Kahulugan. Papasukin n paulit-ulit na mga eksperimento (pagsusulit) ilang kaganapan PERO dumating n A minsan.

Numero n A tinatawag na dalas ng pangyayari PERO , at ang ratio

ay tinatawag na relatibong dalas (o dalas) ng kaganapan PERO sa seryeng ito ng mga pagsubok.

Mga katangian ng kaugnay na dalas

Ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay may mga sumusunod na katangian.

1. Ang dalas ng anumang kaganapan ay nasa hanay mula sa zero hanggang isa, i.e.

2. Ang dalas ng isang imposibleng kaganapan ay zero, i.e.

3. Ang dalas ng isang tiyak na kaganapan ay 1, i.e.

4. Ang dalas ng kabuuan ng dalawa mga pangyayaring hindi magkatugma ay katumbas ng kabuuan ng mga frequency (frequencies) ng mga kaganapang ito, i.e. kung =Ø, kung gayon

May dalas ari-arian , tinatawag na property katatagan ng istatistika : na may pagtaas sa bilang ng mga eksperimento (ibig sabihin, may pagtaas n ) ang dalas ng isang kaganapan ay tumatagal ng mga halaga na malapit sa posibilidad ng kaganapang ito R .

Kahulugan. Ang posibilidad ng istatistika ng kaganapan A ang numero sa paligid kung saan ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay nagbabago ay tinatawag PERO sa sapat malalaking numero mga pagsubok (mga eksperimento) n .

Probability ng Kaganapan PERO ipinapahiwatig ng simbolo R (PERO ) o R (PERO ). Ang hitsura ng liham bilang simbolo ng konsepto ng "probability" R tinutukoy ng presensya nito sa unang lugar sa salitang Ingles probabilidad - posibilidad.

Ayon kay depinisyon na ito

Statistical Probability Properties

1. Statistical Probability anumang kaganapan PERO ay nasa pagitan ng zero at isa, i.e.

2. Statistical probability ng isang imposibleng kaganapan ( PERO= Ø) ay katumbas ng zero, ibig sabihin.

3. Statistical probability ng isang partikular na kaganapan ( PERO= Ω) ay katumbas ng isa, ibig sabihin,

4. Statistical Probability Sum hindi magkatugma Ang mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, i.e. kung A B= Ø, pagkatapos

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Hayaang maisagawa ang eksperimento sa n mga kinalabasan na maaaring katawanin bilang isang pangkat ng mga hindi magkatugma na may posibilidad na mga kaganapan. Ang kaso na nagiging sanhi ng kaganapan PERO , ay tinatawag na pabor o pabor, i.e. nangyayari w nagiging sanhi ng isang pangyayari PERO , wa .

Kahulugan. Probability ng isang kaganapan PERO tinatawag na ratio ng numero m mga okasyong paborable sa kaganapang ito, sa kabuuang bilang n kaso, i.e.

Mga katangian ng "klasikal" na posibilidad

1. Axiom hindi negatibiti : posibilidad ng anumang kaganapan PERO ay hindi negatibo, ibig sabihin.

R(PERO) ≥ 0.

2. Axiom normalisasyon : posibilidad ng ilang pangyayari ( PERO= Ω) ay katumbas ng isa:

3. Axiom pagkakadagdag : ang posibilidad ng kabuuan hindi magkatugma Ang mga kaganapan (o ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan) ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, i.e. kung A B=Ø, pagkatapos

Probability ng Event: R() = 1 – R(PERO).

Para sa posibilidad ng isang kaganapan na ang kabuuan anuman dalawang pangyayari PERO at SA, ang tamang formula ay:

Kung mga pangyayari PERO at AT ay hindi maaaring mangyari bilang isang resulta ng isang pagsubok sa parehong oras, i.e. sa madaling salita, kung A B – imposibleng pangyayari, pagkatapos ay tinawag sila hindi magkatugma o hindi magkatugma , at pagkatapos R(A B) = 0 at ang pormula para sa posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan ay nasa isang partikular na simpleng anyo:

Kung ang mga pangyayari PERO at AT ay maaaring mangyari bilang isang resulta ng isang pagsubok, ang mga ito ay tinatawag magkatugma .

