ირაციონალური რიცხვი- ეს არ არის რაციონალური ნამდვილი რიცხვი, ე.ი. ის არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად \(\frac(m)(n)\) (ორი მთელი რიცხვის თანაფარდობით), სადაც მარის მთელი რიცხვი, ნ- ნატურალური რიცხვი. ირაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადის სახით.

ირაციონალურ რიცხვს არ შეიძლება ჰქონდეს ზუსტი ღირებულება. მაგალითად, ორის კვადრატული ფესვი არის ირაციონალური რიცხვი.

კომპლექტი აღინიშნება ირაციონალური რიცხვებიდიდი ინგლისური ასო\(ᲛᲔ\) .

რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე ქმნის სიმრავლეს რეალური რიცხვები. რეალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასო \(R\) .

კვადრატული ფესვი(არითმეტიკული კვადრატული ფესვი) არაუარყოფით რიცხვს \(a\) ეწოდება ასეთი არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი არის \(a\) . \(\displaystyle (\sqrt(a)=x,\ ((x)^(2))=a;\ x,a\ge 0)\).

სავარაუდო მნიშვნელობები კვადრატული ფესვიდან მოცემული ნომერიერთი, ორი ზედიზედ ნატურალური რიცხვები, რომელთაგან პირველის კვადრატი ნაკლებია და მეორის კვადრატი მეტია მოცემულ რიცხვზე.

ამ რიცხვებიდან პირველს უწოდებენ ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობას ნაკლოვანებით, მეორეს - ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობას ჭარბი რაოდენობით.

ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობები იწერება შემდეგნაირად: \(\sqrt(10)\ approx3 (\ s \ კვირა); \ \sqrt(10)\ approx4 (\ s \ est)\).

მაგალითი 1. იპოვეთ სავარაუდო მნიშვნელობა \(\sqrt3\) ორი ათობითი ადგილით. შევაფასოთ რადიკალური გამოხატულება 3 პირველი, როგორც მთელი რიცხვები. 1 წლიდან< 3 < 4, то \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) или \(1<\sqrt3<2\) . Поэтому десятичная запись числа \(\sqrt3\) начинается с цифры 1, т. е. \(\sqrt3\approx1,...\) .

ახლა ვიპოვოთ მეათედების რიცხვი. ამისთვის ათწილადების წილადებს 1.1 გავასწორებთ; 1.2; 1.3; ... სანამ ისევ არ შევაფასებთ რადიკალურ გამოსახულებას 3 ასეთი რიცხვებით გვაქვს: 1.12 = 1.21; 1.22 = 1.44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25; 1,62 = 2,56; 1,72 = 2,89; 1.82 = 3.24. 2.89 წლიდან< 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < \(\sqrt3\) < 1,8 . Значит, \(\sqrt3\approx1,7...\) .

მეასედების რიცხვის საპოვნელად, ათწილადების წილადებს თანმიმდევრულად კვადრატში ვაქცევთ 1,71; 1.72; 1.73; ..., კვლავ ვაფასებთ რადიკალურ გამონათქვამს 3. გვაქვს: 1,712 = 2,9241; 1.722 = 2.9584; 1.732 = 2.9929; 1.742 = 3.0276. 1.732 წლიდან< 3 < 1,742, то 1,73 < \(\sqrt3\) < 1,74. Поэтому \(\sqrt3\approx1,73\) .

მაგალითი 2გამოთვალეთ \(\sqrt(138384)\) .

ამოხსნა: დავყოთ რიცხვი სახეებად: 13 "83" 84 - სამი მათგანია, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი უნდა იყოს სამნიშნა რიცხვი. შედეგის პირველი ციფრი არის 3, რადგან 3 2< 13, тогда как 4 2 >13. 13-ს გამოვაკლებთ 9-ს, მივიღებთ 4-ს. შემდეგი სახის მინიჭებით 4-ს მივიღებთ ა= 483. შედეგის ხელმისაწვდომი ნაწილის გაორმაგება, ანუ რიცხვი 3, მივიღებთ ა= 6. ახლა ავირჩიოთ ყველაზე დიდი ციფრი xისე რომ ორნიშნა რიცხვის ნამრავლი ნაჯახიზე xიყო 483-ზე ნაკლები. ეს რიცხვი იქნება 7, ვინაიდან 67 * 7 = 469 483-ზე ნაკლებია, ხოლო 68 * 8 = 544 483-ზე მეტია. ასე რომ, შედეგის მეორე ციფრი არის 7.

