Artikel ini adalah tentang desimal. Di sini kita akan berurusan dengan notasi desimal dari bilangan pecahan, memperkenalkan konsep pecahan desimal dan memberikan contoh pecahan desimal. Selanjutnya, mari kita bicara tentang angka-angka pecahan desimal, berikan nama-nama angkanya. Setelah itu, kita akan fokus pada pecahan desimal tak hingga, katakanlah tentang pecahan periodik dan non-periodik. Selanjutnya, kami membuat daftar tindakan utama dengan desimal. Sebagai kesimpulan, kami menetapkan posisi pecahan desimal pada sinar koordinat.
Navigasi halaman.
Notasi desimal dari bilangan pecahan
Membaca desimal
Katakanlah beberapa kata tentang aturan membaca pecahan desimal.
Desimal yang sesuai dengan yang benar pecahan biasa, dibaca dengan cara yang sama seperti pecahan biasa ini, hanya "nol utuh" yang ditambahkan sebelumnya. Misalnya, pecahan desimal 0,12 sesuai dengan pecahan biasa 12/100 (dibaca "dua belas perseratus"), oleh karena itu, 0,12 dibaca sebagai "nol koma dua belas perseratus".
Pecahan desimal, yang sesuai dengan bilangan campuran, dibaca dengan cara yang persis sama dengan bilangan campuran ini. Misalnya, pecahan desimal 56,002 sesuai dengan bilangan campuran, oleh karena itu, pecahan desimal 56,002 dibaca sebagai "lima puluh enam koma dua perseribu".
Tempat dalam desimal
Dalam notasi pecahan desimal, serta dalam notasi bilangan asli, nilai setiap digit tergantung pada posisinya. Memang, angka 3 dalam desimal 0,3 berarti tiga persepuluh, dalam desimal 0,0003 - tiga sepuluh ribu, dan dalam desimal 30,000.152 - tiga puluhan ribu. Jadi, kita bisa bicara tentang angka dalam desimal, serta tentang angka dalam bilangan asli.
Nama-nama angka dalam pecahan desimal hingga titik desimal benar-benar bertepatan dengan nama-nama digit dalam bilangan asli. Dan nama-nama angka pada pecahan desimal setelah koma dapat dilihat dari tabel berikut.
Misalnya, pada pecahan desimal 37,051, angka 3 berada di tempat puluhan, 7 di tempat satuan, 0 di tempat kesepuluh, 5 di tempat keseratus, 1 di tempat ke seribu.
Digit dalam pecahan desimal juga berbeda dalam senioritas. Jika kita berpindah dari angka ke angka dari kiri ke kanan dalam notasi desimal, maka kita akan berpindah dari senior ke peringkat junior. Misalnya, angka ratusan lebih tua dari angka kesepuluh, dan angka persejuta lebih muda dari angka keseratus. Dalam pecahan desimal terakhir ini, kita dapat berbicara tentang angka paling signifikan dan paling tidak signifikan. Misalnya, dalam desimal 604.9387 senior (tertinggi) digitnya adalah digit ratusan, dan junior (terendah)- tempat sepuluh ribu.
Untuk pecahan desimal, ekspansi ke angka terjadi. Ini analog dengan ekspansi dalam digit bilangan asli. Misalnya, ekspansi desimal dari 45.6072 adalah: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002 . Dan sifat-sifat penjumlahan dari perluasan pecahan desimal menjadi angka memungkinkan Anda untuk beralih ke representasi lain dari pecahan desimal ini, misalnya, 45.6072=45+0.6072 , atau 45.6072=40.6+5.007+0.0002 , atau 45.6072= 45.0072+0.6 .
Akhir desimal
Sampai saat ini, kita hanya berbicara tentang pecahan desimal, yang catatannya memiliki jumlah digit terbatas setelah titik desimal. Pecahan seperti ini disebut pecahan desimal akhir.
Definisi.
Akhir desimal- Ini adalah pecahan desimal, catatan yang berisi jumlah karakter (digit) yang terbatas.
Berikut adalah beberapa contoh desimal akhir: 0.317 , 3.5 , 51.1020304958 , 230 032.45 .
Namun, tidak setiap pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal hingga. Misalnya, pecahan 5/13 tidak dapat diganti dengan pecahan yang sama dengan salah satu penyebutnya 10, 100, ..., oleh karena itu, tidak dapat diubah menjadi pecahan desimal akhir. Kita akan berbicara lebih banyak tentang ini di bagian teori tentang mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal.
Desimal tak terbatas: pecahan periodik dan pecahan non-periodik
Dalam menulis pecahan desimal setelah titik desimal, Anda dapat mengizinkan kemungkinan jumlah digit yang tak terbatas. Dalam hal ini, kita akan membahas apa yang disebut pecahan desimal tak terbatas.
Definisi.
Desimal tak berujung adalah pecahan desimal, yang catatannya adalah set tak terbatas angka.
Jelas bahwa kita tidak dapat menulis pecahan desimal tak terhingga secara penuh, oleh karena itu, dalam pencatatannya, pecahan desimal terbatas hanya terbatas pada sejumlah digit tertentu setelah titik desimal dan menempatkan elipsis yang menunjukkan urutan digit yang berlanjut tak terhingga. Berikut adalah beberapa contoh pecahan desimal tak hingga: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….
Jika Anda melihat lebih dekat pada dua pecahan desimal tak berujung terakhir, maka di pecahan 2.111111111 ... angka 1 yang berulang tanpa batas terlihat jelas, dan di pecahan 69.74152152152 ..., mulai dari tempat desimal ketiga, kelompok angka berulang 1, 5 dan 2 terlihat jelas. Pecahan desimal tak terbatas seperti itu disebut periodik.
