यहां तक ​​कि जब मैं प्रथम वर्ष का छात्र था, तब भी मेरे एक सहपाठी के साथ मेरी तीखी बहस हुई थी। उन्होंने कहा कि किसी भी रूप में एक चार-आयामी घन का प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, और मैंने आश्वासन दिया कि इसका स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। फिर मैंने पेपर क्लिप से हमारे त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर एक हाइपरक्यूब का प्रक्षेपण भी किया ... लेकिन चलो सब कुछ क्रम में बात करते हैं।
एक हाइपरक्यूब (टेसेरैक्ट) और चार-आयामी स्थान क्या है
हमारे अभ्यस्त स्थान में तीन आयाम हैं। साथ में ज्यामितीय बिंदुदृष्टि से, इसका अर्थ है कि इसमें तीन परस्पर लंबवत रेखाओं को इंगित किया जा सकता है। अर्थात्, किसी भी रेखा के लिए, आप पहली के लंबवत दूसरी रेखा पा सकते हैं, और एक जोड़ी के लिए, आप पहले दो के लंबवत तीसरी रेखा पा सकते हैं। तीन मौजूदा लोगों के लंबवत चौथी सीधी रेखा का पता लगाना अब संभव नहीं होगा।

चार-आयामी स्थान हमारे से केवल इस मायने में भिन्न है कि इसमें एक और है अतिरिक्त दिशा. यदि आपके पास पहले से ही तीन परस्पर लंबवत रेखाएँ हैं, तो आप चौथी ऐसी पा सकते हैं, जो तीनों के लंबवत हो।
एक हाइपरक्यूब चार आयामों में सिर्फ एक घन है।
क्या चार-आयामी अंतरिक्ष और एक हाइपरक्यूब की कल्पना करना संभव है?
यह प्रश्न प्रश्न के समान है: "क्या आप कल्पना कर सकते हैं पिछले खानालियोनार्डो दा विंची (1452-1519) द्वारा उसी नाम (1495-1498) की पेंटिंग को देख रहे हैं?"
एक तरफ, निश्चित रूप से, आप कल्पना नहीं करेंगे कि यीशु ने क्या देखा (वह दर्शक के सामने बैठा है), खासकर जब से आप खिड़की के बाहर बगीचे और मेज पर भोजन का स्वाद नहीं सूंघेंगे, तो आप पक्षियों को नहीं सुनेंगे गाना... तुम नहीं पाओगे पूर्ण दृश्यउस शाम जो हुआ उसके बारे में, लेकिन यह नहीं कहा जा सकता है कि आप कुछ भी नया नहीं सीखेंगे और तस्वीर में कोई दिलचस्पी नहीं है।
हाइपरक्यूब के सवाल के साथ भी यही स्थिति है। इसकी पूरी तरह से कल्पना करना असंभव है, लेकिन आप यह समझने के करीब पहुंच सकते हैं कि यह क्या है।

स्पेस-टाइम और यूक्लिडियन फोर-डायमेंशनल स्पेस
मुझे आशा है कि आप हाइपरक्यूब की कल्पना करने में कामयाब रहे। लेकिन क्या आप यह समझने में कामयाब रहे हैं कि जिस चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में हम रहते हैं, वह कैसे काम करता है? काश, सच में नहीं।
यहां हमने यूक्लिडियन चार-आयामी अंतरिक्ष के बारे में बात की, लेकिन अंतरिक्ष-समय में बहुत अलग गुण हैं। विशेष रूप से, किसी भी घुमाव पर, खंड हमेशा समय अक्ष की ओर झुके रहते हैं, या तो 45 डिग्री से कम कोण पर, या 45 डिग्री से अधिक कोण पर।

चार-आयामी अंतरिक्ष के निवासी के अनुमान और दृष्टि
दृष्टि के बारे में कुछ शब्द
हम त्रि-आयामी दुनिया में रहते हैं, लेकिन हम इसे दो-आयामी के रूप में देखते हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि हमारी आंखों की रेटिना एक समतल में स्थित होती है जिसमें केवल दो आयाम होते हैं। यही कारण है कि हम द्वि-आयामी चित्रों को देखने में सक्षम होते हैं और उन्हें वास्तविकता के समान पाते हैं। (बेशक, आवास के लिए धन्यवाद, आंख किसी वस्तु से दूरी का अनुमान लगा सकती है, लेकिन यह पहले से ही हमारी आंख में निर्मित प्रकाशिकी से जुड़ा एक साइड इफेक्ट है।)
चार-आयामी अंतरिक्ष के निवासी की आंखों में त्रि-आयामी रेटिना होना चाहिए। ऐसा प्राणी तुरंत एक त्रि-आयामी आकृति को पूरी तरह से देख सकता है: उसके सभी चेहरे और अंदर। (इसी तरह, हम एक द्वि-आयामी आकृति, उसके सभी चेहरे और अंदरूनी भाग देख सकते हैं।)
इस प्रकार, हमारी दृष्टि के अंगों की सहायता से, हम एक चार-आयामी घन को उसी तरह नहीं देख सकते हैं जैसे कि चार-आयामी अंतरिक्ष के निवासी इसे अनुभव करेंगे। काश। यह केवल मन की आंख और कल्पना पर भरोसा करने के लिए बनी हुई है, जो सौभाग्य से, कोई शारीरिक सीमा नहीं है।
हालांकि, एक विमान पर एक हाइपरक्यूब का चित्रण करते समय, मुझे बस इसे प्रोजेक्ट करना होगा द्वि-आयामी अंतरिक्ष. रेखाचित्रों का अध्ययन करते समय इस बात का ध्यान रखें।
किनारे चौराहों
स्वाभाविक रूप से, हाइपरक्यूब के किनारे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। चौराहे केवल आंकड़ों में दिखाई देते हैं। हालांकि, यह आश्चर्य के रूप में नहीं आना चाहिए, क्योंकि आंकड़ों में एक साधारण घन के किनारे भी एक दूसरे को काटते हैं।
पसली की लंबाई
यह ध्यान देने योग्य है कि एक चार-आयामी घन के सभी फलक और किनारे समान होते हैं। आकृति में, वे समान नहीं हैं क्योंकि वे नीचे स्थित हैं विभिन्न कोणदेखने की दिशा में। हालांकि, हाइपरक्यूब को खोलना संभव है ताकि सभी अनुमानों की लंबाई समान हो।