Kapaki-pakinabang na Algorithm

Kapag naghahanap ng mga probabilidad gamit ang klasikal na kahulugan ng probabilidad, dapat sundin ang sumusunod na algorithm.

1. Kinakailangang malinaw na maunawaan kung ano ang eksperimento.

2. Malinaw na sabihin kung ano ang kaganapan PERO, ang posibilidad na matagpuan.

3. Malinaw na bumalangkas kung ano ang bubuo ng elementarya na kaganapan sa problemang isinasaalang-alang. Ang pagkakaroon ng pagbabalangkas at pagtukoy ng isang elementarya na kaganapan, dapat suriin ng isa ang tatlong kundisyon na dapat matugunan ng isang hanay ng mga resulta, i.e. Ω.

6. Kasunod ng klasikal na kahulugan ng posibilidad, tukuyin

Kapag nilulutas ang mga problema ang pinakakaraniwang pagkakamali ay isang malabo na pag-unawa sa kung ano ang kinuha bilang isang elementarya na kaganapan w , at ang kawastuhan ng pagbuo ng set at ang kawastuhan ng pagkalkula ng posibilidad ng isang kaganapan ay nakasalalay dito. Karaniwan, sa pagsasagawa, ang pinakasimpleng kinalabasan ay kinuha bilang isang elementarya na kaganapan, na hindi maaaring "hatiin" sa mga mas simple.

Mayroong ilang mga kahulugan ng konsepto ng posibilidad. Narito ang isang klasikong kahulugan. Ito ay nauugnay sa konsepto ng isang kanais-nais na kinalabasan. Ang mga elementary na kinalabasan (e.i.), sa pusa. ang kaganapan ng interes sa amin ay nangyayari, tatawagin naming paborable ang kaganapang ito. Def.: Ver.yu kaganapan Isang pagpapangalan. ang ratio ng bilang ng mga resultang paborable sa kaganapang ito sa kabuuang bilang ng lahat ng pantay na posibleng hindi magkatugma e. i., na bumubuo ng isang kumpletong grupo. P(A) = m/n, kung saan ang m ay ang bilang ng e. i., pabor sa kaganapan A; n ang bilang ng lahat ng posibleng e. at. mga pagsubok. Mula sa kahulugan ng posibilidad, sundin ang mga katangian nito:1)ver.(c) ng isang partikular na kaganapan ay palaging katumbas ng 1. tiyak ang pangyayari, tapos lahat e. at. pinapaboran ng mga pagsubok ang kaganapang ito, ibig sabihin. m=n. P(A)=n/n=1; 2) V. imposibleng pangyayari. katumbas ng 0. Dahil imposible ang pangyayari, tapos wala ni isa e. at., pabor sa kaganapang ito, pagkatapos m=0. P(A) = 0/n = 0; 3) V. random na pangyayari ay isang hindi-negatibong halaga sa pagitan ng 0 at 1, ibig sabihin. 0

4. Kamag-anak na dalas. Relatibong katatagan ng dalas.

Ang relatibong dalas (FR) ng isang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga pagsubok kung saan naganap ang kaganapan sa kabuuang bilang ng mga pagsubok na aktwal na ginawa. (HINDI omega!!!). W(A) = m/n, kung saan ang m ay ang bilang ng paglitaw ng kaganapan A, n ay ang kabuuang bilang ng mga pagsubok. Ang kahulugan ng probabilidad ay hindi nangangailangan na ang mga pagsusulit ay aktwal na isagawa. Ipinapalagay ng kahulugan ng RON na ang mga pagsubok ay aktwal na isinagawa, ibig sabihin. ver. kinakalkula bago ang eksperimento, at OC pagkatapos ng eksperimento. Kung ang mga eksperimento ay isinasagawa sa ilalim ng parehong mga kondisyon, sa bawat isa sa pusa. ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki, pagkatapos ay ipinapakita ng OC ang katatagan ng St. Ang pag-aari na ito ay binubuo sa katotohanan na sa iba't ibang mga eksperimento, ang OR ay nagbabago nang kaunti, mas kaunti, mas maraming pagsubok ang ginagawa, na nagbabago sa isang tiyak na pare-parehong numero. Ang numerong ito ay ver. paglitaw ng pangyayari. yun. Ito ay eksperimento na itinatag na ang SP ay maaaring kunin bilang isang tinatayang halaga ng probabilidad.

