Gawain linear programming ay paghahanap ng minimum ng isang linear function f: n > 1 na tinukoy sa ilang closed convex set na nakikilala sa pamamagitan ng mga linear inequalities.
Pangkalahatang problema ng linear programming mukhang:
Nabigyan ng sistema m linear na equation at hindi pagkakapantay-pantay na may n variable
at linear function F = c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n min (max)
Ang system (1) ay tinatawag na sistema ng mga hadlang, at ang function na F ay tinatawag linear function, linear na anyo, layunin function o layunin function.
Higit pang maikli karaniwang gawain Ang linear programming ay maaaring kinakatawan bilang:
x=(x|Axb, A=, b=( T )}
Ang problema ng linear programming ay nakasulat din sa iba pang mga anyo - kanonikal at normal. Ang kanonikal na gawain ay ang pagtatalaga ng Zk, tawagan natin ang sumusunod:
x=(x|Axb, ?0, j=))
Ang isang normal na problema ay ang notasyon Zn, tawagan natin ang ganoon
x=(x|Axb, ?0, j=))
Mga convex na set at function
Kahulugan ng isang convex set: ang isang set ay - - convex kung, kasama ng alinmang dalawang puntos, ang set ay naglalaman ng lahat ng mga punto ng segment na nagkokonekta sa isang punto na may isang punto sa espasyo.
Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng dalawang set sa eroplano, ang isa ay matambok at ang isa ay hindi.
kanin. 1
Ang convex sa espasyo ay, halimbawa, tulad ng mga hanay: ang buong espasyo, ang positibong octant at di-negatibong octant nito, anumang bola, parehong bukas at sarado, anumang hyperplane (ibinigay ng ilang equation ng form, pati na rin ang bukas at sarado na kalahati -mga puwang, na ibinigay, ayon sa pagkakabanggit, ng mga kondisyon at.
Sa mga punto ng isang convex set, maaaring isa-isa ng isa ang panloob, hangganan, at mga sulok na punto.
Ang punto ng set ay tinatawag na panloob, kung ang ilan sa mga kapitbahayan nito ay naglalaman lamang ng mga punto ng set na ito.
Ang punto ng set ay tinatawag na hangganan, kung alinman sa mga kapitbahayan nito ay naglalaman ng parehong mga punto na kabilang sa ibinigay na hanay at mga puntong hindi kabilang dito.
Ang mga punto ng sulok ay partikular na interesado sa mga problema sa linear programming. Tinatawag ang punto ng set angular(o matinding) kung hindi ito panloob para sa anumang segment na ganap na kabilang sa ibinigay na hanay.
Sa fig. mga halimbawa iba't ibang puntos polygon: panloob (punto M), hangganan (punto N) at sulok (punto A, B, C, D, E). Ang point A ay angular, dahil para sa anumang segment na ganap na kabilang sa polygon, halimbawa, segment AP, hindi ito panloob; Ang point A ay panloob sa segment na KL, ngunit ang segment na ito ay hindi ganap na kabilang sa polygon.
Para sa isang convex set, ang mga corner point ay palaging nag-tutugma sa mga vertices ng polygon (polyhedron), habang ito ay hindi kinakailangan para sa isang non-convex set. Ang isang hanay ng mga punto ay tinatawag na sarado kung kasama nito ang lahat ng mga hangganan nito. Ang hanay ng mga puntos ay tinatawag limitado, kung mayroong isang bola (bilog) ng radius na may hangganan ang haba na nakasentro sa anumang punto ng set na ganap na naglalaman ng ibinigay na set; kung hindi, ang hanay ay tinatawag na walang hangganan. Matambok na saradong hanay ng mga punto ng eroplano, na may hangganan na numero mga punto ng sulok, ay tinatawag na matambok na polygon, kung ito ay may hangganan, at isang matambok na polygonal na rehiyon, kung ito ay walang hangganan.
Ang function na f: ay tinatawag na convex kung ang epigraph epi f= nito ay isang convex set. Ang figure ay nagpapakita ng isang convex function, ang graph nito ay naka-highlight sa asul at ang overgraph ay may kulay sa berde.
Ang isang function na f: ay tinatawag na sarado kung ang epigraph nito ay isang closed set.
Geometric na kahulugan ng mga solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay, mga equation at kanilang mga sistema
Isaalang-alang natin ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.
Pahayag 1. Ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable a11x1+a12x2<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства a11x1+a12x2>=b1.
Upang matukoy ang nais na kalahating eroplano (itaas o mas mababa), inirerekumenda na magtakda ng isang di-makatwirang punto ng kontrol na hindi namamalagi sa hangganan nito - ang itinayong linya. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa isang control point, kung gayon ito ay nasiyahan din sa lahat ng mga punto ng kalahating eroplano na naglalaman ng control point, at hindi nasiyahan sa lahat ng mga punto ng isa pang kalahating eroplano. At kabaligtaran, kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan sa control point, hindi ito nasisiyahan sa lahat ng mga punto ng kalahating eroplano na naglalaman ng control point, at nasiyahan sa lahat ng mga punto ng isa pang kalahating eroplano. Bilang isang control point, ito ay maginhawa upang kunin ang pinagmulan ng mga coordinate O (0; 0), na hindi namamalagi sa itinayong linya.
Isaalang-alang ang hanay ng mga solusyon sa mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.
Pahayag 2. Ang hanay ng mga solusyon ng magkasanib na sistema m mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable ay isang convex polygon (o isang convex polygonal area).
Ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay, alinsunod sa Pahayag 1, ay tumutukoy sa isa sa mga kalahating eroplano, na isang matambok na hanay ng mga puntos. Ang hanay ng mga solusyon ng magkasanib na sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay mga punto na kabilang sa kalahating eroplano ng mga solusyon ng lahat ng hindi pagkakapantay-pantay, i.e. nabibilang sa kanilang intersection. Ayon sa pahayag ng intersection convex sets ang set na ito ay matambok at naglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga punto ng sulok, i.e. ay isang convex polygon (isang convex polygonal area).
Ang mga coordinate ng mga punto ng sulok - ang mga vertices ng polygon ay matatagpuan bilang mga coordinate ng mga intersection point ng mga kaukulang linya.
