ja Výrazy, v ktorých možno použiť spolu s písmenami, číslami aj znaky aritmetické operácie a zátvorky sa nazývajú algebraické výrazy.

Príklady algebraických výrazov:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Keďže písmeno v algebraickom výraze možno nahradiť niekt rôzne čísla, potom sa písmeno nazýva premenná a samotný algebraický výraz sa nazýva výraz s premennou.

II. Ak sa v algebraickom výraze písmená (premenné) nahradia ich hodnotami a vykonajú sa zadané akcie, výsledné číslo sa nazýva hodnota algebraického výrazu.

Príklady. Nájdite hodnotu výrazu:

1) a + 2b-c s a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6.

Riešenie.

1) a + 2b-c s a = -2; b = 10; c = -3,5. Namiesto premenných dosadíme ich hodnoty. Dostaneme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6. Uvedené hodnoty dosadíme. Pamätajte, že modul záporné číslo sa rovná svojmu opačnému číslu a modulu kladné číslo rovnakému číslu. Dostaneme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Hodnoty písmena (premennej), pre ktoré má algebraický výraz zmysel, sa nazývajú platné hodnoty písmena (premenná).

Príklady. V akých hodnotách variabilný výraz nedáva to zmysel?

Riešenie. Vieme, že nie je možné deliť nulou, preto každý z týchto výrazov nebude dávať zmysel s hodnotou písmena (premennej), ktorá mení menovateľa zlomku na nulu!

V príklade 1) je to hodnota a = 0. V skutočnosti, ak namiesto a nahradíme 0, potom číslo 6 bude potrebné vydeliť 0, ale to sa nedá. Odpoveď: výraz 1) nedáva zmysel, keď a = 0.

V príklade 2) menovateľ x - 4 = 0 pri x = 4, preto túto hodnotu x = 4 nemožno vziať. Odpoveď: výraz 2) nedáva zmysel pre x = 4.

V príklade 3) je menovateľ x + 2 = 0 pre x = -2. Odpoveď: výraz 3) nedáva zmysel pri x = -2.

V príklade 4) je menovateľ 5 -|x| = 0 pre |x| = 5. A keďže |5| = 5 a |-5| \u003d 5, potom nemôžete vziať x \u003d 5 a x \u003d -5. Odpoveď: výraz 4) nemá zmysel pre x = -5 a pre x = 5.
IV. Dva výrazy sa nazývajú identicky rovnaké, ak pre nejaký existuje povolené hodnoty premenné, zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov sú rovnaké.

Príklad: 5 (a - b) a 5a - 5b sú totožné, pretože rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b bude platiť pre všetky hodnoty a a b. Rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b je identita.

Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných v nej zahrnutých. Príkladmi už známych identít sú napríklad vlastnosti sčítania a násobenia, distribučný majetok.

Nahradenie jedného výrazu iným, jemu zhodne rovným, sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho premena výrazu. Transformácie identity výrazy s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

Príklady.

a) preveďte výraz na identicky rovný pomocou distribučnej vlastnosti násobenia:

1) 10 (1,2x + 2,3r); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

Riešenie. Pripomeňme si distribučnú vlastnosť (zákon) násobenia:

(a+b) c=a c+b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť každý člen týmto číslom a výsledky sčítať).
(a-b) c=a c-b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na odčítanie: ak chcete vynásobiť rozdiel dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť týmto zníženým a odčítaným číslom oddelene a odpočítať druhé od prvého výsledku).

1) 10 (1,2x + 2,3r) \u003d 10 1,2x + 10 2,3r \u003d 12x + 23r.

2) 1,5 (a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) previesť výraz na identicky rovný pomocou komutatívneho a asociatívne vlastnosti(zákony) pridania:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Riešenie. Aplikujeme zákony (vlastnosti) pridania:

a+b=b+a(posunutie: súčet sa nemení od preskupenia pojmov).
(a+b)+c=a+(b+c)(asociatívne: ak chcete k súčtu dvoch výrazov pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) násobenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2r · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobenia:

a b = b a(posun: permutácia faktorov nemení súčin).
(a b) c=a (b c)(kombinačný: ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho).

Poďme vyriešiť problém.

Študent si kúpil zošity za 2 kopejky. za zošit a učebnicu za 8 kopejok. Koľko zaplatil za celý nákup?

