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Anweisung

Finden Sie den Umfang der Funktion. Beispielsweise ist die Funktion sin(x) auf dem gesamten Intervall von -∞ bis +∞ definiert, und die Funktion 1/x ist von -∞ bis +∞ definiert, außer für den Punkt x = 0.

Definieren Sie Kontinuitätsbereiche und Bruchstellen. Normalerweise ist eine Funktion in demselben Definitionsbereich stetig. Um Diskontinuitäten zu erkennen, müssen Sie berechnen, wann sich das Argument isolierten Punkten innerhalb des Definitionsbereichs nähert. Beispielsweise strebt die Funktion 1/x gegen unendlich, wenn x→0+, und gegen minus unendlich, wenn x→0-. Das bedeutet, dass es an der Stelle x = 0 eine Unstetigkeit zweiter Art hat.
Sind die Grenzen an der Unstetigkeitsstelle endlich, aber ungleich, so handelt es sich um eine Unstetigkeit erster Art. Wenn sie gleich sind, wird die Funktion als stetig angesehen, obwohl sie nicht an einem isolierten Punkt definiert ist.

Finden vertikale Asymptoten, wenn sie sind. Dabei helfen Ihnen die Berechnungen aus dem vorherigen Schritt, da die vertikale Asymptote fast immer an der Unstetigkeitsstelle zweiter Art liegt. Manchmal werden aber nicht einzelne Punkte vom Definitionsbereich ausgenommen, sondern ganze Intervalle von Punkten, und dann können die vertikalen Asymptoten an den Rändern dieser Intervalle liegen.

Überprüfen Sie, ob die Funktion hat besondere Eigenschaften: gerade, ungerade und periodisch.
Die Funktion ist gerade, wenn für jedes x im Definitionsbereich f(x) = f(-x). Zum Beispiel cos(x) und x^2 - sogar funktioniert.

Periodizität ist eine Eigenschaft, die besagt, dass es eine bestimmte Zahl T gibt, die als Periode bezeichnet wird und für jedes x f(x) = f(x + T). Zum Beispiel alle Hauptfächer trigonometrische Funktionen(Sinus, Cosinus, Tangens) - periodisch.

Punkte finden. Berechnen Sie dazu die Ableitung von gegebene Funktion und finde die x-Werte, wo es verschwindet. Beispielsweise hat die Funktion f(x) = x^3 + 9x^2 -15 eine Ableitung g(x) = 3x^2 + 18x, die bei x = 0 und x = -6 verschwindet.

Um zu bestimmen, welche Extrempunkte Maxima und welche Minima sind, verfolgen Sie die Änderung der Vorzeichen der Ableitung in den gefundenen Nullstellen. g(x) ändert das Vorzeichen von Plus bei x = -6 und zurück von Minus zu Plus bei x = 0. Daher hat die Funktion f(x) am ersten Punkt ein Minimum und am zweiten ein Minimum.

Damit haben Sie auch Monotoniebereiche gefunden: f(x) steigt monoton auf dem Intervall -∞;-6, fällt monoton auf -6;0 und steigt wieder auf 0;+∞.

Finde die zweite Ableitung. Seine Wurzeln zeigen, wo der Graph einer gegebenen Funktion konvex und wo er konkav ist. Beispielsweise ist die zweite Ableitung der Funktion f(x) h(x) = 6x + 18. Sie verschwindet bei x = -3 und ändert ihr Vorzeichen von Minus zu Plus. Daher ist der Graph f (x) vor diesem Punkt konvex, danach konkav, und dieser Punkt selbst ist ein Wendepunkt.

Eine Funktion kann andere Asymptoten haben, außer vertikale, aber nur, wenn ihr Definitionsbereich . Um sie zu finden, berechnen Sie den Grenzwert von f(x), wenn x→∞ oder x→-∞. Wenn sie endlich ist, haben Sie die horizontale Asymptote gefunden.