Kapag nagtatayo ng mga lugar ng mga solusyon para sa mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, ang iba pang mga kaso ay maaari ding mangyari: ang hanay ng mga solusyon ay isang matambok na polygonal na rehiyon (Fig. a); isang punto (Larawan b); isang walang laman na hanay kapag ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi pare-pareho (Fig. c).
Pagtukoy sa konsepto ng duality gamit ang Legendre transform
Hayaan f:. Ang function na f*: na tinukoy ng equality f*(x*)==(x*) ay tinatawag na adjoint function sa f, at ang function na f**: na tinukoy ng rule f**(x*)==( x*) ay tinatawag na pangalawang adjoint function sa f.
Pagmamapa f* (x*) =< x*, x>? f(x) ay tinatawag na Legendre transform.
Ang karaniwang pamamaraan para sa pagbuo ng dalawahang problema ay ang mga sumusunod. Problema sa pag-minimize
kung saan ang X ay isang linear na espasyo, ay kasama sa klase ng mga problemang katulad nito, depende sa parameter:
kung saan ang Y ay ilang iba pang linear space, F (x, 0)=f(x) (ang function na F ay tinatawag na perturbation ng f). Karaniwan ang F ay ipinapalagay na matambok. Ang dalawahan ng problema na may kinalaman sa isang naibigay na kaguluhan ay tinatawag. gawain
kung saan ang F* ay isang function na dalawahan (conjugate) sa F sa kahulugan ng Legendre - Young - Fenchel. Ang duality na ito ay nagpapahintulot sa amin na iugnay sa bawat convex function f: X-> R isang dual object - ang magkadugtong na function na tinukoy sa dual space X* at tinukoy ng formula
Para sa mga pinakasimpleng problema ng convex programming tulad ng
kung saan ang X ay isang linear space, convex functions sa X, B-convex set sa X (mga espesyal na kaso ng (3) ay mga problema sa linear programming), ang mga sumusunod na karaniwang perturbation ay karaniwang inilalapat, depende sa mga parameter y=(y 1 ,…, y m), m, Duality theorems para sa mga pangkalahatang klase ng convex programming problem state state na, sa ilalim ng ilang mga pagpapalagay, sa perturbation F, ang mga halaga ng mga problema (2) at (2*) ay nag-tutugma, at higit pa rito, ang solusyon ng isa sa mga problema ay ang Lagrange multiplier para sa isa pa.
Kapag nagsasaliksik pang-ekonomiyang phenomena mga pamamaraan sa matematika tulad ng isang pag-aari ng maraming mga hanay at pag-andar bilang convexity lumiliko out na maging lubhang makabuluhan. Ang likas na katangian ng pag-uugali ng maraming mga bagay na pang-ekonomiya ay dahil sa ang katunayan na ang ilang mga dependency na naglalarawan sa mga bagay na ito ay matambok.
Ang pagkakaroon o pagiging natatangi ng isang solusyon ay kadalasang nauugnay sa convexity ng mga function at set mga gawaing pang-ekonomiya: maraming computational algorithm ang nakabatay sa parehong property.
Ang bisa ng maraming pahayag tungkol sa mga convex set at function ay medyo malinaw, halos halata ang mga ito. Kasabay nito, ang kanilang patunay ay kadalasang napakahirap. Samakatuwid, ang ilang mga pangunahing katotohanan na nauugnay sa convexity ay sasabihin dito, nang walang patunay, na umaasa sa kanilang intuitive persuasiveness.
Mga convex set sa eroplano.
Anuman geometric na pigura sa eroplano ay maaaring ituring bilang isang hanay ng mga puntos na kabilang sa figure na ito. Ang ilang mga set (halimbawa, isang bilog, isang parihaba, isang strip sa pagitan ng mga parallel na linya) ay naglalaman ng parehong panloob at hangganan na mga punto; ang iba (halimbawa, isang segment ng linya, isang bilog) ay binubuo lamang ng mga boundary point.
Ang isang set ng mga punto sa isang eroplano ay tinatawag na convex kung ito ay may sumusunod na katangian: ang segment na nagkokonekta sa alinmang dalawang punto ng set na ito ay ganap na nakapaloob sa set na ito.
Ang mga halimbawa ng convex set ay: isang tatsulok, isang segment, isang kalahating eroplano (isang bahagi ng isang eroplano na nakahiga sa isang gilid ng isang tuwid na linya), ang buong eroplano.
Ang isang set na binubuo ng isang solong punto, at isang walang laman na set na naglalaman ng walang mga puntos, ayon sa convention, ay itinuturing din na convex. Sa anumang kaso, sa mga set na ito imposibleng gumuhit ng isang segment na nag-uugnay sa ilang mga punto ng mga set na ito at hindi nabibilang sa mga set na ito nang buo - sa pangkalahatan ay imposibleng pumili ng dalawang puntos sa kanila. Samakatuwid, ang kanilang pagsasama sa bilang ng mga convex set ay hindi hahantong sa isang kontradiksyon sa kahulugan, at ito ay sapat na para sa matematikal na pangangatwiran.
Intersection, i.e. isang karaniwang bahagi dalawang convex set ay palaging convex: ang pagkuha ng anumang dalawang punto ng intersection (at ang mga ito ay karaniwan, iyon ay, sila ay kabilang sa bawat isa sa mga intersecting set) at pagkonekta sa kanila sa isang segment, madali nating makita na ang lahat ng mga punto ng segment ay karaniwan. sa parehong set, kaya kung paano ang bawat isa sa kanila ay matambok. Ang intersection ng anumang bilang ng convex set ay magiging convex din.
Ang isang mahalagang pag-aari ng convex set ay ang kanilang separability: kung ang dalawang convex set ay walang karaniwan panloob na mga punto, kung gayon ang eroplano ay maaaring i-cut sa isang tuwid na linya sa paraang ang isa sa mga set ay ganap na nakahiga sa isang kalahating eroplano, at ang isa pa sa isa pa (ang mga punto ng parehong mga hanay ay maaaring matatagpuan sa cut line). Ang tuwid na linya na naghihiwalay sa kanila sa ilang mga kaso ay lumalabas na ang tanging posible, sa iba ay hindi.
Ang boundary point ng anumang convex set mismo ay maaaring ituring bilang isang convex set na walang karaniwang interior point na may orihinal na set, samakatuwid, maaari itong ihiwalay mula dito ng ilang tuwid na linya. Ang linya na naghihiwalay sa hangganan nito mula sa isang matambok na hanay ay tinatawag na linya ng suporta ng hanay na ito sa ibinigay na punto. Ang mga linya ng sanggunian sa ilang mga punto ng tabas ay maaaring natatangi, sa iba - hindi natatangi.
