मैं। ऐसे भाव जिनमें अक्षरों, संख्याओं, चिह्नों के साथ प्रयोग किया जा सकता है अंकगणितीय आपरेशनसऔर कोष्ठक बीजीय व्यंजक कहलाते हैं।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उदाहरण:

2एम-एन; 3 · (2ए+बी); 0.24x; 0.3a-बी · (4ए + 2बी); ए 2 - 2ab;

चूँकि बीजीय व्यंजक में एक अक्षर को कुछ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है विभिन्न नंबर, तो अक्षर को एक चर कहा जाता है, और बीजीय व्यंजक को स्वयं चर के साथ व्यंजक कहा जाता है।

द्वितीय. यदि किसी बीजीय व्यंजक में अक्षरों (चर) को उनके मानों से बदल दिया जाता है और निर्दिष्ट क्रियाएं की जाती हैं, तो परिणामी संख्या को बीजीय व्यंजक का मान कहा जाता है।

उदाहरण। एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1) a + 2b -c a = -2 के लिए; बी = 10; सी = -3.5।

2) |x| + |y| -|जेड| एक्स = -8 पर; वाई = -5; जेड = 6.

फेसला.

1) a + 2b -c a = -2 के लिए; बी = 10; सी = -3.5। चर के बजाय, हम उनके मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|जेड| एक्स = -8 पर; वाई = -5; z = 6. हम संकेतित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। याद रखें कि मॉड्यूल ऋणात्मक संख्याइसकी विपरीत संख्या के बराबर है, और मापांक सकारात्मक संख्याउस संख्या के बराबर। हम पाते हैं:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.एक अक्षर (चर) के वे मान जिनके लिए बीजीय व्यंजक समझ में आता है, अक्षर के मान्य मान (चर) कहलाते हैं।

उदाहरण। किन मूल्यों पर परिवर्तनशील अभिव्यक्तिकोई मतलब नहीं है?

फेसला।हम जानते हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव है, इसलिए, इनमें से प्रत्येक अभिव्यक्ति का उस अक्षर (चर) के मान से कोई मतलब नहीं होगा जो भिन्न के हर को शून्य में बदल देता है!

उदाहरण 1 में, यह मान a = 0 है। वास्तव में, यदि हम 0 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो संख्या 6 को 0 से विभाजित करने की आवश्यकता होगी, लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता है। उत्तर: व्यंजक 1) का कोई मतलब नहीं है जब a = 0.

उदाहरण 2) में x = 4 पर हर x - 4 = 0 है, इसलिए यह मान x = 4 है और इसे नहीं लिया जा सकता है। उत्तर: व्यंजक 2) x = 4 के लिए कोई अर्थ नहीं रखता है।

उदाहरण 3) में x = -2 के लिए हर x + 2 = 0 है। उत्तर: व्यंजक 3) x = -2 पर कोई अर्थ नहीं रखता।

उदाहरण 4 में हर 5 -|x| . है = 0 |x| . के लिए = 5. और चूंकि |5| = 5 और |-5| \u003d 5, तो आप x \u003d 5 और x \u003d -5 नहीं ले सकते। उत्तर: व्यंजक 4) x = -5 और x = 5 के लिए कोई अर्थ नहीं रखता है।
चतुर्थ। दो व्यंजकों को समान रूप से समान कहा जाता है यदि किसी के लिए अनुमत मानचर, इन भावों के संगत मान समान हैं।

उदाहरण: 5 (ए - बी) और 5 ए - 5 बी समान हैं, क्योंकि समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी ए और बी के किसी भी मूल्य के लिए सही होगी। समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी एक पहचान है।

पहचान एक समानता है जो इसमें शामिल चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए मान्य है। आप पहले से ज्ञात सर्वसमिकाओं के उदाहरण हैं, उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा के गुण, वितरण की जाने वाली संपत्ति.

