pecahan biasa

perempat

1. Ketertiban. sebuah dan b ada aturan yang memungkinkan Anda untuk mengidentifikasi secara unik di antara mereka satu dan hanya satu dari tiga hubungan: “< », « >' atau ' = '. Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan non-negatif dan terkait dengan hubungan yang sama sebagai dua bilangan bulat dan ; dua bilangan bukan positif sebuah dan b terkait dengan hubungan yang sama sebagai dua angka non-negatif dan ; jika tiba-tiba sebuah non-negatif, dan b- negatif, maka sebuah > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   penjumlahan pecahan

2. operasi penambahan. Untuk apa saja angka rasional sebuah dan b ada yang disebut aturan penjumlahan c. Namun, nomor itu sendiri c ditelepon jumlah angka sebuah dan b dan dilambangkan , dan proses menemukan bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki tampilan berikutnya: .
3. operasi perkalian. Untuk sembarang bilangan rasional sebuah dan b ada yang disebut aturan perkalian, yang menempatkan mereka dalam korespondensi dengan beberapa bilangan rasional c. Namun, nomor itu sendiri c ditelepon kerja angka sebuah dan b dan dilambangkan , dan proses menemukan bilangan tersebut juga disebut perkalian. Aturan perkaliannya adalah sebagai berikut: .
4. Transitivitas relasi orde. Untuk setiap rangkap tiga bilangan rasional sebuah , b dan c jika sebuah lebih kecil b dan b lebih kecil c, kemudian sebuah lebih kecil c, dan jika sebuah sama dengan b dan b sama dengan c, kemudian sebuah sama dengan c. 6435">Komutatifitas penjumlahan. Jumlahnya tidak berubah dari perubahan tempat suku-suku rasional.
5. Asosiatif penjumlahan. Memesan menambahkan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
6. Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
7. Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional yang berlawanan, yang jika dijumlahkan menghasilkan 0.
8. Komutatifitas perkalian. Dengan mengubah tempat faktor rasional, produk tidak berubah.
9. Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
10. Kehadiran satu kesatuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
11. Kehadiran timbal balik. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang, ketika dikalikan, menghasilkan 1.
12. Distribusi perkalian terhadap penjumlahan. Operasi perkalian konsisten dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
13. Koneksi relasi order dengan operasi penjumlahan. ke kiri dan bagian kanan ketidaksetaraan rasional Anda dapat menambahkan bilangan rasional yang sama. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksioma Archimedes. Berapapun bilangan rasionalnya sebuah, Anda dapat mengambil begitu banyak unit sehingga jumlahnya akan melebihi sebuah. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Properti tambahan

Semua sifat-sifat lain yang melekat pada bilangan rasional tidak dipilih sebagai sifat dasar, karena, secara umum, mereka tidak lagi didasarkan secara langsung pada sifat-sifat bilangan bulat, tetapi dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat dasar yang diberikan atau langsung dengan definisi dari beberapa objek matematika. Seperti properti tambahan banyak. Masuk akal di sini untuk mengutip hanya beberapa dari mereka.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Setel keterhitungan

Penomoran bilangan rasional

Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu menemukan kardinalitas himpunannya. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu, menetapkan bijeksi antara himpunan rasional dan bilangan asli.

Yang paling sederhana dari algoritma ini adalah sebagai berikut. Sebuah tabel tak terbatas dari pecahan biasa dikompilasi, pada masing-masing saya-baris ke-th di masing-masing j kolom ke- merupakan pecahan. Untuk kepastian, diasumsikan bahwa baris dan kolom tabel ini diberi nomor dari satu. Sel tabel dilambangkan , di mana saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan j- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dikelola oleh "ular" sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan-aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi berikutnya dipilih oleh pertandingan pertama.

Dalam proses bypass seperti itu, setiap bilangan rasional baru ditetapkan ke bilangan asli berikutnya. Artinya, pecahan 1/1 diberi nomor 1, pecahan 2/1 - nomor 2, dll. Perlu dicatat bahwa hanya pecahan yang tidak dapat direduksi. Tanda formal tak dapat direduksi adalah persamaan dengan kesatuan dari pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut pecahan.

Mengikuti algoritma ini, seseorang dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Ini berarti himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif, cukup dengan menetapkan lawannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung oleh properti set yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan dari himpunan yang dapat dihitung dengan yang terbatas.

Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional dapat menyebabkan beberapa kebingungan, karena pada pandangan pertama orang mendapat kesan bahwa itu jauh lebih besar daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, ini bukan masalahnya, dan ada cukup banyak bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional.

Ketidakcukupan bilangan rasional

Hipotenusa segitiga seperti itu tidak dinyatakan oleh bilangan rasional apa pun

Bilangan rasional bentuk 1 / n pada umumnya n jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menciptakan kesan menyesatkan bahwa bilangan rasional dapat mengukur jarak geometris apa pun secara umum. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar.

Diketahui dari teorema Pythagoras bahwa sisi miring segitiga siku-siku dinyatakan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya. Itu. panjang sisi miring sama kaki segitiga siku-siku dengan satu kaki sama dengan, yaitu, angka yang kuadratnya 2.

Jika kita berasumsi bahwa bilangan tersebut diwakili oleh suatu bilangan rasional, maka ada bilangan bulat seperti itu m dan bilangan asli seperti itu n, yang, apalagi, pecahan tidak dapat direduksi, yaitu, angka m dan n adalah koprima.

