Bestimmung 3. Ein Rotationskörper ist ein Körper, der durch Drehen einer flachen Figur um eine Achse entsteht, die die Figur nicht schneidet und mit ihr in derselben Ebene liegt.

Die Rotationsachse kann die Figur auch schneiden, wenn sie die Symmetrieachse der Figur ist.

Satz 2.
, Achse
und gerade Liniensegmente
und

dreht sich um eine Achse
. Dann kann das Volumen des resultierenden Rotationskörpers nach der Formel berechnet werden

(2)

Nachweisen. Für einen solchen Körper der Schnitt mit der Abszisse ist ein Kreis mit Radius
, meint
und Formel (1) ergibt das gewünschte Ergebnis.

Wenn die Figur durch die Graphen zweier stetiger Funktionen begrenzt ist
und
, und Liniensegmente
und
, Außerdem
und
, dann erhalten wir beim Drehen um die Abszissenachse einen Körper, dessen Volumen

Beispiel 3 Berechnen Sie das Volumen eines Torus, den Sie erhalten, indem Sie einen von einem Kreis begrenzten Kreis drehen

um die x-achse.

R Lösung. Der angegebene Kreis wird von unten durch den Graphen der Funktion begrenzt
, und darüber -
. Die Differenz der Quadrate dieser Funktionen:

Gewünschtes Volumen

(Der Graph des Integranden ist der obere Halbkreis, also ist das oben geschriebene Integral die Fläche des Halbkreises).

Beispiel 4 Parabelsegment mit Sockel
, und Höhe , dreht sich um die Basis. Berechnen Sie das Volumen des resultierenden Körpers ("Zitrone" von Cavalieri).

R Lösung. Platzieren Sie die Parabel wie in der Abbildung gezeigt. Dann seine Gleichung
, und
. Suchen wir den Wert des Parameters :
. Also die gewünschte Lautstärke:

Satz 3. Lassen Sie ein krummliniges Trapez durch den Graphen einer kontinuierlichen nicht negativen Funktion begrenzt
, Achse
und gerade Liniensegmente
und
, Außerdem
, rotiert um eine Achse
. Dann kann das Volumen des resultierenden Rotationskörpers durch die Formel gefunden werden

(3)

Beweis Idee. Teilen des Segments
Punkte

, in Teile und zeichne gerade Linien
. Das gesamte Trapez wird in Streifen zerlegt, die ungefähr als Rechtecke mit einer Basis betrachtet werden können
und Höhe
.

Der aus der Drehung eines solchen Rechtecks ​​entstehende Zylinder wird entlang der Mantellinie geschnitten und entfaltet. Wir erhalten ein „fast“ Parallelepiped mit den Abmessungen:
,
und
. Sein Volumen
. Für das Volumen eines Rotationskörpers haben wir also eine ungefähre Gleichheit

Um exakte Gleichheit zu erhalten, müssen wir zum Grenzwert bei übergehen
. Die oben geschriebene Summe ist die Integralsumme für die Funktion
, daher erhalten wir im Grenzwert das Integral aus Formel (3). Der Satz ist bewiesen.

Bemerkung 1. In Satz 2 und 3 ist die Bedingung
weggelassen werden: Formel (2) ist im Allgemeinen vorzeichenunempfindlich
, und in Formel (3) ist es ausreichend
ersetzt durch
.

Beispiel 5 Parabelsegment (Basis
, Höhe ) dreht sich um die Höhe. Finden Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

Entscheidung. Ordnen Sie die Parabel wie in der Abbildung gezeigt an. Und obwohl die Rotationsachse die Figur schneidet, ist sie – die Achse – die Symmetrieachse. Daher sollte nur die rechte Hälfte des Segments betrachtet werden. Parabelgleichung
, und
, meint
. Wir haben für Volumen:

Bemerkung 2. Wenn die krummlinige Grenze eines krummlinigen Trapezes durch die parametrischen Gleichungen gegeben ist
,
,
und
,
dann können die Formeln (2) und (3) mit der Ersetzung verwendet werden auf der
und
auf der
wenn es sich ändert t aus
Vor .

Beispiel 6 Die Figur wird durch den ersten Bogen der Zykloide begrenzt
,
,
, und die Abszissenachse. Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie diese Figur drehen um: 1) die Achse
; 2) Achsen
.

Entscheidung. 1) Allgemeine Formel
In unserem Fall:

2) Allgemeine Formel
Für unsere Figur:

Wir ermutigen die Schüler, alle Berechnungen selbst durchzuführen.

Bemerkung 3. Lassen Sie einen krummlinigen Sektor durch eine durchgehende Linie begrenzt
und Strahlen
,

, dreht sich um die Polachse. Das Volumen des resultierenden Körpers kann nach der Formel berechnet werden.

