Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Probability - isa sa mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad. Mayroong ilang mga kahulugan ng konseptong ito. Probability ay isang numero na nagpapakilala sa antas ng posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan.

Ang bawat isa sa mga posibleng resulta ng pagsusulit ay tinatawag elementarya kinalabasan (elementarya kaganapan). Mga pagtatalaga: …,

Yaong mga elementarya na kinalabasan kung saan nangyayari ang kaganapan ng interes sa amin, tatawagan namin kanais-nais.

Halimbawa: Sa urn 10 magkaparehong bola, kung saan 4 ay itim, 6 ay puti. Kaganapan - isang puting bola ang nakuha mula sa urn. Ang bilang ng mga kanais-nais na resulta kung saan kukunin ang mga puting bola mula sa urn ay 4.

Ang ratio ng bilang ng mga elementarya na kinalabasan na paborable sa kaganapan sa kanilang kabuuang bilang ay tinatawag na probabilidad ng kaganapan; notasyon Sa ating halimbawa

Probability ng isang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapang ito sa kabuuang bilang ng lahat ng pantay na posibleng hindi magkatugmang elementarya na mga resulta na bumubuo buong grupo,

nasaan ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan na pumapabor sa kaganapan; ang bilang ng lahat ng posibleng elementarya na resulta ng pagsusulit.

Probability properties:

1. Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa, i.e.

2. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero, i.e. e.

3. Probability random na pangyayari meron positibong numero sa pagitan ng zero at isa, i.e. e.

o

Isinasaalang-alang ang mga katangian 1 at 2, ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay

4 . Mga Pangunahing Formula combinatorics

Pinag-aaralan ng mga combinatorics ang bilang ng mga kumbinasyon na napapailalim sa ilang partikular na kundisyon na maaaring binubuo ng isang tiyak na hanay ng mga elemento na may arbitraryong kalikasan. Kapag direktang nagkalkula ng mga probabilidad, madalas na ginagamit ang mga pormula ng combinatorics. Ipinakita namin ang pinakakaraniwang ginagamit sa kanila.

Mga permutasyon tinatawag na mga kumbinasyong binubuo ng pareho iba't ibang elemento at naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod kung saan sila matatagpuan.

Bilang ng lahat ng posibleng permutasyon

saan Tanggap naman yun

Halimbawa. Bilang ng tatlong-digit na numero kapag ang bawat digit ay kasama sa larawan tatlong digit na numero minsan lang, pareho

Mga pagkakalagay tinatawag na mga kumbinasyon na binubuo ng iba't ibang elemento ng mga elemento na naiiba sa komposisyon ng mga elemento o sa kanilang pagkakasunud-sunod. Bilang ng lahat ng posibleng pagkakalagay

Halimbawa. Bilang ng mga signal mula sa 6 na flag iba't ibang kulay kinuha ng 2:

Mga kumbinasyon tinatawag na mga kumbinasyong binubuo ng iba't ibang elemento ng mga elemento na nagkakaiba ng hindi bababa sa isang elemento. Bilang ng mga kumbinasyon

Halimbawa. Bilang ng mga paraan upang pumili ng dalawang bahagi mula sa isang kahon na naglalaman ng 10 bahagi:

Ang mga bilang ng mga pagkakalagay, permutasyon at kumbinasyon ay nauugnay sa pagkakapantay-pantay

Kapag nilulutas ang mga problema, ginagamit ang mga combinatorics pagsunod sa mga tuntunin:

Panuntunan ng kabuuan. Kung ang ilang bagay ay maaaring mapili mula sa isang hanay ng mga bagay sa mga paraan, at ang isa pang bagay ay maaaring mapili sa mga paraan, pagkatapos ay alinman sa , o maaaring mapili sa mga paraan.

tuntunin ng produkto. Kung ang isang bagay ay maaaring mapili mula sa isang koleksyon ng mga bagay sa mga paraan, at pagkatapos ng bawat naturang pagpili, ang bagay ay maaaring piliin sa mga paraan, pagkatapos ay isang pares ng mga bagay sa ganoong pagkakasunud-sunod ay maaaring mapili sa mga paraan.

Kamag-anak na dalas Gayundin ay ang pangunahing konsepto ng probability theory.

