एक रेखा और एक विमान को समानांतर कहा जाता है यदि उनके पास कोई सामान्य बिंदु नहीं है। यदि एक रेखा जो किसी दिए गए तल में नहीं है, उस तल में एक रेखा के समानांतर है

1. यदि एक तल किसी दी गई रेखा से दूसरे तल के समांतर गुजरता है और इस तल को प्रतिच्छेद करता है, तो तलों की प्रतिच्छेदन रेखा दी गई रेखा के समांतर होती है।

2. यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक दिए गए विमान के समानांतर है, और दूसरी रेखा में एक विमान है आम बात, तो यह रेखा दिए गए तल में स्थित है। विमान, तो यह विमान के समानांतर है।

मामलों तुलनात्मक स्थितिसीधे और विमान:ए) रेखा एक विमान में स्थित है;

बी) एक रेखा और एक विमान में केवल एक सामान्य बिंदु होता है; सी) एक रेखा और एक विमान में कोई सामान्य बिंदु नहीं होता है।

2. एक समकोण त्रिभुज की विधि द्वारा सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा के एक खंड के प्राकृतिक आकार का निर्धारण।

सामान्य स्थिति में एक रेखाखंड AB का प्राकृतिक मान (n.v.) एक समकोण त्रिभुज ABK का कर्ण है। इस त्रिभुज में, पैर AK अनुमानों के समतल के समानांतर है 1 और खंड A"B" के क्षैतिज प्रक्षेपण के बराबर है। पैर बीके विमान π1 से बिंदु ए और बी की दूरी के बीच के अंतर के बराबर है।

सामान्य स्थिति में, एक सीधी रेखा खंड के प्राकृतिक आकार को निर्धारित करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाना आवश्यक है, जिसका एक पैर खंड का क्षैतिज (ललाट) प्रक्षेपण है, दूसरा पैर एक खंड के बराबर है खंड के चरम बिंदुओं के Z (Y) निर्देशांक के बीजगणितीय अंतर के परिमाण में।

कोण α एक समकोण त्रिभुज से पाया जाता है - अनुमानों के क्षैतिज तल पर एक सीधी रेखा के झुकाव का कोण।

ललाट प्रक्षेपण विमान के लिए एक सीधी रेखा के झुकाव के कोण को निर्धारित करने के लिए, खंड के ललाट प्रक्षेपण पर समान निर्माण करना आवश्यक है।

3. विमान की मुख्य रेखाएँ (क्षैतिज, ललाट)।

समतल P का क्षैतिज एक सीधी रेखा है जो इस तल में स्थित है और क्षैतिज तल के समानांतर है। क्षैतिज तल के समानांतर एक सीधी रेखा के रूप में क्षैतिज में एक ललाट प्रक्षेपण होता है x-अक्ष के समानांतर।

समतल P का अगला भाग एक सीधी रेखा है जो इस तल में स्थित है और ललाट तल के समानांतर है।

ललाट ललाट तल के समानांतर एक सीधी रेखा है, और इसका क्षैतिज प्रक्षेपण f x-अक्ष के समानांतर है।

4. अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं की पारस्परिक स्थिति। प्रतिस्पर्धी बिंदुओं द्वारा दृश्यता का निर्धारण।अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं का एक अलग स्थान हो सकता है: ए) प्रतिच्छेदन (एक ही विमान में झूठ)। चौराहे का एक विशेष मामला - एक समकोण पर; बी) समानांतर हो सकता है (एक ही विमान में झूठ); सी) संयोग - समानांतरवाद का एक विशेष मामला; डी) क्रॉस (विभिन्न विमानों में झूठ बोलना और प्रतिच्छेद नहीं करना)।

वे बिंदु जिनके प्रक्षेपण P1 पर संपाती होते हैं, कहलाते हैं प्रतिस्पर्धासमतल P1 के संबंध में, और वे बिंदु जिनके प्रक्षेपण P2 पर संपाती हैं, कहलाते हैं प्रतिस्पर्धाविमान P2 के संबंध में।

बिंदु K और L समतल P1 के संबंध में प्रतिस्पर्धा कर रहे हैं, क्योंकि विमान P1 पर बिंदु K और L को एक बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है: K1 = L1।

