Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng paksang kailangan mo matagumpay na paghahatid GAMITIN sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng gawain 1-13 pagsusulit sa profile matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!
Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na mag-aaral o isang humanist kung wala sila.
Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na Paraan solusyon, bitag at GAMITIN ang mga lihim. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.
Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.
Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa text at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pag-unlad spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na paliwanag kumplikadong mga konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa solusyon mapaghamong mga gawain 2 bahagi ng pagsusulit.
Teorama
Kung straight, hindi kabilang sa eroplano, ay parallel sa ilang linya sa eroplanong ito, pagkatapos ay parallel din ito sa mismong eroplano.
Patunay
Hayaang ang α ay isang eroplano, isang linya na hindi nakahiga dito, at a1 isang linya sa eroplano na α na kahanay ng linya a. Iguhit natin ang eroplanong α1 sa mga linyang a at a1. Ang mga eroplanong α at α1 ay nagsalubong sa linyang a1. Kung ang linyang a ay nag-intersect sa eroplanong α, kung gayon ang punto ng intersection ay kabilang sa linya a1. Ngunit ito ay imposible, dahil ang mga linya a at a1 ay magkatulad. Samakatuwid, ang linyang a ay hindi sumasalubong sa eroplanong α, at samakatuwid ay kahanay sa eroplanong α. Napatunayan na ang theorem.
18. EROPLO
Kung ang dalawang magkatulad na eroplano ay nagsalubong sa isang pangatlo, kung gayon ang mga linya ng intersection ay magkatulad.(Larawan 333).
Sa katunayan, ayon sa kahulugan Ang mga parallel na linya ay mga linya na nasa parehong eroplano at hindi nagsasalubong. Ang aming mga linya ay nasa parehong eroplano - ang secant na eroplano. Hindi sila nagsalubong, dahil ang mga magkatulad na eroplano na naglalaman ng mga ito ay hindi nagsalubong.
Kaya ang mga linya ay parallel, na kung ano ang gusto naming patunayan.
Ari-arian
§ Kung ang eroplano α ay parallel sa bawat isa sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa kabilang eroplano β, kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel
§ Kung ang dalawang magkatulad na eroplano ay nagsalubong sa isang pangatlo, kung gayon ang mga linya ng kanilang intersection ay magkatulad
§ Sa pamamagitan ng isang punto sa labas ng isang naibigay na eroplano, posible na gumuhit ng isang eroplano parallel sa isang ibinigay na isa, at higit pa rito, isa lamang
§ Ang mga segment ng parallel na linya na nakatali ng dalawang parallel na eroplano ay pantay
§ Dalawang anggulo na may magkatulad na magkatulad at magkaparehong direksyon na mga panig ay pantay at nakahiga sa magkatulad na mga eroplano
19.
Kung ang dalawang linya ay nasa parehong eroplano, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay madaling masukat - halimbawa, gamit ang isang protractor. At kung paano sukatin anggulo sa pagitan ng linya at eroplano?
Hayaang bumalandra ang linya sa eroplano, at hindi sa tamang anggulo, ngunit sa ibang anggulo. Ang ganitong linya ay tinatawag pahilig.
Ihulog natin ang isang patayo mula sa isang puntong nakahilig sa ating eroplano. Ikonekta ang base ng patayo sa punto ng intersection ng hilig at ng eroplano. Nakakuha kami projection ng isang pahilig na eroplano.
Ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay ang anggulo sa pagitan ng isang linya at ang projection nito sa isang partikular na eroplano..
Pakitandaan - pumili kami ng matinding anggulo bilang anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano.
Kung ang isang linya ay parallel sa isang eroplano, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano ay sero.
Kung ang isang linya ay patayo sa isang eroplano, ang projection nito sa eroplano ay isang punto. Malinaw, sa kasong ito ang anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano ay 90°.
Ang isang linya ay patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa anumang linya sa eroplanong iyon..
Ito ang kahulugan. Ngunit paano makipagtulungan sa kanya? Paano suriin na ang isang naibigay na linya ay patayo sa lahat ng mga linya na nakahiga sa eroplano? Pagkatapos ng lahat, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga ito.
Sa pagsasagawa, ito ay inilapat tanda ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano:
Ang isang linya ay patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa eroplanong iyon.
21. Dihedral anggulo- spatial geometric na pigura, na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na nagmumula sa isang tuwid na linya, pati na rin ang isang bahagi ng kalawakan na napapaligiran ng mga kalahating eroplanong ito.
Ang dalawang eroplano ay sinasabing patayo kung ang dihedral na anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90 degrees.
§ Kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay patayo.
§ Kung mula sa isang puntong kabilang sa isa sa dalawa patayo na mga eroplano, gumuhit ng isang patayo sa isa pang eroplano, pagkatapos ang patayo na ito ay ganap na namamalagi sa unang eroplano.