Jika kemudian , yaitu m 2 = 2n 2. Oleh karena itu, bilangan m 2 genap, tetapi produk dari dua angka ganjil ganjil, yang berarti bilangan itu sendiri m juga jelas. Jadi ada bilangan asli k, sehingga bilangan m dapat direpresentasikan sebagai m = 2k. Kuadrat angka m Dalam arti ini m 2 = 4k 2 tetapi di sisi lain m 2 = 2n 2 artinya 4 k 2 = 2n 2 , atau n 2 = 2k 2. Seperti yang ditunjukkan sebelumnya untuk nomor m, yang berarti bilangan n- tepat seperti m. Tapi kemudian mereka bukan koprima, karena keduanya habis dibagi dua. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan bahwa bukan bilangan rasional.

Pada kata "pecahan" banyak yang merinding. Karena saya ingat sekolah dan tugas-tugas yang diselesaikan dalam matematika. Ini adalah kewajiban yang harus dipenuhi. Tetapi bagaimana jika kita memperlakukan tugas yang mengandung dan pecahan tak wajar bagaimana cara membuat teka-teki? Lagi pula, banyak orang dewasa memecahkan teka-teki silang digital dan Jepang. Pahami aturannya dan hanya itu. Sama disini. Seseorang hanya perlu mempelajari teorinya - dan semuanya akan jatuh pada tempatnya. Dan contoh akan berubah menjadi cara untuk melatih otak.

Apa saja jenis pecahan yang ada?

Mari kita mulai dengan apa itu. Pecahan adalah bilangan yang memiliki pecahan satu. Itu dapat ditulis dalam dua bentuk. Yang pertama disebut biasa. Artinya, salah satu yang memiliki stroke horizontal atau miring. Ini sama dengan tanda pembagian.

Dalam notasi seperti itu, angka di atas tanda pisah disebut pembilang, dan di bawahnya disebut penyebut.

Di antara pecahan biasa, pecahan benar dan salah dibedakan. Untuk yang pertama, pembilang modulo selalu lebih kecil dari penyebutnya. Yang salah disebut demikian karena memiliki kebalikannya. Nilai pecahan biasa selalu kurang dari satu. Sedangkan yang salah selalu lebih besar dari angka ini.

Ada juga bilangan campuran, yaitu yang memiliki bilangan bulat dan bagian pecahan.

Jenis catatan kedua adalah desimal. Tentang percakapannya yang terpisah.

Apa perbedaan antara pecahan biasa dan pecahan campuran?

Pada dasarnya, tidak ada. Ini hanya notasi yang berbeda dari nomor yang sama. Pecahan tak wajar setelah operasi sederhana dengan mudah menjadi bilangan campuran. Dan sebaliknya.

Itu semua tergantung pada situasi tertentu. Terkadang dalam tugas lebih mudah menggunakan pecahan yang tidak tepat. Dan terkadang perlu untuk menerjemahkannya menjadi nomor campuran dan kemudian contoh akan diselesaikan dengan sangat mudah. Karena itu, apa yang harus digunakan: pecahan yang tidak tepat, bilangan campuran - tergantung pada pengamatan pemecah masalah.

Bilangan campuran juga dibandingkan dengan jumlah bagian bilangan bulat dan bagian pecahan. Apalagi yang kedua selalu kurang dari satu.

Bagaimana cara menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa?

Jika Anda ingin melakukan beberapa tindakan dengan beberapa angka yang tertulis di jenis yang berbeda, maka Anda harus membuatnya sama. Salah satu caranya adalah dengan merepresentasikan bilangan sebagai pecahan biasa.

Untuk tujuan ini, Anda harus mengikuti algoritma berikut:

• kalikan penyebut dengan bagian bilangan bulat;
• tambahkan nilai pembilang ke hasil;
• tulis jawabannya di atas baris;
• biarkan penyebutnya sama.

Berikut adalah contoh cara menulis pecahan biasa dari pecahan campuran:

• 17 \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Bagaimana cara menulis pecahan biasa sebagai bilangan campuran?

Metode selanjutnya adalah kebalikan dari yang dibahas di atas. Yaitu, ketika semua bilangan campuran diganti dengan pecahan biasa. Algoritma tindakan akan menjadi sebagai berikut:

• membagi pembilang dengan penyebut untuk mendapatkan sisanya;
• tulis hasil bagi di tempat bagian bilangan bulat dari campuran;
• sisanya harus ditempatkan di atas garis;
• pembagi akan menjadi penyebut.

Contoh transformasi seperti itu:

76/14; 76:14 = 5 dengan sisa 6; jawabannya adalah 5 bilangan bulat dan 6/14; bagian pecahan dalam contoh ini perlu dikurangi dengan 2, Anda mendapatkan 3/7; jawaban akhirnya adalah 5 bilangan bulat 3/7.

108/54; setelah pembagian, hasil bagi 2 diperoleh tanpa sisa; ini berarti bahwa tidak semua pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran; jawabannya adalah bilangan bulat - 2.

Bagaimana cara mengubah bilangan bulat menjadi pecahan biasa?