Ipakilala natin ang isang sistema ng Cartesian coordinate x, y sa eroplano. Ngayon ay mayroon kaming pagkakataon na isaalang-alang ang iba't ibang mga numero bilang mga hanay ng mga naturang punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa ilang mga equation o hindi pagkakapantay-pantay (kung ang mga coordinate ng isang punto ay nakakatugon sa anumang kundisyon, sasabihin namin para sa kaiklian na ang punto mismo ay nakakatugon sa kundisyong ito).
Ang isang set AÌE ay tinatawag na convex kung, kasama ng alinmang dalawang puntos x 1 at x 2, naglalaman ito ng isang segment na nagkokonekta sa kanila, i.e. set ng form
[x 1 x 2 ]={xОE n | x=l x 1+(1-l) x 2 , 0 £l £1).
Ang mga kalahating puwang na isinasaalang-alang sa itaas ay mga convex set. Suriin natin, halimbawa, kung ang kalahating espasyo H + ab ( xОE n |
Idagdag natin ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay na ito, paunang pagpaparami ng una sa isang di-makatwirang numero lО, at ang pangalawa sa pamamagitan ng 1-l. Bilang resulta, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay
l
Dahil ang l ay arbitrary, ang buong segment na nagkokonekta sa mga napiling punto ay kabilang sa ibinigay na kalahating espasyo. Samakatuwid, ang kalahating espasyo ay talagang isang convex set.
Fig. 2.10. convex (a), non-convex (b) set.
Kabanata 3 Mga Pangunahing Kaalaman sa Pag-andar.
3.1 Konsepto ng mga function.
Hayaang ang X at Y ay dalawang set. Kung ang isang panuntunan ay tinukoy ayon sa kung saan ang bawat elemento ng set X ay nauugnay sa isang tiyak na elemento ng set Y, pagkatapos ay sinasabi nila na ang function ay ibinigay f, pagmamapa ng X hanggang Y. Ang katotohanang ito ay isinulat bilang f: X®Y o y=f(x), kung saan x ОX, yОY. Ang X set ay tinatawag na data area o ang function definition area, at ang Y set ay ang value set. Function f(x) ay isang panuntunan na nagpapahintulot sa bawat halaga ng x na maiugnay iisang kahulugan y=f(x). Sa kasong ito, ang x ay ang independent variable at ang y ay ang dependent variable. Mga function na y=f(x)=f(x 1 +x 2 ,..,x n), i.e. ang mga function na may domain X Ì E n at set ng mga halaga Y Ì E ay tinatawag numerical function sa kaibahan sa mga function ng vector, kung saan YÌ E m , m>1.
Maraming mabait
((x,y)нE n +1 ½ y=f(x) para sa ilang xнX)
tinatawag na graph ng isang function y=f(x).
hilera mga pisikal na proseso maaaring ilarawan sa tuluy-tuloy na pag-andar, ibig sabihin. mga function na may ari-arian ng pagpapatuloy sa bawat punto x na kabilang sa kanilang mga domain ng kahulugan.
Ang isang function na f ay tinatawag na tuluy-tuloy sa isang punto x 0 нX kung para sa anumang numero e>0 isa ay maaaring tumukoy ng isang numero d e >0 na para sa lahat ng xнX Ç Ède 1x 0 1 ang hindi pagkakapantay-pantay ½f(x)-f(x 0)1 Bilang mga halimbawa ng mga function na tuloy-tuloy sa E n , ipinapakita namin ang linear function f 1 (x)= kung saan ang Q ay isang numerical symmetric matrix na may sukat n * m, c ay ilang vector mula sa E n at b ay ilang numero, at ang Qx ay nangangahulugang ang produkto ng isang matrix sa pamamagitan ng isang vector ayon sa mga patakaran ng matrix multiplication na pinagtibay sa linear algebra. 3.2 Pag-uuri ng mga function. 3.2.1 Hindi tuloy-tuloy at discrete function. hindi tuloy-tuloy na mga function. Halimbawa, ang halaga ng pag-uulat sa ilang sistema ng isang dami init sa iba't ibang temperatura ng system, nakakakuha kami ng isang piecewise na tuloy-tuloy na curve (Larawan 3.1). may mga kaso kapag ang variable ay tumatagal sa mga discrete values (Figure 3.2). Depende sa kung tuluy-tuloy o hindi tuloy-tuloy ang function na pinag-aaralan, iba't ibang paraan ng pananaliksik ang dapat gamitin. Dapat pansinin na ang isang paraan na mabisa sa pagsusuri ng tuluy-tuloy na mga pag-andar ay maaaring maging hindi epektibo sa pag-aaral ng hindi tuloy-tuloy na mga pag-andar, kahit na ang kabaligtaran ay hindi ibinukod. Ang mga function ay maaari ding uriin ayon sa kanilang anyo, na tumutukoy sa mga topological na katangian ng mga pag-andar sa pagitan na isinasaalang-alang. 3.2.2 Mga monotone na function. Ang function na f(x) ay monotonic (Figure 3.3) parehong may pagtaas at pagbaba) kung para sa dalawang arbitrary na puntos x 1 at x 2 na ang x 1 Fig.3.3. Sa konsepto ng isang monotone function. Ang Figure 3.4 ay nagpapakita ng graph ng isang function na monotonically bumababa sa x£0 at monotonically tumataas sa x30. Naabot ng function ang pinakamababa nito sa puntong x=x * (pinagmulan 0) at monotoniko sa magkabilang panig ng pinakamababang punto. Ang ganitong mga pag-andar ay tinatawag na unimodal. Tandaan na ang unimodal function ay hindi kailangang maging makinis sa lahat (Larawan 3.4, a) at kahit tuloy-tuloy (Larawan 3.4, b), maaari itong masira (hindi nakikilala), hindi nagpapatuloy (Larawan 3.4, c), discrete (Larawan 3.4 d) at kahit na maaaring hindi matukoy sa ilang mga pagitan (Larawan 3.4, e.). Kaya ang isang function na f(x) ay tinatawag na unimodal sa segment kung ito ay tuloy-tuloy at may mga numerong a at b a£a£b£b na ganito: 1) kung a 2) kung b