Kamag-anak na dalas Ang mga kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga pagsubok kung saan lumitaw ang kaganapan sa kabuuang bilang ng mga pagsubok na aktwal na ginawa at tinutukoy ng formula

,

nasaan ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan sa mga pagsubok, kabuuang bilang mga pagsubok.

Paghahambing ng mga kahulugan ng posibilidad at relatibong dalas, napagpasyahan namin na ang pagpapasiya ng probabilidad ay hindi nangangailangan ng pagsubok, at ang pagpapasiya ng kamag-anak na dalas ay nagsasangkot ng aktwal na pagsubok.

Ipinapakita ng mga pangmatagalang obserbasyon na kapag nagsasagawa ng mga eksperimento sa parehong kondisyon, ang relatibong dalas ay may ari-arian ng katatagan. Ang pag-aari na ito ay binubuo sa katotohanan na sa iba't ibang serye ng mga eksperimento, ang relatibong dalas ng mga pagsubok ay nag-iiba-iba nang kaunti sa bawat serye, na nagbabago-bago sa isang tiyak na pare-parehong numero. Ito pare-parehong numero at may posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay may ilang mga kakulangan:

1) ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan ng pagsusulit ay may hangganan, sa pagsasagawa ng numerong ito ay maaaring walang katapusan;

2) napakadalas ang resulta ng pagsusulit ay hindi maaaring katawanin bilang isang hanay ng mga elementarya na kaganapan;

Para sa mga kadahilanang ito, kasama ang klasikal na kahulugan ng posibilidad, ang isa ay gumagamit kahulugan ng istatistika: V kalidad istatistikal na posibilidad ang mga kaganapan ay tumatagal sa isang relatibong dalas.

Alam na ang isang random na kaganapan dahil sa isang pagsubok ay maaaring mangyari o hindi. Ngunit sa parehong oras para sa iba't ibang pangyayari may iba't ibang posibilidad sa parehong pagsubok. Tingnan natin ang isang halimbawa. Kung mayroong isang daang maingat na pinaghalong magkaparehong mga bola sa isang urn, at sa kanila ay sampu lamang ang itim, at ang iba ay puti, kung gayon kapag ang isang bola ay iginuhit nang random. mas maraming posibilidad na lalabas ay eksaktong puti. Ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa pagsubok na ito ay may numerical measure, na tinatawag na probabilidad ng kaganapang ito, at ayon sa theory of probability, maaari mong kalkulahin kung ano ang pagkakataon na makakita ng itim o puting bola.

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Ipagpalagay na sa panahon ng isang partikular na pagsubok, $n$ elementarya ay maaaring mangyari na mga kaganapan. Sa bilang na ito, ang bilang na $m$ ay ang bilang ng mga elementarya na kaganapang pumapabor sa paglitaw ng isang partikular na kaganapang $A$. Kung gayon ang posibilidad ng kaganapan na $A$ ay ang kaugnayang $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $.

Halimbawa #1.

Ang isang urn ay naglalaman ng 3 puti at 5 itim na bola, na naiiba lamang sa kulay. Ang pagsubok ay upang gumuhit ng isang bola nang random mula sa urn. Ang kaganapang $A$ ay itinuturing na "hitsura ng puting bola". Kalkulahin ang posibilidad ng kaganapan $A$.

Sa panahon ng pagsubok, maaaring alisin ang alinman sa walong bola. Ang lahat ng mga kaganapang ito ay elementarya, dahil hindi sila magkatugma at bumubuo ng isang kumpletong grupo. Malinaw din na ang lahat ng mga kaganapang ito ay pantay na posible. Kaya, upang kalkulahin ang posibilidad na $P\left(A\right)$, maaari naming ilapat ang klasikal na kahulugan nito. Bilang solusyon, mayroon kaming: $n=8$, $m=3$, at ang posibilidad na kunin ang eksaktong puti mula sa mga bola ay magiging katumbas ng $P\left(A\right)=\frac(3)(8 ) $.