§ Kung sa isa sa dalawang patayo na eroplano ay gumuhit tayo ng patayo sa kanilang linya ng intersection, kung gayon ang patayo na ito ay magiging patayo sa pangalawang eroplano.
Ang dalawang intersecting na eroplano ay bumubuo ng apat na dihedral na anggulo na may karaniwang gilid: mga pares patayong mga anggulo ay pantay at ang kabuuan ng dalawang magkatabing anggulo ay 180°. Kung tama ang isa sa apat na anggulo, pantay at tama rin ang tatlo. Ang dalawang eroplano ay tinatawag na patayo kung ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tama.
Teorama. Kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplano ay patayo.
Hayaan at maging dalawang eroplano na ito ay dumaan sa linyang AB, patayo sa at intersecting dito sa punto A (Larawan 49). Patunayan natin na _|_ . Ang mga eroplano at bumalandra sa ilang linyang AC, at AB _|_ AC, dahil AB _|_ . Gumuhit tayo ng linyang AD sa eroplano, patayo sa linyang AC.
Pagkatapos ang anggulo BAD ay isang linear na anggulo dihedral na anggulo, nakapag-aral at . Pero< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.
22. Ang polyhedron ay isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga flat polygon.
1. alinman sa mga polygon na bumubuo sa polyhedron, maaari mong maabot ang alinman sa mga ito sa pamamagitan ng pagpunta sa isang katabi nito, at mula dito, sa turn, sa isang katabi nito, atbp.
Ang mga polygon na ito ay tinatawag mga mukha, ang kanilang mga panig - tadyang, at ang kanilang mga vertex ay mga taluktok polyhedron. Ang pinakasimpleng mga halimbawa ng polyhedra ay matambok na polyhedra, iyon ay, ang hangganan ng isang bounded subset ng Euclidean space, na siyang intersection ng isang finite number of half-spaces.
Ang kahulugan sa itaas ng polyhedron ay may ibang kahulugan depende sa kung paano tinukoy ang polygon, kung saan posible ang sumusunod na dalawang opsyon:
§ Mga patag na saradong putol na linya (kahit na sila ay nagsalubong sa sarili);
§ Mga bahagi ng eroplano na napapalibutan ng mga putol na linya.
Sa unang kaso, nakuha namin ang konsepto ng isang star polyhedron. Sa pangalawa, ang polyhedron ay isang ibabaw na binubuo ng mga polygonal na piraso. Kung ang ibabaw na ito ay hindi bumalandra sa sarili nito, kung gayon ito ang buong ibabaw ng ilang geometric na katawan, na tinatawag ding polyhedron. Kaya ang ikatlong kahulugan ng polyhedron ay lumitaw, bilang ang geometric na katawan mismo.
tuwid na prisma
Ang prisma ay tinatawag tuwid kung ito gilid tadyang patayo sa mga base.
Ang prisma ay tinatawag pahilig kung ang mga gilid na gilid nito ay hindi patayo sa mga base.
Ang isang tuwid na prisma ay may mga mukha na parihaba.
Ang prisma ay tinatawag tama kung ang mga base nito ay mga regular na polygon.
Ang lugar ng lateral surface ng prisma ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha.
Buong ibabaw ng prisma katumbas ng kabuuan ng lateral surface at ang mga lugar ng mga base
Mga elemento ng prisma:
Points - tinatawag na vertices
Ang mga segment ay tinatawag na lateral edges
Ang mga polygon at - ay tinatawag na mga base. Ang mga eroplano mismo ay tinatawag ding mga base.
24. Parallelepiped(mula sa Greek παράλλος - parallel at Greek επιπεδον - plane) - isang prisma, ang base nito ay isang parallelogram, o (katumbas nito) isang polyhedron, na may anim na mukha at bawat isa sa kanila ay isang parallelogram.
§ Ang parallelepiped ay simetriko tungkol sa midpoint ng dayagonal nito.
§ Anumang segment na may mga dulo na kabilang sa ibabaw ng parallelepiped at dumadaan sa gitna ng dayagonal nito ay hinahati nito sa kalahati; sa partikular, ang lahat ng mga dayagonal ng parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ito.
§ Ang magkasalungat na mukha ng isang parallelepiped ay parallel at pantay.
§ Square ng diagonal na haba kuboid ay katumbas ng kabuuan mga parisukat ng tatlong sukat nito.
Lugar ng ibabaw ng isang cuboid ay katumbas ng dalawang beses ang kabuuan ng mga lugar ng tatlong mukha ng parallelepiped na ito:
| 1. | S= 2(S a+Sb+S c)= 2(ab+bc+ac) |
25 .Pyramid at mga elemento nito
Isaalang-alang ang isang eroplano, isang polygon na nakahiga dito at isang puntong S na hindi nakahiga dito. Ikonekta ang S sa lahat ng vertices ng polygon. Ang nagresultang polyhedron ay tinatawag na isang pyramid. Ang mga segment ay tinatawag na lateral edges. 
