Sudah di sekolah dasar, siswa dihadapkan pada pecahan. Dan kemudian mereka muncul di setiap topik. Tidak mungkin untuk melupakan tindakan dengan angka-angka ini. Oleh karena itu, Anda perlu mengetahui semua informasi tentang biasa dan desimal. Konsep-konsep ini sederhana, yang utama adalah memahami semuanya secara berurutan.
Mengapa pecahan diperlukan?
Dunia di sekitar kita terdiri dari objek utuh. Karena itu, tidak perlu berbagi. Tetapi kehidupan sehari-hari terus-menerus mendorong orang untuk bekerja dengan bagian benda dan benda.
Misalnya, cokelat terdiri dari beberapa irisan. Pertimbangkan situasi di mana ubinnya dibentuk oleh dua belas persegi panjang. Jika Anda membaginya menjadi dua, Anda mendapatkan 6 bagian. Ini akan dibagi dengan baik menjadi tiga. Tapi kelimanya tidak akan bisa memberikan potongan coklat yang utuh.
Omong-omong, irisan ini sudah menjadi pecahan. Dan pembagian lebih lanjut mereka mengarah pada munculnya bilangan yang lebih kompleks.
Apa itu "pecahan"?
Ini adalah nomor yang terdiri dari bagian-bagian dari satu. Dari luar, tampak seperti dua angka yang dipisahkan oleh garis horizontal atau garis miring. Fitur ini disebut pecahan. Angka yang tertulis di atas (kiri) disebut pembilang. Yang di bawah (kanan) adalah penyebutnya.
Faktanya, batang pecahan ternyata merupakan tanda pembagian. Artinya, pembilangnya bisa disebut dividen, dan penyebutnya bisa disebut pembagi.
Apa itu pecahan?
Dalam matematika, hanya ada dua jenis: pecahan biasa dan desimal. Anak sekolah pertama kali diperkenalkan dengan sekolah dasar, menyebutnya hanya "pecahan". Yang kedua belajar di kelas 5. Saat itulah nama-nama ini muncul.
Pecahan biasa adalah semua yang ditulis sebagai dua angka yang dipisahkan oleh sebuah bar. Misalnya, 4/7. Desimal adalah angka di mana bagian pecahan memiliki notasi posisi dan dipisahkan dari bilangan bulat dengan koma. Misalnya, 4.7. Siswa harus jelas bahwa dua contoh yang diberikan adalah bilangan yang sama sekali berbeda.
Setiap pecahan sederhana dapat ditulis sebagai desimal. Pernyataan ini hampir selalu benar dalam arah sebaliknya. Ada aturan yang memungkinkan Anda untuk menulis pecahan desimal sebagai pecahan biasa.
Subspesies apa yang dimiliki jenis pecahan ini?
Lebih baik mulai dari urutan kronologis karena mereka sedang dipelajari. Pertama pergi pecahan biasa. Di antara mereka, 5 subspesies dapat dibedakan.
Benar. Pembilangnya selalu lebih kecil dari penyebutnya.
Salah. Pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya.
Dapat direduksi / tidak dapat direduksi. Itu bisa benar atau salah. Hal lain yang penting, apakah pembilang dan penyebut memiliki faktor yang sama. Jika ada, maka mereka harus membagi kedua bagian pecahan, yaitu menguranginya.
Campuran. Sebuah bilangan bulat ditugaskan ke bagian pecahan biasa yang benar (salah). Dan selalu berdiri di sebelah kiri.
Gabungan. Itu terbentuk dari dua fraksi yang dibagi satu sama lain. Artinya, ia memiliki tiga fitur pecahan sekaligus.
Desimal hanya memiliki dua subspesies:
final, yaitu, di mana bagian pecahan terbatas (memiliki akhir);
tak terbatas - angka yang digitnya setelah titik desimal tidak berakhir (dapat ditulis tanpa akhir).
Bagaimana cara mengubah desimal menjadi biasa?
Jika ini adalah angka yang terbatas, maka asosiasi berdasarkan aturan diterapkan - seperti yang saya dengar, jadi saya menulis. Artinya, Anda harus membacanya dengan benar dan menuliskannya, tetapi tanpa koma, tetapi dengan garis pecahan.
