Definisi 3. Badan revolusi adalah benda yang diperoleh dengan memutar sebuah bangun datar di sekitar sumbu yang tidak memotong gambar dan terletak pada bidang yang sama dengannya.

Sumbu rotasi juga dapat memotong gambar jika itu adalah sumbu simetri gambar.

Teorema 2.
, sumbu
dan segmen garis lurus
dan

berputar di sekitar sumbu
. Maka volume badan putaran yang dihasilkan dapat dihitung dengan rumus

(2)

Bukti. Untuk badan seperti itu, bagian dengan absis adalah lingkaran dengan jari-jari
, cara
dan rumus (1) memberikan hasil yang diinginkan.

Jika gambar dibatasi oleh grafik dua fungsi kontinu
dan
, dan ruas garis
dan
, lebih-lebih lagi
dan
, maka ketika berputar di sekitar sumbu absis, kita mendapatkan benda yang volumenya

Contoh 3 Hitung volume torus yang diperoleh dengan memutar lingkaran yang dibatasi oleh lingkaran

sekitar sumbu x.

R larutan. Lingkaran yang ditentukan dibatasi dari bawah oleh grafik fungsi
, dan di atas -
. Selisih kuadrat dari fungsi-fungsi ini:

Volume yang diinginkan

(grafik integral adalah setengah lingkaran atas, jadi integral yang ditulis di atas adalah luas setengah lingkaran).

Contoh 4 Segmen parabola dengan alas
, dan tinggi , berputar di sekitar pangkalan. Hitung volume tubuh yang dihasilkan ("lemon" oleh Cavalieri).

R larutan. Tempatkan parabola seperti yang ditunjukkan pada gambar. Maka persamaannya
, dan
. Mari kita cari nilai parameternya :
. Jadi, volume yang diinginkan:

Teorema 3. Biarkan trapesium lengkung dibatasi oleh grafik fungsi non-negatif kontinu
, sumbu
dan segmen garis lurus
dan
, lebih-lebih lagi
, berputar pada suatu sumbu
. Maka volume benda revolusi yang dihasilkan dapat dicari dengan rumus

(3)

ide bukti. Memisahkan segmen
titik-titik

, menjadi beberapa bagian dan menggambar garis lurus
. Seluruh trapesium akan terurai menjadi strip, yang dapat dianggap kira-kira persegi panjang dengan alas
dan tinggi
.

Silinder yang dihasilkan dari rotasi persegi panjang seperti itu dipotong di sepanjang generatrix dan dibuka. Kami mendapatkan paralelepiped "hampir" dengan dimensi:
,
dan
. volumenya
. Jadi, untuk volume benda revolusi kita akan memiliki persamaan perkiraan

Untuk mendapatkan persamaan eksak, kita harus melewati limit di
. Jumlah yang ditulis di atas adalah jumlah integral untuk fungsi
, oleh karena itu, dalam limit kita peroleh integral dari rumus (3). Teorema telah terbukti.

Catatan 1. Dalam Teorema 2 dan 3, kondisi
dapat dihilangkan: rumus (2) umumnya tidak peka terhadap tanda
, dan dalam rumus (3) sudah cukup
digantikan oleh
.

Contoh 5 Segmen parabola (alas
, tinggi ) berputar di sekitar ketinggian. Temukan volume tubuh yang dihasilkan.

Larutan. Susun parabola seperti pada gambar. Dan meskipun sumbu rotasi melintasi gambar, itu - sumbu - adalah sumbu simetri. Oleh karena itu, hanya bagian kanan segmen yang harus dipertimbangkan. persamaan parabola
, dan
, cara
. Kami memiliki untuk volume:

Catatan 2. Jika batas lengkung trapesium lengkung diberikan oleh persamaan parametrik
,
,
dan
,
maka rumus (2) dan (3) dapat digunakan dengan penggantinya pada
dan
pada
ketika berubah t dari
sebelum .

Contoh 6 Angka tersebut dibatasi oleh busur pertama cycloid
,
,
, dan sumbu absis. Temukan volume tubuh yang diperoleh dengan memutar gambar ini di sekitar: 1) sumbu
; 2) as roda
.

Larutan. 1) Rumus umum
Dalam kasus kami:

2) Rumus umum
Untuk sosok kami:

Kami mendorong siswa untuk melakukan semua perhitungan sendiri.

Catatan 3. Biarkan sektor lengkung dibatasi oleh garis kontinu
dan sinar
,

, berputar di sekitar sumbu kutub. Volume tubuh yang dihasilkan dapat dihitung dengan rumus.