Ada situasi di mana tindakan seperti itu diperlukan. Untuk mendapatkan pecahan biasa dengan penyebut yang telah ditentukan, Anda perlu melakukan algoritme berikut:

• kalikan bilangan bulat dengan penyebut yang diinginkan;
• tulis nilai ini di atas garis;
• letakkan penyebut di bawahnya.

Pilihan paling sederhana adalah ketika penyebutnya sama dengan satu. Maka tidak perlu berlipat ganda. Cukup dengan menulis bilangan bulat, yang diberikan dalam contoh, dan menempatkan unit di bawah garis.

Contoh: Jadikan 5 pecahan biasa dengan penyebut 3. Setelah dikalikan 5 dengan 3, diperoleh 15. Angka ini akan menjadi penyebutnya. Jawaban dari tugas tersebut adalah pecahan: 15/3.

Dua pendekatan untuk menyelesaikan tugas dengan angka yang berbeda

Dalam contoh, diperlukan untuk menghitung jumlah dan selisih, serta produk dan hasil bagi dua angka: 2 bilangan bulat 3/5 dan 14/11.

Dalam pendekatan pertama bilangan campuran akan direpresentasikan sebagai pecahan biasa.

Setelah melakukan langkah-langkah yang dijelaskan di atas, Anda mendapatkan nilai berikut: 13/5.

Untuk mencari jumlah, Anda perlu mengubah pecahan menjadi penyebut yang sama. 13/5 dikalikan 11 menjadi 143/55. Dan 14/11 setelah dikalikan 5 akan berbentuk: 70/55. Untuk menghitung jumlahnya, Anda hanya perlu menjumlahkan pembilangnya: 143 dan 70, lalu tuliskan jawabannya dengan satu penyebut. 213/55 - pecahan tak wajar ini adalah jawaban dari soal.

Saat mencari selisihnya, bilangan yang sama ini dikurangi: 143 - 70 = 73. Jawabannya adalah pecahan: 73/55.

Saat mengalikan 13/5 dan 14/11, Anda tidak perlu mengarah ke faktor persekutuan. Cukup kalikan pembilang dan penyebutnya secara berpasangan. Jawabannya adalah: 182/55.

Begitu juga dengan divisi. Untuk keputusan tepat anda perlu mengganti pembagian dengan perkalian dan membalik pembagi: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Dalam pendekatan kedua Pecahan tak wajar menjadi bilangan campuran.

Setelah melakukan tindakan algoritme, 14/11 akan berubah menjadi angka campuran dengan seluruh bagian 1 dan pecahan 3/11.

Saat menghitung jumlah, Anda perlu menambahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara terpisah. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Jawaban akhirnya adalah 3 bulat 48/55. Pada pendekatan pertama ada pecahan 213/55. Anda dapat memeriksa kebenarannya dengan mengubahnya menjadi angka campuran. Setelah membagi 213 dengan 55, hasil bagi adalah 3 dan sisanya adalah 48. Sangat mudah untuk melihat bahwa jawabannya benar.

Saat mengurangkan, tanda "+" diganti dengan "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Untuk memeriksa jawaban dari pendekatan sebelumnya, Anda perlu mengubahnya menjadi bilangan campuran: 73 dibagi 55 dan Anda mendapatkan hasil bagi 1 dan sisa 18.

Untuk menemukan produk dan hasil bagi, tidak nyaman menggunakan angka campuran. Di sini selalu disarankan untuk beralih ke pecahan biasa.

Pecahan dalam matematika, bilangan yang terdiri dari satu atau lebih bagian (pecahan) dari suatu satuan. Pecahan adalah bagian dari bidang bilangan rasional. Pecahan dibagi menjadi 2 format menurut cara penulisannya: biasa Baik dan desimal .

Pembilang pecahan- angka yang menunjukkan jumlah bagian yang diambil (terletak di bagian atas pecahan - di atas garis). penyebut pecahan- angka yang menunjukkan berapa banyak bagian unit dibagi (terletak di bawah garis - di bagian bawah). , pada gilirannya, dibagi menjadi: benar dan salah, Campuran dan gabungan berkaitan erat dengan satuan pengukuran. 1 meter berisi 100 cm, artinya 1 m dibagi menjadi 100 bagian yang sama. Jadi, 1 cm = 1/100 m (satu sentimeter sama dengan seperseratus meter).

atau 3/5 (tiga perlima), di sini 3 adalah pembilangnya, 5 adalah penyebutnya. Jika pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka pecahannya lebih kecil dari satu dan disebut benar:

Jika pembilangnya sama dengan penyebutnya, pecahan sama dengan satu. Jika pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka pecahannya lebih besar dari satu. di keduanya kasus baru-baru ini pecahan disebut salah:

Untuk mengisolasi bilangan bulat terbesar yang terdapat dalam pecahan biasa, Anda perlu membagi pembilangnya dengan penyebutnya. Jika pembagian dilakukan tanpa sisa, maka pecahan tak wajar yang diambil sama dengan hasil bagi:

Jika pembagian dilakukan dengan sisa, maka hasil bagi (tidak lengkap) memberikan bilangan bulat yang diinginkan, sisanya menjadi pembilang bagian pecahan; penyebut bagian pecahan tetap sama.

