O comprimento do segmento eixo coordenadoé encontrado pela fórmula:
O comprimento do segmento plano coordenado pesquisado pela fórmula:
Para encontrar o comprimento de um segmento em um sistema de coordenadas tridimensional, a seguinte fórmula é usada:
As coordenadas do meio do segmento (para o eixo de coordenadas apenas a primeira fórmula é usada, para o plano de coordenadas - as duas primeiras fórmulas, para o sistema de coordenadas tridimensional - todas as três fórmulas) são calculadas pelas fórmulas:
Funçãoé uma correspondência da forma y= f(x) entre variáveis, pelo que cada uma considerou o valor de alguma variável x(argumento ou variável independente) corresponde determinado valor outra variável, y(variável dependente, às vezes esse valor é chamado simplesmente de valor da função). Observe que a função assume que um valor do argumento x só pode haver um valor da variável dependente no. No entanto, o mesmo valor no pode ser obtido com vários x.
escopo da função são todos valores da variável independente (argumento da função, geralmente x) para o qual a função é definida, ou seja, seu significado existe. O domínio de definição é indicado D(y). Em geral, você já está familiarizado com esse conceito. O escopo de uma função também é chamado de escopo valores permitidos, ou ODZ, que você encontra há muito tempo.
Faixa de função- é tudo valores possíveis variável dependente desta função. Denotado E(no).
Função sobe no intervalo onde maior valor argumento corresponde ao maior valor da função. função decrescente no intervalo em que o maior valor do argumento corresponde ao menor valor da função.
intervalos de função são os intervalos da variável independente em que a variável dependente retém seu sinal positivo ou negativo.
zeros de função são aqueles valores do argumento para os quais o valor da função é igual a zero. Nesses pontos, o gráfico da função intercepta o eixo das abcissas (eixo OX). Muitas vezes, a necessidade de encontrar os zeros de uma função significa simplesmente resolver a equação. Além disso, muitas vezes a necessidade de encontrar intervalos de sinal constante significa a necessidade de simplesmente resolver a inequação.
Função y = f(x) são chamados até x
Isso significa que para qualquer significados opostos argumento, os valores da função par são iguais. Cronograma função par sempre simétrico em relação ao eixo y do y.
Função y = f(x) são chamados ímpar, se for definido em um conjunto simétrico e para qualquer x do domínio de definição a igualdade é satisfeita:
Isso significa que, para quaisquer valores opostos do argumento, os valores da função ímpar também são opostos. O gráfico de uma função ímpar é sempre simétrico em relação à origem.
A soma das raízes de um par e características estranhas(pontos de interseção do eixo x OX) é sempre zero, porque para cada raiz positiva x responsável por raiz negativa –x.
É importante observar que algumas funções não precisam ser pares ou ímpares. Existem muitas funções que não são nem pares nem ímpares. Tais funções são chamadas funções visão geral , e nenhuma das igualdades ou propriedades acima é válida para eles.
Função linearé chamada de função que pode ser dada pela fórmula:
O gráfico de uma função linear é uma linha reta e em caso Geral se parece com isso (um exemplo é dado para o caso quando k> 0, neste caso a função é crescente; para a ocasião k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Gráfico da função quadrática (parábola)
O gráfico de uma parábola é dado por uma função quadrática:
Uma função quadrática, como qualquer outra função, intercepta o eixo OX nos pontos que são suas raízes: ( x 1 ; 0) e ( x 2; 0). Se não houver raízes, a função quadrática não intercepta o eixo OX; se houver uma raiz, nesse ponto ( x 0; 0) a função quadrática apenas toca o eixo OX, mas não o intercepta. Uma função quadrática sempre intercepta o eixo OY em um ponto com coordenadas: (0; c). Cronograma função quadrática(parábola) pode ser assim (a figura mostra exemplos que estão longe de esgotar todos tipos possíveis parábola):
Em que:
- se o coeficiente uma> 0, na função y = machado 2 + bx + c, então os ramos da parábola são direcionados para cima;
- E se uma < 0, то ветви параболы направлены вниз.