Contoh 7 Bagian dari sosok yang dibatasi oleh cardioid
, berbaring di luar lingkaran
, berputar di sekitar sumbu kutub. Temukan volume tubuh yang dihasilkan.

Larutan. Kedua garis, dan karena itu gambar yang dibatasinya, adalah simetris terhadap sumbu kutub. Oleh karena itu, perlu untuk mempertimbangkan hanya bagian yang
. Kurva berpotongan di
dan

pada
. Selanjutnya, gambar tersebut dapat dianggap sebagai selisih dua sektor, dan karenanya volume dapat dihitung sebagai selisih dua integral. Kita punya:

tugas untuk solusi independen.

1. Ruas lingkaran yang alasnya
, tinggi , berputar di sekitar pangkalan. Temukan volume tubuh revolusi.

2. Tentukan volume paraboloid revolusi yang alasnya , dan tingginya adalah .

3. Gambar dibatasi oleh asteroid
,
berputar pada sumbu x. Temukan volume tubuh, yang diperoleh dalam kasus ini.

4. Gambar dibatasi oleh garis
dan
berputar pada sumbu x. Temukan volume tubuh revolusi.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi setiap saat ketika Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya dan acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai studi untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau publik lainnya acara penting.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

badan revolusi sebut benda yang dibatasi oleh permukaan revolusi, atau oleh permukaan revolusi dan bidang (Gambar 134). Di bawah permukaan revolusi dipahami permukaan yang diperoleh dari rotasi garis ( ABCDE ), datar atau spasial, yang disebut generatrix, di sekitar garis tetap ( saya ) - sumbu rotasi.

Gambar 134

Setiap titik pada generatrix permukaan rotasi menggambarkan lingkaran yang terletak di bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi - paralel, oleh karena itu, bidang yang tegak lurus terhadap sumbu revolusi selalu berpotongan dengan permukaan revolusi dalam suatu lingkaran. Paralel terbesar - khatulistiwa. Paralel terkecil - tenggorokan(leher).

Bidang yang melalui sumbu rotasi disebut bidang meridional.

Dalam gambar kompleks, representasi benda-benda revolusi dilakukan dengan cara representasi tepi alas dan garis-garis garis permukaan.

Garis perpotongan bidang meridional dengan permukaan disebut meridian.

Bidang meridional yang sejajar dengan bidang proyeksi disebut bidang meridional utama. Garis perpotongannya dengan permukaan - meridian utama.

Silinder lurus melingkar. Silinder melingkar kanan (Gambar 135) adalah benda yang dibatasi oleh permukaan silinder revolusi dan dua lingkaran - alas silinder yang terletak di bidang yang tegak lurus terhadap sumbu silinder. Permukaan silinder revolusi disebut permukaan yang diperoleh dengan memutar generatrix bujursangkar A A 1 di sekitar garis lurus tetap yang sejajar dengannya - saya (sumbu rotasi). Dimensi yang mencirikan silinder melingkar kanan adalah diameternya Dc dan tinggi aku (jarak antara dasar silinder).

Gambar 135

Silinder melingkar kanan juga dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar persegi panjang. ABCD mengelilingi salah satu sisinya, misalnya, Matahari (Gambar 136). Samping Matahari adalah sumbu rotasi, dan sisi IKLAN - generatrix silinder. Dua sisi lainnya akan menandai dasar silinder.

Gambar 136

Persegi panjang AB dan CD ketika diputar, mereka membentuk lingkaran - dasar silinder.

Konstruksi proyeksi silinder.

Konstruksi proyeksi horizontal dan frontal silinder dimulai dengan gambar dasar silinder, yaitu, dua proyeksi lingkaran (lihat Gambar 135, b). Karena lingkaran berada pada bidang H , kemudian diproyeksikan ke bidang ini tanpa distorsi. Proyeksi frontal suatu lingkaran adalah ruas garis lurus mendatar yang sama dengan diameter alas lingkaran.

Setelah membangun pangkalan pada proyeksi depan, dua generator sketsa(generator ekstrim) dan ketinggian silinder diplot pada mereka. Segmen garis horizontal digambar, yang merupakan proyeksi frontal dari dasar atas silinder (Gambar 135, c).