Ang mga sumusunod na katangian ay sumusunod mula sa klasikal na kahulugan ng posibilidad:

• ang posibilidad ng isang partikular na kaganapan $V$ ay palaging katumbas ng isa, ibig sabihin, $P\left(V\right)=1$; ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang isang partikular na kaganapan ay pinapaboran ng lahat ng elementarya na mga kaganapan, ibig sabihin, $m=n$;
• ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan $H$ ay palaging katumbas ng zero, ibig sabihin, $P\left(H\right)=0$; ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na wala sa mga elementarya ang pumapabor sa isang imposibleng kaganapan, ibig sabihin, $m=0$;
• ang posibilidad ng anumang random na kaganapan $A$ ay palaging nakakatugon sa kundisyon $0

Kaya, sa pangkalahatang kaso ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay $0\le P\left(A\right)\le 1$.

Relatibong dalas at katatagan nito

Kahulugan 1

Ipagpalagay natin na ito ay medyo malaking bilang ng mga pagsusulit, na ang bawat isa ay maaaring mangyari o hindi tiyak na kaganapan$A$. Ang ganitong mga pagsubok ay tinatawag na isang serye ng mga pagsubok.

Ipagpalagay na ang isang serye ng $n$ na pagsubok ay pinapatakbo kung saan ang kaganapang $A$ ay nagaganap ng $m$ na beses. Dito ang bilang na $m$ ay tinatawag na absolute frequency ng event na $A$, at ang ratio na $\frac(m)(n) $ ay tinatawag na relative frequency ng event na $A$. Halimbawa, sa $n=20$ na mga pamatay ng apoy na ginamit sa panahon ng sunog, ang $m=3$ na mga pamatay ng apoy ay hindi gumana (kaganapang $A$). Dito ang $m=3$ ay ang absolute frequency ng event na $A$, at ang $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ ay ang relative frequency.

Praktikal na karanasan at bait Iminumungkahi na para sa maliit na $n$ ang mga halaga ng kamag-anak na dalas ay hindi maaaring maging matatag, ngunit kung ang bilang ng mga pagsubok ay nadagdagan, ang mga halaga ng kamag-anak na dalas ay dapat magpatatag.

Halimbawa #2.

Para lumahok sa koponan, pipili ang coach ng limang lalaki sa sampu. Sa ilang paraan siya makakabuo ng isang koponan kung ang dalawang partikular na lalaki na bumubuo sa gulugod ng koponan ay dapat na nasa koponan?

Alinsunod sa kondisyon ng problema, dalawang batang lalaki ang papasok kaagad sa koponan. Samakatuwid, nananatiling pumili ng tatlong lalaki sa walo. Sa kasong ito, ang komposisyon lamang ang mahalaga, dahil ang mga tungkulin ng lahat ng miyembro ng koponan ay hindi naiiba. Nangangahulugan ito na nakikipag-ugnayan tayo sa mga kumbinasyon.

Ang mga kumbinasyon ng $n$ na elemento sa pamamagitan ng $m$ ay mga kumbinasyong binubuo ng $m$ na mga elemento at naiiba sa isa't isa ng hindi bababa sa isang elemento, ngunit hindi ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga elemento.

Ang bilang ng mga kumbinasyon ay kinakalkula ng formula na $C_(n)^(m) =\frac(n{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!}

Kaya ang dami iba't-ibang paraan bumubuo ng isang koponan sa dami ng tatlong lalaki, pinipili sila mula sa walong lalaki - ito ang bilang ng mga kumbinasyon ng 8 elemento ng 3:

$C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!}

Halimbawa #3

15 na libro ang random na inilalagay sa istante sa opisina, 5 sa mga ito ay nasa algebra. Ang guro ay kumukuha ng tatlong libro nang random. Hanapin ang posibilidad na kahit isa sa mga librong kinuha ay nasa algebra.

Ang mga kaganapang $A$ (kahit isa sa tatlong aklat na kinuha ay isang algebra book) at $\bar(A)$ (wala sa tatlong aklat na kinuha ay isang algebra book) ay magkasalungat, kaya P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. Kaya P(A) = 1-P($\bar(A)$). Kaya, ang kinakailangang probabilidad P(A) = 1 - $C_(10)^(3) \, /C_(15)^(3) \, $= 1 - 24/91 = 67/91.

Halimbawa #4

Sa dalawampung kumpanya ng joint-stock, apat ang dayuhan. Bumili ang isang mamamayan ng isang bahagi ng anim na kumpanya ng joint-stock. Ano ang posibilidad na ang dalawa sa biniling share ay magiging share ng mga dayuhang kumpanya ng joint-stock?

