आधुनिक दुनिया में, गणित अपने आसपास की दुनिया के बारे में मनुष्य के ज्ञान के लिए महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक होता जा रहा है। गणित सैद्धांतिक अनुसंधान का मुख्य तरीका है और प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी में एक व्यावहारिक उपकरण है, गणित के बिना गंभीर वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणना करना बिल्कुल असंभव है। कोई आश्चर्य नहीं कि जर्मन शास्त्रीय दर्शन के संस्थापक इमैनुएल कांट (1742 - 1804) ने तर्क दिया कि "प्रत्येक व्यक्ति में" प्राकृतिक विज्ञानकोई भी विज्ञान को तभी तक उचित खोज सकता है, जब तक उसमें गणित पाया जा सकता है। गणित, एक विज्ञान के रूप में, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के संबंध में उत्पन्न हुआ: जमीन पर माप, नेविगेशन, आदि। नतीजतन, गणित हमेशा संख्यात्मक गणित रहा है, इसका लक्ष्य संख्या के रूप में समस्याओं का समाधान प्राप्त करना था। कंप्यूटर के निर्माण ने गणित के विकास को एक नई गति दी, नए विषय सामने आए - "गणितीय अर्थशास्त्र", "गणितीय रसायन विज्ञान", "गणितीय भाषाविज्ञान", आदि। "गणितीय मॉडलिंग" की अवधारणा उत्पन्न हुई। शब्द " आदर्श"लैटिन से आता है तरीका(प्रतिलिपि, छवि, रूपरेखा)। मॉडलिंग किसी वस्तु A (मूल) का किसी अन्य वस्तु B (मॉडल) द्वारा प्रतिस्थापन है।

एक गणितीय मॉडल गणितीय अवधारणाओं का उपयोग करते हुए वास्तविकता का एक सरलीकृत विवरण है। गणितीय मॉडलिंग - निर्माण और सीखने की प्रक्रिया गणितीय मॉडलवास्तविक प्रक्रियाएं और घटनाएं, अर्थात्। वस्तुओं और प्रक्रियाओं का अध्ययन करने की विधि असली दुनियागणित की भाषा में उनके अनुमानित विवरण की सहायता से - गणितीय मॉडल। अतीत के सबसे बड़े वैज्ञानिकों ने अपने कार्यों में प्राकृतिक घटनाओं (गणितीय मॉडल) और इसके शोध के गणितीय विवरण का निर्माण किया। जटिल मॉडलों के विश्लेषण के लिए, एक नियम के रूप में, नए के निर्माण की आवश्यकता होती है, संख्यात्मक तरीकेसमस्या को सुलझाना।

शिक्षाविद ए.ए. समरस्की को घरेलू गणितीय मॉडलिंग का संस्थापक माना जाता है। उन्होंने प्रसिद्ध त्रय द्वारा गणितीय मॉडलिंग की पद्धति को व्यक्त किया « आदर्श– कलन विधि– कार्यक्रम».

प्रथम चरण। आदर्श. अध्ययन के तहत वस्तु का एक मॉडल चुना या बनाया जाता है, जो गणितीय रूप में इसके सबसे महत्वपूर्ण गुणों को दर्शाता है। आमतौर पर गणितीय मॉडल वास्तविक प्रक्रियाएंकाफी जटिल हैं और इसमें गैर-रैखिक कार्यात्मक-अंतर समीकरणों की प्रणाली शामिल है। गणितीय मॉडल का मूल, एक नियम के रूप में, आंशिक व्युत्पन्न के साथ समीकरण हैं। वस्तु के बारे में प्रारंभिक ज्ञान प्राप्त करने के लिए, निर्मित मॉडल का अध्ययन व्यावहारिक गणित के पारंपरिक विश्लेषणात्मक उपकरणों द्वारा किया जाता है।

मंच। कलन विधि. कंप्यूटर पर निर्मित मॉडल को लागू करने के लिए एक कम्प्यूटेशनल एल्गोरिथ्म का चयन या विकास किया जाता है, जो मॉडल के मूल गुणों को विकृत नहीं करना चाहिए, हल किए जा रहे कार्यों की सुविधाओं और उपयोग किए गए कंप्यूटिंग टूल के अनुकूल होना चाहिए। कम्प्यूटेशनल गणित की विधियों द्वारा निर्मित गणितीय मॉडल का अध्ययन किया जा रहा है।