As coordenadas do vértice da parábola podem ser calculadas usando as seguintes fórmulas. X topos (p- nas figuras acima) de uma parábola (ou do ponto em que o trinômio quadrado atinge seu valor máximo ou mínimo):
Y tops (q- nas figuras acima) de uma parábola ou o máximo se os ramos da parábola forem direcionados para baixo ( uma < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (uma> 0), valor trinômio quadrado:
Gráficos de outras funções
Função liga-desliga
Aqui estão alguns exemplos de gráficos de funções de potência:
Dependência inversamente proporcional chame a função dada pela fórmula:
Dependendo do sinal do número k gráfico de volta dependência proporcional pode ter duas opções principais:
assimptotaé a linha à qual a linha do gráfico da função se aproxima infinitamente, mas não se cruza. Assíntotas para Gráficos proporcionalidade inversa mostrados na figura acima são os eixos de coordenadas aos quais o gráfico da função se aproxima infinitamente, mas não os intercepta.
função exponencial com base uma chame a função dada pela fórmula:
uma o gráfico de uma função exponencial pode ter duas opções fundamentais (também daremos exemplos, veja abaixo):
função logarítmica chame a função dada pela fórmula:
Dependendo se mais ou menos de um número uma cronograma função logarítmica pode ter duas opções principais:
gráfico de funções y = |x| do seguinte modo:
Gráficos de funções periódicas (trigonométricas)
Função no = f(x) é chamado periódico, se existe tal número diferente de zero T, o que f(x + T) = f(x), para qualquer um x fora do escopo da função f(x). Se a função f(x) é periódica com período T, então a função:
Onde: UMA, k, b – números constantes, e k diferente de zero, também periódica com um período T 1 , que é determinado pela fórmula:
A maioria dos exemplos de funções periódicas são funções trigonométricas. Aqui estão os gráficos das principais funções trigonométricas. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função y= pecado x(todo o gráfico continua indefinidamente à esquerda e à direita), o gráfico da função y= pecado x chamado sinusóide:
gráfico de funções y= cos x chamado onda cosseno. Esse gráfico é mostrado na figura a seguir. Desde o gráfico do seno, continua indefinidamente ao longo do eixo OX para a esquerda e para a direita:
gráfico de funções y=tg x chamado tangenteide. Esse gráfico é mostrado na figura a seguir. Como os gráficos de outras funções periódicas, este gráfico repete indefinidamente ao longo do eixo OX para a esquerda e para a direita.
E, finalmente, o gráfico da função y=ctg x chamado cotangentóide. Esse gráfico é mostrado na figura a seguir. Como os gráficos de outras funções periódicas e trigonométricas, este gráfico se repete indefinidamente ao longo do eixo OX à esquerda e à direita.
A implementação bem-sucedida, diligente e responsável desses três pontos permitirá que você mostre um excelente resultado no CT, o máximo do que você é capaz.
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conceito funções uma das mais importantes da matemática.
Você costuma ouvir essa palavra na aula de matemática. Você constrói gráficos de funções, estuda uma função, encontra o maior ou menor valor de uma função. Mas para entender todas essas ações, vamos definir o que é uma função.
Uma função pode ser definida de várias maneiras. Todos eles se complementarão.
1. A função é dependência de uma variável em outra. Em outras palavras, relação entre quantidades.
Algum lei física, qualquer fórmula reflete tal relação de quantidades. Por exemplo, a fórmula é a dependência da pressão do fluido na profundidade.
Quanto mais profunda a profundidade, mais mais pressão líquidos. Pode-se dizer que a pressão do fluido é uma função da profundidade em que é medida.
A designação familiar a você apenas expressa a ideia de tal dependência de uma quantidade em outra. O valor de y depende do valor de acordo com uma determinada lei, ou regra, denotada por .
Em outras palavras: mudamos (a variável independente, ou argumento) - e certa regra está mudando.
Não é necessário denotar as variáveis e . Por exemplo, é a dependência do comprimento da temperatura, ou seja, a lei expansão térmica. A própria notação significa que o valor depende de .
2. Outra definição pode ser dada.
Uma função é um determinado ação sobre uma variável.
Isso significa que pegamos o valor , fazemos alguma ação com ele (por exemplo, elevamos ao quadrado ou calculamos seu logaritmo) - e obtemos o valor .
NO literatura técnica existe uma definição de função como um dispositivo, cuja entrada é alimentada - e a saída é .