Die schiefe Asymptote ist eine Gerade der Form kx + b. Um k zu finden, berechne den Grenzwert von f(x)/x als x→∞. b - Grenze (f(x) – kx) mit gleichem x→∞ finden.

Einer von kritische Aufgaben Differentialrechnung ist die Entwicklung gängige Beispiele Untersuchungen zum Verhalten von Funktionen.

Wenn die Funktion y \u003d f (x) im Intervall kontinuierlich ist und ihre Ableitung im Intervall (a, b) positiv oder gleich 0 ist, erhöht sich y \u003d f (x) um (f "(x) 0). Wenn die Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment stetig ist und ihre Ableitung im Intervall (a,b) negativ oder gleich 0 ist, nimmt y=f(x) um (f"( x)0)

Die Intervalle, in denen die Funktion nicht abnimmt oder zunimmt, heißen Intervalle der Monotonie der Funktion. Die Natur der Monotonie einer Funktion kann sich nur an den Stellen ihres Definitionsbereichs ändern, an denen sich das Vorzeichen der ersten Ableitung ändert. Die Punkte, an denen die erste Ableitung einer Funktion verschwindet oder bricht, werden kritische Punkte genannt.

Satz 1 (1 ausreichender Zustand die Existenz eines Extremums).

Die Funktion y=f(x) sei am Punkt x 0 definiert und es gebe eine Umgebung δ>0, so dass die Funktion auf dem Segment stetig ist, differenzierbar auf dem Intervall (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) und seine Ableitung bewahrt bleibendes Zeichen in jedem dieser Intervalle. Wenn dann auf x 0 - δ, x 0) und (x 0, x 0 + δ) die Vorzeichen der Ableitung unterschiedlich sind, dann ist x 0 ein Extremumspunkt, und wenn sie übereinstimmen, dann ist x 0 kein Extremumspunkt . Wenn außerdem beim Durchgang durch den Punkt x0 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert (links von x 0 wird f "(x)> 0 durchgeführt, dann ist x 0 der maximale Punkt; wenn die Ableitung das Vorzeichen ändert von minus nach plus (rechts von x 0 wird von f"(x) ausgeführt<0, то х 0 - точка минимума.

Die Maximal- und Minimalpunkte werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und die Maxima und Minima der Funktion werden als ihre Extremwerte bezeichnet.

Satz 2 (notwendiges Kriterium für ein lokales Extremum).

Wenn die Funktion y=f(x) ein Extremum beim aktuellen x=x 0 hat, dann existiert entweder f'(x 0)=0 oder f'(x 0) nicht.
An den Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion ist die Tangente an ihren Graphen parallel zur Ox-Achse.

Algorithmus zum Studium einer Funktion für ein Extremum:

1) Finde die Ableitung der Funktion.
2) Finden Sie kritische Punkte, d.h. Punkte, an denen die Funktion stetig ist und die Ableitung Null ist oder nicht existiert.
3) Betrachten Sie die Nachbarschaft jedes der Punkte und untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von diesem Punkt.
4) Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrempunkte für diesen Wert kritische Punkte in diese Funktion einstecken. Unter Verwendung ausreichender Extremumsbedingungen geeignete Schlussfolgerungen ziehen.

Beispiel 18. Untersuchen Sie die Funktion y=x 3 -9x 2 +24x

Entscheidung.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Wenn wir die Ableitung mit Null gleichsetzen, finden wir x 1 =2, x 2 =4. In diesem Fall ist die Ableitung überall definiert; daher gibt es außer den beiden gefundenen Punkten keine weiteren kritischen Punkte.
3) Das Vorzeichen der Ableitung y "=3(x-2)(x-4) ändert sich abhängig vom Intervall, wie in Abbildung 1 gezeigt. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, und beim Durchgang durch den Punkt x=4 - von minus nach plus.
4) Am Punkt x = 2 hat die Funktion ein Maximum y max = 20 und am Punkt x = 4 - ein Minimum y min = 16.

