Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at upang mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang publiko. mahahalagang okasyon.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Pagtuturo

Hanapin ang saklaw ng function. Halimbawa, ang function na sin(x) ay tinukoy sa buong pagitan mula -∞ hanggang +∞, at ang function na 1/x ay tinukoy mula -∞ hanggang +∞, maliban sa puntong x = 0.

Tukuyin ang mga lugar ng pagpapatuloy at mga break point. Karaniwan ang isang function ay tuloy-tuloy sa parehong domain kung saan ito ay tinukoy. Upang makita ang mga discontinuities, kailangan mong kalkulahin kapag ang argument ay lumalapit sa mga nakahiwalay na punto sa loob ng domain ng kahulugan. Halimbawa, ang function na 1/x ay may posibilidad na infinity kapag x→0+ at minus infinity kapag x→0-. Nangangahulugan ito na sa puntong x = 0 ito ay may discontinuity ng pangalawang uri.
Kung ang mga limitasyon sa discontinuity point ay may hangganan ngunit hindi pantay, ito ay isang discontinuity ng unang uri. Kung pantay ang mga ito, ang function ay itinuturing na tuloy-tuloy, kahit na hindi ito tinukoy sa isang nakahiwalay na punto.

Hanapin vertical asymptotes, kung sila ay. Ang mga kalkulasyon mula sa nakaraang hakbang ay makakatulong sa iyo dito, dahil ang vertical asymptote ay halos palaging nasa discontinuity point ng pangalawang uri. Gayunpaman, kung minsan hindi mga indibidwal na punto ang hindi kasama sa domain ng kahulugan, ngunit ang buong agwat ng mga puntos, at pagkatapos ay ang mga patayong asymptotes ay maaaring matatagpuan sa mga gilid ng mga agwat na ito.

Suriin kung mayroon ang function mga espesyal na katangian: kahit, kakaiba at pana-panahon.
Ang function ay magiging kahit na para sa alinmang x sa domain f(x) = f(-x). Halimbawa cos(x) at x^2 - kahit na mga function.

Ang periodicity ay isang ari-arian na nagsasabi na mayroong tiyak na numerong T na tinatawag na period, na para sa alinmang x f(x) = f(x + T). Halimbawa, lahat ng major trigonometriko function(sine, cosine, tangent) - panaka-nakang.

Maghanap ng mga puntos. Upang gawin ito, kalkulahin ang derivative ng ibinigay na function at hanapin ang mga x value kung saan ito nawawala. Halimbawa, ang function na f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ay may derivative na g(x) = 3x^2 + 18x na naglalaho sa x = 0 at x = -6.

Upang matukoy kung aling mga extremum point ang maxima at alin ang minima, subaybayan ang pagbabago sa mga senyales ng derivative sa mga nakitang zero. Ang g(x) ay nagbabago ng sign mula sa plus sa x = -6 at pabalik mula sa minus patungo sa plus sa x = 0. Samakatuwid, ang function na f(x) ay may pinakamababa sa unang punto at pinakamababa sa pangalawa.

Kaya, nakakita ka rin ng mga lugar ng monotonicity: ang f(x) ay tumataas nang monotoniko sa pagitan -∞;-6, bumababa nang monotonikal sa -6;0 at tumataas muli sa 0;+∞.

Hanapin ang pangalawang derivative. Ipapakita ng mga ugat nito kung saan magiging matambok ang graph ng isang ibinigay na function, at kung saan ito magiging malukong. Halimbawa, ang pangalawang derivative ng function na f(x) ay magiging h(x) = 6x + 18. Naglalaho ito sa x = -3, binabago ang sign nito mula minus hanggang plus. Samakatuwid, ang graph f (x) bago ang puntong ito ay magiging matambok, pagkatapos nito - malukong, at ang puntong ito mismo ay magiging isang inflection point.

Ang isang function ay maaaring may iba pang mga asymptotes, maliban sa mga patayo, ngunit kung ang domain ng kahulugan nito ay kinabibilangan ng . Upang mahanap ang mga ito, kalkulahin ang limitasyon ng f(x) kapag x→∞ o x→-∞. Kung ito ay may hangganan, pagkatapos ay natagpuan mo ang pahalang na asymptote.

Ang pahilig na asymptote ay isang tuwid na linya ng anyong kx + b. Upang mahanap ang k, kalkulahin ang limitasyon ng f(x)/x bilang x→∞. Upang mahanap ang b - limit (f(x) – kx) na may parehong x→∞.