टेसरैक्ट - एक चार-आयामी हाइपरक्यूब - चार-आयामी अंतरिक्ष में एक घन।
ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी के अनुसार, टेसेरैक्ट शब्द 1888 में चार्ल्स हॉवर्ड हिंटन (1853-1907) द्वारा अपनी पुस्तक में गढ़ा और इस्तेमाल किया गया था। नया युगविचार"। बाद में, कुछ लोगों ने उसी आकृति को टेट्राक्यूब (ग्रीक τετρα - चार) कहा - एक चार-आयामी घन।
यूक्लिडियन चार-आयामी अंतरिक्ष में एक साधारण टेसेरैक्ट को बिंदुओं के उत्तल पतवार (±1, ±1, ±1, ±1) के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, इसे निम्नलिखित सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = एक टेसेरैक्ट आठ हाइपरप्लेन से घिरा है x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , जिसका प्रतिच्छेदन tesseract ही इसे 3D फलक (जो नियमित घन हैं) परिभाषित करता है गैर-समानांतर 3D फलकों की प्रत्येक जोड़ी 2D फलक (वर्ग), आदि बनाने के लिए प्रतिच्छेद करती है। अंत में, एक tesseract में 8 3D फलक, 24 2D, 32 किनारे और 16 शीर्ष होते हैं।
लोकप्रिय विवरण
आइए कल्पना करने की कोशिश करें कि हाइपरक्यूब बिना छोड़े कैसा दिखेगा त्रि-आयामी अंतरिक्ष.
एक-आयामी "अंतरिक्ष" में - एक रेखा पर - हम लंबाई एल के एक खंड एबी का चयन करते हैं। एबी से एल की दूरी पर दो-आयामी विमान पर, हम इसके समानांतर एक खंड डीसी खींचते हैं और उनके सिरों को जोड़ते हैं। आपको एक वर्गाकार सीडीबीए मिलेगा। इस संक्रिया को एक तल से दोहराते हुए, हमें त्रिविमीय घन CDBAGHFE प्राप्त होता है। और क्यूब को चौथे आयाम (पहले तीन के लंबवत) में दूरी L से स्थानांतरित करके, हमें CDBAGHFEKLJIOPNM हाइपरक्यूब मिलता है।
एक-आयामी खंड AB द्वि-आयामी वर्ग CDBA के एक पक्ष के रूप में कार्य करता है, वर्ग घन CDBAGHFE का पक्ष है, जो बदले में, चार-आयामी हाइपरक्यूब का पक्ष होगा। एक सीधी रेखा के खंड में दो सीमा बिंदु होते हैं, एक वर्ग में चार शीर्ष होते हैं और एक घन में आठ होते हैं। इस प्रकार, एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में, 16 कोने होंगे: मूल घन के 8 कोने और चौथे आयाम में 8 कोने स्थानांतरित हो जाएंगे। इसमें 32 किनारे हैं - 12 प्रत्येक मूल घन की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति देते हैं, और 8 और किनारे इसके आठ कोने "आकर्षित" करते हैं जो चौथे आयाम में चले गए हैं। हाइपरक्यूब के चेहरों के लिए भी यही तर्क दिया जा सकता है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, यह एक (स्वयं वर्ग) है, घन में उनमें से 6 हैं (स्थानांतरित वर्ग से दो चेहरे और चार और इसके पक्षों का वर्णन करेंगे)। एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में 24 वर्गाकार फलक होते हैं - दो पदों में मूल घन के 12 वर्ग और इसके किनारों में से 12 वर्ग।
चूंकि एक वर्ग के किनारे 4 एक-आयामी खंड होते हैं, और एक घन के पक्ष (चेहरे) 6 द्वि-आयामी वर्ग होते हैं, इसलिए "चार-आयामी घन" (टेसेरैक्ट) के लिए पक्ष 8 त्रि-आयामी घन होते हैं। टेसेरैक्ट क्यूब्स के विपरीत जोड़े के स्थान (अर्थात, त्रि-आयामी रिक्त स्थान जिनसे ये क्यूब संबंधित हैं) समानांतर हैं। आकृति में, ये घन हैं: CDBAGHFE और KLJIOPNM, CDBAKLJI और GHFEOPNM, EFBAMNJI और GHDCOPLK, CKIAGOME और DLJBHPNF।
इसी तरह, हम हाइपरक्यूब के लिए तर्क जारी रख सकते हैं अधिकआयाम, लेकिन यह देखना अधिक दिलचस्प है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष के निवासी हमारे लिए एक चार-आयामी हाइपरक्यूब कैसा दिखेगा। आइए इसके लिए उपमाओं की पहले से ही परिचित विधि का उपयोग करें।
आइए वायर क्यूब ABCDHEFG लें और इसे चेहरे की तरफ से एक आंख से देखें। हम देखेंगे और चार रेखाओं से जुड़े हुए समतल (इसके निकट और दूर के चेहरे) पर दो वर्ग खींच सकते हैं - किनारे के किनारे। इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक चार-आयामी हाइपरक्यूब दो घन "बक्से" की तरह दिखेगा जो एक दूसरे में डाले गए और आठ किनारों से जुड़े हुए हों। इस मामले में, "बक्से" स्वयं - त्रि-आयामी चेहरे - "हमारे" स्थान पर प्रक्षेपित किए जाएंगे, और उन्हें जोड़ने वाली रेखाएं चौथे अक्ष की दिशा में फैल जाएंगी। आप प्रक्षेपण में नहीं, बल्कि एक स्थानिक छवि में एक घन की कल्पना करने का प्रयास कर सकते हैं।
जिस तरह एक त्रि-आयामी घन एक चेहरे की लंबाई से स्थानांतरित एक वर्ग द्वारा बनता है, उसी तरह चौथे आयाम में स्थानांतरित एक घन एक हाइपरक्यूब का निर्माण करेगा। यह आठ क्यूब्स तक सीमित है, जो भविष्य में कुछ जटिल आकृति की तरह दिखेगा। चार-आयामी हाइपरक्यूब में अनंत संख्या में घन होते हैं, जैसे त्रि-आयामी घन को अनंत संख्या में फ्लैट वर्गों में "काटा" जा सकता है।
त्रिविमीय घन के छह फलकों को काटकर, कोई इसे में विघटित कर सकता है सपाट आकृति- एक झाडू। इसमें मूल चेहरे के प्रत्येक तरफ एक वर्ग होगा, साथ ही एक और - इसके विपरीत चेहरा। चार-आयामी हाइपरक्यूब के त्रि-आयामी विकास में मूल घन, छह क्यूब्स शामिल होंगे जो इससे "बढ़ते" हैं, साथ ही एक और - अंतिम "हाइपरफेस"।
टेस्सेक्ट के गुण गुणों का विस्तार हैं ज्यामितीय आकारचार-आयामी अंतरिक्ष में निचला आयाम।

ज्यामिति में अतिविम- यह एनएक वर्ग के -आयामी सादृश्य ( एन= 2) और घन ( एन= 3)। यह एक बंद उत्तल आकृति है, जिसमें आकृति के विपरीत किनारों पर स्थित समानांतर रेखाओं के समूह होते हैं, और एक दूसरे से समकोण पर जुड़े होते हैं।

इस आंकड़े को के रूप में भी जाना जाता है टेसेरैक्ट(टेसरैक्ट)। टेस्सेक्ट क्यूब के लिए है क्योंकि क्यूब वर्ग के लिए है। अधिक औपचारिक रूप से, एक टेस्सेक्ट को एक नियमित उत्तल चार-आयामी पॉलीटोप (पॉलीटोप) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसकी सीमा में आठ घन कोशिकाएं होती हैं।

ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी के अनुसार, "टेसरैक्ट" शब्द 1888 में चार्ल्स हॉवर्ड हिंटन द्वारा गढ़ा गया था और अपनी पुस्तक ए न्यू एरा ऑफ थॉट में इस्तेमाल किया गया था। यह शब्द ग्रीक "τεσσερες ακτινες" ("चार किरणें") से बना है, जो चार समन्वय अक्षों के रूप में है। इसके अलावा, कुछ स्रोतों में, एक ही आंकड़ा कहा जाता था टेट्राक्यूब(टेट्राक्यूब)।

एन-आयामी हाइपरक्यूब को भी कहा जाता है एन-घन.