Satz 3. (2. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Lassen Sie f "(x 0) und f "" (x 0) am Punkt x 0 existieren. Wenn dann f "" (x 0)> 0 ist, dann ist x 0 der Minimalpunkt, und wenn f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Auf dem Segment kann die Funktion y \u003d f (x) entweder an den im Intervall (a; b) liegenden kritischen Punkten der Funktion oder an den Enden den kleinsten (mindestens) oder größten (höchstens) Wert erreichen des Segments.

Der Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion y=f(x) auf dem Segment :

1) Finden Sie f "(x).
2) Finden Sie die Punkte, an denen f "(x) = 0 oder f" (x) - nicht existiert, und wählen Sie daraus diejenigen aus, die innerhalb des Segments liegen.
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion y \u003d f (x) an den in Absatz 2) erhaltenen Punkten sowie an den Enden des Segments und wählen Sie den größten und den kleinsten von ihnen aus: Sie sind jeweils die größten ( für den größten) und den kleinsten (für den kleinsten) Funktionswert auf dem Segment .

Beispiel 19. Finden Sie den größten Wert einer stetigen Funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 auf dem Segment .

1) Wir haben y "=3x 2 -6x-45 auf dem Segment
2) Die Ableitung y" existiert für alle x. Lassen Sie uns die Punkte finden, an denen y"=0; wir bekommen:
3x2 -6x-45=0
x2-2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Punkten x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Nur der Punkt x=5 gehört zum Segment. Der größte der gefundenen Werte der Funktion ist 225 und der kleinste die Zahl 50. Also bei max = 225, bei max = 50.

Untersuchung einer Funktion auf Konvexität

Die Abbildung zeigt die Graphen zweier Funktionen. Der erste von ihnen ist mit einer Wölbung nach oben gedreht, der zweite mit einer Wölbung nach unten.

Die Funktion y=f(x) ist auf einer Strecke stetig und im Intervall (a;b) differenzierbar, heißt auf dieser Strecke konvex nach oben (unten), wenn ihr Graph für axb nicht höher (nicht tiefer) liegt als die Tangente an einem beliebigen Punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), wobei axb.

Satz 4. Die Funktion y=f(x) habe an jedem inneren Punkt x des Segments eine zweite Ableitung und sei an den Enden dieses Segments stetig. Wenn dann die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (a;b) erfüllt ist, dann ist die Funktion auf dem Segment nach unten konvex; wenn die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (а;b) erfüllt ist, dann ist die Funktion auf konvex nach oben.

Satz 5. Wenn die Funktion y \u003d f (x) eine zweite Ableitung im Intervall (a; b) hat und beim Durchgang durch den Punkt x 0 das Vorzeichen ändert, dann M (x 0 ; f (x 0)) ist ein Wendepunkt.

Regel zum Auffinden von Wendepunkten:

1) Finden Sie Punkte, wo f""(x) nicht existiert oder verschwindet.
2) Untersuchen Sie das Zeichen f""(x) links und rechts von jedem Punkt, der im ersten Schritt gefunden wurde.
3) Ziehen Sie basierend auf Theorem 4 eine Schlussfolgerung.

Beispiel 20. Finde Extrempunkte und Wendepunkte des Funktionsgraphen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Wir haben f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Offensichtlich ist f"(x)=0 für x 1 =0, x 2 =1. Die Ableitung ändert beim Durchgang durch den Punkt x = 0 das Vorzeichen von Minus auf Plus, und beim Durchgang durch den Punkt x = 1 ändert sie das Vorzeichen nicht. Dies bedeutet, dass x = 0 der Minimalpunkt ist (y min = 12), und es gibt kein Extremum am Punkt x = 1. Als nächstes finden wir . Die zweite Ableitung verschwindet an den Stellen x 1 =1, x 2 =1/3. Die Vorzeichen der zweiten Ableitung ändern sich wie folgt: Auf dem Strahl (-∞;) haben wir f""(x)>0, auf dem Intervall (;1) haben wir f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Daher ist x= der Wendepunkt des Funktionsgraphen (Übergang von Konvexität nach unten zu Konvexität nach oben) und x=1 ist ebenfalls ein Wendepunkt (Übergang von Konvexität nach oben zu Konvexität nach unten). Wenn x=, dann y= ; wenn, dann x=1, y=13.