एक व्यंजक के स्थान पर दूसरे व्यंजक के स्थान पर, समान रूप से उसके समान, समरूप रूपांतरण या केवल व्यंजक का रूपांतरण कहलाता है। पहचान परिवर्तनसंख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों वाले व्यंजकों को क्रियान्वित किया जाता है।

उदाहरण।

ए)गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके व्यंजक को समान रूप से समान में परिवर्तित करें:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (ए -2 बी + 4 सी); 3) ए · (6 मी -2 एन + के)।

फेसला. गुणन की वितरण संपत्ति (कानून) को याद करें:

(ए+बी) सी=ए सी+बी सी(जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण नियम: दो संख्याओं के योग को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं)।
(ए-बी) सी=ए सी-बी सी(घटाव के संबंध में गुणन का वितरण नियम: दो संख्याओं के अंतर को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को अलग-अलग घटा और घटाकर गुणा कर सकते हैं और पहले परिणाम से दूसरे को घटा सकते हैं)।

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y।

2) 1.5 (ए -2 बी + 4 सी) = 1.5 ए -3 बी + 6 सी।

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak।

बी)कम्यूटेटिव और . का उपयोग करके व्यंजक को समान रूप से समान में बदलें सहयोगी गुण(कानून) जोड़:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3ए + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s।

फेसला।हम जोड़ के कानून (गुण) लागू करते हैं:

ए+बी=बी+ए(विस्थापन: योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है)।
(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)(सहयोगी: दो पदों के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरे और तीसरे का योग जोड़ सकते हैं)।

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9।

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5।

में)गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों (कानूनों) का उपयोग करके व्यंजक को समान रूप से समान में बदलना:

7) 4 · एक्स · (-2,5); 8) -3,5 · 2 वर्ष · (-एक); 9) 3ए · (-3) · 2एस.

फेसला।आइए गुणन के नियम (गुण) लागू करें:

ए बी = बी ए(विस्थापन: कारकों का क्रमपरिवर्तन उत्पाद को नहीं बदलता है)।
(ए बी) सी = ए (बी सी)(संयुक्त: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं)।

आइए समस्या का समाधान करें।

छात्र ने 2 कोप्पेक के लिए नोटबुक खरीदी। एक नोटबुक और 8 kopecks के लिए एक पाठ्यपुस्तक के लिए। उसने पूरी खरीद के लिए कितना भुगतान किया?

सभी नोटबुक्स की लागत का पता लगाने के लिए, आपको एक नोटबुक की कीमत को नोटबुक्स की संख्या से गुणा करना होगा। इसका मतलब है कि नोटबुक की कीमत कोपेक के बराबर होगी।

पूरी खरीद की लागत होगी

ध्यान दें कि यह एक अक्षर द्वारा व्यक्त गुणक के सामने गुणन चिह्न को छोड़ने के लिए प्रथागत है, यह केवल निहित है। इसलिए, पिछली प्रविष्टि को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

हमने समस्या को हल करने के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है। यह दर्शाता है कि समस्या को हल करने के लिए एक नोटबुक की कीमत को खरीदी गई नोटबुक की संख्या से गुणा करना और उत्पाद में एक पाठ्यपुस्तक की लागत को जोड़ना आवश्यक है।

ऐसी प्रविष्टियों के लिए "सूत्र" शब्द के स्थान पर "बीजीय व्यंजक" नाम का भी प्रयोग किया जाता है।

एक बीजीय व्यंजक एक रिकॉर्ड होता है जिसमें संख्याओं या अक्षरों द्वारा इंगित संख्याएं होती हैं और क्रिया चिह्नों से जुड़ी होती हैं।

संक्षिप्तता के लिए, "बीजगणितीय अभिव्यक्ति" के बजाय वे कभी-कभी केवल "अभिव्यक्ति" कहते हैं।

यहाँ बीजीय व्यंजकों के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

इन उदाहरणों से, हम देखते हैं कि एक बीजीय व्यंजक में केवल एक अक्षर हो सकता है, या उसमें बिल्कुल भी संख्याएँ नहीं हो सकती हैं, जो अक्षरों द्वारा इंगित की जाती हैं (दो हाल के उदाहरण) उस में अंतिम मामलाव्यंजक को अंकगणितीय व्यंजक भी कहते हैं।

आइए हम प्राप्त बीजगणितीय अभिव्यक्ति में अक्षर को मान 5 दें (इसका अर्थ है कि छात्र ने 5 नोटबुक खरीदी)। इसके बजाय संख्या 5 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

जो 18 (यानी 18 कोप्पेक) के बराबर है।

संख्या 18 इस बीजीय व्यंजक का मान है जब

बीजगणितीय व्यंजक का मान वह संख्या है जो प्राप्त होगी यदि हम अक्षरों के स्थान पर उनके मानों के डेटा को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं और संख्याओं पर संकेतित क्रियाएं करते हैं।

उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं: पर व्यंजक का मान 12 (12 kopecks) है।

के लिए समान व्यंजक का मान 14 (14 kopecks), आदि है।

हम देखते हैं कि बीजीय व्यंजक का अर्थ इस बात पर निर्भर करता है कि हम उसमें शामिल अक्षरों को क्या मान देते हैं। सच है, कभी-कभी ऐसा होता है कि किसी अभिव्यक्ति का अर्थ उसमें शामिल अक्षरों के अर्थ पर निर्भर नहीं करता है। उदाहरण के लिए, किसी भी मान के लिए व्यंजक 6 के बराबर है।

आइए एक उदाहरण के रूप में खोजें संख्यात्मक मूल्यके लिए भाव विभिन्न मूल्यअक्षर ए और बी।

में स्थानापन्न दी गई अभिव्यक्ति a के बजाय, संख्या 4, और 6 के बजाय, संख्या 2 और परिणामी व्यंजक की गणना करें:

इसलिए, जब के लिए व्यंजक का मान 16 के बराबर है।

इसी प्रकार, हम पाते हैं कि जब व्यंजक का मान 29 है, कब और यह 2 के बराबर है, आदि।

गणना के परिणामों को एक तालिका के रूप में लिखा जा सकता है जो स्पष्ट रूप से दिखाएगा कि इसमें शामिल अक्षरों के मूल्यों में परिवर्तन के आधार पर अभिव्यक्ति का मूल्य कैसे बदलता है।

आइए तीन पंक्तियों के साथ एक तालिका बनाएं। पहली पंक्ति में हम मान लिखेंगे a, दूसरी में - मान 6 और

तीसरे में - अभिव्यक्ति के मूल्य हमें ऐसी तालिका मिलती है।

बीजगणित पाठ हमारा परिचय कराते हैं विभिन्न प्रकार केभाव। जैसे-जैसे नई सामग्री आती है, भाव अधिक जटिल होते जाते हैं। जब आप शक्तियों से परिचित हो जाते हैं, तो वे धीरे-धीरे अभिव्यक्ति में जुड़ जाते हैं, इसे जटिल बनाते हैं। यह भिन्नों और अन्य व्यंजकों के साथ भी होता है।

सामग्री के अध्ययन को यथासंभव सुविधाजनक बनाने के लिए, इसे कुछ नामों से किया जाता है ताकि उन्हें उजागर किया जा सके। यह लेख देगा पूर्ण समीक्षासभी बुनियादी स्कूल बीजीय भाव।

एकपदी और बहुपद

व्यंजक एकपदी और बहुपद का अध्ययन किया जाता है स्कूल के पाठ्यक्रम 7वीं कक्षा से शुरू। पाठ्यपुस्तकों ने इस प्रकार की परिभाषाएँ दी हैं।

परिभाषा 1

एकपदीयोंसंख्याएं, चर, उनकी डिग्री के साथ हैं प्राकृतिक संकेतक, उनकी सहायता से किया गया कोई भी कार्य।

परिभाषा 2

बहुआयामी पदएकपदी का योग कहते हैं।

यदि हम, उदाहरण के लिए, संख्या 5, चर x, घात z 7 लेते हैं, तो प्रपत्र के गुणनफल 5 एक्सऔर 7 x 2 7 z 7एकल सदस्य माने जाते हैं। जब प्रपत्र के एकपदी का योग लिया जाता है 5+xया जेड 7 + 7 + 7 एक्स 2 7 जेड 7, तो हमें एक बहुपद प्राप्त होता है।

एकपदी को बहुपद से अलग करने के लिए, अंशों और उनकी परिभाषाओं पर ध्यान दें। गुणांक की अवधारणा महत्वपूर्ण है। जब डाली समान शब्दवे बहुपद या अग्रणी गुणांक के मुक्त पद में विभाजित हैं।

प्राय: कुछ क्रियाएँ एकपदी और बहुपद पर की जाती हैं, जिसके बाद व्यंजक को एकपदी देखने के लिए घटा दिया जाता है। बहुपदों पर संचालन करने के लिए एल्गोरिदम पर निर्भर करते हुए, जोड़, घटाव, गुणा और भाग किया जाता है।

जब एक चर होता है, तो बहुपद को एक बहुपद में विभाजित करना संभव होता है, जिसे एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है। इस क्रिया को बहुपद का गुणनखंडन कहते हैं।

परिमेय (बीजीय) भिन्न

परिमेय भिन्नों की अवधारणा का अध्ययन ग्रेड 8 . में किया गया है उच्च विद्यालय. कुछ लेखक उन्हें कहते हैं बीजीय भिन्न.