Ang kabuuang bilang ng mga kumbinasyon ng pagpili ng joint-stock na kumpanya ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 20 hanggang 6, ibig sabihin, $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $. Ang bilang ng mga kanais-nais na resulta ay tinukoy bilang produkto ng $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^( (\rm 4) ) $, kung saan ang unang salik ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga kumbinasyon na pinili ng mga dayuhang kumpanya ng joint-stock sa apat. Ngunit sa bawat ganitong kumbinasyon, ang mga joint-stock na kumpanya na hindi dayuhan ay maaaring matugunan. Ang bilang ng mga kumbinasyon ng naturang joint-stock na kumpanya ay magiging $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $. Samakatuwid, ang gustong probabilidad ay isinulat bilang $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\ rm 16 ))^((\rm 4)) )((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) ) =0.28$.

Halimbawa #5

Mayroong 4 na hindi karaniwang bahagi sa isang batch ng 18 bahagi. 5 piraso ay pinili nang random. Hanapin ang posibilidad na ang dalawa sa 5 bahaging ito ay hindi pamantayan.

Ang bilang ng lahat ng pantay na posibleng hindi tugmang resulta $n$ ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 18 hanggang 5, i.e. $n=C_(18)^(5) =8568$.

Bilangin natin ang bilang ng mga kinalabasan $m$ na pumapabor sa kaganapang A. Sa 5 mga detalyeng kinuha nang random, dapat mayroong 3 pamantayan at 2 hindi pamantayan. Ang bilang ng mga paraan upang magsampol ng dalawa ay hindi karaniwang mga bahagi sa 4 na available na hindi karaniwan ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 4 hanggang 2: $C_(4)^(2) =6$.

Ang bilang ng mga paraan upang pumili ng tatlong karaniwang bahagi mula sa 14 na available na karaniwang bahagi ay $C_(14)^(3) =364$.

Anumang pangkat ng mga karaniwang bahagi ay maaaring isama sa anumang pangkat ng mga hindi karaniwang bahagi, kaya ang kabuuang bilang ng mga kumbinasyon $m$ ay $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 \cdot 364=2184$.

Ang gustong probabilidad ng kaganapan A ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga resulta $m$ na pumapabor sa kaganapan sa bilang na $n$ ng lahat ng pantay na posibilidad at mga pangyayaring hindi magkatugma$P(A)=\frac(2184)(8568) =0.255.$

Halimbawa #6.

Ang isang urn ay naglalaman ng 5 itim at 6 na puting bola. 4 na bola ay random na iginuhit. Hanapin ang posibilidad na mayroong kahit isang puting bola sa kanila.

Hayaan ang kaganapan na $$ ay hindi bababa sa isang puti sa mga iginuhit na bola.

Isipin mo kasalungat na pangyayari$\bar()$ - wala sa mga iginuhit na bola ay puti. Kaya lahat ng 4 na bola na iginuhit ay itim.

Gumagamit kami ng mga pormula ng combinatorics.

Bilang ng mga paraan upang makalabas ng apat na bola sa labing-isa:

$n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!}

Bilang ng mga paraan upang maglabas ng apat na itim na bola sa labing-isa:

$m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!}

Nakukuha namin ang: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $.

Sagot: Ang posibilidad na walang puting bola sa apat na bolang iginuhit ay katumbas ng $\frac(65)(66) $.

Kahulugan. Papasukin n paulit-ulit na mga eksperimento (mga pagsubok) ilang kaganapan A dumating n A minsan.

Numero n A tinatawag na dalas ng pangyayari A , at ang ratio

ay tinatawag na relatibong dalas (o dalas) ng kaganapan A sa seryeng ito ng mga pagsubok.

Mga katangian ng kaugnay na dalas

Ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay may mga sumusunod na katangian.

1. Ang dalas ng anumang kaganapan ay nasa hanay mula sa zero hanggang isa, i.e.

2. Ang dalas ng isang imposibleng kaganapan ay zero, i.e.

3. Ang dalas ng isang tiyak na kaganapan ay 1, i.e.

4. Ang dalas ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugmang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga frequency (mga frequency) ng mga kaganapang ito, i.e. kung =Ø, kung gayon

May dalas ari-arian , tinatawag na property katatagan ng istatistika : na may pagtaas sa bilang ng mga eksperimento (ibig sabihin, may pagtaas n ) ang dalas ng isang kaganapan ay tumatagal ng mga halaga na malapit sa posibilidad ng kaganapang ito R .