Bilangan yang terdiri dari bilangan bulat dan bagian pecahan disebut Campuran. Pecahan nomor campuran mungkin fraksi yang tidak tepat. Kemudian dimungkinkan untuk mengekstrak bilangan bulat terbesar dari bagian pecahan dan mewakili bilangan campuran sedemikian rupa sehingga bagian pecahan menjadi pecahan biasa (atau hilang sama sekali).

Artikel ini adalah tentang pecahan biasa. Di sini kita akan berkenalan dengan konsep pecahan dari keseluruhan, yang akan membawa kita ke definisi pecahan biasa. Selanjutnya, kita akan membahas notasi yang diterima untuk pecahan biasa dan memberikan contoh pecahan, katakanlah tentang pembilang dan penyebut pecahan. Setelah itu, kami memberikan definisi benar dan salah, positif dan pecahan negatif, dan juga mempertimbangkan posisi bilangan pecahan pada balok koordinat. Sebagai kesimpulan, kami mencantumkan tindakan utama dengan pecahan.

Navigasi halaman.

Bagian dari keseluruhan

Pertama kami perkenalkan berbagi konsep.

Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki beberapa objek yang terdiri dari beberapa bagian yang benar-benar identik (yaitu, sama). Untuk kejelasan, Anda dapat membayangkan, misalnya, sebuah apel dipotong menjadi beberapa bagian yang sama, atau jeruk, terdiri dari beberapa irisan yang sama. Masing-masing bagian yang sama yang membentuk keseluruhan benda disebut bagian dari keseluruhan atau hanya berbagi.

Perhatikan bahwa sahamnya berbeda. Mari kita jelaskan ini. Katakanlah kita memiliki dua apel. Mari kita potong apel pertama menjadi dua bagian yang sama, dan apel kedua menjadi 6 bagian yang sama. Jelas bahwa bagian apel pertama akan berbeda dengan bagian apel kedua.

Tergantung pada jumlah bagian yang membentuk keseluruhan objek, bagian ini memiliki nama sendiri. Mari kita analisis berbagi nama. Jika objek terdiri dari dua bagian, salah satunya disebut satu bagian kedua dari keseluruhan objek; jika objek terdiri dari tiga bagian, maka salah satunya disebut sepertiga bagian, dan seterusnya.

Satu ketukan detik memiliki nama khusus - setengah. Sepertiga disebut ketiga, dan satu empat kali lipat - perempat.

Untuk singkatnya, berikut ini berbagi sebutan. Satu bagian kedua ditetapkan sebagai atau 1/2, sepertiga bagian - sebagai atau 1/3; seperempat bagian - suka atau 1/4, dan seterusnya. Perhatikan bahwa notasi dengan batang horizontal lebih sering digunakan. Untuk mengkonsolidasikan materi, mari berikan satu contoh lagi: entri menunjukkan seratus enam puluh tujuh dari keseluruhan.

Konsep bagian secara alami meluas dari objek ke besaran. Misalnya, salah satu ukuran panjang adalah meteran. Untuk mengukur panjang kurang dari satu meter, pecahan meter dapat digunakan. Jadi Anda dapat menggunakan, misalnya, setengah meter atau sepersepuluh atau seperseribu meter. Bagian dari kuantitas lain diterapkan dengan cara yang sama.

Pecahan biasa, definisi dan contoh pecahan

Untuk menggambarkan jumlah saham digunakan pecahan biasa. Mari kita beri contoh yang memungkinkan kita mendekati definisi pecahan biasa.

Biarkan jeruk terdiri dari 12 bagian. Setiap bagian dalam hal ini mewakili satu per dua belas dari seluruh jeruk, yaitu . Mari kita nyatakan dua ketukan sebagai , tiga ketukan sebagai , dan seterusnya, 12 ketukan sebagai . Masing-masing entri ini disebut pecahan biasa.

Sekarang mari kita berikan seorang jenderal definisi pecahan biasa.

Definisi pecahan biasa yang disuarakan memungkinkan kita untuk membawa contoh pecahan biasa: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Dan inilah catatannya tidak sesuai dengan definisi pecahan biasa yang disuarakan, yaitu, mereka bukan pecahan biasa.

Pembilang dan penyebut

Untuk memudahkan, dalam pecahan biasa kita bedakan pembilang dan penyebut.

Definisi.

Pembilang pecahan biasa (m/n) adalah bilangan asli m.

Definisi.

Penyebut pecahan biasa (m/n) adalah bilangan asli n.

Jadi, pembilangnya terletak di atas bilah pecahan (di sebelah kiri garis miring), dan penyebutnya berada di bawah bilah pecahan (di sebelah kanan garis miring). Sebagai contoh, mari kita ambil pecahan biasa 17/29, pembilang pecahan ini adalah angka 17, dan penyebutnya adalah angka 29.

Masih membahas makna yang terkandung dalam pembilang dan penyebut pecahan biasa. Penyebut pecahan menunjukkan berapa banyak bagian yang terdiri dari satu item, pembilangnya, pada gilirannya, menunjukkan jumlah bagian tersebut. Misalnya, penyebut 5 dari pecahan 12/5 berarti satu benda terdiri dari lima bagian, dan pembilang 12 berarti diambil 12 bagian tersebut.

Bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1

Penyebut pecahan biasa bisa sama dengan satu. Dalam hal ini, kita dapat berasumsi bahwa objek tidak dapat dibagi, dengan kata lain, itu adalah sesuatu yang utuh. Pembilang pecahan seperti itu menunjukkan berapa banyak item yang diambil. Dengan demikian, pecahan biasa dari bentuk m/1 memiliki arti bilangan asli m . Ini adalah bagaimana kami membuktikan persamaan m/1=m .

Mari kita tulis ulang persamaan terakhir seperti ini: m=m/1 . Persamaan ini memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan asli m sebagai pecahan biasa. Misalnya, angka 4 adalah pecahan 4/1, dan angka 103498 adalah pecahan 103498/1.

Jadi, setiap bilangan asli m dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa dengan penyebut 1 sebagai m/1 , dan setiap pecahan biasa berbentuk m/1 dapat diganti dengan bilangan asli m.

Bilah pecahan sebagai tanda pembagian

Representasi objek asli dalam bentuk n bagian tidak lebih dari pembagian menjadi n bagian yang sama. Setelah item dibagi menjadi n bagian, kita dapat membaginya secara merata di antara n orang - masing-masing akan menerima satu bagian.

Jika kita awalnya memiliki m barang identik, yang masing-masing dibagi menjadi n bagian, maka kita dapat membagi m objek ini secara merata di antara n orang, memberikan setiap orang satu bagian dari masing-masing m objek. Dalam hal ini, setiap orang akan memiliki m bagian 1/n, dan m bagian 1/n memberikan pecahan biasa m/n. Jadi, pecahan biasa m/n dapat digunakan untuk menyatakan pembagian m item di antara n orang.

Jadi kami mendapatkan hubungan eksplisit antara pecahan biasa dan pembagian (lihat gagasan umum tentang pembagian bilangan asli). Hubungan ini dinyatakan sebagai berikut: Bilah pecahan dapat dipahami sebagai tanda pembagian, yaitu, m/n=m:n.

Dengan bantuan pecahan biasa, Anda dapat menulis hasil pembagian dua bilangan asli yang pembagiannya tidak dilakukan oleh bilangan bulat. Misalnya, hasil membagi 5 apel dengan 8 orang dapat ditulis sebagai 5/8, yaitu masing-masing akan mendapatkan lima per delapan apel: 5:8=5/8.

Pecahan biasa yang sama dan tidak sama, perbandingan pecahan

Cukup tindakan alami adalah perbandingan pecahan biasa, karena jelas bahwa 1/12 buah jeruk berbeda dengan 5/12, dan 1/6 buah apel sama dengan 1/6 buah apel lainnya.

Sebagai hasil dari membandingkan dua pecahan biasa, salah satu hasil diperoleh: pecahan sama atau tidak sama. Dalam kasus pertama kita memiliki pecahan biasa yang sama, dan yang kedua pecahan biasa yang tidak sama. Mari kita berikan definisi pecahan biasa yang sama dan tidak sama.

Definisi.

setara, jika persamaan a d=b c benar.

Definisi.

Dua pecahan biasa a/b dan c/d tidak sama, jika persamaan a d=b c tidak terpenuhi.

Berikut adalah beberapa contoh pecahan yang sama. Misalnya, pecahan biasa 1/2 sama dengan pecahan 2/4, karena 1 4=2 2 (jika perlu, lihat aturan dan contoh perkalian bilangan asli). Untuk kejelasan, Anda dapat membayangkan dua apel identik, yang pertama dipotong menjadi dua, dan yang kedua - menjadi 4 bagian. Jelaslah bahwa dua perempat apel adalah 1/2 bagian. Contoh lain dari pecahan biasa yang sama adalah pecahan 4/7 dan 36/63, serta pasangan pecahan 81/50 dan 1620/1000.

Dan pecahan biasa 4/13 dan 5/14 tidak sama, karena 4 14=56, dan 13 5=65, yaitu, 4 14≠13 5. Contoh lain dari pecahan biasa yang tidak sama adalah pecahan 17/7 dan 6/4.

Jika, ketika membandingkan dua pecahan biasa, ternyata tidak sama, maka Anda mungkin perlu mencari tahu pecahan biasa mana yang lebih kecil lain, dan yang lagi. Untuk mengetahuinya digunakan aturan perbandingan pecahan biasa yang intinya adalah membawa pecahan yang dibandingkan ke penyebut yang sama kemudian membandingkan pembilangnya. Informasi rinci tentang topik ini dikumpulkan dalam artikel perbandingan pecahan: aturan, contoh, solusi.

bilangan pecahan

Setiap pecahan adalah rekor bilangan pecahan. Artinya, pecahan hanyalah "kulit" dari bilangan pecahan, itu penampilan, dan semua beban semantik terkandung dalam bilangan pecahan. Namun, untuk singkatnya dan kenyamanan, konsep pecahan dan bilangan pecahan digabungkan dan disebut pecahan. Di sini tepat untuk memparafrasekan pepatah terkenal: kami mengatakan pecahan - maksud kami bilangan pecahan, kami mengatakan bilangan pecahan - yang kami maksud adalah pecahan.

Pecahan pada balok koordinat

Semua bilangan pecahan yang sesuai dengan pecahan biasa memilikinya sendiri tempat yang unik pada , yaitu, ada korespondensi satu-satu antara pecahan dan titik-titik dari sinar koordinat.