एक बिंदु आयाम 0 का एक हाइपरक्यूब है। यदि आप लंबाई की एक इकाई द्वारा एक बिंदु को स्थानांतरित करते हैं, तो आपको इकाई लंबाई का एक खंड मिलता है - आयाम का एक हाइपरक्यूब। इसके अलावा, यदि आप एक खंड को लंबाई की एक इकाई द्वारा लंबवत दिशा में स्थानांतरित करते हैं। खंड की दिशा में, आपको एक घन मिलता है - आयाम का एक हाइपरक्यूब 2. वर्ग के तल के लंबवत दिशा में लंबाई की एक इकाई द्वारा वर्ग को स्थानांतरित करने पर, एक घन प्राप्त होता है - आयाम का एक हाइपरक्यूब 3. यह प्रक्रिया किसी भी आयाम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप चौथे आयाम में एक घन को लंबाई की एक इकाई से स्थानांतरित करते हैं, तो आपको एक टेसरेक्ट प्राप्त होता है।

हाइपरक्यूब्स का परिवार कुछ नियमित पॉलीहेड्रा में से एक है जिसे किसी भी आयाम में दर्शाया जा सकता है।

हाइपरक्यूब तत्व

आयाम हाइपरक्यूब एन 2 . है एन"पक्ष" (एक-आयामी रेखा में 2 बिंदु होते हैं; द्वि-आयामी वर्ग - 4 भुजाएँ; त्रि-आयामी घन - 6 फलक; चार-आयामी टेसरैक्ट - 8 कोशिकाएँ)। हाइपरक्यूब के शीर्षों (बिंदुओं) की संख्या 2 . है एन(उदाहरण के लिए, घन के लिए - 2 3 कोने)।

मात्रा एमसीमा पर -आयामी हाइपरक्यूब एन-घन बराबर

उदाहरण के लिए, एक हाइपरक्यूब की सीमा पर 8 घन, 24 वर्ग, 32 किनारे और 16 कोने हैं।

हाइपरक्यूब के तत्व

एन-घन	नाम	शिखर (0-चेहरा)	किनारा (1-चेहरा)	किनारा (2-चेहरा)	कोशिका (3-चेहरा)	(4-चेहरा)	(5-चेहरा)	(6-चेहरा)	(7-चेहरा)	(8-चेहरा)
0-घन	दूरसंचार विभाग	1
1-घन	रेखा खंड	2	1
2-घन	वर्ग	4	4	1
3-क्यूब	घनक्षेत्र	8	12	6	1
4-घन	टेसेरैक्ट	16	32	24	8	1
5-क्यूब	पेंटरैक्ट	32	80	80	40	10	1
6-घन	हेक्सरैक्ट	64	192	240	160	60	12	1
7-घन	हेप्टरैक्ट	128	448	672	560	280	84	14	1
8-घन	ऑक्टेरेक्ट	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-घन	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

विमान प्रक्षेपण

हाइपरक्यूब के गठन को निम्नलिखित तरीके से दर्शाया जा सकता है:

• दो बिंदु A और B को रेखाखंड AB बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है।
• दो समानांतर खंडवर्ग ABCD बनाने के लिए AB और CD को जोड़ा जा सकता है।
• दो समानांतर वर्गों ABCD और EFGH को मिलाकर एक घन ABCDEFGH बनाया जा सकता है।
• दो समानांतर घन ABCDEFGH और IJKLMNOP को एक हाइपरक्यूब ABCDEFGHIJKLMNOP बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है।

बाद की संरचना की कल्पना करना आसान नहीं है, लेकिन इसके प्रक्षेपण को दो या तीन आयामों पर चित्रित करना संभव है। इसके अलावा, अनुमानित शिखर की स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करके 2 डी विमान पर अनुमान अधिक उपयोगी हो सकते हैं। इस मामले में, छवियां प्राप्त की जा सकती हैं जो अब टेस्सेक्ट के भीतर तत्वों के स्थानिक संबंधों को प्रतिबिंबित नहीं करती हैं, लेकिन शीर्ष कनेक्शन की संरचना को दर्शाती हैं, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों में है।

पहला दृष्टांत दिखाता है कि कैसे दो घनों को मिलाकर एक टेसेरैक्ट सैद्धांतिक रूप से बनता है। यह योजना दो वर्गों से घन बनाने की योजना के समान है। दूसरे आरेख से पता चलता है कि टेस्सेक्ट के सभी किनारों की लंबाई समान है। यह योजना भी एक दूसरे से जुड़े क्यूब्स की तलाश करने के लिए मजबूर है। तीसरे आरेख में, टेसरैक्ट के कोने नीचे के बिंदु के सापेक्ष चेहरों के साथ दूरियों के अनुसार स्थित हैं। यह योजना इस मायने में दिलचस्प है कि इसका उपयोग इस प्रकार किया जाता है बुनियादी सर्किटसमानांतर कंप्यूटिंग के आयोजन में प्रोसेसर को जोड़ने के नेटवर्क टोपोलॉजी के लिए: किसी भी दो नोड्स के बीच की दूरी 4 किनारे की लंबाई से अधिक नहीं होती है, और लोड को संतुलित करने के कई अलग-अलग तरीके हैं।

कला में हाइपरक्यूब

हाइपरक्यूब 1940 से साइंस फिक्शन में दिखाई दिया है, जब रॉबर्ट हेनलेन ने "द हाउस दैट टील बिल्ट" ("एंड ही बिल्ट ए क्रुक्ड हाउस") कहानी में एक टेसेरैक्ट अनफोल्ड के आकार में बने घर का वर्णन किया है। कहानी में, यह आगे, इस घर को चार-आयामी टेसेरैक्ट में बदलकर मुड़ा हुआ है। उसके बाद, कई किताबों और उपन्यासों में हाइपरक्यूब दिखाई देता है।

