Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ah + Wu + C = 0,

iar constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte. In functie de valori constanta A, Bși C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linia trece prin origine

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Prin + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în diferite formeîn funcţie de orice condiţii iniţiale date.

Ecuația unei drepte printr-un punct și un vector normal

Definiție.În carteziană sistem dreptunghiular vectorul de coordonate cu componentele (A, B) este perpendicular pe dreapta, dat de ecuație Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul A(1, 2) perpendicular pe (3, -1).

Decizie. La A = 3 și B = -1, compunem ecuația unei drepte: 3x - y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C, înlocuim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată. Se obține: 3 - 2 + C = 0, prin urmare, C = -1. Total: ecuația dorită: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte

Fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, apoi ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte:

Dacă vreunul dintre numitori zero, numărătorul corespunzător trebuie egalat cu zero. Pe plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:

dacă x 1 ≠ x 2 și x = x 1 dacă x 1 = x 2.

Se numește fracția = k factor de pantă Drept.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Decizie. Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte dintr-un punct și o pantă

Dacă totalul Ax + Wu + C = 0 duce la forma:

și desemnează , atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu pantăk.

Ecuația unei drepte cu un vector punct și direcție

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei drepte prin vectorul normal, puteți introduce alocarea unei drepte printr-un punct și a unui vector de direcție al unei drepte.

Definiție. Fiecare vector diferit de zero (α 1, α 2), ale cărui componente îndeplinesc condiția A α 1 + B α 2 = 0 se numește vector de direcție al dreptei

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Decizie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției, coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.

Atunci ecuația unei drepte are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0. pentru x = 1, y = 2 obținem C / A = -3, adică. ecuația dorită:

Ecuația unei drepte în segmente

Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Wu + C = 0 C≠0, atunci, împărțind la –C, obținem: sau

sens geometric coeficienți în care coeficientul A este coordonata punctului de intersecție al dreptei cu axa x și b- coordonata punctului de intersectie a dreptei cu axa Oy.

Exemplu. Dat ecuație generală dreapta x - y + 1 = 0. Aflați ecuația acestei drepte în segmente.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ecuația normală a unei linii drepte

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Vy + C = 0 sunt înmulțite cu numărul , Care e numit factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ecuația normală a unei linii drepte. Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei 12x - 5y - 65 \u003d 0. Este necesar să scrieți Tipuri variate ecuațiile acestei drepte.

ecuația acestei drepte în segmente:

ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin origine.

Exemplu. Tăiere directă axele de coordonate segmente pozitive egale. Scrieți ecuația unei drepte dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2.

Decizie. Ecuația dreptei are forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul A (-2, -3) și originea.

Decizie. Ecuația unei drepte are forma: , unde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Unghiul dintre liniile unui plan

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca

.

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2 . Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Liniile drepte Ax + Vy + C \u003d 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele atunci când coeficienții A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sunt proporționali. Dacă și С 1 = λС, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată

Definiție. Linia care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y \u003d kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C \u003d 0 este definită ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la dreapta dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei linii drepte care trece prin punct dat M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Decizie. Găsim: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, prin urmare, liniile sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Decizie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime dorită este: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . pentru că înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y - 34 = 0.

Să fie date două puncte M(X 1 ,La 1) și N(X 2,y 2). Să găsim ecuația dreptei care trece prin aceste puncte.

Deoarece această linie trece prin punct M, atunci conform formulei (1.13) ecuația sa are forma

La – Y 1 = K(X-x 1),

Unde K– necunoscut pantă.

Valoarea acestui coeficient este determinată din condiția ca linia dreaptă dorită să treacă prin punct N, ceea ce înseamnă că coordonatele sale satisfac ecuația (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

De aici puteți găsi panta acestei linii:

,

Sau după conversie

(1.14)

Formula (1.14) definește Ecuația unei drepte care trece prin două puncte M(X 1, Y 1) și N(X 2, Y 2).

În cazul particular când punctele M(A, 0), N(0, B), DAR ¹ 0, B¹ 0, se află pe axele de coordonate, ecuația (1.14) ia o formă mai simplă

Ecuația (1.15) numit Ecuația unei drepte în segmente, Aici DARși B desemnează segmente tăiate de o linie dreaptă pe axe (Figura 1.6).

Figura 1.6

Exemplul 1.10. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin puncte M(1, 2) și B(3, –1).

. Conform (1.14), ecuația dreptei dorite are forma

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Transferând toți termenii în partea stângă, obținem în sfârșit ecuația dorită

3X + 2Y – 7 = 0.

Exemplul 1.11. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct M(2, 1) și punctul de intersecție al liniilor X+ Y- 1 = 0, X y+ 2 = 0.