Beispiel 7 Teil einer Figur, begrenzt durch eine Niere
, außerhalb des Kreises liegend
, dreht sich um die Polachse. Finden Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

Entscheidung. Beide Linien und damit die von ihnen begrenzte Figur sind symmetrisch zur Polachse. Daher ist es notwendig, nur den Teil zu betrachten, für den
. Die Kurven schneiden sich bei
und

beim
. Darüber hinaus kann die Zahl als Differenz zweier Sektoren betrachtet werden, und daher kann das Volumen als Differenz zweier Integrale berechnet werden. Wir haben:

Aufgaben für eine eigenständige Lösung.

1. Ein Kreissegment, dessen Basis
, Höhe , dreht sich um die Basis. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

2. Finden Sie das Volumen eines Rotationsparaboloids, dessen Basis , und die Höhe ist .

3. Figur, die von einem Astroiden begrenzt wird
,
rotiert um die x-Achse. Finden Sie das Volumen des Körpers, das in diesem Fall erhalten wird.

4. Figur durch Linien begrenzt
und
rotiert um die x-Achse. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

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Körper der Revolution nennen Körper, die entweder durch eine Rotationsfläche oder durch eine Rotationsfläche und eine Ebene begrenzt sind (Abbildung 134). Unter Rotationsfläche versteht man die Fläche, die man aus der Rotation einer Geraden ( ABCDE ), flach oder räumlich, genannt Erzeugende, um eine feste Linie ( ich ) - Rotationsachsen.

Abbildung 134

Jeder Punkt auf der Erzeugenden der Rotationsfläche beschreibt einen Kreis, der sich in einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse befindet - parallel, also schneidet die Ebene senkrecht zur Rotationsachse die Rotationsfläche immer auf einem Kreis. Die größte Parallele - Äquator. Die kleinste Parallele - Kehle(Nacken).

Die Ebenen, die durch die Rotationsachse gehen, werden genannt meridionale Ebenen.

In einer komplexen Zeichnung erfolgt die Darstellung von Rotationskörpern durch die Darstellung der Kanten der Grundflächen und Linien der Flächenumrisse.

Die Schnittlinien von Meridionalebenen mit der Oberfläche werden genannt Meridiane.

Die Meridianebene parallel zur Projektionsebene wird genannt Hauptmeridianebene. Die Schnittlinie mit der Oberfläche - Nullmeridian.

Gerader Kreiszylinder. Ein gerader Kreiszylinder (Abbildung 135) ist ein Körper, der von einer zylindrischen Rotationsfläche und zwei Kreisen begrenzt wird - die Basen des Zylinders befinden sich in Ebenen senkrecht zur Zylinderachse. Zylindrische Rotationsfläche wird die Oberfläche genannt, die durch Drehen einer geradlinigen Erzeugenden erhalten wird AA 1 um eine feste, parallel dazu verlaufende Gerade - ich (Drehachse). Die einen geraden Kreiszylinder charakterisierenden Maße sind sein Durchmesser Gleichstrom und Höhe l (Abstand zwischen den Böden des Zylinders).

Abbildung 135

Ein gerader Kreiszylinder kann auch als Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines Rechtecks ​​entsteht. A B C D um eine seiner Seiten, zum Beispiel Sonne (Abbildung 136). Seite Sonne ist die Rotationsachse und die Seite ANZEIGE - Erzeugende des Zylinders. Die anderen beiden Seiten markieren die Basen des Zylinders.

Abbildung 136

Rechteck AB und CD Wenn sie gedreht werden, bilden sie Kreise - die Basen des Zylinders.

Konstruktion von Zylindervorsprüngen.

Die Konstruktion horizontaler und frontaler Projektionen des Zylinders beginnt mit dem Bild der Basis des Zylinders, d. H. Zwei Projektionen des Kreises (siehe Abbildung 135, b). Da der Kreis in einer Ebene liegt H , dann wird es unverzerrt auf diese Ebene projiziert. Die Frontalprojektion eines Kreises ist ein Segment einer horizontalen geraden Linie gleich dem Durchmesser des Grundkreises.

Nach dem Bau der Basis auf der Frontalprojektion zwei Sketch-Generatoren(Extremgeneratoren) und darauf ist die Höhe des Zylinders aufgetragen. Es wird ein Segment einer horizontalen Linie gezeichnet, die eine Frontalprojektion der oberen Basis des Zylinders ist (Abbildung 135, c).

Bestimmung der fehlenden Projektionen der auf der Oberfläche des Zylinders befindlichen Punkte A und B gemäß vorgegebener Frontalprojektionen in dieser Fall bereitet keine Schwierigkeiten, da die gesamte horizontale Projektion der Mantelfläche des Zylinders ein Kreis ist (Abbildung 137, a). Daher die horizontalen Projektionen der Punkte SONDERN und BEIM können durch Wischen von den angegebenen Punkten aus gefunden werden EIN"" und B"" vertikale Kommunikationslinien, bis sie den Kreis an den gewünschten Punkten schneiden EIN" und B".