Ak chcete zistiť cenu všetkých notebookov, musíte vynásobiť cenu jedného notebooku počtom notebookov. To znamená, že náklady na notebooky sa budú rovnať kopejkám.

Náklady na celý nákup budú

Všimnite si, že je zvykom vynechať znamienko násobenia pred násobilkou vyjadrenou písmenom, je to jednoducho implikované. Preto môže byť predchádzajúci záznam reprezentovaný takto:

Získali sme vzorec na riešenie problému. Ukazuje, že na vyriešenie problému je potrebné vynásobiť cenu zošita počtom zakúpených zošitov a k produktu pripočítať náklady na učebnicu.

Namiesto slova „vzorec“ sa pre takéto zápisy používa aj názov „algebraický výraz“.

Algebraický výraz je záznam pozostávajúci z čísel označených číslami alebo písmenami a spojených akčnými znakmi.

Pre stručnosť namiesto „algebraického výrazu“ niekedy hovoria jednoducho „výraz“.

Tu je niekoľko ďalších príkladov algebraických výrazov:

Z týchto príkladov vidíme, že algebraický výraz môže pozostávať iba z jedného písmena alebo nemusí obsahovať čísla, označené písmenami (dve nedávne príklady). V tom posledný prípad výraz sa nazýva aj aritmetický výraz.

V algebraickom výraze, ktorý sme dostali, dajme písmenu hodnotu 5 (to znamená, že si žiak kúpil 5 zošitov). Ak namiesto toho nahradíme číslo 5, dostaneme:

čo sa rovná 18 (teda 18 kopejkám).

Číslo 18 je hodnota tohto algebraického výrazu kedy

Hodnota algebraického výrazu je číslo, ktoré sa získa, ak do tohto výrazu namiesto písmen nahradíme údaje o ich hodnotách a na číslach vykonáme uvedené akcie.

Napríklad môžeme povedať: hodnota výrazu at je 12 (12 kopejok).

Hodnota rovnakého výrazu pre je 14 (14 kopejok) atď.

Vidíme, že význam algebraického výrazu závisí od toho, aké hodnoty dávame písmenám, ktoré sú v ňom obsiahnuté. Je pravda, že niekedy sa stáva, že význam výrazu nezávisí od významov písmen, ktoré sú v ňom obsiahnuté. Napríklad výraz sa rovná 6 pre akékoľvek hodnoty a.

Hľadajme vo forme príkladu číselné hodnoty výrazy pre rôzne hodnoty písmená a a b.

Nahradiť v daný výraz namiesto a číslo 4 a namiesto 6 číslo 2 a vypočítajte výsledný výraz:

Takže, keď sa hodnota výrazu For rovná 16.

Rovnakým spôsobom zistíme, že keď je hodnota výrazu 29, kedy a je rovná 2 atď.

Výsledky výpočtov je možné zapísať vo forme tabuľky, ktorá jasne ukáže, ako sa hodnota výrazu mení v závislosti od zmeny hodnôt písmen, ktoré sú v ňom zahrnuté.

Vytvoríme tabuľku s tromi riadkami. V prvom riadku napíšeme hodnoty a, v druhom - hodnoty 6 a

v treťom - hodnoty výrazu. Získame takú tabuľku.

Lekcie algebry nás zoznámia rôzne druhy výrazov. S príchodom nového materiálu sa výrazy stávajú zložitejšími. Keď sa zoznámite s mocnosťami, postupne sa k výrazu pridávajú, čím sa to komplikuje. Stáva sa to aj so zlomkami a inými výrazmi.

Aby bolo štúdium materiálu čo najpohodlnejšie, robí sa to podľa určitých mien, aby ich bolo možné zvýrazniť. Tento článok dá úplná recenzia všetky algebraické výrazy základnej školy.

Monómy a polynómy

Študujú sa výrazy monomály a polynómy školské osnovy počnúc 7. ročníkom. V učebniciach sú uvedené definície tohto druhu.

Definícia 1

monomiály sú čísla, premenné, ich stupne s prirodzený indikátor, akékoľvek diela vytvorené s ich pomocou.

Definícia 2

polynómy sa nazýva súčet monomilov.

Ak vezmeme napríklad číslo 5, premennú x, stupeň z 7, potom súčin tvaru 5 x A 7 x 2 7 z 7 sa považujú za samostatných členov. Keď sa vezme súčet monomálov formy 5+x alebo z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, potom dostaneme polynóm.

