Kung ako = f0g, kung gayon F = R.

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Kung ako = f0g, kung gayon F = R.

Kung ang sukat mga subspace I katumbas ng 1, pagkatapos ay F = C.

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Kung ako = f0g, kung gayon F = R.

Kung ang sukat mga subspace I katumbas ng 1, pagkatapos ay F = C. Hayaan ang dimensyon mga subspace I higit sa 1.

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

mga puwang I. Hayaan i = p1 u. Pagkatapos

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly malayang sistema mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =
i2 =

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =

u 2 (u2 ) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan i = p1 u. Pagkatapos i2 = 1:

Sa pamamagitan ng kabuuan i v = + x, kung saan 2 R, x 2 I.

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =										u. Pagkatapos i2 = 1:
			Lemma sa pagkabulok ng mga elemento mula sa F
			i v = + x, saan				2 R, x 2 I . Ayon kay
					(i + v) 2 I , in		sa partikular, (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =										u. Pagkatapos i2 = 1:
			Lemma sa pagkabulok ng mga elemento mula sa F
			i v = + x, saan				2 R, x 2 I . Ayon kay
					(i + v) 2 I , in		sa partikular, (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =

u. Pagkatapos i2 = 1:

Lemma sa pagkabulok ng mga elemento mula sa F

i v = + x, saan

2 R, x 2 I .

Ayon kay

(i + v) 2 ako ,

sa partikular, (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =

u. Pagkatapos i2 = 1:

Lemma sa pagkabulok ng mga elemento mula sa F

i v = + x, saan

2 R, x 2 I .

Ayon kay

(i + v) 2 ako ,

sa partikular, (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =								u. Pagkatapos i2 = 1:
					tungkol sa agnas				mga elemento mula sa
				i v = + x, saan					2 R, x 2 I .
					(i + v). Mayroon kaming j2 = 1,
		(i+v)2

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =

u. Pagkatapos i2 = 1:

tungkol sa agnas

mga elemento mula sa

i v = + x, saan

2 R, x 2 I .

(i1 + v). Mayroon kaming j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =

u. Pagkatapos i2 = 1:

tungkol sa pagkabulok ng mga elemento

i v = + x, saan

x 2 ako.

(i1 + v). Mayroon kaming j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =

u. Pagkatapos i2 = 1:

tungkol sa agnas

mga elemento

i v = + x, saan

x 2 ako.

(i1 + v). Mayroon kaming j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =

u. Pagkatapos i2 = 1:

tungkol sa agnas

mga elemento

i v = + x, saan

x 2 ako.

(i1 + v). Mayroon kaming j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

x 2 ako:

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =								u. Pagkatapos i2 = 1:
					tungkol sa agnas				mga elemento mula sa
				i v = + x, saan					2 R, x 2 I .

(i+v)2

Ibig sabihin, ,

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =								u. Pagkatapos i2 = 1:
					tungkol sa agnas				mga elemento mula sa
				i v = + x, saan					2 R, x 2 I .
					(i + v). Mayroon kaming j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2

I + j + i j ; ; ; 2 R

katawan ng quaternion.

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Hayaan ang sukat mga subspace I higit sa 1.

Kumuha ng linearly independent system ng mga vectors fu; vg linear

mga puwang I. Hayaan ko =								u. Pagkatapos i2 = 1:
					tungkol sa agnas				mga elemento mula sa
				i v = + x, saan					2 R, x 2 I .
					(i + v). Mayroon kaming j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2
Kaya, sa pamamagitan ng lemma sa pag-embed ng skew field ng quaternions sa F ,

I + j + i j ; ; ; 2 R

katawan ng quaternion.

Kaya, kung linear na espasyo Mayroon akong dimensyon 3, pagkatapos F ay isang katawan ng mga quaternion.

VII.6. Patunay Frobenius theorems

mga subspace I higit sa 3.