Ang polygon ay tinatawag na base, at ang puntong S ay tinatawag na tuktok ng pyramid. Depende sa bilang n, ang pyramid ay tinatawag na triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) at iba pa. Alternatibong Pangalan tatsulok na pyramid – tetrahedron. Ang taas ng isang pyramid ay ang perpendikular na iginuhit mula sa tuktok nito hanggang sa base plane. 
Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung regular na polygon, at ang base ng taas ng pyramid (ang base ng patayo) ay ang sentro nito.
Ang programa ay idinisenyo upang kalkulahin ang lateral surface area tamang pyramid.
Ang pyramid ay isang polyhedron na may base sa anyo ng isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex. 
Ang formula para sa pagkalkula ng lateral surface area ng isang regular na pyramid ay:
kung saan ang p ay ang perimeter ng base (polygon ABCDE),
a - apothem (OS);
Ang apothem ay ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito.
Upang mahanap ang lateral surface area ng isang regular na pyramid, ipasok ang pyramid perimeter at mga halaga ng apothem, pagkatapos ay i-click ang "CALCULATE" na buton. Tutukuyin ng program ang lateral surface area ng isang regular na pyramid, ang halaga nito ay maaaring nakalagay sa clipboard.
Pinutol na pyramid
| Ang pinutol na pyramid ay isang bahagi kumpletong pyramid nakapaloob sa pagitan ng base at isang seksyon na kahanay nito. | |
| Ang cross section ay tinatawag itaas na base ng isang pinutol na pyramid, at ang base ng buong pyramid ay ibabang base pinutol na pyramid. (Ang mga base ay magkatulad.) Mga mukha sa gilid pinutol na pyramid - trapezoid. Sa isang pinutol na pyramid 3 n tadyang, 2 n mga taluktok, n+ 2 mukha, n(n- 3) mga dayagonal. Ang distansya sa pagitan ng upper at lower bases ay ang taas ng truncated pyramid (ang segment na pinutol mula sa taas ng buong pyramid). |  |
| parisukat buong ibabaw ang pinutol na pyramid ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga mukha nito. | |
| Ang dami ng pinutol na pyramid ( S at s- base area, H- taas) |  |
Katawan ng pag-ikot tinatawag na katawan na nabuo bilang resulta ng pag-ikot ng isang linya sa paligid ng isang tuwid na linya.
Ang isang kanang pabilog na silindro ay nakasulat sa isang globo kung ang mga bilog ng mga base nito ay nasa sphere. Ang mga base ng silindro ay maliliit na bilog ng bola, ang gitna ng bola ay tumutugma sa gitna ng axis ng silindro. [ 2 ]
Ang isang kanang pabilog na silindro ay nakasulat sa isang globo kung ang mga bilog ng mga base nito ay nasa sphere. Malinaw, ang gitna ng globo ay wala sa gitna ng axis ng silindro. [ 3 ]
Dami ng anumang silindro ay katumbas ng produkto base area hanggang taas:
| 1. | V=π r 2 h |
Buong lugar ibabaw ng silindro ay katumbas ng kabuuan ng lateral surface ng silindro at dobleng parisukat base ng silindro.
Ang formula para sa pagkalkula ng kabuuang lugar ng ibabaw ng isang silindro ay:
27. Ang isang bilog na kono ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot kanang tatsulok sa paligid ng isang paa nito, kaya ang bilog na kono ay tinatawag ding kono ng rebolusyon. Tingnan din ang Dami ng isang bilog na kono
Kabuuang lugar ng ibabaw ng isang pabilog na kono ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng lateral surface ng kono at ang base nito. Ang base ng isang kono ay isang bilog at ang lugar nito ay kinakalkula gamit ang formula para sa lugar ng isang bilog:
| 2. | S=π rl+π r 2=π r(r+l) |
28. Frustum nakuha sa pamamagitan ng pagguhit ng isang seksyon na kahanay sa base ng isang kono. Ang katawan na nakatali sa seksyong ito, ang base at ang gilid na ibabaw ng kono ay tinatawag na pinutol na kono. Tingnan din ang Dami ng isang pinutol na kono
Kabuuang lugar ng ibabaw ng isang pinutol na kono ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng lateral surface ng pinutol na kono at ang mga base nito. Ang mga base ng isang pinutol na kono ay mga bilog at ang kanilang lugar ay kinakalkula gamit ang formula para sa lugar ng isang bilog: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)l+ r 2 2)
29. bola - geometric na katawan bounded ng isang ibabaw na ang lahat ng mga punto ay nasa pantay na distansya mula sa gitna. Ang distansya na ito ay tinatawag na radius ng globo.