5. Statistical probability.

Ipinapalagay ng klasikal na kahulugan ng probabilidad na ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan ng isang pagsubok ay may hangganan. Sa pagsasagawa, ang mga pagsubok ay madalas na nakatagpo, ang bilang ng mga posibleng resulta ay isang pusa. walang katapusan. Sa ganitong mga kaso klasikong kahulugan hindi maaari. Kasama ang klasiko def. gumamit ng istatistika. Def.: stat. ver. (r.v.) mga kaganapan - relatibong dalas (RC) o isang numerong malapit dito. St-va probabilities na nagmumula sa classical. ang mga kahulugan ay pinananatili sa istatistika. Kung maaasahan ang kaganapan, kung gayon ang OC =1 nito, ibig sabihin. st.v. din =1. Kung imposible ang kaganapan, pagkatapos ay ROI = 0, i.e. st.v. din = 0. Para sa anumang kaganapan 0W(A) 1, sl-no. st.v. ay nasa pagitan ng 0 at 1. Para sa pagkakaroon ng st.v. kinakailangan: 1) ang kakayahang hindi bababa sa panimula na maisakatuparan ay walang limitasyon. ang bilang ng mga pagsubok sa bawat pusa. ang kaganapan ay nangyayari o hindi nangyayari; 2) ang katatagan ng OR ng paglitaw ng isang kaganapan sa iba't ibang serye ng isang sapat na malaking bilang ng mga pagsubok. Ang kawalan ng istatistika ang mga kahulugan ay ang kalabuan ng Art. Halimbawa, kung bilang isang resulta ng isang sapat na malaking bilang ng mga pagsubok ay lumabas na ang OR ay napakalapit sa 0.6, kung gayon ang numerong ito ay maaaring kunin bilang st.v. Ngunit bilang posibilidad ng isang kaganapan, ang isa ay maaaring tumagal hindi lamang 0.6, kundi pati na rin 0.59 at 0.61.

Ang paksa ng teorya ng posibilidad. Pagsubok. Pag-uuri ng kaganapan.

Ang teorya ng probabilidad ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga pattern na nagaganap sa mass homogeneous tests (MOTs).

Ang isang pagsubok ay isang kumplikado ng anumang mga kundisyon, mga aksyon.

Ang MY ay mga pagsubok na ayon sa teorya ay maaaring ipagpatuloy nang walang katiyakan (pag-aaral, botohan, coin toss).

Ang resulta ng pagsusulit ay ang posibleng resulta ng pagsusulit.

Ang isang kaganapan ay isang abstraction ng kinalabasan ng isang pagsubok (kung ang isang kababalaghan ay naganap sa MY o hindi).

Halimbawa, ang paghagis ng barya ay isang pagsubok, habang ang hitsura ng isang "agila" ay isang kaganapan.

Ang kaganapan ay karaniwang tinutukoy ng malaking lat. mga titik A, B, C.

MGA URI NG EVENT:

1. Ang isang tiyak na kaganapan ay tinatawag na isang kaganapan na magaganap sa anumang resulta ng pagsubok.

2. Imposible - hindi mangyayari sa ilalim ng anumang resulta ng pagsubok.

3. Random - maaaring mangyari o hindi bilang resulta ng pagsusulit.

hal. Ang isang dice ay inihagis.

Event A - ang bilang ng mga puntos ay hindi > 6: makabuluhan.

Event B - puntos > 6: imposible.

Event C - 1 hanggang 6: Random.

MGA RANDOM NA PANGYAYARI

1. Katumbas - yaong kung saan mayroong pagkakapantay-pantay ng mga indibidwal na kinalabasan ng pagsusulit.

hal, pagkuha ng isang hari, alas, reyna, jack mula sa isang deck ng mga baraha.