Penentuan proyeksi yang hilang dari titik A dan B yang terletak di permukaan silinder, menurut proyeksi frontal yang diberikan di kasus ini tidak menimbulkan kesulitan, karena seluruh proyeksi horizontal permukaan lateral silinder adalah lingkaran (Gambar 137, a). Oleh karena itu, proyeksi horizontal dari titik-titik TETAPI dan PADA dapat ditemukan dengan menggesek dari titik yang diberikan SEBUAH"" dan B"" jalur komunikasi vertikal sampai mereka berpotongan dengan lingkaran pada titik-titik yang diinginkan SEBUAH" dan B".

Proyeksi profil poin TETAPI dan PADA Mereka juga dibangun menggunakan jalur komunikasi vertikal dan horizontal.

Tampilan isometrik silinder menggambar, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 137, b.

Dalam titik isometrik TETAPI dan PADA dibangun sesuai dengan koordinatnya. Misalnya, untuk membangun titik PADA dari asalnya HAI sepanjang sumbu x tunda koordinatnya x , dan kemudian ditarik garis lurus melalui ujungnya, sejajar dengan sumbu pada , sampai berpotongan dengan kontur dasar di titik 2 . Dari titik ini, garis lurus ditarik sejajar dengan sumbu z, di mana koordinat diplot Z B , poin PADA .

Gambar 137

Lurus kerucut melingkar . Kerucut lingkaran siku-siku (Gambar 138) adalah sebuah benda yang dibatasi oleh permukaan lingkaran berbentuk kerucut dan sebuah lingkaran yang terletak pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu kerucut. permukaan kerucut diperoleh dengan memutar generatrix bujursangkar SA (Gambar 138, a), melewati titik pastiS pada sumbu rotasi saya dan membuat beberapa sudut konstan dengan sumbu ini. Dot S ditelepon bagian atas kerucut, dan permukaan kerucut adalah permukaan lateral kerucut. Ukuran kerucut melingkar yang tepat mencirikan diameter alasnya D K dan tinggi H .

Gambar 138

Kerucut lingkaran siku-siku juga dapat dianggap sebagai benda yang diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku SAB sekitar kakinya SB (Gambar 139). Dengan rotasi ini, hipotenusa menjelaskan permukaan kerucut, dan kaki AB - lingkaran, yaitu dasar kerucut.

Gambar 139

Konstruksi proyeksi kerucut.

Urutan pembuatan dua proyeksi kerucut ditunjukkan pada Gambar 167, b dan c. Pertama, dua proyeksi pangkalan dibangun. Proyeksi horizontal alasnya adalah lingkaran. Proyeksi frontal akan menjadi segmen garis horizontal yang sama dengan diameter lingkaran ini (Gambar 138, b). Pada proyeksi frontal, tegak lurus didirikan dari tengah alas, dan ketinggian kerucut diletakkan di atasnya (Gambar 138, c). Proyeksi frontal yang dihasilkan dari bagian atas kerucut dihubungkan oleh garis lurus dengan ujung proyeksi frontal alas dan diperoleh proyeksi frontal kerucut.

Membuat titik-titik pada permukaan kerucut

Jika proyeksi satu titik diberikan pada permukaan kerucut TETAPI (misalnya, proyeksi frontal pada Gambar 140), maka dua proyeksi lainnya dari titik ini ditentukan menggunakan garis bantu - generatrix yang terletak di permukaan kerucut dan ditarik melalui titik TETAPI , atau lingkaran yang terletak pada bidang yang sejajar dengan alas kerucut.

Gambar 140

Dalam kasus pertama (Gambar 140, a) melalui titik SEBUAH melakukan proyeksi frontal 1""S"" pembangkit tambahan. Menggunakan garis komunikasi vertikal yang ditarik dari titik 1 , terletak di proyeksi depan lingkaran dasar, temukan proyeksi horizontal 1" generatrix ini, di mana, dengan bantuan jalur komunikasi yang melewati SEBUAH" , Temukan titik yang diinginkan SEBUAH .

Dalam kasus kedua (Gambar 140, b) garis bantu yang melewati titik TETAPI , akan ada lingkaran yang terletak pada permukaan kerucut dan sejajar dengan bidang H - paralel. Proyeksi frontal lingkaran ini digambarkan sebagai segmen 1""1"" garis lurus horizontal, yang nilainya sama dengan diameter lingkaran bantu. Proyeksi horizontal yang diinginkan SEBUAH" poin TETAPI terletak di persimpangan jalur komunikasi, diturunkan dari titik SEBUAH" , dengan proyeksi horizontal lingkaran bantu.

Jika proyeksi frontal diberikan 1"" poin 1 terletak pada kontur (garis besar) generatrix, maka proyeksi horizontal titik tersebut tanpa garis bantu.