क्यूब 2: हाइपरक्यूब हाइपरक्यूब के नेटवर्क में फंसे आठ लोगों के बारे में है।

सल्वाडोर डाली द्वारा पेंटिंग क्रूसीफिक्सियन (कॉर्पस हाइपरक्यूबस), 1954 में एक टेसेरैक्ट स्कैन पर यीशु को सूली पर चढ़ाते हुए दर्शाया गया है। इस पेंटिंग को न्यूयॉर्क में म्यूज़ियम ऑफ़ आर्ट (मेट्रोपॉलिटन म्यूज़ियम ऑफ़ आर्ट) में देखा जा सकता है।

निष्कर्ष

हाइपरक्यूब सबसे सरल चार-आयामी वस्तुओं में से एक है, जिसके उदाहरण पर आप सभी जटिलता और असामान्यता देख सकते हैं चौथा आयाम. और जो तीन आयामों में असंभव दिखता है, वह चार में संभव है, उदाहरण के लिए, असंभव आंकड़े। इसलिए, उदाहरण के लिए, चार आयामों में एक असंभव त्रिभुज की सलाखों को समकोण पर जोड़ा जाएगा। और यह आंकड़ा सभी दृष्टिकोणों से इस तरह दिखेगा, और विकृत नहीं होगा, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में असंभव त्रिकोण के कार्यान्वयन के विपरीत (चित्र देखें।

शिक्षाओं के बारे में बहुआयामी रिक्त स्थानमें दिखने लगा मध्य उन्नीसवींजी। ग्रासमैन, ए। केली, बी। रीमैन, डब्ल्यू। क्लिफोर्ड, एल। श्लाफली और अन्य गणितज्ञों के कार्यों में सदी। 20वीं सदी की शुरुआत में, ए आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत और जी मिंकोव्स्की के विचारों के आगमन के साथ, भौतिकी ने चार-आयामी अंतरिक्ष-समय समन्वय प्रणाली का उपयोग करना शुरू कर दिया।

तब विज्ञान कथा लेखकों ने वैज्ञानिकों से चार-आयामी अंतरिक्ष का विचार उधार लिया। अपने कार्यों में उन्होंने दुनिया को बताया अद्भुत चमत्कारचौथा आयाम। उनके कार्यों के नायक, चार-आयामी अंतरिक्ष के गुणों का उपयोग करते हुए, अंडे की सामग्री को खोल को नुकसान पहुंचाए बिना खा सकते थे, बोतल के कॉर्क को खोले बिना एक पेय पी सकते थे। अपहरणकर्ताओं ने चौथे आयाम के माध्यम से तिजोरी से खजाना बरामद किया। श्रृंखला की कड़ियों को आसानी से काटा जा सकता है, और रस्सी पर गाँठ को उसके सिरों को छुए बिना खोला जा सकता है। सर्जनों ने ऑपरेशन किया आंतरिक अंगरोगी के शरीर के ऊतकों को काटे बिना। मनीषियों ने मृतकों की आत्माओं को चौथे आयाम में रखा। के लिए समान्य व्यक्तिचार-आयामी अंतरिक्ष का विचार समझ से बाहर और रहस्यमय बना हुआ है, और कई लोग आमतौर पर चार-आयामी अंतरिक्ष को वैज्ञानिकों और विज्ञान कथा लेखकों की कल्पना का फल मानते हैं, जिनका वास्तविकता से कोई लेना-देना नहीं है।

धारणा समस्या

पारंपरिक रूप से यह माना जाता है कि कोई व्यक्ति चार-आयामी आकृतियों को नहीं देख सकता है और उनका प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है, क्योंकि वह एक त्रि-आयामी प्राणी है। विषय रेटिना की मदद से त्रि-आयामी आकृतियों को मानता है, जो द्वि-आयामी है। चार-आयामी आकृतियों को देखने के लिए, एक त्रि-आयामी रेटिना की आवश्यकता होती है, लेकिन एक व्यक्ति के पास ऐसा अवसर नहीं होता है।

चार-आयामी आंकड़ों का एक दृश्य प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए, हम निम्न आयाम के रिक्त स्थान से उच्च आयाम के आंकड़ों के लिए एक्सट्रपलेशन के लिए उपमाओं का उपयोग करेंगे, मॉडलिंग विधि का उपयोग करेंगे, विधियों को लागू करेंगे प्रणाली विश्लेषणचार-आयामी आंकड़ों के तत्वों के बीच पैटर्न खोजने के लिए। प्रस्तावित मॉडलों को चार-आयामी आंकड़ों के गुणों का पर्याप्त रूप से वर्णन करना चाहिए, एक-दूसरे का खंडन नहीं करना चाहिए और चार-आयामी आकृति का पर्याप्त विचार देना चाहिए और सबसे पहले, इसकी ज्यामितीय आकार. चूंकि साहित्य में चार-आयामी आंकड़ों का कोई व्यवस्थित और दृश्य विवरण नहीं है, लेकिन केवल उनके नाम कुछ गुणों को दर्शाते हैं, हम चार-आयामी आंकड़ों का अध्ययन सबसे सरल के साथ शुरू करने का प्रस्ताव करते हैं - चार आयामी घन, जिसे हाइपरक्यूब कहा जाता है।

हाइपरक्यूब परिभाषा

अतिविमएक नियमित पॉलीटोप को कहा जाता है, जिसकी कोशिका एक घन होती है।

पॉलीटॉपएक चार-आयामी आकृति है, जिसकी सीमा पॉलीहेड्रा से बनी है। एक पॉलीटोप के सेल का एक एनालॉग एक पॉलीहेड्रॉन का एक चेहरा है। हाइपरक्यूब त्रि-आयामी घन के समान है।

यदि हम हाइपरक्यूब के गुणों को जानते हैं तो हमें उसके बारे में एक विचार होगा। विषय किसी वस्तु को मानता है, किसी मॉडल के रूप में उसका प्रतिनिधित्व करता है। आइए इस पद्धति का उपयोग करें और विभिन्न मॉडलों के रूप में एक हाइपरक्यूब के विचार को प्रस्तुत करें।

विश्लेषणात्मक मॉडल

हम एक-आयामी स्थान (सीधी रेखा) को बिंदुओं के एक क्रमबद्ध सेट के रूप में मानेंगेएम(एक्स), कहाँ पे एक्स- समन्वय मनमाना बिंदुसीधा। फिर दो बिंदुओं को निर्दिष्ट करके इकाई खंड दिया जाता है:ए(0) और बी(1).

एक समतल (द्वि-विमीय स्थान) को बिंदुओं के क्रमित समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है एम(एक्स; आप) इकाई वर्ग पूरी तरह से इसके चार शीर्षों द्वारा परिभाषित किया जाएगा: ए(0; 0), बी(1; 0), सी(1; 1), डी(0; 1)। वर्ग के कोने के निर्देशांक खंड के निर्देशांक में शून्य जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं, और फिर एक।

त्रि-आयामी स्थान - बिंदुओं का एक क्रमबद्ध सेट एम(एक्स; आप; जेड) 3D क्यूब को परिभाषित करने के लिए आठ बिंदुओं की आवश्यकता होती है:

ए(0; 0; 0), बी(1; 0; 0), सी(1; 1; 0), डी(0; 1; 0),

इ(0; 0; 1), एफ(1; 0; 1), जी(1; 1; 1), एच(0; 1; 1).