თუ გამოვაკლებთ 469-ს 483-ს, მივიღებთ 14-ს. ბოლო კიდის მინიჭებით ამ რიცხვს მარჯვნივ, მივიღებთ ბ= 1484. შედეგის ხელმისაწვდომი ნაწილის გაორმაგება, ე.ი. ნომერი 37, მივიღებთ ბ= 74. ახლა ავირჩიოთ ასეთი უდიდესი რიცხვი წისე რომ სამნიშნა რიცხვის ნამრავლი მიერზე წარ აღემატებოდა 1484-ს. ეს მაჩვენებელი იქნება 2, ვინაიდან 742 * 2 = 1484. რიცხვი 2 არის შედეგის ბოლო ციფრი. პასუხი იყო 372.

\(\sqrt(138384)=372\) .

თუ ფესვი არ არის ამოღებული, მაშინ მოცემული რიცხვის ბოლო ციფრის შემდეგ იდება მძიმით და იქმნება შემდგომი სახეები, რომელთაგან თითოეულს აქვს ფორმა 00. ამ შემთხვევაში ფესვის ამოღების პროცესი უსასრულოა; ის ჩერდება საჭირო სიზუსტის მიღწევისას.

რეალური ნომრები II

§ 39 რაციონალური რიცხვებიდან კვადრატული ფესვების ამოღება

როგორც ვიცით, რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეში გამრავლების ოპერაცია ყოველთვის შესაძლებელია. კერძოდ, პროდუქტი მ / ნ მ / ნ . ცნობილია, რომ ამ პროდუქტს რიცხვის კვადრატი ეწოდება. მ / ნ და აღნიშნა ( მ / ნ ) 2:

( მ / ნ ) 2 = მ / ნ მ / ნ

ამრიგად, თუ რომელიმე რიცხვი რაციონალურია, მაშინ მისი კვადრატიც რაციონალური რიცხვია. ეს რიცხვი აშკარად დადებითია. და ახლა ჩვენ ვაყენებთ შებრუნებულ პრობლემას: არის თუ არა ყოველი დადებითი რაციონალური რიცხვი რაღაც რაციონალური რიცხვის კვადრატი? ალგებრული განტოლებების ენაზე ეს პრობლემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად. განტოლების გათვალისწინებით

X 2 = ა ,

სადაც ა არის რაღაც დადებითი რაციონალური რიცხვი და X - უცნობი ღირებულება. საკითხავია: აქვს თუ არა ამ განტოლებას ყოველთვის რაციონალური ფესვები? ამ კითხვაზე პასუხი უარყოფითი გამოდის. რაციონალური რიცხვი ა შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ განტოლება X 2 = ა არ ექნება ერთი რაციონალური ფესვი. ამაში ჩვენ ვრწმუნდებით, კერძოდ, შემდეგი თეორემით.

თეორემა.არ არსებობს რაციონალური რიცხვი, რომლის კვადრატი არის 2.

მტკიცება განხორციელდება წინააღმდეგობით. დავუშვათ, არის რაციონალური რიცხვი მ / ნ , რომლის კვადრატი არის 2: ( მ / ნ ) 2 = 2.

თუ მთელი რიცხვები ტ და პ აქვს იგივე მამრავლები, შემდეგ წილადი მ / ნ შეიძლება შემცირდეს. ამიტომ, თავიდანვე შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ წილადი მ / ნ შეუმცირებელი.

მდგომარეობიდან ( მ / ნ ) 2 = 2 გამოდის, რომ

ტ 2 = 2პ 2 . .

მე-2 ნომრიდან პ 2 არის ლუწი, შემდეგ რიცხვი ტ 2 უნდა იყოს თანაბარი. მაგრამ მაშინ რიცხვი ლუწი იქნება ტ . (დაამტკიცე!) ასე რომ ტ = 2კ , სად კ არის რაღაც მთელი რიცხვი. ამ გამოთქმის ჩანაცვლება ტ ფორმულაში ტ 2 = 2პ 2 მიიღე: 4 კ 2 = 2პ 2, საიდანაც

პ 2 =2კ 2 .