PADA pandangan isometrik titik TETAPI , terletak di permukaan kerucut, dibangun dalam tiga koordinat (lihat Gambar 140, c):  X ,  kamu dan Z TETAPI HAI sepanjang sumbu X koordinat tertunda  X  kamu z Z TETAPI TETAPI .

Bola. Bola (Gambar 141) adalah benda yang diperoleh dengan memutar setengah lingkaran ABC (menghasilkan) di sekitar diameternya AC (sumbu rotasi), dan permukaan yang digambarkan busur dalam kasus ini ABC , disebut sferis atau sferis. Bola mengacu pada benda yang hanya dibatasi oleh permukaan revolusi.

Gambar 141

Bola(bola) permukaan adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari satu titik HAI ditelepon pusat bola. Jika bola dipotong oleh bidang horizontal, maka lingkaran akan diperoleh di bagian - paralel. Paralel terbesar memiliki diameter sama dengan diameter bola. Lingkaran seperti itu disebut khatulistiwa. Lingkaran-lingkaran yang diperoleh sebagai hasil bagian-bagian bola oleh bidang-bidang yang melalui sumbu rotasinya disebut meridian.

Konstruksi proyeksi bola dan titik-titik pada permukaannya

Proyeksi bola ditunjukkan pada Gambar 142, a. Proyeksi horizontal dan frontal - lingkaran dengan jari-jari sama dengan jari-jari bola.

Gambar 142

Jika titik TETAPI terletak di permukaan bulat, lalu garis bantu 1"" 2"" , ditarik melalui titik ini sejajar dengan sumbu Oh (sejajar), diproyeksikan ke bidang proyeksi horizontal oleh sebuah lingkaran. Pada proyeksi horizontal lingkaran bantu, proyeksi horizontal yang diinginkan ditemukan menggunakan jalur komunikasi SEBUAH" poin TETAPI .

Nilai diameter lingkaran bantu sama dengan proyeksi frontal 1""2"" .

Gambar aksonometrik bola (bola) dibuat dalam bentuk lingkaran (Gambar 142 b), yang jari-jarinya secara geometris didefinisikan sebagai jarak dari pusat bola ke proyeksi ekuator (elips) di sepanjang sumbu utamanya (tegak lurus ke Ons ).

Dalam proyeksi aksonometrik, sebuah titik TETAPI , terletak di permukaan bola, dibangun menurut tiga koordinat: X TETAPI ,kamu TETAPI dan Z TETAPI . Koordinat ini secara berurutan diplot dalam arah sejajar dengan sumbu isometrik. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, dari titik HAI sepanjang sumbu X koordinat tertunda X TETAPI ; garis lurus ditarik dari ujungnya sejajar dengan sumbu y, di mana koordinat diplot kamu TETAPI ; dari ujung segmen, sejajar dengan sumbu z garis lurus ditarik, di mana koordinat diplot Z TETAPI . Sebagai hasil dari konstruksi, kami memperoleh titik yang diinginkan TETAPI .

Thor- benda (Gambar 143) yang dibentuk oleh rotasi lingkaran atau busurnya di sekitar sumbu yang terletak pada bidang yang sama dengannya tetapi tidak melewati pusat lingkaran atau busurnya.

Gambar 143

Jika sumbu rotasi tidak memotong lingkaran pembangkit, maka torus disebut cincin(torus terbuka) (Gambar 143, a). Jika sumbu rotasi memotong lingkaran pembangkit, maka ternyata torus berbentuk tong(torus tertutup atau torus berpotongan) (Gambar 143, b). Dalam kasus terakhir, generatrix dari permukaan torus adalah busur ABC lingkaran.

Lingkaran terbesar yang menggambarkan titik-titik generatrix permukaan torus disebut khatulistiwa, dan terkecil tenggorokan, atau leher.

Konstruksi proyeksi torus

Cincin melingkar (atau torus terbuka) memiliki proyeksi horizontal dalam bentuk dua lingkaran konsentris, perbedaan jari-jarinya sama dengan ketebalan cincin atau diameter lingkaran pembangkit (Gambar 145). Proyeksi frontal dibatasi ke kanan dan kiri oleh busur setengah lingkaran dengan diameter lingkaran pembangkit.