Aby ste odlíšili monomický od polynómu, venujte pozornosť stupňom a ich definíciám. Dôležitý je pojem koeficient. Pri obsadení podobné výrazy delia sa na voľný člen polynómu alebo vodiaci koeficient.

Najčastejšie sa niektoré akcie vykonávajú na monomiáliách a polynómoch, po ktorých sa výraz zmenší, aby sa zobrazil monomický znak. Vykonáva sa sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, pričom sa spolieha na algoritmus na vykonávanie operácií s polynómami.

Ak existuje jedna premenná, je možné rozdeliť polynóm na polynóm, ktorý je reprezentovaný ako súčin. Táto akcia sa nazýva faktorizácia polynómu.

Racionálne (algebraické) zlomky

Koncept racionálnych zlomkov sa študuje v 8. ročníku stredná škola. Niektorí autori ich nazývajú algebraické zlomky.

Definícia 3

Racionálny algebraický zlomok Volajú zlomok, v ktorom polynómy alebo jednočleny, čísla, nastupujú na miesto čitateľa a menovateľa.

Zvážte príklad záznamu racionálne zlomky typu 3 x + 2, 2 a + 3 b4, x 2 + 1 x 2 - 2 a 2 2 x + - 5 1 5 y 3 x x 2 + 4. Na základe definície môžeme povedať, že každý zlomok sa považuje za racionálny zlomok.

Algebraické zlomky možno sčítať, odčítať, násobiť, deliť, umocňovať. Podrobnejšie o tom hovoríme v časti o operáciách s algebraickými zlomkami. Ak je potrebné zlomok previesť, často využívajú vlastnosť redukcie a redukcie na spoločného menovateľa.

Racionálne výrazy

IN školský kurz skúma sa pojem iracionálnych zlomkov, keďže je potrebné pracovať s racionálnymi výrazmi.

Definícia 4

Racionálne výrazy sa považujú za číselné a abecedné výrazy, kde sa používajú racionálne čísla a písmená so sčítaním, odčítaním, násobením, delením, umocňovaním na celé číslo.

Racionálne výrazy nemusia mať znaky patriace k funkcii, ktoré vedú k iracionalite. Racionálne výrazy neobsahujú odmocniny, stupne so zlomkami iracionálne ukazovatele, stupne s premennými v exponente, logaritmické výrazy, goniometrické funkcie a tak ďalej.

Na základe vyššie uvedeného pravidla uvedieme príklady racionálnych vyjadrení. Z vyššie uvedenej definície máme, že číselné vyjadrenie v tvare 1 2 + 3 4 a 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 sa považujú za racionálne. Výrazy obsahujúce písmenové označenia, odkazujú aj na racionálne a 2 + b 2 3 a - 0 , 5 b , s premennými v tvare a x 2 + b x + c a x2+xy-y2i2x-1.

Všetky racionálne prejavy rozdelené na celé čísla a zlomky.

Celočíselné racionálne výrazy

Definícia 5

Celočíselné racionálne výrazy sú také výrazy, ktoré neobsahujú delenie na výrazy s premennými záporného stupňa.

Z definície máme, že celočíselný racionálny výraz je aj výraz obsahujúci písmená, napríklad a + 1 , výraz obsahujúci viacero premenných, napríklad x 2 y 3 − z + 3 2 a a + b 3 .

Výrazy ako x: (y − 1) a 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 nemôžu byť racionálne celé čísla, pretože majú delenie výrazom s premennými.

Zlomkové racionálne výrazy

Definícia 6

Zlomkové racionálne vyjadrenie je výraz, ktorý obsahuje delenie výrazom so zápornými premennými stupňa.

Z definície vyplýva, že zlomkové racionálne výrazy môžu byť 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 a 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

Ak uvažujeme výrazy tohto typu (2 x - x 2): 4 a a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, potom sa nepovažujú za zlomkové racionálne, pretože nemajú výrazy s premennými v menovateľ.

Výrazy s mocnosťami

Definícia 7

Výrazy, ktoré obsahujú mocniny v ľubovoľnej časti zápisu, sa nazývajú mocenské výrazy alebo mocenské výrazy.