Sphere(Greek σφαῖρα - bola) - isang saradong ibabaw, geometric na lugar mga punto sa espasyo na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag na sentro ng globo. Ang sphere ay isang espesyal na kaso ng isang ellipsoid, kung saan ang lahat ng tatlong axes (kalahating axes, radii) ay pantay. Ang sphere ay ang ibabaw ng bola.
Ang lugar ng spherical surface ng spherical segment (spherical sector) at ang spherical layer ay nakasalalay lamang sa kanilang taas at radius ng bola at katumbas ng circumference ng malaking bilog ng bola, na pinarami ng taas.
Dami ng bola katumbas ng volume ng pyramid, ang base nito ay may parehong lugar sa ibabaw ng bola, at ang taas ay ang radius ng bola
Ang volume ng isang globo ay isa at kalahating beses na mas mababa kaysa sa volume ng isang silindro na nakapaligid dito.
mga elemento ng bola
Ball Segment Hinahati ng cutting plane ang bola sa dalawang segment ng bola. H- taas ng segment, 0< H < 2 R,
r- segment base radius,  Dami ng segment ng bola  Ang lugar ng spherical surface ng spherical segment |  |
| Spherical layer Ang spherical layer ay isang bahagi ng isang sphere na nakapaloob sa pagitan ng dalawang parallel na seksyon. Distansya ( H) sa pagitan ng mga seksyon ay tinatawag taas ng layer, at ang mga seksyon mismo - mga base ng layer. Spherical surface area( dami) ng spherical layer ay makikita bilang pagkakaiba sa mga lugar mga spherical na ibabaw(mga volume) ng mga spherical na segment. |  |
1. Pagpaparami ng vector sa isang numero(Larawan 56).
Produktong vector PERO bawat numero λ tinatawag na vector AT, na ang modulus ay katumbas ng produkto ng modulus ng vector PERO bawat modulo number λ :
Hindi nagbabago ang direksyon kung λ > 0 ; pagbabago sa kabaligtaran kung λ < 0 . Kung ang λ = −1, pagkatapos ay ang vector
tinatawag na vector, kabaligtaran ng vector PERO, at ipinapahiwatig
2. Pagdaragdag ng vector. Upang mahanap ang kabuuan ng dalawang vectors PERO at AT vector
Pagkatapos ang kabuuan ay magiging isang vector, ang simula nito ay tumutugma sa simula ng una, at ang pagtatapos - sa pagtatapos ng pangalawa. Ang panuntunan sa pagdaragdag ng vector na ito ay tinatawag na "tuntunin ng tatsulok" (Larawan 57). ito ay kinakailangan upang ilarawan ang summand vectors upang ang simula ng pangalawang vector ay tumutugma sa dulo ng una.
Madaling patunayan na para sa mga vector "ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa isang pagbabago sa mga lugar ng mga termino."
Ipahiwatig natin ang isa pang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga vector - ang "parallelogram rule". Kung pagsasamahin natin ang mga simula ng summand vectors at bumuo ng parallelogram sa mga ito, kung gayon ang kabuuan ay magiging vector na tumutugma sa dayagonal ng parallelogram na ito (Fig. 58).
Malinaw na ang pagdaragdag ayon sa "parallelogram rule" ay humahantong sa parehong resulta tulad ng ayon sa "triangle rule".
Ang "triangle rule" ay madaling i-generalize (sa kaso ng ilang termino). Para mahanap kabuuan ng mga vector
Kinakailangang pagsamahin ang simula ng pangalawang vector sa dulo ng una, ang simula ng pangatlo - sa dulo ng pangalawa, atbp. Pagkatapos ay ang simula ng vector Sa tumutugma sa simula ng una, at sa wakas Sa- sa dulo ng huli (Larawan 59).
3. Pagbabawas ng mga vector. Ang operasyon ng pagbabawas ay nabawasan sa dalawang nakaraang operasyon: ang pagkakaiba ng dalawang vector ay ang kabuuan ng una na may vector na kabaligtaran ng pangalawa:
Maaari mo ring bumalangkas ng "tuntunin ng tatsulok" para sa pagbabawas ng mga vector: kinakailangan upang pagsamahin ang mga simula ng mga vector PERO at AT, kung gayon ang kanilang pagkakaiba ay ang vector
Iginuhit mula sa dulo ng vector AT patungo sa dulo ng vector PERO(Larawan 60).
Sa mga sumusunod, pag-uusapan natin ang tungkol sa displacement vector materyal na punto, iyon ay, isang vector na nagkokonekta sa inisyal at huling mga posisyon ng punto. Sumang-ayon na ang ipinakilalang mga panuntunan ng pagkilos sa mga vector ay medyo halata para sa mga displacement vectors.
4. Dot product ng mga vectors. resulta produkto ng tuldok dalawang vector PERO at AT ay ang bilang c katumbas ng produkto ng mga module ng mga vector at ang cosine ng anggulo α sa pagitan
Ang scalar na produkto ng mga vector ay napakalawak na ginagamit sa pisika. Sa hinaharap, madalas nating haharapin ang ganitong operasyon.