Gambar 144, a dan b menunjukkan dua jenis torus tertutup. Dalam kasus pertama, busur pembangkit dari lingkaran berjari-jari R menjauhi sumbu rotasi pada jarak kurang dari jari-jari R , dan dalam kasus kedua - lebih. Dalam kedua kasus, proyeksi frontal dari torus adalah pandangan nyata dari dua busur yang menghasilkan lingkaran jari-jari R terletak simetris sehubungan dengan proyeksi frontal sumbu rotasi. Proyeksi profil torus akan menjadi lingkaran.

Gambar 144

Membangun titik pada permukaan torus

Dalam kasus di mana titik TETAPI terletak di permukaan cincin melingkar dan salah satu proyeksinya diberikan, untuk menemukan proyeksi kedua dari titik ini, lingkaran bantu digunakan melewati poin yang diberikan TETAPI dan terletak di permukaan cincin pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu cincin (Gambar 145).

Jika proyeksi frontal diatur SEBUAH"" poin TETAPI berbaring di permukaan cincin, kemudian untuk menemukan proyeksi kedua (dalam hal ini, horizontal) melalui SEBUAH" melakukan proyeksi frontal dari lingkaran bantu - segmen garis lurus horizontal 2""2"" . Kemudian buat proyeksi horizontal 2"2" lingkaran ini dan di atasnya, dengan menggunakan jalur komunikasi, temukan titik SEBUAH" .

Jika proyeksi horizontal diberikan B" poin B terletak di permukaan cincin ini, kemudian untuk menemukan proyeksi frontal dari titik ini melalui 1" melakukan proyeksi horizontal lingkaran bantu jari-jari R 1 . Kemudian melalui titik kiri dan kanan 1" dan 1" dari lingkaran ini, garis komunikasi vertikal ditarik sampai mereka berpotongan dengan proyeksi frontal dari generatrix sketsa lingkaran jari-jari R dan dapatkan poin 1"" dan 1"" . Titik-titik ini dihubungkan oleh garis horizontal, yang merupakan proyeksi frontal dari lingkaran bantu (akan terlihat). Menggambar garis vertikal dari suatu titik B" ke persimpangan dengan garis 1""1"" dapatkan poin yang diinginkan B"" .

Teknik konstruksi yang sama berlaku untuk titik-titik yang terletak di permukaan torus.

Gambar 145

Membangun gambar aksonometrik Torus dapat dibagi menjadi tiga tahap (Gambar 146). Pertama, proyeksi garis aksial radial (lintasan pusat lingkaran pembangkit) dibangun dalam bentuk elips. Kemudian kita tentukan jari-jari bola yang menyentuh torus sepanjang generatrix (lingkaran). Untuk melakukan ini, kami membuat proyeksi generatrix sketsa frontal dari torus dalam bentuk elips yang lebih kecil. Jari-jari bola didefinisikan sebagai panjang segmen HAI 1 F dari pusat elips ke suatu titik pada elips yang terletak pada sumbu utama elips (tegak lurus Oy ). Selanjutnya, kami membangun sejumlah besar lingkaran dengan radius R bola dengan pusat pada proyeksi torus aksial radial HAI 1 … HAI n (semakin banyak, semakin akurat kontur torus masa depan). Akhirnya, kami menggambar garis kontur torus sebagai garis singgung pada setiap lingkaran bola.

Gambar 146

PADA proyeksi aksonometri titik TETAPI , terletak di permukaan torus, dibangun menurut tiga koordinat: X TETAPI ,kamu TETAPI dan Z TETAPI . Koordinat ini secara berurutan diplot dalam arah sejajar dengan sumbu isometrik.

Permukaan revolusi dan benda-benda yang dibatasi olehnya memiliki aplikasi luas di banyak bidang teknologi: balon tabung sinar katoda (Gbr. 8.11, sebuah), pusat mesin bubut (Gbr. 8.11, b) resonator gelombang mikro volumetrik osilasi elektromagnetik(Gbr. 8.11, di), penyimpanan kapal dewa udara cair(Gbr. 8.11, G), kolektor elektron dari perangkat sinar katoda yang kuat (Gbr. 8.11, e), dll.

Tergantung pada jenis generatrix permukaan, rotasi dapat diatur, non-linier, atau terdiri dari bagian-bagian permukaan tersebut.

Permukaan revolusi adalah permukaan yang dihasilkan dari rotasi generatrix di sekitar garis tetap. sumbu lurus permukaan.