Pre koncept uvádzame príklad takéhoto výrazu. Nesmú obsahovať premenné, napríklad 2 3 , 32 - 1 5 + 1 . 5 3 . 5 · 5 - 2 5 - 1 .5 . Typické sú aj mocninné výrazy v tvare 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3. Na ich vyriešenie je potrebné vykonať niekoľko transformácií.

Iracionálne výrazy, výrazy s koreňmi

Koreň, ktorý má vo výraze miesto, mu dáva iné meno. Nazývajú sa iracionálne.

Definícia 8

Iracionálne výrazy pomenovanie výrazov, ktoré majú v zázname znaky koreňov.

Z definície je vidieť, že ide o vyjadrenia tvaru 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x a x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Každý z nich má aspoň jednu koreňovú ikonu. Korene a stupne sú spojené, takže môžete vidieť výrazy ako x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3.

Goniometrické výrazy

Definícia 9

trigonometrický výraz sú výrazy obsahujúce sin , cos , tg a ctg a ich prevrátené hodnoty - arcsin , arccos , arctg a arcctg .

Príklady goniometrických funkcií sú zrejmé: sin π 4 cos π 6 cos 6 x - 1 a 2 sin x t g 2 x + 3 , 4 3 t g π - arcsin - 3 5 .

Ak chcete pracovať s takýmito funkciami, musíte použiť vlastnosti, základné vzorce priame a inverzné funkcie. Podrobnejšie túto problematiku odhalí článok transformácia goniometrických funkcií.

Logaritmické výrazy

Po oboznámení sa s logaritmami môžeme hovoriť o zložitých logaritmických výrazoch.

Definícia 10

Výrazy, ktoré majú logaritmy, sa nazývajú logaritmický.

Príkladom takýchto funkcií môže byť log 3 9 + ln e, log 2 (4 a b), log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Môžete nájsť také výrazy, kde sú stupne a logaritmy. Je to pochopiteľné, pretože z definície logaritmu vyplýva, že ide o exponent. Potom dostaneme výrazy ako x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .

Ak chcete prehĺbiť štúdium materiálu, mali by ste sa obrátiť na materiál o transformácii logaritmických výrazov.

Zlomky

Existujú výrazy zvláštny druh, ktoré sa nazývajú zlomky. Keďže majú čitateľa a menovateľa, môžu obsahovať nielen číselné hodnoty, ale aj výrazy akéhokoľvek typu. Zvážte definíciu zlomku.

Definícia 11

Strela nazývajú taký výraz, ktorý má čitateľa a menovateľa, v ktorom sú číselné aj abecedné označenia alebo výrazy.

Príklady zlomkov, ktoré majú v čitateli a menovateli čísla, vyzerajú takto 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Čitateľ aj menovateľ môže obsahovať číselné aj doslovné výrazy tvaru (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α, 2 + ln 5 ln x.

Hoci výrazy ako 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 nie sú zlomky, majú zlomok vo svojom zápise.

Všeobecný výraz

Staršie triedy považujú úlohy so zvýšenou obtiažnosťou, ktorá obsahuje všetky kombinované úlohy skupiny C v USE. Tieto výrazy sú obzvlášť zložité a majú rôzne kombinácie koreňov, logaritmov, mocnín a goniometrických funkcií. Sú to úlohy ako x 2 - 1 sin x + π 3 alebo sin a r c t g x - a x 1 + x 2 .

Ich vzhľad naznačuje, že ho možno pripísať ktorémukoľvek z vyššie uvedených druhov. Najčastejšie nie sú klasifikované ako žiadne, pretože majú špecifické kombinované riešenie. Považujú sa za výrazy všeobecný pohľad a v popise sa nepoužívajú žiadne ďalšie objasnenia ani výrazy.

Pri riešení takéhoto algebraického výrazu je vždy potrebné dbať na jeho zápis, prítomnosť zlomkov, mocnín, prípadne doplnkových výrazov. Je to potrebné na presné určenie spôsobu riešenia. Ak si nie ste istí jeho názvom, potom sa odporúča nazvať ho výrazom všeobecný typ a rozhodnite sa podľa vyššie uvedeného algoritmu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vlastnosti stupňa:

(1) am⋅an = am + n

Príklad:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

Príklad:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n

Príklad:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Príklad:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n

Príklad:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Príklady:

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Vlastnosti odmocnina:

(1) a b = a ⋅ b , pre a ≥ 0 , b ≥ 0

Príklad:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) ab = ab, pre a ≥ 0, b > 0

Príklad:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a, pre a ≥ 0

Príklad:

(4) a 2 = | a | pre akékoľvek a

Príklady:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Racionálne a iracionálne čísla

Racionálne čísla sú čísla, ktoré môžu byť reprezentované ako spoločný zlomok m n

Príklady racionálnych čísel:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Iracionálne čísla - čísla, ktoré nemožno znázorniť ako obyčajný zlomok m n, sú to nekonečné neperiodické desatinné zlomky.

