Di dunia modern, matematika menjadi semakin menjadi salah satu alat penting bagi pengetahuan manusia tentang dunia di sekitarnya. Matematika adalah metode utama penelitian teoretis dan alat praktis dalam ilmu pengetahuan dan teknologi alam, tanpa matematika sama sekali tidak mungkin untuk melakukan perhitungan ilmiah dan rekayasa yang serius. Tidak heran pendiri filsafat klasik Jerman Immanuel Kant (1742 - 1804) berpendapat bahwa "dalam setiap individu" ilmu pengetahuan Alam seseorang dapat menemukan sains yang tepat hanya sejauh seseorang dapat menemukan matematika di dalamnya. Matematika, sebagai ilmu, muncul sehubungan dengan kebutuhan untuk memecahkan masalah praktis: pengukuran di darat, navigasi, dll. Akibatnya, matematika selalu menjadi matematika numerik, tujuannya adalah untuk mendapatkan solusi masalah dalam bentuk angka. Penciptaan komputer memberikan dorongan baru untuk pengembangan matematika, disiplin baru muncul - "ekonomi matematika", "kimia matematika", "linguistik matematika", dll. Konsep "pemodelan matematika" muncul. Kata " model"berasal dari bahasa latin mode(salinan, gambar, garis besar). Pemodelan adalah penggantian beberapa objek A (asli) dengan objek lain B (model).

Model matematika adalah deskripsi realitas yang disederhanakan menggunakan konsep matematika. Pemodelan matematika - proses membangun dan belajar model matematika proses dan fenomena nyata, yaitu metode mempelajari objek dan proses dunia nyata dengan bantuan deskripsi perkiraan mereka dalam bahasa matematika - model matematika. Ilmuwan terbesar di masa lalu menggabungkan dalam karya-karya mereka baik konstruksi deskripsi matematis dari fenomena alam (model matematika) dan penelitiannya. Analisis model yang rumit membutuhkan pembuatan yang baru, sebagai suatu peraturan, metode numerik penyelesaian masalah.

Akademisi A.A. Samarsky dianggap sebagai pendiri pemodelan matematika domestik. Dia mengungkapkan metodologi pemodelan matematika oleh triad yang terkenal « model– algoritma– program».

Tahap 1. Model. Model objek yang diteliti dipilih atau dibangun, yang mencerminkan sifat terpentingnya dalam bentuk matematika. Biasanya model matematika proses nyata cukup kompleks dan mencakup sistem persamaan diferensial fungsional nonlinier. Inti dari model matematika, sebagai suatu peraturan, adalah persamaan dengan turunan parsial. Untuk memperoleh pengetahuan awal tentang objek, model yang dibangun dipelajari dengan alat analisis tradisional matematika terapan.

panggung. algoritma. Algoritma komputasi dipilih atau dikembangkan untuk mengimplementasikan model yang dibangun pada komputer, yang tidak boleh mengubah sifat dasar model, harus dapat disesuaikan dengan fitur tugas yang diselesaikan dan alat komputasi yang digunakan. Model matematika yang dibangun sedang dipelajari dengan metode matematika komputasi.