Isa sa mga kritikal na gawain differential calculus ay ang pag-unlad karaniwang mga halimbawa pag-aaral ng pag-uugali ng mga function.

Kung ang function na y \u003d f (x) ay tuloy-tuloy sa pagitan, at ang derivative nito ay positibo o katumbas ng 0 sa pagitan (a, b), kung gayon ang y \u003d f (x) ay tataas ng (f "(x) 0). Kung ang function na y \u003d f (x) ay tuloy-tuloy sa segment , at ang derivative nito ay negatibo o katumbas ng 0 sa interval (a,b), kung gayon ang y=f(x) ay bumababa ng (f"( x)0)

Ang mga pagitan kung saan ang function ay hindi bumababa o tumataas ay tinatawag na mga pagitan ng monotonicity ng function. Ang likas na katangian ng monotonicity ng isang function ay maaari lamang magbago sa mga puntong iyon ng domain ng kahulugan nito, kung saan nagbabago ang tanda ng unang derivative. Ang mga punto kung saan ang unang derivative ng isang function ay naglalaho o nasira ay tinatawag na mga kritikal na punto.

Teorama 1 (1st sapat na kondisyon ang pagkakaroon ng isang extremum).

Hayaang tukuyin ang function na y=f(x) sa puntong x 0 at hayaang magkaroon ng neighborhood δ>0 na ang function ay tuloy-tuloy sa segment , differentiable sa interval (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , at pinapanatili ang derivative nito permanenteng marka sa bawat agwat na ito. Kung sa x 0 -δ, x 0) at (x 0, x 0 + δ) ay magkaiba ang mga senyales ng derivative, kung gayon ang x 0 ay isang extremum point, at kung magkatugma ang mga ito, ang x 0 ay hindi isang extremum point . Bukod dito, kung, kapag dumadaan sa puntong x0, ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus (sa kaliwa ng x 0, f "(x)> 0 ay ginanap, kung gayon ang x 0 ay ang pinakamataas na punto; kung ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus (sa kanan ng x 0 ay isinasagawa ng f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Ang maximum at minimum na mga punto ay tinatawag na mga extremum point ng function, at ang maxima at minima ng function ay tinatawag na mga extreme value nito.

Theorem 2 (kinakailangang criterion para sa isang lokal na extremum).

Kung ang function na y=f(x) ay may extremum sa kasalukuyang x=x 0, kung gayon alinman sa f'(x 0)=0 o f'(x 0) ay wala.
Sa mga extremum point ng isang differentiable function, ang tangent sa graph nito ay parallel sa Ox axis.

Algorithm para sa pag-aaral ng isang function para sa isang extremum:

1) Hanapin ang derivative ng function.
2) Maghanap ng mga kritikal na punto, ibig sabihin. mga punto kung saan ang function ay tuloy-tuloy at ang derivative ay zero o wala.
3) Isaalang-alang ang kapitbahayan ng bawat isa sa mga punto, at suriin ang tanda ng derivative sa kaliwa at kanan ng puntong ito.
4) Tukuyin ang mga coordinate ng mga matinding puntos, para sa halagang ito kritikal na mga punto isaksak sa function na ito. Gamit ang sapat na extremum na mga kondisyon, gumuhit ng angkop na mga konklusyon.

Halimbawa 18. Siyasatin ang function na y=x 3 -9x 2 +24x

Solusyon.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ang equating ng derivative sa zero, makikita natin ang x 1 =2, x 2 =4. Sa kasong ito, ang derivative ay tinukoy sa lahat ng dako; samakatuwid, bukod sa dalawang nahanap na mga punto, walang iba pang mga kritikal na punto.
3) Ang sign ng derivative na y "=3(x-2)(x-4) ay nagbabago depende sa pagitan tulad ng ipinapakita sa Figure 1. Kapag dumadaan sa puntong x=2, ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, at kapag dumadaan sa puntong x=4 - mula minus hanggang plus.
4) Sa puntong x=2, ang function ay may pinakamataas na y max =20, at sa puntong x=4 - isang minimum na y min =16.

Theorem 3. (ika-2 sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum).

Hayaang umiral ang f "(x 0) at f "" (x 0) sa puntong x 0. Pagkatapos kung f "" (x 0)> 0, kung gayon ang x 0 ang pinakamababang punto, at kung f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Sa segment, ang function na y \u003d f (x) ay maaaring maabot ang pinakamaliit (hindi bababa sa) o pinakamalaking (hindi bababa) na halaga alinman sa mga kritikal na punto ng function na nakahiga sa pagitan (a; b), o sa mga dulo ng segment.