2. Ang posible lamang ay iyong kung isa man sa mga ito ang siguradong magaganap sa pagsusulit.

Hal., May 2 anak sa isang pamilya: A - 2 lalaki, B - 2 babae, C - 1 m at 1 d.

Kombinatorika. Mga pangunahing formula ng combinatorics.

Ang Combinatorics ay ang agham ng mga compound. Ang isang koneksyon ay nauunawaan bilang anumang hanay ng mga elemento ng isang tiyak na hanay.

Hal, maraming estudyanteng nakaupo sa audience.

Ang lahat ng mga compound ay nahahati sa 3 grupo:

1) Akomodasyon. Ang R-mi mula sa n el-t sa m () ay tinatawag na mga naturang compound na naiiba sa isa't isa alinman sa komposisyon ng el-t, o ang pagkakasunud-sunod ng koneksyon ng el-t, o pareho.

Anm = n!/(n-m)!

Gawain. Ilang magkakaibang 2-digit na numero ang maaaring gawin mula sa isang set ng mga digit (1; 2; 3; 4), at upang ang mga digit ng numero ay magkaiba.

At sa 4 by 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12

2) Mga kumbinasyon. Ang mga kumbinasyon ng n elemento ng m ay tinatawag na mga naturang compound na naiiba sa bawat isa lamang sa komposisyon ng mga elemento (ang pagkakasunud-sunod ay hindi mahalaga)

Mula n hanggang m = n!/m!*(n-m)!

Gawain. Sa gaano karaming mga paraan ang isang grupo ng 30 tao ay maaaring mamahagi ng mga voucher sa Ussuri sanatorium.

C ng 30 by 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.

3) Mga Permutasyon (Pn). Ang mga permutasyon ng n elemento ay mga compound na kinabibilangan ng lahat ng n elemento at naiiba sa isa't isa lamang sa pagkakasunud-sunod ng kanilang koneksyon.

Gawain. Sa ilang paraan maaaring ihanay ang 6 na kadete sa parade ground?

SUM RULE - kung ang object a ay maaaring piliin mula sa set sa iba't ibang paraan, at object b sa r iba't ibang paraan, kung gayon ang pagpili ng isa sa mga elemento a o bar ay maaaring gawin sa iba't ibang r+s na paraan.

PANUNTUNAN NG PRODUKTO - kung mapipili ang object a sa iba't ibang paraan, at pagkatapos ng bawat pagpipiliang object b ay maaaring piliin sa iba't ibang paraan, kung gayon ang pagpili ng isang pares ng mga elemento ay maaaring gawin sa iba't ibang r*s na paraan (a at b = r*s).

Ang klasikong kahulugan ng posibilidad. Probability properties.

Ang posibilidad ng isang kaganapan A ay ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapang ito sa kabuuang bilang ng lahat ng pantay na posibleng hindi magkatugma na mga resulta ng elementarya na bumubuo buong grupo(P(A)=m/n).

MGA KATANGIAN SA-TI:

1) V-t tiyak na kaganapan = 1.

kasi Ang D ay isang tiyak na kaganapan, kung gayon ang bawat posibleng resulta ng pagsubok ay pinapaboran ang kaganapan, i.e. m=n.

P(D) = m/n = n/n = 1/

2) Ang halaga ng isang imposibleng kaganapan ay zero. kasi Imposible ang event N, kung gayon wala sa mga elementary na kinalabasan ang pumapabor sa kaganapan, i.e. m=0.

P(D) = m/n = 0/n = 0/

3) Ang bilang ng isang random na kaganapan ay isang positibong numero sa pagitan ng 0 at 1. Ang isang random na kaganapan S ay pinapaboran lamang ng isang elemento mula sa kabuuang bilang. mga resulta ng pagsusulit, ibig sabihin. 0

0

Kaya, ang in-th ng anumang kaganapan ay nakakatugon sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay: 0<=P(A)<=1.