Tahap 3. Program. Perangkat lunak sedang dibuat untuk mengimplementasikan model dan algoritma pada komputer. Produk perangkat lunak yang dibuat harus memperhitungkan spesifikasi paling penting dari pemodelan matematika, yang terkait dengan kebutuhan untuk menggunakan satu set model matematika dan multivarian perhitungan. Akibatnya, peneliti menerima alat universal, fleksibel, dan murah, yang pertama kali di-debug, diuji, dan dikalibrasi pada solusi himpunan. tugas percobaan. Kemudian studi model matematika skala besar dilakukan untuk mendapatkan sifat dan karakteristik kualitatif dan kuantitatif yang diperlukan dari objek yang diteliti. Metodologi yang diusulkan telah dikembangkan dalam bentuk teknologi " eksperimen komputasi ". Eksperimen komputasi adalah teknologi informasi yang dirancang untuk mempelajari fenomena dunia sekitarnya, ketika eksperimen skala penuh tidak mungkin dilakukan (misalnya, saat mempelajari kesehatan manusia), atau terlalu berbahaya (misalnya, saat mempelajari fenomena lingkungan), atau terlalu mahal dan rumit (misalnya, saat mempelajari fenomena astrofisika). Aplikasi luas Komputer dalam pemodelan matematika, teori yang dikembangkan dan hasil praktis yang signifikan memungkinkan kita untuk berbicara tentang eksperimen komputasi sebagai: teknologi baru dan metodologi penelitian ilmiah dan praktis. Pengenalan serius dari eksperimen komputasi ke dalam kegiatan rekayasa belum terlalu luas, tetapi di mana itu benar-benar terjadi (dalam industri penerbangan dan ruang angkasa), buahnya sangat signifikan. Mari kita perhatikan beberapa keuntungan dari eksperimen komputasi dibandingkan dengan eksperimen alami. Eksperimen komputasi, sebagai suatu peraturan, lebih murah daripada eksperimen fisik. Eksperimen ini dapat dengan mudah dan aman dirusak. Itu dapat diulang lagi jika perlu, dan terputus kapan saja. Selama eksperimen ini, Anda dapat mensimulasikan kondisi yang tidak dapat dibuat di laboratorium. Dalam beberapa kasus, melakukan eksperimen skala penuh itu sulit, dan terkadang bahkan tidak mungkin. Seringkali, eksperimen alam skala penuh dikaitkan dengan konsekuensi bencana atau tak terduga (perang nuklir, aliran sungai Siberia) atau bahaya bagi kehidupan atau kesehatan manusia. Hal ini sering diperlukan untuk mempelajari dan memprediksi fenomena bencana (kecelakaan) reaktor nuklir Pembangkit Listrik Tenaga Nuklir, pemanasan global atau pendinginan iklim, tsunami, gempa bumi). Dalam kasus ini, eksperimen komputasi dapat menjadi sarana utama penelitian. Dengan bantuannya, dimungkinkan untuk memprediksi sifat-sifat struktur dan bahan baru yang belum dibuat pada tahap desainnya. Pada saat yang sama, harus diingat bahwa penerapan hasil eksperimen komputasi dibatasi oleh kerangka model matematika yang diterima. Tidak seperti studi alami, eksperimen komputasi memungkinkan seseorang untuk mengumpulkan hasil yang diperoleh dalam studi berbagai masalah tertentu, dan kemudian secara efektif menerapkannya untuk memecahkan masalah di bidang lain. Misalnya, persamaan panas nonlinier tidak hanya menjelaskan proses termal, tetapi juga difusi materi, pergerakan air tanah, filtrasi gas dalam media berpori. Hanya makna fisik dari besaran yang termasuk dalam persamaan ini yang berubah. Setelah tahap pertama percobaan komputasi, mungkin perlu untuk memperbaiki model. Pada tahap kedua, efek dan koneksi tambahan dalam fenomena yang diteliti diperhitungkan, atau menjadi perlu untuk mengabaikan beberapa keteraturan dan koneksi. Kemudian proses ini diulang sampai kita yakin bahwa model tersebut memadai untuk objek yang diteliti. Biasanya, selain ahli matematika dan pemrogram profesional, spesialis dalam bidang studi tertentu (biologi, kimia, kedokteran, dll.) berpartisipasi dalam proses pemodelan matematika dan eksperimen komputasi. Eksperimen komputasi serius pertama dilakukan di Uni Soviet pada tahun 1968 oleh sekelompok ilmuwan yang dipimpin oleh Akademisi A.N. Tikhonov dan A.A. Samara. Ini adalah penemuan yang disebut efek lapisan-T (lembaran arus suhu dalam plasma yang terbentuk dalam generator MHD) - sebuah fenomena yang tidak diamati oleh siapa pun. Dan hanya beberapa tahun kemudian lapisan-T didaftarkan di laboratorium fisik eksperimental, dan prinsip pengoperasian generator MHD dengan lapisan-T akhirnya menjadi jelas bagi para teknolog dan insinyur. PADA tahun-tahun terakhir Sejumlah Hadiah Nobel dalam bidang kimia, kedokteran, ekonomi, fisika partikel dasar dianugerahkan kepada karya-karya yang basis metodologisnya justru pemodelan matematika. Model matematika untuk menggambarkan fenomena yang dipelajari dalam mekanika, fisika dan ilmu pasti lainnya dari ilmu alam telah digunakan untuk waktu yang lama. 3-4 ribu tahun yang lalu, mereka memecahkan masalah matematika terapan yang terkait dengan perhitungan luas dan volume, perhitungan mekanisme paling sederhana, mis. dengan masalah sederhana aritmatika, aljabar dan geometri. Sarana komputasi adalah jari mereka sendiri, dan kemudian sempoa. Sebagian besar perhitungan dilakukan dengan tepat, tanpa pembulatan. Pada abad ke-17, Isaac Newton sepenuhnya menggambarkan pola gerakan planet mengelilingi Matahari, memecahkan masalah geodesi, dan melakukan perhitungan struktur mekanik. Masalah direduksi menjadi persamaan diferensial biasa, atau sistem aljabar dengan jumlah yang besar tidak diketahui, perhitungan dilakukan dengan akurasi yang cukup tinggi hingga 8 digit signifikan. Dalam perhitungan, tabel fungsi dasar, mesin penjumlah, mistar geser digunakan; pada akhir periode ini, mesin keyboard yang bagus dengan motor listrik muncul. Pada saat itu, algoritma untuk metode numerik dikembangkan, yang masih menempati tempat terhormat dalam gudang matematika komputasi. Jadi Newton mengusulkan metode numerik yang efektif untuk menyelesaikan persamaan aljabar, dan Euler mengusulkan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa. Contoh klasik penerapan metode numerik adalah penemuan planet Neptunus. Uranus adalah planet di sebelah Saturnus, yang selama berabad-abad dianggap sebagai planet terjauh. Pada 40-an abad XIX. Pengamatan yang akurat telah menunjukkan bahwa Uranus hampir tidak terlihat menyimpang dari jalur yang harus dilaluinya, dengan mempertimbangkan gangguan dari semua planet yang dikenal. Le Verrier (di Prancis) dan Adams (di Inggris) menyarankan bahwa jika gangguan dari planet yang diketahui tidak menjelaskan penyimpangan dalam gerakan Uranus, itu berarti bahwa daya tarik benda yang belum diketahui bekerja padanya. Mereka hampir secara bersamaan menghitung di mana di belakang Uranus seharusnya ada benda tak dikenal yang menghasilkan penyimpangan ini karena daya tariknya. Mereka menghitung orbitnya planet yang tidak diketahui, massanya dan menunjukkan tempat di langit di mana planet yang tidak diketahui seharusnya berada pada waktu tertentu. Planet ini ditemukan di teleskop di tempat yang ditunjukkan oleh mereka pada tahun 1846. Itu disebut Neptunus. Le Verrier membutuhkan waktu enam bulan untuk menghitung lintasan Neptunus. Solusi numerik dari masalah terapan selalu menarik minat matematikawan. Ilmuwan terbesar pada masanya terlibat dalam pengembangan metode numerik: Newton, Euler, Lobachevsky, Gauss, Hermit, Chebyshev, dan lainnya.Metode numerik yang dikembangkan oleh mereka menyandang nama mereka. Perkembangan metode numerik berkontribusi pada perluasan ruang lingkup matematika secara konstan dalam disiplin ilmu lain dan perkembangan terapan. Munculnya komputer memberikan dorongan kuat untuk pengenalan metode numerik yang lebih luas ke dalam praktik perhitungan ilmiah dan teknis. Kecepatan melakukan operasi komputasi telah berkembang jutaan kali, yang memungkinkan untuk memecahkan berbagai masalah matematika yang praktis tidak dapat dipecahkan sebelumnya. Pengembangan dan penelitian algoritma komputasi, aplikasinya untuk memecahkan masalah spesifik adalah isi dari sebagian besar matematika modern - matematika komputasi. Matematika komputasi sebagai disiplin matematika independen dibentuk pada awal abad kedua puluh. Matematika komputasi didefinisikan dalam arti luas sebagai cabang matematika yang mempelajari berbagai masalah yang berkaitan dengan penggunaan komputer. Dalam arti sempit, matematika komputasi didefinisikan sebagai teori metode numerik dan algoritma untuk memecahkan masalah matematika. Dalam kursus kami, kami akan memahami matematika komputasi dalam arti sempit. Metode numerik berbasis komputer modern harus memenuhi persyaratan yang beragam dan seringkali bertentangan. Biasanya, konstruksi metode numerik untuk model matematika yang diberikan dibagi menjadi dua tahap: diskritisasi yang asli masalah matematika dan pengembangan algoritma komputasi yang memungkinkan menemukan solusi untuk masalah diskrit. Ada dua kelompok persyaratan untuk metode numerik. Kelompok pertama terkait dengan kecukupan model diskrit untuk masalah matematika asli, yang kedua - kelayakan metode numerik pada teknologi komputer yang tersedia. Kelompok pertama mencakup persyaratan seperti konvergensi metode numerik, pemenuhan analog diskrit hukum konservasi, dan perilaku yang benar secara kualitatif dari solusi masalah diskrit. Mari kita asumsikan bahwa model diskrit dari masalah matematika adalah sebuah sistem jumlah yang besar persamaan aljabar. Biasanya, semakin akurat kita ingin mendapatkan solusi, semakin banyak persamaan yang harus kita ambil. Suatu metode numerik dikatakan konvergen jika, dengan bertambahnya jumlah persamaan tanpa batas, solusi dari masalah diskrit cenderung ke solusi dari masalah aslinya. Karena komputer nyata hanya dapat beroperasi pada sejumlah persamaan yang terbatas, konvergensi biasanya tidak tercapai dalam praktik. Oleh karena itu, sangat penting untuk dapat mengestimasi kesalahan metode tergantung pada jumlah persamaan yang membentuk model diskrit. Untuk alasan yang sama, mereka mencoba membangun model diskrit sedemikian rupa sehingga secara benar mencerminkan perilaku kualitatif dari solusi masalah asli bahkan dengan jumlah persamaan yang relatif kecil. Jadi, ketika mendiskritkan masalah fisika matematika, seseorang sampai pada skema perbedaan, yang merupakan sistem persamaan aljabar linier atau non-linier. Persamaan Diferensial fisika matematika adalah konsekuensi dari hukum kekekalan integral. Oleh karena itu, wajar jika analogi hukum konservasi tersebut berlaku untuk skema perbedaan. Skema perbedaan yang memenuhi persyaratan ini disebut konservatif. Ternyata untuk jumlah persamaan yang sama dalam masalah diskrit, skema perbedaan konservatif lebih tepat mencerminkan perilaku solusi untuk masalah perbedaan asli daripada skema non-konservatif. Konvergensi metode numerik terkait erat dengan kebenarannya. Biarkan masalah matematika asli dirumuskan dengan benar, mis. solusinya ada, unik, dan terus-menerus tergantung pada data input. Kemudian model diskrit dari masalah ini harus dibangun sedemikian rupa sehingga properti well-posedness dipertahankan. Akibatnya, konsep kebenaran metode numerik mencakup sifat-sifat solvabilitas unik dari sistem persamaan yang sesuai dan stabilitasnya. Stabilitas dipahami sebagai ketergantungan terus menerus pada input data. Kelompok persyaratan kedua untuk metode numerik terkait dengan kemungkinan penerapan model diskrit yang diberikan pada komputer tertentu, mis. dengan kemungkinan memperoleh solusi numerik dalam waktu yang dapat diterima. Biasanya, masalah komputasi kompleks yang timbul dalam studi masalah fisik dan teknis dibagi menjadi beberapa masalah dasar. Banyak masalah dasar yang sederhana, dipelajari dengan baik, metode untuk solusi numerik telah dikembangkan untuk mereka, dan ada program solusi standar. Tujuan dari bab ini adalah untuk memperkenalkan metodologi untuk membangun dan meneliti metode numerik utama aljabar dan kalkulus dan masalah yang muncul dalam solusi numerik masalah.