चरण 3. कार्यक्रम. कंप्यूटर पर मॉडल और एल्गोरिथम को लागू करने के लिए सॉफ्टवेयर बनाया जा रहा है। बनाए गए सॉफ़्टवेयर उत्पाद को गणितीय मॉडलिंग की सबसे महत्वपूर्ण बारीकियों को ध्यान में रखना चाहिए, जो गणितीय मॉडल के एक सेट और गणनाओं के बहुभिन्नरूपी का उपयोग करने की आवश्यकता से जुड़ा है। नतीजतन, शोधकर्ता को एक सार्वभौमिक, लचीला और सस्ता उपकरण प्राप्त होता है, जिसे पहले सेट के समाधान पर डिबग, परीक्षण और कैलिब्रेट किया जाता है। परीक्षण कार्य. फिर अध्ययन के तहत वस्तु के आवश्यक गुणात्मक और मात्रात्मक गुणों और विशेषताओं को प्राप्त करने के लिए गणितीय मॉडल का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया जाता है। प्रस्तावित कार्यप्रणाली को प्रौद्योगिकी के रूप में विकसित किया गया है" कम्प्यूटेशनल प्रयोग ". एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग एक सूचना प्रौद्योगिकी है जिसे आसपास की दुनिया की घटनाओं का अध्ययन करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जब एक पूर्ण पैमाने पर प्रयोग या तो असंभव है (उदाहरण के लिए, मानव स्वास्थ्य का अध्ययन करते समय), या बहुत खतरनाक (उदाहरण के लिए, पर्यावरणीय घटनाओं का अध्ययन करते समय), या बहुत महंगा और जटिल (उदाहरण के लिए, जब खगोलीय घटना का अध्ययन)। विस्तृत आवेदनगणितीय मॉडलिंग में कंप्यूटर, विकसित सिद्धांत और महत्वपूर्ण व्यावहारिक परिणाम हमें एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के रूप में बोलने की अनुमति देते हैं नई टेक्नोलॉजीऔर वैज्ञानिक और व्यावहारिक अनुसंधान की पद्धति। इंजीनियरिंग गतिविधियों में एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग का एक गंभीर परिचय अभी तक बहुत व्यापक नहीं है, लेकिन जहां यह वास्तव में होता है (विमानन और अंतरिक्ष उद्योग में), इसके फल बहुत महत्वपूर्ण हैं। आइए हम प्राकृतिक प्रयोग की तुलना में अभिकलनात्मक प्रयोग के कुछ लाभों पर ध्यान दें। एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग, एक नियम के रूप में, एक भौतिक से सस्ता है। इस प्रयोग से आसानी से और सुरक्षित रूप से छेड़छाड़ की जा सकती है। यदि आवश्यक हो तो इसे फिर से दोहराया जा सकता है, और किसी भी समय बाधित किया जा सकता है। इस प्रयोग के दौरान, आप उन परिस्थितियों का अनुकरण कर सकते हैं जिन्हें प्रयोगशाला में नहीं बनाया जा सकता है। कुछ मामलों में, पूर्ण पैमाने पर प्रयोग करना कठिन होता है, और कभी-कभी असंभव भी। अक्सर, एक पूर्ण पैमाने पर प्राकृतिक प्रयोग विनाशकारी या अप्रत्याशित परिणामों (परमाणु युद्ध, साइबेरियाई नदियों का मोड़) या मानव जीवन या स्वास्थ्य के लिए खतरे से जुड़ा होता है। विनाशकारी घटनाओं (दुर्घटना) का अध्ययन और भविष्यवाणी करना अक्सर आवश्यक होता है परमाणु भट्टीपरमाणु ऊर्जा स्टेशन, ग्लोबल वार्मिंगया जलवायु का ठंडा होना, सुनामी, भूकंप)। इन मामलों में, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग अनुसंधान का मुख्य साधन बन सकता है। इसकी मदद से, उनके डिजाइन के चरण में नए, अभी तक निर्मित संरचनाओं और सामग्रियों के गुणों की भविष्यवाणी करना संभव है। उसी समय, यह याद रखना चाहिए कि एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के परिणामों की प्रयोज्यता स्वीकृत गणितीय मॉडल के ढांचे द्वारा सीमित है। प्राकृतिक अध्ययनों के विपरीत, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग किसी को एक निश्चित श्रेणी की समस्याओं के अध्ययन में प्राप्त परिणामों को संचित करने की अनुमति देता है, और फिर उन्हें अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए प्रभावी ढंग से लागू करता है। उदाहरण के लिए, अरेखीय ऊष्मा समीकरण न केवल वर्णन करता है थर्मल प्रक्रियाएं, लेकिन पदार्थ का प्रसार, भूजल की गति, झरझरा मीडिया में गैस निस्पंदन। इस समीकरण में शामिल मात्राओं का केवल भौतिक अर्थ बदल जाता है। कम्प्यूटेशनल प्रयोग के पहले चरण के बाद, मॉडल को परिष्कृत करना आवश्यक हो सकता है। दूसरे चरण में, अध्ययन के तहत घटना में अतिरिक्त प्रभावों और कनेक्शनों को ध्यान में रखा जाता है, या कुछ नियमितताओं और कनेक्शनों की उपेक्षा करना आवश्यक हो जाता है। फिर इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाता है जब तक हम यह आश्वस्त नहीं हो जाते कि मॉडल अध्ययन के तहत वस्तु के लिए पर्याप्त है। आमतौर पर, पेशेवर गणितज्ञों और प्रोग्रामर के अलावा, एक विशिष्ट विषय क्षेत्र (जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, चिकित्सा, आदि) के विशेषज्ञ गणितीय मॉडलिंग और कम्प्यूटेशनल प्रयोग की प्रक्रिया में भाग लेते हैं। पहला गंभीर कम्प्यूटेशनल प्रयोग यूएसएसआर में 1968 में वैज्ञानिकों के एक समूह द्वारा शिक्षाविदों ए.एन. तिखोनोव और ए.ए. के नेतृत्व में किया गया था। समारा। यह तथाकथित टी-लेयर प्रभाव (प्लाज्मा में तापमान वर्तमान शीट जो एमएचडी जनरेटर में बनता है) की खोज थी - एक ऐसी घटना जिसे वास्तव में किसी ने नहीं देखा। और कुछ साल बाद ही टी-लेयर को प्रायोगिक भौतिक प्रयोगशालाओं में पंजीकृत किया गया था, और टी-लेयर के साथ एमएचडी जनरेटर के संचालन का सिद्धांत अंततः प्रौद्योगिकीविदों और इंजीनियरों के लिए स्पष्ट हो गया। पर पिछले सालरसायन विज्ञान, चिकित्सा, अर्थशास्त्र, प्राथमिक कण भौतिकी में कई नोबेल पुरस्कार उन कार्यों के लिए दिए गए थे जिनका पद्धतिगत आधार ठीक गणितीय मॉडलिंग था। यांत्रिकी, भौतिकी और प्राकृतिक विज्ञान के अन्य सटीक विज्ञानों में अध्ययन के तहत घटनाओं का वर्णन करने के लिए गणितीय मॉडल लंबे समय से उपयोग किए जाते हैं। 3-4 हजार साल पहले, उन्होंने क्षेत्रों और मात्राओं की गणना, सरलतम तंत्र की गणना, यानी की गणना से संबंधित लागू गणित की समस्याओं को हल किया। अंकगणित, बीजगणित और ज्यामिति की सरल समस्याओं के साथ। कंप्यूटिंग साधन उनकी अपनी उंगलियां थीं, और फिर अबेकस। अधिकांश गणनाएँ बिना गोलाई के, ठीक-ठीक की गईं। 17वीं शताब्दी में, आइजैक न्यूटन ने सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति के पैटर्न का पूरी तरह से वर्णन किया, भूगणित की समस्याओं को हल किया, और यांत्रिक संरचनाओं की गणना की। समस्याओं को साधारण अंतर समीकरणों, या बीजीय प्रणालियों में घटा दिया गया था एक लंबी संख्याअज्ञात, गणना 8 महत्वपूर्ण अंकों तक पर्याप्त उच्च सटीकता के साथ की गई थी। गणना में, प्राथमिक कार्यों की तालिका, एक जोड़ने वाली मशीन, एक स्लाइड नियम का उपयोग किया गया था; इस अवधि के अंत तक, इलेक्ट्रिक मोटर के साथ अच्छी कीबोर्ड मशीनें दिखाई दीं। उस समय, संख्यात्मक विधियों के लिए एल्गोरिदम विकसित किए गए थे, जो अभी भी कम्प्यूटेशनल गणित के शस्त्रागार में एक सम्मानजनक स्थान पर काबिज हैं। इसलिए न्यूटन ने बीजीय समीकरणों को हल करने के लिए एक प्रभावी संख्यात्मक विधि का प्रस्ताव रखा, और यूलर ने साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक संख्यात्मक विधि का प्रस्ताव रखा। नेपच्यून ग्रह की खोज संख्यात्मक विधियों के अनुप्रयोग का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। यूरेनस शनि के बगल में स्थित ग्रह है, जिसे कई शताब्दियों तक सबसे दूर का ग्रह माना जाता था। XIX सदी के 40 के दशक तक। सटीक टिप्पणियों से पता चला है कि यूरेनस मुश्किल से उस पथ से विचलित हो रहा है जिसका उसे अनुसरण करना चाहिए, सभी से परेशानियों को ध्यान में रखते हुए ज्ञात ग्रह. ले वेरियर (फ्रांस में) और एडम्स (इंग्लैंड में) ने सुझाव दिया कि यदि ज्ञात ग्रहों से गड़बड़ी यूरेनस की गति में विचलन की व्याख्या नहीं करती है, तो इसका मतलब है कि अभी तक अज्ञात शरीर का आकर्षण उस पर कार्य करता है। उन्होंने लगभग एक साथ गणना की कि यूरेनस के पीछे एक अज्ञात शरीर होना चाहिए जो इन विचलन को अपने आकर्षण से उत्पन्न करता है। उन्होंने कक्षा की गणना की अज्ञात ग्रह, इसका द्रव्यमान और आकाश में उस स्थान को इंगित करता है जहाँ अज्ञात ग्रह दिए गए समय में होना चाहिए था। यह ग्रह 1846 में उनके द्वारा बताए गए स्थान पर एक दूरबीन में पाया गया था। इसे नेपच्यून कहा जाता था। नेपच्यून के प्रक्षेपवक्र की गणना करने में ले वेरियर को छह महीने लगे। लागू समस्याओं के संख्यात्मक समाधान में हमेशा गणितज्ञों की दिलचस्पी रही है। अपने समय के सबसे बड़े वैज्ञानिक संख्यात्मक विधियों के विकास में शामिल थे: न्यूटन, यूलर, लोबचेवस्की, गॉस, हर्मिट, चेबीशेव और अन्य। उनके द्वारा विकसित संख्यात्मक विधियों में उनके नाम हैं। संख्यात्मक विधियों के विकास ने अन्य वैज्ञानिक विषयों और अनुप्रयुक्त विकासों में गणित के दायरे के निरंतर विस्तार में योगदान दिया। कंप्यूटर के आगमन ने वैज्ञानिक और तकनीकी गणनाओं के अभ्यास में संख्यात्मक विधियों के और भी व्यापक परिचय को एक शक्तिशाली प्रोत्साहन दिया। कम्प्यूटेशनल संचालन करने की गति लाखों गुना बढ़ गई है, जिससे गणितीय समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को हल करना संभव हो गया है जो पहले व्यावहारिक रूप से अनसुलझी थीं। कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम का विकास और अनुसंधान, विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए उनका अनुप्रयोग आधुनिक गणित - कम्प्यूटेशनल गणित के एक विशाल खंड की सामग्री है। एक स्वतंत्र गणितीय अनुशासन के रूप में कम्प्यूटेशनल गणित का गठन बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में हुआ था। कम्प्यूटेशनल गणित को व्यापक अर्थों में गणित की एक शाखा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो कंप्यूटर के उपयोग से संबंधित मुद्दों की एक विस्तृत श्रृंखला का अध्ययन करती है। एक संकीर्ण अर्थ में, कम्प्यूटेशनल गणित को गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों और एल्गोरिदम के सिद्धांत के रूप में परिभाषित किया गया है। हमारे पाठ्यक्रम में, हम कम्प्यूटेशनल गणित को शब्द के संकीर्ण अर्थ में समझेंगे। आधुनिक कंप्यूटर-आधारित संख्यात्मक विधियों को विविध और अक्सर परस्पर विरोधी आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए। आमतौर पर, किसी दिए गए गणितीय मॉडल के लिए एक संख्यात्मक विधि का निर्माण दो चरणों में विभाजित होता है: मूल का विवेकीकरण गणितीय समस्याऔर एक कम्प्यूटेशनल एल्गोरिथ्म का विकास जो एक असतत समस्या का समाधान खोजने की अनुमति देता है। संख्यात्मक विधियों के लिए आवश्यकताओं के दो समूह हैं। पहला समूह मूल गणितीय समस्या के लिए असतत मॉडल की पर्याप्तता से संबंधित है, दूसरा - उपलब्ध कंप्यूटर प्रौद्योगिकी पर संख्यात्मक विधि की व्यवहार्यता से संबंधित है। पहले समूह में संख्यात्मक विधि के अभिसरण, संरक्षण कानूनों के असतत एनालॉग्स की पूर्ति और असतत समस्या के समाधान के गुणात्मक रूप से सही व्यवहार जैसी आवश्यकताएं शामिल हैं। आइए मान लें कि गणितीय समस्या का असतत मॉडल एक प्रणाली है एक लंबी संख्याबीजीय समीकरण। आमतौर पर, जितना अधिक सटीक रूप से हम एक समाधान प्राप्त करना चाहते हैं, उतने ही अधिक समीकरण हमें लेने होंगे। एक संख्यात्मक विधि को अभिसरण कहा जाता है, यदि समीकरणों की संख्या अनिश्चित काल तक बढ़ती है, तो असतत समस्या का समाधान मूल समस्या के समाधान के लिए जाता है। चूंकि एक वास्तविक कंप्यूटर केवल सीमित संख्या में समीकरणों पर काम कर सकता है, आमतौर पर व्यवहार में अभिसरण प्राप्त नहीं होता है। इसलिए, असतत मॉडल बनाने वाले समीकरणों की संख्या के आधार पर विधि की त्रुटि का अनुमान लगाने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है। इसी कारण से, वे इस तरह से एक असतत मॉडल बनाने की कोशिश करते हैं कि यह अपेक्षाकृत कम संख्या में समीकरणों के साथ भी मूल समस्या के समाधान के गुणात्मक व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है। इसलिए, जब गणितीय भौतिकी की समस्याओं का विवेकीकरण किया जाता है, तो अंतर योजनाओं की बात आती है, जो रैखिक या गैर-रेखीय बीजीय समीकरणों की प्रणाली होती हैं। विभेदक समीकरणगणितीय भौतिकी अभिन्न संरक्षण कानूनों के परिणाम हैं। इसलिए, यह आवश्यक है कि अंतर योजना के लिए ऐसे संरक्षण कानूनों के अनुरूप हों। इस आवश्यकता को पूरा करने वाली अंतर योजनाएँ रूढ़िवादी कहलाती हैं। यह पता चला कि असतत समस्या में समान संख्या में समीकरणों के लिए, रूढ़िवादी अंतर योजनाएं गैर-रूढ़िवादी योजनाओं की तुलना में मूल अंतर समस्या के समाधान के व्यवहार को अधिक सही ढंग से दर्शाती हैं। एक संख्यात्मक विधि का अभिसरण इसकी शुद्धता से निकटता से संबंधित है। मूल गणितीय समस्या को सही ढंग से तैयार करने दें, अर्थात। इसका समाधान मौजूद है, अद्वितीय है, और लगातार इनपुट डेटा पर निर्भर करता है। फिर इस समस्या के असतत मॉडल का निर्माण इस तरह से किया जाना चाहिए कि वेल-पोज्डनेस संपत्ति संरक्षित रहे। नतीजतन, एक संख्यात्मक विधि की शुद्धता की अवधारणा में समीकरणों की संबंधित प्रणाली की अद्वितीय सॉल्वैबिलिटी और इसकी स्थिरता के गुण शामिल हैं। स्थिरता को इनपुट डेटा पर निरंतर निर्भरता के रूप में समझा जाता है। संख्यात्मक विधियों के लिए आवश्यकताओं का दूसरा समूह किसी दिए गए कंप्यूटर पर दिए गए असतत मॉडल को लागू करने की संभावना से संबंधित है, अर्थात। एक स्वीकार्य समय में संख्यात्मक समाधान प्राप्त करने की संभावना के साथ। आमतौर पर, भौतिक और तकनीकी समस्याओं के अध्ययन में उत्पन्न होने वाली जटिल कम्प्यूटेशनल समस्याओं को कई प्राथमिक समस्याओं में विभाजित किया जाता है। कई प्राथमिक समस्याएं सरल हैं, उनका अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है, उनके लिए संख्यात्मक समाधान के तरीके पहले ही विकसित किए जा चुके हैं, और मानक समाधान कार्यक्रम हैं। इस अध्याय का उद्देश्य बीजगणित और कलन की मुख्य संख्यात्मक विधियों और समस्याओं के संख्यात्मक समाधान में उत्पन्न होने वाली समस्याओं के निर्माण और शोध के लिए कार्यप्रणाली का परिचय देना है।