Definisi.
Desimal periodik(atau sederhananya pecahan periodik) adalah pecahan desimal tak hingga, yang pencatatannya dimulai dari tempat desimal tertentu, beberapa digit atau kelompok digit, yang disebut periode pecahan.
Misalnya, periode pecahan periodik 2.111111111… adalah bilangan 1, dan periode pecahan 69.74152152152… adalah kelompok bilangan seperti 152.
Untuk pecahan desimal periodik tak terbatas, diterima bentuk khusus catatan. Untuk singkatnya, kami sepakat untuk mencatat periode sekali, melampirkannya di kurung bulat. Sebagai contoh, pecahan periodik 2.111111111… ditulis sebagai 2,(1) dan pecahan periodik 69.74152152152… ditulis sebagai 69.74(152) .
Perlu dicatat bahwa untuk pecahan desimal periodik yang sama, Anda dapat menentukan periode yang berbeda. Misalnya, desimal periodik 0,73333… dapat dianggap sebagai pecahan 0,7(3) dengan periode 3, serta pecahan 0,7(33) dengan periode 33, dan seterusnya 0,7(333), 0,7 (3333 ), ... Anda juga dapat melihat pecahan periodik 0,73333 ... seperti ini: 0,733(3), atau seperti ini 0,73(333), dll. Di sini, untuk menghindari ambiguitas dan inkonsistensi, kami setuju untuk menganggap sebagai periode pecahan desimal yang terpendek dari semua kemungkinan urutan angka berulang, dan dimulai dengan yang paling posisi dekat ke titik desimal. Yaitu, periode pecahan desimal 0,73333… akan dianggap barisan satu angka 3, dan frekuensinya dimulai dari posisi kedua setelah koma, yaitu 0,73333…=0,7(3) . Contoh lain: pecahan periodik 4.7412121212… memiliki periode 12, periodisitas dimulai dari angka ketiga setelah koma, yaitu 4.7412121212…=4.74(12) .
Pecahan periodik desimal tak berhingga diperoleh dengan mengubah ke pecahan desimal dari pecahan biasa, yang penyebutnya mengandung faktor utama, berbeda dari 2 dan 5 .
Di sini perlu disebutkan pecahan periodik dengan periode 9. Berikut adalah contoh pecahan tersebut: 6.43(9) , 27,(9) . Pecahan ini adalah notasi lain untuk pecahan periodik dengan periode 0, dan merupakan kebiasaan untuk menggantinya dengan pecahan periodik dengan periode 0. Untuk melakukan ini, periode 9 diganti dengan periode 0, dan nilai digit tertinggi berikutnya ditambah satu. Misalnya, pecahan dengan periode 9 berbentuk 7.24(9) diganti dengan pecahan periodik dengan periode 0 berbentuk 7.25(0) atau pecahan desimal akhir yang sama dengan 7,25. Contoh lain: 4,(9)=5,(0)=5 . Persamaan pecahan berperiode 9 dan pecahan bersesuaian dengan periode 0 mudah ditentukan setelah mengganti pecahan desimal ini dengan pecahan biasa yang sama.
Terakhir, mari kita lihat lebih dekat pada desimal tak hingga, yang tidak memiliki urutan angka yang berulang tak terhingga. Mereka disebut non-periodik.
Definisi.
Desimal tak berulang(atau sederhananya pecahan non-periodik) adalah desimal tak terbatas tanpa titik.
Kadang-kadang pecahan non-periodik memiliki bentuk yang mirip dengan pecahan periodik, misalnya 8.02002000200002 ... adalah pecahan non-periodik. Dalam kasus ini, Anda harus sangat berhati-hati untuk melihat perbedaannya.
Perhatikan bahwa pecahan non-periodik tidak dikonversi ke pecahan biasa, pecahan desimal non-periodik tak terbatas mewakili bilangan irasional.
Operasi dengan desimal
Salah satu tindakan dengan desimal adalah perbandingan, dan empat aritmatika dasar juga didefinisikan operasi dengan desimal: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Pertimbangkan secara terpisah setiap tindakan dengan pecahan desimal.
Perbandingan Desimal dasarnya didasarkan pada perbandingan pecahan biasa yang sesuai dengan pecahan desimal yang dibandingkan. Namun, mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa adalah operasi yang agak sulit, dan pecahan tak berulang tak terbatas tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa, jadi akan lebih mudah untuk menggunakan perbandingan pecahan desimal secara bitwise. Perbandingan bitwise desimal mirip dengan perbandingan bilangan asli. Untuk lebih Informasi rinci kami menyarankan Anda mempelajari materi artikel perbandingan pecahan desimal, aturan, contoh, solusi.
Mari kita lanjutkan ke langkah berikutnya - perkalian desimal. Perkalian pecahan desimal akhir dilakukan mirip dengan pengurangan pecahan desimal, aturan, contoh, solusi perkalian dengan kolom bilangan asli. Dalam kasus pecahan periodik, perkalian dapat direduksi menjadi perkalian pecahan biasa. Pada gilirannya, perkalian pecahan desimal non-periodik tak terbatas setelah pembulatannya dikurangi menjadi perkalian pecahan desimal hingga. Kami merekomendasikan studi lebih lanjut dari materi artikel perkalian pecahan desimal, aturan, contoh, solusi.
Desimal pada balok koordinat
Ada korespondensi satu-satu antara titik dan desimal.
Mari kita cari tahu bagaimana titik dibangun pada sinar koordinat yang sesuai dengan pecahan desimal yang diberikan.