Membangun model suatu objek atau fenomena dimulai dengan menyoroti fitur dan properti yang paling signifikan dan menggambarkannya menggunakan hubungan matematis. Kemudian, setelah membuat model matematika, dipelajari dengan metode matematika, yaitu. menyelesaikan masalah matematika yang diberikan.

Konstruksi medali matematika adalah salah satu tahap paling kompleks dan bertanggung jawab dalam mempelajari suatu objek. Model matematika tidak pernah identik dengan objek yang dipertimbangkan, tidak menyampaikan semua properti dan fiturnya. Hal ini didasarkan pada penyederhanaan, idealisasi dan merupakan perkiraan dari deskripsi objek. Oleh karena itu, hasil yang diperoleh berdasarkan model ini selalu mendekati. Akurasi mereka ditentukan oleh tingkat korespondensi, kecukupan model dan objek. Pertanyaan akurasi adalah yang paling penting dalam matematika terapan. Namun, itu tidak murni pertanyaan matematika dan tidak dapat diselesaikan secara matematis. Kriteria utama kebenaran adalah eksperimen, yaitu perbandingan hasil yang diperoleh atas dasar model matematika dengan objek yang dipertimbangkan. Hanya latihan yang memungkinkan kita untuk membandingkan berbagai model hipotetis dan memilih yang paling sederhana dan andal di antara mereka, menunjukkan area penerapan berbagai model dan arah untuk perbaikan mereka. Mari kita perhatikan pengembangan model pada contoh masalah balistik yang terkenal dalam menentukan lintasan benda yang dilepaskan dengan kecepatan awal membentuk sudut ke cakrawala. Pertama, mari kita asumsikan bahwa kecepatan dan jangkauan terbang tubuhnya kecil. Maka model matematika Galileo berdasarkan asumsi berikut akan valid untuk masalah ini:

1) Bumi adalah sistem inersia;

2) percepatan jatuh bebas
;

3) Bumi adalah benda datar;

4) tidak ada hambatan udara.

Dalam hal ini, komponen kecepatan benda di sepanjang sumbu X dan pada setara

dan cara mereka

, (6.2)

di mana t - waktu perjalanan.

Menentukan t dari persamaan pertama dan mensubstitusikannya ke persamaan kedua, kita memperoleh persamaan lintasan benda, yang merupakan parabola

(6.3)

dari kondisi
dapatkan jangkauan tubuh

(6.4)

Namun, seperti yang ditunjukkan oleh praktik, hasil yang diperoleh berdasarkan model ini hanya valid pada kecepatan awal benda yang rendah. v<30м/с. С увеличением скоростиjarak terbang menjadi kurang dari nilai yang diberikan oleh rumus (6.1).

T Perbedaan apa antara eksperimen dan rumus perhitungan (6.1) yang menunjukkan ketidakakuratan model Galileo, yang tidak memperhitungkan hambatan udara.

Beras. 6.1 - Jalur penerbangan tubuh

Penyempurnaan lebih lanjut dari model masalah balistik dalam hal memperhitungkan hambatan udara dibuat oleh Newton. Hal ini memungkinkan untuk menghitung dengan akurasi yang cukup lintasan peluru meriam yang ditembakkan pada kecepatan awal yang signifikan.

Transisi dari senjata bor halus ke senjata senapan memungkinkan untuk meningkatkan kecepatan, jangkauan, dan ketinggian proyektil, yang menyebabkan penyempurnaan lebih lanjut dari model matematika masalah. Dalam model matematika baru, semua asumsi yang diterima dalam model Galilea direvisi, yaitu Bumi tidak lagi dianggap sebagai sistem datar dan inersia, dan gaya tarik bumi tidak dianggap konstan.

Perbaikan selanjutnya dari model matematika masalah dikaitkan dengan penggunaan metode teori probabilitas. Ini disebabkan oleh fakta bahwa parameter cangkang, senjata, muatan dan lingkungan, karena toleransi dan alasan lainnya, tidak tetap tidak berubah, tetapi dapat berubah secara acak.

Sebagai hasil dari penyempurnaan dan peningkatan berturut-turut, model matematika dibuat yang paling lengkap dan akurat menggambarkan masalah balistik eksternal. Perbandingan datanya dengan hasil tembakan menunjukkan kecocokan yang baik.

Contoh ini menunjukkan tahapan penciptaan, pengembangan, dan penyempurnaan model matematika objek, yang terus-menerus disertai dengan perbandingan dan verifikasi dengan praktik, yaitu. dengan objek atau fenomena itu sendiri. Justru kecocokan yang kurang baik dari hasil yang diberikan oleh model dengan objek yang menyebabkan perbaikan lebih lanjut dari model.

1.Pemodelan matematika dan penggunaan komputer dalam memecahkan masalah terapan.

Dalam sains dan teknologi modern, peran penting dimainkan oleh pemodelan matematika, yang menggantikan eksperimen dengan benda nyata eksperimen dengan mereka model matematika.

Model matematika adalah salah satu alat utama untuk kognisi manusia dari fenomena dunia sekitarnya. Di bawah model matematika memahami pola dasar dan hubungan yang melekat pada fenomena yang diteliti. Ini bisa berupa rumus atau persamaan, seperangkat aturan atau konvensi yang dinyatakan dalam bentuk matematika. Sejak dahulu kala, dalam matematika, mekanika, fisika dan ilmu pasti lainnya dari ilmu alam, model matematika telah digunakan untuk menggambarkan fenomena yang mereka pelajari. Dengan demikian, hukum Newton sepenuhnya menentukan pola gerak planet-planet mengelilingi Matahari. Dengan menggunakan hukum dasar mekanika, menulis persamaan yang menggambarkan pergerakan pesawat ruang angkasa, misalnya, dari Bumi ke Bulan, relatif mudah. Namun, tidak mungkin untuk mendapatkan solusi mereka dalam bentuk formula sederhana.

Penggunaan komputer untuk pemodelan matematika telah mengubah konsep "memecahkan masalah". Sebelumnya, peneliti sudah puas menulis model matematika. Dan jika dia masih berhasil membuktikan bahwa solusi (algoritma) ada pada prinsipnya, maka ini sudah cukup, jika apriori diasumsikan bahwa model tersebut cukup menggambarkan fenomena yang diteliti. Karena, sebagai aturan, tidak ada rumus sederhana yang menggambarkan perilaku model, dan, oleh karena itu, objek yang dijelaskan oleh model, satu-satunya cara adalah dengan mereduksi masalah menjadi perhitungan, penggunaan metode numerik untuk menyelesaikan masalah.

Saat ini telah dikembangkan suatu teknologi untuk mempelajari masalah yang kompleks, berdasarkan konstruksi dan analisis model matematika dari objek yang diteliti dengan bantuan komputer. Metode penelitian ini disebut percobaan komputasi.

Pemodelan matematika dan eksperimen komputasi digunakan saat ini tidak hanya dalam ilmu eksakta dan teknologi, tetapi juga dalam ilmu ekonomi, sosiologi dan banyak bidang lain yang secara tradisional dianggap jauh dari matematika dan komputer. Mengapa kita membutuhkan eksperimen komputasi? Desain objek kompleks, seperti nuklir, ruang angkasa, dan banyak lainnya, membutuhkan perhitungan yang sangat banyak. Misalnya, untuk memecahkan banyak masalah terapan aerodinamika dan fisika nuklir, diperlukan untuk melakukan

lebih banyak operasi aritmatika. Teknologi modern sering menggunakan rezim pembatas yang memerlukan pertimbangan faktor nonlinier yang kompleks. Hal ini sering diperlukan untuk mempelajari perilaku suatu objek di

situasi ekstrim dan darurat, yang secara praktis tidak mungkin dilakukan melalui percobaan skala penuh, misalnya, ketika mempelajari ledakan nuklir, konsekuensi dari bencana buatan manusia, dan dalam banyak situasi lainnya.