Dalam gambar, sumbu diwakili oleh garis putus-putus. Jalur pembangkit bisa kasus umum memiliki bagian melengkung dan lurus. Permukaan revolusi dalam gambar dapat ditentukan oleh generatrix dan posisi sumbu. Gambar 8.12 menunjukkan permukaan revolusi, yang dibentuk oleh rotasi generatrix AlCD (proyeksi depannya a"b"c"d") di sekitar sumbu OO 1 (proyeksi depan o"o 1" , tegak lurus bidang N. Selama rotasi, setiap titik generatrix menggambarkan lingkaran, yang bidangnya tegak lurus terhadap sumbu. Dengan demikian, garis perpotongan permukaan revolusi oleh sembarang bidang yang tegak lurus terhadap sumbu adalah lingkaran. Lingkaran seperti itu disebut paralel. Tampilan atas (Gbr. 8.12) menunjukkan proyeksi lingkaran yang dijelaskan oleh titik A, B, C dan D, melewati proyeksi a, b, c, d. Sejajar terbesar dari dua paralel yang berdekatan di kedua sisinya disebut khatulistiwa, juga yang terkecil tenggorokan.

Bidang yang melalui sumbu permukaan revolusi disebut meridional garis perpotongannya dengan permukaan revolusi - meridian. Jika sumbu permukaan sejajar dengan bidang proyeksi, maka meridian yang terletak pada bidang yang sejajar dengan bidang proyeksi ini disebutmeridian utama.Meridian utama diproyeksikan ke bidang proyeksi ini tanpa distorsi. Jadi, jika sumbu permukaan revolusi sejajar dengan bidang V, kemudian meridian utama diproyeksikan ke pesawat V tanpa distorsi, misalnya proyeksi a"f"b"c"d". Jika sumbu permukaan revolusi tegak lurus terhadap bidang H, maka proyeksi horizontal permukaan tersebut memiliki garis luar berupa lingkaran.

Yang paling nyaman untuk melakukan gambar permukaan revolusi adalah kasus ketika sumbunya tegak lurus terhadap bidang H, ke bidang V atau ke bidang W.

Beberapa permukaan revolusiadalah kasus khusus dari permukaan yang dipertimbangkan dalam 8.1, misalnya, silinder revolusi, kerucut revolusi. Untuk silinder dan kerucut revolusi, meridian adalah garis lurus. Mereka sejajar dengan sumbu dan berjarak sama darinya untuk silinder atau memotong sumbu pada titik yang sama pada sudut yang sama dengan sumbu untuk kerucut. Silinder dan kerucut revolusi adalah permukaan yang tidak terbatas dalam arah generatornya; oleh karena itu, dalam gambar mereka dibatasi oleh beberapa garis, misalnya, oleh garis perpotongan permukaan ini dengan bidang proyeksi atau oleh salah satu paralel. Diketahui dari geometri padat bahwa silinder lingkaran siku-siku dan kerucut lingkaran siku-siku dibatasi oleh permukaan revolusi dan bidang-bidang yang tegak lurus terhadap sumbu permukaan. Meridian silinder semacam itu adalah persegi panjang, meridian kerucut adalah segitiga.

Permukaan revolusi seperti bola terbatas dan dapat ditunjukkan secara penuh dalam gambar. Ekuator dan meridian bola adalah lingkaran yang sama. Pada proyeksi ortogonal pada ketiga bidang proyeksi, garis luar bola diproyeksikan ke dalam lingkaran.

Thor. Ketika sebuah lingkaran (atau busurnya) berputar di sekitar sumbu yang terletak pada bidang lingkaran ini, tetapi tidak melalui pusatnya, permukaan yang disebut torus diperoleh. Gambar 8.13 menunjukkan: torus terbuka, atau cincin melingkar, - Gambar 8.13, sebuah, torus tertutup - gambar 8.13, b, torus berpotongan sendiri - gambar 8.13, c, Tor (Gbr. 8.13, d) juga disebut lemon. Pada Gambar 8.13 mereka ditampilkan dalam posisi di mana sumbu torus tegak lurus terhadap bidang proyeksi N. Bola dapat dituliskan dalam tori terbuka dan tertutup. Torus dapat dilihat sebagai permukaan yang membungkus bola identik yang pusatnya berada pada lingkaran.

Dalam konstruksi pada gambar, dua sistem bagian melingkar dari torus banyak digunakan: pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbunya, dan pada bidang yang melewati sumbu torus. Pada saat yang sama, di flat

Dalam arah tegak lurus terhadap sumbu torus, pada gilirannya, ada dua keluarga lingkaran - garis perpotongan bidang dengan permukaan luar torus dan garis perpotongan bidang dengan permukaan bagian dalam torus. Torus berbentuk lemon (Gbr. 8.13, d) hanya memiliki keluarga lingkaran pertama.