Profilprojektionen von Punkten SONDERN und BEIM Sie werden auch unter Verwendung vertikaler und horizontaler Kommunikationsleitungen gebaut.

Isometrische Ansicht eines Zylinders zeichnen, wie in Abbildung 137, b.

Im isometrischen Punkt SONDERN und BEIM gebaut nach ihren Koordinaten. Zum Beispiel, um einen Punkt zu bauen BEIM vom Ursprung Ö entlang der Achse x verschieben Sie die Koordinate ∆x , und dann wird eine gerade Linie durch sein Ende gezogen, parallel zur Achse beim , bis sie die Basiskontur an dem Punkt schneidet 2 . Von diesem Punkt aus wird parallel zur z-Achse eine Gerade gezogen, auf der die Koordinate aufgetragen wird Z B , Punkte BEIM .

Abbildung 137

Gerade Kreiskegel . Ein gerader Kreiskegel (Abbildung 138) ist ein Körper, der von einer konischen Rotationsfläche und einem Kreis begrenzt wird, der in einer Ebene senkrecht zur Kegelachse liegt. konische Oberfläche erhalten durch Drehen einer geradlinigen Erzeugenden SA (Abbildung 138, a), auf der Durchreise FixpunktS auf der Rotationsachse ich und einen konstanten Winkel mit dieser Achse bilden. Punkt S namens die Spitze des Kegels, und die Kegelfläche ist die Mantelfläche des Kegels. Die Größe eines geraden Kreiskegels charakterisiert den Durchmesser seiner Grundfläche D K und Höhe H .

Abbildung 138

Ein gerader Kreiskegel kann auch als Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechtwinkligen Dreiecks entsteht SAB um sein Bein SB (Abbildung 139). Mit dieser Rotation beschreibt die Hypotenuse konische Oberfläche, und das Bein AB - Kreis, d.h. die Basis des Kegels.

Abbildung 139

Konstruktion von Kegelvorsprüngen.

Die Abfolge der Konstruktion von zwei Projektionen des Kegels ist in Abbildung 167, b und c dargestellt. Zuerst werden zwei Vorsprünge der Basis gebaut. Die horizontale Projektion der Basis ist ein Kreis. Die Frontalprojektion ist ein Segment einer horizontalen Linie, die dem Durchmesser dieses Kreises entspricht (Abbildung 138, b). Auf der Frontalprojektion wird von der Mitte der Basis aus eine Senkrechte errichtet und die Höhe des Kegels darauf gelegt (Abbildung 138, c). Die resultierende Frontalprojektion der Spitze des Kegels wird durch gerade Linien mit den Enden der Frontalprojektion der Basis verbunden und eine Frontalprojektion des Kegels wird erhalten.

Konstruieren von Punkten auf der Oberfläche eines Kegels

Wenn eine Punktprojektion auf die Oberfläche des Kegels gegeben ist SONDERN (z. B. die Frontalprojektion in Abbildung 140), dann werden die beiden anderen Projektionen dieses Punktes mithilfe von Hilfslinien bestimmt - einer Erzeugenden, die sich auf der Oberfläche des Kegels befindet und durch den Punkt gezogen wird SONDERN , oder ein Kreis, der in einer Ebene parallel zur Basis des Kegels liegt.

Abbildung 140

Im ersten Fall (Abbildung 140, a) durch den Punkt EIN eine Frontalprojektion durchführen 1""S"" Hilfsgeneratrix. Verwenden einer vertikalen Kommunikationslinie, die vom Punkt aus gezogen wird 1 , die sich auf der Frontalprojektion des Grundkreises befinden, finden Sie die horizontale Projektion 1" diese Erzeugende, auf der mit Hilfe einer durchgehenden Kommunikationsleitung EIN" , finden angestrebte Stelle EIN .

Im zweiten Fall (Abbildung 140, b) eine Hilfslinie, die durch den Punkt verläuft SONDERN , befindet sich ein Kreis auf einer Kegelfläche und parallel zur Ebene H - parallel. Die Frontalprojektion dieses Kreises ist als Segment dargestellt 1""1"" horizontale Gerade, deren Wert gleich dem Durchmesser des Hilfskreises ist. Gewünschte horizontale Projektion EIN" Punkte SONDERN befindet sich am Schnittpunkt der Kommunikationsleitung, abgesenkt vom Punkt EIN" , mit horizontaler Projektion des Hilfskreises.

Wenn eine gegebene Frontalprojektion 1"" Punkte 1 auf der Kontur (Umriss) Mantellinie befindet, dann ist die horizontale Projektion des Punktes ohne Hilfslinien.