घन निर्देशांक शून्य और फिर एक जोड़कर वर्ग निर्देशांक से प्राप्त किए जाते हैं।

चार-आयामी स्थान बिंदुओं का एक क्रमबद्ध सेट है एम(एक्स; आप; जेड; टी) हाइपरक्यूब निर्दिष्ट करने के लिए, आपको इसके सोलह शीर्षों के निर्देशांक निर्धारित करने होंगे:

ए(0; 0; 0; 0), बी(1; 0; 0; 0), सी(1; 1; 0; 0), डी(0; 1; 0; 0),

इ(0; 0; 1; 0), एफ(1; 0; 1; 0), जी(1; 1; 1; 0), एच(0; 1; 1; 0),

क(0; 0; 0; 1), ली(1; 0; 0; 1), एम(1; 1; 0; 1), एन(0; 1; 0; 1),

हे(0; 0; 1; 1), पी(1; 0; 1; 1), आर(1; 1; 1; 1), एस(0; 1; 1; 1).

हाइपरक्यूब निर्देशांक एक चौथा निर्देशांक जोड़कर 3D क्यूब के निर्देशांक से प्राप्त किए जाते हैं, शून्य, और फिर एकता।

सूत्रों का उपयोग करना विश्लेषणात्मक ज्यामितिचार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए, कोई हाइपरक्यूब के गुण प्राप्त कर सकता है।
एक उदाहरण के रूप में, एक हाइपरक्यूब के मुख्य विकर्ण की लंबाई की गणना पर विचार करें। मान लीजिए कि बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना आवश्यक है ए(0, 0, 0, 0) और आर(1, 1, 1, 1)। ऐसा करने के लिए, हम चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं।

द्वि-आयामी अंतरिक्ष में (एक विमान पर), बिंदुओं के बीच की दूरी ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) सूत्र द्वारा गणना की जाती है

यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का अनुसरण करता है।

बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए संगत सूत्र ए(एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) और बी(एक्स 2 , आप 2 , जेड 2) त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रूप है

और बिंदु A के बीच एक-आयामी स्थान (एक सीधी रेखा पर) में ( एक्स 1) और बी ( एक्स 2) आप संबंधित दूरी सूत्र लिख सकते हैं:

इसी प्रकार, बिंदुओं के बीच की दूरी ए(एक्स 1 , आप 1 , जेड 1 , टी 1) और बी(एक्स 2 , आप 2 , जेड 2 , टी 2) चार-आयामी अंतरिक्ष में सूत्र द्वारा गणना की जाएगी:

प्रस्तावित उदाहरण के लिए, हम पाते हैं

इस प्रकार, हाइपरक्यूब विश्लेषणात्मक रूप से मौजूद है, और इसके गुणों को त्रि-आयामी घन के गुणों से भी बदतर नहीं बताया जा सकता है।

गतिशील मॉडल

हाइपरक्यूब का विश्लेषणात्मक मॉडल बहुत ही सारगर्भित है, तो आइए एक और मॉडल पर विचार करें - गतिशील।

एक बिंदु (एक शून्य-आयामी आकृति), एक दिशा में चलते हुए, एक खंड (एक-आयामी आकृति) उत्पन्न करता है। खंड, अपने आप में लंबवत दिशा में चलते हुए, एक वर्ग (द्वि-आयामी आकृति) बनाता है। वर्ग, वर्ग के तल के लंबवत दिशा में चलते हुए, एक घन (त्रि-आयामी आकृति) बनाता है।

घन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लंबवत चलते हुए जिसमें यह मूल रूप से स्थित था, एक हाइपरक्यूब (चार-आयामी आकृति) उत्पन्न करता है।

हाइपरक्यूब सीमा त्रि-आयामी, परिमित और बंद है। इसमें एक त्रि-आयामी घन होता है मकानकीदशा, अपनी अंतिम स्थिति में एक त्रि-आयामी घन, और चौथे आयाम की दिशा में मूल घन के वर्गों को स्थानांतरित करके गठित छह घन। हाइपरक्यूब की पूरी सीमा में 8 त्रि-आयामी क्यूब्स (कोशिकाएं) होते हैं।

प्रारंभिक स्थिति में चलते समय, घन में 8 शीर्ष होते थे और अंतिम स्थिति में भी 8 शीर्ष होते थे। इसलिए, हाइपरक्यूब है कुल 16 चोटियाँ।

प्रत्येक शीर्ष से चार परस्पर लंबवत किनारे निकलते हैं। कुल मिलाकर, हाइपरक्यूब में 32 किनारे होते हैं। प्रारंभिक स्थिति में, इसमें 12 किनारे होते थे, अंतिम स्थिति में भी 12 किनारे होते थे, और चौथे आयाम में चलते समय 8 किनारों ने क्यूब के शीर्ष का गठन किया था।

इस प्रकार, हाइपरक्यूब की सीमा में 8 घन होते हैं, जिसमें 24 वर्ग होते हैं। अर्थात्, प्रारंभिक स्थिति में 6 वर्ग, अंतिम स्थिति में 6, और चौथे आयाम की दिशा में 12 किनारों को घुमाकर बनाए गए 12 वर्ग।

ज्यामितीय मॉडल

हाइपरक्यूब का गतिशील मॉडल अपर्याप्त रूप से स्पष्ट लग सकता है। इसलिए, हाइपरक्यूब के ज्यामितीय मॉडल पर विचार करें। हम 3D क्यूब का ज्यामितीय मॉडल कैसे प्राप्त करते हैं? हम इसे प्रकट करते हैं, और प्रकट होने से हम क्यूब मॉडल को "गोंद" करते हैं। त्रि-आयामी घन के विकास में एक वर्ग होता है, जिसके किनारों पर एक वर्ग और एक और वर्ग जुड़ा होता है। हम आसन्न वर्गों को वर्ग के किनारों के चारों ओर मोड़ते हैं, और वर्गों के आसन्न पक्षों को एक दूसरे से जोड़ते हैं। और हम शेष चार भुजाओं को अंतिम वर्ग (चित्र 1) के साथ बंद कर देते हैं।