. Găsim coordonatele punctului de intersecție al dreptelor rezolvând împreună aceste ecuații

Dacă adunăm aceste ecuații termen cu termen, obținem 2 X+ 1 = 0, de unde . Înlocuind valoarea găsită în orice ecuație, găsiți valoarea ordonate La:

Acum să scriem ecuația unei drepte care trece prin punctele (2, 1) și:

sau .

Prin urmare sau -5( Y – 1) = X – 2.

În final, obținem ecuația dreptei dorite în formă X + 5Y – 7 = 0.

Exemplul 1.12. Aflați ecuația unei drepte care trece prin puncte M(2.1) și N(2,3).

Folosind formula (1.14), obținem ecuația

Nu are sens pentru că al doilea numitor este zero. Din condiția problemei se poate observa că abscisele ambelor puncte au aceeași valoare. Prin urmare, linia necesară este paralelă cu axa OY iar ecuația sa este: X = 2.

cometariu . Dacă, la scrierea ecuației unei linii drepte conform formulei (1.14), unul dintre numitori se dovedește a fi egal cu zero, atunci ecuația dorită poate fi obținută prin echivalarea numărătorului corespunzător cu zero.

Să luăm în considerare și alte modalități de a stabili o linie dreaptă pe un plan.

1. Fie un vector diferit de zero perpendicular pe o dreaptă dată L, și punctul M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie (Figura 1.7).

Figura 1.7

Denota M(X, Y) punct arbitrar pe o linie dreaptă L. Vectori și ortogonală. Folosind condițiile de ortogonalitate pentru acești vectori, obținem sau DAR(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Am obținut ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 este perpendicular pe vectorul . Acest vector se numește Vector normal la o linie dreaptă L. Ecuația rezultată poate fi rescrisă ca

Oh + Wu + Cu= 0, unde Cu = –(DARX 0 + De 0), (1.16),

Unde DARși LA sunt coordonatele vectorului normal.

Obținem ecuația generală a unei drepte într-o formă parametrică.

2. O dreaptă pe un plan poate fi definită după cum urmează: fie un vector diferit de zero paralel cu o dreaptă dată Lși punct M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie. Din nou, luați un punct arbitrar M(X, y) pe o linie dreaptă (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vectori și coliniare.

Să notăm condiția de coliniaritate a acestor vectori: , unde T este un număr arbitrar, numit parametru. Să scriem această egalitate în coordonate:

Aceste ecuații se numesc Ecuații parametrice Drept. Să excludem din aceste ecuații parametrul T:

Aceste ecuații pot fi scrise sub forma

. (1.18)

Ecuația rezultată se numește Ecuație canonică Drept. Apel vectorial Vector de direcție drept .

cometariu . Este ușor de observat că if este vectorul normal al liniei L, atunci vectorul său de direcție poate fi vectorul , deoarece , adică .

Exemplul 1.13. Scrieți ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0(1, 1) paralel cu linia 3 X + 2La– 8 = 0.

Decizie . Vectorul este vectorul normal pentru liniile date și dorite. Să folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 cu un vector normal dat 3( X –1) + 2(La– 1) = 0 sau 3 X + 2 ani- 5 \u003d 0. Am obținut ecuația dreptei dorite.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte. In articol" " Ți-am promis să analizezi a doua modalitate de a rezolva problemele prezentate pentru găsirea derivatei, cu această diagramă funcţie şi o tangentă la acest grafic. Vom explora această metodă în , nu ratați! De ce Următorul?

Faptul este că formula ecuației unei linii drepte va fi folosită acolo. Desigur, s-ar putea pur și simplu arăta această formulăși te sfătuiesc să-l înveți. Dar este mai bine să explici de unde provine (cum este derivat). Este necesar! Dacă îl uiți, restabiliți-l rapidnu va fi dificil. Totul este detaliat mai jos. Deci avem plan de coordonate sunt doua puncte A(x 1; y 1) și B (x 2; y 2), se trasează o linie dreaptă prin punctele indicate:

Iată formula directă:

*Adică, când înlocuim coordonatele specifice ale punctelor, obținem o ecuație de forma y=kx+b.

** Dacă această formulă este pur și simplu „memorizată”, atunci există o mare probabilitate de a fi confundat cu indici atunci când X. În plus, indicii pot fi notați în diferite moduri, de exemplu:

De aceea este important să înțelegem sensul.

Acum derivarea acestei formule. Totul este foarte simplu!