3) para sa xн f(x)=f * =min f(x); Fig.3.4. Mga unimodal na function: a) makinis, b) tuloy-tuloy, c) hindi tuloy-tuloy, d) discrete, e) arbitrary. posibleng bumagsak sa puntong isa o dalawa sa mga segment , , (Figure 3.5). Fig.3.5. Mga variant ng pag-aayos at pagkabulok sa isang punto ng mga segment ng monotonicity at constancy ng isang unimodal function. ang set ng mga function na unimodal sa isang segment ay ilalarawan ng Q. Ang unimodality ng mga function ay isang pambihirang mahalagang katangian na malawakang ginagamit sa pag-aaral ng optimization. 3.2.3 Mga function ng convex, pseudo-convex at quasi-convex. Ang mga function ng convex at ang kanilang mga generalization (pseudo-convex at quasi-convex function) ay may mahalagang papel sa teorya ng optimization. Gagamitin ang mga function na ito upang bumalangkas ng sapat na mga kondisyon ng optimality. Ang isang numerical function f na tinukoy sa isang convex set X, XÌE n ay tinatawag na convex kung para sa alinmang dalawang puntos x 1 ,x 2 нX at isang arbitrary na numero ln ang hindi pagkakapantay-pantay f(lx 1 +(1-l)x 2) £lf(x 1)+(1-l)f(x 2). (3.1) Ang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan ay tumutukoy sa isang malukong function, at ang mga terminong "convex down (1)" "convex up (2)" ay kadalasang ginagamit (Figure 3.6). Fig.3.6. 1) Convex (convex down) function, 2) Concave (concave up) function. Sa geometrically, ang convexity ng function f ay nangangahulugan na ang anumang punto ng isang arbitrary chord ng graph f ay matatagpuan hindi mas mababa kaysa sa kaukulang punto ng graph mismo (ito ay nasa ibaba ng chord na nagkokonekta sa dalawang punto ng kanyang graph), (Figure 3.6. , Curve 1). Ang pinakasimpleng mga halimbawa ng convex function ng isang variable ay ang parabola y=x 2 at ang exponent y=e x . Ang mga function na y=-x 2 at y=-e x ay malukong. Kung para sa lahat ng x 1, ang x 2 ОX x 1 ¹x 2 at lО inequality (3.1) ay mahigpit na (<), то f называется mahigpit na matambok
sa X (Larawan 3.7, a). Tinatawag ang function (mahigpit) hubog
, kung - f ay (mahigpit) matambok (Larawan 3.7, b). Fig.3.7. Strictly convex (a) at strictly concave function, ang kanilang mga derivatives (dotted line) at isang function na may linear na seksyon Function f(x), tinukoy sa isang convex set X, ay tinatawag na strongly convex na may pare-pareho l> 0 kung Magbigay tayo ng geometric na interpretasyon ng kahulugan (3.2) sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa function y=f(x) isang variable. Pag-aayos x 1 at x 2 mula sa domain ng function at denoting , babaguhin natin ang l mula 0 hanggang 1. Ito ay malinaw na pagkatapos ay ang halaga x(l), ay magbabago mula sa x 1 dati x 2, at punto ( X, f(x)) ay dadaan sa graph ng function y=f(x) mula sa punto B= ( x2, f(x2)) hanggang sa punto PERO= (x 1 , f(x 1))(fig.3.8). Fig.3.8. Graph ng isang malakas na convex function. Mga equation sa xOy plane ilarawan ang isang tuwid na linya L(secant) na nag-uugnay sa mga punto PERO at AT, at ang mga equation magtakda ng parabola R mabait · Teorama 3.1
Patuloy na naiba-iba ang function sa isang convex set X f ay matambok sa set na ito kung at kung para lamang sa alinman x 1 ,x 2 О X tunay na hindi pagkakapantay-pantay f(x 2) ³ f(x 1) +<Ñf(x 1 ,x 2 -x 1)>, (3.3) nakuha mula sa agnas ng function f(x) sa isang serye ng Taylor sa isang punto x 1 sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga tuntunin ng pangalawa at mas mataas na pagkakasunud-sunod ng pagpapalawak F(x 1 +h) = f(x 1) + hf ¢(x 1) + h 2 /2*f¢¢(x 1) +..., (3.3) kung saan ang h ay isang sapat na maliit na numero, |h| Ñf(x 1) = (¶f/¶x 1 , ¶f/¶x 2 ,.., ¶f/¶x n) m, mga. ay isang vector ng mga partial derivatives ng unang pagkakasunud-sunod, na kinakalkula sa puntong x 1 at tinatawag na gradient ng function f sa punto x 1 . · Teorama 3.2
Hayaang ang isang function f ay dalawang beses na patuloy na naiba-iba sa isang convex set X na naglalaman ng hindi bababa sa isang panloob na punto, at hayaan ang m 2 f(x) ang Hessian nito. Pagkatapos para sa convexity ng f sa set X ito ay kinakailangan at sapat na ang matrix m 2 f(x) ay hindi negatibong tiyak para sa lahat ng xнX, ibig sabihin,, sa hindi pagkakapantay-pantay <Ñ 2 f(x)h, h>³0 (3.4) gaganapin para sa lahat ng puntos xнX, hнE n . Dito ang numerical matrix Ñ 2 f(x) ay tinatawag na Hessian (o ang Hessian matrix). Kung ang isang function f ay may tuluy-tuloy na pangalawang-order na bahagyang derivatives (dalawang beses na patuloy na naiba-iba) sa isang punto x 1 , ito ay dalawang beses na naiba-iba sa x 1 at may isang Hessian matrix ng anyo bukod dito, ang matrix na ito ay simetriko, ibig sabihin, Ang mga katulad na assertion ay mayroon din para sa mga concave function. Sa kasong ito, sa mga formula (3.2) at (3.4), ang inequality sign na ³ ay dapat palitan ng £. Sinusuri ang isang function para sa convexity. Ang isang function na f ay matambok kung ang Hessian matrix nito ay positibong tiyak (>0) o positibong semidefinite para sa lahat ng mga halaga x 1 ,x 2 ,..,x n. Sinusuri ang function para sa convexity. Ang isang function na f ay matambok kung ang Hessian matrix nito ay negatibong semidefinite (£0) para sa lahat ng x 1 ,x 2 ,..,x n . Ang isang mahigpit na convex o concave function ay may isang solong extremum, na kung saan ay ang global minimum o maximum, ayon sa pagkakabanggit. Ang isang function na may linear na seksyon (Figure 3.7, c) ay may walang katapusang bilang ng extrema na katumbas ng magnitude. Upang hatulan ang one-extremality sa pagkakaroon ng mga paghihigpit, maaaring gamitin ng isa ang konsepto ng convexity ng isang admissible set. Ang isang set ay matambok kung anumang bahagi ng tuwid na linya na nagdudugtong sa dalawang punto ng mga hangganan ng hanay ay nasa loob ng hanay. Ang convexity o concavity ng layunin function ay maaari ding hatulan sa pamamagitan ng likas na katangian ng pagbabago sa mga partial derivatives nito ¶f/¶x. Sa kaso ng isang mahigpit na convex function, ang derivative na ito ay tumataas habang ang argument ay tumataas (Fig. 3.7 a), at para sa isang mahigpit na convex function ito ay bumababa (Fig. 3.7 b). Kung mayroong isang linear na segment ng layunin ng function, ang ipinahiwatig na derivative sa segment na ito ay pare-pareho. Convex