Isinasaalang-alang ng artikulo ang mga konsepto ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Isasaalang-alang ang mga pangunahing kahulugan at ibibigay ang mga halimbawa. Isaalang-alang ang tanda ng parallelism ng isang tuwid na linya sa isang eroplano na may kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa parallelism, malulutas namin ang mga halimbawa ng mga gawain nang detalyado.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1
Tinatawag na linya at eroplano parallel kung wala sila karaniwang mga punto, ibig sabihin, hindi sila nagsasalubong.
Ang paralelismo ay ipinahiwatig ng "∥". Kung sa gawain ayon sa kondisyon ang linya a at ang eroplanong α ay magkatulad, kung gayon ang notasyon ay isang ∥ α . Isaalang-alang ang figure sa ibaba.
Ito ay pinaniniwalaan na ang linya a, parallel sa eroplano α at ang eroplano α, parallel sa linya a, ay katumbas, iyon ay, ang linya at ang eroplano ay parallel sa bawat isa sa anumang kaso.
Paralelismo ng isang tuwid na linya at isang eroplano - isang tanda at kundisyon ng paralelismo
Hindi palaging halata na ang isang linya at isang eroplano ay parallel. Kadalasan ito ay kailangang patunayan. Kailangang gamitin sapat na kondisyon, na maggagarantiya ng paralelismo. Ang ganitong tanda ay tinatawag na tanda ng parallelism ng isang linya at isang eroplano.Inirerekomenda na pag-aralan muna ang kahulugan ng magkatulad na linya.
Teorama 1
Kung ang isang binigay na linya a, hindi nakahiga sa eroplanong α, ay kahanay ng linya b, na kabilang sa eroplanong α, kung gayon ang linyang a ay kahanay sa eroplanong α.
Isaalang-alang ang theorem na ginamit upang maitatag ang parallelism ng isang tuwid na linya na may isang eroplano.
Teorama 2
Kung ang isa sa dalawang parallel na linya ay parallel sa isang eroplano, ang kabilang linya ay nasa o parallel sa eroplanong iyon.
Ang isang detalyadong patunay ay isinasaalang-alang sa aklat-aralin ng mga baitang 10 - 11 sa geometry. Ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa parallelism ng isang tuwid na linya na may isang eroplano ay posible kung mayroong isang kahulugan ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya at ang normal na vector ng eroplano.
Teorama 3
Para sa paralelismo ng linyang a, na hindi kabilang sa eroplanong α, at sa ibinigay na eroplano, isang kinakailangan at sapat na kondisyon ay ang perpendicularity ng nagdidirekta na vector sa linya na may normal na vector binigay na eroplano.
Naaangkop ang kundisyon kapag kinakailangan upang patunayan ang paralelismo sa hugis-parihaba na sistema mga coordinate tatlong-dimensional na espasyo. Tingnan natin ang detalyadong patunay.
Patunay
Ipagpalagay na ang linya a sa coordinate system O x y ay ibinibigay ng mga canonical equation ng linya sa espasyo, na may anyo x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z o parametric equation linya sa espasyo x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ , eroplanong α na may pangkalahatang equation ng eroplano A x + B y + C z + D = 0 .
Kaya naman ang a → = (a x, a y, a z) ay isang vector sa pagdidirekta na may mga coordinate ng tuwid na linya a, n → = (A, B, C) ay ang normal na vector ng ibinigay na plane alpha.
Upang patunayan ang perpendicularity ng n → = (A , B , C) at a → = (a x , a y , a z) , kailangan mong gamitin ang konsepto ng dot product. Iyon ay, kasama ang produkto a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C, ang resulta ay dapat na katumbas ng zero mula sa kondisyon ng perpendicularity ng mga vectors.
Nangangahulugan ito na ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa parallelism ng linya at ang eroplano ay nakasulat tulad ng sumusunod: a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Kaya a → = (a x , a y , a z) ay ang vector ng direksyon ng linya a na may mga coordinate, at n → = (A , B , C) ay ang normal na vector ng eroplanong α .
Halimbawa 1
Tukuyin kung ang linyang x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2-4 λ ay parallel sa eroplanong x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .
Desisyon
Nakuha namin na ang ibinigay na linya ay hindi kabilang sa eroplano, dahil ang mga coordinate ng linya M (1 , - 2, 2) ay hindi magkasya. Kapag nagpapalit, nakukuha natin na 1 + 6 (- 2) + 5 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .
Kinakailangang suriin ang pagiging posible ng kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Nakukuha namin na ang mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng linya x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ ay may mga halaga a → = (2 , 3 , - 4) .
Ang normal na vector para sa x + 6 y + 5 z + 4 = 0 na eroplano ay n → = (1 , 6 , 5) . Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng scalar product ng mga vectors a → at n → . Nakukuha natin na a → , n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0 .