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I

Kunin natin linearly independent

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

							x; y; z 2 ako:

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Sa bisa ng lemma sa agnas ng mga elemento mula sa F sa isang kabuuan

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Sa bisa ng lemma sa agnas ng mga elemento mula sa F sa isang kabuuan

							x; y; z 2 ako:

Sa bisa ng subspace lemmas I t = m + i + j + k 2I . Mula sa linear na kalayaan sistema ng mga vectors fi; j; k; mg susunod-

pumutok na t 6= 0.

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Sa bisa ng lemma sa agnas ng mga elemento mula sa F sa isang kabuuan

							x; y; z 2 ako:

subspace lemma I

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Sa bisa ng lemma sa agnas ng mga elemento mula sa F sa isang kabuuan

							x; y; z 2 ako:

Napatunayan na 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Sa pamamagitan ng subspace lemma I

i t = i m + k j =

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Sa bisa ng lemma sa agnas ng mga elemento mula sa F sa isang kabuuan

							x; y; z 2 ako:

Napatunayan na 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Sa pamamagitan ng subspace lemma I

i t = i m + k j = x + k j

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Sa bisa ng lemma sa agnas ng mga elemento mula sa F sa isang kabuuan

							x; y; z 2 ako:

Napatunayan na 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Sa pamamagitan ng subspace lemma I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Sa bisa ng lemma sa agnas ng mga elemento mula sa F sa isang kabuuan

Katulad nito, mapapatunayan natin na j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Sa bisa ng lemma sa agnas ng mga elemento mula sa F sa isang kabuuan

											x; y; z 2 ako:
Napatunayan na			0 6= t = m + i + j + k 2 I . Polemma sa subpro-
espasyo I			i t 2 ako, j t 2 ako,
Inilalagay namin ang n =

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Natagpuan namin ang n 2 I na ang n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Sa pamamagitan ng lemma sa pag-embed ng skew field ng quaternions sa F

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Natagpuan namin ang n 2 I na ang n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Sa pamamagitan ng lemma sa pag-embed ng skew field ng quaternions sa F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Natagpuan namin ang n 2 I na ang n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Sa pamamagitan ng lemma sa pag-embed ng skew field ng quaternions sa F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

N i j = i n j =

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Natagpuan namin ang n 2 I na ang n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Sa pamamagitan ng lemma sa pag-embed ng skew field ng quaternions sa F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

N k = n i j = i n j =

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Natagpuan namin ang n 2 I na ang n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Sa pamamagitan ng lemma sa pag-embed ng skew field ng quaternions sa F

i n = ni; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Natagpuan namin ang n 2 I na ang n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Sa pamamagitan ng lemma sa pag-embed ng skew field ng quaternions sa F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Natagpuan namin ang n 2 I na ang n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Sa pamamagitan ng lemma sa pag-embed ng skew field ng quaternions sa F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

VII.6. Patunay Frobenius theorems

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang sukat mga subspace I higit sa 3. Napatunayan namin na kasama sa F ang skew field ng mga quaternion.

Kunin natin linearly independent isang sistema ng mga vectors fi; j; k; mg, kung saan i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Natagpuan namin ang n 2 I na ang n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Sa pamamagitan ng lemma sa pag-embed ng skew field ng quaternions sa F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

Samakatuwid, 2k n = 0, isang kontradiksyon.

VII. Frobenius theorem

Theorem 2. Hayaang ang F ay isang katawan , at R F ,

9i1 ; i2 ; : : : ; sa		9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n sa :

Kung gayon ang F ay alinman sa R, o C, o ang katawan ng mga quaternion.

Napatunayan na ang theorem.

Pansin!

e-mail: [email protected]; [email protected]

mga website: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

Teorama. Anumang alternatibong linear algebra sa isang field tunay na mga numero na may dibisyon ay normalized linear algebra.

Hayaang maging isang alternatibong linear division algebra sa larangan ng real numbers R. Ipakilala natin ang conjugation operation sa A bilang mga sumusunod: kung ang elemento a ng A ay proporsyonal sa 1, kung gayon a = a; kung ang a ay hindi proporsyonal sa 1, kung gayon ito ay nakapaloob sa kumplikadong subalgebra. Sa subalgebra na ito, para sa elementong a, mayroong isang conjugate element a, na kinukuha natin bilang elementong conjugate sa a sa algebra.