set ng form X=(xнE n ) | Ax£b)=(xнE n | £b i , i=1,..,m) kung saan ang A ay ilang m*n matrix na may mga row a 1 ,..,a m , b=(b 1 ,..,b m) н E n (m=1,2,..). Nakaugalian na tumawag sa polyhedral o simpleng polyhedra. Kaya, ang polyhedron ay isang hanay ng mga solusyon sa ilang sistema ng isang may hangganang bilang ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, o, kung ano ang pareho, isang intersection ng isang may hangganang bilang ng mga kalahating puwang (Figure 3.9). Fig.3.9. Polyhedral set (polyhedron). Halimbawa, ang polygon sa Fig. 2.1, ang a ay matambok, at ang polygon sa Fig. 2.1, b ay hindi matambok (ito ay matatagpuan sa magkabilang panig ng tuwid na linya BC). Ang pangkalahatang pagtukoy ng ari-arian na nagpapakilala sa isang matambok na polygon mula sa isang hindi matambok na isa ay kung kukuha ka ng alinman sa dalawa sa mga punto nito at ikonekta ang mga ito sa isang segment, ang buong segment ay mapapabilang sa polygon na ito. Ang ari-arian na ito ay maaaring kunin bilang kahulugan ng isang matambok na hanay ng mga puntos. Ang isang set ng mga punto ay tinatawag na convex kung ito, kasama ng alinman sa dalawa sa mga punto nito, ay naglalaman ng buong segment na nagkokonekta sa mga puntong ito. Ayon sa kahulugang ito, ang polygon sa Fig. 2.1, a ay isang convex set, at ang polygon sa Fig. Ang 2.1, b ay hindi ganoon, dahil ang segment na WE sa pagitan ng dalawang puntos nito na M at / V ay hindi ganap na nabibilang sa polygon na ito. Hayaang ang M at N ay alinman sa dalawang intersection point ng dalawang set A at B (Fig. 2.3). Dahil ang mga puntos na M at N ay nabibilang sa intersection ng mga set, i.e. parehong isang convex set A at isang convex set B, pagkatapos ay ayon sa kahulugan ng isang convex set, ang lahat ng mga punto ng segment MI ay nabibilang sa parehong set A at ang set B, i.e. intersection ng mga set na ito. At nangangahulugan ito na ang intersection ng mga set na ito ay isang convex set. ■ Sa mga punto ng isang convex set, maaaring isa-isa ng isa ang panloob, hangganan, at mga sulok na punto. Ang isang punto ng isang set ay tinatawag na panloob kung ang ilan sa mga kapitbahayan nito ay naglalaman ng mga punto ng set na ito lamang. Fig- 2-3 Ang punto ng set ay tinatawag na hangganan, kung alinman sa mga kapitbahayan nito ay naglalaman ng parehong mga puntos na kabilang sa ibinigay na hanay at mga puntos na hindi kabilang dito. Ang mga punto ng sulok ay partikular na interesado sa mga problema sa linear programming. Ang isang punto ng isang set ay tinatawag na isang corner (o extreme) point kung ito ay hindi panloob sa anumang segment na ganap na kabilang sa ibinigay na set. Sa fig. Ang 2.4 ay nagpapakita ng mga halimbawa ng iba't ibang mga punto ng polygon: panloob (punto M), hangganan (punto I) at sulok (mga punto A, B, C, D E). Ang point A ay angular, dahil para sa anumang segment na ganap na kabilang sa polygon, halimbawa, segment AP, hindi ito panloob; Ang point A ay panloob sa segment na Kb, ngunit ang segment na ito ay hindi ganap na kabilang sa polygon. Para sa isang convex set, ang mga corner point ay palaging nag-tutugma sa mga vertices ng polygon (polyhedron), habang ito ay hindi kinakailangan para sa isang non-convex set. Kaya, sa fig. Ang 2.5 point A ay isang vertex ng isang non-convex polygon, ngunit hindi isang sulok (ito ay panloob sa segment na Kb, na ganap na kabilang sa polygon na ito). Ang isang hanay ng mga punto ay tinatawag na sarado kung kasama nito ang lahat ng mga hangganan nito. Ang isang set ng mga puntos ay tinatawag na bounded kung mayroong isang bola (bilog) ng radius na may hangganan ang haba na nakasentro sa anumang punto ng set na ganap na naglalaman ng ibinigay na set; kung hindi, ang hanay ay tinatawag na walang hangganan. Kung ang figure ay limitado lamang sa mga tuwid na linya o kanilang mga segment, kung gayon ang bilang ng mga sulok na punto nito ay may hangganan; sa kaso ng curvilinear boundaries, ang figure ay naglalaman ng walang katapusan na maraming mga corner point, na nagpapahintulot sa amin na gawin ang sumusunod na kahulugan. Ang isang matambok na saradong hanay ng mga punto sa isang espasyo (eroplano) na may hangganan na bilang ng mga punto ng sulok ay tinatawag na convex polyhedron (polygon) kung ito ay nakatali, at isang matambok na polyhedral (polygonal) na rehiyon kung ito ay walang limitasyon. Sa ngayon ay isinasaalang-alang namin ang mga convex na hanay ng mga punto sa eroplano at sa kalawakan. Ayon sa pagsusuri, ang mga naturang punto ay kinakatawan ng isang nakaayos na pares ng mga numero (xx x2) o isang nakaayos na triple ng mga numero (*1, *2, *h). Ang konsepto ng isang punto ay maaaring pangkalahatan, ibig sabihin ay isang punto (o isang vector ) isang nakaayos na hanay ng mga n numero ., xn), kung saan ang mga numerong xx, x2, ..., xn ay tinatawag na mga coordinate ng isang punto (vector). Ang ganitong paglalahat ay may katuturan, dahil kung kukuha tayo ng anumang bagay na pang-ekonomiya, kung gayon ang dalawa o tatlong numero ay karaniwang hindi sapat upang makilala ito, at kinakailangang kumuha ng n mga numero, kung saan n > 3. Ang set ng lahat ng puntos X = (xx x2,..., xn) ay isang n-dimensional na punto (vector) na espasyo. Para sa n > 3, ang mga punto at figure ng isang n-dimensional na espasyo ay walang tunay na geometriko na kahulugan, at lahat ng pag-aaral ng mga bagay sa espasyong ito ay dapat isagawa sa isang analytical form. Gayunpaman, ito ay naging kapaki-pakinabang sa kasong ito na gamitin mga konseptong geometriko upang mapadali ang mga ideya tungkol sa mga bagay ng "-dimensional na espasyo. III. Mga Convex na Set at Function 569 3.