Então a função é ação sobre uma variável. Nesse sentido, a palavra "função" também é usada em áreas distantes da matemática. Por exemplo, podemos falar sobre funções celular, sobre as funções do cérebro ou as funções do deputado. Em todos esses casos nós estamos falando sobre as ações realizadas.
3. Vamos dar mais uma definição de função - aquela que é encontrada com mais frequência nos livros didáticos.
Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos, com cada elemento do primeiro conjunto correspondendo a um e apenas um elemento do segundo conjunto.
Por exemplo, uma função para cada número real corresponde a um número duas vezes maior que .
Repetimos mais uma vez: de acordo com uma determinada regra, associamos cada elemento do conjunto a um elemento do conjunto. O conjunto é chamado escopo da função. Vários - variar.
Mas por que há aqui um esclarecimento tão longo: “a cada elemento do primeiro conjunto corresponde um e apenas um elemento do segundo”? Acontece que as correspondências entre os conjuntos também são diferentes.
Considere como exemplo a correspondência entre dois conjuntos - cidadãos russos que possuem passaportes e seus números de passaporte. É claro que esta correspondência é individual - cada cidadão tem apenas um passaporte russo. E vice-versa - você pode encontrar uma pessoa pelo número do passaporte.
A matemática também tem essas funções um-para-um. Por exemplo, Função linear. Cada valor corresponde a um e apenas um valor. E vice-versa - conhecendo, você pode encontrar com exclusividade.
Pode haver outros tipos de correspondências entre conjuntos. Tomemos por exemplo um grupo de amigos e os meses em que nasceram:
Cada pessoa nasceu em algum determinado mês. Mas esta correspondência não é um-para-um. Por exemplo, Sergey e Oleg nasceram em junho.
Um exemplo de tal correspondência em matemática é uma função. O mesmo elemento do segundo conjunto corresponde a dois elementos diferentes o primeiro conjunto: e .
E qual deve ser a correspondência entre os dois conjuntos para que não seja uma função? Muito simples! Vamos pegar o mesmo grupo de amigos e seus hobbies:
Vemos que no primeiro conjunto existem elementos que correspondem a dois ou três elementos do segundo conjunto.
Seria muito difícil descrever tal correspondência matematicamente, não é?
Aqui está outro exemplo. As figuras mostram curvas. Qual deles você acha que é um gráfico de função e qual não é?
A resposta é óbvia. A primeira curva é um gráfico de alguma função e a segunda não. Afinal, existem pontos nele onde cada valor corresponde não a um, mas a três valores inteiros.
vamos listar maneiras de definir uma função.
1 . Com uma fórmula. Esta é uma maneira conveniente e familiar para nós. Por exemplo:
Estes são exemplos de funções definidas por fórmulas.
2 . forma gráfica. Ele é o mais visível. Tudo é imediatamente visível no gráfico - o aumento e a diminuição da função, o maior e o menores valores, pontos máximos e mínimos. O próximo artigo falará sobre como explorar uma função usando um gráfico.
Além disso, nem sempre é fácil derivar a fórmula exata de uma função. Por exemplo, a taxa de câmbio do dólar (ou seja, a dependência do valor do dólar no tempo) só pode ser mostrada em um gráfico.
3 . Com a ajuda de uma mesa. Com este método, você começou a estudar o tópico "Função" - você construiu uma tabela e só depois disso - um gráfico. E quando estudo piloto qualquer novo padrão, quando nem a fórmula nem o gráfico ainda são conhecidos, este método será o único possível.
quatro. Com a ajuda de uma descrição. Acontece que em diferentes seções a função é definida fórmulas diferentes. A função conhecida por você é dada pela descrição.
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ginásio russo
ABSTRATO
Realizada
aluno 10"F" classe Burmistrov Sergey
Supervisor
professor de matemática
Yulina O.A.
Nizhny Novgorod
Função e suas propriedades
Função- dependência variável no de uma variável x , se cada valor x corresponde único significado no .
Variável x- variável ou argumento independente.
Variável y- variável dependente
Valor da função- significado no correspondente definir valor x .
Escopo da função- todos os valores que a variável independente assume.
Faixa de função (conjunto de valores) - todos os valores que a função assume.