2. Eksperimen Komputasi dan Tahapannya.

Meluasnya penggunaan komputer dalam pemodelan matematika, basis teoretis dan eksperimental yang cukup kuat memungkinkan kita untuk berbicara tentang eksperimen komputasi sebagai teknologi dan metodologi baru dalam penelitian ilmiah dan terapan.

Eksperimen komputasi - ini adalah percobaan pada model matematika suatu objek di komputer, yang terdiri dari fakta bahwa salah satu parameter model digunakan untuk menghitung parameter lainnya dan, atas dasar ini, kesimpulan dibuat tentang sifat-sifat objek fenomena yang dijelaskan oleh model matematika.

Sebuah tim peneliti, spesialis dalam bidang subjek tertentu, matematikawan, ahli teori, kalkulator, insinyur terapan, programmer, berpartisipasi dalam eksperimen komputasi. Ini

dan hasil pengolahan. Di sini Anda dapat melihat analogi dengan pekerjaan di

eksperimen kontrol, eksperimen serial, pemrosesan data eksperimen dan interpretasinya, dll. Dengan demikian, melakukan perhitungan kompleks skala besar harus dianggap sebagai percobaan yang dilakukan pada komputer atau percobaan komputasi.

Komputasi				drama percobaan
biasa			percobaan			riset
Modern		hipotesa		hampir selalu		memiliki matematika			keterangan,
			melakukan eksperimen.
	pengenalan konsep ini							menonjolkan kemampuan
komputer		tampil besar					komputasi,		mengimplementasikan
riset. Sebaliknya					komputer memungkinkan Anda untuk

eksperimen fisika, kimia, dll. adalah eksperimen komputasi.

Eksperimen komputasi, dibandingkan dengan eksperimen skala penuh, jauh lebih murah dan lebih mudah diakses, persiapan dan implementasinya membutuhkan lebih sedikit waktu, mudah untuk diulang, dan memberikan informasi yang lebih detail. Selain itu, selama percobaan komputasi, batas-batas

penerapan model matematika, yang memungkinkan untuk memprediksi percobaan dalam kondisi alam. Oleh karena itu, penggunaan eksperimen komputasi terbatas pada model-model matematika yang terlibat dalam penelitian. Untuk alasan ini, eksperimen komputasi tidak dapat sepenuhnya menggantikan eksperimen skala penuh, dan jalan keluar dari situasi ini terletak pada kombinasi yang masuk akal. Dalam hal ini, dalam melakukan eksperimen kompleks, berbagai model matematika digunakan: masalah langsung, masalah invers, masalah optimasi, masalah identifikasi.

Penggunaan eksperimen komputasi sebagai sarana untuk memecahkan masalah terapan yang kompleks memiliki fitur spesifiknya sendiri dalam kasus setiap tugas khusus dan setiap tim ilmiah tertentu. Namun demikian, fitur utama karakteristik umum selalu terlihat jelas, memungkinkan kita untuk berbicara tentang struktur tunggal dari proses ini. Saat ini, siklus teknologi dari eksperimen komputasi biasanya dibagi menjadi beberapa tahapan teknologi. Dan meskipun pembagian semacam itu sebagian besar bersifat sewenang-wenang, ini memungkinkan kita untuk lebih memahami esensi dari metode melakukan penelitian teoretis ini.

Jadi, seperti eksperimen apa pun, eksperimen komputasi mengikuti aturan tertentu. Secara skematis, tahapan percobaan komputasi dapat direpresentasikan sebagai berikut:

	Fisik		matematis		Metode numerik =
					model diskrit +
riset					komputasi
					algoritma

Beras. B. 1. Skema eksperimen komputasi

Dasar dari eksperimen komputasi adalah triad: model - metode (algoritma) - program. Pertama dibangun dengan beberapa asumsi model fisik objek. Model fisik adalah seperangkat kendala, asumsi, dan penyederhanaan yang dikenakan pada fenomena yang sedang dipertimbangkan. Berikut ini menjelaskan model matematika. Model matematika adalah persamaan, sistem persamaan, atau sekumpulan sistem persamaan yang menggambarkan sifat fisika

model. Maka perlu untuk memecahkan sistem persamaan ini. Seperti yang telah disebutkan, biasanya perlu untuk melamar metode numerik. Metode numerik dipahami sebagai himpunan model diskrit diimplementasikan pada komputer, dan algoritma komputasi, yang memungkinkan pemecahan masalah diskrit. Untuk mengimplementasikan metode numerik, perlu untuk mengembangkan program dalam salah satu bahasa pemrograman atau menerapkan paket program terapan yang sudah jadi. Saat ini, ada paket perangkat lunak aplikasi seperti MathCAD, Matlab, Maple, Mathematica dan lainnya yang memungkinkan penyelesaian sebagian besar masalah yang dihadapi dalam praktik. Namun, perumusan masalah yang kompeten, pilihan metode solusi yang rasional, dan interpretasi hasil yang benar memerlukan pengetahuan yang serius tentang metode numerik. Setelah debugging, program diproduksi komputasi di komputer(biasanya diperlukan untuk melakukan banyak varian perhitungan, yang untuk itu perlu merencanakan eksperimen komputasi) dan analisis hasil. Setelah memperoleh hasil, kesesuaian hasil eksperimen komputasi dengan proses berfungsinya objek nyata diperiksa dan, jika perlu, komponen skema eksperimen komputasi (Gbr. B.1) disempurnakan hingga hasil yang memuaskan diperoleh. diperoleh.

3. Metode Numerik

Dalam arti luas, metode numerik, seperti disebutkan di atas, dipahami sebagai seperangkat model diskrit yang diterapkan pada komputer dan algoritma komputasi yang memungkinkan pemecahan masalah diskrit.

Satu dan model matematika yang sama dapat dikaitkan dengan banyak model diskrit dan algoritma komputasi, yaitu metode numerik. Saat memilih metode numerik, dua kelompok persyaratan harus diperhitungkan:

model diskrit harus memadai untuk model matematis;

metode numerik harus benar dan dapat diterapkan pada komputer.

Untuk memastikan kecukupan, model diskrit harus memiliki properti konvergensi metode numerik, implementasi analog diskrit dari konservasi, dan perilaku solusi yang benar secara kualitatif.

Konvergensi metode numerik, misalnya, berarti bahwa dengan penurunan langkah partisi interval integrasi, akurasi integrasi numerik meningkat. Berbagai model matematika adalah ekspresi dari hukum kekekalan fisik, jadi untuk model diskrit, hukum kekekalan juga harus dipenuhi. Perilaku yang benar secara kualitatif dari model diskrit berarti bahwa karena sifat diskrit dari perilaku model, beberapa detail dari perilaku sistem nyata tidak hilang.

Kebenaran metode numerik berarti bahwa masalah diskrit harus dapat dipecahkan secara unik dan tahan terhadap kesalahan data awal dan kesalahan komputasi. Implementasi metode numerik pada komputer dibatasi oleh jumlah memori dan kecepatan komputer. Algoritma komputasi harus membuat tuntutan yang masuk akal pada sumber daya komputer. Sebagai contoh, metode Cramer yang benar secara matematis untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier sama sekali tidak dapat diterapkan untuk memecahkan masalah nyata: jika kita berasumsi bahwa setiap operasi aritmatika dilakukan dalam 10 6 s, maka dibutuhkan lebih dari satu juta tahun untuk menyelesaikannya. sistem dengan 20 tidak diketahui menggunakan metode Cramer. Pada saat yang sama, sistem ini dapat diselesaikan dengan metode Gauss paling sederhana dalam sepersekian detik.