Ang algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function y=f(x) sa segment :

1) Hanapin ang f "(x).
2) Hanapin ang mga punto kung saan ang f "(x) = 0 o f" (x) - ay wala, at piliin mula sa kanila ang mga nasa loob ng segment.
3) Kalkulahin ang halaga ng function y \u003d f (x) sa mga puntos na nakuha sa talata 2), pati na rin sa mga dulo ng segment at piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit sa kanila: sila ay, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaking ( para sa pinakamalaki) at pinakamaliit (para sa pinakamaliit) na halaga ng function sa pagitan .

Halimbawa 19. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng tuluy-tuloy na function y=x 3 -3x 2 -45+225 sa segment .

1) Mayroon kaming y "=3x 2 -6x-45 sa segment
2) Ang derivative y" ay umiiral para sa lahat ng x. Hanapin natin ang mga punto kung saan y"=0; makuha namin:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Kalkulahin ang halaga ng function sa mga puntos na x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Ang puntong x=5 lamang ang nabibilang sa segment. Ang pinakamalaking sa mga nahanap na halaga ng function ay 225, at ang pinakamaliit ay ang numero 50. Kaya, sa max = 225, sa max = 50.

Pagsisiyasat ng isang function sa convexity

Ipinapakita ng figure ang mga graph ng dalawang function. Ang una sa kanila ay nakabukas na may isang umbok pataas, ang pangalawa - na may isang umbok pababa.

Ang function na y=f(x) ay tuloy-tuloy sa isang segment at naiba sa pagitan (a;b), ay tinatawag na convex pataas (pababa) sa segment na ito kung, para sa axb, ang graph nito ay hindi mas mataas (hindi mas mababa) kaysa sa padaplis na iginuhit sa anumang punto M 0 (x 0 ;f(x 0)), kung saan ang axb.

Theorem 4. Hayaang ang function na y=f(x) ay may pangalawang derivative sa alinmang interior point x ng segment at maging tuluy-tuloy sa mga dulo ng segment na ito. Pagkatapos kung ang hindi pagkakapantay-pantay f""(x)0 ay nasiyahan sa pagitan (a;b), kung gayon ang function ay pababang matambok sa segment ; kung ang hindi pagkakapantay-pantay na f""(x)0 ay nasiyahan sa pagitan (а;b), kung gayon ang function ay matambok paitaas sa .

Theorem 5. Kung ang function na y \u003d f (x) ay may pangalawang derivative sa pagitan (a; b) at kung nagbabago ito ng sign kapag dumadaan sa punto x 0, pagkatapos ay M (x 0 ; f (x 0)) ay isang inflection point.

Panuntunan para sa paghahanap ng mga inflection point:

1) Maghanap ng mga punto kung saan ang f""(x) ay wala o naglalaho.
2) Suriin ang sign f""(x) sa kaliwa at kanan ng bawat puntong makikita sa unang hakbang.
3) Batay sa Theorem 4, gumuhit ng konklusyon.

Halimbawa 20. Maghanap ng mga extremum point at inflection point ng function graph y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Mayroon kaming f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Malinaw, f"(x)=0 para sa x 1 =0, x 2 =1. Ang derivative, kapag dumadaan sa puntong x=0, nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, at kapag dumadaan sa puntong x=1, hindi nito binabago ang sign. Nangangahulugan ito na ang x=0 ay ang pinakamababang punto (y min =12), at walang extremum sa puntong x=1. Susunod, hanapin namin . Ang pangalawang derivative ay naglalaho sa mga puntong x 1 =1, x 2 =1/3. Ang mga palatandaan ng pangalawang derivative ay nagbabago tulad ng sumusunod: Sa ray (-∞;) mayroon tayong f""(x)>0, sa interval (;1) mayroon tayong f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Samakatuwid, ang x= ay ang inflection point ng function graph (transition mula sa convexity pababa hanggang convexity up) at ang x=1 ay isa ring inflection point (transition mula sa convexity pataas hanggang convexity down). Kung x=, kung gayon y= ; kung, kung gayon x=1, y=13.