Ein Algorithmus zum Finden der Asymptote eines Graphen

I. Wenn y=f(x) als x → a , dann ist x=a eine vertikale Asymptote.
II. Wenn y=f(x) für x → ∞ oder x → -∞ ist, dann ist y=A die horizontale Asymptote.
III. Um die schiefe Asymptote zu finden, verwenden wir den folgenden Algorithmus:
1) Berechnen. Wenn der Grenzwert existiert und gleich b ist, dann ist y=b die horizontale Asymptote; Wenn , fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.
2) Berechnen. Wenn diese Grenze nicht existiert, gibt es keine Asymptote; wenn es existiert und gleich k ist, gehe zum dritten Schritt.
3) Berechnen. Wenn diese Grenze nicht existiert, gibt es keine Asymptote; wenn es existiert und gleich b ist, gehe zum vierten Schritt.
4) Schreiben Sie die Gleichung der schiefen Asymptote y=kx+b auf.

Beispiel 21: Finden Sie eine Asymptote für eine Funktion

1)
2)
3)
4) Die schiefe Asymptotengleichung hat die Form

Das Schema der Untersuchung der Funktion und die Konstruktion ihres Graphen

I. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
II. Finden Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen.
III. Asymptoten finden.
IV. Finden Sie Punkte möglicher Extrema.
V. Finden Sie kritische Punkte.
VI. Untersuchen Sie anhand der Hilfszeichnung das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Bestimmen Sie die Bereiche der Zunahme und Abnahme der Funktion, finden Sie die Richtung der Konvexität des Graphen, Extrempunkte und Wendepunkte.
VII. Erstellen Sie ein Diagramm unter Berücksichtigung der in den Absätzen 1-6 durchgeführten Studie.

Beispiel 22: Zeichnen Sie einen Funktionsgraphen nach obigem Schema

Entscheidung.
I. Der Definitionsbereich der Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen außer x=1.
II. Da die Gleichung x 2 +1=0 keine echten Wurzeln hat, hat der Graph der Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse, sondern schneidet die Oy-Achse im Punkt (0; -1).
III. Klären wir die Frage nach der Existenz von Asymptoten. Wir untersuchen das Verhalten der Funktion nahe der Unstetigkeitsstelle x=1. Da y → ∞ für x → -∞, y → +∞ für x → 1+, dann ist die Gerade x=1 eine vertikale Asymptote des Graphen der Funktion.
Wenn x → +∞(x → -∞), dann y → +∞(y → -∞); Daher hat der Graph keine horizontale Asymptote. Ferner von der Existenz von Grenzen

Durch Lösen der Gleichung x 2 -2x-1=0 erhalten wir zwei Punkte eines möglichen Extremums:
x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2

V. Um die kritischen Punkte zu finden, berechnen wir die zweite Ableitung:

Da f""(x) nicht verschwindet, gibt es keine kritischen Punkte.
VI. Wir untersuchen das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Mögliche zu berücksichtigende Extrempunkte: x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2, teilen Sie den Existenzbereich der Funktion in Intervalle (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) und (1+√2;+∞).

In jedem dieser Intervalle behält die Ableitung ihr Vorzeichen: im ersten - plus, im zweiten - minus, im dritten - plus. Die Zeichenfolge der ersten Ableitung wird wie folgt geschrieben: +, -, +.
Wir erhalten, dass die Funktion auf (-∞;1-√2) zunimmt, auf (1-√2;1+√2) abnimmt und auf (1+√2;+∞) wieder zunimmt. Extrempunkte: Maximum bei x=1-√2, außerdem f(1-√2)=2-2√2 Minimum bei x=1+√2, außerdem f(1+√2)=2+2√2. Auf (-∞;1) ist der Graph nach oben konvex und auf (1;+∞) - nach unten.
VII Lassen Sie uns eine Tabelle der erhaltenen Werte erstellen

VIII Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir eine Skizze des Graphen der Funktion

Wenn es die Aufgabe erfordert volles Studium Funktionen f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 mit der Konstruktion seines Graphen, dann werden wir dieses Prinzip im Detail betrachten.