इसी प्रकार, हाइपरक्यूब के प्रकटन पर विचार करें। इसका विकास एक त्रि-आयामी आकृति होगी, जिसमें मूल त्रि-आयामी घन, मूल घन के प्रत्येक चेहरे से सटे छह घन और एक और घन शामिल होगा। कुल आठ त्रि-आयामी घन हैं (चित्र 2)। इस विकास से एक चार-आयामी घन (हाइपरक्यूब) प्राप्त करने के लिए, आसन्न क्यूब्स में से प्रत्येक को 90 डिग्री घुमाया जाना चाहिए। ये आस-पास के क्यूब एक अलग 3D स्पेस में स्थित होंगे। घनों के आसन्न फलकों (वर्गों) को एक दूसरे से जोड़िए। आठवें क्यूब को उसके चेहरों के साथ शेष खाली जगह में एम्बेड करें। हमें एक चार-आयामी आकृति मिलती है - एक हाइपरक्यूब, जिसकी सीमा में आठ त्रि-आयामी क्यूब्स होते हैं।

हाइपरक्यूब छवि

यह ऊपर दिखाया गया था कि त्रि-आयामी स्कैन से हाइपरक्यूब मॉडल को "गोंद" कैसे करें। हम प्रक्षेपण का उपयोग करके चित्र प्राप्त करते हैं। त्रि-आयामी घन का केंद्रीय प्रक्षेपण (एक विमान पर इसकी छवि) इस तरह दिखता है (चित्र 3)। वर्ग के अंदर एक और वर्ग है। वर्ग के संगत शीर्ष खंडों से जुड़े हुए हैं। आसन्न वर्गों को ट्रेपेज़ॉइड के रूप में दर्शाया गया है, हालांकि वे 3 डी अंतरिक्ष में वर्ग हैं। आंतरिक और बाहरी वर्ग अलग-अलग आकार के होते हैं, लेकिन वास्तविक 3D स्थान में वे समान वर्ग होते हैं।

इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर चार-आयामी घन का केंद्रीय प्रक्षेपण इस तरह दिखेगा: एक घन के अंदर एक और घन है। घनों के संगत शीर्ष खंडों से जुड़े हुए हैं। आंतरिक और बाहरी घनों में होता है विभिन्न आकारतीन आयामों में, लेकिन चार आयामों में यह है बराबर क्यूब्स(चित्र 4)।

छह काटे गए पिरामिड एक चार-आयामी घन के बराबर छह कोशिकाओं (क्यूब्स) की छवियां हैं।

यह त्रि-आयामी प्रक्षेपण एक विमान पर खींचा जा सकता है और आप गतिशील मॉडल का उपयोग करके प्राप्त हाइपरक्यूब के गुणों की सच्चाई को सत्यापित कर सकते हैं।

हाइपरक्यूब में 16 शीर्ष, 32 किनारे, 24 फलक (वर्ग), 8 कोशिकाएँ (घन) हैं। प्रत्येक शीर्ष से चार परस्पर लंबवत किनारे निकलते हैं। हाइपरक्यूब की सीमा एक त्रि-आयामी बंद उत्तल आकृति है, जिसका आयतन (हाइपरक्यूब का पार्श्व आयतन) आठ इकाई त्रि-आयामी क्यूब्स के बराबर है। अपने आप में, इस आकृति में एक इकाई हाइपरक्यूब होता है, जिसका हाइपरवॉल्यूम यूनिट हाइपरक्यूब के हाइपरवॉल्यूम के बराबर होता है।

निष्कर्ष

इस कार्य में, लक्ष्य चार-आयामी स्थान के साथ प्रारंभिक परिचय देना था। यह सबसे सरल आकृति - हाइपरक्यूब के उदाहरण पर किया गया था।

चार आयामी अंतरिक्ष की दुनिया अद्भुत है! इसमें त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समान आकृतियों के साथ, ऐसे आंकड़े भी हैं जिनका त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कोई एनालॉग नहीं है।

कई घटनाएं भौतिक संसार, मैक्रोकॉसम और मेगावर्ल्ड, भौतिकी, रसायन विज्ञान और खगोल विज्ञान में शानदार सफलताओं के बावजूद, अकथनीय बने हुए हैं।

नहीं एकीकृत सिद्धांतजो प्रकृति की सभी शक्तियों की व्याख्या करता है। ब्रह्मांड का कोई भी संतोषजनक मॉडल नहीं है जो इसकी संरचना की व्याख्या करता है और विरोधाभासों को बाहर करता है।

चार-आयामी अंतरिक्ष के गुणों को जानने और चार-आयामी ज्यामिति से कुछ विचारों को उधार लेने से, न केवल भौतिक दुनिया के अधिक कठोर सिद्धांतों और मॉडलों का निर्माण करना संभव होगा, बल्कि कानूनों के अनुसार कार्य करने वाले उपकरण और सिस्टम भी बनाना संभव होगा। चार-आयामी दुनिया में, तो मानवीय क्षमताएं और भी प्रभावशाली होंगी।

आइए यह समझाते हुए शुरू करें कि चार-आयामी स्थान क्या है।

यह एक आयामी स्थान है, जो कि केवल OX अक्ष है। इस पर कोई भी बिंदु एक निर्देशांक द्वारा विशेषता है।

अब आइए ओए अक्ष को ओएक्स अक्ष पर लंबवत खींचें। तो हमें एक द्वि-आयामी स्थान मिला, जो कि XOY समतल है। इस पर कोई भी बिंदु दो निर्देशांकों की विशेषता है - भुज और कोटि।

आइए OZ अक्ष को अक्ष OX और OY के लंबवत खींचें। आपको एक त्रि-आयामी स्थान मिलेगा जिसमें किसी भी बिंदु पर एक भुज, एक कोटि और एक अनुप्रस्थ होता है।

यह तर्कसंगत है कि चौथा अक्ष, OQ, अक्षों OX, OY और OZ पर एक ही समय में लंबवत होना चाहिए। लेकिन हम इस तरह की धुरी का सटीक निर्माण नहीं कर सकते हैं, और इसलिए यह केवल इसकी कल्पना करने की कोशिश करना है। चार-आयामी अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के चार निर्देशांक होते हैं: x, y, z और q।

अब देखते हैं कि चार-आयामी घन कैसे प्रकट हुआ।

चित्र एक आयामी अंतरिक्ष की एक आकृति दिखाता है - एक रेखा।

अगर किया समानांतर स्थानांतरणओए अक्ष के साथ यह रेखा, और फिर दो परिणामी रेखाओं के संबंधित सिरों को कनेक्ट करें, आपको एक वर्ग मिलता है।

इसी प्रकार, यदि हम OZ अक्ष के अनुदिश वर्ग का समानांतर अनुवाद करते हैं और संगत शीर्षों को जोड़ते हैं, तो हमें एक घन प्राप्त होता है।

और यदि हम क्यूब का OQ अक्ष के साथ समानांतर अनुवाद करते हैं और इन दो घनों के शीर्षों को जोड़ते हैं, तो हमें एक चार-आयामी घन प्राप्त होगा। वैसे, इसे कहते हैं टेसेरैक्ट.