Samakatuwid, ang perpendicularity ng mga vectors a → at n → ay halata. Ito ay sumusunod na ang linya at ang eroplano ay magkatulad.
Sagot: magkapareho ang linya at eroplano.
Halimbawa 2
Tukuyin ang parallelism ng linya A B sa coordinate plane O y z kapag ang mga coordinate ay ibinigay A (2, 3, 0) , B (4, - 1, - 7) .
Desisyon
Sa pamamagitan ng kundisyon, makikita na ang punto A (2, 3, 0) ay hindi namamalagi sa O x axis, dahil ang halaga ng x ay hindi katumbas ng 0.
Para sa O x z plane, ang vector na may mga coordinate i → = (1 , 0 , 0) ay itinuturing na isang normal na vector ng eroplanong ito. Tukuyin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya A B bilang A B → . Ngayon, gamit ang mga coordinate ng simula at pagtatapos, kinakalkula namin ang mga coordinate ng vector A B . Nakukuha natin na A B → = (2 , - 4 , - 7) . Kinakailangang suriin ang pagiging posible ng kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa mga vectors A B → = (2 , - 4 , - 7) at i → = (1 , 0 , 0) upang matukoy ang kanilang perpendicularity.
Isulat natin ang A B → , i → = 2 1 + (- 4) 0 + (- 7) 0 = 2 ≠ 0 .
Ito ay sumusunod mula dito na ang linyang A B c coordinate na eroplano O y z ay hindi parallel.
Sagot: ay hindi parallel.
Hindi palaging nag-aambag ang tinukoy na kundisyon madaling kahulugan patunay ng parallelism ng isang linya at isang eroplano. Kailangang suriin kung ang linya a ay kabilang sa eroplanong α . May isa pang sapat na kondisyon kung saan napapatunayan ang paralelismo.
Para sa isang naibigay na tuwid na linya a gamit ang equation ng dalawang intersecting na eroplano A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0, sa pamamagitan ng eroplano α - pangkalahatang equation eroplano A x + B y + C z + D = 0 .
Teorama 4
Ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa parallelism ng linya a at ang eroplanong α ay ang kawalan ng mga solusyon sa system linear na equation, na may anyong A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .
Patunay
Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang linya a na may eroplanong α ay hindi dapat magkaroon ng mga karaniwang punto, iyon ay, hindi sila dapat mag-intersect, tanging sa kasong ito ay maituturing silang magkatulad. Nangangahulugan ito na ang sistema ng coordinate O x y z ay hindi dapat magkaroon ng mga puntos na kabilang dito at nagbibigay-kasiyahan sa lahat ng mga equation:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , gayundin ang equation ng eroplano A x + B y + C z + D = 0 .
Samakatuwid, isang sistema ng mga equation na may anyong A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , ay tinatawag na inconsistent.
Ang kabaligtaran ay totoo: kung walang mga solusyon sa system A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 walang mga puntos sa O x y z na nakakatugon sa lahat ibinigay na mga equation sabay-sabay. Nakuha namin na walang ganoong punto na may mga coordinate na maaaring maging mga solusyon kaagad sa lahat ng mga equation A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 at mga equation A x + B y + C z + D = 0 . Nangangahulugan ito na mayroon tayong parallel line at isang eroplano, dahil wala ang kanilang mga intersection point.
Ang sistema ng mga equation A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 ay walang solusyon, kapag ang ranggo ng pangunahing matris ay mas mababa kaysa sa ranggo ng pinalawig. Ito ay napatunayan ng Kronecker-Capelli theorem para sa paglutas ng mga linear na equation. Maaari mong ilapat ang paraan ng Gauss upang matukoy ang hindi pagkakatugma nito.
Halimbawa 3
Patunayan na ang linyang x - 1 = y + 2-1 = z 3 ay parallel sa eroplano 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Desisyon
Para sa mga solusyon halimbawang ito dapat lumipat mula sa canonical equation direkta sa anyo ng equation ng dalawang intersecting na eroplano. Isulat natin ito ng ganito:
x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 x = - 1 (y + 2) 3 x = - 1 z 3 (y + 2) = - 1 z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0
Upang patunayan ang parallelism ng ibinigay na linya x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 na may eroplanong 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 , kinakailangang baguhin ang mga equation sa isang sistema ng equation x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Nakikita namin na hindi ito malulutas, kaya gagamitin namin ang pamamaraang Gauss.
Sa pagsulat ng mga equation, makukuha natin na 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .
Mula dito napagpasyahan namin na ang sistema ng mga equation ay hindi pare-pareho, dahil ang linya at ang eroplano ay hindi nagsalubong, iyon ay, wala silang mga karaniwang puntos.
Napagpasyahan namin na ang linya x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 at ang eroplano 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 ay magkatulad, dahil ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa parallelism ng ang eroplano na may ibinigay na linya ay natugunan.
Sagot: magkapareho ang linya at eroplano.