परिभाषा 3

परिमेय बीजीय भिन्नवे एक भिन्न कहते हैं जिसमें बहुपद या एकपदी, संख्याएँ, अंश और हर का स्थान लेती हैं।

रिकॉर्ड के उदाहरण पर विचार करें तर्कसंगत अंशप्रकार 3 x + 2 , 2 a + 3 b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 और 2 2 x + - 5 1 5 y 3 x x 2 + 4। परिभाषा के आधार पर हम कह सकते हैं कि प्रत्येक भिन्न को परिमेय भिन्न माना जाता है।

बीजीय अंशों को जोड़ा जा सकता है, घटाया जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है, एक शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है। बीजीय भिन्नों के साथ संक्रियाओं पर अनुभाग में इस पर अधिक विस्तार से चर्चा की गई है। यदि एक अंश को परिवर्तित करना आवश्यक है, तो वे अक्सर कमी और कमी की संपत्ति को एक सामान्य भाजक में उपयोग करते हैं।

तर्कसंगत अभिव्यक्ति

पर स्कूल पाठ्यक्रमअपरिमेय भिन्नों की अवधारणा का अध्ययन किया जाता है, क्योंकि तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के साथ काम करना आवश्यक है।

परिभाषा 4

तर्कसंगत अभिव्यक्तिसंख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियाँ मानी जाती हैं, जहाँ परिमेय संख्याओं और अक्षरों का उपयोग जोड़, घटाव, गुणा, भाग, पूर्णांक शक्ति तक बढ़ाने के साथ किया जाता है।

परिमेय अभिव्यक्तियों में फ़ंक्शन से संबंधित संकेत नहीं हो सकते हैं जो तर्कहीनता की ओर ले जाते हैं। परिमेय व्यंजकों में मूल नहीं होते हैं, अंश के साथ अंश तर्कहीन संकेतक, घातांक में चर के साथ डिग्री, लघुगणक व्यंजक, त्रिकोणमितीय कार्यआदि।

उपरोक्त नियम के आधार पर हम परिमेय व्यंजकों के उदाहरण देंगे। उपरोक्त परिभाषा से, हमारे पास 1 2 + 3 4, और 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 के रूप की एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति है। - 2 2 3 3 - 2 1 + 0, 3 को परिमेय माना जाता है। भाव युक्त पत्र पदनाम, परिमेय a 2 + b 2 3 a - 0 , 5 b का भी संदर्भ लें, जिसमें a x 2 + b x + c रूप के चर हैं और x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1।

सभी तर्कसंगत अभिव्यक्तिपूर्णांकों और भिन्नों में विभाजित।

पूर्णांक परिमेय व्यंजक

परिभाषा 5

पूर्णांक परिमेय व्यंजकऐसे व्यंजक हैं जिनमें ऋणात्मक अंश के चरों वाले व्यंजकों में विभाजन नहीं होता है।

परिभाषा से, हमारे पास यह है कि एक संपूर्ण तर्कसंगत अभिव्यक्ति भी एक अभिव्यक्ति है जिसमें अक्षर होते हैं, उदाहरण के लिए, a + 1, एक अभिव्यक्ति जिसमें कई चर होते हैं, उदाहरण के लिए, x 2 · y 3 - z + 3 2 और a + b 3 ।

भाव जैसे एक्स: (वाई -1)और 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 परिमेय पूर्णांक नहीं हो सकते, क्योंकि उनके पास चरों के साथ व्यंजक द्वारा भाग होता है।

भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक

परिभाषा 6

भिन्नात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्तिएक व्यंजक है जिसमें ऋणात्मक अंश चर वाले व्यंजक द्वारा विभाजन होता है।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 और 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 हो सकते हैं।

यदि हम इस प्रकार के व्यंजक (2 x - x 2): 4 और a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2 पर विचार करते हैं, तो उन्हें भिन्नात्मक परिमेय नहीं माना जाता है, क्योंकि उनमें चर के साथ व्यंजक नहीं होते हैं भाजक।

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति

परिभाषा 7

वे व्यंजक जिनमें संकेतन के किसी भाग में शक्तियाँ होती हैं, कहलाते हैं शक्ति अभिव्यक्तिया शक्ति अभिव्यक्ति.