किसी वस्तु या घटना का एक मॉडल बनाना इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं और गुणों को उजागर करने और गणितीय संबंधों का उपयोग करके उनका वर्णन करने से शुरू होता है। फिर, गणितीय मॉडल बनाने के बाद, इसका अध्ययन गणितीय विधियों द्वारा किया जाता है, अर्थात। दी गई गणितीय समस्या को हल करें।

किसी वस्तु के अध्ययन में गणितीय पदक का निर्माण सबसे जटिल और जिम्मेदार चरणों में से एक है। एक गणितीय मॉडल कभी भी विचाराधीन वस्तु के समान नहीं होता है, इसके सभी गुणों और विशेषताओं को व्यक्त नहीं करता है। यह सरलीकरण, आदर्शीकरण पर आधारित है और वस्तु के विवरण का एक अनुमान है। इसलिए, इस मॉडल के आधार पर प्राप्त परिणाम हमेशा अनुमानित होते हैं। उनकी सटीकता पत्राचार की डिग्री, मॉडल की पर्याप्तता और वस्तु से निर्धारित होती है। अनुप्रयुक्त गणित में सटीकता का प्रश्न सबसे महत्वपूर्ण है। हालाँकि, यह विशुद्ध रूप से नहीं है गणित का प्रश्नऔर गणितीय रूप से हल नहीं किया जा सकता है। सत्य की मुख्य कसौटी प्रयोग है, अर्थात्। विचाराधीन वस्तु के साथ गणितीय मॉडल के आधार पर प्राप्त परिणामों की तुलना। केवल अभ्यास हमें विभिन्न काल्पनिक मॉडलों की तुलना करने और उनमें से सबसे सरल और विश्वसनीय चुनने की अनुमति देता है, प्रयोज्यता के क्षेत्रों को इंगित करता है विभिन्न मॉडलऔर उनके सुधार के लिए दिशा-निर्देश दिए। आइए हम एक कोण पर प्रारंभिक वेग के साथ जारी किए गए शरीर के प्रक्षेपवक्र को निर्धारित करने की प्रसिद्ध बैलिस्टिक समस्या के उदाहरण पर मॉडल के विकास पर विचार करें। क्षितिज को। सबसे पहले, मान लेते हैं कि गति और शरीर की उड़ान सीमा छोटी है। तब निम्नलिखित मान्यताओं पर आधारित गैलीलियो का गणितीय मॉडल इस समस्या के लिए मान्य होगा:

1) पृथ्वी एक जड़त्वीय प्रणाली है;

2) मुक्त गिरावट त्वरण
;

3) पृथ्वी एक सपाट पिंड है;

4) कोई वायु प्रतिरोध नहीं है।

इस मामले में, कुल्हाड़ियों के साथ शरीर के वेग के घटक एक्सऔर परबराबर

और उनके तरीके

, (6.2)

कहाँ पे टी - यात्रा के समय।

पहले समीकरण से टी का निर्धारण और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हम शरीर के प्रक्षेपवक्र के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं, जो एक परवलय है

(6.3)

शर्त से
शरीर की सीमा प्राप्त करें

(6.4)

हालांकि, जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, इस मॉडल के आधार पर प्राप्त परिणाम केवल शरीर के कम प्रारंभिक वेग पर ही मान्य होते हैं। वी<30м/с. С увеличением скоростиउड़ान सीमा सूत्र (6.1) द्वारा दिए गए मान से कम हो जाती है।

टी प्रयोग और गणना सूत्र (6.1) के बीच क्या विसंगति गैलीलियो मॉडल की अशुद्धि को इंगित करती है, जो वायु प्रतिरोध को ध्यान में नहीं रखती है।

चावल। 6.1 - शारीरिक उड़ान पथ

वायु प्रतिरोध को ध्यान में रखते हुए बैलिस्टिक समस्या मॉडल का और परिशोधन न्यूटन द्वारा किया गया था। इससे पर्याप्त सटीकता के साथ महत्वपूर्ण प्रारंभिक वेगों पर दागे गए तोप के गोले के प्रक्षेपवक्र की गणना करना संभव हो गया।

स्मूथ-बोर से राइफल्ड हथियारों में संक्रमण ने प्रोजेक्टाइल की गति, सीमा और ऊंचाई को बढ़ाना संभव बना दिया, जिससे समस्या के गणितीय मॉडल को और अधिक परिष्कृत किया गया। नए गणितीय मॉडल में, गैलीलियन मॉडल में स्वीकृत सभी मान्यताओं को संशोधित किया गया था, अर्थात। पृथ्वी को अब एक सपाट और जड़त्वीय प्रणाली नहीं माना जाता था, और पृथ्वी के आकर्षण बल को स्थिर नहीं माना जाता था।

समस्या के गणितीय मॉडल का बाद में सुधार संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों के उपयोग से जुड़ा है। यह इस तथ्य के कारण था कि सहिष्णुता और अन्य कारणों से गोले, बंदूकें, चार्ज और पर्यावरण के पैरामीटर अपरिवर्तित नहीं रहते हैं, लेकिन यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के अधीन होते हैं।

क्रमिक परिशोधन और सुधारों के परिणामस्वरूप, एक गणितीय मॉडल बनाया गया जो बाहरी बैलिस्टिक की समस्या का सबसे पूर्ण और सटीक वर्णन करता है। फायरिंग के परिणामों के साथ उसके डेटा की तुलना एक अच्छा मेल दिखाती है।

यह उदाहरण वस्तु के गणितीय मॉडल के निर्माण, विकास और शोधन के चरणों को दर्शाता है, जो लगातार अभ्यास द्वारा तुलना और सत्यापन के साथ होते हैं, अर्थात। वास्तविक वस्तु या घटना के साथ ही। यह वस्तु के साथ मॉडल द्वारा प्रदान किए गए परिणामों का अपर्याप्त रूप से अच्छा मेल है जो मॉडल के और सुधार का कारण बनता है।

1. गणितीय मॉडलिंग और अनुप्रयुक्त समस्याओं को हल करने में कंप्यूटर का उपयोग।

आधुनिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी में, गणितीय मॉडलिंग द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है, जो प्रयोगों को प्रतिस्थापित करती है वास्तविक वस्तुएंउनके साथ प्रयोग गणितीय मॉडल.

गणितीय मॉडलआसपास की दुनिया की घटनाओं के मानव संज्ञान के लिए मुख्य उपकरण में से एक हैं। गणितीय मॉडल के तहत अध्ययन के तहत घटना में निहित बुनियादी पैटर्न और संबंधों को समझते हैं। ये सूत्र या समीकरण, गणितीय रूप में व्यक्त नियमों के समूह या परिपाटी हो सकते हैं। प्राचीन काल से, गणित, यांत्रिकी, भौतिकी और प्राकृतिक विज्ञान के अन्य सटीक विज्ञानों में, गणितीय मॉडल का उपयोग उनके द्वारा अध्ययन की जाने वाली घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता रहा है। इस प्रकार, न्यूटन के नियम सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति के पैटर्न को पूरी तरह से निर्धारित करते हैं। यांत्रिकी के बुनियादी नियमों का उपयोग करते हुए, समीकरण लिखना अपेक्षाकृत आसान है जो अंतरिक्ष यान की गति का वर्णन करता है, उदाहरण के लिए, पृथ्वी से चंद्रमा तक। हालांकि, सरल सूत्रों के रूप में उनका समाधान प्राप्त करना संभव नहीं है।

गणितीय मॉडलिंग के लिए कंप्यूटर के उपयोग ने "समस्या को हल करने" की अवधारणा को बदल दिया है। इससे पहले, शोधकर्ता गणितीय मॉडल लिखने से संतुष्ट था। और अगर वह अभी भी यह साबित करने में कामयाब रहे कि एक समाधान (एल्गोरिदम) सिद्धांत रूप में मौजूद है, तो यह पर्याप्त था, अगर एक प्राथमिकता यह मान लिया गया था कि मॉडल अध्ययन के तहत घटना का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। चूंकि, एक नियम के रूप में, मॉडल के व्यवहार का वर्णन करने वाले कोई सरल सूत्र नहीं हैं, और इसलिए, मॉडल द्वारा वर्णित वस्तु, गणना के लिए मामले को कम करने का एकमात्र तरीका है, हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करना समस्या।

वर्तमान में कम्प्यूटर की सहायता से अध्ययनाधीन वस्तु के गणितीय मॉडलों के निर्माण एवं विश्लेषण के आधार पर जटिल समस्याओं के अध्ययन के लिए एक तकनीक विकसित की गई है। इस शोध पद्धति को कहा जाता है कम्प्यूटेशनल प्रयोग।

गणितीय मॉडलिंग और कम्प्यूटेशनल प्रयोग आज न केवल सटीक विज्ञान और प्रौद्योगिकी में, बल्कि आर्थिक विज्ञान, समाजशास्त्र और कई अन्य क्षेत्रों में भी उपयोग किए जाते हैं जिन्हें पारंपरिक रूप से गणित और कंप्यूटर से दूर माना जाता था। हमें कम्प्यूटेशनल प्रयोग की आवश्यकता क्यों है? परमाणु, अंतरिक्ष और कई अन्य जैसे जटिल वस्तुओं के डिजाइन के लिए भारी मात्रा में गणना की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, वायुगतिकी और परमाणु भौतिकी की कई अनुप्रयुक्त समस्याओं को हल करने के लिए प्रदर्शन करना आवश्यक है

अधिक अंकगणितीय संचालन। आधुनिक प्रौद्योगिकियां अक्सर सीमित व्यवस्थाओं का उपयोग करती हैं जिनके लिए जटिल गैर-रेखीय कारकों को ध्यान में रखना आवश्यक है। किसी वस्तु के व्यवहार का अध्ययन करना अक्सर आवश्यक होता है

चरम और आपातकालीन स्थितियों, जो एक पूर्ण पैमाने पर प्रयोग के माध्यम से व्यावहारिक रूप से असंभव है, उदाहरण के लिए, परमाणु विस्फोटों का अध्ययन करते समय, मानव निर्मित आपदाओं के परिणाम, और कई अन्य स्थितियों में।

2. कम्प्यूटेशनल प्रयोग और इसके चरण।

गणितीय मॉडलिंग में कंप्यूटर का व्यापक उपयोग, एक पर्याप्त शक्तिशाली सैद्धांतिक और प्रायोगिक आधार हमें एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग को वैज्ञानिक और अनुप्रयुक्त अनुसंधान में एक नई तकनीक और कार्यप्रणाली के रूप में बोलने की अनुमति देता है।

कम्प्यूटेशनल प्रयोग - यह कंप्यूटर पर किसी ऑब्जेक्ट के गणितीय मॉडल पर एक प्रयोग है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि मॉडल के एक पैरामीटर का उपयोग इसके अन्य मापदंडों की गणना के लिए किया जाता है और इस आधार पर, इसके गुणों के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है गणितीय मॉडल द्वारा वर्णित घटना।