Kung may napansin kang pagkakamali sa teksto, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Ang ilang mga kahihinatnan ng mga axiom
Teorama 1:
Sa pamamagitan ng isang linya at isang punto na hindi nakahiga dito ay dumadaan sa isang eroplano, at higit pa rito, isa lamang.
Ibinigay: M ₵ a
Patunayan: 1) May α: a∈ α , М ∈ b ∈ α
2)
α ay ang tanging
Patunay:
1) Sa isang tuwid na linya at pumili ng mga puntos P at Q. Pagkatapos ay mayroon kaming 3 puntos - R, Q, M na hindi nagsisinungaling sa parehong linya.
2) Ayon sa axiom A1, ang isang eroplano ay dumadaan sa tatlong punto na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, at bukod dito, isa lamang, i.e. eroplano α, na naglalaman ng linya a at ang punto M, umiiral.
3) Ngayon patunayan natin iyanα ang nag-iisa. Ipagpalagay na mayroong isang eroplanong β na dumadaan sa parehong punto M at sa linya a, ngunit pagkatapos ay ang eroplanong ito sa pamamagitan ng mga puntoP, Q, M. At pagkatapos ng tatlong puntos P, Q, M, hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, sa bisa ng axiom 1, isang eroplano lamang ang dumadaan.
4) Samakatuwid, ang eroplanong ito ay tumutugma sa eroplanong α.Samakatuwid 1) Sa isang tuwid na linya, ngunit pumili ng mga puntos P at Q. Pagkatapos ay mayroon kaming 3 puntos - P, Q, M, na hindi nagsisinungaling sa parehong linya.Kaya naman ang α ay natatangi.
Napatunayan na ang theorem.
1) Sa linya b, kumuha ng punto N, na hindi tumutugma sa punto M, iyon ay, N ∈ b, N≠M
2) Pagkatapos ay mayroon kaming isang punto N, na hindi kabilang sa linya a. Ayon sa nakaraang teorama, ang isang eroplano ay dumadaan sa isang linya at isang punto na hindi nakahiga dito. Tawagin natin itong eroplanong α. Nangangahulugan ito na ang naturang eroplano na dumadaan sa linya a at ang puntong N ay umiiral.
3) Patunayan natin ang kakaiba ng eroplanong ito. Ipagpalagay natin ang kabaligtaran. Hayaang magkaroon ng isang eroplanong β upang ito ay dumaan sa parehong linya a at linya b. Ngunit pagkatapos ay dumadaan din ito sa linya a at sa puntong N. Ngunit sa nakaraang teorama, ang eroplanong ito ay natatangi, i.e. ang eroplanong β ay sumasabay sa eroplanong α.
4) Kaya, napatunayan namin ang pagkakaroon ng isang natatanging eroplano na dumadaan sa dalawang intersecting na linya.
Napatunayan na ang theorem.
Parallel lines theorem
Teorama:
Sa pamamagitan ng anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, mayroong pumasa sa isang linya na kahanay sa ibinigay na linya.
Given: straight a, M₵ a
Patunayan:Mayroon lamang isang direktangb ∥ a, M ∈ b
Patunay:
1) Sa pamamagitan ng linya a at ang punto M, hindi nakahiga dito, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang solong eroplano (1st corollary). Sa eroplanong α maaari kang gumuhit ng linya b, kahanay ng a, na dumadaan sa M.
2) Patunayan natin na ito ay nag-iisa. Ipagpalagay natin na may isa pang linya c na dumadaan sa puntong M at kahanay sa linya a. Hayaang ang magkatulad na linya a at c ay nasa eroplanong β. Pagkatapos ang β ay dumadaan sa M at ang linyang a. Ngunit sa pamamagitan ng linya a at ang puntong M ay dumadaan sa eroplanong α.
3) Samakatuwid, ang α at β ay nagtutugma. Mula sa axiom ng magkatulad na mga linya, sumusunod na ang mga linya b at c ay nagtutugma, dahil mayroon lamang isang linya sa eroplano na dumadaan. ibinigay na punto at parallel sa isang ibinigay na linya.
Napatunayan na ang theorem.
Ang kahulugan ng mga parallel na linya at ang kanilang mga katangian sa espasyo ay kapareho ng sa eroplano (tingnan ang aytem 11).
Kasabay nito, ang isa pang kaso ng pag-aayos ng mga linya ay posible sa espasyo - mga skew na linya. Ang mga linyang hindi nagsalubong at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay tinatawag na mga intersecting na linya.
Ipinapakita ng Figure 121 ang layout ng sala. Nakikita mo na ang mga linya kung saan nabibilang ang mga segment na AB at BC ay skew.
Ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya ay ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya na kahanay sa kanila. Ang anggulong ito ay hindi nakadepende sa kung aling mga intersecting na linya ang kinukuha.
Ang sukat ng antas ng anggulo sa pagitan ng mga parallel na linya ay ipinapalagay na zero.