BEIM isometrische Ansicht Punkt SONDERN , befindet sich auf der Oberfläche des Kegels, ist in drei Koordinaten aufgebaut (siehe Abbildung 140, c):  X ,  Y und Z SONDERN Ö entlang der Achse X verzögerte Koordinate  X  Y z Z SONDERN SONDERN .

Ball. Eine Kugel (Abbildung 141) ist ein Körper, der durch Drehen eines Halbkreises entsteht ABC (Erzeugung) um seinen Durchmesser AC (Rotationsachse) und die Fläche, die der Bogen in diesem Fall beschreibt ABC , heißt sphärisch oder sphärisch. Eine Kugel bezieht sich auf Körper, die nur durch eine Rotationsfläche begrenzt sind.

Abbildung 141

Ball(sphärische) Oberfläche ist der Ort von Punkten, die von einem Punkt gleich weit entfernt sind Ö namens Kugelzentrum. Wenn die Kugel von horizontalen Ebenen geschnitten wird, werden Kreise im Abschnitt erhalten - Parallelen. Die größte der Parallelen hat einen Durchmesser gleich dem Durchmesser der Kugel. Ein solcher Kreis heißt Äquator. Die Kreise, die als Ergebnis von Schnitten der Kugel durch Ebenen erhalten werden, die durch ihre Rotationsachse verlaufen, werden genannt Meridiane.

Konstruktion von Vorsprüngen des Balls und Punkten auf seiner Oberfläche

Die Projektionen der Kugel sind in Abbildung 142, a dargestellt. Horizontale und frontale Projektionen - Kreise mit einem Radius gleich dem Radius der Kugel.

Abbildung 142

Wenn Punkt SONDERN befindet sich auf sphärische Oberfläche, dann die Hilfslinie 1"" 2"" , durch diesen Punkt parallel zur Achse gezogen Oh (parallel), wird durch einen Kreis auf die horizontale Projektionsebene projiziert. Auf der horizontalen Projektion des Hilfskreises wird die gewünschte horizontale Projektion unter Verwendung der Kommunikationslinie gefunden EIN" Punkte SONDERN .

Der Wert des Durchmessers des Hilfskreises ist gleich der Frontalprojektion 1""2"" .

Axonometrisches Bild Kugeln (Kugel) hat die Form eines Kreises (Abbildung 142 b), dessen Radius geometrisch definiert ist als der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Projektion des Äquators (Ellipse) entlang seiner Hauptachse (senkrecht zu Unze ).

In axonometrischer Projektion ein Punkt SONDERN , das sich auf der Oberfläche des Balls befindet, wird nach drei Koordinaten aufgebaut: X SONDERN ,Y SONDERN und Z SONDERN . Diese Koordinaten werden sequentiell in Richtungen parallel zu den isometrischen Achsen aufgetragen. Im betrachteten Beispiel vom Punkt Ö entlang der Achse X verzögerte Koordinate X SONDERN ; Von seinem Ende wird parallel zur y-Achse eine Gerade gezogen, auf der die Koordinate aufgetragen ist Y SONDERN ; vom Ende des Segments, parallel zur Achse z Es wird eine Gerade gezogen, auf der die Koordinate aufgetragen wird Z SONDERN . Als Ergebnis der Konstruktionen erhalten wir den gewünschten Punkt SONDERN .

Thor- ein Körper (Abbildung 143), der durch Drehung eines Kreises oder seines Bogens um eine Achse gebildet wird, die in derselben Ebene mit ihm liegt, aber nicht durch den Mittelpunkt des Kreises oder seines Bogens verläuft.

Abbildung 143

Wenn die Rotationsachse den erzeugenden Kreis nicht schneidet, wird der Torus genannt Ring(offener Torus) (Abbildung 143, a). Wenn die Rotationsachse den erzeugenden Kreis schneidet, stellt sich heraus tonnenförmiger Torus(geschlossener Torus oder schneidender Torus) (Abbildung 143, b). Im letzteren Fall ist die Erzeugende der Torusoberfläche der Bogen ABC Kreise.

Der größte der Kreise, die die Punkte der Erzeugenden der Torusoberfläche beschreiben, wird genannt Äquator, und die kleinste Kehle, oder Hals.

Konstruktion von Torusprojektionen

Ein kreisförmiger Ring (oder ein offener Torus) hat eine horizontale Projektion in Form von zwei konzentrischen Kreisen, deren Radienunterschied gleich der Dicke des Rings oder dem Durchmesser des erzeugenden Kreises ist (Abbildung 145). Die Frontalprojektion wird rechts und links durch Halbkreisbögen vom Durchmesser des erzeugenden Kreises begrenzt.

