एक्स= 0 + 1 = 1. इसलिए, एक्स = 2kπइस समीकरण की जड़ें हैं।

पर एक्स = π / 2 + 2kπ. पाप एक्स+ कोस एक्स= 1 + 0 = 1 एक्स = π / 2 + 2kπइस समीकरण की जड़ें भी हैं।

पर एक्स = π + 2kπपाप एक्स+ कोस एक्स= 0 - 1 = - 1. इसलिए, मान एक्स = π + 2kπइस समीकरण के मूल नहीं हैं। इसी तरह, यह दिखाया गया है कि एक्स = 3π / 2 + 2kπ. जड़ें नहीं हैं।

इस प्रकार, इस समीकरण की निम्नलिखित जड़ें हैं: एक्स = 2kπतथा एक्स = π / 2 + 2मी।, कहाँ पे कतथा एम- कोई भी पूर्ण संख्या।