कम्प्यूटेशनल प्रयोग में शोधकर्ताओं, एक विशेष विषय क्षेत्र के विशेषज्ञों, गणितज्ञों, सिद्धांतकारों, कैलकुलेटर, अनुप्रयुक्त इंजीनियरों, प्रोग्रामर की एक टीम भाग लेती है। ये है

और प्रसंस्करण परिणाम। यहां आप काम के साथ समानता देख सकते हैं

नियंत्रण प्रयोग, धारावाहिक प्रयोग, प्रयोगात्मक डेटा का प्रसंस्करण और उनकी व्याख्या, आदि। इस प्रकार, बड़े पैमाने पर जटिल गणनाओं को कंप्यूटर पर किए गए एक प्रयोग या एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के रूप में माना जाना चाहिए।

कम्प्यूटिंग				प्रयोग नाटक
साधारण			प्रयोग			अनुसंधान
आधुनिक		परिकल्पना		लगभग हमेशा		एक गणित है			विवरण,
			प्रयोग करते हैं।
	इस अवधारणा का परिचय							क्षमता को उजागर करें
कंप्यूटर		बड़ा प्रदर्शन करें					संगणना,		क्रियान्वयन
अनुसंधान। अन्यथा					कंप्यूटर आपको अनुमति देता है

भौतिक, रासायनिक आदि प्रयोग एक संगणकीय प्रयोग है।

एक पूर्ण पैमाने की तुलना में एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग, बहुत सस्ता और अधिक सुलभ है, इसकी तैयारी और कार्यान्वयन के लिए कम समय की आवश्यकता होती है, इसे फिर से करना आसान होता है, और यह अधिक विस्तृत जानकारी प्रदान करता है। इसके अलावा, कम्प्यूटेशनल प्रयोग के दौरान, सीमाएं

गणितीय मॉडल की प्रयोज्यता, जो प्राकृतिक परिस्थितियों में प्रयोग की भविष्यवाणी करने की अनुमति देती है। इसलिए, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग का उपयोग उन गणितीय मॉडलों तक सीमित है जो अध्ययन में शामिल हैं। इस कारण से, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग पूर्ण पैमाने पर प्रयोग को पूरी तरह से प्रतिस्थापित नहीं कर सकता है, और इस स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता उनके उचित संयोजन में निहित है। इस मामले में, एक जटिल प्रयोग करने में, गणितीय मॉडल की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग किया जाता है: प्रत्यक्ष समस्याएं, उलटा समस्याएं, अनुकूलन समस्याएं, पहचान समस्याएं।

जटिल अनुप्रयुक्त समस्याओं को हल करने के साधन के रूप में एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के उपयोग की प्रत्येक विशिष्ट कार्य और प्रत्येक विशिष्ट वैज्ञानिक टीम के मामले में अपनी विशिष्ट विशेषताएं हैं। फिर भी, सामान्य विशेषता मुख्य विशेषताएं हमेशा स्पष्ट रूप से दिखाई देती हैं, जिससे हम इस प्रक्रिया की एकल संरचना के बारे में बात कर सकते हैं। वर्तमान में, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के तकनीकी चक्र को आमतौर पर कई तकनीकी चरणों में विभाजित किया जाता है। और यद्यपि ऐसा विभाजन काफी हद तक मनमाना है, यह हमें सैद्धांतिक शोध करने की इस पद्धति के सार को बेहतर ढंग से समझने की अनुमति देता है।

इस प्रकार, किसी भी प्रयोग की तरह, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग कुछ नियमों का पालन करता है। योजनाबद्ध रूप से, कम्प्यूटेशनल प्रयोग के चरणों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

	भौतिक		गणितीय		संख्यात्मक विधि =
					असतत मॉडल +
अनुसंधान					कम्प्यूटिंग
					कलन विधि

चावल। बी 1. कम्प्यूटेशनल प्रयोग की योजना

कम्प्यूटेशनल प्रयोग का आधार त्रय है: मॉडल - विधि (एल्गोरिदम) - कार्यक्रम. पहले कुछ मान्यताओं के साथ बनाया गया वस्तु का भौतिक मॉडल।एक भौतिक मॉडल विचाराधीन घटना पर लगाए गए बाधाओं, मान्यताओं और सरलीकरण का एक समूह है। निम्नलिखित वर्णन करता है: गणित का मॉडल. एक गणितीय मॉडल एक समीकरण, समीकरणों की एक प्रणाली या समीकरणों की प्रणालियों का एक समूह है जो भौतिक का वर्णन करता है

आदर्श। फिर समीकरणों की इन प्रणालियों को हल करना आवश्यक है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, आमतौर पर आवेदन करना आवश्यक है संख्यात्मक तरीके. संख्यात्मक विधि को समुच्चय के रूप में समझा जाता है असतत मॉडलकंप्यूटर पर लागू किया गया, और कम्प्यूटेशनल एल्गोरिथम, जो विवेकाधीन समस्या को हल करने की अनुमति देता है। संख्यात्मक पद्धति को लागू करने के लिए, प्रोग्रामिंग भाषाओं में से एक में एक प्रोग्राम विकसित करना या लागू कार्यक्रमों के तैयार पैकेज को लागू करना आवश्यक है। वर्तमान में, मैथकैड, मैटलैब, मेपल, मैथमैटिका और अन्य जैसे एप्लिकेशन सॉफ्टवेयर पैकेज हैं जो व्यवहार में आने वाली अधिकांश समस्याओं को हल करने की अनुमति देते हैं। हालाँकि, समस्या का एक सक्षम निरूपण, समाधान विधि का एक तर्कसंगत विकल्प और परिणामों की सही व्याख्या के लिए संख्यात्मक विधियों के गंभीर ज्ञान की आवश्यकता होती है। डिबगिंग के बाद, प्रोग्राम तैयार किए जाते हैं कंप्यूटर पर कंप्यूटिंग(आमतौर पर गणना के कई रूपों को करने की आवश्यकता होती है, जिसके लिए एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग की योजना बनाना आवश्यक है) और परिणामों का विश्लेषण. परिणाम प्राप्त करने के बाद, एक वास्तविक वस्तु के कामकाज की प्रक्रिया के लिए कम्प्यूटेशनल प्रयोग के परिणामों के पत्राचार की जांच की जाती है और, यदि आवश्यक हो, तो कम्प्यूटेशनल प्रयोग योजना (छवि। बी.1) के घटकों को तब तक परिष्कृत किया जाता है जब तक कि संतोषजनक परिणाम न हों। प्राप्त।

3. संख्यात्मक तरीके

एक व्यापक अर्थ में, एक संख्यात्मक विधि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक कंप्यूटर पर लागू एक असतत मॉडल के एक सेट और एक कम्प्यूटेशनल एल्गोरिथ्म के रूप में समझा जाता है जो एक असतत समस्या को हल करने की अनुमति देता है।

एक और एक ही गणितीय मॉडल को असतत मॉडल और कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम, यानी संख्यात्मक तरीकों के एक सेट से जोड़ा जा सकता है। संख्यात्मक विधि चुनते समय, आवश्यकताओं के दो समूहों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

असतत मॉडल गणितीय मॉडल के लिए पर्याप्त होना चाहिए;

संख्यात्मक विधि सही होनी चाहिए और कंप्यूटर पर लागू करने योग्य होनी चाहिए।

पर्याप्तता सुनिश्चित करने के लिए, एक असतत मॉडल में गुण होने चाहिए संख्यात्मक विधि का अभिसरण, संरक्षण के असतत एनालॉग का कार्यान्वयन, और समाधान का गुणात्मक रूप से सही व्यवहार.

उदाहरण के लिए, संख्यात्मक विधि के अभिसरण का अर्थ है कि एकीकरण अंतराल को विभाजित करने के चरण में कमी के साथ, संख्यात्मक एकीकरण की सटीकता बढ़ जाती है। विभिन्न गणितीय मॉडल भौतिक संरक्षण कानूनों की अभिव्यक्ति हैं, इसलिए एक असतत मॉडल के लिए, संरक्षण कानूनों को भी संतुष्ट होना चाहिए। असतत मॉडल के गुणात्मक रूप से सही व्यवहार का अर्थ है कि मॉडल के व्यवहार की असतत प्रकृति के कारण, वास्तविक प्रणाली के व्यवहार के कुछ विवरण खो नहीं जाते हैं।

संख्यात्मक विधि की शुद्धताइसका मतलब है कि असतत समस्या विशिष्ट रूप से हल करने योग्य और प्रारंभिक डेटा त्रुटियों और कम्प्यूटेशनल त्रुटियों के लिए प्रतिरोधी होनी चाहिए। कंप्यूटर पर संख्यात्मक पद्धति का कार्यान्वयनकंप्यूटर की मेमोरी और गति की मात्रा द्वारा सीमित। कम्प्यूटेशनल एल्गोरिथम को कंप्यूटर संसाधनों पर उचित मांग करनी चाहिए। उदाहरण के लिए, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गणितीय रूप से सही क्रैमर विधि वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए बिल्कुल अनुपयुक्त है: यदि हम मानते हैं कि प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन 10 - 6 एस में किया जाता है, तो इसे हल करने में एक मिलियन वर्ष से अधिक समय लगेगा। क्रैमर पद्धति का उपयोग करते हुए 20 अज्ञात के साथ प्रणाली। साथ ही, इस प्रणाली को एक सेकंड के अंश में सबसे सरल गॉस विधि द्वारा हल किया जा सकता है।

एक संकीर्ण अर्थ में, के तहत संख्यात्मक तरीकेगणितीय समस्याओं के अनुमानित समाधान के तरीकों को समझें, जो संख्याओं पर एक सीमित संख्या में प्राथमिक संक्रियाएं करने तक सीमित हैं। प्राथमिक संचालन में अंकगणितीय संचालन शामिल होते हैं, जो आमतौर पर लगभग किए जाते हैं, साथ ही सहायक संचालन - मध्यवर्ती परिणामों के रिकॉर्ड, तालिकाओं से चयन आदि। कुछ स्थितीय संख्या प्रणाली (दशमलव, द्विआधारी, आदि) में अंकों के सीमित सेट द्वारा संख्याएं दी जाती हैं। इस प्रकार, संख्यात्मक विधियों में, संख्या रेखा को संख्याओं की एक असतत प्रणाली (ग्रिड) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है; एक निरंतर तर्क के कार्य को ग्रिड में इसके मूल्यों की एक तालिका द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है; निरंतर कार्यों पर कार्य करने वाले विश्लेषण के संचालन को ग्रिड में कार्यों के मूल्यों पर बीजीय संचालन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

पाठ्यक्रम "न्यूमेरिकल मेथड्स" का उद्देश्य सैद्धांतिक नींव का अध्ययन करना और कम्प्यूटेशनल समस्याओं को हल करने और एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग करने में व्यावहारिक कौशल हासिल करना है।

न्यूनतम कार्यक्रम

विशेषता में उम्मीदवार परीक्षा

05.13.18 "गणितीय मॉडलिंग,
संख्यात्मक तरीके और सॉफ्टवेयर पैकेज"

रासायनिक, भूवैज्ञानिक और खनिज पर
और जैविक विज्ञान

परिचय

यह कार्यक्रम निम्नलिखित विषयों पर आधारित है: सूचना विज्ञान; कम्प्यूटेशनल गणित; कंप्यूटर; रसायन विज्ञान और रासायनिक प्रौद्योगिकी में साइबरनेटिक्स के तरीके; रासायनिक-तकनीकी प्रणालियों का विश्लेषण और संश्लेषण; रासायनिक प्रौद्योगिकी में कृत्रिम बुद्धि और संकर विशेषज्ञ प्रणालियों का सिद्धांत; रासायनिक-तकनीकी प्रक्रियाओं का गणितीय मॉडलिंग; तकनीकी प्रणालियों की विश्वसनीयता और दक्षता।

कार्यक्रम को रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय के उच्च सत्यापन आयोग की विशेषज्ञ परिषद द्वारा रसायन विज्ञान में (अकार्बनिक रसायन विज्ञान में) रूसी रासायनिक प्रौद्योगिकी विश्वविद्यालय की भागीदारी के साथ विकसित किया गया था। .