Um ein Problem dieser Art zu lösen, sollte man die Eigenschaften und Graphen der Hauptdatei verwenden elementare Funktionen. Der Forschungsalgorithmus umfasst die folgenden Schritte:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Den Definitionsbereich finden

Da auf dem Gebiet der Funktion geforscht wird, muss mit diesem Schritt begonnen werden.

Beispiel 1

Hinter gegebenes Beispiel besteht darin, die Nullstellen des Nenners zu finden, um sie aus dem DPV auszuschließen.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Als Ergebnis erhalten Sie Wurzeln, Logarithmen usw. Dann kann die ODZ nach der Wurzel eines geraden Grades vom Typ g (x) 4 durch die Ungleichung g (x) ≥ 0 , nach dem Logarithmus log a g (x) durch die Ungleichung g (x) > 0 gesucht werden.

Untersuchung von ODZ-Grenzen und Auffinden vertikaler Asymptoten

An den Grenzen der Funktion gibt es vertikale Asymptoten, wenn die einseitigen Grenzen an solchen Punkten unendlich sind.

Beispiel 2

Betrachten Sie zum Beispiel die Grenzpunkte gleich x = ± 1 2 .

Dann ist es notwendig, die Funktion zu untersuchen, um den einseitigen Grenzwert zu finden. Dann erhalten wir das: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Dies zeigt, dass die einseitigen Grenzen unendlich sind, was bedeutet, dass die Linien x = ± 1 2 die vertikalen Asymptoten des Diagramms sind.

Untersuchung der Funktion und für gerade oder ungerade

Wenn die Bedingung y (- x) = y (x) erfüllt ist, wird die Funktion als gerade betrachtet. Dies deutet darauf hin, dass der Graph bezüglich O y symmetrisch angeordnet ist. Wenn die Bedingung y (- x) = - y (x) erfüllt ist, wird die Funktion als ungerade betrachtet. Dies bedeutet, dass die Symmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung geht. Wenn mindestens eine Ungleichung versagt, erhalten wir eine Funktion allgemeiner Form.

Die Erfüllung der Gleichheit y (- x) = y (x) zeigt an, dass die Funktion gerade ist. Bei der Konstruktion muss berücksichtigt werden, dass bezüglich O y eine Symmetrie besteht.

Zur Lösung der Ungleichung werden Zunahme- und Abnahmeintervalle mit den Bedingungen f "(x) ≥ 0 bzw. f" (x) ≤ 0 verwendet.

Bestimmung 1

Stationäre Punkte sind Punkte, die die Ableitung zu Null machen.

Kritische Punkte sind innere Punkte aus dem Bereich, wo die Ableitung der Funktion gleich Null ist oder nicht existiert.

Bei der Entscheidungsfindung sollten folgende Punkte berücksichtigt werden:

• für die bestehenden Intervalle der Zunahme und Abnahme der Ungleichung der Form f "(x) > 0 werden die kritischen Punkte nicht in die Lösung einbezogen;
• Punkte, an denen die Funktion ohne endliche Ableitung definiert ist, müssen in die Intervalle der Zunahme und Abnahme aufgenommen werden (z. B. y \u003d x 3, wobei der Punkt x \u003d 0 die definierte Funktion ausmacht, die Ableitung den Wert unendlich hat an diesem Punkt ist y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 ist im Erhöhungsintervall enthalten);
• Um Meinungsverschiedenheiten zu vermeiden, wird empfohlen, mathematische Literatur zu verwenden, die vom Bildungsministerium empfohlen wird.

Die Einbeziehung von kritischen Punkten in die Intervalle des Ansteigens und Abnehmens für den Fall, dass sie den Definitionsbereich der Funktion erfüllen.