Abbildung 144, a und b zeigt zwei Arten eines geschlossenen Torus. Im ersten Fall der erzeugende Bogen eines Kreises mit Radius R von der Rotationsachse in einem Abstand entfernt, der kleiner als der Radius ist R , und im zweiten Fall - mehr. In beiden Fällen sind die Frontalprojektionen des Torus eine reale Ansicht von zwei erzeugenden Bögen eines Radiuskreises R symmetrisch zur Frontalprojektion der Rotationsachse angeordnet. Die Profilprojektionen des Torus sind Kreise.

Abbildung 144

Konstruieren von Punkten auf der Oberfläche eines Torus

In dem Fall, wo der Punkt SONDERN auf der Oberfläche eines Kreisrings liegt und eine seiner Projektionen gegeben ist, wird zur Ermittlung der zweiten Projektion dieses Punktes ein durchlaufender Hilfskreis verwendet gegebener Punkt SONDERN und auf der Oberfläche des Rings in einer Ebene senkrecht zur Achse des Rings angeordnet (Abbildung 145).

Wenn Frontalprojektion eingestellt ist EIN"" Punkte SONDERN auf der Oberfläche des Rings liegen, um dann seinen zweiten Vorsprung (in diesem Fall horizontal) hindurch zu finden EIN" Führen Sie eine Frontalprojektion des Hilfskreises durch - ein Segment einer horizontalen geraden Linie 2""2"" . Erstellen Sie dann eine horizontale Projektion 2"2" diesen Kreis und darauf, mithilfe einer Kommunikationslinie, einen Punkt finden EIN" .

Wenn die horizontale Projektion gegeben ist B" Punkte B befindet sich auf der Oberfläche dieses Rings, um dann die Frontalprojektion dieses Punktes durch zu finden 1" Führen Sie eine horizontale Projektion des Hilfskreisradius durch R 1 . Dann durch die linken und rechten Punkte 1" und 1" von diesem Kreis werden vertikale Kommunikationslinien gezeichnet, bis sie sich mit den Frontalprojektionen der Skizzenerzeugenden des Radiuskreises schneiden R und Punkte bekommen 1"" und 1"" . Diese Punkte sind durch eine horizontale Linie verbunden, die eine Frontalprojektion des Hilfskreises ist (er wird sichtbar sein). Zeichnen einer vertikalen Linie von einem Punkt aus B" bis zum Schnittpunkt mit der Linie 1""1"" den gewünschten Punkt bekommen B"" .

Dieselben Konstruktionstechniken sind auf Punkte anwendbar, die sich auf der Oberfläche des Torus befinden.

Abbildung 145

Erstellen eines axonometrischen Bildes Der Torus kann in drei Stufen unterteilt werden (Abbildung 146). Zunächst wird eine Projektion der radialen Achsenlinie (der Trajektorie des Zentrums des erzeugenden Kreises) in Form einer Ellipse konstruiert. Dann bestimmen wir den Radius der Kugel, die den Torus entlang der Erzeugenden (Kreis) berührt. Dazu bauen wir die Projektion der frontalen Skizzenmantellinie des Torus in Form einer kleineren Ellipse auf. Der Radius der Kugel ist als Länge des Segments definiert Ö 1 F vom Zentrum der Ellipse zu einem Punkt auf dieser Ellipse, der auf der Hauptachse der Ellipse liegt (senkrecht Ey ). Als nächstes bauen wir eine große Anzahl von Kreisen mit einem Radius R Kugeln mit Zentren auf der Projektion des radialen axialen Torus Ö 1 … Ö n (je mehr, desto genauer die Kontur des zukünftigen Torus). Schließlich zeichnen wir die Konturlinie des Torus als eine Linie, die jeden Kreis der Kugel tangiert.

Abbildung 146

BEIM axonometrische Projektion Punkt SONDERN , das sich auf der Oberfläche des Torus befindet, wird nach drei Koordinaten aufgebaut: X SONDERN ,Y SONDERN und Z SONDERN . Diese Koordinaten werden sequentiell in Richtungen parallel zu den isometrischen Achsen aufgetragen.

Die Rotationsflächen und die von ihnen begrenzten Körper haben Breite Anwendung in vielen Bereichen der Technik: ein Kathodenstrahlröhrenballon (Abb. 8.11, a), Zentrum der Drehmaschine (Abb. 8.11, b) Volumetrischer Mikrowellenresonator elektromagnetische Schwingungen(Abb. 8.11, in), Speicher-Dewar-Gefäß flüssige Luft(Abb. 8.11, G), Elektronenkollektor eines leistungsstarken Kathodenstrahlgeräts (Abb. 8.11, e) usw.

Abhängig von der Art der Flächenmantellinie können Rotationen liniert, nichtlinear sein oder aus Teilen solcher Flächen bestehen.

Eine Rotationsfläche ist eine Fläche, die sich aus der Drehung einer Erzeugenden um eine feste Linie ergibt. gerade Achse Oberflächen.