Sebagai petunjuk tentang penyebut yang diperlukan, ingatlah bahwa itu selalu satu dan beberapa nol. Yang terakhir perlu ditulis sebanyak digit di bagian pecahan dari nomor yang bersangkutan.
Bagaimana cara mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa jika seluruh bagian tidak ada, yaitu sama dengan nol? Misalnya, 0,9 atau 0,05. Setelah menerapkan aturan yang ditentukan, ternyata Anda perlu menulis nol bilangan bulat. Tapi itu tidak diindikasikan. Tetap menuliskan hanya bagian-bagian pecahan. Untuk angka pertama, penyebutnya adalah 10, untuk yang kedua - 100. Artinya, contoh yang ditunjukkan akan memiliki angka sebagai jawaban: 9/10, 5/100. Selain itu, yang terakhir ternyata dapat dikurangi dengan 5. Oleh karena itu, hasil untuk itu harus ditulis 1/20.
Bagaimana cara membuat pecahan biasa dari desimal jika bagian bilangan bulatnya berbeda dari nol? Misalnya, 5.23 atau 13.00108. Kedua contoh membaca bagian integer dan menulis nilainya. Dalam kasus pertama, ini adalah 5, dalam kasus kedua, 13. Maka Anda harus beralih ke bagian pecahan. Dengan mereka perlu untuk melakukan operasi yang sama. Angka pertama memiliki 23/100, yang kedua memiliki 108/100000. Nilai kedua perlu dikurangi lagi. Responnya seperti ini pecahan campuran: 5 23/100 dan 13 27/25000.
Bagaimana cara mengubah desimal tak terbatas menjadi pecahan biasa?
Jika non-periodik, maka operasi seperti itu tidak dapat dilakukan. Fakta ini disebabkan oleh fakta bahwa setiap pecahan desimal selalu diubah menjadi final atau periodik.
Satu-satunya hal yang diperbolehkan untuk dilakukan dengan pecahan seperti itu adalah membulatkannya. Tapi kemudian desimal akan kira-kira sama dengan yang tak terbatas itu. Itu sudah bisa diubah menjadi biasa. Tetapi proses sebaliknya: mengonversi ke desimal - tidak akan pernah memberikan nilai awal. Artinya, tak berujung pecahan periodik tidak diubah menjadi biasa. Ini harus diingat.
Bagaimana cara menulis pecahan periodik tak hingga dalam bentuk biasa?
Dalam angka-angka ini, satu atau lebih digit selalu muncul setelah titik desimal, yang diulang. Mereka disebut periode. Misalnya, 0,3(3). Berikut "3" pada periode tersebut. Mereka diklasifikasikan sebagai rasional, karena mereka dapat diubah menjadi pecahan biasa.
Mereka yang telah menemukan pecahan periodik tahu bahwa mereka dapat murni atau campuran. Dalam kasus pertama, periode dimulai segera dari koma. Di bagian kedua, bagian pecahan dimulai dengan angka apa pun, dan kemudian pengulangan dimulai.
Aturan yang Anda perlukan untuk menulis desimal tak terbatas dalam bentuk pecahan biasa akan berbeda untuk kedua jenis angka ini. Sangat mudah untuk menulis pecahan periodik murni sebagai pecahan biasa. Seperti yang terakhir, mereka perlu dikonversi: tulis periode ke dalam pembilangnya, dan angka 9 akan menjadi penyebutnya, ulangi sebanyak angka dalam periode tersebut.
Misalnya, 0,(5). Angka tersebut tidak memiliki bagian bilangan bulat, jadi Anda harus segera melanjutkan ke bagian pecahan. Tulislah 5 pada pembilangnya, dan tulislah 9 pada penyebutnya, maka jawabannya adalah pecahan 5/9.
Aturan tentang cara menulis pecahan periodik desimal biasa yang merupakan pecahan campuran.
Lihatlah panjang periode. Begitu banyak 9 akan memiliki penyebut.
Tuliskan penyebutnya: sembilan pertama, lalu nol.
Untuk menentukan pembilangnya, Anda perlu menulis selisih dua bilangan. Semua digit setelah titik desimal akan dikurangi, bersama dengan titik. Dikurangi - itu tanpa titik.