1. कम्प्यूटेशनल गणित के तरीके

अंतर योजनाओं के सिद्धांत से सामान्य जानकारी।बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ। सन्निकटन। गिनती स्थिरता। अभिसरण प्रमेय। गणितीय भौतिकी की कुछ समस्याओं के परिमित-अंतर अनुरूप।

विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए अंतर योजनाओं के निर्माण के तरीके।गणितीय भौतिकी में परिवर्तनशील विधियाँ। एक आयामी समस्याओं को हल करने के लिए बुनियादी कार्यों का निर्माण। बहुआयामी समस्याओं को हल करने के लिए बुनियादी कार्यों का निर्माण। परिवर्तनशील-अंतर और प्रक्षेपण-ग्रिड योजनाएं। प्रोजेक्शन-ग्रिड विधि द्वारा अस्थाई समस्याओं के लिए योजनाओं का निर्माण।

ग्रिड कार्यों का प्रक्षेप।गैर-स्थिर पुनरावृत्ति विधियाँ। बंटवारा विधि। एकवचन मैट्रिक्स वाले सिस्टम के लिए पुनरावृत्त विधियाँ।

गैर-स्थिर समस्याओं को हल करने के तरीके।समय के आधार पर ऑपरेटरों के साथ सन्निकटन के दूसरे क्रम की अंतर योजनाएँ। विकासवादी प्रकार के अमानवीय समीकरण। गैर-स्थिर समस्याओं के लिए बंटवारे के तरीके। कार्यों का बहु-घटक विभाजन। अतिपरवलयिक प्रकार के समीकरणों को हल करने की विधियाँ।

आसन्न समीकरण और गड़बड़ी के तरीके।बुनियादी और आसन्न समीकरण। गड़बड़ी एल्गोरिदम। eigenvalue समस्याओं के लिए गड़बड़ी सिद्धांत विधि। रैखिक कार्यों के लिए सहायक समीकरण और गड़बड़ी सिद्धांत।

कुछ प्रतिलोम समस्याओं को हल करने के लिए कथन और संख्यात्मक विधियाँ।बुनियादी परिभाषाएँ और उदाहरण। एक निरंतर ऑपरेटर के साथ उलटा विकासवादी समस्याओं का समाधान। समय-निर्भर ऑपरेटर के साथ एक उलटा विकासवादी समस्या। विक्षोभ सिद्धांत के तरीकों के आधार पर व्युत्क्रम समस्याओं का विवरण।

2. गणितीय विश्लेषण के संख्यात्मक तरीके

प्रक्षेप और संख्यात्मक विभेदन के तरीके।कार्यों के सन्निकटन की समस्या का विवरण। लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद। लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद के शेष पद के लिए एक अनुमान। अलग मतभेद और उनके गुण। विभाजित अंतरों के साथ न्यूटन का प्रक्षेप सूत्र। कई नोड्स के साथ अंतर और इंटरपोलेशन विभाजित करें। परिमित अंतर में समीकरण। चेबीशेव बहुपद। प्रक्षेप सूत्र के शेष पद के अनुमान का न्यूनतमीकरण। मतभेद खत्म। एक स्थिर चरण वाली तालिकाओं के लिए प्रक्षेप सूत्र। तालिकाओं का संकलन। प्रक्षेप में गोलाई त्रुटि पर। प्रक्षेप तंत्र के अनुप्रयोग। रिवर्स इंटरपोलेशन। संख्यात्मक विभेदन। संख्यात्मक विभेदीकरण फ़ार्मुलों की कम्प्यूटेशनल त्रुटि पर। तर्कसंगत प्रक्षेप।

संख्यात्मक एकीकरण के लिए तरीके और एल्गोरिदम।सबसे सरल द्विघात सूत्र। अनिश्चित गुणांक की विधि। चतुर्भुज त्रुटि अनुमान। न्यूटन-कोट्स द्विघात सूत्र। ऑर्थोगोनल बहुपद। गॉस के द्विघात सूत्र। प्रारंभिक द्विघात सूत्रों की त्रुटि का व्यावहारिक अनुमान। तेजी से दोलन कार्यों का एकीकरण। खंड को समान भागों में विभाजित करके एकीकरण की सटीकता में सुधार करना। अनुकूलन समस्याओं के निरूपण पर। चतुर्भुज अनुकूलन समस्या का विवरण। द्विघात सूत्र नोड्स के वितरण का अनुकूलन। नोड वितरण अनुकूलन के उदाहरण। अग्रणी त्रुटि शब्द। व्यावहारिक त्रुटि अनुमान का रन का नियम। उच्च क्रम के प्रक्षेप द्वारा परिणाम का शोधन। अनियमित मामले में इंटीग्रल की गणना। स्वचालित चरण चयन के साथ मानक कार्यक्रमों के निर्माण के सिद्धांत।

फ़ंक्शन सन्निकटन के तरीके।रैखिक आदर्श स्थान में सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन। हिल्बर्ट अंतरिक्ष में सबसे अच्छा सन्निकटन और इसके व्यावहारिक निर्माण में उत्पन्न होने वाले प्रश्न। त्रिकोणमितीय प्रक्षेप। असतत फूरियर रूपांतरण। फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म। सबसे अच्छा वर्दी सन्निकटन। सर्वोत्तम वर्दी सन्निकटन के उदाहरण। सर्वोत्तम एकसमान सन्निकटन के बहुपद के निर्माण के लिए एक पुनरावृत्त विधि। स्प्लिन द्वारा प्रक्षेप और सन्निकटन। एन्ट्रॉपी और ई-एंट्रॉपी।

बहुआयामी कार्य।अनिश्चित गुणांक की विधि। कम से कम वर्ग विधि और नियमितीकरण। नियमितीकरण के उदाहरण बहुआयामी समस्याओं को एक आयामी में कम करना। त्रिभुज में कार्यों का प्रक्षेप। एक समान ग्रिड पर संख्यात्मक एकीकरण की त्रुटि का अनुमान। संख्यात्मक एकीकरण की त्रुटि के लिए निचली सीमा। मोंटे कार्लो विधि। समस्याओं को हल करने के लिए गैर-नियतात्मक विधियों का उपयोग करने की वैधता की चर्चा। मोंटे कार्लो पद्धति के अभिसरण का त्वरण।

बीजगणित की संख्यात्मक विधियाँ।अज्ञात के क्रमिक बहिष्करण के तरीके। प्रतिबिंब विधि। सरल पुनरावृत्ति विधि। कंप्यूटर पर सरल पुनरावृत्ति विधि के कार्यान्वयन की विशेषताएं। b2- त्रुटि के व्यावहारिक आकलन और अभिसरण के त्वरण की प्रक्रिया। पुनरावृत्त प्रक्रियाओं के अभिसरण की दर का अनुकूलन। सीडल विधि। सबसे तेज ढाल वंश विधि। संयुग्म ढाल विधि। वर्णक्रमीय समकक्ष ऑपरेटरों का उपयोग करके पुनरावृत्त विधियां। समीकरणों की प्रणाली के अनुमानित समाधान की त्रुटि और मैट्रिक्स की सशर्तता। नियमितीकरण। स्वदेशी मूल्यों की समस्या। QR एल्गोरिथम का उपयोग करके संपूर्ण eigenvalue समस्या को हल करना।

गैर-रेखीय समीकरणों और अनुकूलन समस्याओं की प्रणाली को हल करना।सरल पुनरावृत्ति विधि और संबंधित मुद्दे। गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए न्यूटन की विधि। उतरने के तरीके। बहुआयामी समस्याओं को निम्न आयाम की समस्याओं में कम करने के अन्य तरीके। स्थाई समस्याओं का समाधान स्थापना द्वारा।

साधारण अवकल समीकरणों के लिए कॉची समस्या को हल करने की संख्यात्मक विधियाँ।टेलर सूत्र द्वारा कॉची समस्या का समाधान। रनगे-कुट्टा तरीके। चरण त्रुटि नियंत्रण के साथ तरीके। एक-चरणीय विधियों के लिए त्रुटि अनुमान। परिमित अंतर विधियाँ। अनिश्चित गुणांक की विधि। मॉडल समस्याओं पर परिमित अंतर विधियों के गुणों की जांच। परिमित-अंतर विधियों की त्रुटि का अनुमान। समीकरणों की प्रणालियों के एकीकरण की विशेषताएं। द्वितीय कोटि के समीकरणों के अंकीय समाकलन की विधियाँ।

साधारण अवकल समीकरणों के लिए सीमा मान की समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके।दूसरे क्रम के समीकरण के लिए सीमा मान की समस्या को हल करने की सबसे सरल विधियाँ। ग्रिड सीमा मूल्य समस्या का ग्रीन का कार्य। सरलतम सीमा मान समस्या का समाधान। कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम को बंद करना। प्रथम कोटि की रैखिक प्रणालियों के लिए सीमा मान समस्याओं के निरूपण की चर्चा। पहले क्रम के समीकरणों की प्रणाली के लिए सीमा मूल्य की समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम। गैर-रेखीय सीमा मूल्य समस्याएं। एक विशेष प्रकार के अनुमान। eigenvalues ​​​​खोजने के लिए परिमित-अंतर विधियां। एकीकरण नोड्स के वितरण का अनुकूलन। विभिन्न सिद्धांतों का उपयोग करके संख्यात्मक विधियों का निर्माण। अनियमित मामले में परिवर्तनशील विधियों के अभिसरण में सुधार। परिमित-अंतर समीकरण के रूप के आधार पर कम्प्यूटेशनल त्रुटि का प्रभाव।