In den Zeichnungen ist die Achse durch eine strichpunktierte Linie dargestellt. Die erzeugende Linie kann Allgemeiner Fall haben sowohl gekrümmte als auch gerade Abschnitte. Die Rotationsfläche in der Zeichnung kann durch die Erzeugende und die Position der Achse angegeben werden. Abbildung 8.12 zeigt die Rotationsfläche, die durch die Rotation der Erzeugenden entsteht Alc (Ihre Frontalprojektion a"b"c"d") um Achse OO 1 (Vorderprojektion o"o 1" , senkrecht zur Ebene N. Bei der Drehung beschreibt jeder Punkt der Erzeugenden einen Kreis, dessen Ebene senkrecht zur Achse steht. Dementsprechend ist die Schnittlinie der Rotationsfläche mit einer Ebene senkrecht zur Achse ein Kreis. Solche Kreise werden genannt Parallelen. Die Draufsicht (Abb. 8.12) zeigt Projektionen von durch Punkte beschriebenen Kreisen A, B, C und D, Projektionen passieren A B C D. Die größte Parallele der beiden auf beiden Seiten angrenzenden Parallelen wird genanntÄquator, ebenfalls die kleinste Kehle.

Die Ebene, die durch die Achse der Rotationsfläche verläuft, wird genannt meridional die Schnittlinie mit der Rotationsfläche - Meridian. Wenn die Achse der Oberfläche parallel zur Projektionsebene ist, wird der Meridian genannt, der in einer Ebene parallel zu dieser Projektionsebene liegtHauptmeridian.Der Hauptmeridian wird unverzerrt auf diese Projektionsebene projiziert. Also, wenn die Achse der Rotationsfläche parallel zur Ebene ist V, dann wird der Nullmeridian auf die Ebene projiziert v ohne Verzerrung, z.B. Projektion a"f"b"c"d". Wenn die Achse der Rotationsfläche senkrecht zur Ebene steht H, dann hat die horizontale Projektion der Fläche einen Umriss in Form eines Kreises.

Am bequemsten zum Ausführen von Bildern von Rotationsoberflächen sind Fälle, in denen ihre Achsen senkrecht zur Ebene stehen H, zur V-Ebene oder zur W-Ebene.

Einige Oberflächen der Revolutionsind Sonderfälle der in 8.1 betrachteten Flächen, z. B. ein Rotationszylinder, ein Rotationskegel. Bei einem Zylinder und einem Rotationskegel sind die Meridiane gerade Linien. Sie sind bei einem Zylinder achsparallel und von ihr äquidistant oder schneiden bei einem Kegel die Achse im gleichen Punkt unter dem gleichen Winkel zur Achse. Ein Zylinder und ein Rotationskegel sind Flächen, die in Richtung ihrer Erzeuger unendlich sind; daher sind sie in den Bildern durch einige Linien begrenzt, beispielsweise durch Schnittlinien dieser Oberflächen mit Projektionsebenen oder durch eine der Parallelen. Aus der Festkörpergeometrie ist bekannt, dass ein gerader Kreiszylinder und ein gerader Kreiskegel durch eine Rotationsfläche und Ebenen senkrecht zur Achse der Fläche begrenzt sind. Der Meridian eines solchen Zylinders ist ein Rechteck, der Meridian eines Kegels ein Dreieck.

Eine solche Rotationsfläche wie eine Kugel ist begrenzt und kann vollständig in der Zeichnung dargestellt werden. Der Äquator und die Meridiane der Kugel sind gleiche Kreise. Beim orthogonale Projektion Auf allen drei Projektionsebenen werden die Umrisse der Kugel in einen Kreis projiziert.

Thor. Wenn sich ein Kreis (oder sein Bogen) um eine Achse dreht, die in der Ebene dieses Kreises liegt, aber nicht durch seinen Mittelpunkt verläuft, entsteht eine Fläche, die Torus genannt wird. Abbildung 8.13 zeigt: einen offenen Torus oder einen Kreisring, - Abbildung 8.13, a, geschlossener Torus - Abbildung 8.13, b, sich selbst schneidender Torus - Abbildung 8.13, c, Tor (Abb. 8.13, d) auch Zitrone genannt. In Abbildung 8.13 sind sie in einer Position dargestellt, in der die Torusachse senkrecht zur Projektionsebene steht N. Kugeln können in offene und geschlossene Tori eingeschrieben werden. Ein Torus kann als eine Oberfläche angesehen werden, die identische Kugeln umhüllt, deren Mittelpunkte auf einem Kreis liegen.

In den Konstruktionen in den Zeichnungen werden zwei Systeme kreisförmiger Querschnitte des Torus weit verbreitet verwendet: in Ebenen senkrecht zu seiner Achse und in Ebenen, die durch die Achse des Torus verlaufen. Zur gleichen Zeit in Wohnung

In den Richtungen senkrecht zur Achse des Torus gibt es wiederum zwei Familien von Kreisen - Schnittlinien von Ebenen mit der Außenfläche des Torus und Schnittlinien von Ebenen mit der Innenfläche des Torus. Der zitronenförmige Torus (Abb. 8.13, d) hat nur die erste Kreisfamilie.