Misalnya, 0,5(8) - tulis pecahan desimal periodik sebagai pecahan biasa. Bagian pecahan sebelum periode adalah satu digit. Jadi nol akan menjadi satu. Ada juga hanya satu digit dalam periode - 8. Artinya, hanya ada satu sembilan. Artinya, Anda perlu menulis 90 dalam penyebut.
Untuk menentukan pembilang dari 58, Anda harus mengurangi 5. Ternyata 53. Misalnya, Anda harus menulis 53/90 sebagai jawaban.
Bagaimana cara mengubah pecahan biasa menjadi desimal?
oleh sebagian besar pilihan sederhana ternyata bilangan yang penyebutnya adalah bilangan 10, 100 dan seterusnya. Kemudian penyebutnya dibuang begitu saja, dan koma ditempatkan di antara bagian pecahan dan bilangan bulat.
Ada situasi ketika penyebut dengan mudah berubah menjadi 10, 100, dll. Misalnya, angka 5, 20, 25. Cukup dengan mengalikannya masing-masing dengan 2, 5 dan 4. Hanya perlu mengalikan tidak hanya penyebutnya, tetapi juga pembilangnya dengan angka yang sama.
Untuk semua kasus lain, aturan sederhana akan berguna: bagi pembilang dengan penyebut. Dalam hal ini, Anda bisa mendapatkan dua jawaban: pecahan desimal final atau periodik.
Operasi pecahan biasa
Penambahan dan pengurangan
Siswa mengenal mereka lebih awal dari yang lain. Dan pertama dengan pecahan penyebut yang sama dan kemudian berbeda. Aturan umum dapat direduksi menjadi rencana seperti itu.
Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya.
membakar pengganda tambahan ke semua pecahan biasa.
Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan faktor-faktor yang ditentukan untuknya.
Tambahkan (kurangi) pembilang pecahan, dan biarkan penyebutnya tidak berubah.
Jika pembilang dari minuend lebih kecil dari pada subtrahend, maka kita perlu mencari tahu terlebih dahulu nomor campuran atau pecahan wajar.
Dalam kasus pertama, bagian integer perlu mengambil satu. Menambahkan penyebut ke pembilang suatu pecahan. Dan kemudian lakukan pengurangan.
Yang kedua - perlu menerapkan aturan pengurangan dari angka yang lebih kecil ke angka yang lebih besar. Yaitu, kurangi modulus dari minuend dari modulus dari subtrahend, dan beri tanda “-” sebagai jawaban.
Perhatikan baik-baik hasil penjumlahan (pengurangan). Jika Anda mendapatkan pecahan yang tidak wajar, maka seharusnya memilih seluruh bagian. Yaitu membagi pembilang dengan penyebut.
Perkalian dan pembagian
Untuk penerapannya, pecahan tidak perlu direduksi menjadi faktor persekutuan. Ini membuatnya lebih mudah untuk mengambil tindakan. Tapi mereka tetap harus mengikuti aturan.
Saat mengalikan pecahan biasa, perlu untuk mempertimbangkan angka dalam pembilang dan penyebut. Jika ada pembilang dan penyebut yang memiliki faktor umum, maka mereka dapat dikurangi.
Kalikan pembilang.
Kalikan penyebutnya.
Jika Anda mendapatkan pecahan yang dapat direduksi, maka itu harus disederhanakan lagi.
Saat membagi, Anda harus terlebih dahulu mengganti pembagian dengan perkalian, dan pembagi (pecahan kedua) dengan kebalikan (menukar pembilang dan penyebut).
Kemudian lanjutkan seperti pada perkalian (dimulai dari poin 1).
Dalam tugas di mana Anda perlu mengalikan (membagi) dengan bilangan bulat, yang terakhir seharusnya ditulis dalam bentuk fraksi yang tidak tepat. Artinya, dengan penyebut 1. Kemudian lanjutkan seperti yang dijelaskan di atas.
Operasi dengan desimal
Penambahan dan pengurangan
Tentu saja, Anda selalu dapat mengubah desimal menjadi pecahan biasa. Dan bertindak sesuai dengan rencana yang sudah dijelaskan. Tetapi terkadang lebih mudah untuk bertindak tanpa terjemahan ini. Maka aturan untuk penambahan dan pengurangannya akan sama persis.
Samakan jumlah digit di bagian pecahan angka, yaitu setelah titik desimal. Tetapkan jumlah nol yang hilang di dalamnya.