Isang algorithm para sa paghahanap ng asymptote ng isang graph

I. Kung y=f(x) bilang x → a , kung gayon ang x=a ay ang patayong asymptote.
II. Kung y=f(x) bilang x → ∞ o x → -∞ kung gayon ang y=A ay ang pahalang na asymptote.
III. Upang mahanap ang pahilig na asymptote, ginagamit namin ang sumusunod na algorithm:
1) Kalkulahin . Kung umiiral ang limitasyon at katumbas ng b, kung gayon ang y=b ay ang pahalang na asymptote; kung , pagkatapos ay pumunta sa pangalawang hakbang.
2) Kalkulahin . Kung ang limitasyong ito ay hindi umiiral, pagkatapos ay walang asymptote; kung ito ay umiiral at katumbas ng k, pagkatapos ay pumunta sa ikatlong hakbang.
3) Kalkulahin . Kung ang limitasyong ito ay hindi umiiral, pagkatapos ay walang asymptote; kung ito ay umiiral at katumbas ng b, pagkatapos ay pumunta sa ikaapat na hakbang.
4) Isulat ang equation ng oblique asymptote y=kx+b.

Halimbawa 21: Maghanap ng asymptote para sa isang function

1)
2)
3)
4) Ang oblique asymptote equation ay may anyo

Ang scheme ng pag-aaral ng function at ang pagbuo ng graph nito

I. Hanapin ang domain ng function.
II. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph ng function na may mga coordinate axes.
III. Maghanap ng mga asymptotes.
IV. Maghanap ng mga punto ng posibleng extremum.
V. Maghanap ng mga kritikal na punto.
VI. Gamit ang pantulong na pagguhit, siyasatin ang tanda ng una at pangalawang derivatives. Tukuyin ang mga lugar ng pagtaas at pagbaba ng function, hanapin ang direksyon ng convexity ng graph, extremum point at inflection point.
VII. Bumuo ng isang graph, na isinasaalang-alang ang pag-aaral na isinagawa sa parapo 1-6.

Halimbawa 22: Mag-plot ng function graph ayon sa scheme sa itaas

Solusyon.
I. Ang domain ng function ay ang set ng lahat ng totoong numero, maliban sa x=1.
II. Dahil ang equation x 2 +1=0 ay walang tunay na mga ugat, kung gayon ang graph ng function ay walang mga punto ng intersection sa Ox axis, ngunit intersect ang Oy axis sa punto (0; -1).
III. Linawin natin ang tanong ng pagkakaroon ng mga asymptotes. Sinisiyasat namin ang pag-uugali ng function na malapit sa discontinuity point x=1. Dahil y → ∞ para sa x → -∞, y → +∞ para sa x → 1+, kung gayon ang linyang x=1 ay isang patayong asymptote ng graph ng function.
Kung x → +∞(x → -∞), pagkatapos ay y → +∞(y → -∞); samakatuwid, ang graph ay walang pahalang na asymptote. Dagdag pa, mula sa pagkakaroon ng mga limitasyon

Ang paglutas ng equation x 2 -2x-1=0, nakakakuha tayo ng dalawang puntos ng posibleng extremum:
x 1 =1-√2 at x 2 =1+√2

V. Upang mahanap ang mga kritikal na punto, kinakalkula namin ang pangalawang derivative:

Dahil ang f""(x) ay hindi naglalaho, walang mga kritikal na punto.
VI. Sinisiyasat namin ang tanda ng una at pangalawang derivatives. Mga posibleng extremum point na dapat isaalang-alang: x 1 =1-√2 at x 2 =1+√2, hatiin ang lugar ng pag-iral ng function sa mga pagitan (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) at (1+√2;+∞).

Sa bawat isa sa mga agwat na ito, pinapanatili ng derivative ang tanda nito: sa una - plus, sa pangalawa - minus, sa pangatlo - plus. Ang pagkakasunud-sunod ng mga palatandaan ng unang derivative ay isusulat tulad ng sumusunod: +, -, +.
Nakuha namin na ang function sa (-∞;1-√2) ay tumataas, sa (1-√2;1+√2) ito ay bumababa, at sa (1+√2;+∞) ito ay tumataas muli. Extremum na puntos: maximum sa x=1-√2, bukod pa rito f(1-√2)=2-2√2 minimum sa x=1+√2, at saka f(1+√2)=2+2√2. Sa (-∞;1) ang graph ay matambok pataas, at sa (1;+∞) - pababa.
VII Gumawa tayo ng talahanayan ng mga nakuhang halaga

VIII Batay sa nakuhang datos, bumuo kami ng sketch ng graph ng function

Kung kailangan ng gawain buong pag-aaral mga function f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 kasama ang pagtatayo ng graph nito, pagkatapos ay isasaalang-alang namin ang prinsipyong ito nang detalyado.