Untuk mencapai titik yang sesuai dengan fraksi m / n pada sinar koordinat, perlu untuk menunda m segmen dari titik asal ke arah positif, yang panjangnya 1 / n unit segmen. Segmen tersebut dapat diperoleh dengan membagi satu segmen menjadi n bagian yang sama, yang selalu dapat dilakukan dengan menggunakan kompas dan penggaris.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan titik M pada sinar koordinat, yang sesuai dengan pecahan 14/10. Panjang ruas dengan ujung di titik O dan titik terdekatnya yang ditandai dengan garis kecil adalah 1/10 dari satuan ruas. Titik dengan koordinat 14/10 dihilangkan dari titik asal oleh 14 segmen tersebut.

Pecahan yang sama bersesuaian dengan bilangan pecahan yang sama, yaitu pecahan sama adalah koordinat titik yang sama pada sinar koordinat. Misalnya, satu titik sesuai dengan koordinat 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 pada sinar koordinat, karena semua pecahan yang ditulis adalah sama (terletak pada jarak setengah segmen satuan, diletakkan dari titik asal ke arah positif).

Pada sinar koordinat horizontal dan lurus, titik yang koordinatnya adalah pecahan besar, terletak di sebelah kanan titik yang koordinatnya merupakan pecahan terkecil. Demikian pula titik dengan koordinat yang lebih kecil terletak di sebelah kiri titik dengan koordinat yang lebih besar.

Pecahan yang tepat dan tidak tepat, definisi, contoh

Di antara pecahan biasa, ada pecahan wajar dan pecahan tak wajar. Pembagian ini pada dasarnya memiliki perbandingan pembilang dan penyebut.

Mari kita berikan definisi tentang pecahan biasa biasa dan tidak wajar.

Definisi.

pecahan biasa adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, yaitu jika m

Definisi.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya, yaitu jika m≥n, maka pecahan biasa tersebut tidak wajar.

Berikut adalah beberapa contoh pecahan biasa: 1/4 , , 32 765/909 003 . Memang, di setiap pecahan biasa yang ditulis, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya (jika perlu, lihat artikel perbandingan bilangan asli), jadi menurut definisinya benar.

Dan berikut adalah contoh pecahan biasa: 9/9, 23/4,. Memang, pembilang dari pecahan biasa yang pertama ditulis sama dengan penyebutnya, dan pada pecahan yang tersisa pembilangnya lebih besar dari penyebutnya.

Ada juga definisi pecahan biasa dan pecahan biasa berdasarkan perbandingan pecahan dengan satu.

Definisi.

benar jika kurang dari satu.

Definisi.

Pecahan biasa disebut salah, jika sama dengan satu atau lebih besar dari 1 .

Jadi pecahan biasa 7/11 benar, karena 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , dan 27/27=1 .

Mari kita pikirkan bagaimana pecahan biasa dengan pembilang lebih besar dari atau sama dengan penyebutnya layak mendapatkan nama seperti itu - "salah".

Mari kita ambil pecahan biasa 9/9 sebagai contoh. Pecahan ini berarti bahwa sembilan bagian dari suatu objek diambil, yang terdiri dari sembilan bagian. Artinya, dari sembilan saham yang tersedia, kita bisa membuat satu topik utuh. Artinya, pecahan tak wajar 9/9 pada dasarnya memberikan benda utuh, yaitu 9/9=1. Secara umum, pecahan biasa dengan pembilang sama dengan penyebut menunjukkan satu benda utuh, dan pecahan semacam itu dapat diganti dengan bilangan asli 1.

Sekarang perhatikan pecahan biasa 7/3 dan 12/4. Cukup jelas bahwa dari tujuh pertiga ini kita dapat membuat dua objek utuh (satu objek utuh adalah 3 bagian, kemudian untuk menyusun dua objek utuh kita membutuhkan 3 + 3 = 6 bagian) dan masih akan ada sepertiga bagian. Artinya, pecahan biasa 7/3 pada dasarnya berarti 2 item dan bahkan 1/3 bagian dari item tersebut. Dan dari dua belas perempat kita dapat membuat tiga objek utuh (tiga objek dengan masing-masing empat bagian). Artinya, pecahan 12/4 pada dasarnya berarti 3 benda utuh.

Contoh yang dipertimbangkan membawa kita pada kesimpulan berikut: pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli, ketika pembilang dibagi seluruhnya dengan penyebut (misalnya, 9/9=1 dan 12/4=3), atau jumlah dari bilangan asli dan pecahan biasa, jika pembilangnya tidak habis dibagi oleh penyebutnya (misalnya, 7/3=2+1/3 ). Mungkin inilah tepatnya pecahan yang tidak pantas mendapatkan nama seperti itu - "salah".

Yang menarik adalah representasi dari pecahan biasa sebagai jumlah bilangan asli dan pecahan biasa (7/3=2+1/3). Proses ini disebut ekstraksi bagian bilangan bulat dari pecahan tak wajar, dan memerlukan pertimbangan tersendiri dan lebih hati-hati.

Perlu juga dicatat bahwa ada hubungan yang sangat erat antara pecahan biasa dan bilangan campuran.

pecahan positif dan negatif

Setiap pecahan biasa sesuai dengan bilangan pecahan positif (lihat artikel bilangan positif dan negatif). Artinya, pecahan biasa adalah pecahan positif. Misalnya, pecahan biasa 1/5, 56/18, 35/144 adalah pecahan positif. Ketika perlu untuk menekankan kepositifan suatu pecahan, maka tanda plus ditempatkan di depannya, misalnya, +3/4, +72/34.