Direkta itong sumusunod sa kahulugan ng a that = a at din =ka, kung saan ang k R.

Hayaang ang A ay hindi proporsyonal sa 1. Isaalang-alang ang isang quaternionic subalgebra (K, +, . R , .) na naglalaman ng a. Sa subalgebra na ito, para sa isang A, mayroon ding conjugate element a. Ipakita natin na ang isang ay tumutugma sa a.

Ang mga elementong a at a, bilang conjugates sa kumplikadong algebra, ay nakakatugon sa mga kundisyon:

a+a = 2a* 1, kung saan ang isang R, (14)

a* a = d*1, kung saan d R. (15)

Ang mga elementong a at a, bilang conjugates sa quaternion algebra, ay nakakatugon sa mga kundisyon:

a + a \u003d 2a 1 * 1, kung saan ang isang 1 R, (14 ")

a * a = d 1 *1, kung saan d 1 R. (15 /)

Ibawas mula sa (14) at (15) ayon sa pagkakabanggit (14 /) at (15"). Pagkatapos:

a - a = 2(a - a1)*1.

a (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1.

a(a - a), pagkatapos ay a = *1,

mga. at proporsyonal sa 1, na sumasalungat sa palagay.

Kaya't sumusunod na ang elementong conjugate sa a ay pareho, kung ituturing natin ang a bilang isang elemento ng isang kumplikadong subalgebra o bilang isang elemento ng isang quaternion subalgebra ng isang algebra.

Katulad din |a| 2 = aa pareho sa kaso ng kumplikadong subalgebra at sa kaso ng quaternion subalgebra ng algebra, upang ang modulus ng elemento a A ay hindi nakasalalay sa kung isasaalang-alang natin ito bilang isang elemento ng complex o quaternion subalgebra ng ang algebra.

Kung gayon para sa alinmang a, b A ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo:

A+ at = a *. (labing-anim)

Kung ang a at b ay kabilang sa parehong kumplikadong subalgebra ng algebra, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay (16) ay mga katangian, conjugations sa subalgebra na ito. Kung kabilang sila sa iba't ibang kumplikadong subalgebra, magiging wasto ang mga ito bilang mga katangian ng conjugation sa quaternionic subalgebra ng algebra.

Mula sa = b at mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay (16) ito ay sumusunod na = ba, kung saan

a + ba = c* 1, kung saan c R.

Sa (A, +, . R , .) tinukoy natin ang scalar product (a, b) bilang

a + ba = 2(a, b) * 1.

Ipakita natin na ang (a, b) ay nakakatugon sa lahat ng mga katangian produkto ng tuldok:

1) (a, a) > 0 para sa a? 0 at (0, 0) = 0.

talaga,

(a, a) * 1 = (aa + aa) = aa = |a|* 1,

at ang modulus ng isang kumplikadong numero, tulad ng modulus ng isang quaternion, ay mahigpit na positibo para sa a? 0 at katumbas ng 0 para sa a = 0.

2) (a, b) = (b. a), dahil

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, pagkatapos (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) para sa k R.

Talaga,

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

sumusunod mula sa kahulugan ng scalar product at ang unang pagkakapantay-pantay sa (16).

Mula sa (a, a) = |a| 2 1 na = |a|, ibig sabihin, ang pamantayan ng elementong a A ay tumutugma sa modulus a ng parehong kumplikadong numero at quaternion.

Dahil ang alinmang dalawang elemento a at b mula sa algebra ay nabibilang sa isang complex o isang quaternion subalgebra, kung gayon

|ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).

Samakatuwid, ang lahat ng mga katangian ng panloob na produkto para sa (a, b) ay nasiyahan. Ito ay nagpapahiwatig na ang algebra ay isang normed linear algebra.