Kamag-anak na dalas. Katatagan ng mga kamag-anak na frequency. Istatistikong kahulugan ng posibilidad.

Ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga pagsubok kung saan naganap ang kaganapan sa kabuuang bilang ng mga pagsubok na aktwal na ginawa.

W(A)=m/n, kung saan ang m ay ang bilang ng paglitaw ng kaganapan, n ay ang kabuuang bilang ng mga pagsubok.

Iminumungkahi ng V-Th, at ang mga kamag-anak na pag-aayos ng dalas. Ang V-Th ay hindi nangangailangan na ang mga kaganapan ay gaganapin, at ang kamag-anak na dalas - ay nangangailangan. Sa madaling salita, ang mga in-th na kaganapan ay kinakalkula bago ang mga eksperimento, at rel. dalas pagkatapos.

STABILITY ng relatibong dalas.

Ang mga pangmatagalang obserbasyon ay nagpakita na kung ang mga eksperimento ay isinasagawa sa ilalim ng parehong mga kondisyon, sa bawat isa kung saan ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki, kung gayon ang kamag-anak na dalas ay nagpapakita ng pag-aari ng katatagan.

Ang pag-aari na ito ay binubuo sa katotohanan na sa iba't ibang mga eksperimento ang kamag-anak na dalas ay nagbabago nang kaunti, nagbabago-bago sa isang tiyak na pare-parehong numero.

Ito ay lumabas na ang pare-parehong bilang na ito ay ang paglitaw ng kaganapan W(A) = P(A).

Ang STATISTICAL na bahagi ng isang kaganapan ay ang numero sa paligid kung saan pinagsama-sama ang mga relatibong frequency ng kaganapang ito, at sa ilalim ng pare-parehong mga kondisyon at walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga pagsubok, ang relatibong dalas ay bahagyang naiiba sa numerong ito.

tinawag relatibong dalas ( o dalas) mga pangyayari PERO sa serye ng mga eksperimento na isinasaalang-alang.

Ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay may mga sumusunod ari-arian:

1. Ang dalas ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa, i.e.

2. Ang dalas ng isang imposibleng kaganapan ay zero, i.e.

3. Ang dalas ng isang tiyak na kaganapan ay 1, i.e.

4. Ang dalas ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugmang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng dalas
ang mga kaganapang ito, i.e. kung , kung gayon

Ang dalas ay may isa pang pangunahing katangian na tinatawag ari-arian ng katatagan ng istatistika: na may pagtaas sa bilang ng mga eksperimento (i.e. n) nangangailangan ng mga halaga na malapit sa ilang pare-parehong numero (sabi nila: ang dalas ay nagpapatatag, papalapit sa isang tiyak na numero, ang dalas ay nagbabago sa paligid ng isang tiyak na numero, o ang mga halaga nito ay kumpol sa isang tiyak na numero).

Kaya, halimbawa, sa eksperimento (K. Pearson) paghuhugas ng barya - ang kamag-anak na dalas ng hitsura ng coat of arms sa 12,000 at 24,000 tosses ay naging 0.5015 at 0.5005, ayon sa pagkakabanggit, i.e. ang dalas ay lumalapit sa numero. Ang dalas ng kapanganakan ng isang batang lalaki, tulad ng ipinapakita ng mga obserbasyon, ay nagbabago sa paligid ng bilang na 0.515.

Tandaan na ang teorya ng probabilidad ay nag-aaral lamang ng mga mass random na phenomena na may hindi tiyak na kinalabasan, kung saan ang katatagan ng relatibong dalas ay ipinapalagay.

Istatistikong kahulugan ng posibilidad

Para sa mathematical na pag-aaral ng isang random na kaganapan, ito ay kinakailangan upang ipakilala ang ilang uri ng quantitative assessment ng kaganapan. Malinaw na ang ilang mga kaganapan ay mas malamang ("mas malamang") na mangyari kaysa sa iba. Ang ganitong pagtatasa ay posibilidad ng kaganapan, mga. isang numero na nagpapahayag ng antas ng posibilidad ng paglitaw nito sa eksperimento na isinasaalang-alang. Mayroong ilang mga mathematical na kahulugan ng probabilidad, na lahat ay nagpupuno at nagsa-generalize sa isa't isa.