बिंदु K, बिंदु L से ऊंचा है, क्योंकि K2 बिंदु L2 से अधिक है, इसलिए K1 P1 पर दिखाई देता है।

प्रमेय

अगर सीधे, नहीं विमान से संबंधित, इस तल में किसी रेखा के समानांतर है, तो यह भी समतल के समानांतर है।

प्रमाण

मान लीजिए α एक समतल है, एक ऐसी रेखा है जो उसमें नहीं पड़ी है, और a1 समतल में एक रेखा है α जो रेखा a के समानांतर है। आइए हम रेखा a और a1 से होकर α1 समतल बनाएं। विमान α और α1 रेखा a1 के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। यदि रेखा a समतल α को प्रतिच्छेद करती है, तो प्रतिच्छेदन बिंदु रेखा a1 से संबंधित होगा। लेकिन यह असंभव है, क्योंकि रेखाएँ a और a1 समानांतर हैं। इसलिए, रेखा a समतल α को नहीं काटती है, और इसलिए यह समतल α के समानांतर है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

18. विमानों

यदि दो समांतर तल एक तिहाई के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, तो प्रतिच्छेदन रेखाएँ समानांतर होती हैं।(चित्र। 333)।

दरअसल, परिभाषा के अनुसार समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो एक ही तल में होती हैं और प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।हमारी रेखाएँ एक ही तल में स्थित हैं - छेदक तल। वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, क्योंकि उनमें समाहित समानांतर तल प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

तो रेखाएँ समानांतर हैं, जिसे हम सिद्ध करना चाहते थे।

गुण

यदि तल α दूसरे तल β में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से प्रत्येक के समानांतर है, तो ये तल समानांतर हैं

यदि दो समांतर तलों को एक तिहाई प्रतिच्छेदित किया जाता है, तो उनके प्रतिच्छेदन की रेखाएँ समानांतर होती हैं

किसी दिए गए तल के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, किसी दिए गए विमान के समानांतर एक विमान खींचना संभव है, और इसके अलावा, केवल एक ही

दो समांतर तलों से घिरी समानांतर रेखाओं के खंड बराबर होते हैं

दो कोण जिनकी क्रमशः समान्तर और समान रूप से निर्देशित भुजाएँ समान हैं और समांतर तलों में स्थित हैं

19.

यदि दो रेखाएँ एक ही तल में होती हैं, तो उनके बीच के कोण को मापना आसान होता है - उदाहरण के लिए, एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके। और कैसे मापें रेखा और समतल के बीच का कोण?

मान लीजिए कि रेखा समतल को काटती है, समकोण पर नहीं, बल्कि किसी अन्य कोण पर। ऐसी रेखा कहलाती है परोक्ष.

आइए हम अपने तल की ओर झुके किसी बिंदु से एक लंब गिराते हैं। लंबवत के आधार को झुकाव और विमान के चौराहे के बिंदु से कनेक्ट करें। हमें मिला एक तिरछे विमान का प्रक्षेपण.

एक रेखा और एक तल के बीच का कोण एक रेखा और किसी दिए गए तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण होता है।.

कृपया ध्यान दें - हम एक न्यून कोण को रेखा और तल के बीच के कोण के रूप में चुनते हैं।

यदि रेखा समतल के समांतर हो, तो रेखा और तल के बीच का कोण शून्य होता है।

यदि कोई रेखा किसी समतल पर लंबवत है, तो उसका समतल पर प्रक्षेपण एक बिंदु है। स्पष्ट है कि इस स्थिति में रेखा और तल के बीच का कोण 90° होता है।

एक रेखा एक समतल पर लंबवत होती है यदि वह उस तल की किसी भी रेखा के लंबवत होती है।.

यह परिभाषा है। लेकिन उसके साथ कैसे काम करें? कैसे जांचें कि दी गई रेखा समतल में पड़ी सभी रेखाओं के लंबवत है? आखिरकार, उनकी अनंत संख्या है।

व्यवहार में, इसे लागू किया जाता है एक रेखा और एक तल के लंबवतता का चिन्ह:

एक रेखा एक समतल पर लंबवत होती है यदि वह उस तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत हो।

21. डायहेड्रल कोण- स्थानिक ज्यामितीय आकृति, एक सीधी रेखा से निकलने वाले दो अर्ध-तलों द्वारा निर्मित, साथ ही इन अर्ध-तलों से घिरे हुए स्थान का एक भाग।