Kita dapat mengganti pecahan desimal hingga dan pecahan desimal periodik tak terbatas dengan pecahan biasa yang sama dengan mereka, dan kemudian membangun pecahan biasa yang sesuai pada sinar koordinat. Misalnya, pecahan desimal 1,4 sesuai dengan pecahan biasa 14/10, oleh karena itu, titik dengan koordinat 1,4 dihilangkan dari titik asal ke arah positif dengan 14 segmen sama dengan sepersepuluh dari satu segmen.
Pecahan desimal dapat ditandai pada balok koordinat, mulai dari perluasan pecahan desimal ini menjadi angka. Misalnya kita perlu membangun sebuah titik dengan koordinat 16.3007 , karena 16.3007=16+0.3+0.0007 , maka di poin yang diberikan dapat dicapai dengan meletakkan 16 unit segmen secara berurutan dari titik asal, 3 segmen, yang panjangnya sama dengan sepersepuluh unit segmen, dan 7 segmen, yang panjangnya sama dengan sepersepuluh ribu fraksi unit unit. .
Cara membangun ini angka desimal pada sinar koordinat memungkinkan Anda untuk mendapatkan sedekat yang Anda suka ke titik yang sesuai dengan pecahan desimal tak terbatas.
Kadang-kadang dimungkinkan untuk secara akurat memplot titik yang sesuai dengan desimal tak terbatas. Sebagai contoh, 
, maka pecahan desimal tak terbatas ini 1,41421 ... sesuai dengan titik balok koordinat, jauh dari titik asal dengan panjang diagonal persegi dengan sisi 1 unit segmen.
Proses kebalikan untuk mendapatkan pecahan desimal yang sesuai dengan titik tertentu pada balok koordinat disebut pengukuran desimal dari segmen. Mari kita lihat bagaimana hal itu dilakukan.
Biarkan tugas kita adalah untuk pergi dari titik asal ke titik tertentu pada garis koordinat (atau mendekatinya tanpa batas jika tidak mungkin untuk mencapainya). Dengan pengukuran desimal dari suatu segmen, kita dapat secara berurutan menunda sejumlah unit segmen dari titik asal, kemudian segmen yang panjangnya sama dengan sepersepuluh dari satu segmen, kemudian segmen yang panjangnya sama dengan seperseratus dari satu segmen, dll. . Dengan menuliskan jumlah segmen yang diplot dari setiap panjang, kita mendapatkan pecahan desimal yang sesuai dengan titik tertentu pada sinar koordinat.
Misalnya, untuk sampai ke titik M pada gambar di atas, Anda harus menyisihkan 1 ruas dan 4 ruas yang panjangnya sama dengan sepersepuluh satuan. Jadi, titik M sesuai dengan pecahan desimal 1.4.
Jelas bahwa titik-titik balok koordinat, yang tidak dapat dicapai selama pengukuran desimal, sesuai dengan pecahan desimal tak terbatas.
Bibliografi.
- Matematika: studi. untuk 5 sel. pendidikan umum institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Edisi ke-21, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 hal.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. Kelas 6: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [N. Ya Vilenkin dan lain-lain]. - Edisi ke-22, Pdt. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.
Seperti diketahui, himpunan bilangan rasional (Q) termasuk himpunan bilangan bulat (Z), yang pada gilirannya mencakup himpunan bilangan asli (N). Selain bilangan bulat, bilangan rasional juga termasuk pecahan.
Lalu, mengapa seluruh himpunan bilangan rasional kadang-kadang dianggap sebagai pecahan periodik desimal tak terbatas? Memang, selain pecahan, mereka termasuk bilangan bulat, serta pecahan non-periodik.
Faktanya adalah bahwa semua bilangan bulat, serta pecahan apa pun, dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik tak terbatas. Artinya, untuk semua bilangan rasional, Anda dapat menggunakan notasi yang sama.
Bagaimana desimal periodik tak terbatas diwakili? Di dalamnya, sekelompok angka yang berulang setelah titik desimal diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 1,56(12) adalah pecahan yang kelompok angkanya 12 berulang, yaitu pecahan bernilai 1,561212121212 ... dan seterusnya tanpa akhir. Sekelompok angka yang berulang disebut periode.
Namun, dalam bentuk yang serupa, kita dapat menyatakan bilangan apa pun jika kita menganggap bilangan 0 sebagai periodenya, yang juga berulang tanpa akhir. Misalnya, bilangan 2 sama dengan 2.00000.... Oleh karena itu, dapat ditulis sebagai pecahan periodik tak hingga, yaitu 2,(0).
Hal yang sama dapat dilakukan dengan pecahan berhingga apa pun. Sebagai contoh:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
Namun, dalam praktiknya, transformasi pecahan berhingga menjadi pecahan periodik tak hingga tidak digunakan. Oleh karena itu, mereka berbagi pecahan berhingga dan periodik tak terbatas. Jadi, lebih tepat dikatakan bahwa bilangan rasional termasuk
- semua bilangan bulat,
- pecahan akhir,
- pecahan periodik tak terhingga.
Pada saat yang sama, mereka hanya ingat bahwa bilangan bulat dan pecahan berhingga dapat direpresentasikan dalam teori sebagai pecahan periodik tak hingga.
Di sisi lain, konsep pecahan hingga dan tak terbatas berlaku untuk pecahan desimal. Jika kita berbicara tentang pecahan biasa, maka pecahan desimal hingga dan tak terbatas dapat direpresentasikan secara unik sebagai pecahan biasa. Jadi, dari sudut pandang pecahan biasa, pecahan periodik dan hingga adalah satu dan sama. Selain itu, bilangan bulat juga dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa jika kita membayangkan bahwa kita membagi bilangan ini dengan 1.