अवधारणा के लिए, हम ऐसे व्यंजक का एक उदाहरण देते हैं। उनमें चर शामिल नहीं हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, 2 3 , 32 - 1 5 + 1 . 5 3 . 5 · 5 - 2 5 - 1 . 5। फॉर्म 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 के पावर एक्सप्रेशन भी विशिष्ट हैं। उन्हें हल करने के लिए, कुछ परिवर्तन करना आवश्यक है।

अपरिमेय भाव, जड़ों के साथ भाव

जड़, जिसका व्यंजक में स्थान होता है, उसे एक अलग नाम देता है। उन्हें तर्कहीन कहा जाता है।

परिभाषा 8

अपरिमेय भावनाम के भाव जिनमें रिकॉर्ड में जड़ों के संकेत हैं।

परिभाषा से यह देखा जा सकता है कि ये 64, x - 1 4 3 + 3 3, 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2, a + 1 a 1 2 + 2, x y, 3 x के रूप के व्यंजक हैं। + 1 + 6 x 2 + 5 x और x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3। उनमें से प्रत्येक में कम से कम एक रूट आइकन होता है। जड़ें और अंश जुड़े हुए हैं, इसलिए आप x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 जैसे भाव देख सकते हैं।

त्रिकोणमितीय भाव

परिभाषा 9

त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति sin , cos , tg और ctg और उनके व्युत्क्रम - arcsin , arccos , arctg और arcctg वाले व्यंजक हैं।

त्रिकोणमितीय फलनों के उदाहरण स्पष्ट हैं: sin 4 cos π 6 cos 6 x - 1 और 2 sin x t g 2 x + 3 , 4 3 t g π - arcsin - 3 5 ।

ऐसे कार्यों के साथ काम करने के लिए, आपको गुणों का उपयोग करने की आवश्यकता है, बुनियादी सूत्रप्रत्यक्ष और उलटा कार्य. त्रिकोणमितीय कार्यों का आलेख परिवर्तन इस मुद्दे को और अधिक विस्तार से प्रकट करेगा।

लघुगणक व्यंजक

लघुगणक से परिचित होने के बाद, हम जटिल लघुगणकीय व्यंजकों के बारे में बात कर सकते हैं।

परिभाषा 10

वे व्यंजक जिनमें लघुगणक होते हैं, कहलाते हैं लघुगणक.

ऐसे कार्यों का एक उदाहरण लॉग 3 9 + एलएन ई, लॉग 2 (4 ए बी), लॉग 7 2 (एक्स 7 3) लॉग 3 2 एक्स - 3 5 + लॉग एक्स 2 + 1 (एक्स 4 + 2) होगा।

आप ऐसे व्यंजक पा सकते हैं जहाँ अंश और लघुगणक हों। यह समझ में आता है, क्योंकि लघुगणक की परिभाषा से यह इस प्रकार है कि यह एक घातांक है। तब हमें x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 जैसे व्यंजक प्राप्त होते हैं।

सामग्री के अध्ययन को गहरा करने के लिए, आपको लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के परिवर्तन पर सामग्री का उल्लेख करना चाहिए।

भिन्न

भाव हैं विशेष प्रकार, जिन्हें अंश कहते हैं। चूँकि उनके पास एक अंश और हर होता है, उनमें न केवल संख्यात्मक मान हो सकते हैं, बल्कि किसी भी प्रकार के भाव भी हो सकते हैं। एक अंश की परिभाषा पर विचार करें।

परिभाषा 11

गोली मारनावे एक ऐसे व्यंजक को कहते हैं जिसमें एक अंश और एक हर होता है, जिसमें दोनों संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक पदनाम या भाव होते हैं।

अंश और हर में संख्याओं वाले भिन्नों के उदाहरण इस तरह दिखते हैं 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e , (− 15) (− 2) । अंश और हर में संख्यात्मक और दोनों हो सकते हैं शाब्दिक भावफॉर्म का (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2), 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5, cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 टी जी α , 2 + एलएन 5 एलएन एक्स।