Generalized Frobenius theorem. Ang anumang alternatibong linear algebra sa larangan ng mga tunay na numero na may dibisyon at pagkakaisa ay isomorphic sa isa sa apat na algebra: ang larangan ng mga tunay na numero, ang larangan ng kumplikadong mga numero, ang skew na larangan ng mga quaternion, o ang algebra ng mga octaves.

Since, as proven in nakaraang teorama Kung ang isang alternatibong linear algebra sa larangan ng tunay na mga numero na may dibisyon at pagkakaisa ay isang normalized na linear algebra, at ang huli, sa pamamagitan ng Hurwitz theorem, ay isomorphic alinman sa larangan ng tunay na mga numero, o sa larangan ng kumplikadong mga numero, o sa ang skew field ng quaternions, o sa algebra ng octaves, pagkatapos ay ang pahayag ng theorem ay sumusunod mula dito.

:

Encyclopedic YouTube

• 1 / 5

  Hayaan ang isang katawan na naglalaman ng isang katawan bilang isang subbody R (\displaystyle \mathbb (R) ) tunay na mga numero, at dalawang kundisyon ang natutugunan:

  Sa ibang salita, L (\displaystyle \mathbb (L) ) ay isang finite-dimensional division algebra sa larangan ng real numbers.

  Ang Frobenius theorem ay nagsasaad na ang anumang naturang katawan L (\displaystyle \mathbb (L) ):

  Tandaan na ang Frobenius theorem ay nalalapat lamang sa finite-dimensional extension R (\displaystyle \mathbb (R) ). Halimbawa, hindi nito saklaw ang larangan ng mga hyperreal na numero ng hindi karaniwang pagsusuri , na isa ring extension R (\displaystyle \mathbb (R) ), ngunit hindi finite-dimensional. Ang isa pang halimbawa ay ang algebra ng rational functions.

  Mga kahihinatnan at pangungusap

  Ang huling tatlong pahayag ay bumubuo sa tinatawag na pangkalahatang teorama Frobenius.

  Dibisyon ng mga algebra sa larangan ng kumplikadong mga numero

  Algebra ng dimensyon n sa larangan ng kumplikadong mga numero ay isang algebra ng dimensyon 2n sa itaas R (\displaystyle \mathbb (R) ). Ang quaternion body ay hindi isang algebra sa isang field C (\displaystyle \mathbb (C) ), mula sa gitna H (\displaystyle \mathbb (H) ) ay isang one-dimensional na totoong espasyo. Samakatuwid, ang tanging may hangganan-dimensional division algebra ay tapos na C (\displaystyle \mathbb (C) ) ay algebra C (\displaystyle \mathbb (C) ).

  Frobenius hypothesis

  Ang theorem ay naglalaman ng kondisyon ng pagkakaugnay. Ano ang mangyayari kung tatanggihan mo ang kundisyong ito? Ang haka-haka ni Frobenius ay nagsasaad na kahit na wala ang kondisyon ng pagkakaugnay para sa n iba sa 1, 2, 4, 8, sa tunay linear na espasyo R n hindi matukoy ng isa ang istruktura ng isang division algebra. Ang Frobenius hypothesis ay napatunayan noong 60s. XX siglo.

  Kung sa n>1 sa kalawakan R n bilinear multiplication na walang zero divisors ay tinukoy, pagkatapos ay sa globo S umiiral ang n-1 n-1 linearly independent vector fields . Mula sa mga resulta na nakuha ni Adams sa numero mga patlang ng vector sa globo, ito ay sumusunod na ito ay posible lamang para sa mga sphere S 1 , S 3 , S 7. Pinatunayan nito ang haka-haka ni Frobenius.

  Tingnan din

  Panitikan

  • Bakhturin Yu. A. Mga pangunahing istruktura ng modernong algebra. - M. : Nauka, 1990. - 320 p.
  • Kurosh A. G. Mga lektura sa pangkalahatang algebra. 2nd ed. - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
  • Pontryagin L. S. Paglalahat ng mga numero. - M. : Nauka, 1986. - 120 p. - (Library "Quantum", isyu 54).