A função é par- se por algum x f(x)=f(-x)
A função é ímpar- se por algum x do escopo da função, a igualdade f(-x)=-f(x)
Função crescente- se por algum x 1 e x 2, de tal modo que x 1
<
x 2, a desigualdade f(
x 1
)
função decrescente- se por algum x 1 e x 2, de tal modo que x 1 < x 2, a desigualdade f( x 1 )>f( x 2 )
Formas de definir uma função
¨ Para definir uma função, você precisa especificar a maneira pela qual para cada valor de argumento você pode encontrar o valor da função correspondente. O mais comum é a forma de definir uma função usando a fórmula no =f(x), Onde f(x)- alguma expressão com uma variável x. Nesse caso, dizemos que a função é dada por uma fórmula ou que a função é dada por analiticamente.
¨ Na prática, costuma-se usar tabular a maneira como a função é definida. Com este método é fornecida uma tabela indicando os valores da função para os valores do argumento presente na tabela. Exemplos de uma definição de função tabular são uma tabela de quadrados, uma tabela de cubos.
Tipos de funções e suas propriedades
1) função permanente- função, dado pela fórmula y= b , Onde b- algum número. cronograma função permanente y \u003d b é uma linha reta paralela ao eixo x e passando pelo ponto (0; b) no eixo y
2) Proporcionalidade direta- função dada pela fórmula y= kx , onde k¹0. Número k chamado coeficiente de proporcionalidade .
Propriedades da função y=kx :
1. Domínio de definição funções - definir todos os números reais
2. y=kx- Função estranha
3. Para k>0, a função aumenta e para k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Função linear- a função que é dada pela fórmula y=kx+b, Onde k e b - numeros reais. Se, em particular, k=0, então obtemos uma função constante y=b; E se b=0, então obtemos uma proporcionalidade direta y=kx .
Propriedades da função y=kx+b :
1. Domínio de definição - o conjunto de todos os números reais
2. Função y=kx+b vista geral, ou seja nem par nem ímpar.
3. Para k>0, a função aumenta e para k<0 убывает на всей числовой прямой
O gráfico da função é direto .
4)Proporcionalidade inversa- função dada pela fórmula y=k /X, onde k¹0 Número k chamado fator de proporcionalidade inversa.
Propriedades da função y=k / x:
1. Domínio de definição - o conjunto de todos os números reais, exceto zero
2. y=k / x - Função estranha
3. Se k>0, então a função decresce no intervalo (0;+¥) e no intervalo (-¥;0). Se k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
O gráfico da função é hipérbole .
5)Função y=x2
Propriedades da função y=x2:
2. y=x2 - função par
3. A função diminui no intervalo
O gráfico da função é parábola .
6)Função y=x 3
Propriedades da função y=x3:
1. O domínio de definição é toda a reta numérica
2. y=x 3 - Função estranha
3. A função é crescente em toda a reta numérica
O gráfico da função é parábola cúbica
7)Função de potência com expoente natural - função dada pela fórmula y=xn, Onde n- número natural. Para n=1 obtemos a função y=x, suas propriedades são consideradas na Seção 2. Para n=2;3 obtemos as funções y=x 2 ; y=x 3 . Suas propriedades são discutidas acima.
Seja n um número par arbitrário maior que dois: 4,6,8... Nesse caso, a função y=xn tem as mesmas propriedades que a função y=x 2 . O gráfico da função se assemelha a uma parábola y=x 2 , apenas os ramos do gráfico para |x|>1 sobem quanto mais íngreme, maior n, e para |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Seja n um número ímpar arbitrário maior que três: 5,7,9... Nesse caso, a função y=xn tem as mesmas propriedades que a função y=x 3 . O gráfico da função se assemelha a uma parábola cúbica.
8)Função de potência com expoente negativo inteiro - função dada pela fórmula y=x-n , Onde n- número natural. Para n=1 obtemos y=1/x, as propriedades desta função são consideradas na Seção 4.
Seja n um número ímpar maior que um: 3,5,7... Nesse caso, a função y=x-n tem basicamente as mesmas propriedades da função y=1/x.
Seja n um número par, por exemplo n=2.
Propriedades da função y=x -2 :
1. A função é definida para todo x¹0
2. y=x -2 - função par
3. A função diminui em (0;+¥) e aumenta em (-¥;0).
Qualquer função com um n par maior que dois tem as mesmas propriedades.
9)Função y= Ö x
Propriedades da função y= Ö x :
1. Domínio de definição - raio)