Ang isang karaniwang patayo ng dalawang intersecting na linya ay isang segment na may mga dulo sa mga linyang ito, na isang patayo sa bawat isa sa kanila. Maaari itong patunayan na ang dalawang intersecting na linya ay may isang karaniwang patayo, at higit pa rito, isa lamang. Ito ay isang karaniwang patayo ng mga parallel na eroplano na dumadaan sa mga linyang ito.
Ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya ay ang haba ng kanilang karaniwang patayo. Ito ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano na dumadaan sa mga linyang ito.
Kaya, upang mahanap ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b (Larawan 122), kinakailangan na gumuhit ng mga parallel na eroplano a at sa bawat isa sa mga linyang ito. Ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong ito ay ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b. Sa figure 122, ang distansya na ito ay, halimbawa, ang distansya AB.
Halimbawa. Ang mga linyang a at b ay magkatulad at ang mga linyang c at d ay nagsalubong. Maaari bang mag-intersect ang bawat isa sa mga linya ng parehong linya
Desisyon. Ang mga linyang a at b ay nasa parehong eroplano, at samakatuwid ang anumang linya na nagsasalubong sa bawat isa sa kanila ay nasa parehong eroplano. Samakatuwid, kung ang bawat isa sa mga linya a, b ay nag-intersect sa parehong mga linya c at d, kung gayon ang mga linya ay nasa parehong eroplano na may mga linya a at b, at hindi ito maaaring, dahil ang mga linya ay nagsalubong.
42. Paralelismo ng isang tuwid na linya at isang eroplano.
Ang isang linya at isang eroplano ay tinatawag na parallel kung hindi sila magsalubong, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang punto. Kung ang linya a ay parallel sa eroplano a, pagkatapos ay isusulat nila:.
Ang Figure 123 ay nagpapakita ng isang tuwid na linya na kahanay ng eroplano a.
Kung ang isang linya na hindi kabilang sa isang eroplano ay parallel sa ilang linya sa eroplanong ito, kung gayon ito ay parallel din sa mismong eroplano (isang tanda ng parallelism ng linya at ng eroplano).
Ang teorama na ito ay nagpapahintulot tiyak na sitwasyon Patunayan na ang isang linya at isang eroplano ay parallel. Ang Figure 124 ay nagpapakita ng isang tuwid na linya b, parallel sa isang tuwid na linya a, na nakahiga sa eroplano a, ibig sabihin, sa kahabaan ng tuwid na linya b parallel sa eroplano a, i.e.
Halimbawa. Sa pamamagitan ng tuktok tamang anggulo Mula sa hugis-parihaba tatsulok ABC Ang isang eroplano ay iginuhit parallel sa hypotenuse sa layo na 10 cm mula dito. Ang mga projection ng mga binti sa eroplanong ito ay 30 at 50 cm.Hanapin ang projection ng hypotenuse sa parehong eroplano.
Desisyon. Mula sa mga tamang tatsulok na BBVC at (Larawan 125) makikita natin ang:
Mula sa tatsulok na ABC nakita namin:
Ang projection ng hypotenuse AB sa eroplano a ay . Dahil ang AB ay parallel sa eroplano a, pagkatapos ay So,.
43. Parallel na eroplano.
Dalawang eroplano ay tinatawag na parallel. kung hindi sila magsalubong.
Dalawang eroplano ay parallel" kung ang isa sa mga ito ay parallel sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isa pang eroplano (isang tanda ng parallelism ng dalawang eroplano).
Sa Figure 126, ang eroplano a ay parallel sa mga intersecting na linya a at b na nakahiga sa eroplano, at sa kahabaan ng mga eroplanong ito ay parallel.
Sa pamamagitan ng isang punto sa labas ng isang naibigay na eroplano, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang eroplano parallel sa ibinigay na isa, at higit pa rito, isa lamang.
Kung ang dalawang magkatulad na eroplano ay nagsalubong sa isang pangatlo, kung gayon ang mga linya ng intersection ay magkatulad.
Ang Figure 127 ay nagpapakita ng dalawang parallel na eroplano, at ang eroplanong y ay nag-intersect sa kanila sa mga tuwid na linya a at b. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Theorem 2.7, maaari nating igiit na ang mga linyang a at b ay magkatulad.
Ang mga segment ng parallel na linya na nakapaloob sa pagitan ng dalawang parallel na eroplano ay pantay.
Ayon sa T.2.8, ang mga segment AB at ipinapakita sa Figure 128 ay pantay, dahil
Hayaang magsalubong ang mga eroplanong ito. Gumuhit ng isang eroplano na patayo sa linya ng kanilang intersection. Nag-intersect ang mga eroplanong ito sa dalawang tuwid na linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tinatawag na anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ito (Larawan 129). Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano na tinukoy sa ganitong paraan ay hindi nakasalalay sa pagpili ng secant plane.