दो तलों को लंबवत कहा जाता है यदि उनके बीच का विकर्ण कोण 90 डिग्री हो।

यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो ये तल लंबवत होते हैं।

यदि दोनों में से किसी एक के बिंदु से लंबवत विमान, दूसरे तल पर एक लंब खींचिए, तो यह लंब पूरी तरह से पहले तल में स्थित होता है।

यदि दो लंबवत तलों में से एक में हम उनके प्रतिच्छेदन रेखा पर एक लंब खींचते हैं, तो यह लंब दूसरे तल पर लंबवत होगा।

दो प्रतिच्छेदी तल एक उभयनिष्ठ किनारे के साथ चार द्विफलकीय कोण बनाते हैं: जोड़े लंब कोणबराबर हैं और दो आसन्न कोणों का योग 180° है। यदि चार कोणों में से एक समकोण है, तो अन्य तीन भी बराबर और समकोण हैं। दो तलों को लम्बवत कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण समकोण हो.

प्रमेय। यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो वे तल लंबवत होते हैं।

मान लीजिए और ऐसे दो तल हों कि यह रेखा AB से होकर जाए, जो इसके साथ बिंदु A पर लंबवत और प्रतिच्छेद करती हो (चित्र 49)। आइए साबित करें कि _|_ । विमान और प्रतिच्छेद किसी रेखा AC और AB _|_ AC के अनुदिश काटते हैं, क्योंकि एबी _|_। आइए हम समतल में एक रेखा AD खींचते हैं, जो रेखा AC के लंबवत है।

तब कोण BAD एक रैखिक कोण है द्विफलक कोण, शिक्षित और . लेकिन< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. एक पॉलीहेड्रॉन एक ऐसा पिंड है जिसकी सतह में समतल बहुभुजों की एक सीमित संख्या होती है।

1. कोई भी बहुभुज जो बहुफलक को बनाता है, आप उनमें से किसी एक से सटे एक पर जाकर, और इससे, बदले में, उससे सटे एक तक, आदि तक पहुँच सकते हैं।

इन बहुभुजों को कहा जाता है चेहरे के, उनके पक्ष - पसलियां, और उनके शीर्ष हैं चोटियोंबहुफलक। पॉलीहेड्रा के सबसे सरल उदाहरण हैं उत्तल पॉलीहेड्रा, अर्थात्, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक परिबद्ध उपसमुच्चय की सीमा, जो कि अर्ध-रिक्त स्थान की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है।

पॉलीहेड्रॉन की उपरोक्त परिभाषा एक अलग अर्थ पर निर्भर करती है कि बहुभुज को कैसे परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए निम्नलिखित दो विकल्प संभव हैं:

सपाट बंद टूटी हुई रेखाएं (भले ही वे आत्म-प्रतिच्छेदन हों);

विमान के कुछ हिस्से टूटी हुई रेखाओं से बंधे हैं।

पहले मामले में, हमें स्टार पॉलीहेड्रॉन की अवधारणा मिलती है। दूसरे में, एक पॉलीहेड्रॉन बहुभुज टुकड़ों से बना एक सतह है। यदि यह सतह स्वयं को नहीं काटती है, तो यह किसी ज्यामितीय निकाय की पूर्ण सतह है, जिसे बहुफलक भी कहा जाता है। इसलिए पॉलीहेड्रॉन की तीसरी परिभाषा ज्यामितीय शरीर के रूप में उत्पन्न होती है।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म कहलाता है सीधाअगर यह पार्श्व पसलियांआधारों के लंबवत।
प्रिज्म कहलाता है परोक्षयदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत नहीं हैं।
एक सीधे प्रिज्म में ऐसे फलक होते हैं जो आयताकार होते हैं।

प्रिज्म कहलाता है सहीयदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।
प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफलभुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है।
प्रिज्म की पूरी सतहपार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रों के योग के बराबर

प्रिज्म तत्व:
अंक - शिखर कहलाते हैं
खंडों को पार्श्व किनारे कहा जाता है
बहुभुज और - आधार कहलाते हैं। विमानों को स्वयं भी आधार कहा जाता है।