Dalam arti sempit, di bawah metode numerik memahami metode untuk solusi perkiraan masalah matematika, yang direduksi menjadi melakukan sejumlah operasi dasar pada angka. Operasi dasar termasuk operasi aritmatika, yang biasanya dilakukan kira-kira, serta operasi tambahan - catatan hasil antara, pilihan dari tabel, dll. Angka diberikan oleh serangkaian digit terbatas dalam beberapa sistem angka posisional (desimal, biner, dll.). Jadi, dalam metode numerik, garis bilangan digantikan oleh sistem bilangan diskrit (kisi); fungsi argumen kontinu digantikan oleh tabel nilainya dalam kotak; operasi analisis yang bekerja pada fungsi kontinu digantikan oleh operasi aljabar pada nilai-nilai fungsi dalam kisi.

Tujuan dari kursus "Metode Numerik" adalah untuk mempelajari dasar-dasar teoritis dan memperoleh keterampilan praktis dalam memecahkan masalah komputasi dan melakukan eksperimen komputasi.

PROGRAM MINIMUM

ujian kandidat dalam spesialisasi

05.13.18 "Pemodelan matematika,
metode numerik dan paket perangkat lunak"

pada kimia, geologi dan mineralogi
dan ilmu biologi

pengantar

Program ini didasarkan pada disiplin ilmu berikut: informatika; Matematika Komputasi; komputer; metode sibernetika dalam kimia dan teknologi kimia; analisis dan sintesis sistem kimia-teknologi; teori kecerdasan buatan dan sistem pakar hibrida dalam teknologi kimia; pemodelan matematika proses kimia-teknologi; keandalan dan efisiensi sistem teknologi.

Program ini dikembangkan oleh dewan ahli Komisi Pengesahan Tinggi Kementerian Pendidikan Federasi Rusia dalam bidang kimia (dalam kimia anorganik) dengan partisipasi dari Universitas Teknologi Kimia Rusia. .

1. Metode matematika komputasi

Informasi umum dari teori skema perbedaan. Konsep dasar dan definisi. Perkiraan. Menghitung Stabilitas. teorema konvergensi. Analogi perbedaan hingga dari beberapa masalah fisika matematika.

Metode untuk membangun skema perbedaan untuk memecahkan persamaan diferensial. Metode variasi dalam fisika matematika. Konstruksi fungsi dasar untuk memecahkan masalah satu dimensi. Konstruksi fungsi dasar untuk memecahkan masalah multidimensi. Variational-difference dan skema proyeksi-grid. Konstruksi skema untuk masalah non-stasioner dengan metode proyeksi-grid.

Interpolasi fungsi grid. Metode iteratif non-stasioner. metode pemisahan. Metode iteratif untuk sistem dengan matriks tunggal.

Metode untuk memecahkan masalah non-stasioner. Perbedaan skema aproksimasi orde kedua dengan operator tergantung waktu. Persamaan tidak homogen dari tipe evolusi. Memisahkan metode untuk masalah non-stasioner. Pemisahan tugas multikomponen. Metode untuk memecahkan persamaan tipe hiperbolik.

Persamaan adjoint dan metode gangguan. Persamaan dasar dan persamaan adjoint. Algoritma gangguan. Metode teori gangguan untuk masalah nilai eigen. Persamaan adjoint dan teori gangguan untuk fungsi linier.

Pernyataan dan metode numerik untuk memecahkan beberapa masalah invers. Definisi dasar dan contohnya. Solusi masalah evolusi terbalik dengan operator konstan. Masalah evolusi terbalik dengan operator yang bergantung pada waktu. Pernyataan masalah invers berdasarkan metode teori gangguan.

2. Metode numerik analisis matematis

Metode interpolasi dan diferensiasi numerik. Pernyataan masalah pendekatan fungsi. polinomial interpolasi Lagrange. Estimasi untuk suku sisa dari polinomial interpolasi Lagrange. Perbedaan terpisah dan sifat-sifatnya. Rumus interpolasi Newton dengan selisih terbagi. Membagi perbedaan dan interpolasi dengan banyak node. Persamaan dalam perbedaan hingga. polinomial Chebyshev. Minimalkan estimasi suku sisa dari rumus interpolasi. Akhiri perbedaan. Rumus interpolasi untuk tabel dengan langkah konstan. Kompilasi tabel. Pada kesalahan pembulatan dalam interpolasi. Aplikasi peralatan interpolasi. interpolasi terbalik. Diferensiasi numerik. Pada kesalahan komputasi rumus diferensiasi numerik. interpolasi rasional.

Metode dan algoritma untuk integrasi numerik. Rumus kuadrat paling sederhana. Metode koefisien tak tentu. Estimasi kesalahan kuadratur. Rumus kuadratur Newton-Cotes. polinomial ortogonal. Rumus kuadrat dari Gauss. Estimasi praktis dari kesalahan rumus kuadratur dasar. Integrasi fungsi berosilasi cepat. Meningkatkan akurasi integrasi dengan membagi segmen menjadi bagian yang sama. Pada perumusan masalah optimasi. Pernyataan masalah optimasi kuadratur. Optimalisasi distribusi node rumus kuadratur. Contoh optimasi distribusi node. Istilah kesalahan terkemuka. Aturan estimasi kesalahan praktis Runge. Penyempurnaan hasil dengan interpolasi orde yang lebih tinggi. Perhitungan integral dalam kasus tidak beraturan. Prinsip membangun program standar dengan pemilihan langkah otomatis.

Metode pendekatan fungsi. Perkiraan terbaik dalam ruang bernorma linier. Pendekatan terbaik di ruang Hilbert dan pertanyaan yang muncul dalam konstruksi praktisnya. interpolasi trigonometri. Transformasi Fourier Diskrit. Transformasi Fourier Cepat. Pendekatan seragam terbaik. Contoh pendekatan seragam terbaik. Sebuah metode iteratif untuk membangun sebuah polinomial dari pendekatan seragam terbaik. Interpolasi dan aproksimasi dengan splines. Entropi dan e - entropi.

Tugas multidimensi. Metode koefisien tak tentu. Metode kuadrat terkecil dan regularisasi. Contoh regularisasi Pengurangan masalah multidimensi menjadi masalah satu dimensi. Interpolasi fungsi dalam segitiga. Estimasi Error Integrasi Numerik pada Uniform Grid. Batas bawah untuk kesalahan integrasi numerik. Metode Monte Carlo. Diskusi tentang legitimasi menggunakan metode non-deterministik untuk memecahkan masalah. Percepatan konvergensi metode Monte Carlo.

Metode numerik aljabar. Metode pengecualian berturut-turut dari yang tidak diketahui. metode refleksi. Metode iterasi sederhana. Fitur penerapan metode iterasi sederhana pada komputer. b2-proses estimasi praktis kesalahan dan percepatan konvergensi. Optimalisasi laju konvergensi proses iteratif. Metode Seidel. Metode penurunan gradien paling curam. Metode gradien konjugasi. Metode iteratif menggunakan operator ekuivalen spektral. Kesalahan solusi perkiraan sistem persamaan dan persyaratan matriks. Regularisasi. Masalah nilai eigen. Memecahkan masalah nilai eigen lengkap menggunakan algoritma QR.

Memecahkan sistem persamaan nonlinier dan masalah optimasi. Metode iterasi sederhana dan masalah terkait. Metode Newton untuk menyelesaikan persamaan nonlinier. Metode keturunan. Metode lain untuk mereduksi masalah multidimensi menjadi masalah berdimensi lebih rendah. Solusi masalah stasioner dengan membangun.

Metode numerik untuk memecahkan masalah Cauchy untuk persamaan diferensial biasa. Memecahkan masalah Cauchy menggunakan rumus Taylor. Metode Runge-Kutta. Metode dengan kontrol kesalahan langkah. Estimasi kesalahan untuk metode satu langkah. Metode beda hingga. Metode koefisien tak tentu. Penyelidikan sifat-sifat metode beda hingga pada masalah model. Estimasi kesalahan metode beda hingga. Fitur integrasi sistem persamaan. Metode Integrasi Numerik Persamaan Orde Kedua.