  Nagbibilang set
  Mga totoong numero at ang kanilang mga extension
  Mga tool sa extension mga sistema ng numero
  Hierarchy ng mga numero	− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots )

  Ito ay malinaw na kung, pagkatapos ay para sa. Bukod dito, ipapakita namin na para sa sapat na malaking p

  Lemma No. 1. Kung ang matrix ay hindi negatibo at hindi mababawasan, kung gayon

  Patunay:

  Kung kukuha tayo ng isang di-makatwirang vector at, pagkatapos. At hayaang maganap ang vector, halata na mayroon si Z kahit na ang parehong bilang ng mga zero na positibong elemento bilang y. Sa katunayan, kung ipagpalagay natin na ang Z ay may mas kaunting mga zero na bahagi, pagkatapos ay tinutukoy natin, at pagkatapos ay hinahati ang matrix A sa mga bloke tulad ng sumusunod

  

  magkakaroon kami ng

  

  Dahil doon, kung gayon, pagkatapos ay makukuha natin iyon, na sumasalungat sa irreducibility ng matrix

  Para sa susunod na vector, inuulit namin ang pangangatwiran, at iba pa. Bilang resulta, nakukuha natin iyon para sa ilang nonzero vector y

  

  Para sa isang nonzero irreducible matrix A, isaalang-alang tunay na function r(x) na tinukoy para sa mga di-zero na vector gaya ng sumusunod: , (Ax) i - i-th coordinate vector ah

  Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na, at higit pa rito, ang r(x) ay pinakamaliit na halaga, Ano

  Malinaw na ang r(x) ay invariant na may kinalaman sa pagpapalit ng x ng, kaya sa mga sumusunod ay maaari nating isaalang-alang ang isang closed set tulad ng

  

  Gayunpaman, ang r(x) ay maaaring may mga discontinuity sa mga punto kung saan ang x-coordinate ay nagiging 0, kaya isaalang-alang ang isang set ng mga vectors at tukuyin. Sa pamamagitan ng Lemma 1, ang bawat vector sa N ay magiging positibo, at samakatuwid

  Tukuyin ng pinakamalaking bilang, para sa, . - parang multo radius ng matrix A. Kung Ito ay maaaring ipakita na mayroong isang vector y tulad na

  Magkomento. Maaaring may iba pang mga vector sa L kung saan ang r(x) ay kumukuha ng halagang r, kaya ang anumang naturang vector ay tinatawag na extremal para sa matrix A (Az=rz)

  Ang interes sa numerong r ay ipinaliwanag ng sumusunod na resulta

  Lemma No. 2. Kung ang matrix ay hindi-negatibo at hindi mababawasan, kung gayon ang numero ay isang eigenvalue ng matrix A, bilang karagdagan, ang bawat extremal vector para sa A ay positibo at ang tamang eigenvector para sa A na tumutugma sa eigenvalue r

  Ang pangunahing resulta ay ang Frobenius-Peron theorem para sa tuluy-tuloy na matrice

  Ang Frobenius-Peron theorem. Kung ang matrix ay hindi negatibo at hindi mababawasan, kung gayon:

  Ang A ay may positibong eigenvalue na katumbas ng spectral radius ng matrix A;

  may positibong karapatan eigenvector naaayon sa eigenvalue r.

  ang eigenvalue ay may algebraic multiplicity na katumbas ng 1.

  Ang teorama ni Perón (corollary). Positibo parisukat na matris Ang A ay may positibo at tunay na eigenvalue r, na mayroong algebraic multiplicity 1 at lumalampas sa mga module ng lahat ng iba pa eigenvalues matrix A. Ang r na ito ay tumutugma sa isang positibong eigenvector

  Gamit ang Frobenius-Peron theorem, mahahanap ng isa ang pinakamataas na tunay na halaga ng isang matrix nang hindi ginagamit ang katangiang polynomial ng matrix.