24. समानांतर पिंड(ग्रीक παράλλος से - समानांतर और ग्रीक επιπεδον - समतल) - एक प्रिज्म, जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है, या (समान रूप से) एक बहुफलक है, जिसके छह फलक हैं और उनमें से प्रत्येक एक समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण के मध्य बिंदु के बारे में सममित है।

समाप्त होने वाला कोई भी खंड, सतह से संबंधितएक समानांतर चतुर्भुज और इसके विकर्ण के बीच से गुजरते हुए, इसे आधे में विभाजित करता है; विशेष रूप से, समांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसे समद्विभाजित करते हैं।

समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और बराबर होते हैं।

विकर्ण लंबाई का वर्ग घनाभ योग के बराबर हैइसके तीन आयामों के वर्ग।

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफलइस समांतर चतुर्भुज के तीन फलकों के क्षेत्रफलों के योग के दोगुने के बराबर है:

1.	एस= 2(एस ए+एसबी+अनुसूचित जाति)= 2(अब+बीसी+एसी)

25 .पिरामिड और उसके तत्व

एक समतल पर विचार करें, जिसमें एक बहुभुज है और एक बिंदु S उसमें नहीं पड़ा है। S को बहुभुज के सभी शीर्षों से कनेक्ट करें। परिणामी पॉलीहेड्रॉन को पिरामिड कहा जाता है। खंडों को पार्श्व किनारे कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है, और बिंदु S को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिभुजाकार (n=3), चतुर्भुज (n=4), पंचकोणीय (n=5) इत्यादि कहा जाता है। त्रिभुजाकार पिरामिड का वैकल्पिक नाम - चतुर्पाश्वीय. पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार तल तक खींचा गया लंबवत है।

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

कार्यक्रम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है सही पिरामिड.
पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन है जिसका आधार बहुभुज के रूप में होता है, और शेष फलक एक सामान्य शीर्ष वाले त्रिभुज होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का सूत्र है:

जहाँ p आधार का परिमाप है (बहुभुज ABCDE),
ए - एपोथेम (ओएस);

एपोथेम एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है, जो इसके शीर्ष से खींचा जाता है।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, पिरामिड परिधि और एपोथेम मान दर्ज करें, फिर "कैलक्यूलेट" बटन पर क्लिक करें। कार्यक्रम एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को निर्धारित करेगा, जिसका मूल्य हो सकता है क्लिपबोर्ड पर रखा गया।

छोटा पिरामिड

एक छोटा पिरामिड एक हिस्सा है पूरा पिरामिडआधार और उसके समानांतर एक खंड के बीच संलग्न है।
क्रॉस सेक्शन को कहा जाता है एक काटे गए पिरामिड का ऊपरी आधार, और पूर्ण पिरामिड का आधार है निचला आधारकटा हुआ पिरामिड। (आधार समान हैं।) साइड फेसकाटे गए पिरामिड - ट्रेपोजॉइड। एक काटे गए पिरामिड में 3 एनपसलियों, 2 एनचोटियाँ, एन+ 2 चेहरे, एन(एन- 3) विकर्ण। ऊपरी और निचले आधारों के बीच की दूरी काटे गए पिरामिड की ऊंचाई (पूर्ण पिरामिड की ऊंचाई से कटा हुआ खंड) है।
वर्ग पूरी सतहछोटा पिरामिड उसके फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
काटे गए पिरामिड का आयतन ( एसऔर एस- आधार क्षेत्र, एच- ऊंचाई)

रोटेशन का शरीरएक सीधी रेखा के चारों ओर एक रेखा के घूमने के परिणामस्वरूप बनने वाला पिंड कहलाता है।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन एक गोले में अंकित होता है यदि उसके आधारों के वृत्त गोले पर स्थित हों। बेलन के आधार गेंद के छोटे वृत्त होते हैं, गेंद का केंद्र बेलन के अक्ष के मध्य के साथ मेल खाता है। [ 2 ]

एक लम्ब वृत्तीय बेलन एक गोले में अंकित होता है यदि उसके आधारों के वृत्त गोले पर स्थित हों। जाहिर है, गोले का केंद्र न तो बेलन की धुरी के बीच में होता है। [ 3 ]

किसी भी बेलन का आयतन उत्पाद के बराबर हैआधार क्षेत्र से ऊंचाई:

1.	वी=π आर 2 एच

पूरा क्षेत्रसिलेंडर की सतह सिलेंडर की पार्श्व सतह के योग के बराबर होती है और दोहरा वर्गसिलेंडर का आधार।

एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र है:

27. इसके एक पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज घुमाकर एक गोल शंकु प्राप्त किया जा सकता है, यही कारण है कि एक गोल शंकु को क्रांति का शंकु भी कहा जाता है। गोल शंकु का आयतन भी देखें

एक वृत्ताकार शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलशंकु की पार्श्व सतह और उसके आधार के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। एक शंकु का आधार एक वृत्त है और इसके क्षेत्रफल की गणना एक वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

2.	एस=π आर एल+π आर 2=π आर(आर+मैं)

28. छिन्नकएक शंकु के आधार के समानांतर एक खंड खींचकर प्राप्त किया जाता है। शंकु के इस खंड, आधार और पार्श्व सतह से घिरे शरीर को काटे गए शंकु कहा जाता है। एक काटे गए शंकु का आयतन भी देखें

काटे गए शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलकाटे गए शंकु और उसके आधारों की पार्श्व सतह के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। एक काटे गए शंकु के आधार वृत्त हैं और उनके क्षेत्रफल की गणना एक वृत्त के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करके की जाती है: एस= π (आर 1 2 + (आर 1 + आर 2)मैं+ आर 2 2)

29. गेंद एक ज्यामितीय पिंड है जो एक सतह से घिरा होता है, जिसके सभी बिंदु पर होते हैं समान दूरीकेंद्र से। इस दूरी को गोले की त्रिज्या कहते हैं।

वृत्त(ग्रीक αῖρα - गेंद) - एक बंद सतह, ज्यामितीय स्थानकिसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर अंतरिक्ष में बिंदु, जिसे गोले का केंद्र कहा जाता है। एक गोला एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है, जिसमें सभी तीन अक्ष (आधा कुल्हाड़ियों, त्रिज्या) बराबर हैं। एक गोला एक गेंद की सतह है।

गोलाकार खंड (गोलाकार क्षेत्र) और गोलाकार परत की गोलाकार सतह का क्षेत्रफल केवल उनकी ऊंचाई और गेंद की त्रिज्या पर निर्भर करता है और ऊंचाई से गुणा करके गेंद के महान वृत्त की परिधि के बराबर होता है

बॉल वॉल्यूमपिरामिड के आयतन के बराबर, जिसके आधार का क्षेत्रफल गेंद की सतह के समान है, और ऊँचाई गेंद की त्रिज्या है

एक गोले का आयतन उसके चारों ओर घिरे बेलन के आयतन से डेढ़ गुना कम होता है।

गेंद तत्व

बॉल सेगमेंट कटिंग प्लेन गेंद को दो बॉल सेगमेंट में विभाजित करता है। एच- खंड ऊंचाई, 0< एच < 2 आर, आर- खंड आधार त्रिज्या, बॉल सेगमेंट वॉल्यूम गोलाकार खंड की गोलाकार सतह का क्षेत्रफल
गोलाकार परत एक गोलाकार परत दो समानांतर वर्गों के बीच घिरे गोले का एक हिस्सा है। दूरी ( एच) वर्गों के बीच कहा जाता है परत की ऊंचाई, और अनुभाग स्वयं - परत आधार. गोलाकार सतह क्षेत्र ( मात्रा) गोलाकार परत के क्षेत्रों में अंतर के रूप में पाया जा सकता है गोलाकार सतह(वॉल्यूम) गोलाकार खंडों का।

 1. किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करना(चित्र 56)।

वेक्टर उत्पाद लेकिनप्रति संख्या λ वेक्टर कहा जाता है पर, जिसका मापांक वेक्टर के मापांक के उत्पाद के बराबर है लेकिनप्रति मॉड्यूल संख्या λ :

दिशा नहीं बदलती अगर λ > 0 ; विपरीत में बदल जाता है अगर λ < 0 . यदि एक = -1, फिर वेक्टर

एक वेक्टर कहा जाता है, विपरीत वेक्टर लेकिन, और निरूपित है

 2. वेक्टर जोड़. दो सदिशों का योग ज्ञात करने के लिए लेकिनऔर परवेक्टर

तब योग एक वेक्टर होगा, जिसकी शुरुआत पहले की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और अंत - दूसरे के अंत के साथ। इस सदिश योग नियम को "त्रिकोण नियम" कहा जाता है (चित्र 57)। सममांड वैक्टर को चित्रित करना आवश्यक है ताकि दूसरे वेक्टर की शुरुआत पहले के अंत के साथ मेल खाए।