Bagaimana cara merepresentasikan pecahan periodik tak hingga desimal dalam bentuk biasa? Algoritma yang paling umum digunakan adalah:
- Mereka membawa pecahan ke bentuk sehingga setelah titik desimal hanya ada titik.
- Kalikan pecahan periodik tak terbatas dengan 10 atau 100 atau ... sehingga koma bergerak ke kanan dengan satu periode (yaitu, satu periode di bagian bilangan bulat).
- Pecahan asal (a) disamakan dengan variabel x, dan pecahan (b) yang diperoleh dengan mengalikan bilangan N sama dengan Nx.
- Kurangi x dari Nx. Kurangi a dari b. Artinya, mereka membuat persamaan Nx - x \u003d b - a.
- Saat menyelesaikan persamaan, diperoleh pecahan biasa.
Contoh pengubahan pecahan desimal periodik tak hingga ke pecahan biasa:
x = 1.13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x=102
x=
Sudah di sekolah dasar siswa berurusan dengan pecahan. Dan kemudian mereka muncul di setiap topik. Tidak mungkin untuk melupakan tindakan dengan angka-angka ini. Oleh karena itu, Anda perlu mengetahui semua informasi tentang pecahan biasa dan desimal. Konsep-konsep ini sederhana, yang utama adalah memahami semuanya secara berurutan.
Mengapa pecahan diperlukan?
Dunia di sekitar kita terdiri dari objek utuh. Karena itu, tidak perlu berbagi. Tetapi kehidupan sehari-hari terus-menerus mendorong orang untuk bekerja dengan bagian benda dan benda.
Misalnya, cokelat terdiri dari beberapa irisan. Pertimbangkan situasi di mana ubinnya dibentuk oleh dua belas persegi panjang. Jika Anda membaginya menjadi dua, Anda mendapatkan 6 bagian. Ini akan dibagi dengan baik menjadi tiga. Tapi kelimanya tidak akan bisa memberikan potongan coklat yang utuh.
Omong-omong, irisan ini sudah menjadi pecahan. Dan pembagian lebih lanjut mereka mengarah pada munculnya bilangan yang lebih kompleks.
Apa itu "pecahan"?
Ini adalah nomor yang terdiri dari bagian-bagian dari satu. Dari luar, tampak seperti dua angka yang dipisahkan oleh garis horizontal atau garis miring. Fitur ini disebut pecahan. Angka yang tertulis di atas (kiri) disebut pembilang. Yang di bawah (kanan) adalah penyebutnya.
Faktanya, batang pecahan ternyata merupakan tanda pembagian. Artinya, pembilangnya bisa disebut dividen, dan penyebutnya bisa disebut pembagi.
Apa itu pecahan?
Dalam matematika, hanya ada dua jenis: pecahan biasa dan desimal. Anak sekolah pertama kali diperkenalkan dengan sekolah dasar, menyebutnya hanya "pecahan". Yang kedua belajar di kelas 5. Saat itulah nama-nama ini muncul.
Pecahan biasa adalah semua yang ditulis sebagai dua angka yang dipisahkan oleh sebuah bar. Misalnya, 4/7. Desimal adalah angka di mana bagian pecahan memiliki notasi posisi dan dipisahkan dari bilangan bulat dengan koma. Misalnya, 4.7. Siswa harus jelas bahwa dua contoh yang diberikan adalah bilangan yang sama sekali berbeda.
Setiap pecahan sederhana dapat ditulis sebagai desimal. Pernyataan ini hampir selalu benar dalam arah sebaliknya. Ada aturan yang memungkinkan Anda untuk menulis pecahan desimal sebagai pecahan biasa.
Subspesies apa yang dimiliki jenis pecahan ini?
Lebih baik mulai dari urutan kronologis karena mereka sedang dipelajari. Pecahan biasa didahulukan. Di antara mereka, 5 subspesies dapat dibedakan.
Benar. Pembilangnya selalu lebih kecil dari penyebutnya.
Salah. Pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya.
Dapat direduksi / tidak dapat direduksi. Itu bisa benar atau salah. Hal lain yang penting, apakah pembilang dan penyebut memiliki faktor yang sama. Jika ada, maka mereka harus membagi kedua bagian pecahan, yaitu menguranginya.
Campuran. Sebuah bilangan bulat ditugaskan ke bagian pecahan biasa yang benar (salah). Dan selalu berdiri di sebelah kiri.
Gabungan. Itu terbentuk dari dua fraksi yang dibagi satu sama lain. Artinya, ia memiliki tiga fitur pecahan sekaligus.
Desimal hanya memiliki dua subspesies:
final, yaitu, di mana bagian pecahan terbatas (memiliki akhir);
tak terbatas - angka yang digitnya setelah titik desimal tidak berakhir (dapat ditulis tanpa akhir).
Bagaimana cara mengubah desimal menjadi biasa?
Jika ini adalah angka yang terbatas, maka asosiasi berdasarkan aturan diterapkan - seperti yang saya dengar, jadi saya menulis. Artinya, Anda harus membacanya dengan benar dan menuliskannya, tetapi tanpa koma, tetapi dengan garis pecahan.
Sebagai petunjuk tentang penyebut yang diperlukan, ingatlah bahwa itu selalu satu dan beberapa nol. Yang terakhir perlu ditulis sebanyak digit di bagian pecahan dari nomor yang bersangkutan.
Bagaimana cara mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa jika seluruh bagian tidak ada, yaitu sama dengan nol? Misalnya, 0,9 atau 0,05. Setelah menerapkan aturan yang ditentukan, ternyata Anda perlu menulis nol bilangan bulat. Tapi itu tidak diindikasikan. Tetap menuliskan hanya bagian-bagian pecahan. Untuk angka pertama, penyebutnya adalah 10, untuk yang kedua - 100. Artinya, contoh yang ditunjukkan akan memiliki angka sebagai jawaban: 9/10, 5/100. Selain itu, yang terakhir ternyata dapat dikurangi dengan 5. Oleh karena itu, hasil untuk itu harus ditulis 1/20.