Tulis pecahan sehingga koma berada di bawah koma.
Tambah (kurangi) seperti bilangan asli.
Hapus koma.
Perkalian dan pembagian
Penting bahwa Anda tidak perlu menambahkan angka nol di sini. Pecahan seharusnya dibiarkan seperti yang diberikan dalam contoh. Dan kemudian berjalan sesuai rencana.
Untuk perkalian, Anda perlu menulis pecahan satu di bawah yang lain, tidak memperhatikan koma.
Perkalian seperti bilangan asli.
Beri koma pada jawaban, hitung dari ujung kanan jawaban sebanyak angka pada bagian pecahan dari kedua faktor.
Untuk membagi, Anda harus terlebih dahulu mengubah pembagi: buatlah bilangan asli. Artinya, kalikan dengan 10, 100, dst., tergantung pada berapa banyak angka di bagian pecahan dari pembagi.
Kalikan dividen dengan angka yang sama.
Bagilah desimal dengan bilangan asli.
Beri koma pada jawaban pada saat pembagian seluruh bagian berakhir.
Bagaimana jika ada kedua jenis pecahan dalam satu contoh?
Ya, dalam matematika sering ada contoh di mana Anda perlu melakukan operasi pada pecahan biasa dan desimal. Ada dua kemungkinan solusi untuk masalah ini. Anda perlu menimbang angka secara objektif dan memilih yang terbaik.
Cara pertama: mewakili desimal biasa
Sangat cocok jika, saat membagi atau menerjemahkan, Anda mendapatkan pecahan berhingga. Jika setidaknya satu nomor memberikan bagian periodik, maka teknik ini dilarang. Karena itu, bahkan jika Anda tidak suka bekerja dengan pecahan biasa, Anda harus menghitungnya.
Cara kedua: tulis pecahan desimal seperti biasa
Teknik ini cocok jika ada 1-2 digit di bagian setelah titik desimal. Jika ada lebih banyak, Anda bisa mendapatkan pecahan biasa yang sangat besar dan entri desimal akan memungkinkan Anda untuk menghitung tugas lebih cepat dan lebih mudah. Oleh karena itu, selalu perlu untuk mengevaluasi tugas dengan bijaksana dan memilih metode solusi yang paling sederhana.
Ingat bagaimana dalam pelajaran pertama tentang pecahan desimal, saya mengatakan bahwa ada pecahan numerik yang tidak dapat direpresentasikan sebagai desimal (lihat pelajaran “ Pecahan Desimal”)? Kami juga belajar cara memfaktorkan penyebut pecahan untuk memeriksa apakah ada bilangan selain 2 dan 5.
Jadi: saya berbohong. Dan hari ini kita akan belajar bagaimana menerjemahkan secara mutlak setiap pecahan numerik menjadi desimal. Pada saat yang sama, kita akan berkenalan dengan seluruh kelas pecahan dengan bagian penting yang tak terbatas.
Desimal berulang adalah desimal yang memiliki:
- Bagian penting terdiri dari jumlah digit yang tak terbatas;
- Pada interval tertentu, angka-angka di bagian penting diulang.
Satu set angka berulang yang membentuk bagian penting, disebut bagian periodik dari pecahan, dan jumlah digit dalam himpunan ini adalah periode pecahan. Segmen yang tersisa dari bagian penting, yang tidak berulang, disebut bagian non-periodik.
Karena ada banyak definisi, ada baiknya mempertimbangkan secara rinci beberapa pecahan ini:
Pecahan ini paling sering terjadi dalam masalah. Bagian non-periodik: 0; bagian periodik: 3; panjang periode: 1.
Bagian non-periodik: 0,58; bagian periodik: 3; panjang periode: lagi 1.
Bagian non-periodik: 1; bagian periodik: 54; lama periode: 2.
Bagian non-periodik: 0; bagian periodik: 641025; panjang periode: 6. Untuk kenyamanan, bagian berulang dipisahkan satu sama lain oleh spasi - dalam solusi ini tidak perlu melakukannya.
Bagian non-periodik: 3066; bagian periodik: 6; panjang periode: 1.