यह सिद्ध करना आसान है कि सदिशों के लिए "पदों के स्थानों में परिवर्तन से योग नहीं बदलता है।"
आइए हम वैक्टर जोड़ने के लिए एक और नियम इंगित करें - "समांतर चतुर्भुज नियम"। यदि हम सारांश वैक्टर की शुरुआत को जोड़ते हैं और उन पर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, तो योग एक वेक्टर होगा जो इस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के साथ मेल खाता है (चित्र 58)।

यह स्पष्ट है कि "समांतर चतुर्भुज नियम" के अनुसार जोड़ने से वही परिणाम प्राप्त होता है जो "त्रिकोण नियम" के अनुसार होता है।
"त्रिकोण नियम" को सामान्य बनाना आसान है (कई शब्दों के मामले में)। खोजने के क्रम में वैक्टर का योग

दूसरे वेक्टर की शुरुआत को पहले के अंत के साथ जोड़ना आवश्यक है, तीसरे की शुरुआत - दूसरे के अंत के साथ, आदि। फिर वेक्टर की शुरुआत साथ मेंपहले की शुरुआत और अंत के साथ मेल खाता है साथ में- बाद के अंत के साथ (चित्र। 59)।

 3. सदिशों का घटाव. घटाव ऑपरेशन दो पिछले ऑपरेशन में कम हो गया है: दो वैक्टर का अंतर दूसरे के विपरीत वेक्टर के साथ पहले का योग है:

आप वैक्टर घटाने के लिए "त्रिकोण नियम" भी बना सकते हैं: वैक्टर की शुरुआत को जोड़ना आवश्यक है लेकिनऔर पर, तो उनका अंतर सदिश होगा

वेक्टर के अंत से खींचा गया परवेक्टर के अंत की ओर लेकिन(चित्र 60)।

हम निम्नलिखित में विस्थापन सदिश के बारे में बात करेंगे सामग्री बिंदु, अर्थात्, बिंदु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति को जोड़ने वाला एक सदिश। सहमत हूं कि विस्थापन वैक्टर के लिए वैक्टर पर कार्रवाई के शुरू किए गए नियम काफी स्पष्ट हैं।

 4. वैक्टर का डॉट उत्पाद. नतीजा डॉट उत्पाददो वैक्टर लेकिनऔर परसंख्या c है, जो वैक्टर के मॉड्यूल के उत्पाद और कोण के कोसाइन के बराबर है α के बीच

भौतिकी में वैक्टर के अदिश उत्पाद का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। भविष्य में, हमें अक्सर इस तरह के ऑपरेशन से निपटना होगा।

समांतर रेखाओं की परिभाषा और अंतरिक्ष में उनके गुण समतल के समान हैं (आइटम 11 देखें)।

इसी समय, अंतरिक्ष में रेखाओं की व्यवस्था का एक और मामला संभव है - तिरछी रेखाएँ। वे रेखाएँ जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं और एक ही तल में नहीं होती हैं, प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहलाती हैं।

चित्र 121 में लिविंग रूम का लेआउट दिखाया गया है। आप देखते हैं कि रेखाएँ जिससे AB और BC संबंधित हैं, तिरछी हैं।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण उनके समानांतर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच का कोण होता है। यह कोण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि कौन सी प्रतिच्छेदी रेखाएँ ली गई हैं।

समांतर रेखाओं के बीच के कोण का अंश माप शून्य माना जाता है।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक उभयनिष्ठ लंब एक खंड होता है जिसके सिरे इन रेखाओं पर होते हैं, जो उनमें से प्रत्येक के लिए एक लंबवत होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक उभयनिष्ठ लंब होता है, और इसके अलावा, केवल एक। यह इन रेखाओं से गुजरने वाले समांतर तलों का उभयनिष्ठ लंबवत है।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी उनके उभयनिष्ठ लंबवत की लंबाई है। यह इन रेखाओं से गुजरने वाले समांतर तलों के बीच की दूरी के बराबर है।