Príklady iracionálnych čísel:

e = 2,71828182845…

π = 3,1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

Zjednodušene povedané, iracionálne čísla sú čísla, ktoré vo svojom zápise obsahujú znamienko druhej odmocniny. Ale nie všetko je také jednoduché. Niektoré racionálne čísla sa vydávajú za iracionálne, napríklad číslo 4 obsahuje vo svojom zápise odmocninu, no vieme, že zápis 4 = 2 si môžeme zjednodušiť. To znamená, že číslo 4 je racionálne číslo.

Podobne aj číslo 4 81 = 4 81 = 2 9 je racionálne číslo.

Niektoré problémy vyžadujú, aby ste určili, ktoré čísla sú racionálne a ktoré iracionálne. Úlohou je pochopiť, ktoré čísla sú iracionálne a ktoré sú za ne prezlečené. Aby ste to dosiahli, musíte byť schopní vykonávať operácie vybratia faktora spod odmocniny a vloženia faktora pod odmocninu.

Vloženie a odstránenie faktora pre znamienko druhej odmocniny

Vybratím faktora zo znamienka druhej odmocniny môžete výrazne zjednodušiť niektoré matematické výrazy.

Príklad:

Zjednodušte výraz 2 8 2 .

1 spôsob (vytiahnutím násobiteľa spod koreňového znaku): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Metóda 2 (zavedenie násobiteľa pod koreňový znak): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Skrátené vzorce násobenia (FSU)

súčet štvorec

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Príklad:

(3 x + 4 roky) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 roky + (4 roky) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 rokov 2

Druhá mocnina rozdielu

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

Príklad:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Súčet štvorcov nehrá úlohu

a 2 + b 2 ≠

Rozdiel štvorcov

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Príklad:

25 x 2 - 4 roky 2 = (5 x) 2 - (2 roky) 2 = (5 x - 2 roky) (5 x + 2 roky)

súčet kocka

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Príklad:

(x + 3 roky) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 roky) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 roky) 2 + (3 roky) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 r + 3 ⋅ x ⋅ 9 r. 2 + 27 r. 3 = x 3 + 9 x 2 r. + 27 x y 2 + 27 r.

rozdielová kocka

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Príklad:

(x 2 − 2 r) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 r) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 r.) 2 − (2 r.) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 r + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 r. 2 − 8 r. 3 = x 6 − 6 x 4 r. + 12 x 2 r. 2 − 8 r.

Súčet kociek

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Príklad:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Rozdiel kociek

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Príklad:

x 6 - 27 r 3 = (x 2) 3 - (3 r.) 3 = (x 2 - 3 r.) ((x 2) 2 + (x 2) (3 r.) + (3 r.) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Štandardná forma čísla

Aby sme pochopili, ako priniesť svojvoľné racionálne číslo Komu štandardná forma, musíte vedieť, aká je prvá významná číslica čísla.

najprv významná postavačísla nazývame to prvou nenulovou číslicou vľavo.

Príklady:
2 5; 3, 05; 0,143; 0, 00 1 2 . Prvá platná číslica je zvýraznená červenou farbou.

Ak chcete previesť číslo do štandardného tvaru:

1. Posuňte čiarku tak, aby bola hneď za prvou platnou číslicou.
2. Vynásobte výsledné číslo 10 n, kde n je číslo, ktoré je definované takto:
3. n > 0, ak bola čiarka posunutá doľava (vynásobenie 10 n znamená, že čiarka by mala byť v skutočnosti doprava);
4. n< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. absolútna hodnota čísla n sa rovná počtu číslic, o ktoré bola čiarka posunutá.

Príklady:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

Čiarka sa posunula doľava o 1 číslicu. Keďže desatinná čiarka je posunutá doľava, exponent je kladný.