Seperti yang Anda lihat, definisi pecahan periodik didasarkan pada konsep bagian penting dari suatu bilangan. Karena itu, jika Anda lupa apa itu, saya sarankan untuk mengulanginya - lihat pelajaran "".
Transisi ke desimal periodik
Pertimbangkan pecahan biasa dari bentuk a / b . Mari kita perluas penyebutnya menjadi faktor utama. Ada dua opsi:
- Hanya faktor 2 dan 5 yang hadir dalam ekspansi.Pecahan ini mudah direduksi menjadi desimal - lihat pelajaran " Pecahan Desimal". Kami tidak tertarik seperti itu;
- Ada hal lain dalam pemuaian selain 2 dan 5. Dalam hal ini, pecahan tidak dapat dinyatakan sebagai desimal, tetapi dapat dibuat menjadi desimal periodik.
Untuk menetapkan pecahan desimal periodik, Anda perlu menemukan bagian periodik dan non-periodiknya. Bagaimana? Ubah pecahan menjadi pecahan biasa, lalu bagi pembilangnya dengan penyebutnya dengan "sudut".
Dalam melakukannya, hal berikut akan terjadi:
- Bagi dulu seluruh bagian jika ada;
- Mungkin ada beberapa angka setelah titik desimal;
- Setelah beberapa saat, angka akan dimulai ulang.
Itu saja! Digit berulang setelah titik desimal dilambangkan dengan bagian periodik, dan apa yang ada di depan - non-periodik.
Tugas. Ubah pecahan biasa ke desimal periodik:
Semua pecahan tanpa bagian bilangan bulat, jadi kita cukup membagi pembilang dengan penyebut dengan "sudut":
Seperti yang Anda lihat, sisa-sisa diulang. Mari kita tulis pecahan dalam bentuk yang "benar": 1,733 ... = 1,7(3).
Hasilnya adalah pecahan: 0,5833 ... = 0,58(3).
Kami menulis dalam bentuk normal: 4,0909 ... = 4, (09).
Kami mendapatkan pecahan: 0,4141 ... = 0, (41).
Transisi dari desimal periodik ke biasa
Pertimbangkan desimal periodik X = abc (a 1 b 1 c 1). Diperlukan untuk mentransfernya ke "dua lantai" klasik. Untuk melakukannya, ikuti empat langkah sederhana:
- Tentukan periode pecahan, mis. hitung ada berapa angka pada bagian periodik. Biarkan menjadi nomor k;
- Tentukan nilai dari ekspresi X · 10 k . Ini setara dengan menggeser titik desimal dengan periode penuh ke kanan - lihat pelajaran " Perkalian dan pembagian pecahan desimal";
- Kurangi ekspresi asli dari angka yang dihasilkan. Dalam hal ini, bagian periodik "terbakar", dan tetap pecahan biasa;
- Temukan X dalam persamaan yang dihasilkan. Semua pecahan desimal diubah menjadi biasa.
Tugas. Ubah ke pecahan biasa biasa dari suatu bilangan:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Bekerja dengan pecahan pertama: X = 9,(6) = 9,666 ...
Tanda kurung hanya berisi satu digit, jadi periode k = 1. Selanjutnya, kita kalikan pecahan ini dengan 10 k = 10 1 = 10. Kita mendapatkan:
10X = 10 9.6666... = 96.666...
Kurangi pecahan asli dan selesaikan persamaannya:
10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.
Sekarang mari kita berurusan dengan pecahan kedua. Jadi X = 32,(39) = 32,393939 ...
Periode k = 2, jadi kita kalikan semuanya dengan 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...
Kurangi pecahan semula lagi dan selesaikan persamaannya:
100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Mari kita ke pecahan ketiga: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Skemanya sama, jadi saya akan memberikan perhitungannya:
Periode k = 1 kalikan semuanya dengan 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.
Akhirnya, pecahan terakhir: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Sekali lagi, untuk memudahkan, bagian-bagian periodik dipisahkan satu sama lain oleh spasi. Kita punya:
k = 4 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Bahwa jika mereka mengetahui teori deret, maka tanpanya, tidak ada konsep metamatik yang dapat diperkenalkan. Selain itu, orang-orang ini percaya bahwa orang yang tidak menggunakannya di mana-mana adalah bodoh. Mari kita serahkan pandangan orang-orang ini pada hati nurani mereka. Mari kita lebih memahami apa itu pecahan periodik tak terbatas dan bagaimana menghadapinya bagi kita, orang-orang tidak berpendidikan yang tidak mengenal batas.