यद्यपि 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 जैसे व्यंजक भिन्न नहीं हैं, तथापि, उनके अंकन में भिन्न अवश्य होता है।

सामान्य अभिव्यक्ति

वरिष्ठ वर्ग बढ़ी हुई कठिनाई के कार्यों पर विचार करते हैं, जिसमें यूएसई में समूह सी के सभी संयुक्त कार्य शामिल हैं। ये व्यंजक विशेष रूप से जटिल होते हैं और इनमें जड़ों, लघुगणक, घातों और त्रिकोणमितीय कार्यों के विभिन्न संयोजन होते हैं। ये x 2 - 1 sin x + π 3 या sin a r c t g x - a x 1 + x 2 जैसे कार्य हैं।

उनकी उपस्थिति इंगित करती है कि इसे उपरोक्त प्रजातियों में से किसी के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। अक्सर उन्हें किसी के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जाता है, क्योंकि उनके पास एक विशिष्ट है संयुक्त समाधान. उन्हें अभिव्यक्ति के रूप में माना जाता है सामान्य दृष्टि से, और विवरण के लिए किसी अतिरिक्त स्पष्टीकरण या अभिव्यक्तियों का उपयोग नहीं किया जाता है।

ऐसी बीजीय व्यंजक को हल करते समय, हमेशा उसके अंकन, भिन्नों, घातों या अतिरिक्त व्यंजकों की उपस्थिति पर ध्यान देना आवश्यक होता है। इसे हल करने के तरीके को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए यह आवश्यक है। यदि आप इसके नाम के बारे में निश्चित नहीं हैं, तो इसे एक अभिव्यक्ति कहने की सिफारिश की जाती है सामान्य प्रकारऔर उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार निर्णय लें।

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डिग्री गुण:

(1) ए एम ए एन = ए एम + एन

उदाहरण:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m - n

उदाहरण:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a b) एन = ए एन ⋅ बी एन

उदाहरण:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

उदाहरण:

$$(\बाएं((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (ए एम ) एन = एक एम ⋅ एन

उदाहरण:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a - n = 1 a n

उदाहरण:

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

गुण वर्गमूल:

(1) a b = a b , a 0 , b ≥ 0 . के लिए

उदाहरण:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b , a 0 , b > 0 . के लिए

उदाहरण:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (ए) 2 = ए , 0 . के लिए

उदाहरण:

(4) ए 2 = | ए | किसी के लिए

उदाहरण:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

तर्कसंगत और तर्कहीन संख्या

परिमेय संख्या वे संख्याएँ हैं जिन्हें के रूप में दर्शाया जा सकता है सामान्य अंशमैं नहीं

परिमेय संख्याओं के उदाहरण:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

तर्कहीन संख्या - वे संख्याएँ जिन्हें एक साधारण भिन्न m n के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, ये अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्न हैं।

अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण:

ई = 2.71828182845…

= 3.1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

सीधे शब्दों में कहें तो अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनके अंकन में वर्गमूल का चिन्ह होता है। लेकिन सब कुछ इतना आसान नहीं है। कुछ परिमेय संख्याएँ स्वयं को अपरिमेय संख्याओं के रूप में प्रच्छन्न करती हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 4 में इसके अंकन में एक वर्गमूल चिह्न होता है, लेकिन हम अच्छी तरह जानते हैं कि हम संकेतन 4 = 2 को सरल बना सकते हैं। इसका अर्थ है कि संख्या 4 एक परिमेय संख्या है।

इसी प्रकार, संख्या 4 81 = 4 81 = 2 9 एक परिमेय संख्या है।

कुछ समस्याओं के लिए आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता होती है कि कौन सी संख्याएँ परिमेय हैं और कौन सी अपरिमेय हैं। कार्य यह समझना है कि कौन सी संख्याएं अपरिमेय हैं और जो उनके रूप में प्रच्छन्न हैं। ऐसा करने के लिए, आपको वर्गमूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड को निकालने और मूल चिह्न के नीचे गुणनखंड का परिचय देने का कार्य करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