ამ შემთხვევაში, ნომერი პ 2 იქნება ლუწი; მაგრამ მაშინ რიცხვი უნდა იყოს ლუწი პ . თურმე ნომრები ტ და პ თუნდაც. და ეს ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ წილადი მ / ნ შეუმცირებელი. მაშასადამე, ჩვენი საწყისი ვარაუდი წილადის არსებობის შესახებ მ / ნ პირობის დაკმაყოფილება ( მ / ნ ) 2 = 2., მცდარია. რჩება იმის აღიარება, რომ ყველა რაციონალურ რიცხვს შორის არ არის ისეთი, ვისი კვადრატი იქნება 2-ის ტოლი. ამიტომ, განტოლება

X 2 = 2

სიმრავლეში რაციონალურირიცხვები გადაუწყვეტელია. მსგავსი დასკვნის გაკეთება შეიძლება ფორმის ბევრ სხვა განტოლებაზეც

X 2 = ა ,

სადაც ა არის დადებითი მთელი რიცხვი. მიუხედავად ამისა, VIII კლასში არაერთხელ ვისაუბრეთ ასეთი განტოლებების ფესვებზე. და განტოლების დადებითი ფესვი X 2 = ა ჩვენ კი დავარქვით სპეციალური სახელი "რიცხვის კვადრატული ფესვი ა ” და შემოიღო სპეციალური აღნიშვნა: √ ა .

ასე რომ, √2 არ ეკუთვნის რაციონალურ რიცხვებს. მაგრამ როგორ შეიძლება √2-ის დახასიათება? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, გავიხსენოთ კვადრატული ფესვების ამოღების წესი. როდესაც გამოიყენება ნომერი 2-ზე, ეს წესი იძლევა:

ფესვის ამოღების პროცესი ამ შემთხვევაში ვერც ერთ საფეხურზე ვერ დასრულდება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, √2 ტოლი იქნება სასრული ათობითი წილადისა და, შესაბამისად, იქნება რაციონალური რიცხვი. და ეს ეწინააღმდეგება ზემოთ დადასტურებულ თეორემას. ამრიგად, 2-ის კვადრატული ფესვის აღებისას მიიღება უსასრულო ათობითი წილადი. ეს წილადი არ შეიძლება იყოს პერიოდული, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა უსასრულო პერიოდული წილადი, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მთელი რიცხვის თანაფარდობით. და ეს ასევე ეწინააღმდეგება ზემოთ დადასტურებულ თეორემას. ამრიგად, √2 შეიძლება მივიჩნიოთ, როგორც უსასრულო არაპერიოდული ათწილადი.

ასე, მაგალითად, მთელი რიცხვებიდან ფესვების ამოღების მოქმედება მიგვიყვანს უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადებამდე.

შემდეგ აბზაცებში განვიხილავთ კიდევ ერთ პრობლემას, რომელიც, ზოგადად რომ ვთქვათ, არაფერ შუაშია ფესვების ამოღებასთან, მაგრამ ასევე მიგვიყვანს უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადებისკენ.

Სავარჯიშოები

305. მიუთითეთ რამდენიმე ნატურალური რიცხვი, რომელთა კვადრატული ფესვები რაციონალური რიცხვები იქნება.

306. დაამტკიცეთ, რომ თუ ნატურალური რიცხვის კვადრატული ფესვი რაციონალური რიცხვია, მაშინ ეს რაციონალური რიცხვი აუცილებლად მთელი რიცხვია.

307. დაამტკიცეთ, რომ განტოლება X რაციონალური რიცხვების სიმრავლეში 3 = 5 არ აქვს ფესვები.

ჩვენ უკვე ვაჩვენეთ, რომ $1\frac25$ ახლოს არის $\sqrt2$-თან. თუ ის ზუსტად $\sqrt2$-ის ტოლი იქნებოდა, . მაშინ თანაფარდობა - $\frac(1\frac25)(1)$, რომელიც შეიძლება გადაიზარდოს მთელი რიცხვების თანაფარდობად $\frac75$ წილადის ზედა და ქვედა ნაწილების 5-ზე გამრავლებით, იქნება სასურველი მნიშვნელობა.