Bagi 237 dengan 5. Tidak, Anda tidak perlu menjalankan Kalkulator. Mari kita ingat sekolah menengah (atau bahkan SD?) dan bagi saja kolomnya:
Nah, apakah Anda ingat? Kemudian Anda bisa turun ke bisnis.
Konsep "pecahan" dalam matematika memiliki dua arti:
- Bukan bilangan bulat.
- Bentuk notasi bilangan bukan bilangan bulat.
- Sederhana (atau vertikal) pecahan seperti 1/2 atau 237/5.
- Desimal, seperti 0,5 atau 47,4.
Dalam matematika, secara umum, sejak dahulu kala, akun desimal telah diterima, dan oleh karena itu pecahan desimal lebih nyaman daripada yang sederhana, yaitu pecahan dengan penyebut desimal(Vladimir Dal. Kamus hidup Bahasa Rusia yang hebat. "Sepuluh").Dan jika demikian, maka saya ingin membuat desimal pecahan vertikal ("horizontal"). Dan untuk ini, Anda hanya perlu membagi pembilang dengan penyebutnya. Ambil, misalnya, pecahan 1/3 dan coba jadikan desimal.
Bahkan orang yang sama sekali tidak berpendidikan akan memperhatikan: tidak peduli berapa lama, mereka tidak akan berpisah: ini adalah bagaimana tiga kali lipat akan muncul tanpa batas. Jadi mari kita tuliskan: 0,33... Yang kami maksud adalah "bilangan yang diperoleh saat Anda membagi 1 dengan 3", atau, singkatnya, "sepertiga". Secara alami, sepertiga adalah pecahan dalam arti kata pertama, dan "1/3" dan "0,33 ..." adalah pecahan dalam arti kata kedua, yaitu formulir catatan angka yang ada pada garis bilangan pada jarak sedemikian dari nol sehingga jika Anda menundanya tiga kali, Anda mendapatkan satu.
Sekarang mari kita coba membagi 5 dengan 6:
Mari kita tuliskan lagi: 0,833 ... Yang kami maksud adalah "bilangan yang diperoleh saat Anda membagi 5 dengan 6", atau, singkatnya, "lima perenam." Namun, kebingungan muncul di sini: apakah itu berarti 0,83333 (dan kemudian tiga kali lipat diulang), atau 0,833833 (dan kemudian 833 diulang). Oleh karena itu, catatan dengan elipsis tidak cocok untuk kita: tidak jelas dari mana bagian yang berulang dimulai (disebut "periode"). Oleh karena itu, kita akan mengambil periode dalam tanda kurung, seperti ini: 0, (3); 0,8(3).
0,(3) bukan hanya sama dengan sepertiga adalah ada sepertiga, karena kami secara khusus membuat notasi ini untuk menyatakan angka ini sebagai pecahan desimal.
Entri ini disebut pecahan periodik tak terbatas, atau hanya pecahan periodik.
Setiap kali kita membagi satu nomor dengan yang lain, jika kita tidak mendapatkan pecahan berhingga, maka kita mendapatkan pecahan periodik tak terbatas, yaitu, kadang-kadang urutan angka akan mulai berulang. Mengapa demikian dapat dipahami secara murni spekulatif, dengan melihat dengan cermat algoritma pembagian berdasarkan kolom:
Di tempat-tempat yang ditandai dengan tanda centang, mereka tidak dapat diperoleh setiap saat pasangan yang berbeda bilangan (karena pada prinsipnya ada himpunan berhingga dari pasangan-pasangan tersebut). Dan begitu pasangan seperti itu muncul di sana, yang sudah ada, perbedaannya juga akan sama - dan kemudian seluruh proses akan mulai berulang. Tidak perlu memeriksa ini, karena cukup jelas bahwa ketika tindakan yang sama diulang, hasilnya akan sama.