Zusätzlich weist der Torus noch ein drittes System von Kreisabschnitten auf, die in Ebenen liegen, die durch den Mittelpunkt des Torus verlaufen und diesen tangieren. Innenfläche. Abbildung 8.14 zeigt kreisförmige Abschnitte mit Zentren o 1r und o 2r auf einer zusätzlichen Projektionsebene R, durch die nach vorne ragende Ebene gebildet Q(Qv), mit Vorsprüngen durch die Mitte des Torus gehen ach" ach und tangential zur Innenfläche des Torus an Punkten mit Vorsprüngen 1", 1, 2" 2. Punktvorsprünge 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10erleichtern das Lesen der Zeichnung. Durchmesser d diese Kreisabschnitte gleich lang Hauptachsen von Ellipsen, auf die Kreisabschnitte projiziert werden horizontale Ebene Projektionen: d = 2R.

Punkte auf einer Rotationsfläche.Die Lage eines Punktes auf der Rotationsfläche wird durch die Zugehörigkeit des Punktes zur Linie des Flächenrahmens bestimmt, d.h. mit Hilfe eines Kreises, der durch diesen Punkt auf der Rotationsfläche verläuft. Bei Regelflächen können hierfür auch geradlinige Generatoren verwendet werden.

Die Verwendung einer parallelen und einer geradlinigen Erzeugenden zum Konstruieren von Projektionen von Punkten, die zu einer gegebenen Rotationsfläche gehören, ist in Abbildung 8.12 gezeigt. Wenn ein

bei gegebener Projektion t", Führen Sie dann eine Frontalprojektion durch f"f1" Parallelen und dann Radius R Zeichnen Sie einen Kreis - eine horizontale Projektion einer Parallele - und finden Sie eine Projektion darauf t. Wenn eine horizontale Projektion gegeben wäre t, dann wäre es notwendig, einen Radius zu zeichnen R=om Kreis, baue f "auf den Punkt f" und zeichne f"f1"- Frontalprojektion der Parallele - und markieren Sie darauf einen Punkt in der Projektionsverbindung t". Wenn eine Projektion gegeben ist P" auf einem geregelten (kegelförmigen) Abschnitt der Rotationsfläche wird dann eine Frontalprojektion durchgeführt d"s" Skizze Erzeugende und durch die Projektion n "- Frontalprojektion s „zu“ Erzeugende auf der Oberfläche des Kegels. Dann in der Draufsicht sk diese Erzeugende konstruiert eine Projektion n. Wenn die horizontale Projektion n gegeben wäre, dann sollte die horizontale Projektion durch sie gezogen werden sk Erzeugende, durch Projektion k" und s" (seine Konstruktion wurde oben besprochen) bauen Sie eine Frontalprojektion s"zu" und darauf in der Projektionsverbindung markieren Sie die Projektion n "

Abbildung 8.15 zeigt die Konstruktion von Punktprojektionen ZU, Zugehörigkeit zur Oberfläche des Torus. Es ist zu beachten, dass die Konstruktion für sichtbare horizontale Projektionen ausgelegt ist zu und Frontprojektion zu".

Abbildung 8.16 zeigt die Konstruktion gemäß einer gegebenen Frontalprojektion t" Punkte auf der Oberfläche einer Kugel ihrer Horizontalen t und Profil t " Projektionen. Projektion t gebaut unter Verwendung eines Kreises - einer Parallele, die durch die Projektion verläuft m". Sein Radius ist o-1. Projektion m "" wird unter Verwendung eines Kreises konstruiert, dessen Ebene parallel zur Profilebene der Vorsprünge ist, die durch den Vorsprung hindurchgehen t". Sein Radius beträgt etwa "2".

Die Konstruktion von Projektionen von Linien auf der Rotationsfläche kann auch mit Kreisen durchgeführt werden - Parallelen, die durch die zu dieser Linie gehörenden Punkte verlaufen.

Abbildung 8.17 zeigt den Aufbau einer Horizontalprojektion a Linie definiert durch Frontalprojektion a"b" auf einer Rotationsfläche, bestehend aus Teilen der Oberflächen einer Kugel, eines Torus, eines Kegels. Für eine genauere Zeichnung der horizontalen Projektion der Linie setzen wir ihre frontale Projektion nach oben und unten fort und markieren die Projektionen 6" und 5" Extrempunkte. Horizontale Projektionen 6, 1, 3, 4, 5 gebaut mit Kommunikationsleitungen. Projektionen b, 2, 7, 8 und konstruiert unter Verwendung von Parallelen, deren Frontalprojektionen durch die Projektionen gehen b"2", 7", 8", a" diese Punkte. Menge und Ort Zwischenpunkte Wählen Sie basierend auf der Form der Linie und der erforderlichen Konstruktionsgenauigkeit. Horizontale Projektion Linie besteht aus Abschnitten: b-1 - Teile der Ellipse,

Beispiele für Revolutionskörper

• Kugel - gebildet durch einen Halbkreis, der sich um den Durchmesser des Schnitts dreht
• Zylinder - gebildet durch ein Rechteck, das sich um eine der Seiten dreht

Für die Fläche der Mantelfläche des Zylinders wird die Fläche seiner Entwicklung genommen: Sside = 2πrh.