Selain itu, torus juga memiliki sistem ketiga bagian melingkar, yang terletak pada bidang yang melewati pusat torus dan bersinggungan dengannya. Permukaan dalam. Gambar 8.14 menunjukkan bagian melingkar dengan pusat o 1r dan o 2r pada bidang proyeksi tambahan R, dibentuk oleh bidang proyeksi depan Q(Qv), melewati pusat torus dengan proyeksi oh" oh dan bersinggungan dengan permukaan bagian dalam torus pada titik-titik dengan proyeksi 1", 1, 2" 2. Proyeksi titik 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10membuat gambar lebih mudah dibaca. Diameter d bagian melingkar ini sama dengan panjang sumbu utama elips di mana bagian melingkar diproyeksikan ke pesawat horisontal proyeksi: d = 2R.

Poin pada permukaan revolusi.Posisi suatu titik pada permukaan revolusi ditentukan oleh kepemilikan titik tersebut terhadap garis bingkai permukaan, yaitu dengan bantuan sebuah lingkaran yang melalui titik ini pada permukaan revolusi. Dalam kasus permukaan yang diatur, generator bujursangkar juga dapat digunakan untuk tujuan ini.

Penggunaan generatrix paralel dan bujursangkar untuk membangun proyeksi titik-titik yang termasuk dalam permukaan revolusi tertentu ditunjukkan pada Gambar 8.12. Jika sebuah

diberikan proyeksi t", kemudian lakukan proyeksi frontal f"f1" paralel dan kemudian jari-jari R gambar lingkaran - proyeksi horizontal paralel - dan temukan proyeksi di atasnya t. Jika proyeksi horizontal diberikan t, maka perlu menggambar radius R=om lingkaran, bangun f "di titik f" dan gambar f"f1"- proyeksi frontal paralel - dan tandai titik di atasnya dalam koneksi proyeksi t". Jika diberi proyeksi P" pada bagian yang diatur (kerucut) dari permukaan revolusi, maka proyeksi frontal dilakukan d"s" sketsa generatrix dan melalui proyeksi n "- proyeksi frontal s "ke" generatrix pada permukaan kerucut. Kemudian dalam tampilan rencana sk generatrix ini membangun proyeksi n. Jika proyeksi horizontal n diberikan, maka proyeksi horizontal harus dibuat melaluinya sk generatrix, berdasarkan proyeksi k" dan s" (konstruksinya dibahas di atas) membangun proyeksi frontal s"ke" dan di atasnya dalam sambungan proyeksi tandai proyeksi n "

Gambar 8.15 menunjukkan konstruksi proyeksi titik KE, milik permukaan torus. Perlu dicatat bahwa konstruksi dibuat untuk proyeksi horizontal yang terlihat ke dan proyeksi depan ke".

Gambar 8.16 menunjukkan konstruksi menurut proyeksi frontal yang diberikan t" titik-titik pada permukaan bola horizontalnya t dan profil t " proyeksi. Proyeksi t dibangun menggunakan lingkaran - paralel yang melewati proyeksi m". Jari-jarinya adalah o-1. Proyeksi m "" dibangun menggunakan lingkaran, bidang yang sejajar dengan bidang profil proyeksi yang melewati proyeksi t". Jari-jarinya sekitar "2".

Konstruksi proyeksi garis pada permukaan revolusi juga dapat dilakukan dengan menggunakan lingkaran - paralel yang melewati titik-titik milik garis ini.

Gambar 8.17 menunjukkan konstruksi proyeksi horizontal sebuah garis yang ditentukan oleh proyeksi frontal a"b" pada permukaan revolusi, terdiri dari bagian-bagian permukaan bola, torus, kerucut. Untuk gambar proyeksi horizontal garis yang lebih akurat, kami melanjutkan proyeksi depan ke atas dan ke bawah dan menandai proyeksi 6" dan 5" titik ekstrim. Proyeksi horizontal 6, 1, 3, 4, 5 dibangun dengan jalur komunikasi. Proyeksi b, 2, 7, 8, dan dibangun menggunakan paralel yang proyeksi depannya melewati proyeksi b"2", 7", 8", a" titik-titik ini. Jumlah dan lokasi titik perantara pilih berdasarkan bentuk garis dan akurasi konstruksi yang diperlukan. Proyeksi horizontal garis terdiri dari bagian: b-1 - bagian elips,

Contoh benda padat revolusi

• Bola - dibentuk oleh setengah lingkaran yang berputar di sekitar diameter potongan
• Silinder - dibentuk oleh persegi panjang yang berputar di sekitar salah satu sisinya

Untuk luas permukaan lateral silinder, diambil luas perkembangannya: Sside = 2πrh.