Upang malutas ang isang problema ng ganitong uri, dapat isa gamitin ang mga katangian at mga graph ng pangunahing elementarya na pag-andar. Kasama sa algorithm ng pananaliksik ang mga sumusunod na hakbang:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paghahanap ng domain ng kahulugan

Dahil ang pananaliksik ay isinasagawa sa domain ng function, ito ay kinakailangan upang magsimula sa hakbang na ito.

Halimbawa 1

Per ibinigay na halimbawa nagsasangkot ng paghahanap ng mga zero ng denominator upang maibukod ang mga ito sa DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Bilang resulta, maaari kang makakuha ng mga ugat, logarithms, at iba pa. Pagkatapos ay maaaring hanapin ang ODZ para sa ugat ng pantay na antas ng uri g (x) 4 sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay g (x) ≥ 0 , para sa logarithm log a g (x) ng hindi pagkakapantay-pantay g (x) > 0 .

Pagsisiyasat sa mga hangganan ng ODZ at paghahanap ng mga patayong asymptotes

May mga vertical na asymptotes sa mga hangganan ng function, kapag ang mga one-sided na limitasyon sa naturang mga punto ay walang katapusan.

Halimbawa 2

Halimbawa, isaalang-alang ang mga border point na katumbas ng x = ± 1 2 .

Pagkatapos ito ay kinakailangan upang pag-aralan ang function upang mahanap ang isang panig na limitasyon. Pagkatapos ay makukuha natin iyon: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Ipinapakita nito na ang mga one-sided na limitasyon ay walang katapusan, na nangangahulugang ang mga linyang x = ± 1 2 ay ang mga patayong asymptotes ng graph.

Pagsisiyasat ng function at para sa kahit o kakaiba

Kapag ang kundisyon y (- x) = y (x) ay natugunan, ang function ay itinuturing na pantay. Iminumungkahi nito na ang graph ay matatagpuan sa simetriko na may paggalang sa O y. Kapag ang kundisyon y (- x) = - y (x) ay natugunan, ang function ay itinuturing na kakaiba. Nangangahulugan ito na ang simetrya ay napupunta sa paggalang sa pinagmulan ng mga coordinate. Kung ang hindi bababa sa isang hindi pagkakapantay-pantay ay nabigo, makakakuha tayo ng isang function ng pangkalahatang anyo.

Ang katuparan ng pagkakapantay-pantay na y (- x) = y (x) ay nagpapahiwatig na ang function ay pantay. Kapag nagtatayo, kinakailangang isaalang-alang na magkakaroon ng simetrya na may paggalang sa O y.

Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ay ginagamit sa mga kondisyong f "(x) ≥ 0 at f" (x) ≤ 0, ayon sa pagkakabanggit.

Kahulugan 1

Mga nakatigil na puntos ay mga puntos na nagiging zero ang derivative.

Mga kritikal na puntos ay mga panloob na punto mula sa domain kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng zero o wala.

Kapag gumagawa ng desisyon, dapat isaalang-alang ang mga sumusunod na puntos:

• para sa mga umiiral na pagitan ng pagtaas at pagbaba ng hindi pagkakapantay-pantay ng anyo f "(x) > 0, ang mga kritikal na punto ay hindi kasama sa solusyon;
• Ang mga punto kung saan ang pag-andar ay tinukoy nang walang isang may hangganang derivative ay dapat na kasama sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba (halimbawa, y \u003d x 3, kung saan ang punto x \u003d 0 ay gumagawa ng function na tinukoy, ang derivative ay may halaga ng infinity sa puntong ito, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 ay kasama sa pagitan ng pagtaas);
• upang maiwasan ang mga hindi pagkakasundo, inirerekumenda na gumamit ng literatura sa matematika, na inirerekomenda ng Ministri ng Edukasyon.

Ang pagsasama ng mga kritikal na punto sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba kung natutugunan ng mga ito ang domain ng function.

Kahulugan 2

Para sa pagtukoy ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function, ito ay kinakailangan upang mahanap:

• derivative;
• kritikal na mga punto;
• hatiin ang domain ng kahulugan sa tulong ng mga kritikal na punto sa mga pagitan;
• tukuyin ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga pagitan, kung saan ang + ay isang pagtaas at - ay isang pagbaba.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative sa domain f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Solusyon

Upang malutas kailangan mo:

• maghanap ng mga nakatigil na puntos, ang halimbawang ito ay may x = 0 ;
• hanapin ang mga zero ng denominator, ang halimbawa ay kumukuha ng halagang zero sa x = ± 1 2 .