Isaalang-alang ang isang eksperimento na maaaring ulitin kahit ilang beses (sinasabi nila: "ginagawa ang mga paulit-ulit na pagsubok") kung saan naobserbahan ang ilang kaganapan. PERO.

Statistical Probability mga pangyayari PERO tinatawag na numero sa paligid kung saan ang relatibong dalas ng kaganapan ay nagbabago A para sa isang sapat na malaking bilang ng mga pagsubok (mga eksperimento).

Probability ng Kaganapan PERO ipinapahiwatig ng simbolo R(PERO). Ayon sa kahulugang ito:

.

(1.2)

Ang pagbibigay-katwiran sa matematika ng kalapitan ng kamag-anak na dalas at posibilidad R(PERO) ilang kaganapan PERO ay ang teorama ni J. Bernoulli.

Mga probabilidad R(PERO) ang mga katangian 1-4 ng relatibong dalas ay iniuugnay:

1. Ang istatistikal na posibilidad ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa, i.e.

2. Ang istatistikal na posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero, i.e.

3. Ang istatistikal na posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng 1, i.e.

4. Ang istatistikal na posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng dalas ng mga kaganapang ito, i.e. kung , kung gayon

Ang istatistikal na paraan ng pagtukoy ng posibilidad, batay sa tunay na karanasan, ay lubos na nagpapakita ng nilalaman ng konseptong ito. Ang kawalan ng statistical definition ay ang kalabuan ng statistical probability; kaya sa halimbawa ng paghahagis ng barya, hindi lamang ang numerong 0.5, kundi pati na rin ang 0.49 o 0.51, atbp. ay maaaring kunin bilang isang posibilidad. Upang mapagkakatiwalaan na matukoy ang posibilidad, kailangan mong gumawa ng isang malaking bilang ng mga pagsubok, na hindi palaging madali o mura.

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Mayroong isang simpleng paraan upang matukoy ang posibilidad ng isang kaganapan, batay sa equiprobability ng alinman sa isang tiyak na bilang ng mga resulta ng karanasan. Hayaang maisagawa ang eksperimento sa n mga kinalabasan, na maaaring ilarawan bilang kumpletong pangkat ng hindi magkatugma na equiprobable mga pangyayari. Ang ganitong mga kinalabasan ay tinatawag pagkakataon, pagkakataon, elementarya na mga kaganapan, karanasan - klasiko. Ang ganitong karanasan daw ay nabawasan sa tsart ng kaso o urn scheme(dahil ang probabilistikong problema para sa naturang eksperimento ay maaaring mapalitan ng katumbas na problema sa mga urn na naglalaman ng mga bola na may iba't ibang kulay).

Kaso w na nagiging sanhi ng kaganapan PERO, ay tinatawag na kanais-nais(o pabor) sa kanya, i.e. ang kaso w entails ang kaganapan A: .

Probability ng isang kaganapan PERO tinatawag na ratio ng numero m mga kaso na paborable sa kaganapang ito, sa kabuuang bilang n kaso, i.e.

.

(1.3)

Kasama ang pagtatalaga R(PERO) para sa posibilidad ng isang kaganapan PERO ginagamit ang notasyon R, ibig sabihin. p=p(PERO).

Ang sumusunod ay sumusunod mula sa klasikal na kahulugan ng posibilidad. ari-arian:

1. Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa, i.e.

2. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero, i.e.

3. Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng 1, i.e.

4. Ang posibilidad ng kabuuan ng mga hindi tugmang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng dalas ng mga kaganapang ito, i.e. kung , kung gayon

Halimbawa 1.3. Ang isang urn ay naglalaman ng 12 puti at 8 itim na bola. Ano ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na bola ay puti?

Desisyon:

Hayaan PERO- isang kaganapan na binubuo sa katotohanan na ang isang puting bola ay iginuhit. Malinaw na iyon ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng kaso. Bilang ng beses na pabor sa kaganapan PERO, ay katumbas ng 12, i.e. . Samakatuwid, sa pamamagitan ng formula (1.3) mayroon tayong: , i.e. .