Bagaimana cara membuat pecahan biasa dari desimal jika bagian bilangan bulatnya berbeda dari nol? Misalnya, 5.23 atau 13.00108. Kedua contoh membaca bagian integer dan menulis nilainya. Dalam kasus pertama, ini adalah 5, dalam kasus kedua, 13. Maka Anda harus beralih ke bagian pecahan. Dengan mereka perlu untuk melakukan operasi yang sama. Angka pertama memiliki 23/100, yang kedua memiliki 108/100000. Nilai kedua perlu dikurangi lagi. Responnya seperti ini pecahan campuran: 5 23/100 dan 13 27/25000.
Bagaimana cara mengubah desimal tak terbatas menjadi pecahan biasa?
Jika non-periodik, maka operasi seperti itu tidak dapat dilakukan. Fakta ini disebabkan oleh fakta bahwa setiap pecahan desimal selalu diubah menjadi final atau periodik.
Satu-satunya hal yang diperbolehkan untuk dilakukan dengan pecahan seperti itu adalah membulatkannya. Tapi kemudian desimal akan kira-kira sama dengan yang tak terbatas itu. Itu sudah bisa diubah menjadi biasa. Tetapi proses sebaliknya: mengonversi ke desimal - tidak akan pernah memberikan nilai awal. Artinya, pecahan non-periodik tak terhingga tidak diterjemahkan ke dalam pecahan biasa. Ini harus diingat.
Bagaimana cara menulis pecahan periodik tak hingga dalam bentuk biasa?
Dalam angka-angka ini, satu atau lebih digit selalu muncul setelah titik desimal, yang diulang. Mereka disebut periode. Misalnya, 0,3(3). Berikut "3" pada periode tersebut. Mereka diklasifikasikan sebagai rasional, karena mereka dapat diubah menjadi pecahan biasa.
Mereka yang telah menemukan pecahan periodik tahu bahwa mereka dapat murni atau campuran. Dalam kasus pertama, periode dimulai segera dari koma. Di bagian kedua, bagian pecahan dimulai dengan angka apa pun, dan kemudian pengulangan dimulai.
Aturan di mana Anda perlu menulis desimal tak terbatas dalam bentuk pecahan biasa akan berbeda untuk kedua jenis angka ini. Sangat mudah untuk menulis pecahan periodik murni sebagai pecahan biasa. Seperti yang terakhir, mereka perlu dikonversi: tulis periode ke dalam pembilang, dan angka 9 akan menjadi penyebut, berulang sebanyak angka dalam periode.
Misalnya, 0,(5). Angka tersebut tidak memiliki bagian bilangan bulat, jadi Anda harus segera melanjutkan ke bagian pecahan. Tulislah 5 pada pembilangnya, dan tulislah 9 pada penyebutnya, maka jawabannya adalah pecahan 5/9.
Aturan tentang cara menulis pecahan desimal biasa yang merupakan pecahan campuran.
Lihatlah panjang periode. Begitu banyak 9 akan memiliki penyebut.
Tuliskan penyebutnya: sembilan pertama, lalu nol.
Untuk menentukan pembilangnya, Anda perlu menulis selisih dua bilangan. Semua digit setelah titik desimal akan dikurangi, bersama dengan titik. Dikurangi - itu tanpa titik.
Misalnya, 0,5(8) - tulis pecahan desimal periodik sebagai pecahan biasa. Bagian pecahan sebelum periode adalah satu digit. Jadi nol akan menjadi satu. Ada juga hanya satu digit dalam periode - 8. Artinya, hanya ada satu sembilan. Artinya, Anda perlu menulis 90 dalam penyebut.
Untuk menentukan pembilang dari 58, Anda harus mengurangi 5. Ternyata 53. Misalnya, Anda harus menulis 53/90 sebagai jawaban.
Bagaimana cara mengubah pecahan biasa menjadi desimal?
oleh sebagian besar pilihan sederhana ternyata bilangan yang penyebutnya adalah bilangan 10, 100 dan seterusnya. Kemudian penyebutnya dibuang begitu saja, dan koma ditempatkan di antara bagian pecahan dan bilangan bulat.
Ada situasi ketika penyebut dengan mudah berubah menjadi 10, 100, dll. Misalnya, angka 5, 20, 25. Cukup dengan mengalikannya masing-masing dengan 2, 5 dan 4. Hanya perlu mengalikan tidak hanya penyebutnya, tetapi juga pembilangnya dengan angka yang sama.
Untuk semua kasus lain, aturan sederhana akan berguna: bagi pembilang dengan penyebut. Dalam hal ini, Anda mungkin mendapatkan dua jawaban: pecahan desimal final atau periodik.
Operasi pecahan biasa
Penambahan dan pengurangan
Siswa mengenal mereka lebih awal dari yang lain. Dan pertama dengan pecahan penyebut yang sama dan kemudian berbeda. Aturan umum dapat direduksi menjadi rencana seperti itu.
Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya.
membakar pengganda tambahan ke semua pecahan biasa.
Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan faktor-faktor yang ditentukan untuknya.
Tambahkan (kurangi) pembilang pecahan, dan biarkan penyebutnya tidak berubah.
Jika pembilang dari minuend lebih kecil dari pada pengurangan, maka Anda perlu mencari tahu apakah kita memiliki bilangan campuran atau pecahan biasa.
Dalam kasus pertama, bagian integer perlu mengambil satu. Menambahkan penyebut ke pembilang suatu pecahan. Dan kemudian lakukan pengurangan.