• Kerucut - terbentuk segitiga siku-siku, berputar di sekitar salah satu kaki

Luas perkembangannya diambil sebagai luas permukaan lateral kerucut: Sisi = rl Luas permukaan penuh kerucut: Scon = r(l+ r)

Ketika kontur gambar diputar, permukaan revolusi muncul (misalnya, bola yang dibentuk oleh lingkaran), sedangkan ketika kontur yang diisi berputar, benda muncul (seperti bola yang dibentuk oleh lingkaran).

Volume dan luas permukaan benda revolusi

• Teorema Guldin-Papp pertama menyatakan:

• Teorema Guldin-Papp kedua menyatakan:

literatur

A.V. Pogorelov. "Geometri. Tingkat 10-11» 21. Badan rotasi. - 2011

Catatan

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa itu "Tubuh revolusi" di kamus lain:

detail dengan langkan tertutup - badan revolusi- Bagian dari bagian, yang permukaannya dibatasi pada kedua sisinya oleh permukaan putaran yang berdiameter lebih besar. Kehadiran langkah tertutup tidak memengaruhi definisi melangkah permukaan luar. Alur untuk keluar dari alat tidak dianggap ... ...

cangkang memiliki bentuk badan revolusi- - [AS Goldberg. Kamus Energi Bahasa Inggris Rusia. 2006] Topik energi secara umum EN shell of revolution ... Buku Pegangan Penerjemah Teknis

teori tubuh halus Ensiklopedia "Penerbangan"

teori tubuh halus- Mengalir di sekitar tubuh yang kurus dengan sudut serangan yang tidak nol. teori tubuh tipis - teori aliran irotasional spasial cairan ideal di dekat tubuh kurus[benda di mana dimensi transversal l (ketebalan, jangkauan) kecil dibandingkan dengan ... ... Ensiklopedia "Penerbangan"

Teori aliran irotasional spasial fluida ideal dekat benda tipis (benda di mana dimensi transversal l (ketebalan, jangkauan) kecil dibandingkan dengan dimensi longitudinal L: (τ) = l / LEncyclopedia of technology

Kecepatan sudut (panah biru) satu unit searah jarum jam Kecepatan sudut (panah biru) satu setengah unit searah jarum jam Kecepatan sudut (panah biru) satu unit berlawanan arah jarum jam Ug ... Wikipedia

Cabang ilmu fisika yang mempelajari struktur dan sifat benda padat. Data ilmiah tentang mikrostruktur padatan dan tentang fisik dan sifat kimia atom penyusunnya diperlukan untuk pengembangan material dan perangkat teknis baru. Fisika ... ... Ensiklopedia Collier

Gerak suatu benda dalam medan gravitasi bumi sejak awal. kecepatan, nol. P.t. terjadi di bawah pengaruh gaya gravitasi, yang bergantung pada jarak r ke pusat Bumi, dan gaya hambatan medium (udara atau air), yang bergantung pada kecepatan v gerakan. Pada … … Ensiklopedia Fisik

Sebuah garis lurus yang diam terhadap putaran di sekitarnya tubuh yang kokoh. Untuk benda tegar yang memiliki titik tetap (misalnya, untuk atasan pemintal bayi), garis lurus yang melewati titik ini, dengan memutar tubuh bergerak dari yang diberikan ... ... kamus ensiklopedis

Gerak suatu benda dalam medan gravitasi bumi kecepatan awal sama dengan nol. P. t. terjadi di bawah aksi gaya gravitasi, tergantung pada jarak r ke pusat Bumi, dan gaya hambatan medium (udara atau air), yang bergantung pada kecepatan ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Buku

• Satu set meja. Matematika. Polihedra. badan-badan revolusi. 11 tabel + 64 kartu + metodologi,. Album edukasi 11 lembar (format 68 x 98 cm): - Desain paralel. - Gambar angka datar. - Ilustrasi langkah demi langkah dari bukti teorema. - Saling mengatur garis dan ...
• Integrasi Persamaan Kesetimbangan Badan Elastis Revolusi dengan Distribusi Simetris Volume dan Gaya Permukaan Tentang Porosnya, G.D. Grodsky. Direproduksi dalam ejaan penulis asli dari edisi 1934 (rumah penerbitan `Prosiding Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet`). PADA…