इस प्रकार, प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए (चित्र 122), यह आवश्यक है कि इन रेखाओं में से प्रत्येक के माध्यम से समांतर तल a और प्रत्येक के माध्यम से खींचा जाए। इन तलों के बीच की दूरी प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच की दूरी होगी। आकृति 122 में, यह दूरी, उदाहरण के लिए, दूरी AB है।

उदाहरण। रेखाएँ a और b समानांतर हैं और रेखाएँ c और d प्रतिच्छेद करती हैं। क्या प्रत्येक रेखा a और दोनों रेखाओं को प्रतिच्छेद कर सकती है

फेसला। रेखाएँ a और b एक ही तल में स्थित हैं, और इसलिए उनमें से प्रत्येक को प्रतिच्छेद करने वाली कोई भी रेखा एक ही तल में होती है। इसलिए, यदि प्रत्येक रेखा a, b दोनों रेखाओं c और d को प्रतिच्छेद करती है, तो रेखाएँ a और b के साथ एक ही समतल में स्थित होंगी, और ऐसा नहीं हो सकता, क्योंकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

42. एक सीधी रेखा और एक तल की समानता।

एक रेखा और एक तल को समानांतर कहा जाता है यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, अर्थात उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं। यदि रेखा a समतल a के समानांतर है, तो वे लिखते हैं:।

चित्र 123 एक सीधी रेखा को समतल a के समानांतर दिखाता है।

यदि कोई रेखा जो किसी समतल से संबंधित नहीं है, इस तल में किसी रेखा के समानांतर है, तो वह स्वयं समतल के समानांतर भी है (रेखा और तल के समानांतर होने का संकेत)।

यह प्रमेय अनुमति देता है विशिष्ट स्थितिसिद्ध कीजिए कि एक रेखा और एक तल समानांतर हैं। चित्र 124 एक सीधी रेखा b को एक सीधी रेखा a के समानांतर दिखाता है जो समतल a में पड़ी है, अर्थात सीधी रेखा b के साथ समतल a के समानांतर, अर्थात।

उदाहरण। शीर्ष के माध्यम से समकोणआयताकार से त्रिभुज एबीसीकर्ण के समांतर एक तल को इससे 10 सेमी की दूरी पर खींचा जाता है। इस तल पर टाँगों का प्रक्षेपण 30 और 50 सेमी है। उसी तल पर कर्ण का प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए।

फेसला। से समकोण त्रिभुजबीबीवीसी और (चित्र 125) हम पाते हैं:

त्रिभुज ABC से हम पाते हैं:

समतल a पर कर्ण AB का प्रक्षेपण है। चूँकि AB समतल a के समानांतर है, तो So,.

43. समानांतर विमान।

दो विमानों को समानांतर कहा जाता है। अगर वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

दो विमान समानांतर हैं" यदि उनमें से एक दूसरे विमान में पड़ी दो प्रतिच्छेदन रेखाओं के समानांतर है (दो विमानों के समानांतरता का संकेत)।

चित्र 126 में, समतल a समतल में पड़ी प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के समांतर है, तो इन तलों के अनुदिश समानांतर हैं।

किसी दिए गए विमान के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, कोई दिए गए विमान के समानांतर एक विमान खींच सकता है, और इसके अलावा, केवल एक।

यदि दो समांतर तल एक तिहाई के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, तो प्रतिच्छेदन रेखाएँ समानांतर होती हैं।

चित्र 127 दो समांतर तलों को दिखाता है, और तल y उन्हें सीधी रेखाओं a और b पर प्रतिच्छेद करता है। फिर, प्रमेय 2.7 द्वारा, हम दावा कर सकते हैं कि रेखाएँ a और b समानांतर हैं।

दो समान्तर तलों के बीच परिबद्ध समान्तर रेखाओं के खण्ड बराबर होते हैं।

T.2.8 के अनुसार, खंड AB और चित्र 128 में दिखाए गए खंड बराबर हैं, क्योंकि

इन विमानों को प्रतिच्छेद करने दें। उनके प्रतिच्छेदन की रेखा के लंबवत एक विमान बनाएं। यह इन तलों को दो सीधी रेखाओं में काटती है। इन रेखाओं के बीच के कोण को इन तलों के बीच का कोण कहते हैं (चित्र 129)। इस तरह से परिभाषित विमानों के बीच का कोण छेदक विमान की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।