Yang kedua - perlu menerapkan aturan pengurangan dari angka yang lebih kecil ke angka yang lebih besar. Yaitu, kurangi modulus dari minuend dari modulus dari subtrahend, dan beri tanda “-” sebagai jawaban.
Perhatikan baik-baik hasil penjumlahan (pengurangan). Jika Anda mendapatkan pecahan yang tidak wajar, maka seharusnya memilih seluruh bagian. Yaitu membagi pembilang dengan penyebut.
Perkalian dan pembagian
Untuk penerapannya, pecahan tidak perlu direduksi menjadi faktor persekutuan. Ini membuatnya lebih mudah untuk mengambil tindakan. Tapi mereka tetap harus mengikuti aturan.
Saat mengalikan pecahan biasa, perlu untuk mempertimbangkan angka dalam pembilang dan penyebut. Jika ada pembilang dan penyebut yang memiliki faktor umum, maka mereka dapat dikurangi.
Kalikan pembilang.
Kalikan penyebutnya.
Jika Anda mendapatkan pecahan yang dapat direduksi, maka itu harus disederhanakan lagi.
Saat membagi, Anda harus terlebih dahulu mengganti pembagian dengan perkalian, dan pembagi (pecahan kedua) dengan timbal-balik(tukar pembilang dan penyebut).
Kemudian lanjutkan seperti pada perkalian (dimulai dari langkah 1).
Dalam tugas di mana Anda perlu mengalikan (membagi) dengan bilangan bulat, yang terakhir seharusnya ditulis dalam bentuk fraksi yang tidak tepat. Artinya, dengan penyebut 1. Kemudian lanjutkan seperti yang dijelaskan di atas.
Operasi dengan desimal
Penambahan dan pengurangan
Tentu saja, Anda selalu dapat mengubah desimal menjadi pecahan biasa. Dan bertindak sesuai dengan rencana yang sudah dijelaskan. Tetapi terkadang lebih mudah untuk bertindak tanpa terjemahan ini. Maka aturan untuk penambahan dan pengurangannya akan sama persis.
Samakan jumlah digit di bagian pecahan angka, yaitu setelah titik desimal. Tetapkan jumlah nol yang hilang di dalamnya.
Tulis pecahan sehingga koma berada di bawah koma.
Tambah (kurangi) seperti bilangan asli.
Hapus koma.
Perkalian dan pembagian
Penting bahwa Anda tidak perlu menambahkan angka nol di sini. Pecahan seharusnya dibiarkan seperti yang diberikan dalam contoh. Dan kemudian berjalan sesuai rencana.
Untuk perkalian, Anda perlu menulis pecahan satu di bawah yang lain, tidak memperhatikan koma.
Perkalian seperti bilangan asli.
Beri koma pada jawaban, hitung dari ujung kanan jawaban sebanyak angka pada bagian pecahan dari kedua faktor.
Untuk membagi, Anda harus terlebih dahulu mengonversi pembagi: menjadikannya bilangan asli. Artinya, kalikan dengan 10, 100, dst., tergantung pada berapa banyak angka di bagian pecahan dari pembagi.
Kalikan dividen dengan angka yang sama.
Bagi desimal dengan bilangan asli.
Beri koma pada jawaban pada saat pembagian seluruh bagian berakhir.
Bagaimana jika ada kedua jenis pecahan dalam satu contoh?
Ya, dalam matematika sering ada contoh di mana Anda perlu melakukan operasi pada pecahan biasa dan desimal. Ada dua kemungkinan solusi untuk masalah ini. Anda perlu menimbang angka secara objektif dan memilih yang terbaik.
Cara pertama: mewakili desimal biasa
Sangat cocok jika, ketika membagi atau mengubah, pecahan akhir diperoleh. Jika setidaknya satu nomor memberikan bagian periodik, maka teknik ini dilarang. Karena itu, bahkan jika Anda tidak suka bekerja dengan pecahan biasa, Anda harus menghitungnya.
Cara kedua: tulis pecahan desimal seperti biasa
Teknik ini cocok jika ada 1-2 digit di bagian setelah titik desimal. Jika ada lebih banyak, pecahan biasa yang sangat besar dapat dihasilkan dan entri desimal akan memungkinkan Anda menghitung tugas lebih cepat dan lebih mudah. Oleh karena itu, selalu perlu untuk mengevaluasi tugas dengan bijaksana dan memilih metode solusi yang paling sederhana.
Diketahui bahwa jika penyebut P pecahan tak tereduksi dalam dirinya dekomposisi kanonik memiliki faktor prima yang tidak sama dengan 2 dan 5, maka pecahan ini tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berhingga. Jika dalam hal ini kita mencoba menuliskan pecahan asli yang tidak dapat disederhanakan sebagai desimal, membagi pembilang dengan penyebut, maka proses pembagian tidak dapat berakhir, karena jika selesai setelah sejumlah langkah yang terbatas, kita akan mendapatkan pecahan desimal terbatas dalam hasil bagi, yang bertentangan dengan teorema yang dibuktikan sebelumnya. Jadi dalam hal ini notasi desimal bilangan rasional positif sebuah= direpresentasikan sebagai pecahan tak hingga.
Misalnya pecahan = 0,3636... . Sangat mudah untuk melihat bahwa sisa ketika membagi 4 dengan 11 diulang secara berkala, oleh karena itu, tempat desimal akan diulang secara berkala, mis. ternyata desimal periodik tak terbatas, yang dapat ditulis sebagai 0,(36).