Jika Anda meletakkan tanda minus di depan pecahan biasa, maka entri ini akan sesuai dengan bilangan pecahan negatif. Dalam hal ini, seseorang dapat berbicara tentang pecahan negatif. Berikut adalah beberapa contoh pecahan negatif: 6/10 , 65/13 , 1/18 .

Pecahan positif dan negatif m/n dan m/n adalah bilangan berlawanan. Misalnya, pecahan 5/7 dan 5/7 adalah pecahan yang berlawanan.

Pecahan positif, seperti bilangan positif pada umumnya, menunjukkan peningkatan, pendapatan, perubahan beberapa nilai ke atas, dll. Pecahan negatif sesuai dengan biaya, hutang, perubahan nilai apa pun ke arah penurunan. Misalnya, pecahan negatif -3/4 dapat diartikan sebagai hutang, yang nilainya 3/4.

Pada pecahan negatif berarah horizontal dan kanan terletak di sebelah kiri titik acuan. Titik-titik garis koordinat yang koordinatnya merupakan pecahan positif m/n dan pecahan negatif m/n terletak pada jarak yang sama dari titik asal, tetapi pada sisi yang berlawanan dari titik O .

Di sini perlu disebutkan pecahan dalam bentuk 0/n. Pecahan ini sama dengan angka nol, yaitu 0/n=0 .

Pecahan positif, pecahan negatif, dan pecahan 0/n bergabung membentuk bilangan rasional.

Tindakan dengan pecahan

Satu tindakan dengan pecahan biasa - membandingkan pecahan - telah kami pertimbangkan di atas. Empat aritmatika lagi didefinisikan operasi pecahan- penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pecahan. Mari kita bahas masing-masing.

Esensi umum dari tindakan dengan pecahan mirip dengan esensi dari tindakan yang sesuai dengan bilangan asli. Mari kita menggambar analogi.

Perkalian pecahan dapat dianggap sebagai tindakan di mana pecahan ditemukan dari pecahan. Untuk memperjelas, mari kita ambil contoh. Misalkan kita memiliki 1/6 apel dan kita perlu mengambil 2/3 darinya. Bagian yang kita butuhkan adalah hasil perkalian pecahan 1/6 dan 2/3. Hasil perkalian dua pecahan biasa adalah pecahan biasa (yang dalam kasus tertentu sama dengan bilangan asli). Selanjutnya kami sarankan untuk mempelajari informasi artikel perkalian pecahan - aturan, contoh, dan solusi.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: buku teks untuk 5 sel. institusi pendidikan.
• Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Pada kata "pecahan" banyak yang merinding. Karena saya ingat sekolah dan tugas-tugas yang diselesaikan dalam matematika. Ini adalah kewajiban yang harus dipenuhi. Tetapi bagaimana jika kita memperlakukan tugas yang mengandung pecahan wajar dan pecahan biasa sebagai teka-teki? Lagi pula, banyak orang dewasa memecahkan teka-teki silang digital dan Jepang. Pahami aturannya dan hanya itu. Sama disini. Seseorang hanya perlu mempelajari teorinya - dan semuanya akan jatuh pada tempatnya. Dan contoh akan berubah menjadi cara untuk melatih otak.

Apa saja jenis pecahan yang ada?

Mari kita mulai dengan apa itu. Pecahan adalah bilangan yang memiliki pecahan satu. Itu dapat ditulis dalam dua bentuk. Yang pertama disebut biasa. Artinya, salah satu yang memiliki stroke horizontal atau miring. Ini sama dengan tanda pembagian.

Dalam notasi seperti itu, angka di atas tanda pisah disebut pembilang, dan di bawahnya disebut penyebut.

Di antara pecahan biasa, pecahan benar dan salah dibedakan. Untuk yang pertama, pembilang modulo selalu lebih kecil dari penyebutnya. Yang salah disebut demikian karena memiliki kebalikannya. Nilai pecahan biasa selalu kurang dari satu. Sedangkan yang salah selalu lebih besar dari angka ini.

Ada juga bilangan campuran, yaitu yang memiliki bilangan bulat dan bagian pecahan.

Jenis notasi kedua adalah desimal. Tentang percakapannya yang terpisah.

Apa perbedaan antara pecahan biasa dan pecahan campuran?

Pada dasarnya, tidak ada. Ini hanya notasi yang berbeda dari nomor yang sama. Pecahan tak wajar setelah operasi sederhana dengan mudah menjadi bilangan campuran. Dan sebaliknya.

Itu semua tergantung pada situasi spesifik. Terkadang dalam tugas lebih mudah menggunakan pecahan yang tidak tepat. Dan terkadang perlu untuk menerjemahkannya ke dalam angka campuran, dan kemudian contoh akan diselesaikan dengan sangat mudah. Karena itu, apa yang harus digunakan: pecahan yang tidak tepat, bilangan campuran - tergantung pada pengamatan pemecah masalah.

Bilangan campuran juga dibandingkan dengan jumlah bagian bilangan bulat dan bagian pecahan. Apalagi yang kedua selalu kurang dari satu.