Metode numerik untuk memecahkan masalah nilai batas untuk persamaan diferensial biasa. Metode paling sederhana untuk memecahkan masalah nilai batas untuk persamaan orde kedua. Fungsi Green dari masalah nilai batas grid. Solusi dari masalah nilai batas yang paling sederhana. Penutupan algoritma komputasi. Pembahasan rumusan masalah nilai batas sistem linier orde satu. Algoritma untuk memecahkan masalah nilai batas untuk sistem persamaan orde pertama. Masalah nilai batas nonlinier. Perkiraan tipe khusus. Metode beda hingga untuk menemukan nilai eigen. Optimalisasi distribusi node integrasi. Konstruksi metode numerik menggunakan prinsip variasi. Meningkatkan konvergensi metode variasi dalam kasus tidak beraturan. Pengaruh kesalahan komputasi tergantung pada bentuk persamaan beda hingga.

Metode untuk memecahkan persamaan diferensial parsial. Konsep dasar teori metode grid. Perkiraan masalah hiperbolik paling sederhana. Prinsip koefisien beku. Solusi numerik dari masalah nonlinier dengan solusi diskontinu. Skema perbedaan untuk persamaan parabola satu dimensi. Perbedaan pendekatan persamaan eliptik. Solusi persamaan parabola dengan beberapa variabel ruang. Metode untuk memecahkan persamaan grid elips.

Metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral. Menyelesaikan persamaan integral dengan mengganti integral dengan jumlah kuadrat. Memecahkan persamaan integral dengan mengganti kernel dengan yang merosot. Persamaan integral Fredholm jenis pertama.

3. Metode pemrograman linier

Dasar-dasar teori pertidaksamaan linier.

Rumusan matematika masalah pemrograman linier.

Metode simpleks untuk menyelesaikan masalah program linier. Metode simpleks. Metode simpleks dalam bentuk tabel. Metode simpleks yang dimodifikasi. Metode simpleks ganda.

Rekam panjang dan kompleksitas teoritis ketidaksetaraan linier dan pemrograman linier.

Metode ganda, metode eliminasi dan metode relaksasi. Metode ganda langsung. Metode eksklusi Fourier-Motzkin. metode relaksasi.

Hasil tambahan pada solvabilitas polinomial dalam pemrograman linier. Algoritma pemrograman linier polinomial dikembangkan oleh Karmarkar. Algoritma yang sangat polinomial. Algoritma linier Megiddo untuk dimensi tetap. Kliping kecil dan pembulatan politop.

4. Metode dan algoritma pemrograman non-linear

Metode optimasi tanpa syarat. Pencarian linier tanpa turunan. Pencarian linier menggunakan turunan. Ketertutupan pemetaan algoritmik pencarian linier. Pencarian multidimensi tanpa turunan. Pencarian multidimensi menggunakan. Metode menggunakan arah konjugasi.

Metode fungsi penalti dan penghalang. Konsep fungsi penalti. Metode fungsi penalti. metode penghalang.

Metode kemungkinan arah. Metode Zeutendijk. Analisis konvergensi metode Zeutendijk. Metode proyeksi gradien Rosen. Metode gradien Wolfe yang dikurangi. Metode Zangwill simpleks cembung.

komplementaritas linier. Pemrograman linear fraksional kuadrat dan dapat dipisahkan. Masalah komplementaritas linier. Pemrograman kuadrat. Pemrograman yang dapat dipisahkan. Pemrograman linier pecahan.

5. Elemen teori probabilitas
dan statistik matematika

Konsep dasar teori probabilitas. Peristiwa. Probabilitas suatu kejadian. Perhitungan langsung dari probabilitas. Frekuensi atau probabilitas statistik dari suatu peristiwa. Nilai acak. Peristiwa yang hampir mustahil dan hampir pasti. Prinsip kepastian praktis.

Teorema dasar teori probabilitas. Tujuan dari teorema utama. Jumlah dan produk acara. Teorema penjumlahan peluang. Teorema perkalian peluang. Rumus Probabilitas Total. Teorema hipotesis (rumus Bayes).

Pengulangan percobaan. Teorema tertentu tentang pengulangan percobaan. Teorema umum tentang pengulangan percobaan.

Variabel acak dan hukum distribusinya. Jangkauan distribusi. poligon distribusi. fungsi distribusi. Probabilitas memukul variabel acak pada area tertentu. Kepadatan distribusi. Karakteristik numerik dari variabel acak. Peran dan tujuan mereka. Karakteristik posisi (harapan matematis, modus, median). Momen. Penyebaran. Standar deviasi. Hukum kerapatan seragam. hukum Poisson.

hukum distribusi normal. Hukum normal dan parameternya. Momen distribusi normal. Probabilitas bahwa variabel acak yang mematuhi hukum normal jatuh ke area tertentu. fungsi distribusi normal. Kemungkinan (median) deviasi.

Penentuan hukum distribusi variabel acak berdasarkan data eksperimen. Tugas utama statistik matematika. Sebuah statistik sederhana. Fungsi distribusi statistik. Garis statistik. Grafik batang. Karakteristik numerik dari distribusi statistik. Penjajaran deret statistik. Kriteria Persetujuan.

Batas teorema teori probabilitas. Hukum bilangan besar dan teorema limit pusat. Pertidaksamaan Chebyshev. Hukum bilangan besar (teorema Chebyshev). Teorema Chebyshev Umum. teorema Markov. Konsekuensi dari hukum bilangan besar: teorema Bernoulli dan Poisson. Fenomena acak massa dan teorema limit pusat. Fungsi karakteristik. Teorema limit pusat untuk suku-suku yang terdistribusi identik. Rumus yang mengungkapkan teorema limit pusat dan ditemui dalam aplikasi praktisnya.

Pemrosesan percobaan. Fitur pemrosesan sejumlah percobaan. Estimasi untuk parameter yang tidak diketahui dari hukum distribusi. Estimasi untuk ekspektasi matematis dan varians. Interval kepercayaan. Probabilitas keyakinan. Metode eksak untuk membangun interval kepercayaan untuk parameter variabel acak yang didistribusikan menurut hukum normal. Estimasi probabilitas berdasarkan frekuensi. Estimasi untuk karakteristik numerik dari sistem variabel acak. Pemrosesan pemotretan. Pemulusan ketergantungan eksperimental dengan metode kuadrat terkecil.

6. Karakteristik umum penggunaan teknologi informasi dan paket perangkat lunak standar untuk memecahkan masalah pemodelan matematika

Tujuan dan karakteristik teknologi KASUS informasi.

Tujuan dan karakteristik teknologi informasi CAPE.

Tujuan dan karakteristik teknologi informasi CALS.

Status dan prospek penggunaan INTERNET untuk memecahkan masalah pemodelan matematika.

Bahasa pemrograman berorientasi objek dan alat pemrograman visual sebagai alat untuk membuat kompleks perangkat lunak untuk pemodelan matematika.

7. Landasan teoretis pemodelan matematika proses kimia-teknologi

Pemodelan matematika dari reaksi kimia yang kompleks. Menguji hipotesis tentang mekanisme reaksi dan memperkirakan konstanta kinetik. Penyempurnaan parameter kinetik dan diskriminasi hipotesis kinetik.

Model matematika reaktor isotermal. Model reaktor tubular (reaktor aliran plug) dan reaktor batch. Model reaktor aliran dengan pengaduk (reaktor pencampur sempurna). Model reaktor aliran tabung berkaitan dengan pencampuran (reaktor tipe difusi).

Model matematika reaktor non-isotermal . model pseudo-homogen. model bifasik. Analisis stabilitas rezim reaktor yang khas. Penentuan profil suhu optimal reaktor politropik. Model reaktor autotermal.

Model matematika reaktor katalitik heterogen. Pembuktian jenis persamaan kinetika reaksi sederhana. Metode verifikasi eksperimental kecukupan persamaan kinetik reaksi sederhana.

Metode eksperimental-statistik untuk mengembangkan matematika model proses fisika dan kimia. Metode analisis regresi dan korelasi. Metode perencanaan eksperimen optimal: eksperimen faktorial penuh; replika pecahan; rencana ortogonal orde kedua; rencana yang dapat diputar dari orde kedua; metode simpleks eksperimen perencanaan.