Kahulugan. Ang posibilidad ng istatistika ng kaganapan A ang numero sa paligid kung saan ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay nagbabago ay tinatawag A sa sapat malalaking numero mga pagsubok (mga eksperimento) n .

Probability ng Kaganapan A ipinapahiwatig ng simbolo R (A ) o R (A ). Ang hitsura ng liham bilang simbolo ng konsepto ng "probability" R tinutukoy ng presensya nito sa unang lugar sa salitang Ingles probabilidad - posibilidad.

Ayon kay depinisyon na ito

Statistical Probability Properties

1. Statistical Probability anumang kaganapan A ay nasa pagitan ng zero at isa, i.e.

2. Estadistika na posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ( A= Ø) ay katumbas ng zero, ibig sabihin.

3. Statistical probability ng isang partikular na kaganapan ( A= Ω) ay katumbas ng isa, ibig sabihin,

4. Statistical Probability Sum hindi magkatugma ang mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, i.e. Kung A B= Ø, pagkatapos

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad

Hayaang maisagawa ang eksperimento sa n mga kinalabasan na maaaring ilarawan bilang isang pangkat ng mga hindi magkatugma na may posibilidad na mga kaganapan. Ang kaso na nagiging sanhi ng kaganapan A , ay tinatawag na paborable o paborable, i.e. nangyayari w nagiging sanhi ng isang pangyayari A , wa .

Kahulugan. Probability ng isang kaganapan A tinatawag na ratio ng numero m mga kaso na paborable sa kaganapang ito, sa kabuuang bilang n kaso, i.e.

Mga katangian ng "klasikal" na posibilidad

1. Axiom hindi negatibiti : posibilidad ng anumang kaganapan A ay hindi negatibo, i.e.

R(A) ≥ 0.

2. Axiom normalisasyon : posibilidad ng ilang pangyayari ( A= Ω) ay katumbas ng isa:

3. Axiom pagkakadagdag : ang posibilidad ng kabuuan hindi magkatugma ang mga kaganapan (o ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan) ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, i.e. Kung A B=Ø, pagkatapos

Probability ng Event: R() = 1 – R(A).

Para sa posibilidad ng isang kaganapan na ang kabuuan anuman dalawang pangyayari A At SA, ang tamang formula ay:

Kung mga pangyayari A At SA hindi maaaring mangyari bilang isang resulta ng isang pagsubok sa parehong oras, i.e. sa madaling salita, kung A B – imposibleng pangyayari, pagkatapos ay tinawag sila hindi magkatugma o hindi magkatugma , at pagkatapos R(A B) = 0 at ang pormula para sa posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan ay nasa isang partikular na simpleng anyo:

Kung ang mga pangyayari A At SA ay maaaring mangyari bilang isang resulta ng isang pagsubok, ang mga ito ay tinatawag magkatugma .

Kapaki-pakinabang na Algorithm

Kapag naghahanap ng mga probabilidad gamit ang klasikal na kahulugan ng probabilidad, dapat sundin ang sumusunod na algorithm.

1. Kinakailangang malinaw na maunawaan kung ano ang eksperimento.

2. Malinaw na sabihin kung ano ang kaganapan A, ang posibilidad na matagpuan.

3. Malinaw na bumalangkas kung ano ang bubuo ng isang elementarya na kaganapan sa problemang isinasaalang-alang. Ang pagkakaroon ng pagbabalangkas at pagtukoy ng isang elementarya na kaganapan, dapat suriin ng isa ang tatlong kundisyon, na dapat matugunan ng isang hanay ng mga resulta, i.e. Ω.

6. Pagsunod klasikal na kahulugan probabilidad, matukoy

Kapag nilulutas ang mga problema ang pinakakaraniwang pagkakamali ay isang malabo na pag-unawa sa kung ano ang kinuha bilang isang elementarya na kaganapan w , at ang kawastuhan ng pagbuo ng set at ang kawastuhan ng pagkalkula ng posibilidad ng isang kaganapan ay nakasalalay dito. Karaniwan, sa pagsasagawa, ang pinakasimpleng kinalabasan ay kinuha bilang isang elementarya na kaganapan, na hindi maaaring "hatiin" sa mas simple.