Inilalantad namin ang mga punto sa numerical axis upang matukoy ang derivative sa bawat pagitan. Upang gawin ito, ito ay sapat na upang kumuha ng anumang punto mula sa pagitan at gumawa ng isang pagkalkula. Kung positibo ang resulta, gumuhit kami ng + sa graph, na nangangahulugan ng pagtaas sa function, at - nangangahulugan ng pagbaba nito.

Halimbawa, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, na nangangahulugan na ang unang agwat sa kaliwa ay may + sign. Isaalang-alang ang numero linya.

Sagot:

• mayroong pagtaas sa function sa pagitan - ∞ ; - 1 2 at (- 1 2 ; 0 ] ;
• mayroong pagbaba sa pagitan [0; 1 2) at 1 2; +∞ .

Sa diagram, gamit ang + at -, ang positivity at negatibiti ng function ay inilalarawan, at ang mga arrow ay nagpapahiwatig ng pagbaba at pagtaas.

Ang mga extremum point ng isang function ay ang mga punto kung saan tinukoy ang function at kung saan nag-sign ang derivative.

Halimbawa 4

Kung isasaalang-alang namin ang isang halimbawa kung saan ang x \u003d 0, kung gayon ang halaga ng function sa loob nito ay f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kapag ang tanda ng derivative ay nagbabago mula + hanggang - at dumaan sa punto x \u003d 0, kung gayon ang punto na may mga coordinate (0; 0) ay itinuturing na pinakamataas na punto. Kapag binago ang tanda mula sa - hanggang +, nakukuha natin ang pinakamababang punto.

Natutukoy ang convexity at concavity sa pamamagitan ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f "" (x) ≥ 0 at f "" (x) ≤ 0 . Mas madalas na ginagamit nila ang pangalang bulge down sa halip na concavity, at bulge up sa halip na bulge.

Kahulugan 3

Para sa pagtukoy ng mga puwang ng concavity at convexity kailangan:

• hanapin ang pangalawang derivative;
• hanapin ang mga zero ng function ng pangalawang derivative;
• hatiin ang domain ng kahulugan sa pamamagitan ng mga puntos na lumilitaw sa mga pagitan;
• matukoy ang tanda ng puwang.

Halimbawa 5

Hanapin ang pangalawang derivative mula sa domain ng kahulugan.

Solusyon

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nahanap natin ang mga zero ng numerator at denominator, kung saan, gamit ang ating halimbawa, mayroon tayong mga zero ng denominator x = ± 1 2

Ngayon ay kailangan mong maglagay ng mga puntos numerical axis at tukuyin ang tanda ng pangalawang derivative mula sa bawat pagitan. Nakukuha namin iyon

Sagot:

• ang function ay matambok mula sa pagitan - 1 2 ; 12 ;
• ang function ay malukong mula sa mga gaps - ∞ ; - 1 2 at 1 2 ; +∞ .

Kahulugan 4

inflection point ay isang punto ng anyong x 0 ; f(x0) . Kapag mayroon itong padaplis sa graph ng function, pagkatapos kapag dumaan ito sa x 0, ang function ay nagbabago ng sign sa kabaligtaran.

Sa madaling salita, ito ay isang punto kung saan ang pangalawang derivative ay pumasa at nagbabago ng tanda, at sa mga punto mismo ay katumbas ng zero o wala. Ang lahat ng mga punto ay itinuturing na domain ng function.

Sa halimbawa, nakita na walang mga inflection point, dahil ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign habang dumadaan sa mga puntos na x = ± 1 2 . Sila naman ay hindi kasama sa domain ng kahulugan.

Paghahanap ng pahalang at pahilig na mga asymptotes

Kapag tinutukoy ang isang function sa infinity, dapat maghanap ng pahalang at pahilig na mga asymptotes.

Kahulugan 5

Oblique asymptotes kinakatawan ng mga tuwid na linya ibinigay ng equation y = k x + b , kung saan k = lim x → ∞ f (x) x at b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Para sa k = 0 at b na hindi katumbas ng infinity, nakukuha natin iyon pahilig na asymptote nagiging pahalang.

Sa madaling salita, ang mga asymptotes ay ang mga linya na lumalapit ang graph ng function sa infinity. Nakakatulong ito sa mabilis na pagbuo ng graph ng function.