  Mga kahihinatnan at pangungusap

  • Ang theorem na ito ay malapit na nauugnay sa Hurwitz's theorem sa normed real algebras. Normed division algebras - lamang $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$ at (non-associative) algebra ng mga numero ng Cayley.
  • Kapag pinalawak ang sistema ng mga kumplikadong numero, hindi maiiwasang mawala ang ilan arithmetic properties: commutativity (quaternions), associativity (Cayley algebra), atbp.
  • Walang analogue ng quaternion system na may dalawa (sa halip na tatlong) quaternion unit.
  • mga patlang $\backslash mathbb\; R$ at $\backslash mathbb\; C$ ay ang tanging finite-dimensional real associative at commutative algebras na walang zero divisors.
  • Quaternion Body $\backslash mathbb\; H$ ay ang tanging finite-dimensional real associative ngunit non-commutative algebra na walang zero divisors.
  • Ang Cayley algebra ay ang tanging finite-dimensional real alternative non-associative algebra na walang zero divisors.

  Ang huling tatlong pahayag ay bumubuo sa tinatawag na pangkalahatan Frobenius theorem.

  Dibisyon ng mga algebra sa larangan ng kumplikadong mga numero

  Algebra ng dimensyon n sa ibabaw ng field $\backslash mathbb\; C$ Ang mga kumplikadong numero ay isang algebra ng dimensyon 2n sa itaas $\backslash mathbb\; R$. Quaternion Body $\backslash mathbb\; H$ ay hindi isang algebra sa isang field $\backslash mathbb\; C$, mula sa gitna $\backslash mathbb\; H$ ay isang one-dimensional na totoong espasyo. Samakatuwid, ang tanging may hangganan-dimensional division algebra ay tapos na $\backslash mathbb\; C$ ay algebra $\backslash mathbb\; C$.

  Frobenius hypothesis

  Ang theorem ay naglalaman ng kondisyon ng pagkakaugnay. Ano ang mangyayari kung tatanggihan mo ang kundisyong ito? Ang haka-haka ng Frobenius ay nagsasaad na kahit na wala ang kondisyon ng pagkakaugnay para sa n naiiba sa 1, 2, 4, 8, sa isang tunay na linear na espasyo R n hindi matukoy ng isa ang istruktura ng isang division algebra. Ang Frobenius hypothesis ay napatunayan noong 60s. XX siglo.

  Kung sa n>1 sa kalawakan R n bilinear multiplication na walang zero divisors ay tinukoy, pagkatapos ay sa globo S umiiral ang n-1 n-1 linearly independent vector fields . Mula sa mga resulta na nakuha ni Adams sa numero mga patlang ng vector sa globo, ito ay sumusunod na ito ay posible lamang para sa mga sphere S 1 , S 3 , S 7. Pinatunayan nito ang haka-haka ni Frobenius.

  Tingnan din

  Sumulat ng pagsusuri sa artikulong "Frobenius' theorem"

  Panitikan

  • Bakhturin Yu. A. Mga pangunahing istruktura ng modernong algebra. - M .: Nauka, 1990. - 320 p.
  • Kurosh A. G.. - M .: Nauka, 1973. - 400 p.
  • Pontryagin L.S.. - M .: Nauka, 1986. - 120 p. - (Library "Quantum", isyu 54).

  Nagbibilang set

  ) Mga Panahon na Computable Arithmetic |header2= Mga totoong numero
  at ang kanilang mga extension |header3= Extension Tools
  sistema ng numero |heading4= Hierarchy ng mga numero |list4=

  $-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Buong mga numero $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Mga rational na numero $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Mga totoong numero