आंशिक अंतर समीकरण को हल करने के तरीके।ग्रिड विधि के सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ। सरलतम अतिपरवलयिक समस्याओं का सन्निकटन। जमे हुए गुणांक का सिद्धांत। असंतत समाधान के साथ अरेखीय समस्याओं का संख्यात्मक समाधान। एक आयामी परवलयिक समीकरण के लिए अंतर योजनाएँ। अण्डाकार समीकरणों का अंतर सन्निकटन। कई अंतरिक्ष चर के साथ परवलयिक समीकरणों का समाधान। ग्रिड अण्डाकार समीकरणों को हल करने के तरीके।

अभिन्न समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके।इंटीग्रल को क्वाड्रेचर योग से बदलकर इंटीग्रल इक्वेशन को हल करना। कर्नेल को एक पतित के साथ बदलकर अभिन्न समीकरणों को हल करना। पहली तरह का फ्रेडहोम अभिन्न समीकरण।

3. रैखिक प्रोग्रामिंग के तरीके

रैखिक असमानताओं के सिद्धांत के मूल तत्व।

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं का गणितीय सूत्रीकरण।

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए सरल विधि।सिंप्लेक्स विधि। सारणीबद्ध रूप में सिंप्लेक्स विधि। संशोधित सिंप्लेक्स विधि। दोहरी सिंप्लेक्स विधि।

रैखिक असमानताओं और रैखिक प्रोग्रामिंग की रिकॉर्ड लंबाई और सैद्धांतिक जटिलता।

दोहरी विधि, उन्मूलन विधि और विश्राम विधि।प्रत्यक्ष दोहरी विधि। फूरियर-मोट्ज़किन बहिष्करण विधि। विश्राम विधि।

रैखिक प्रोग्रामिंग में बहुपद शोधन क्षमता पर अतिरिक्त परिणाम।करमार्कर द्वारा विकसित बहुपद रैखिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिथम। जोरदार बहुपद एल्गोरिदम। एक निश्चित आयाम के लिए मेगिद्दो का रैखिक एल्गोरिथ्म। पॉलीटोप्स की छोटी कतरन और गोलाई।

4. गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग के तरीके और एल्गोरिदम

बिना शर्त अनुकूलन के तरीके।डेरिवेटिव के बिना रैखिक खोज। व्युत्पन्न का उपयोग करके रैखिक खोज। रैखिक खोज के एल्गोरिथम मैपिंग की बंदता। डेरिवेटिव के बिना बहुआयामी खोज। बहुआयामी खोज का उपयोग करना। संयुग्म दिशाओं का उपयोग करने वाली विधियाँ।

दंड और बाधा कार्यों के तरीके।दंड समारोह की अवधारणा। दंड कार्यों की विधि। बाधा विधि।

संभावित दिशाओं के तरीके। Zeutendijk विधि। Zeutendijk विधि का अभिसरण विश्लेषण। रोसेन ग्रेडिएंट प्रोजेक्शन विधि। कम वोल्फ ग्रेडिएंट विधि। उत्तल सिंप्लेक्स ज़ैंगविल विधि।

रैखिक संपूरकता। द्विघात, वियोज्य भिन्नात्मक-रैखिक प्रोग्रामिंग।रैखिक संपूरकता समस्या। द्विघात प्रोग्रामिंग। वियोज्य प्रोग्रामिंग। आंशिक रैखिक प्रोग्रामिंग।

5. संभाव्यता के सिद्धांत के तत्व
और गणितीय सांख्यिकी

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ।घटना। किसी घटना की संभावना। संभावनाओं की प्रत्यक्ष गणना। किसी घटना की आवृत्ति या सांख्यिकीय संभावना। यादृच्छिक मूल्य। लगभग असंभव और लगभग निश्चित घटनाएं। व्यावहारिक निश्चितता का सिद्धांत।

संभाव्यता सिद्धांत के मूल सिद्धांत।मुख्य प्रमेयों का उद्देश्य। घटनाओं का योग और उत्पाद। प्रायिकताओं के योग का प्रमेय। प्रायिकता गुणन प्रमेय। कुल संभावना सूत्र। परिकल्पना प्रमेय (बेयस सूत्र)।

प्रयोगों की पुनरावृत्ति।प्रयोगों की पुनरावृत्ति पर एक विशेष प्रमेय। प्रयोगों की पुनरावृत्ति पर सामान्य प्रमेय।

यादृच्छिक चर और उनके वितरण कानून।वितरण रेंज। वितरण बहुभुज। वितरण समारोह। किसी दिए गए क्षेत्र पर यादृच्छिक चर के टकराने की प्रायिकता। वितरण घनत्व। यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं। उनकी भूमिका और उद्देश्य। स्थिति विशेषताएँ (गणितीय अपेक्षा, विधा, माध्यिका)। क्षण। फैलाव। मानक विचलन। एकसमान घनत्व का नियम। पॉइसन का नियम।

सामान्य वितरण कानून।सामान्य कानून और उसके पैरामीटर। सामान्य वितरण के क्षण। सामान्य नियम का पालन करने वाला एक यादृच्छिक चर किसी दिए गए क्षेत्र में आने की संभावना है। सामान्य वितरण समारोह। संभावित (माध्यिका) विचलन।

प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर यादृच्छिक चर के वितरण के नियमों का निर्धारण।गणितीय आँकड़ों के मुख्य कार्य। एक साधारण आँकड़ा। सांख्यिकीय वितरण समारोह। सांख्यिकीय रेखा। दंड आरेख। सांख्यिकीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं। सांख्यिकीय श्रृंखला का संरेखण। सहमति मानदंड।

संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेय।बड़ी संख्या का नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय। चेबीशेव की असमानता। बड़ी संख्या का नियम (चेबीशेव का प्रमेय)। सामान्यीकृत चेबीशेव का प्रमेय। मार्कोव का प्रमेय। बड़ी संख्या के कानून का परिणाम: बर्नौली और पॉइसन के प्रमेय। मास यादृच्छिक घटना और केंद्रीय सीमा प्रमेय। विशेषता कार्य। समान रूप से वितरित शर्तों के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय। केंद्रीय सीमा प्रमेय को व्यक्त करने वाले सूत्र और इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग में सामने आए।

प्रयोगों का प्रसंस्करण।सीमित संख्या में प्रयोगों को संसाधित करने की विशेषताएं। वितरण कानून के अज्ञात मापदंडों के लिए अनुमान। गणितीय अपेक्षा और विचरण के लिए अनुमान। विश्वास अंतराल। आत्मविश्वास की संभावना। सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए सटीक तरीके। आवृत्ति द्वारा संभाव्यता का अनुमान। यादृच्छिक चर की एक प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताओं के लिए अनुमान। शूटिंग प्रसंस्करण। कम से कम वर्गों की विधि द्वारा प्रयोगात्मक निर्भरता को चौरसाई करना।

6. गणितीय मॉडलिंग की समस्याओं को हल करने के लिए सूचना प्रौद्योगिकी और मानक सॉफ्टवेयर पैकेज के उपयोग की सामान्य विशेषताएं

सूचना का उद्देश्य और विशेषताएं केस-प्रौद्योगिकियां।

सूचना का उद्देश्य और विशेषताएं सीएपीई-प्रौद्योगिकियां।

सूचना का उद्देश्य और विशेषताएं CALS-प्रौद्योगिकियां।

गणितीय मॉडलिंग की समस्याओं को हल करने के लिए इंटरनेट के उपयोग की स्थिति और संभावनाएं।

गणितीय मॉडलिंग के लिए सॉफ्टवेयर कॉम्प्लेक्स बनाने के उपकरण के रूप में ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड प्रोग्रामिंग लैंग्वेज और विजुअल प्रोग्रामिंग टूल।

7. रासायनिक-तकनीकी प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग की सैद्धांतिक नींव

जटिल रासायनिक प्रतिक्रियाओं का गणितीय मॉडलिंग।प्रतिक्रिया तंत्र के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करना और गतिज स्थिरांक का आकलन करना। गतिज मापदंडों का शोधन और गतिज परिकल्पनाओं का भेदभाव।

इज़ोटेर्मल रिएक्टरों के गणितीय मॉडल।ट्यूबलर रिएक्टर (प्लग-फ्लो रिएक्टर) और बैच रिएक्टरों के मॉडल। स्टिरर (परफेक्ट मिक्सिंग रिएक्टर) के साथ फ्लो रिएक्टरों के मॉडल। मिश्रण (प्रसार प्रकार रिएक्टर) के संबंध में ट्यूबलर प्रवाह रिएक्टरों के मॉडल।

गैर-समतापी रिएक्टरों के गणितीय मॉडल . छद्म सजातीय मॉडल। द्विध्रुवीय मॉडल। विशिष्ट रिएक्टर व्यवस्थाओं का स्थिरता विश्लेषण। पॉलीट्रोपिक रिएक्टर के इष्टतम तापमान प्रोफाइल का निर्धारण। ऑटोथर्मल रिएक्टरों के मॉडल।

विषम उत्प्रेरक रिएक्टरों के गणितीय मॉडल।सरल प्रतिक्रियाओं के कैनेटीक्स के समीकरणों के प्रकार की पुष्टि। सरल अभिक्रियाओं के गतिज समीकरणों की पर्याप्तता के प्रायोगिक सत्यापन की विधि।

गणितीय विकास के लिए प्रायोगिक-सांख्यिकीय तरीके भौतिक और रासायनिक प्रक्रियाओं के मॉडल। प्रतिगमन और सहसंबंध विश्लेषण के तरीके। इष्टतम प्रयोगों की योजना बनाने के तरीके: पूर्ण तथ्यात्मक प्रयोग; भिन्नात्मक प्रतिकृतियां; दूसरे क्रम की ओर्थोगोनल योजनाएँ; दूसरे क्रम की घूर्णन योग्य योजनाएँ; प्रयोगों की योजना बनाने की सरल विधि।

पर्याप्त गणितीय मॉडल की जाँच के तरीके . तालिकाओं, हिस्टोग्राम और वितरण कार्यों का निर्माण और विश्लेषण। क्षण विधि। कम से कम वर्ग विधि।

विशिष्ट रासायनिक-तकनीकी प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल . विशिष्ट प्रवाह संरचनाओं के गणितीय मॉडल: आदर्श विस्थापन के मॉडल; सही मिश्रण मॉडल; एक-पैरामीटर और दो-पैरामीटर प्रसार मॉडल; सेल मॉडल; संयुक्त मॉडल। विशिष्ट गर्मी हस्तांतरण प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल: फूरियर-किरचॉफ संवहन हस्तांतरण समीकरण; फूरियर गर्मी समीकरण; न्यूटन का समीकरण; आदर्श विस्थापन मॉडल; आदर्श मिश्रण मॉडल; सेल और प्रसार मॉडल। हीट एक्सचेंजर्स के गणितीय मॉडल (पाइप में पाइप)। विशिष्ट मास ट्रांसफर प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल: आणविक और संवहनी हस्तांतरण के लिए समीकरणों को ठीक करें; न्यूटन का समीकरण। डिस्टिलेशन कॉलम में बाइनरी और मल्टीकंपोनेंट मिश्रण की पृथक्करण प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल। ग्राफ सिद्धांत के आधार पर अणुओं की समानता का विश्लेषण करने के तरीके।