Kung walang mga asymptotes, ngunit tinukoy ang function sa parehong infinity, kinakailangang kalkulahin ang limitasyon ng function sa mga infinity na ito upang maunawaan kung paano kikilos ang graph ng function.

Halimbawa 6

Bilang halimbawa, isaalang-alang iyon

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ay pahalang na asymptote. Pagkatapos magsaliksik sa function, maaari mong simulan ang pagbuo nito.

Kinakalkula ang halaga ng isang function sa mga intermediate na punto

Upang gawing pinakatumpak ang pag-plot, inirerekumenda na makahanap ng ilang mga halaga ng pag-andar sa mga intermediate na punto.

Halimbawa 7

Mula sa halimbawa na aming isinasaalang-alang, kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng function sa mga puntos na x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Dahil ang pag-andar ay pantay, nakuha namin na ang mga halaga ay tumutugma sa mga halaga sa mga puntong ito, iyon ay, nakukuha namin ang x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Isulat at lutasin natin:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

Upang matukoy ang maxima at minima ng isang function, mga inflection point, mga intermediate na puntos ito ay kinakailangan upang bumuo ng mga asymptotes. Para sa maginhawang pagtatalaga, ang mga pagitan ng pagtaas, pagbaba, convexity, concavity ay naayos. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Kinakailangan na gumuhit ng mga linya ng graph sa pamamagitan ng mga minarkahang punto, na magbibigay-daan sa iyo upang mas mapalapit sa mga asymptotes, kasunod ng mga arrow.

Tinatapos nito ang kumpletong pag-aaral ng function. May mga kaso ng pagbuo ng ilang elementarya na pag-andar kung saan ginagamit ang mga geometric na pagbabago.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Magsagawa ng kumpletong pag-aaral at mag-plot ng function graph

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Saklaw ng pag-andar. Dahil ang function ay isang fraction, kailangan mong hanapin ang mga zero ng denominator.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Ibinubukod namin ang tanging punto x=1x=1 mula sa lugar ng kahulugan ng function at makuha ang:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Pag-aralan natin ang pag-uugali ng function sa paligid ng discontinuity point. Maghanap ng mga one-sided na limitasyon:

Dahil ang mga limitasyon ay katumbas ng infinity, ang puntong x=1x=1 ay isang discontinuity ng pangalawang uri, ang linyang x=1x=1 ay isang vertical asymptote.

3) Tukuyin natin ang mga intersection point ng graph ng function gamit ang mga coordinate axes.

Hanapin natin ang mga punto ng intersection sa ordinate axis na OyOy, kung saan tinutumbasan natin ang x=0x=0:

Kaya, ang punto ng intersection sa axis na OyOy ay may mga coordinate (0;8)(0;8).

Hanapin natin ang mga punto ng intersection sa abscissa axis OxOx, kung saan itinakda natin ang y=0y=0:

Ang equation ay walang mga ugat, kaya walang mga punto ng intersection sa OxOx axis.

Tandaan na ang x2+8>0x2+8>0 para sa anumang xx. Samakatuwid, para sa x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) ang function na y>0y>0(kumukuha mga positibong halaga, ang graph ay nasa itaas ng x-axis), para sa x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) ang function na y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Ang function ay hindi kahit na o kakaiba dahil:

5) Sinisiyasat namin ang function para sa periodicity. Ang function ay hindi pana-panahon, dahil ito ay isang fractional rational function.

6) Sinisiyasat namin ang function para sa extremums at monotonicity. Upang gawin ito, nakita namin ang unang derivative ng function:

Itumbas natin ang unang derivative sa zero at hanapin ang mga nakatigil na puntos (kung saan y′=0y′=0):

Nakakuha kami ng tatlong kritikal na puntos: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Hinahati namin ang buong domain ng function sa mga pagitan sa pamamagitan ng mga ibinigay na puntos at tinutukoy ang mga palatandaan ng derivative sa bawat pagitan:

Para sa x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) ang derivative y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Para sa x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) ang derivative y′>0y′>0, tumataas ang function sa mga pagitan na ito.

Sa kasong ito, ang x=−2x=−2 ay isang lokal na minimum na punto (ang function ay bumababa at pagkatapos ay tumataas), ang x=4x=4 ay isang lokal na maximum point (ang function ay tumataas at pagkatapos ay bumababa).

Hanapin natin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito:

Kaya, ang pinakamababang punto ay (−2;4)(−2;4), ang pinakamataas na punto ay (4;−8)(4;−8).