Sekarang kita mengerti dengan baik esensi pecahan periodik, mari kita coba mengalikan sepertiga dengan tiga. Ya, tentu saja, satu, tetapi mari kita tulis pecahan ini dalam bentuk desimal dan kalikan dengan kolom (ambiguitas karena elipsis tidak muncul di sini, karena semua angka setelah titik desimal adalah sama):
Dan sekali lagi kita perhatikan bahwa sembilan, sembilan dan sembilan akan muncul setelah titik desimal sepanjang waktu. Artinya, menggunakan, terbalik, notasi braket, kita mendapatkan 0, (9). Karena kita tahu bahwa hasil kali sepertiga dan tiga adalah satuan, maka 0, (9) adalah bentuk penulisan satuan yang aneh. Namun tidak disarankan menggunakan bentuk notasi ini, karena satuannya ditulis dengan sempurna tanpa menggunakan titik, seperti ini: 1.
Seperti yang Anda lihat, 0,(9) adalah salah satu kasus di mana bilangan bulat ditulis sebagai pecahan, seperti 3/3 atau 7.0. Artinya, 0, (9) adalah pecahan hanya dalam arti kata kedua, tetapi tidak dalam arti kata yang pertama.
Jadi, tanpa batasan dan baris apa pun, kami menemukan apa itu 0, (9) dan bagaimana menghadapinya.
Tapi tetap ingat bahwa sebenarnya kita pintar dan belajar analisa. Memang, sulit untuk menyangkal bahwa:
Tapi, mungkin, tidak ada yang akan membantah fakta bahwa:
Semua ini, tentu saja, benar. Memang, 0,(9) adalah jumlah dari deret tereduksi dan sinus ganda dari sudut yang ditunjukkan, dan logaritma natural bilangan Euler.
Tetapi tidak satu pun, atau yang lain, atau yang ketiga adalah definisi.
Mengatakan bahwa 0,(9) adalah jumlah dari deret tak hingga 9/(10 n), ketika n lebih besar dari satu, sama dengan mengatakan bahwa sinus adalah jumlah dari deret Taylor tak hingga:
Ini benar sekali, dan ini adalah fakta penting untuk matematika komputasi, tetapi ini bukan definisi, dan, yang paling penting, itu tidak membawa seseorang lebih dekat ke pemahaman esensi sinus. Inti dari sinus dari sudut tertentu adalah hanya sikap sudut berlawanan kateter ke hipotenusa.
Nah, pecahan periodiknya adalah hanya pecahan desimal yang dihasilkan ketika saat membagi dengan kolom kumpulan angka yang sama akan berulang. Di sini tidak ada analisis sama sekali.
Dan di sini muncul pertanyaan: di mana? umumnya kita ambil angka 0,(9)? Apa yang kita bagi dengan kolom untuk mendapatkannya? Memang, tidak ada angka seperti itu, ketika membagi satu sama lain dalam sebuah kolom, kita akan memiliki sembilan yang muncul tanpa batas. Tapi kita berhasil mendapatkan angka ini dengan mengalikan kolom 0, (3) dengan 3? Tidak juga. Lagi pula, Anda perlu mengalikan dari kanan ke kiri untuk memperhitungkan transfer digit dengan benar, dan kami melakukan ini dari kiri ke kanan, dengan cerdik memanfaatkan fakta bahwa transfer tidak terjadi di mana pun. Oleh karena itu, keabsahan penulisan 0,(9) tergantung pada apakah kita mengakui keabsahan perkalian tersebut dengan kolom atau tidak.
Oleh karena itu, secara umum dapat dikatakan bahwa notasi 0,(9) salah - dan sampai batas tertentu benar. Namun, karena notasi a ,(b ) diterima, sangat buruk untuk menghapusnya ketika b = 9; lebih baik untuk memutuskan apa arti catatan seperti itu. Jadi, jika kita menerima notasi 0,(9) sama sekali, maka notasi ini tentu saja berarti nomor satu.
Tetap hanya untuk menambahkan bahwa jika kita menggunakan, katakanlah, sistem bilangan terner, maka ketika membagi kolom satuan (1 3) dengan tiga kali lipat (10 3), kita akan mendapatkan 0,1 3 (terbaca "nol koma sepertiga") , dan saat membagi 1 dengan 2 akan menjadi 0,(1) 3 .
Jadi periodisitas dari catatan pecahan bukanlah karakteristik objektif dari bilangan pecahan, tetapi hanya efek sampingan menggunakan satu atau lain sistem bilangan.