  $-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$

  Mga kumplikadong numero

  $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ Quaternions $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; mga\; tuldok$ Mga Octonions $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash mga\; tuldok$ sedenions |heading5= Iba pa
  mga sistema ng numero

  |list5=Mga Cardinal na numero Mga ordinal na numero (transfinite, ordinal) p-adic Supernatural na mga numero Lahat ay nakakalat. Ibinaba ni Uncle si Natasha sa kabayo at inakay siya sa kamay paakyat sa rickety board steps ng beranda. Sa bahay, hindi nakaplaster, may mga dingding na troso, hindi masyadong malinis - hindi malinaw na ang layunin ng mga taong naninirahan ay walang mantsa, ngunit walang kapansin-pansing kapabayaan.
  Ang pasilyo ay amoy ng mga sariwang mansanas, at ang mga balat ng lobo at fox ay nakasabit. Dinala ng tiyuhin ang kanyang mga bisita sa harap na bulwagan patungo sa isang maliit na silid na may natitiklop na mesa at pulang upuan, pagkatapos ay sa isang sala na may birch. bilog na mesa at isang sofa, pagkatapos ay pumasok sa isang opisina na may gutay-gutay na sofa, isang sira-sirang karpet at may mga larawan ni Suvorov, ang ama at ina ng may-ari, at ang kanyang sarili sa unipormeng militar. May malakas na amoy ng tabako at aso sa opisina. Sa opisina, hiniling ng tiyuhin ang mga bisita na maupo at ayusin ang kanilang sarili sa bahay, at umalis siya. Ang pasaway, na hindi malinis ang likod, ay pumasok sa opisina at humiga sa sofa, naglinis ng sarili gamit ang kanyang dila at ngipin. Mula sa opisina ay may corridor kung saan makikita ang mga screen na may punit na kurtina. Dinig na dinig sa likod ng screen ang mga tawanan at bulungan ng mga babae. Naghubad sina Natasha, Nikolai at Petya at umupo sa sofa. Sumandal si Petya sa kanyang braso at agad na nakatulog; Natahimik sina Natasha at Nikolai. Nag-aapoy ang mga mukha nila, gutom na gutom at tuwang-tuwa. Nagkatinginan sila (pagkatapos ng pamamaril, sa silid, hindi na itinuring ni Nikolai na kailangang ipakita ang kanyang pagiging lalaki sa kanyang kapatid na babae); Kinindatan ni Natasha ang kanyang kapatid, at pareho silang hindi nagtagal at tumawa nang malakas, walang oras na mag-isip ng dahilan para sa kanilang pagtawa.
  Maya-maya, pumasok ang aking tiyuhin na nakasuot ng Cossack coat, asul na pantalon at maliit na bota. At naramdaman ni Natasha na ang mismong suit na ito, kung saan nakita niya ang kanyang tiyuhin sa Otradnoye na may sorpresa at pangungutya, ay isang tunay na suit, na hindi mas masahol pa sa mga frock coat at tailcoat. Masayahin din si Uncle; hindi lang siya nasaktan sa tawa ng kanyang magkapatid (hindi pumasok sa kanyang isipan na matatawa sila sa kanyang buhay), ngunit siya mismo ay nakiisa sa walang kwentang tawa nila.
  "Ganyan ang batang kondesa - isang malinis na martsa - hindi pa ako nakakita ng isa pang katulad nito!" - sabi niya, binigay ang isang tubo na may mahabang chibouk kay Rostov, at inilatag ang isa pang maikli, pinutol na chibouk pamilyar na kilos sa pagitan ng tatlong daliri.
  - Umalis ako ng isang araw, kahit nasa oras ang lalaki at parang walang nangyari!