Už sa dostal do štandardného formulára, nemusíte s ním nič robiť. Dá sa zapísať ako 3,05 ⋅ 10 0 , ale keďže 10 0 = 1, necháme číslo v pôvodnom tvare.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Čiarka sa posunula doprava o 1 číslicu. Keďže desatinná čiarka je posunutá doprava, exponent je záporný.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

Čiarka sa posunula o tri miesta doprava. Keďže desatinná čiarka je posunutá doprava, exponent je záporný.

Algebraické výrazy sa začínajú učiť v 7. ročníku. Majú množstvo vlastností a používajú sa pri riešení problémov. Pozrime sa na túto tému podrobnejšie a zvážime príklad riešenia problému.

Definícia pojmu

Aké výrazy sa nazývajú algebraické? Toto matematický zápis, zložený z čísel, písmen a znakov aritmetických operácií. Prítomnosť písmen je hlavným rozdielom medzi numerickými a algebraickými výrazmi. Príklady:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Písmeno v algebraických výrazoch predstavuje číslo. Preto sa nazýva premenná - v prvom príklade je to písmeno a, v druhom - b a v treťom - c. Samotný algebraický výraz sa tiež nazýva variabilný výraz.

Hodnota výrazu

Význam algebraického výrazu je číslo získané ako výsledok vykonania všetkých aritmetických operácií, ktoré sú špecifikované v tomto výraze. Ale aby ste ho dostali, písmená musia byť nahradené číslami. Preto je v príkladoch vždy uvedené, ktoré číslo zodpovedá písmenu. Zvážte, ako nájsť hodnotu výrazu 8a-14*(5-a), ak a=3.

Namiesto písmena a dosadíme číslo 3. Dostaneme nasledovné zadanie: 8*3-14*(5-3).

Ako v číselné výrazy, riešenie algebraického výrazu prebieha podľa pravidiel na vykonávanie aritmetických operácií. Vyriešme všetko po poriadku.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Hodnota výrazu 8a-14*(5-a) pre a=3 je teda -4.

Hodnota premennej sa nazýva platná, ak pre ňu výraz dáva zmysel, to znamená, že je možné nájsť jej riešenie.

Príkladom platnej premennej pre výraz 5:2a je číslo 1. Dosadením do výrazu dostaneme 5:2*1=2,5.

Neplatná premenná pre tento výraz je 0. Ak do výrazu dosadíme nulu, dostaneme 5:2*0, teda 5:0. Nulou sa deliť nedá, takže výraz nedáva zmysel.

Prejavy identity

Ak sú dva výrazy rovnaké pre akékoľvek hodnoty ich základných premenných, nazývajú sa identické.
Príklad identických výrazov :
4(a+c) a 4a+4c.
Nech už majú písmená a a c akékoľvek hodnoty, výrazy budú vždy rovnaké. Akýkoľvek výraz môže byť nahradený iným, s ním identickým. Tento proces sa nazýva transformácia identity.

Príklad identickej transformácie .
4*(5a+14c) - tento výraz je možné nahradiť identickým použitím matematický zákon násobenie. Ak chcete vynásobiť číslo súčtom dvoch čísel, musíte toto číslo vynásobiť každým výrazom a pridať výsledky.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a + 64s.

Teda výraz 4*(5a+14c) je identický s výrazom 20a+64c.

Číslo, ktoré predchádza doslovnej premennej v algebraickom výraze, sa nazýva koeficient. Koeficient a premenná sú multiplikátory.

Riešenie problémov

Algebraické výrazy sa používajú na riešenie problémov a rovníc.
Uvažujme o probléme. Peťo vymyslel číslo. Aby to spolužiak Saša uhádol, Peťo mu povedal: najprv som k číslu pridal 7, potom som od neho odčítal 5 a vynásobil 2. Vo výsledku mi vyšlo číslo 28. Aké číslo som uhádol?

Ak chcete problém vyriešiť, musíte skryté číslo označiť písmenom a a potom s ním vykonať všetky uvedené akcie.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Teraz poďme vyriešiť výslednú rovnicu.

Petya uhádla číslo 12.

Čo sme sa naučili?

Algebraický výraz je záznam pozostávajúci z písmen, číslic a znakov aritmetických operácií. Každý výraz má hodnotu, ktorá sa zistí vykonaním celej aritmetiky vo výraze. Písmeno v algebraickom výraze sa nazýva premenná a číslo pred ňou sa nazýva koeficient. Na riešenie problémov sa používajú algebraické výrazy.