8. गणितीय मॉडलिंग के तरीके, रासायनिक-तकनीकी प्रणालियों के विश्लेषण और संश्लेषण के लिए एल्गोरिदम

गणितीय मॉडलिंग के सिद्धांत और रासायनिक-तकनीकी प्रणालियों का विश्लेषण (CTS .) ). XTS का संचालिका-प्रतीकात्मक गणितीय मॉडल। सीटीएस स्टेटिक मोड की पहचान के लिए प्रत्यक्ष तरीके। सीटीएस के डिजाइन और संचालन की समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय मॉडलिंग मुख्य विधि है। सीटीएस के विश्लेषण की समस्याओं को हल करने का विवरण और सिद्धांत। सीटीएस विश्लेषण के ब्लॉक सिद्धांत के लक्षण। सीईएस की सामग्री और गर्मी संतुलन के समीकरणों की प्रणाली का सामान्य दृश्य। सामग्री और गर्मी संतुलन के समीकरणों के संकलन प्रणालियों के लिए प्रारंभिक डेटा तैयार करना। सामग्री और गर्मी संतुलन के समीकरणों की प्रणालियों के समाधान के अस्तित्व के संकेत। सीटीएस की स्वतंत्रता की डिग्री का निर्धारण। सीटीएस के सूचनात्मक चर के विनियमित और अनुकूलन के चुनाव के लिए सिफारिशें।

सीटीएस के टोपोलॉजिकल मॉडल के निर्माण के सिद्धांत . सीटीएस के टोपोलॉजिकल मॉडल का वर्गीकरण और असाइनमेंट। ग्राफ सिद्धांत की मूल बातें। रेखांकन का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व। प्रवाह रेखांकन XTS। पैरामीट्रिक प्रवाह ग्राफ। सामग्री प्रवाह रेखांकन। थर्मल प्रवाह ग्राफ। एक्सर्जी फ्लो ग्राफ। चक्रीय प्रवाह ग्राफ। सूचना प्रवाह रेखांकन XTS। द्विदलीय सूचना रेखांकन। सूचना रेखांकन। सिग्नल ग्राफ XTS। XTS के संरचनात्मक रेखांकन।

जटिल सीटीएस के विश्लेषण और अनुकूलन के अपघटन-टोपोलॉजिकल तरीके। सीटीएस के विश्लेषण के लिए संख्यात्मक तरीकों की सामान्य विशेषताएं। अरेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके और एल्गोरिदम: सरल पुनरावृत्ति विधि और इसके संशोधन; न्यूटन की विधि; अर्ध-न्यूटोनियन तरीके; न्यूनीकरण विधि; पैरामीटर भेदभाव विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके: रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों की सामान्य विशेषताएं; प्रत्यक्ष पुनरावृत्त विधियाँ। KhTS के बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए विभिन्न संख्यात्मक विधियों की दक्षता। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण और सीटीएस के अनुकूलन के लिए विधियों का वर्गीकरण। जटिल सीटीएस के लिए दो-स्तरीय अनुकूलन विधियां: दो-स्तरीय विधियों की सामान्य रणनीति; मध्यवर्ती चर को ठीक करने की विधि; मूल्य विधि; सीटीएस के डिजिटल मॉडलिंग के लिए विशेष कार्यक्रमों की सामान्य विशेषताएं।

9. कृत्रिम बुद्धिमत्ता के तरीके
और विशेषज्ञ प्रणाली बनाने के सिद्धांत

आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस विशेषज्ञ प्रणालियों के निर्माण का वैज्ञानिक आधार है . कृत्रिम बुद्धि के क्षेत्र में वैज्ञानिक अनुसंधान की आधुनिक दिशाएँ। वैज्ञानिक और तकनीकी गतिविधि के अनौपचारिक कार्य और ज्ञान प्रतिनिधित्व मॉडल का वर्गीकरण। रसायन विज्ञान में अनौपचारिक समस्याएं। रासायनिक-तकनीकी प्रणालियों के डिजाइन में गैर-औपचारिक कार्य। रासायनिक-तकनीकी प्रणालियों के संचालन में गैर-औपचारिक कार्य। अनुमानी प्रोग्रामिंग और स्वचालित शिक्षण।

गैर-औपचारिक समस्याओं के समाधान खोजने के लिए ज्ञान प्रतिनिधित्व मॉडल और प्रक्रियाओं की सामान्य विशेषताएं। ज्ञान प्रतिनिधित्व के तार्किक और तार्किक-भाषाई मॉडल। ज्ञान प्रतिनिधित्व के नेटवर्क संरचनात्मक-भाषाई मॉडल। फ्रेम और उत्पादन नियमों की सामान्य विशेषताएं। ज्ञान प्रतिनिधित्व मॉडल और डेटा मॉडल के बीच संबंध। अनौपचारिक समस्याओं के समाधान खोजने के तरीके और प्रक्रियाएं। प्राकृतिक भाषा मॉडल के बारे में सामान्य जानकारी। तंत्रिका नेटवर्क की अवधारणा और रासायनिक प्रौद्योगिकी में उनका अनुप्रयोग।

अस्पष्ट ज्ञान प्रतिनिधित्व मॉडल और गैर-नियतात्मक निर्णय अनुमान प्रक्रियाएं . रसायन विज्ञान और रासायनिक प्रौद्योगिकी में अस्पष्ट ज्ञान की अवधारणा। अविश्वसनीय डेटा के साथ सटीक तर्क के तरीके। फजी और संभाव्य लॉजिक्स के बारे में सामान्य जानकारी। फ़ज़ी सेट थ्योरी की मूल अवधारणाएँ। फ़ज़ी सेट के सिद्धांत पर आधारित ज्ञान प्रतिनिधित्व के मॉडल।

ज्ञान प्रतिनिधित्व और निर्णय अनुमान प्रक्रिया के संरचनात्मक-भाषाई मॉडल . फ्रेम विकास का वर्गीकरण और सिद्धांत। फ्रेम और अनुमान प्रक्रियाओं की मुख्य विशेषताएं। सिमेंटिक नेटवर्क के विभिन्न वर्गों के निर्माण के सिद्धांत। सिमेंटिक नेटवर्क का उपयोग करके समाधान अनुमान प्रक्रियाएं।

ज्ञान प्रतिनिधित्व और अनुमान प्रक्रियाओं के तार्किक मॉडल . विधेय कलन पर आधारित ज्ञान प्रतिनिधित्व मॉडल। निगमनात्मक प्रणालियों में औपचारिक निष्कर्ष प्रक्रियाएं। संकल्प के सिद्धांत पर आधारित अनुमान प्रक्रियाएं। विधेय कलन का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन।

निर्णयों के उत्पादन को नियंत्रित करने के लिए उत्पादन प्रणाली और संचालन। औपचारिक ज्ञान प्रतिनिधित्व प्रणाली के रूप में उत्पादन प्रणालियों की बुनियादी अवधारणाएं। प्रोग्रामिंग सिस्टम के रूप में उत्पादन प्रणालियों की कार्यात्मक संरचना। उत्पादन प्रणालियों में निर्णय अनुमान रणनीतियाँ। समाधान के लिए आदेशित सीमित खोज का संचालन।

विशेषज्ञ प्रणाली वास्तुकला और बुद्धिमान प्रोग्रामिंग भाषाएं . विशेषज्ञ प्रणालियों के मूल गुण। विशेषज्ञ प्रणालियों की वास्तुकला। ऑपरेटिंग मोड और विशेषज्ञ प्रणालियों का वर्गीकरण। विशेषज्ञ प्रणालियों के विकास के मुख्य चरण।

आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस प्रोग्रामिंग लैंग्वेज विशेषज्ञ सिस्टम विकसित करने के लिए उपकरण हैं। भाषा और सॉफ्टवेयर टूल्स की बुनियादी अवधारणाएं और वर्गीकरण। कार्यात्मक प्रोग्रामिंग भाषाओं की सामान्य विशेषताएं। तर्क प्रोग्रामिंग भाषाओं के बारे में बुनियादी जानकारी। ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड प्रोग्रामिंग की अवधारणा। वस्तु-उन्मुख प्रोग्रामिंग भाषाओं के लक्षण।

ज्ञान प्रतिनिधित्व भाषाओं की सामान्य विशेषताएं . ज्ञान प्रतिनिधित्व की फ्रेम भाषाएं। उत्पादन-उन्मुख प्रोग्रामिंग भाषाएँ। व्याकरणिक-शब्दार्थ पाठ प्रसंस्करण की भाषा की अवधारणा।

रासायनिक प्रौद्योगिकी में मुख्य प्रकार की विशेषज्ञ प्रणालियों की विशेषताएं . इष्टतम रासायनिक-तकनीकी प्रणालियों के स्वचालित संश्लेषण के लिए विशेषज्ञ प्रणालियाँ। रासायनिक प्रौद्योगिकी में परामर्श विशेषज्ञ प्रणाली। रासायनिक-तकनीकी प्रक्रियाओं के स्वचालित नियंत्रण और निदान के लिए विशेषज्ञ प्रणाली। रसायन विज्ञान में विशेषज्ञ प्रणाली। मुख्य गैस परिवहन के स्थितिजन्य नियंत्रण के लिए बुद्धिमान स्वचालित प्रणाली। विशेषज्ञ प्रणालियों के लिए तकनीकी ग्रंथों के अर्थ को समझने का अर्थ-गणितीय मॉडल।

गैस विभाजन प्रणाली के संश्लेषण के लिए एक संकर विशेषज्ञ प्रणाली बनाने के सिद्धांत . गैस विभाजन प्रणाली के संश्लेषण के लिए एक अनौपचारिक समस्या का निरूपण। गैस फ्रैक्शनेशन सिस्टम के स्वचालित संश्लेषण के लिए ज्ञान प्रतिनिधित्व के उत्पादन-फ्रेम मॉडल। गैस विभाजन प्रणालियों के संश्लेषण के लिए अपघटन अनुमानी-उत्पादन प्रक्रिया। लक्ष्य उत्पादों के चयन के लिए इष्टतम अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए उत्पादन-कंप्यूटिंग एल्गोरिदम।

वाद्य संकर विशेषज्ञ प्रणाली "एकरान-एक्सटीएस" का विकास और अनुप्रयोग। उद्देश्य, संभावनाएं और संचालन के तरीके। कामकाज की वास्तुकला और संचालन। उपयोगकर्ता और विशेषज्ञ प्रणाली के बीच बुद्धिमान संवाद।

मुख्य साहित्य

मार्चुक कम्प्यूटेशनल गणित: प्रो। भत्ता। मॉस्को: नौका, 1989।

कम्प्यूटेशनल गणित में रायबेनकी। मॉस्को: नौका, 1994।

कोबेलकोव के तरीके। प्रोक। भत्ता। मॉस्को: नौका, 1987।

काहनेर डी।, मोलर सी।, नैश एस। न्यूमेरिकल मेथड्स एंड सॉफ्टवेयर। एम.: मीर, 1998.