वर्गमूल के चिन्ह के लिए गुणनखंड को लगाना और हटाना

गुणनखंड को वर्गमूल चिह्न से निकालकर, आप कुछ गणितीय व्यंजकों को महत्वपूर्ण रूप से सरल बना सकते हैं।

उदाहरण:

व्यंजक 2 8 2 को सरल कीजिए।

1 तरीका (मूल चिह्न के नीचे से गुणक निकालना): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

विधि 2 (मूल चिह्न के तहत गुणक का परिचय): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

संक्षिप्त गुणन सूत्र (FSU)

योग वर्ग

(1) (ए + बी) 2 = ए 2 + 2 ए बी + बी 2

उदाहरण:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

अंतर का वर्ग

(2) (ए - बी) 2 = ए 2 - 2 ए बी + बी 2

उदाहरण:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

वर्गों का योग कारक नहीं है

ए 2 + बी 2

वर्गों का अंतर

(3) ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी)

उदाहरण:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

योग घन

(4) (ए + बी) 3 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 + बी 3

उदाहरण:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 (x) 2 (3 y) + 3 ⋅ (x) (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 x 2 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

अंतर घन

(5) (ए - बी) 3 = ए 3 − 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 - बी 3

उदाहरण:

(x 2 - 2 y) 3 = (x 2) 3 - 3 (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) (2 y) 2 - (2 y) 3 = x 2 3 − 3 x 2 ⋅ 2 2 y + 3 x 2 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

घनों का योग

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - a b + b 2)

उदाहरण:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 - 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 - 2 x + x 2)

घनों का अंतर

(7) a 3 - b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

उदाहरण:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 - 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

संख्या का मानक रूप

यह समझने के लिए कि मनमाना कैसे लाया जाए परिमेय संख्याको मानक दृश्य, आपको यह जानना होगा कि संख्या का पहला सार्थक अंक क्या है।

प्रथम महत्वपूर्ण आकृतिनंबर इसे बाईं ओर पहला गैर-शून्य अंक कहते हैं।

उदाहरण:
2 5 ; 3, 05; 0 , 143 ; 0 , 00 1 2 . पहला महत्वपूर्ण अंक लाल रंग में हाइलाइट किया गया है।

किसी संख्या को मानक रूप में बदलने के लिए:

1. अल्पविराम को शिफ्ट करें ताकि यह पहले महत्वपूर्ण अंक के तुरंत बाद हो।
2. परिणामी संख्या को 10 n से गुणा करें, जहां n एक संख्या है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
3. n > 0 यदि अल्पविराम को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया था (10 n से गुणा करना इंगित करता है कि अल्पविराम वास्तव में दाईं ओर होना चाहिए);
4. एन< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. संख्या n का निरपेक्ष मान उन अंकों की संख्या के बराबर है जिनके द्वारा अल्पविराम को स्थानांतरित किया गया था।

उदाहरण:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

अल्पविराम 1 अंक से बाईं ओर चला गया है। चूंकि दशमलव बिंदु को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है, घातांक धनात्मक है।

पहले से ही मानक रूप में लाया गया है, आपको इसके साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है। इसे 3.05 10 0 के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन 10 0 = 1 के बाद से, हम संख्या को उसके मूल रूप में ही छोड़ देते हैं।

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

अल्पविराम 1 अंक से दाईं ओर चला गया है। चूंकि दशमलव बिंदु को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है, घातांक ऋणात्मक है।

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

अल्पविराम तीन स्थान दाईं ओर चला गया है। चूंकि दशमलव बिंदु को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है, घातांक ऋणात्मक है।

बीजगणितीय व्यंजकों का अध्ययन 7वीं कक्षा में शुरू होता है। उनके पास कई गुण हैं और समस्या समाधान में उपयोग किए जाते हैं। आइए इस विषय का अधिक विस्तार से अध्ययन करें और समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

अवधारणा परिभाषा

कौन से व्यंजक बीजगणित कहलाते हैं? ये है गणितीय संकेतन, अंकगणितीय संक्रियाओं की संख्याओं, अक्षरों और चिह्नों से बना है। अक्षरों की उपस्थिति संख्यात्मक और बीजीय अभिव्यक्तियों के बीच मुख्य अंतर है। उदाहरण:

• 4ए+5;
• 6बी-8;
• 5एस:6*(8+5)।

बीजीय व्यंजकों में एक अक्षर एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, इसे एक चर कहा जाता है - पहले उदाहरण में यह अक्षर ए है, दूसरे में - बी, और तीसरे में - सी। बीजीय व्यंजक को स्वयं भी कहा जाता है परिवर्तनशील अभिव्यक्ति.