Metode untuk memeriksa model matematika yang memadai . Konstruksi dan analisis tabel, histogram dan fungsi distribusi. metode momen. Metode kuadrat terkecil.

Model matematika dari proses kimia-teknologi yang khas . Model matematis dari struktur aliran tipikal: model perpindahan ideal; model pencampuran sempurna; model difusi satu parameter dan dua parameter; model sel; model gabungan. Model matematika dari proses perpindahan panas yang khas: Persamaan perpindahan konvektif Fourier-Kirchhoff; persamaan panas Fourier; persamaan Newton; model perpindahan ideal; model pencampuran yang ideal; model sel dan difusi. Model matematika penukar panas (pipa dalam pipa). Model matematika dari proses perpindahan massa yang khas: Persamaan Fick untuk perpindahan molekul dan konveksi; persamaan Newton. Model matematika proses pemisahan campuran biner dan multikomponen dalam kolom distilasi. Metode analisis kemiripan molekul berdasarkan teori graf.

8. Metode pemodelan matematika, algoritma untuk analisis dan sintesis sistem kimia-teknologi

Prinsip-prinsip pemodelan matematika dan analisis sistem teknologi-kimia (CTS ). Model matematika operator-simbolik XTS. Metode Langsung untuk Identifikasi Mode Statis CTS. Pemodelan matematika adalah metode utama untuk memecahkan masalah desain dan operasi CTS. Pernyataan dan prinsip pemecahan masalah analisis CTS. Karakteristik prinsip blok analisis CTS. Pandangan umum dari sistem persamaan keseimbangan material dan panas CES. Persiapan data awal untuk menyusun sistem persamaan keseimbangan material dan panas. Tanda-tanda adanya solusi untuk sistem persamaan materi dan keseimbangan panas. Penentuan derajat kebebasan CTS. Rekomendasi untuk pilihan variabel informasi yang diatur dan dioptimalkan dari CTS.

Prinsip membangun model topologi CTS . Klasifikasi dan penugasan model topologi CTS. Dasar-dasar teori graf. Representasi matriks dari grafik. Grafik aliran XTS. Grafik aliran parametrik. Grafik aliran bahan. Grafik aliran termal. Grafik aliran energi. Grafik aliran siklik. Grafik arus informasi XTS. Grafik informasi bipartit. grafik informasi. Grafik sinyal XTS. Grafik struktur XTS.

Metode dekomposisi-topologi analisis dan optimalisasi CTS kompleks. Karakteristik umum metode numerik untuk analisis CTS. Metode numerik dan algoritma untuk memecahkan sistem persamaan nonlinier: metode iterasi sederhana dan modifikasinya; metode Newton; metode kuasi-Newtonian; metode minimalisasi; metode diferensiasi parameter. Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier: karakteristik umum metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier; metode iteratif langsung. Efisiensi berbagai metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar KhTS. Rumusan masalah matematis dan klasifikasi metode untuk optimasi CTS. Metode optimasi dua tingkat untuk CTS kompleks: strategi umum metode dua tingkat; metode memperbaiki variabel antara; metode harga; karakteristik umum program khusus untuk pemodelan digital CTS.

9. Metode kecerdasan buatan
dan prinsip-prinsip membuat sistem pakar

Kecerdasan buatan adalah dasar ilmiah untuk pembuatan sistem pakar . Arah modern penelitian ilmiah di bidang kecerdasan buatan. Tugas non-formal kegiatan ilmiah dan teknis dan klasifikasi model representasi pengetahuan. Masalah nonformal dalam kimia. Tugas non-formal dalam desain sistem kimia-teknologi. Tugas yang tidak diformalkan dalam pengoperasian sistem teknologi kimia. Pemrograman heuristik dan pembelajaran otomatis.

Karakteristik umum model representasi pengetahuan dan prosedur untuk menemukan solusi untuk masalah non-formal. Model representasi pengetahuan logis dan logis-linguistik. Jaringan model struktural-linguistik representasi pengetahuan. Karakteristik umum bingkai dan aturan produksi. Hubungan antara model representasi pengetahuan dan model data. Metode dan prosedur untuk menemukan solusi untuk masalah non-formal. Informasi umum tentang model bahasa alami. Konsep jaringan saraf dan penerapannya dalam teknologi kimia.

Model representasi pengetahuan fuzzy dan prosedur inferensi keputusan non-deterministik . Konsep pengetahuan fuzzy dalam kimia dan teknologi kimia. Metode penalaran yang tidak tepat dengan data yang tidak dapat diandalkan. Informasi umum tentang logika fuzzy dan probabilistik. Konsep dasar teori himpunan fuzzy. Model representasi pengetahuan berdasarkan teori himpunan fuzzy.

Model struktural-linguistik representasi pengetahuan dan prosedur inferensi keputusan . Klasifikasi dan prinsip pengembangan bingkai. Fitur utama dari frame dan prosedur inferensi. Prinsip konstruksi berbagai kelas jaringan semantik. Prosedur inferensi solusi menggunakan jaringan semantik.

Model logis dari representasi pengetahuan dan prosedur inferensi . Model representasi pengetahuan berdasarkan kalkulus predikat. Prosedur inferensi formal dalam sistem deduktif. Prosedur inferensi berdasarkan prinsip resolusi. Implementasi perangkat lunak kalkulus predikat.

Sistem produksi dan operasi untuk mengendalikan keluaran keputusan. Konsep dasar sistem produksi sebagai sistem representasi pengetahuan formal. Struktur fungsional sistem produksi sebagai sistem pemrograman. Strategi inferensi keputusan dalam sistem produksi. Operasi pencarian terbatas yang dipesan untuk solusi.

Arsitektur sistem pakar dan bahasa pemrograman cerdas . Sifat dasar sistem pakar. Arsitektur sistem pakar. Mode operasi dan klasifikasi sistem pakar. Tahapan utama pengembangan sistem pakar.

Bahasa pemrograman kecerdasan buatan adalah alat untuk mengembangkan sistem pakar. Konsep dasar dan klasifikasi bahasa dan perangkat lunak. Karakteristik umum bahasa pemrograman fungsional. Informasi dasar tentang bahasa pemrograman logika. Konsep pemrograman berorientasi objek. Karakteristik bahasa pemrograman berorientasi objek.

Karakteristik umum bahasa representasi pengetahuan . Bahasa bingkai representasi pengetahuan. Bahasa pemrograman berorientasi produksi. Konsep bahasa pengolahan teks gramatikal-semantik.

Karakteristik jenis utama sistem pakar dalam teknologi kimia . Sistem pakar untuk sintesis otomatis sistem teknologi kimia yang optimal. Konsultasi sistem pakar dalam teknologi kimia. Sistem pakar untuk kontrol otomatis dan diagnostik proses kimia-teknologi. Sistem pakar dalam kimia. Sistem otomatis cerdas untuk kontrol situasional transportasi gas utama. Model semantik-matematis pemahaman makna teks teknologi untuk sistem pakar.

Prinsip pembuatan sistem pakar hibrida untuk sintesis sistem fraksinasi gas . Perumusan masalah yang belum diformalkan untuk sintesis sistem fraksinasi gas. Model Kerangka Produksi Representasi Pengetahuan untuk Sintesis Otomatis Sistem Fraksinasi Gas. Prosedur dekomposisi heuristik-produktif untuk sintesis sistem fraksinasi gas. Algoritma produksi-komputasi untuk menghasilkan urutan optimal untuk pemilihan produk target.

Pengembangan dan penerapan sistem pakar hybrid instrumental "Ekran-XTS". Tujuan, kemungkinan dan mode operasi. Arsitektur dan operasi fungsi. Dialog cerdas antara pengguna dan sistem pakar.

Sastra utama

Matematika Komputasi Marchuk: Proc. uang saku. Moskow: Nauka, 1989.