समतल पर घन बनाने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है परियोजना. दृष्टि से यह इस तरह दिखता है:

कल्पना कीजिए कि सतह के ऊपर की हवा लटकती है वायरफ्रेम मॉडलक्यूब, यानी "तार से बना", और उसके ऊपर - एक प्रकाश बल्ब। यदि आप प्रकाश बल्ब को चालू करते हैं, एक पेंसिल के साथ घन की छाया का पता लगाते हैं, और फिर प्रकाश बल्ब को बंद कर देते हैं, तो घन का प्रक्षेपण सतह पर दिखाया जाएगा।

आइए कुछ और जटिल पर चलते हैं। प्रकाश बल्ब के साथ चित्र को फिर से देखें: जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी किरणें एक बिंदु पर परिवर्तित हो गईं। यह कहा जाता है लोपी बिन्दुऔर निर्माण के लिए प्रयोग किया जाता है परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण(और कभी-कभी समानांतर, जब सभी किरणें एक-दूसरे के समानांतर होती हैं। परिणाम यह होता है कि मात्रा का कोई बोध नहीं होता है, लेकिन यह हल्का होता है, और यदि लुप्त बिंदु प्रक्षेपित वस्तु से काफी दूर है, तो इनके बीच का अंतर दो अनुमान शायद ही ध्यान देने योग्य हैं)। दर्शाना दिया गया बिंदुपर दिया गया विमान, लुप्त बिंदु का उपयोग करते हुए, आपको लुप्त बिंदु और दिए गए बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचनी होगी, और फिर परिणामी रेखा और विमान का प्रतिच्छेदन बिंदु ढूंढना होगा। और अधिक प्रोजेक्ट करने के लिए जटिल आंकड़ा, कहते हैं, एक घन, आपको इसके प्रत्येक कोने को प्रोजेक्ट करना होगा, और फिर संबंधित बिंदुओं को जोड़ना होगा। इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि स्पेस-टू-सबस्पेस प्रोजेक्शन एल्गोरिदम 4D->3D के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, न कि केवल 3D->2D में।

जैसा कि मैंने कहा, हम ठीक से कल्पना नहीं कर सकते कि OQ अक्ष कैसा दिखता है, और न ही टेस्सेक्ट कर सकता है। लेकिन हम इसका एक सीमित विचार प्राप्त कर सकते हैं यदि हम इसे वॉल्यूम पर प्रोजेक्ट करें और फिर इसे कंप्यूटर स्क्रीन पर ड्रा करें!

अब बात करते हैं टेस्सेक्ट के प्रोजेक्शन की।

बाईं ओर समतल पर घन का प्रक्षेपण है, और दाईं ओर वॉल्यूम पर टेसरैक्ट है। वे काफी समान हैं: एक घन का प्रक्षेपण दो वर्गों की तरह दिखता है, एक छोटा और एक बड़ा, एक दूसरे के अंदर, रेखाओं से जुड़े संबंधित शिखर के साथ। और टेसरैक्ट का प्रक्षेपण दो क्यूब्स की तरह दिखता है, छोटा और बड़ा, एक दूसरे के अंदर, और संबंधित कोने से जुड़ा हुआ है। लेकिन हम सभी ने घन देखा है, और हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि छोटा वर्ग और बड़ा एक, और चार समलम्बाकार ऊपर, नीचे, दाईं ओर और बाईं ओर छोटा वर्ग, वास्तव में, वर्ग हैं, इसके अलावा, वे बराबर हैं। वही टेसरैक्ट के लिए जाता है। और एक बड़ा घन, और एक छोटा घन, और छ: काटे गए पिरामिडएक छोटे घन के किनारों पर - ये सभी घन हैं, और ये बराबर हैं।

मेरा प्रोग्राम न केवल वॉल्यूम पर टेस्सेक्ट के प्रक्षेपण को आकर्षित कर सकता है, बल्कि इसे घुमा भी सकता है। आइए देखें कि यह कैसे किया जाता है।

सबसे पहले, मैं आपको बताता हूँ कि क्या है विमान के समानांतर घूर्णन.

कल्पना कीजिए कि घन OZ अक्ष के चारों ओर घूमता है। तब इसका प्रत्येक शीर्ष OZ अक्ष के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करता है।

एक वृत्त एक सपाट आकृति है। और इन वृत्तों में से प्रत्येक के तल एक दूसरे के समानांतर हैं, और in इस मामले में XOY समतल के समानांतर हैं। यही है, हम न केवल ओजेड अक्ष के चारों ओर घूर्णन के बारे में बात कर सकते हैं, बल्कि एक्सओवाई विमान के समानांतर घूर्णन के बारे में भी बात कर सकते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्सओवाई अक्ष के समानांतर घूमने वाले बिंदुओं के लिए, केवल एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट परिवर्तन, जबकि एप्लिकेट अपरिवर्तित रहता है और, वास्तव में, हम एक सीधी रेखा के चारों ओर घूमने के बारे में तभी बात कर सकते हैं जब हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के साथ काम कर रहे हों। 2D में सब कुछ एक बिंदु के चारों ओर घूमता है, 4D में सब कुछ एक समतल के चारों ओर घूमता है, 5D अंतरिक्ष में हम एक आयतन के चारों ओर घूमने की बात कर रहे हैं। और अगर हम एक बिंदु के चारों ओर घूमने की कल्पना कर सकते हैं, तो विमान और आयतन के चारों ओर घूमना कुछ अकल्पनीय है। और अगर हम समतल के समानांतर घूमने की बात करें, तो किसी भी n-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु समतल के समानांतर घूम सकता है।

आप में से कई लोगों ने शायद रोटेशन मैट्रिक्स के बारे में सुना होगा। किसी बिंदु को इससे गुणा करने पर, हमें एक बिंदु मिलता है जो समतल के समानांतर एक कोण phi से घुमाया जाता है। द्वि-आयामी स्थान के लिए, यह इस तरह दिखता है:

कैसे गुणा करें: एक कोण से घुमाए गए बिंदु का x phi = कोण का कोज्या phi*x मूल बिंदु का मूल बिंदु के कोण phi*y की ज्या घटा;
कोण द्वारा घुमाए गए बिंदु का y phi=कोण का ज्या phi*x मूल बिंदु का प्लस कोण का कोज्या phi*y मूल बिंदु का।
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, जहां Xa और Ya घुमाए जाने वाले बिंदु के भुज और निर्देशांक हैं, Xa` तथा Ya` पहले से ही घुमाए गए बिंदु के भुज और कोटि हैं

त्रि-आयामी स्थान के लिए, यह मैट्रिक्स निम्नानुसार सामान्यीकृत है:

एक्सओवाई विमान के समानांतर घूर्णन। जैसा कि आप देख सकते हैं, Z निर्देशांक नहीं बदलता है, लेकिन केवल X और Y बदलते हैं।
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (अनिवार्य रूप से Za`=Za)