Triunghiurile ABE și ACF sunt similare în colt ascutit(primul semn de asemănare triunghiuri dreptunghiulare). Rezultă din aceasta că rapoartele elementelor corespunzătoare sunt egale, adică:

Acum pur și simplu exprimăm aceste segmente în termeni de diferență în coordonatele punctelor:

Desigur, nu va exista nicio eroare dacă scrieți relațiile elementelor într-o ordine diferită (principalul este să păstrați corespondența):

Rezultatul este aceeași ecuație a unei linii drepte. Este tot!

Adică, indiferent de modul în care punctele în sine (și coordonatele lor) sunt desemnate, înțelegând această formulă, veți găsi întotdeauna ecuația unei linii drepte.

Formula poate fi dedusă folosind proprietățile vectorilor, dar principiul derivării va fi același, deoarece vom vorbi despre proporționalitatea coordonatelor acestora. În acest caz, funcționează aceeași similitudine a triunghiurilor dreptunghiulare. În opinia mea, concluzia descrisă mai sus este mai de înțeles)).

Vizualizați rezultatul prin coordonatele vectoriale >>>

Să fie construită o dreaptă pe planul de coordonate care trece prin doi puncte date A (x 1; y 1) și B (x 2; y 2). Să marchem un punct arbitrar C pe dreapta cu coordonatele ( X; y). De asemenea, notăm doi vectori:

Se știe că pentru vectorii care se află pe drepte paralele (sau pe o singură linie), coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale, adică:

- scriem egalitatea rapoartelor coordonatelor corespunzătoare:

Luați în considerare un exemplu:

Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte cu coordonatele (2;5) și (7:3).

Nici măcar nu puteți construi linia în sine. Aplicam formula:

Este important să prindeți corespondența la întocmirea raportului. Nu poți greși dacă scrii:

Răspuns: y=-2/5x+29/5 merge y=-0,4x+5,8

Pentru a vă asigura că ecuația rezultată este găsită corect, asigurați-vă că o verificați - înlocuiți coordonatele datelor în ea în starea punctelor. Ar trebui să obțineți egalități corecte.

Asta e tot. Sper că materialul ți-a fost de folos.

Cu stimă, Alexandru.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Lăsați dreapta să treacă prin punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2). Ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 are forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Unde k - coeficient încă necunoscut.

Deoarece linia dreaptă trece prin punctul M 2 (x 2 y 2), atunci coordonatele acestui punct trebuie să îndeplinească ecuația (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

De aici găsim Înlocuirea valorii găsite k în ecuația (10.6), obținem ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 și M 2:

Se presupune că în această ecuație x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Dacă x 1 \u003d x 2, atunci linia dreaptă care trece prin punctele M 1 (x 1, y I) și M 2 (x 2, y 2) este paralelă cu axa y. Ecuația sa este x = x 1 .

Dacă y 2 \u003d y I, atunci ecuația dreptei poate fi scrisă ca y \u003d y 1, linia dreaptă M 1 M 2 este paralelă cu axa x.

Ecuația unei drepte în segmente

Fie ca linia dreaptă să intersecteze axa Ox în punctul M 1 (a; 0) și axa Oy - în punctul M 2 (0; b). Ecuația va lua forma:
acestea.
. Această ecuație se numește ecuaţia unei drepte în segmente, deoarece numerele a și b indică ce segmente le decupează linia dreaptă pe axele de coordonate.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Să găsim ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat Mo (x O; y o) perpendicular pe un vector dat diferit de zero n = (A; B).

Luați un punct arbitrar M(x; y) pe linie dreaptă și luați în considerare vectorul M 0 M (x - x 0; y - y o) (vezi Fig. 1). Deoarece vectorii n și M o M sunt perpendiculari, produsul lor scalar este egal cu zero: adică,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ecuația (10.8) se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat .

Vectorul n = (A; B) perpendicular pe dreapta se numește normal vector normal al acestei linii .

Ecuația (10.8) poate fi rescrisă ca Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

unde A și B sunt coordonatele vectorului normal, C \u003d -Ax o - Vu o - membru liber. Ecuația (10.9) este ecuația generală a unei drepte(vezi Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Ecuații canonice ale dreptei

,

Unde
sunt coordonatele punctului prin care trece linia și
- vector de direcție.

Curbe de ordinul doi Cerc

Un cerc este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan care sunt echidistante de un punct dat, care se numește centru.

Ecuația canonică a unui cerc de rază R centrat pe un punct
:

În special, dacă centrul mizei coincide cu originea, atunci ecuația va arăta astfel:

Elipsă

O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date. și , care se numesc focare, este o valoare constantă
, mai mare decât distanța dintre focare
.

Ecuația canonică a unei elipse ale cărei focare se află pe axa Ox și a cărei origine este la mijlocul dintre focare are forma
G de A lungimea semiaxei majore; b este lungimea semiaxei minore (Fig. 2).