Ryaben'kii dalam matematika komputasi. Moskow: Nauka, 1994.

metode Kobelkov. Prok. uang saku. Moskow: Nauka, 1987.

Kahaner D., Moler C., Nash S. Metode Numerik dan Perangkat Lunak. M.: Mir, 1998.

Optimalisasi Timokhov dalam tugas dan latihan. M.: Nauka, 1991.

Shreyver A. Teori pemrograman linier dan integer. Dalam 2 jilid. Per. dari bahasa Inggris. M.: Mir, 1991.

Bazara M., Shetty K. Pemrograman nonlinier. Teori dan algoritma. Per. dari bahasa Inggris. M.: Mir, 1982.

Sistem Meshalkin dalam teknologi kimia. Dasar-dasar teori, pengalaman dalam pengembangan dan aplikasi. Moskow: Kimia, 1995.

Meshalkin dan sintesis sistem kimia-teknologi. Moskow: Kimia, 1991.

probabilitas Wentzel. Prok. untuk universitas. edisi ke-6 dihapus Moskow: Sekolah Tinggi, 1999.

Halaman 1

Metode simulasi numerik memainkan peran penting dalam analisis dan pengembangan perangkat teknis yang ditandai dengan perpindahan panas dan aliran fluida. Metode seperti itu, diwujudkan dalam program komputer yang nyaman, merupakan alternatif nyata untuk pengukuran eksperimental karena implementasinya yang cepat dan ekonomis. Analisis numerik dapat berisi data nyata tentang karakteristik geometris, sifat material, kondisi batas, dan memberikan informasi yang lengkap dan terperinci tentang bidang suhu, kecepatan, dan besaran lain, serta aliran yang terkait. Dalam praktiknya, dalam beberapa kasus, analisis dan desain perangkat dapat sepenuhnya dilakukan dengan menggunakan program komputer. Dalam situasi di mana diinginkan untuk melakukan beberapa penelitian eksperimental, simulasi numerik dapat digunakan dalam desain dan desain eksperimen untuk mengurangi biaya secara signifikan, serta untuk memperluas dan memperkaya hasil.

Metode simulasi numerik dinamis meniru perilaku sistem model dalam kondisi tertentu, dan dalam hal ini, simulasi numerik mirip dengan eksperimen nyata.

Metode pemodelan numerik sistem molekuler (eksperimen numerik) semakin banyak digunakan dalam praktik penelitian fisik dan kimia. Namun, bahkan dengan bantuan teknologi komputer tercanggih, tidak mungkin untuk memodelkan secara rinci perilaku sistem yang terdiri dari lebih dari beberapa ribu partikel yang berinteraksi. Objek yang paling nyaman untuk pemodelan adalah sistem yang terdiri dari sejumlah kecil molekul. Dalam makalah ini, kita akan membahas pemodelan kluster molekul air, dengan perhatian utama diberikan pada karakteristik struktural kluster tersebut.

Bab 5 dikhususkan untuk metode simulasi numerik aliran di lapisan batas, jet dan saluran.

Monograf menguraikan konsep ilmiah, teknologi komputasi dan metode simulasi numerik yang dirancang untuk memecahkan masalah peningkatan keamanan dan efisiensi pengoperasian sistem pipa utama menggunakan pencapaian modern dalam mekanika komputasi dan optimalisasi matematis. Materi yang disajikan dalam monografi memungkinkan pembaca untuk mempelajari secara rinci dasar-dasar pemodelan numerik pipa utama yang diusulkan.

Metode simulasi numerik belum merambah sedalam ke area fisika mana pun seperti ke dalam fisika plasma. Saat ini, tidak terpikirkan untuk menggambarkan proses plasma dengan cukup lengkap, hanya mengandalkan metode analitik fisika teoretis modern, tanpa menggunakan metode simulasi numerik. Ini dijelaskan, di satu sisi, oleh kompleksitas dan keragaman proses plasma, dan di sisi lain, dengan adanya model dinamika plasma yang beralasan - model Vlasov-Maxwell, yang dapat digunakan untuk menggambarkan secara kuantitatif proses ini dengan tingkat akurasi apa pun. Oleh karena itu, untuk menghindari rekayasa eksperimen fisik yang sangat kompleks dan mahal, para peneliti di bidang fisika plasma telah lama, lebih dari 25 tahun yang lalu, mulai mengembangkan metode numerik yang efektif untuk menganalisis proses plasma berdasarkan model Vlasov-Maxwell, dan telah mencapai kesuksesan luar biasa dalam eksperimen numerik.

Selain metode eksperimental yang ditunjukkan, ada cara untuk menghitung koefisien difusi sendiri dengan metode simulasi numerik. Metode dinamika molekul sangat bermanfaat. Dan meskipun ia beroperasi dengan sistem model, hasil yang diperoleh berguna untuk menjelaskan mekanisme mobilitas molekuler dan keteraturan dalam pengaruh parameter keadaan. Dalam hal pemilihan fungsi potensial antarmolekul yang benar, hasil yang mendekati hasil eksperimen diperoleh.

Selama penyusunan buku ini, banyak publikasi baru muncul di media cetak, terkait dengan metode simulasi numerik proses hidrodinamika, perpindahan panas dan massa berdasarkan persamaan Navier-Stokes. Kami hanya akan membuat beberapa tambahan yang paling dekat dengan pertanyaan yang dipertimbangkan di sini. Dalam karya ini, metode segitiga bolak-balik digunakan untuk menyelesaikan masalah stasioner untuk persamaan orde keempat sehubungan dengan fungsi aliran.

Keteraturan perilaku fluks radiasi matahari tergantung pada sifat-sifat awan dan atmosfer berawan dipelajari dengan metode simulasi numerik (metode Monte Carlo), solusi numerik dari persamaan transportasi dan penggunaan hubungan asimtotik.

Buku ini diterjemahkan oleh para ahli berkualifikasi tinggi yang berpengalaman baik dalam metode teori fisika plasma dan metode simulasi numerik, terutama metode partikel besar, yang paling umum dalam fisika plasma. Buku ini ditujukan untuk kalangan pembaca yang cukup luas, mulai dari mahasiswa yang mempelajari fisika plasma hingga ilmuwan, yang akan menemukan banyak hal berguna dan menarik dalam buku ini.

Kelemahan basis informasi inilah yang membuat pendekatan analitik cukup mampu, menurut pendapat kami, alternatif atau tambahan yang efektif untuk metode pemodelan numerik masalah prediktif. Adapun elemen paling penting dari ramalan - skema, di sini metode analitis biasanya harus diberikan preferensi yang jelas.

Hubungan antara persamaan transpor sinar kosmik dan hidrodinamika realistis pertama kali dibuat dengan menggunakan solusi hidrodinamika yang serupa, tetapi sekarang hubungan ini diperoleh dengan metode simulasi numerik. Selain itu, dimungkinkan untuk menghitung spektrum realistis dari sinar kosmik yang diharapkan dengan asumsi bahwa percepatan gelombang kejut terjadi selama fase yang disebut sebagai fase Sedov, ketika energi supernova dilestarikan dan tetap berada di dalam kejutan. depan.

Perlu dicatat bahwa jumlah partikel yang mensimulasikan balok berada pada orde 102, yang merupakan dua orde besarnya kurang dari jumlah partikel yang diperlukan dalam metode simulasi numerik penuh. Dengan demikian, relaksasi berkas elektron monoenergetik densitas rendah dalam plasma menyebabkan ekspansi yang agak cepat dari fungsi distribusi dalam ruang kecepatan ke nilai vTb yang cukup untuk menerapkan pendekatan kuasilinier, dan fase gelombang punya waktu untuk menjadi kacau. .

Di sini sangat berguna untuk menggunakan metode simulasi numerik.

Model pembentukan struktur Alam Semesta, berdasarkan teori ketidakstabilan gravitasi, secara umum menggambarkan pembentukan C dengan cukup baik.Penelitian yang lebih rinci tentang proses ini dengan metode simulasi numerik sulit dilakukan karena banyaknya perhitungan. .