अभिव्यक्ति मूल्य

बीजीय व्यंजक का अर्थइस व्यंजक में दर्शाए गए सभी अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या है। लेकिन इसे प्राप्त करने के लिए, अक्षरों को संख्याओं से बदलना होगा। इसलिए, उदाहरण हमेशा इंगित करते हैं कि कौन सी संख्या अक्षर से मेल खाती है। विचार करें कि व्यंजक 8a-14*(5-a) का मान कैसे ज्ञात करें यदि a=3.

आइए अक्षर a के बजाय संख्या 3 को प्रतिस्थापित करें। हमें निम्नलिखित प्रविष्टि मिलती है: 8*3-14*(5-3)।

के रूप में संख्यात्मक भाव, एक बीजीय व्यंजक का हल अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के नियमों के अनुसार किया जाता है। आइए सब कुछ क्रम में हल करें।

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

इस प्रकार, व्यंजक 8a-14*(5-a) और a=3 का मान -4 है।

एक चर के मान को वैध कहा जाता है यदि अभिव्यक्ति इसके लिए समझ में आता है, अर्थात इसका समाधान खोजना संभव है।

व्यंजक 5:2a के लिए एक मान्य चर का एक उदाहरण संख्या 1 है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 5:2*1=2.5 प्राप्त होता है।

इस व्यंजक के लिए अमान्य चर 0 है। यदि हम व्यंजक में शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें 5:2*0, अर्थात् 5:0 प्राप्त होता है। आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, इसलिए अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

पहचान अभिव्यक्ति

यदि दो व्यंजक उनके अवयवी चरों के किन्हीं मानों के लिए समान हों, तो वे कहलाते हैं सदृश.
समान अभिव्यक्तियों का उदाहरण :
4(ए+सी) और 4ए+4सी।
अक्षर a और c जो भी मान लेते हैं, भाव हमेशा समान होंगे। किसी भी अभिव्यक्ति को उसके समान दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को पहचान परिवर्तन कहा जाता है।

एक समान परिवर्तन का एक उदाहरण .
4*(5a+14c) - इस व्यंजक को लागू करके समान व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है गणितीय नियमगुणन। किसी संख्या को दो संख्याओं के योग से गुणा करने के लिए, आपको इस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा।

• 4*5a=20a.
• 4*14s = 64s।
• 20 ए + 64 एस।

इस प्रकार, व्यंजक 4*(5a+14c) 20a+64c के समान है।

वह संख्या जो बीजीय व्यंजक में शाब्दिक चर से पहले आती है, गुणांक कहलाती है। गुणांक और चर गुणक हैं।

समस्या को सुलझाना

बीजीय व्यंजकों का प्रयोग समस्याओं और समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
आइए समस्या पर विचार करें। पेट्या एक नंबर लेकर आई। सहपाठी साशा को इसका अनुमान लगाने के लिए, पेट्या ने उससे कहा: पहले मैंने संख्या में 7 जोड़ा, फिर उसमें से 5 घटाया और 2 से गुणा किया। परिणामस्वरूप, मुझे संख्या 28 मिली। मैंने किस संख्या का अनुमान लगाया?

समस्या को हल करने के लिए, आपको अक्षर a के साथ छिपी हुई संख्या को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, और फिर इसके साथ सभी संकेतित क्रियाएं करें।

• (ए+7)-5.
• ((ए+7)-5)*2=28.

अब परिणामी समीकरण को हल करते हैं।

पेट्या ने 12 नंबर का अनुमान लगाया।

हमने क्या सीखा?

एक बीजीय व्यंजक अंकगणितीय संक्रियाओं के अक्षरों, संख्याओं और चिह्नों से बना एक रिकॉर्ड है। प्रत्येक व्यंजक का एक मान होता है जो व्यंजक में सभी अंकगणित करने पर पाया जाता है। बीजीय व्यंजक के अक्षर को चर कहते हैं और उसके सामने की संख्या को गुणांक कहते हैं। समस्याओं को हल करने के लिए बीजीय व्यंजकों का प्रयोग किया जाता है।