Bagaimana cara menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa?

Jika Anda ingin melakukan beberapa tindakan dengan beberapa angka yang ditulis dalam bentuk yang berbeda, maka Anda harus membuatnya sama. Salah satu caranya adalah dengan merepresentasikan bilangan sebagai pecahan biasa.

Untuk tujuan ini, Anda harus mengikuti algoritma berikut:

• kalikan penyebut dengan bagian bilangan bulat;
• tambahkan nilai pembilang ke hasil;
• tulis jawabannya di atas baris;
• biarkan penyebutnya sama.

Berikut adalah contoh cara menulis pecahan biasa dari pecahan campuran:

• 17 \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Bagaimana cara menulis pecahan biasa sebagai bilangan campuran?

Metode selanjutnya adalah kebalikan dari yang dibahas di atas. Yaitu, ketika semua bilangan campuran diganti dengan pecahan biasa. Algoritma tindakan akan menjadi sebagai berikut:

• membagi pembilang dengan penyebut untuk mendapatkan sisanya;
• tulis hasil bagi di tempat bagian bilangan bulat dari campuran;
• sisanya harus ditempatkan di atas garis;
• pembagi akan menjadi penyebut.

Contoh transformasi seperti itu:

76/14; 76:14 = 5 dengan sisa 6; jawabannya adalah 5 bilangan bulat dan 6/14; bagian pecahan dalam contoh ini perlu dikurangi dengan 2, Anda mendapatkan 3/7; jawaban akhirnya adalah 5 bilangan bulat 3/7.

108/54; setelah pembagian, hasil bagi 2 diperoleh tanpa sisa; ini berarti bahwa tidak semua pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran; jawabannya adalah bilangan bulat - 2.

Bagaimana cara mengubah bilangan bulat menjadi pecahan biasa?

Ada situasi di mana tindakan seperti itu diperlukan. Untuk mendapatkan pecahan biasa dengan penyebut yang telah ditentukan, Anda perlu melakukan algoritme berikut:

• kalikan bilangan bulat dengan penyebut yang diinginkan;
• tulis nilai ini di atas garis;
• letakkan penyebut di bawahnya.

Pilihan paling sederhana adalah ketika penyebutnya sama dengan satu. Maka tidak perlu berlipat ganda. Cukup dengan menulis bilangan bulat, yang diberikan dalam contoh, dan menempatkan unit di bawah garis.

Contoh: Jadikan 5 pecahan biasa dengan penyebut 3. Setelah dikalikan 5 dengan 3, diperoleh 15. Angka ini akan menjadi penyebutnya. Jawaban dari tugas tersebut adalah pecahan: 15/3.

Dua pendekatan untuk menyelesaikan tugas dengan angka yang berbeda

Dalam contoh, diperlukan untuk menghitung jumlah dan selisih, serta produk dan hasil bagi dua angka: 2 bilangan bulat 3/5 dan 14/11.

Dalam pendekatan pertama bilangan campuran akan direpresentasikan sebagai pecahan biasa.

Setelah melakukan langkah-langkah yang dijelaskan di atas, Anda mendapatkan nilai berikut: 13/5.

Untuk mengetahui jumlah, Anda perlu mengurangi pecahan dengan penyebut yang sama. 13/5 dikalikan 11 menjadi 143/55. Dan 14/11 setelah dikalikan 5 akan berbentuk: 70/55. Untuk menghitung jumlahnya, Anda hanya perlu menjumlahkan pembilangnya: 143 dan 70, lalu tuliskan jawabannya dengan satu penyebut. 213/55 - pecahan tak wajar ini adalah jawaban dari soal.

Saat mencari selisihnya, bilangan yang sama ini dikurangi: 143 - 70 = 73. Jawabannya adalah pecahan: 73/55.

Saat mengalikan 13/5 dan 14/11, Anda tidak perlu mengurangi ke penyebut yang sama. Cukup kalikan pembilang dan penyebutnya secara berpasangan. Jawabannya adalah: 182/55.

Begitu juga dengan divisi. Untuk solusi yang benar, Anda perlu mengganti pembagian dengan perkalian dan membalik pembagi: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Dalam pendekatan kedua Pecahan tak wajar menjadi bilangan campuran.

Setelah melakukan tindakan algoritme, 14/11 akan berubah menjadi bilangan campuran dengan bagian bilangan bulat 1 dan bagian pecahan 3/11.

Saat menghitung jumlah, Anda perlu menambahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara terpisah. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Jawaban akhirnya adalah 3 bulat 48/55. Pada pendekatan pertama ada pecahan 213/55. Anda dapat memeriksa kebenarannya dengan mengubahnya menjadi angka campuran. Setelah membagi 213 dengan 55, hasil bagi adalah 3 dan sisanya adalah 48. Sangat mudah untuk melihat bahwa jawabannya benar.

Saat mengurangkan, tanda "+" diganti dengan "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Untuk memeriksa jawaban dari pendekatan sebelumnya, Anda perlu mengubahnya menjadi bilangan campuran: 73 dibagi 55 dan Anda mendapatkan hasil bagi 1 dan sisa 18.

Untuk menemukan produk dan hasil bagi, tidak nyaman menggunakan angka campuran. Di sini selalu disarankan untuk beralih ke pecahan biasa.