Angka 3 dan 6 yang berulang-ulang secara periodik membentuk titik. Mungkin ada beberapa digit antara koma dan awal periode pertama. Angka-angka ini membentuk pra-periode. Sebagai contoh,
0.1931818... Proses pembagian 17 dengan 88 tidak terbatas. Angka 1, 9, 3 membentuk pra-periode; 1, 8 - titik. Contoh-contoh yang telah kami pertimbangkan mencerminkan suatu pola, mis. positif apapun bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik terbatas atau tak terbatas.
Teorema 1. Biarkan pecahan biasa menjadi tak tereduksi dan dalam perluasan kanonik penyebutnya n ada faktor prima yang berbeda dari 2 dan 5. Maka pecahan biasa dapat dinyatakan dengan pecahan desimal periodik tak hingga.
Bukti. Kita sudah tahu bahwa proses pembagian bilangan asli m ke bilangan asli n akan tak ada habisnya. Mari kita tunjukkan bahwa itu akan periodik. Memang, saat membagi m pada n residu akan lebih kecil n, itu. bilangan berbentuk 1, 2, ..., ( n– 1), yang menunjukkan bahwa bilangan berbagai sisa-sisa tentu saja, dan oleh karena itu, mulai dari langkah tertentu, beberapa sisa akan diulang, yang akan memerlukan pengulangan angka desimal dari hasil bagi, dan pecahan desimal tak terbatas menjadi periodik.
Ada dua teorema lagi.
Teorema 2. Jika pemuaian penyebut suatu pecahan tak tereduksi menjadi faktor prima tidak termasuk angka 2 dan 5, maka ketika pecahan ini diubah menjadi pecahan desimal tak hingga, akan diperoleh pecahan periodik murni, yaitu. Pecahan yang periodenya dimulai tepat setelah koma.
Teorema 3. Jika pemuaian penyebut mencakup faktor 2 (atau 5) atau keduanya, maka pecahan periodik tak hingga akan dicampur, mis. antara koma dan awal periode akan ada beberapa digit (pra-periode), yaitu sebanyak eksponen terbesar dari faktor 2 dan 5.
Teorema 2 dan 3 diundang untuk membuktikan sendiri kepada pembaca.
28. Cara lulus dari periodik tak terbatas
pecahan desimal ke pecahan biasa
Misalkan ada pecahan periodik sebuah= 0,(4), yaitu 0,4444... .
Mari berlipat ganda sebuah dengan 10, kita mendapatkan
10sebuah= 4.444…4…Þ 10 sebuah = 4 + 0,444….
Itu. sepuluh sebuah = 4 + sebuah, kita mendapatkan persamaan untuk sebuah, menyelesaikannya, kita mendapatkan: 9 sebuah= 4 sebuah = .
Perhatikan bahwa 4 adalah pembilang pecahan yang dihasilkan dan periode pecahan 0,(4).
aturan konversi ke pecahan biasa dari pecahan periodik murni dirumuskan sebagai berikut: pembilang pecahan sama dengan periode, dan penyebutnya terdiri dari sejumlah sembilan karena ada digit pada periode pecahan.
Mari kita buktikan aturan ini untuk pecahan yang periodenya terdiri dari P
sebuah= . Mari berlipat ganda sebuah pada 10 n, kita mendapatkan:
10n × sebuah = 
= + 0, ;
10n × sebuah = + sebuah;
(10n – 1) sebuah = Þ sebuah == .
Jadi, aturan yang dirumuskan sebelumnya terbukti untuk setiap fraksi periodik murni.
Biarkan sekarang diberikan pecahan sebuah= 0,605(43) - periodik campuran. Mari berlipat ganda sebuah dengan 10 dengan indikator seperti berapa banyak digit dalam pra-periode, yaitu. dengan 10 3 , kita mendapatkan
10 3 × sebuah= 605 + 0,(43) 10 3 × sebuah = 605 + = 605 + = = 
,
itu. 10 3 × sebuah= .
aturan konversi ke pecahan biasa dari pecahan periodik campuran dirumuskan sebagai berikut: pembilang pecahan sama dengan selisih antara angka yang ditulis dengan angka sebelum awal periode kedua dan angka yang ditulis dalam angka sebelum awal yang pertama periode, penyebut terdiri dari sejumlah sembilan karena ada digit pada periode dan jumlah nol berapa banyak digit sebelum awal periode pertama.
Mari kita buktikan aturan ini untuk pecahan yang praperiodenya terdiri dari P angka, dan periode ke angka. Misalkan ada pecahan periodik
Menunjukkan di= ; r= ,
dengan= 
; kemudian dengan=di × 10k + r.
Mari berlipat ganda sebuah dengan 10 dengan eksponen berapa banyak digit di pra-periode, yaitu pada 10 n, kita mendapatkan:
sebuah×10 n = + 
.
Dengan mempertimbangkan notasi yang diperkenalkan di atas, kami menulis:
a× 10n= di+ .
Jadi, aturan yang dirumuskan di atas terbukti untuk setiap pecahan periodik campuran.
Setiap pecahan desimal periodik tak terbatas adalah bentuk penulisan beberapa bilangan rasional.
Demi keseragaman, terkadang desimal hingga juga dianggap sebagai desimal periodik tak terbatas dengan periode "nol". Misalnya, 0,27 = 0,27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3.000 ....
Sekarang pernyataan berikut menjadi benar: setiap bilangan rasional dapat (dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik) dinyatakan oleh pecahan desimal tak hingga, dan setiap pecahan desimal periodik tak hingga menyatakan tepat satu bilangan rasional (pecahan desimal periodik dengan periode 9 tidak dipertimbangkan).