Ang lahat ng mga function ng isang variable na may pare-pareho ang elasticity ω ay may anyo (8) (gamitin ang pagkakapantay-pantay (4)). 4.
Ang mga function ng ilang variable na may pare-parehong partial elasticity ay mga power function ng form y = Ax1 B 1 x2 B 2 ,...,xN B N . III. Mga convex na set at function Sa pag-aaral ng mga pang-ekonomiyang phenomena sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng matematika, ang gayong pag-aari ng maraming hanay at pag-andar bilang convexity ay lumalabas na napakahalaga. Ang likas na katangian ng pag-uugali ng maraming mga bagay na pang-ekonomiya ay nauugnay sa katotohanan. na ang ilang mga dependency na naglalarawan sa mga bagay na ito ay matambok. Ang pagkakaroon o pagiging natatangi ng solusyon ng mga problema sa ekonomiya ay kadalasang nauugnay sa convexity ng mga function at set: maraming computational algorithm ang nakabatay sa property na ito. Ang bisa ng maraming pahayag tungkol sa mga convex set at function ay medyo malinaw, halos halata ang mga ito. Kasabay nito, ang kanilang patunay ay kadalasang napakahirap. Samakatuwid, ang ilang mga pangunahing katotohanan na may kaugnayan sa convexity ay ipapakita dito, nang walang patunay, na umaasa sa kanilang intuitive persuasiveness. 1. Mga convex set sa eroplano Anumang geometric figure sa eroplano ay maaaring ituring bilang isang set ng mga puntos na kabilang sa figure na ito. Ang ilang mga set (halimbawa, isang bilog, isang parihaba, isang strip sa pagitan ng mga parallel na linya) ay naglalaman ng parehong panloob at hangganan na mga punto; ang iba (halimbawa, isang segment, isang bilog) ay binubuo lamang ng mga boundary point. Ang isang set ng mga punto sa isang eroplano ay tinatawag na convex kung ito ay may sumusunod na katangian: ang segment na nagkokonekta sa alinmang dalawang punto ng set na ito ay ganap na nakapaloob sa set na ito (Fig. 1). Ang mga halimbawa ng convex set ay: isang tatsulok, isang segment, isang kalahating eroplano (isang bahagi ng isang eroplano na nakahiga sa isang gilid ng isang tuwid na linya), ang buong eroplano. Ang iba pang mga halimbawa ng convex set ay ipinapakita sa fig. 2a. Sa fig. Ang 2b ay nagpapakita ng mga halimbawa ng mga non-convex set. Ang isang set na binubuo ng isang punto at isang walang laman na set na walang mga puntos, ayon sa convention, ay itinuturing din na matambok. Sa anumang kaso, sa mga set na ito imposibleng gumuhit ng isang segment na nag-uugnay sa ilang mga punto ng mga set na ito at hindi nabibilang sa mga set na ito nang buo, - sa kanila 570 Aplikasyon sa Matematika kanin. 1. Ang isang segment na nagkokonekta sa anumang dalawang punto ng isang matambok na pigura ay ganap na nakapaloob dito. kanin. 2. Convex (a) at non-convex (b) set sa eroplano. ito ay hindi posible na pumili ng dalawang punto sa lahat. Samakatuwid, ang kanilang pagsasama sa mga convex set ay hindi hahantong sa isang kontradiksyon sa kahulugan, at ito ay sapat na para sa matematikal na pangangatwiran. Ang intersection, ibig sabihin, ang karaniwang bahagi ng dalawang convex set, ay palaging convex: pagkuha ng alinmang dalawang intersection point (at karaniwan ang mga ito, ibig sabihin, nabibilang sila sa bawat intersecting set) at pagkonekta sa kanila ng isang segment, madali nating makita. na ang lahat ng mga punto ng segment i ay karaniwan sa parehong set, dahil ang bawat isa sa kanila ay matambok. Ikaw - ang intersection ng anumang bilang ng mga convex set ay magiging convex din. Ang isang mahalagang pag-aari ng mga convex set ay ang kanilang separability: kung ang dalawang convex set ay walang karaniwang panloob na mga punto, kung gayon ang eroplano ay maaaring i-cut sa isang tuwid na linya sa paraang ang isa sa mga set ay ganap na nakahiga sa isang kalahating eroplano, at ang iba pa sa kabilang (sa cut line).maaaring matatagpuan ang mga punto ng parehong set). Ang linya na naghihiwalay sa kanila sa ilang mga kaso x ay lumalabas na ang tanging posible, sa iba ay hindi (Larawan 3). Ang boundary point ng anumang convex set mismo ay maaaring ituring bilang isang convex set na wala sa orihinal na set kanin. 3. Paghihiwalay ng mga linya. kanin. 4. Mga linya ng sanggunian. III. Mga convex set at function 571 sa pamamagitan ng mga karaniwang panloob na punto, samakatuwid, maaari itong ihiwalay mula dito sa pamamagitan ng ilang tuwid na linya. Ang linya na naghihiwalay sa hangganan nito mula sa isang matambok na hanay ay tinatawag na linya ng suporta ng hanay na ito sa ibinigay na punto. Ang mga linya ng sanggunian sa ilang mga punto ng tabas ay maaaring ang mga lamang, sa iba ay hindi lamang sila (Larawan 4). Ipakilala natin ang isang sistema ng Cartesian coordinate x, y sa eroplano. Ngayon ay mayroon kaming pagkakataon na isaalang-alang ang iba't ibang mga numero bilang mga hanay ng mga naturang punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa ilang mga equation o hindi pagkakapantay-pantay (kung ang mga coordinate ng isang punto ay nakakatugon sa ilang kundisyon, sasabihin namin para sa kaiklian na ang punto mismo ay nakakatugon sa