कार्यों और अभ्यासों में टिमोखोव अनुकूलन। एम.: नौका, 1991।

श्रेवर ए। रैखिक और पूर्णांक प्रोग्रामिंग का सिद्धांत। 2 वॉल्यूम में। प्रति. अंग्रेज़ी से। एम.: मीर, 1991।

बाजारा एम।, शेट्टी के। नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग। सिद्धांत और एल्गोरिदम। प्रति. अंग्रेज़ी से। एम.: मीर, 1982।

रासायनिक प्रौद्योगिकी में मेशालकिन सिस्टम। सिद्धांत के मूल सिद्धांत, विकास और अनुप्रयोग में अनुभव। मास्को: रसायन विज्ञान, 1995।

मेशालकिन और रासायनिक-तकनीकी प्रणालियों का संश्लेषण। मास्को: रसायन विज्ञान, 1991।

वेंटजेल संभावनाएं। प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए। छठा संस्करण। मिट मॉस्को: हायर स्कूल, 1999।

पृष्ठ 1

संख्यात्मक सिमुलेशन विधियां गर्मी हस्तांतरण और द्रव प्रवाह की विशेषता वाले तकनीकी उपकरणों के विश्लेषण और विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। सुविधाजनक कंप्यूटर प्रोग्रामों में सन्निहित इस तरह के तरीके, उनके तेजी से कार्यान्वयन और अर्थव्यवस्था के कारण प्रयोगात्मक माप के वास्तविक विकल्प का प्रतिनिधित्व करते हैं। संख्यात्मक विश्लेषण में ज्यामितीय विशेषताओं, भौतिक गुणों, सीमा स्थितियों पर वास्तविक डेटा हो सकता है, और तापमान, वेग और अन्य मात्राओं के क्षेत्रों के साथ-साथ उनके संबंधित प्रवाह के बारे में पूर्ण और विस्तृत जानकारी प्रदान कर सकता है। व्यवहार में, कुछ मामलों में, कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके उपकरणों का विश्लेषण और डिज़ाइन पूरी तरह से किया जा सकता है। उन स्थितियों में जहां कुछ प्रयोगात्मक अनुसंधान करना वांछनीय है, संख्यात्मक सिमुलेशन का उपयोग प्रयोगों के डिजाइन और डिजाइन में उनकी लागत को काफी कम करने के साथ-साथ परिणामों का विस्तार और समृद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

गतिशील संख्यात्मक सिमुलेशन विधियां दी गई शर्तों के तहत मॉडल सिस्टम के व्यवहार की नकल करती हैं, और इस संबंध में, संख्यात्मक सिमुलेशन एक वास्तविक प्रयोग के समान है।

भौतिक और रासायनिक अनुसंधान के अभ्यास में आणविक प्रणालियों (संख्यात्मक प्रयोग) के संख्यात्मक मॉडलिंग के तरीकों का तेजी से उपयोग किया जाता है। हालांकि, सबसे उन्नत कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की मदद से भी, कई हजार से अधिक परस्पर क्रिया करने वाले कणों से युक्त सिस्टम के व्यवहार को विस्तार से मॉडल करना असंभव है। मॉडलिंग के लिए सबसे सुविधाजनक वस्तुएं अपेक्षाकृत कम संख्या में अणुओं से युक्त सिस्टम हैं। इस पत्र में, हम पानी के अणुओं के समूहों के मॉडलिंग पर चर्चा करेंगे, जिसमें मुख्य रूप से ऐसे समूहों की संरचनात्मक विशेषताओं पर ध्यान दिया जाएगा।

अध्याय 5 सीमा परतों, जेट और चैनलों में प्रवाह के संख्यात्मक अनुकरण के तरीकों के लिए समर्पित है।

मोनोग्राफ कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी और गणितीय अनुकूलन में आधुनिक उपलब्धियों का उपयोग करके मुख्य पाइपलाइन सिस्टम के संचालन की सुरक्षा और दक्षता में सुधार की समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन की गई वैज्ञानिक अवधारणा, कम्प्यूटेशनल तकनीकों और संख्यात्मक सिमुलेशन विधियों की रूपरेखा तैयार करता है। मोनोग्राफ में प्रस्तुत सामग्री पाठक को मुख्य पाइपलाइनों के संख्यात्मक मॉडलिंग के प्रस्तावित बुनियादी सिद्धांतों का विस्तार से अध्ययन करने की अनुमति देती है।

संख्यात्मक सिमुलेशन विधियों ने भौतिकी के किसी भी क्षेत्र में उतनी गहराई से प्रवेश नहीं किया है जितना कि प्लाज्मा भौतिकी में। आज, संख्यात्मक सिमुलेशन विधियों का सहारा लिए बिना, केवल आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकी के विश्लेषणात्मक तरीकों पर भरोसा करते हुए, प्लाज्मा प्रक्रियाओं का पूरी तरह से वर्णन करना अकल्पनीय है। यह समझाया गया है, एक तरफ, प्लाज्मा प्रक्रियाओं की जटिलता और विविधता से, और दूसरी तरफ, प्लाज्मा गतिशीलता के एक अच्छी तरह से स्थापित मॉडल की उपस्थिति से - व्लासोव-मैक्सवेल मॉडल, जिसका उपयोग मात्रात्मक रूप से वर्णन करने के लिए किया जा सकता है इन प्रक्रियाओं को सटीकता की किसी भी डिग्री के साथ। इसलिए, इंजीनियरिंग से बचने के लिए बहुत जटिल और महंगे भौतिक प्रयोगों से बचने के लिए, प्लाज्मा भौतिकी के क्षेत्र में शोधकर्ताओं ने लंबे समय से, 25 साल पहले, व्लासोव-मैक्सवेल मॉडल के आधार पर प्लाज्मा प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए प्रभावी संख्यात्मक तरीकों को विकसित करना शुरू कर दिया है, और है संख्यात्मक प्रयोगों में जबरदस्त सफलता हासिल की।

संकेतित प्रायोगिक विधियों के अलावा, संख्यात्मक सिमुलेशन विधियों द्वारा स्व-प्रसार गुणांक की गणना करने के तरीके भी हैं। आणविक गतिकी की विधि अत्यंत फलदायी है। और यद्यपि वह मॉडल सिस्टम के साथ काम करता है, प्राप्त परिणाम राज्य के मापदंडों के प्रभाव में आणविक गतिशीलता और नियमितताओं के तंत्र को स्पष्ट करने के लिए उपयोगी होते हैं। अंतर-आणविक संभावित कार्यों के सही चयन के मामले में, प्रयोगात्मक लोगों के करीब परिणाम प्राप्त होते हैं।

इस पुस्तक की तैयारी के दौरान, नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के आधार पर हाइड्रोडायनामिक प्रक्रियाओं के संख्यात्मक सिमुलेशन, गर्मी और द्रव्यमान हस्तांतरण के तरीकों से संबंधित कई नए प्रकाशन प्रिंट में दिखाई दिए। हम केवल कुछ जोड़ देंगे जो यहां पर विचार किए गए प्रश्नों के सबसे करीब हैं। इस कार्य में धारा फलन के संबंध में चतुर्थ-क्रम समीकरण के लिए स्थिर समस्याओं को हल करने के लिए प्रत्यावर्ती-त्रिकोणीय विधि का उपयोग किया जाता है।

बादलों के गुणों और बादलों के वातावरण के आधार पर सौर विकिरण प्रवाह के व्यवहार की नियमितता का अध्ययन संख्यात्मक सिमुलेशन विधियों (मोंटे कार्लो विधि), परिवहन समीकरणों के संख्यात्मक समाधान और स्पर्शोन्मुख संबंधों के उपयोग द्वारा किया गया था।

पुस्तक का अनुवाद उच्च योग्य विशेषज्ञों द्वारा किया गया था जो प्लाज्मा भौतिकी के सिद्धांत के तरीकों और संख्यात्मक सिमुलेशन के तरीकों, विशेष रूप से बड़े कणों की विधि, जो प्लाज्मा भौतिकी में सबसे आम हैं, दोनों में अच्छी तरह से वाकिफ हैं। यह पाठकों के एक व्यापक समूह के लिए अभिप्रेत है, जिसमें प्लाज्मा भौतिकी का अध्ययन करने वाले छात्रों से लेकर वैज्ञानिक तक शामिल हैं, जो इस पुस्तक में बहुत सी उपयोगी और दिलचस्प चीजें पाएंगे।

यह सूचना आधार की कमजोरियों ने विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण को काफी सक्षम बना दिया है, हमारी राय में, भविष्य कहनेवाला समस्याओं के संख्यात्मक मॉडलिंग के तरीकों के लिए एक वैकल्पिक या प्रभावी जोड़। पूर्वानुमान के सबसे महत्वपूर्ण तत्व के रूप में - योजनाकरण, यहाँ विश्लेषणात्मक तरीकों को आमतौर पर स्पष्ट वरीयता दी जानी चाहिए।

ब्रह्मांडीय किरण परिवहन समीकरण और यथार्थवादी हाइड्रोडायनामिक्स के बीच संबंध पहले एक स्व-समान हाइड्रोडायनामिक समाधान का उपयोग करके स्थापित किया गया था, लेकिन अब यह कनेक्शन संख्यात्मक सिमुलेशन विधियों द्वारा प्राप्त किया जाता है। इसके अलावा, इस धारणा के तहत अपेक्षित ब्रह्मांडीय किरणों के एक यथार्थवादी स्पेक्ट्रम की गणना करना संभव था कि सदमे की लहर पर त्वरण तथाकथित स्व-समान सेडोव चरण के दौरान होता है, जब सुपरनोवा की ऊर्जा संरक्षित होती है और सदमे के अंदर रहती है सामने।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बीम का अनुकरण करने वाले कणों की संख्या 102 के क्रम पर है, जो पूर्ण संख्यात्मक सिमुलेशन विधि में कणों की आवश्यक संख्या से कम परिमाण के दो क्रम हैं। इस प्रकार, प्लाज्मा में एक कम-घनत्व वाले मोनोएनेरगेटिक इलेक्ट्रॉन बीम की छूट से वेग स्थान में वितरण फ़ंक्शन का तेजी से विस्तार होता है, जो कि क्वासिलिनियर सन्निकटन को लागू करने के लिए पर्याप्त vTb है, और तरंग चरणों में अराजक होने का समय होता है। .

यहां संख्यात्मक सिमुलेशन विधियों का उपयोग करना बहुत उपयोगी है।

गुरुत्वाकर्षण अस्थिरता के सिद्धांत के आधार पर ब्रह्मांड की संरचना के गठन के मॉडल, सामान्य शब्दों में, सी के गठन का काफी अच्छी तरह से वर्णन करते हैं। गणना की बड़ी मात्रा के कारण संख्यात्मक सिमुलेशन विधियों द्वारा इस प्रक्रिया का अधिक विस्तृत अध्ययन मुश्किल है .