• Kegel - gebildet rechtwinkliges Dreieck, dreht sich um eines der Beine

Die Fläche seiner Entwicklung wird als Fläche der Mantelfläche des Kegels genommen: Sside = πrl Area volle Oberfläche Kegel: Scon = πr(l+ r)

Wenn die Konturen von Figuren gedreht werden, entsteht eine Rotationsfläche (z. B. eine aus einem Kreis gebildete Kugel), während bei der Drehung einer gefüllten Kontur Körper entstehen (wie eine Kugel, die aus einem Kreis gebildet wird).

Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern

• Der erste Satz von Guldin-Papp besagt:

• Der zweite Satz von Guldin-Papp besagt:

Literatur

EIN V. Pogorelow. "Geometrie. Klasse 10-11» § 21. Rotationskörper. - 2011

Anmerkungen

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

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Subtile Körpertheorie Enzyklopädie "Luftfahrt"

Subtile Körpertheorie- Strömung um einen dünnen Körper in einem Anstellwinkel ungleich Null. Thin-Body-Theorie - die Theorie des räumlichen Rotationsflusses ideale Flüssigkeit nahe dünne Körper[Körper, bei denen die Querabmessung l (Dicke, Reichweite) klein ist im Vergleich zu ... ... Enzyklopädie "Luftfahrt"

Die Theorie der räumlichen Rotationsströmung einer idealen Flüssigkeit in der Nähe dünner Körper (Körper, bei denen die Querabmessung l (Dicke, Reichweite) klein ist im Vergleich zur Längsabmessung L: (τ) = l / Lenzyklopädie der Technik

Winkelgeschwindigkeit (blauer Pfeil) eine Einheit im Uhrzeigersinn Winkelgeschwindigkeit (blauer Pfeil) eineinhalb Einheiten im Uhrzeigersinn Winkelgeschwindigkeit (blauer Pfeil) eine Einheit gegen den Uhrzeigersinn Ug ... Wikipedia

Zweig der Physik, der die Struktur und Eigenschaften von Festkörpern untersucht. Wissenschaftliche Daten zur Mikrostruktur Feststoffe und über körperliche und chemische Eigenschaften Ihre konstituierenden Atome werden für die Entwicklung neuer Materialien und technischer Geräte benötigt. Physik ... ... Collier Enzyklopädie

Die Bewegung eines Körpers im Gravitationsfeld der Erde von Anfang an. Geschwindigkeit, Null. P. t. tritt unter der Wirkung der Schwerkraft auf, die vom Abstand r zum Erdmittelpunkt abhängt, und der Widerstandskraft des Mediums (Luft oder Wasser), die von der Bewegungsgeschwindigkeit v abhängt. Auf der… … Physikalische Enzyklopädie

Eine gerade Linie, die in Bezug auf das Umlaufende stationär ist Festkörper. Bei einem starren Körper mit Fixpunkt (z Baby-Kreisel), eine durch diesen Punkt verlaufende Gerade, durch deren Drehung sich der Körper von der gegebenen ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Die Bewegung eines Körpers im Gravitationsfeld der Erde Anfangsgeschwindigkeit gleich Null. P. t. tritt unter Einwirkung einer Gravitationskraft auf, abhängig vom Abstand r zum Erdmittelpunkt, und der Widerstandskraft des Mediums (Luft oder Wasser), die von der Geschwindigkeit abhängt ... ... Große sowjetische Enzyklopädie

Bücher

• Eine Reihe von Tischen. Mathematik. Polyeder. Körper der Revolution. 11 Tabellen + 64 Karten + Methodik,. Lehralbum mit 11 Blättern (Format 68 x 98 cm): - Paralleles Design. - Bild von flachen Figuren. - Schrittweise Veranschaulichung des Beweises von Theoremen. - Gegenseitige Anordnung von Leitungen und ...
• Integration der Gleichgewichtsgleichungen eines elastischen Rotationskörpers mit symmetrischer Verteilung von Volumen und Oberflächenkräften um seine Achse, G.D. Grodsky. Reproduziert in der ursprünglichen Schreibweise des Autors der Ausgabe von 1934 (Verlag "Proceedings of the Academy of Sciences of the UdSSR"). BEIM…