kundisyong ito). Ehersisyo 1 Isaalang-alang ang mga numero na ang mga puntos ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay: a) y ³ x2 ; b)xy ³ 1; c)xy ³ 1, x > 0; d) |x| + |ó|£ 2; e) (õ+1)2 + (ó – 2)2 £ 9. Alin sa kanila ang matambok? Ang linear equation ax + by = c ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga punto ng linya. Sa madaling salita, ang tuwid na linya ay ang solusyon sa equation na ito. Paglutas ng linear inequality Ang solusyon ng bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay isang kalahating eroplano. Ang solusyon ng sistema ay isang hanay ng mga punto, na ang bawat isa ay nakakatugon sa lahat ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, ibig sabihin, ang solusyon ng sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay ang intersection ng lahat ng mga solusyon ng mga indibidwal na hindi pagkakapantay-pantay na bumubuo sa sistema. Ang half-plane ay isang convex set, at ang intersection ng convex sets ay palaging convex. Kaya, ang solusyon sa system (2) ay isang convex set. Sa fig. Ipinapakita ng 5 ang solusyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ïî - 2x - y ³ -7. kanin. 5. Solusyon ng isang sistema ng tatlong linear na hindi pagkakapantay-pantay. 572 Aplikasyon sa Matematika Tandaan na ang inequality ax + by £ c ay maaaring mapalitan ng katumbas na inequality –àõ – by³ –ñ na may anyong (1). Bilang karagdagan, ang equation na ax + by = c ay katumbas ng sumusunod na pares ng hindi pagkakapantay-pantay: ( ax + by ³ c; ax + by £ c. Kaya, ang solusyon ng isang sistema ng mga linear na equation at hindi pagkakapantay-pantay ay palaging isang convex set. Pagsasanay 2 Ay ang solusyon ng sistema ai x + bi y > ci , i = l, 2, ..., N convex set? Paano ito naiiba sa solusyon ng system s (2)? Pagsasanay 3 Gumawa ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na ang mga solusyon ay: a) isang paralelogram; b) sa loob ng sulok; c) isang strip sa pagitan ng dalawang parallel na tuwid na linya; d) isang solong punto; e) ang walang laman na hanay. 2. Mga convex na function ng isang variable Ang pinakamadaling paraan upang tukuyin ang isang convex function ay geometrically. Para dito, kapaki-pakinabang na ipakilala ang konsepto ng epigraph ng isang function. Ang epigraph ng isang function ay ang hanay ng mga puntos na matatagpuan sa itaas ng function graph at sa mismong graph. Higit na mahigpit, ang epigraph ng function na f(x) ay ang set ng mga naturang punto na ang x-coordinate ay nasa domain ng function, at ang y-coordinate ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na y ³ f(x). Ang isang function ay tinatawag na pababang convex kung ang epigraph nito ay isang convex set. kanin. 6 ay naglalarawan ng kahulugang ito. kanin. 6. Epigraph ng isang convex function. kanin. 7. Ang chord point ay hindi maaaring nasa ibaba ng graph. III. Mga convex set at function 573 Ang kahulugan sa itaas ay medyo mahigpit at maaaring isalin nang malinaw sa analytical na wika. Una, ang function na f(x) ay dapat magkaroon ng isang matambok na domain ng kahulugan - isang segment, isang ray, o ang buong linya. Kung hindi, mahahati ang epigraph sa ilang magkakahiwalay na lugar, at ang segment na nagdudugtong sa mga punto mula sa iba't ibang lugar ay dadaan sa "forbidden zone". Upang malaman kung anong kundisyon ang dapat matugunan ng mga halaga ng pababang convex function na f(x), "pumili kami ng anumang dalawang puntos na M1 at M2 sa graph nito at gumuhit ng chord M1 M2 (Larawan 7). Dapat itong ganap na nasa epigraph, ibig sabihin, anumang punto M ng chord ay dapat kabilang sa epigraph. Isaalang-alang ang numero l na nagpapakita ng proporsyon kung saan hinahati ng puntong M ang chord: l = M 2 M . M2 M1 Ang halagang ito ay nasa loob ng 0 £ l £ 1. Malinaw na sa parehong proporsyon ang abscissa at ordinate ng punto M ay hinahati ang mga segment è [ó1 , ó2 ]: õ2 – õ3 =l (õ2 – x1 ); y2 – y3 =l (y2 – y1 ); õ3 =l x1 + (1 –l )õ2 ; y3 =l y1 + (1 –l )y2 . Ang kundisyon para sa isang punto ay mapabilang sa hindi pagkakapantay-pantay y3 ³ f(õ3 ). At kaya ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring katawanin sa M overgraph - ganito y 1 \u003d f (x 1), y 2 \u003d f (õ 2) - ito Kung ang hindi pagkakapantay-pantay (3) ay nasiyahan para sa anumang mga halaga ng x1 è õ2 , kung gayon ang anumang chord ay nasa epigraph, at higit pa rito, anumang segment na nagkokonekta sa mga puntong matatagpuan sa itaas ay nasa epigraph. Kaya, ang isang function na f(x) na tinukoy sa isang convex set ay pababang convex kung ito ay may sumusunod na katangian: para sa alinmang dalawang numero x1 × õ2 mula sa domain ng function at anumang numero l mula sa pagitan, ang hindi pagkakapantay-pantay (3) ay nagtataglay. Ang hindi pagkakapantay-pantay (3) ay kadalasang isinusulat sa anyong "symmetric". 574 Aplikasyon sa Matematika kanin. 8. Functions: convex down (a), convex up (b), hindi pagkakaroon permanenteng marka umbok (c). Ang mga function na convex paitaas ay maaaring tukuyin nang katulad: para dito, ang hindi pagkakapantay-pantay na mga palatandaan (3) at (4) ay dapat mapalitan ng kabaligtaran. Ang mga function na pababang convex ay madalas na tinutukoy bilang "convex". Ang mga function ng convex ay may mas pangkalahatang katangian kaysa sa hindi pagkakapantay-pantay (4). Kung ang x1 , õ2 ,..., xN ay mga di-makatwirang halaga ng argumento l 1 ,l 2 ,..., lN - di-negatibong mga numero, na ang kabuuan ay katumbas ng isa, kung gayon Pumili kami ng apat na halaga ng argumento x1< õ2