XOZ समतल के समानांतर घूर्णन। कुछ नया नहीं,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (वास्तव में, हां`=हां)
ज़ा`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za

और तीसरा मैट्रिक्स।
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (अनिवार्य रूप से Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinФ*Za
ज़ा`=एक्सए*0 + पापФ*हां + कोसФ*ज़ा

और चौथे आयाम के लिए, वे इस तरह दिखते हैं:


मुझे लगता है कि आप पहले से ही समझ गए हैं कि किससे गुणा करना है, इसलिए मैं इसे फिर से पेंट नहीं करूंगा। लेकिन मैं ध्यान देता हूं कि यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष में विमान के समानांतर घूमने के लिए मैट्रिक्स जैसा ही करता है! वह और यह दोनों केवल कोर्डिनेट और एप्लिकेट को बदलते हैं, और बाकी कोऑर्डिनेट को छुआ नहीं जाता है, इसलिए इसका उपयोग त्रि-आयामी मामले में किया जा सकता है, केवल चौथे कोऑर्डिनेट को अनदेखा करते हुए।

लेकिन प्रक्षेपण सूत्र के साथ, सब कुछ इतना आसान नहीं है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैं मंचों को कितना पढ़ता हूं, प्रक्षेपण विधियों में से कोई भी मेरे अनुकूल नहीं है। समानांतर मुझे शोभा नहीं देता, क्योंकि प्रक्षेपण त्रि-आयामी नहीं दिखेगा। कुछ प्रक्षेपण फ़ार्मुलों में, एक बिंदु खोजने के लिए, आपको समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है (और मुझे नहीं पता कि उन्हें हल करने के लिए कंप्यूटर को कैसे पढ़ाया जाए), मैं बस दूसरों को नहीं समझ पाया ... सामान्य तौर पर, मैंने फैसला किया मेरे अपने तरीके से आने के लिए। इसके लिए प्रक्षेपण 2D->1D पर विचार करें।

pov का अर्थ है "दृष्टिकोण" (दृष्टिकोण), ptp का अर्थ है "प्वाइंट टू प्रोजेक्ट" (प्रोजेक्ट किए जाने वाले बिंदु), और ptp` है वांछित बिंदु OX अक्ष पर।

कोण povptpB तथा ptpptp `A समान हैं (धराशायी रेखा अक्ष OX के समानांतर है, रेखा povptp secant है)।
ptp का x, ptp के x के बराबर है और खंड ptp की लंबाई घटाकर ptp`A है। यह खंड त्रिभुज ptpptp`A: ptp`A = ptpA/कोण ptpptp`A की स्पर्श रेखा से पाया जा सकता है। हम इस स्पर्शरेखा को त्रिभुज povptpB: कोण ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp) की स्पर्शरेखा से ज्ञात कर सकते हैं।
उत्तर: Xptp`=Xptp-Yptp/कोण ptpptp`A की स्पर्शरेखा।

मैंने इस एल्गोरिथम का यहां विस्तार से वर्णन नहीं किया है, क्योंकि ऐसे बहुत से विशेष मामले हैं जहां सूत्र कुछ हद तक बदल जाता है। कौन परवाह करता है - कार्यक्रम के स्रोत कोड में देखें, टिप्पणियों में सब कुछ लिखा है।

एक तल पर त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु को प्रक्षेपित करने के लिए, हम केवल दो विमानों - XOZ और YOZ पर विचार करते हैं, और उनमें से प्रत्येक के लिए इस समस्या को हल करते हैं। चार-आयामी अंतरिक्ष के मामले में, पहले से ही तीन विमानों पर विचार करना आवश्यक है: XOQ, YOQ और ZOQ।

और अंत में, कार्यक्रम के बारे में। यह इस तरह काम करता है: टेस्सेक्ट के सोलह कोने शुरू करें -> उपयोगकर्ता द्वारा दर्ज किए गए आदेशों के आधार पर, इसे घुमाएं -> वॉल्यूम पर प्रोजेक्ट -> उपयोगकर्ता द्वारा दर्ज किए गए आदेशों के आधार पर, इसके प्रक्षेपण को घुमाएं -> प्रोजेक्ट को एक विमान पर -> ड्रा।

प्रोजेक्शन और रोटेशन मैंने खुद लिखा था। वे उन सूत्रों के अनुसार काम करते हैं जिनका मैंने अभी वर्णन किया है। OpenGL लाइब्रेरी रेखाएँ खींचती है और रंगों को भी मिलाती है। और टेस्सेक्ट के कोने के निर्देशांक की गणना इस प्रकार की जाती है:

मूल और लंबाई 2 - (1) और (-1) पर केंद्रित रेखा शीर्ष निर्देशांक;
- "-" - एक वर्ग - "-" - और लंबाई 2 का एक किनारा:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) और (-1; -1);
- "-" - घन - "-" -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
जैसा कि आप देख सकते हैं, वर्ग ओए अक्ष के ऊपर एक रेखा और ओए अक्ष के नीचे एक रेखा है; एक घन XOY तल के सामने एक वर्ग है, और एक उसके पीछे; एक टेस्सेक्ट एक्सओवाईजेड वॉल्यूम के दूसरी तरफ एक घन है, और एक इस तरफ है। लेकिन इकाइयों और ऋण इकाइयों के इस विकल्प को समझना बहुत आसान है यदि वे एक कॉलम में लिखे गए हैं

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

पहले कॉलम में, एक और घटा एक वैकल्पिक। दूसरे कॉलम में पहले दो प्लस हैं, फिर दो माइनस हैं। तीसरे में - फोर प्लस वन, और फिर फोर माइनस वन। ये घन के शीर्ष थे। टेसेरैक्ट में उनमें से दोगुने हैं, और इसलिए उन्हें घोषित करने के लिए एक चक्र लिखना आवश्यक था, अन्यथा भ्रमित होना बहुत आसान है।

मेरा कार्यक्रम यह भी जानता है कि एनालिफ कैसे खींचना है। 3D चश्मे के खुश मालिक एक त्रिविम चित्र देख सकते हैं। एक चित्र बनाने में कुछ भी मुश्किल नहीं है, यह सिर्फ एक विमान पर दो अनुमान लगाता है, दाईं और बाईं आंखों के लिए। लेकिन कार्यक्रम बहुत अधिक दृश्य और दिलचस्प हो जाता है, और सबसे महत्वपूर्ण बात - देता है सबसे अच्छा प्रदर्शनचार आयामी दुनिया के बारे में।

कम महत्वपूर्ण कार्य - लाल रंग में चेहरों में से एक को हाइलाइट करना, ताकि आप बेहतर मोड़ देख सकें, साथ ही साथ मामूली सुविधाएं - "आंख" बिंदुओं के निर्देशांक को समायोजित करना, घूर्णन की गति को बढ़ाना और घटाना।

कार्यक्रम, स्रोत कोड और उपयोग के लिए निर्देशों के साथ संग्रह करें।