Geometric na kahulugan ng mga probabilidad

Ang geometric na kahulugan ng probabilidad ay ginagamit sa kaso kapag ang mga resulta ng karanasan ay pantay na posible, at ang PES ay isang walang katapusang hindi mabilang na hanay. Isaalang-alang natin ang ilang domain Ω sa eroplano na may lugar , at sa loob ng domain Ω , rehiyon D may lugar S D(Tingnan ang Fig. 6).

Ang isang punto ay sapalarang pinili sa domain na Ω X. Ang pagpipiliang ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang throwing point X sa rehiyonΩ. Sa kasong ito, ang pagtama ng isang punto sa rehiyon Ω ay isang maaasahang kaganapan, sa D- random. Ipinapalagay na ang lahat ng mga punto ng domain Ω ay pantay-pantay sa mga karapatan (lahat ng elementarya na kaganapan ay pantay na posible), i.e. na ang itinapon na punto ay maaaring mahulog sa anumang punto ng rehiyon Ω at ang posibilidad na mahulog sa rehiyon D proporsyonal sa lugar ng rehiyong ito at hindi nakasalalay sa lokasyon at hugis nito. Hayaan ang kaganapan, i.e. ang itinapon na punto ay mahuhulog sa lugar D.

kanin. 6

geometric na posibilidad mga pangyayari PERO ay tinatawag na area ratio D sa lugar ng domain Ω, i.e.

sa pangalawa:

kung saan saan mes sukat (S, l, V) mga lugar.

Ang geometriko na posibilidad ay mayroon lahat ari-arian likas sa klasikal na kahulugan:

1. Ang geometric na posibilidad ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa, i.e.

2. Ang geometric na posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero, i.e.

3. Ang geometric na posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng 1, i.e.

4. Ang geometric na probabilidad ng kabuuan ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng dalas ng mga kaganapang ito, i.e. kung , kung gayon

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Probability - isa sa mga pangunahing konsepto ng probability theory. Mayroong ilang mga kahulugan ng konseptong ito. Probability ay isang numero na nagpapakilala sa antas ng posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan.

Ang bawat isa sa mga posibleng resulta ng pagsusulit ay tinatawag elementarya kinalabasan (elementarya kaganapan). Mga pagtatalaga: …,

Yaong mga elementarya na kinalabasan kung saan nangyayari ang kaganapan ng interes sa amin, tatawagan namin kanais-nais.

Halimbawa: Ang isang urn ay naglalaman ng 10 magkaparehong bola, 4 sa mga ito ay itim at 6 ay puti. Kaganapan - isang puting bola ang nakuha mula sa urn. Ang bilang ng mga kanais-nais na resulta kung saan kukunin ang mga puting bola mula sa urn ay 4.

Ang ratio ng bilang ng mga elementarya na kinalabasan na paborable sa kaganapan sa kanilang kabuuang bilang ay tinatawag na posibilidad ng kaganapan; notasyon Sa ating halimbawa

Probability ng isang kaganapan tawagan ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapang ito sa kabuuang bilang ng lahat ng pantay na posibleng hindi tugmang elementarya na mga resulta na bumubuo ng isang kumpletong grupo,

saan ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan na pumapabor sa kaganapan; ang bilang ng lahat ng posibleng elementarya na resulta ng pagsusulit.

Probability properties:

1. Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa, i.e.

2. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero, i.e. e.

3. Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay isang positibong numero sa pagitan ng zero at isa, i.e. e.

o

Isinasaalang-alang ang mga katangian 1 at 2, ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay

4 . Mga pangunahing formula ng combinatorics

Pinag-aaralan ng mga combinatorics ang bilang ng mga kumbinasyon na napapailalim sa ilang partikular na kundisyon na maaaring binubuo ng isang tiyak na hanay ng mga elemento na may arbitraryong kalikasan. Kapag direktang nagkalkula ng mga probabilidad, madalas na ginagamit ang mga pormula ng combinatorics. Ipinakita namin ang pinakakaraniwang ginagamit sa kanila.