< õ3
< õ4
è ïðî- gumuhit ng chord M1 M4 (Larawan 9). Mga intermediate na puntos M2 at Ì3 kasinungalingan sa epigraph, upang ang anggulo chord inclination M M * wala na, at chord M*M Hindi bababa sa M M * anggulo ng chord abscissa (anggulo ng pagkahilig - isinasaalang-alang palatandaan!). Kaya naman, bilis pagtaas ng convex function sa mga lugar ng "malaking" halaga ng ar- gumenta (sa lugar [х3, х4]) hindi mas mababa kaysa sa lugar ng "maliit" mga halaga(). Bumaling sa sa loob ng x 2® x 1è ® x 3 , f¢(x3 ) ³f¢(x1 ), kanin. 9. Chord na iginuhit sa lugar derivative ¢(x) pagkakaiba convex function f (x) - hindi - malalaking halaga argumento, may III. Mga Convex na Set at Function 575 Kung ang derivative f¢(x) ay differentiable (iyon ay, ang convex function na f(x) ay dalawang beses na differentiable), kung gayon ang f¢¢(x) ³ 0. Para sa dalawang beses na differentiable function, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay lumalabas na katumbas ng sa itaas ng kahulugan ng isang convex function; sa mga kurso pagsusuri sa matematika Ang convexity ay karaniwang tinutukoy ng tanda ng pangalawang derivative. Ngunit sa mga pang-ekonomiyang aplikasyon, kung saan ang isa ay madalas na humarap sa mga pag-andar na ang mga graph ay may mga break, ang gayong kahulugan ay hindi gaanong nagagamit. Kung ang f(x) at g(x) ay mga convex na function at isang ³ 0, kung gayon ang mga function a) f(x) + g(x); c) max(f(x), g(x)). Ang convexity ng mga function sa a) at b) ay direktang napatunayan gamit ang hindi pagkakapantay-pantay (3) o (4). Function c) para sa bawat x ay tumatagal ng isang halaga na katumbas ng mas malaki sa mga halaga ng f(x) at g(x) (at alinman sa mga ito kung sila ay pantay). Ang epigraph ng function na max(f(x), g(x)) ay ang intersection ng mga epigraph ng mga function na f(x) at g(x) (suriin ito!) - kaya ang convexity ng function c). Pagsasanay 4 Mayroon bang mga function na convex pababa at convex paitaas sa parehong oras? Pagsasanay 5 Paano ang hitsura ng graph ng function na f(x) = max (0, a + bx) para sa iba't ibang mga halaga ng mga parameter a at b? Matambok ba ang mga function na ito? Pagsasanay 6 Ang function ba ay convex kanin. 10. Mga graph ng mga function f(x) (1), g(x) N (2) at max(f(x), g(x)) (3). f(x) = å fi (x) , fi(x) = max(0, ai + bi x)? Ano ang hitsura ng kanyang iskedyul? 576 Aplikasyon sa Matematika Isang ehersisyo Isipin mo ìax, f(x) = i ïï
B × (x - 1), x ³ 1. Para sa anong mga halaga ng a at b ang function na ito Curved down? Curved up? -
walang permanenteng convex sign? IV. Ang espasyo ng mga pagpapala Pangunahing konsepto marami teoretikal na mga tanong ay tinalakay sa aming aklat-aralin para sa kaso ng dalawang produkto. Bilang isang maginhawang tool na lubos na nagpapadali sa kanilang pagsusuri, gumamit kami ng mga graphical na konstruksyon, kung saan ang isang set kasama ang dalawang produkto sa mga dami x1, и x2 ay kinakatawan ng isang punto sa isang eroplano na may Mga coordinate ng Cartesian(x1 , x2 ). Pagsasalin mga teoretikal na konsepto sa wikang geometriko ay ginawang napakalinaw ang mga katangian ng mga phenomena na pinag-uusapan at sa parehong oras ay hindi humantong sa pagkawala ng higpit: lahat ng mga geometric na konsepto (mga tuwid na linya, kurba, anggulo ng pagkahilig, atbp.) ay may tiyak na tinukoy na mga katumbas na analitikal - mga equation , derivatives, relasyon sa pagitan ng mga parameter, atbp. Samakatuwid, ang mga naturang construction ay malawakang ginagamit kapwa sa mga aklat-aralin sa ekonomiya at sa mga publikasyong siyentipiko. Gayunpaman, ang mga geometric na pangangatwiran na ito ay mahigpit at tumpak lamang para sa mga kaso kung saan ang listahan ng mga natupok na kalakal ay kasama lamang ng dalawang item. Sa katotohanan, ang bilang ng mga benepisyo na ginagamit ng mga tao ay mas malaki. Ang mga konklusyon na dumating sa geometrically ay maaaring ituring na may sapat na pangkalahatan kung maaari silang palawigin sa mga kaso ng isang arbitrary na bilang ng mga kalakal.
Sa mga aplikasyon ng engineering, hindi karaniwan ang paggamit
f(x 1)³ (x 2) (monotonically decreasing function)
, na dumadaan sa mga puntos PERO at AT. Inequality (3.2) sa kasong ito ay nangangahulugan na ang graph ng function y = f(x) sa xOy plane ay matatagpuan sa ibaba hindi lamang ang secant na nagkokonekta sa mga punto PERO at AT, ngunit din ng parabola Р, ang pagpapalihis nito ay tinutukoy ng parameter l at maaari itong piliin nang basta-basta maliit. Sa madaling salita, sa lugar na hangganan ng secant at ang graph ng function, maaari kang bumuo ng isang parabola na nagkokonekta sa mga puntos. PERO at AT.