მაგრამ, სამწუხაროდ, $1\frac25$ არ არის $\sqrt2$-ის ზუსტი მნიშვნელობა. უფრო ზუსტი პასუხი $1\frac(41)(100)$ მოცემულია $\frac(141)(100)$ მიმართებით. ჩვენ მივაღწევთ კიდევ უფრო დიდ სიზუსტეს, როდესაც ვაიგივებთ $\sqrt2$-ს $1\frac(207)(500)$-თან. ამ შემთხვევაში, თანაფარდობა მთელ რიცხვებში იქნება $\frac(707)(500)$. მაგრამ $1\frac(207)(500)$ არც 2-ის კვადრატული ფესვის ზუსტი მნიშვნელობაა. ბერძენმა მათემატიკოსებმა დიდი დრო და ძალისხმევა დახარჯეს $\sqrt2$-ის ზუსტი მნიშვნელობის გამოსათვლელად, მაგრამ მათ წარმატებას ვერ მიაღწიეს. მათ ვერ წარმოადგენდნენ $\frac(\sqrt2)(1)$ თანაფარდობას, როგორც მთელი რიცხვების თანაფარდობას.

საბოლოოდ, დიდმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდემ დაამტკიცა, რომ რაც არ უნდა გაიზარდოს გამოთვლების სიზუსტე, შეუძლებელია $\sqrt2$-ის ზუსტი მნიშვნელობის მიღება. არ არსებობს წილადი, რომელიც კვადრატში გამოვა 2. ამბობენ, რომ პითაგორა იყო პირველი, ვინც მივიდა ამ დასკვნამდე, მაგრამ ამ აუხსნელმა ფაქტმა იმდენად დიდი შთაბეჭდილება მოახდინა მეცნიერზე, რომ მან დაიფიცა და თავისი სტუდენტებისგან ფიცი დადო, რომ შეენარჩუნებინა. ეს აღმოჩენა საიდუმლოა. თუმცა, ეს ინფორმაცია შეიძლება არ იყოს სიმართლე.

მაგრამ თუ რიცხვი $\frac(\sqrt2)(1)$ არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მთელი რიცხვების თანაფარდობით, მაშინ არცერთი რიცხვი არ შეიცავს $\sqrt2$, მაგალითად $\frac(\sqrt2)(2)$ ან $\frac. (4)(\sqrt2)$ ასევე არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც მთელი რიცხვების თანაფარდობა, რადგან ყველა ასეთი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას $\frac(\sqrt2)(1)$-ად გამრავლებული რაღაც რიცხვზე. ასე რომ, $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. ან $\frac(\sqrt2)(1) \ჯერ 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, რომელიც შეიძლება გარდაიქმნას ზედა და ქვედა $\sqrt2$-ზე გამრავლებით, რათა მიიღოთ $\frac(4) (\sqrt2)$. (არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ რა რიცხვიც არ უნდა იყოს $\sqrt2$, თუ გავამრავლებთ $\sqrt2$-ზე, მივიღებთ 2-ს.)

ვინაიდან რიცხვი $\sqrt2$ არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც მთელი რიცხვების თანაფარდობა, მას ე.წ. ირაციონალური რიცხვი. მეორეს მხრივ, ყველა რიცხვი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მთელი რიცხვების თანაფარდობით, ეწოდება რაციონალური.

ყველა მთელი და წილადი რიცხვი, დადებითიც და უარყოფითიც, რაციონალურია.

როგორც ირკვევა, კვადრატული ფესვების უმეტესობა ირაციონალური რიცხვია. რაციონალური კვადრატული ფესვები მხოლოდ კვადრატული რიცხვების სერიაში შემავალი რიცხვებისთვისაა. ამ რიცხვებს ასევე უწოდებენ სრულყოფილ კვადრატებს. რაციონალური რიცხვები ასევე არის წილადები, რომლებიც შედგება ამ სრულყოფილი კვადრატებისგან. მაგალითად, $\sqrt(1\frac79)$ არის რაციონალური რიცხვი, რადგან $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ ან $1\frac13$ (4 არის ფესვი. კვადრატი 16-ისა და 3 არის 9-ის კვადრატული ფესვი).