Mga permutasyon mga kumbinasyon ng pangalan na binubuo ng magkaparehong magkakaibang elemento at nagkakaiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng kanilang pagkakaayos.

Bilang ng lahat ng posibleng permutasyon

saan Tanggap naman yun

Halimbawa. Ang bilang ng tatlong-digit na numero, kapag ang bawat digit ay kasama sa larawan ng tatlong-digit na numero nang isang beses lang, ay

Mga pagkakalagay tinatawag na mga kumbinasyong binubuo ng iba't ibang elemento ng mga elemento na nagkakaiba sa komposisyon ng mga elemento o sa kanilang pagkakasunud-sunod. Bilang ng lahat ng posibleng pagkakalagay

Halimbawa. Ang bilang ng mga signal mula sa 6 na flag ng iba't ibang kulay, kinuha ng 2:

Mga kumbinasyon tinatawag na mga kumbinasyong binubuo ng iba't ibang elemento ng mga elemento na nagkakaiba ng kahit isang elemento. Bilang ng mga kumbinasyon

Halimbawa. Bilang ng mga paraan upang pumili ng dalawang bahagi mula sa isang kahon na naglalaman ng 10 bahagi:

Ang mga bilang ng mga pagkakalagay, permutasyon at kumbinasyon ay nauugnay sa pagkakapantay-pantay

Kapag nilulutas ang mga problema, ginagamit ng combinatorics ang mga sumusunod na patakaran:

Panuntunan ng kabuuan. Kung ang ilang bagay ay maaaring mapili mula sa isang hanay ng mga bagay sa mga paraan, at ang isa pang bagay ay maaaring piliin sa mga paraan, kung gayon alinman sa , o maaaring mapili sa mga paraan.

tuntunin ng produkto. Kung ang isang bagay ay maaaring mapili mula sa isang koleksyon ng mga bagay sa mga paraan, at pagkatapos ng bawat naturang pagpili ay maaaring piliin ang bagay sa mga paraan, kung gayon ang isang pares ng mga bagay sa ganoong pagkakasunud-sunod ay maaaring mapili sa mga paraan.

Kamag-anak na dalas din ay ang pangunahing konsepto ng probability theory.

Kamag-anak na dalas Ang mga kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga pagsubok kung saan lumitaw ang kaganapan sa kabuuang bilang ng mga pagsubok na aktwal na ginawa at tinutukoy ng formula

,

kung saan ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan sa mga pagsubok, ang kabuuang bilang ng mga pagsubok.

Ang paghahambing ng mga kahulugan ng probabilidad at kamag-anak na dalas, napagpasyahan namin na ang kahulugan ng posibilidad ay hindi nangangailangan ng pagsubok, at ang kahulugan ng kamag-anak na dalas ay nagsasangkot ng aktwal na pagsubok.

Ang mga pangmatagalang obserbasyon ay nagpapakita na kapag nagsasagawa ng mga eksperimento sa ilalim ng parehong mga kondisyon, ang kamag-anak na dalas ay may katangian ng katatagan. Ang pag-aari na ito ay binubuo sa katotohanan na sa iba't ibang serye ng mga eksperimento ang relatibong dalas ng mga pagsubok ay nag-iiba-iba sa bawat serye, na nagbabago-bago sa isang tiyak na pare-parehong numero. Ang pare-parehong bilang na ito ay ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay may ilang mga kakulangan:

1) ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan ng pagsusulit ay may hangganan, sa pagsasagawa ng numerong ito ay maaaring walang katapusan;

2) napakadalas ang resulta ng pagsusulit ay hindi maaaring katawanin bilang isang hanay ng mga elementarya na kaganapan;

Para sa mga kadahilanang ito, kasama ang klasikal na kahulugan ng posibilidad, isang istatistikal na kahulugan ay ginagamit: sa kalidad istatistikal na posibilidad ang mga kaganapan ay tumatagal sa isang relatibong dalas.