Ingat bagaimana dalam pelajaran pertama tentang pecahan desimal, saya mengatakan bahwa ada pecahan numerik yang tidak dapat direpresentasikan sebagai desimal (lihat pelajaran “ Pecahan Desimal”)? Kami juga belajar cara memfaktorkan penyebut pecahan untuk memeriksa apakah ada bilangan selain 2 dan 5.
Jadi: saya berbohong. Dan hari ini kita akan belajar bagaimana menerjemahkan secara mutlak setiap pecahan numerik menjadi desimal. Pada saat yang sama, kita akan berkenalan dengan seluruh kelas pecahan dengan bagian penting yang tak terbatas.
Desimal berulang adalah desimal yang memiliki:
- Bagian penting terdiri dari jumlah digit yang tak terbatas;
- Pada interval tertentu, angka-angka di bagian penting diulang.
Satu set angka berulang yang membentuk bagian penting, disebut bagian periodik dari pecahan, dan jumlah digit dalam himpunan ini adalah periode pecahan. Segmen yang tersisa dari bagian penting, yang tidak berulang, disebut bagian non-periodik.
Karena ada banyak definisi, ada baiknya mempertimbangkan secara rinci beberapa pecahan ini:
Pecahan ini paling sering terjadi dalam masalah. Bagian non-periodik: 0; bagian periodik: 3; panjang periode: 1.
Bagian non-periodik: 0,58; bagian periodik: 3; panjang periode: lagi 1.
Bagian non-periodik: 1; bagian periodik: 54; lama periode: 2.
Bagian non-periodik: 0; bagian periodik: 641025; panjang periode: 6. Untuk kenyamanan, bagian berulang dipisahkan satu sama lain oleh spasi - dalam solusi ini tidak perlu melakukannya.
Bagian non-periodik: 3066; bagian periodik: 6; panjang periode: 1.
Seperti yang Anda lihat, definisi pecahan periodik didasarkan pada konsep bagian penting dari suatu bilangan. Karena itu, jika Anda lupa apa itu, saya sarankan untuk mengulanginya - lihat pelajaran "".
Transisi ke desimal periodik
Pertimbangkan pecahan biasa dari bentuk a / b . Mari kita uraikan penyebutnya menjadi faktor-faktor sederhana. Ada dua opsi:
- Hanya faktor 2 dan 5 yang ada dalam ekspansi. Pecahan ini mudah direduksi menjadi desimal - lihat pelajaran " Pecahan Desimal". Kami tidak tertarik seperti itu;
- Ada hal lain dalam pemuaian selain 2 dan 5. Dalam hal ini, pecahan tidak dapat dinyatakan sebagai desimal, tetapi dapat dibuat menjadi desimal periodik.
Untuk menetapkan pecahan desimal periodik, Anda perlu menemukan bagian periodik dan non-periodiknya. Bagaimana? Ubah pecahan menjadi pecahan biasa, lalu bagi pembilangnya dengan penyebutnya dengan "sudut".
Dalam melakukannya, hal berikut akan terjadi:
- Bagi dulu seluruh bagian jika ada;
- Mungkin ada beberapa angka setelah titik desimal;
- Setelah beberapa saat, angka akan dimulai ulang.
Itu saja! Digit berulang setelah titik desimal dilambangkan dengan bagian periodik, dan apa yang ada di depan - non-periodik.
Tugas. Ubah pecahan biasa ke desimal periodik:
Semua pecahan tanpa bagian bilangan bulat, jadi kita cukup membagi pembilang dengan penyebut dengan "sudut":
Seperti yang Anda lihat, sisa-sisa diulang. Mari kita tulis pecahan dalam bentuk yang "benar": 1,733 ... = 1,7(3).
Hasilnya adalah pecahan: 0,5833 ... = 0,58(3).
Kami menulis dalam bentuk normal: 4,0909 ... = 4, (09).
Kami mendapatkan pecahan: 0,4141 ... = 0, (41).
Transisi dari desimal periodik ke biasa
Pertimbangkan desimal periodik X = abc (a 1 b 1 c 1). Diperlukan untuk mentransfernya ke "dua lantai" klasik. Untuk melakukannya, ikuti empat langkah sederhana:
- Tentukan periode pecahan, mis. hitung ada berapa angka pada bagian periodik. Biarkan menjadi nomor k;
- Tentukan nilai dari ekspresi X · 10 k . Ini setara dengan menggeser titik desimal dengan periode penuh ke kanan - lihat pelajaran " Perkalian dan pembagian pecahan desimal";
- Kurangi ekspresi asli dari angka yang dihasilkan. Dalam hal ini, bagian periodik "terbakar", dan tetap pecahan biasa;
- Temukan X dalam persamaan yang dihasilkan. Semua pecahan desimal diubah menjadi biasa.
Tugas. Ubah ke pecahan biasa biasa dari suatu bilangan:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Bekerja dengan pecahan pertama: X = 9,(6) = 9,666 ...
Tanda kurung hanya berisi satu digit, jadi periode k = 1. Selanjutnya, kita kalikan pecahan ini dengan 10 k = 10 1 = 10. Kita mendapatkan:
10X = 10 9.6666... = 96.666...
Kurangi pecahan asli dan selesaikan persamaannya:
10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.
Sekarang mari kita berurusan dengan pecahan kedua. Jadi X = 32,(39) = 32,393939 ...
Periode k = 2, jadi kita kalikan semuanya dengan 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...
Kurangi pecahan semula lagi dan selesaikan persamaannya:
100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Mari kita ke pecahan ketiga: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Skemanya sama, jadi saya akan memberikan perhitungannya:
Periode k = 1 kalikan semuanya dengan 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.
Akhirnya, pecahan terakhir: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Sekali lagi, untuk memudahkan, bagian-bagian periodik dipisahkan satu sama lain oleh spasi. Kita punya:
k = 4 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