  Maya-maya pa ay binuksan ni tiyo ang pinto, halatang isang nakayapak na babae sa tunog ng kanyang mga paa, at sa pintuan na may malaking tray sa kanyang mga kamay ay may dumating na mataba, namumula, magandang babae 40 taong gulang, na may double chin, at puno, namumula ang mga labi. Siya, na may magiliw na pagiging kinatawan at kaakit-akit sa kanyang mga mata at bawat galaw, ay tumingin sa paligid sa mga panauhin at magalang na yumuko sa kanila na may isang magiliw na ngiti. Sa kabila ng kapal ng higit sa karaniwan, pinipilit siyang iharap ang kanyang dibdib at tiyan at hawakan ang kanyang ulo sa likod, ang babaeng ito (kasambahay ng tiyuhin) ay humakbang nang labis. Lumapit siya sa mesa, inilapag ang tray, at sa kanyang mapuputi, mabilog na mga kamay ay mabilis na inalis at inayos ang mga bote, meryenda, at pagkain sa mesa. Nang matapos ito, lumayo siya at tumayo sa pintuan na may ngiti sa labi. “Narito siya at ako! Naiintindihan mo na ba ang tito mo?" ang kanyang hitsura ay sinabi kay Rostov. Paano hindi maintindihan: hindi lamang si Rostov, kundi pati na rin si Natasha ang naunawaan ang tiyuhin at ang kahulugan ng nakasimangot na mga kilay, at ang masaya, nasisiyahang ngiti sa sarili na bahagyang kumunot ang kanyang mga labi habang pumasok si Anisya Fyodorovna. Sa tray ay isang herbalist, likor, mushroom, black flour cake sa yurag, pulot-pukyutan, pinakuluang at mabula na pulot, mansanas, hilaw at inihaw na mani, at mga mani sa pulot. Pagkatapos ay nagdala si Anisya Fyodorovna ng jam na may pulot at asukal, at ham, at manok, sariwang pinirito.
  Ang lahat ng ito ay sambahayan, koleksyon at jam ni Anisya Fyodorovna. Ang lahat ng ito ay amoy at umalingawngaw at may lasa ng Anisya Fyodorovna. Ang lahat ay sumasalamin sa katas, kadalisayan, kaputian at isang kaaya-ayang ngiti.
  "Kumain ka na, binibini kondesa," patuloy niyang sinabi, binigyan si Natasha ng isang bagay, pagkatapos ay isa pa. Kinain ni Natasha ang lahat, at tila sa kanya ay hindi pa niya nakita o nakakain ng gayong mga cake sa yuraga, na may tulad na isang palumpon ng mga jam, mani sa pulot, at tulad ng isang manok. Lumabas si Anisya Fyodorovna. Si Rostov at ang kanyang tiyuhin, na naghuhugas ng kanilang hapunan na may cherry liqueur, ay nag-usap tungkol sa nakaraan at hinaharap na pangangaso, tungkol kay Rugai at sa mga Ilaginsky na aso. Si Natasha, na may kumikinang na mga mata, ay diretsong umupo sa sofa, nakikinig sa kanila. Ilang beses niyang sinubukang gisingin si Petya para bigyan siya ng makakain, ngunit may sinabi itong hindi maintindihan, halatang hindi nagising. Si Natasha ay napakasaya sa puso, napakasaya sa bagong kapaligiran na ito para sa kanya, na natatakot lamang siya na ang droshky ay darating para sa kanya sa lalong madaling panahon. Matapos ang isang hindi sinasadyang katahimikan, tulad ng halos palaging nangyayari sa mga taong nakatanggap ng kanilang mga kakilala sa unang pagkakataon sa kanilang bahay, sinabi ng tiyuhin, na sinasagot ang iniisip ng kanyang mga bisita:
  "Kaya't isinasabuhay ko ang aking buhay... Kung mamatay ka, ito ay isang purong martsa-walang iwanan." Anong kasalanan kung gayon!
  Napaka-significant at maganda pa nga ang mukha ni Uncle nang sabihin niya ito. Kasabay nito, hindi sinasadyang naalala ni Rostov ang lahat ng narinig niya mula sa kanyang ama at mga kapitbahay tungkol sa kanyang tiyuhin. Ang aking tiyuhin ay may reputasyon sa buong kapitbahayan ng probinsya bilang ang pinakamarangal at pinakawalang interes na sira-sira. Siya ay tinawag upang hatulan ang mga kaso ng pamilya, siya ay ginawang tagapagpatupad, mga lihim ay pinagkatiwalaan sa kanya, siya ay inihalal na humatol at iba pang mga posisyon, ngunit mula sa serbisyo publiko matigas ang ulo niyang tumanggi, ginugugol ang taglagas at tagsibol sa mga bukid sa kanyang kayumangging gel, nakaupo sa bahay sa taglamig, nakahiga sa kanyang tinutubuan na hardin sa tag-araw.