7) Sinusuri namin ang function para sa kinks at convexity. Hanapin natin ang pangalawang derivative ng function:

I-equate ang pangalawang derivative sa zero:

Ang resultang equation ay walang mga ugat, kaya walang mga inflection point. Bukod dito, kapag ang x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 ay nasiyahan, ibig sabihin, ang function ay malukong kapag x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Sinisiyasat namin ang pag-uugali ng function sa infinity, iyon ay, sa .

Dahil ang mga limitasyon ay walang hanggan, walang mga pahalang na asymptotes.

Subukan nating tukuyin ang oblique asymptotes ng anyong y=kx+by=kx+b. Kinakalkula namin ang mga halaga ng k,bk,b ayon sa mga kilalang formula:

Nalaman namin na ang function ay may isang oblique asymptote y=−x−1y=−x−1.

9) Mga karagdagang puntos. Kalkulahin natin ang halaga ng function sa ilang iba pang mga punto upang makabuo ng isang graph nang mas tumpak.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Batay sa nakuhang datos, bubuo tayo ng graph, dagdagan ito ng mga asymptotes x=1x=1 (asul), y=−x−1y=−x−1 (berde) at markahan ang mga katangiang puntos (ang intersection sa y -axis ay purple, extrema ay orange, karagdagang mga puntos ay itim):

Gawain 4: Geometric, Mga problema sa ekonomiya (Wala akong ideya kung ano, narito ang isang tinatayang pagpili ng mga problema na may solusyon at mga formula)

Halimbawa 3.23. a

Solusyon. x at y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Dahil ang x = a/4 ang tanging kritikal na punto, tingnan natin kung nagbabago ang tanda ng derivative kapag dumadaan sa puntong ito. Para sa xa/4 S "> 0, at para sa x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Halimbawa 3.24.

Solusyon.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Halimbawa 3.22. Hanapin ang extrema ng function na f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Solusyon. Dahil f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), kung gayon ang mga kritikal na punto ng function x 1 \u003d 2 at x 2 \u003d 3. Ang mga matinding puntos ay maaaring sa mga puntong ito lamang. Kaya't kapag dumadaan sa punto x 1 \u003d 2, ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, pagkatapos sa puntong ito ang function ay may maximum.Kapag dumaan sa punto x 2 \u003d 3, ang Ang mga pagbabago sa derivative ay nag-sign mula minus hanggang plus, samakatuwid, sa puntong x 2 \u003d 3, ang function ay may pinakamababa. Pagkalkula ng mga halaga ng function sa mga puntos
x 1 = 2 at x 2 = 3, nakita namin ang extrema ng function: maximum f(2) = 14 at minimum f(3) = 13.

Halimbawa 3.23. Kinakailangan na bumuo ng isang hugis-parihaba na lugar malapit sa pader ng bato upang ito ay nabakuran ng wire mesh sa tatlong panig, at magkadugtong sa dingding sa ikaapat na bahagi. Para dito mayroong a mga linear na metro ng grid. Sa anong aspect ratio magkakaroon ang site ng pinakamalaking lugar?

Solusyon. Tukuyin ang mga gilid ng site sa pamamagitan ng x at y. Ang lugar ng site ay S = xy. Hayaan y ay ang haba ng gilid na katabi ng dingding. Pagkatapos, ayon sa kondisyon, ang pagkakapantay-pantay na 2x + y = ay dapat hawakan. Samakatuwid y = a - 2x at S = x(a - 2x), kung saan
0 ≤ x ≤ a/2 (ang haba at lapad ng lugar ay hindi maaaring negatibo). S "= a - 4x, a - 4x = 0 para sa x = a/4, kung saan
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Dahil ang x = a/4 ang tanging kritikal na punto, tingnan natin kung nagbabago ang tanda ng derivative kapag dumadaan sa puntong ito. Para sa xa/4 S "> 0, at para sa x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Halimbawa 3.24. Kinakailangang gumawa ng saradong cylindrical tank na may kapasidad na V=16p ≈ 50 m 3 . Ano ang dapat na mga sukat ng tangke (radius R at taas H) upang magamit ang hindi bababa sa dami ng materyal para sa paggawa nito?

Solusyon. Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng silindro ay S = 2pR(R+H). Alam natin ang volume ng silindro V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Kaya, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Nahanap namin ang derivative ng function na ito:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 para sa R ​​3 \u003d 8, samakatuwid,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Katulad na impormasyon.