Kamag-anak na dalas. Relatibong katatagan ng dalas

Ang kamag-anak na dalas, kasama ang posibilidad, ay kabilang sa mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad.

Kamag-anak na dalas Ang mga kaganapan ay tumutukoy sa ratio ng bilang ng mga pagsubok kung saan naganap ang kaganapan sa kabuuang bilang ng mga pagsubok na aktwal na ginawa. Kaya, ang kamag-anak na dalas ng kaganapan A ay tinutukoy ng formula

kung saan ang m ay ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan, n ay ang kabuuang bilang ng mga pagsubok.

Ang paghahambing ng mga kahulugan ng probabilidad at kamag-anak na dalas, napagpasyahan namin: ang kahulugan ng probabilidad ay hindi nangangailangan na ang mga pagsubok ay isagawa sa katotohanan; ang pagpapasiya ng relatibong dalas ay ipinapalagay na ang mga pagsusulit ay aktwal na isinagawa. Sa madaling salita, ang posibilidad ay kinakalkula bago ang karanasan, at ang relatibong dalas pagkatapos ng karanasan.

Halimbawa 1. Nakahanap ang departamento ng teknikal na kontrol ng 3 hindi karaniwang bahagi sa isang batch ng 80 random na napiling mga bahagi. Kamag-anak na dalas ng paglitaw ng mga di-karaniwang bahagi

Halimbawa 2 24 na putok ang nagpaputok sa target, at 19 na tama ang naitala. Relatibong hit rate

Ang mga pangmatagalang obserbasyon ay nagpakita na kung ang mga eksperimento ay isinasagawa sa ilalim ng parehong mga kondisyon, sa bawat isa kung saan ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki, kung gayon ang kamag-anak na dalas ay nagpapakita ng pag-aari ng katatagan. Ang ari-arian na ito ay ano sa iba't ibang karanasan ang kamag-anak na dalas ay bahagyang nagbabago (mas kaunti, mas maraming pagsubok ang ginagawa), na nagbabago sa paligid ng isang tiyak na pare-parehong numero. Ito ay lumabas na ang pare-parehong bilang na ito ay ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan.

Kaya, kung empirically ang kamag-anak na dalas ay nakatakda, pagkatapos ay ang resultang numero ay maaaring kunin bilang isang tinatayang halaga ng posibilidad.

Ang kaugnayan sa pagitan ng relatibong dalas at posibilidad ay ilalarawan nang mas detalyado at mas tiyak sa ibaba. Ngayon ilarawan natin ang katangian ng katatagan na may mga halimbawa.

Halimbawa 3 Ayon sa istatistika ng Suweko, ang kamag-anak na dalas ng kapanganakan ng mga batang babae noong 1935 sa pamamagitan ng mga buwan ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga sumusunod na numero (ang mga numero ay nakaayos sa pagkakasunud-sunod ng mga buwan, simula sa Enero): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473.

Ang relatibong dalas ay nagbabago sa paligid ng bilang na 0.482, na maaaring kunin bilang isang tinatayang halaga para sa posibilidad na magkaroon ng mga batang babae.

Tandaan na ang mga istatistika iba't ibang bansa magbigay ng humigit-kumulang sa parehong halaga ng relatibong dalas.

Halimbawa 4. Ang mga paulit-ulit na eksperimento ay isinagawa sa paghahagis ng barya, na binibilang ang bilang ng mga paglitaw ng "coat of arms". Ang mga resulta ng ilang mga eksperimento ay ibinigay sa talahanayan. 1.

Dito, ang mga kamag-anak na frequency ay bahagyang lumihis mula sa bilang na 0.5, at ang kasalukuyang ay mas mababa sa mas maraming numero mga pagsubok. Halimbawa, sa 4040 na pagsubok, ang paglihis ay 0.0069, at sa 24,000 na pagsubok ito ay 0.0005 lamang. Isinasaalang-alang na ang posibilidad ng isang "coat of arms" na lumitaw kapag ang isang barya ay inihagis ay 0.5, muli nating nakikita na ang relatibong dalas nagbabago sa paligid ng posibilidad.