Bestimmung 2

Für um die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion zu bestimmen, ist es notwendig zu finden:

• Derivat;
• kritische Punkte;
• den Definitionsbereich mit Hilfe von kritischen Punkten in Intervalle zerlegen;
• Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung in jedem der Intervalle, wobei + eine Zunahme und - eine Abnahme ist.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung auf der Domäne f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Entscheidung

Zur Lösung benötigen Sie:

• finde stationäre Punkte, dieses Beispiel hat x = 0 ;
• Finde die Nullstellen des Nenners, das Beispiel nimmt den Wert Null bei x = ± 1 2 an.

Wir exponieren Punkte auf der numerischen Achse, um die Ableitung für jedes Intervall zu bestimmen. Dazu genügt es, einen beliebigen Punkt aus dem Intervall zu nehmen und eine Berechnung durchzuführen. Wenn das Ergebnis positiv ist, zeichnen wir + in den Graphen, was eine Zunahme der Funktion bedeutet, und - bedeutet ihre Abnahme.

Zum Beispiel f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, was bedeutet, dass das erste Intervall links ein +-Zeichen hat. Betrachten Sie die Zahl Linie.

Antworten:

• es gibt eine Zunahme der Funktion auf dem Intervall - ∞ ; - 1 2 und (- 1 2 ; 0 ] ;
• es gibt eine Abnahme im Intervall [ 0 ; 1 2) und 1 2 ; +∞ .

Im Diagramm werden mit + und - die Positivität und Negativität der Funktion dargestellt, und die Pfeile zeigen abnehmend und zunehmend an.

Die Extrempunkte einer Funktion sind die Punkte, an denen die Funktion definiert ist und durch die die Ableitung das Vorzeichen ändert.

Beispiel 4

Betrachten wir ein Beispiel, in dem x \u003d 0 ist, dann ist der Wert der darin enthaltenen Funktion f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von + nach - ändert und den Punkt x \u003d 0 durchläuft, wird der Punkt mit den Koordinaten (0; 0) als maximaler Punkt betrachtet. Wenn das Vorzeichen von - nach + geändert wird, erhalten wir den Mindestpunkt.

Konvexität und Konkavität werden bestimmt, indem Ungleichungen der Form f "" (x) ≥ 0 und f "" (x) ≤ 0 gelöst werden. Seltener verwenden sie den Namen Ausbuchtung nach unten statt Konkavität und Ausbuchtung nach oben statt Ausbuchtung.

Bestimmung 3

Für Bestimmen der Lücken von Konkavität und Konvexität notwendig:

• finden Sie die zweite Ableitung;
• finden Sie die Nullstellen der Funktion der zweiten Ableitung;
• Brechen Sie den Definitionsbereich durch die Punkte, die in Intervallen erscheinen;
• Bestimmen Sie das Vorzeichen der Lücke.

Beispiel 5

Finden Sie die zweite Ableitung aus dem Definitionsbereich.

Entscheidung

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Wir finden die Nullstellen von Zähler und Nenner, wobei wir in unserem Beispiel haben, dass die Nullstellen des Nenners x = ± 1 2 sind

Jetzt müssen Sie Punkte setzen numerische Achse und das Vorzeichen der zweiten Ableitung aus jedem Intervall bestimmen. Das verstehen wir

Antworten:

• die Funktion ist konvex aus dem Intervall - 1 2 ; 12 ;
• die Funktion ist konkav aus den Lücken - ∞ ; - 1 2 und 1 2 ; +∞ .

Bestimmung 4

Wendepunkt ein Punkt der Form x 0 ist; f(x0) . Wenn es eine Tangente an den Graphen der Funktion hat, ändert die Funktion beim Durchgang durch x 0 das Vorzeichen in das Gegenteil.

Mit anderen Worten, dies ist ein solcher Punkt, durch den die zweite Ableitung geht und das Vorzeichen wechselt, und an den Punkten selbst gleich Null ist oder nicht existiert. Alle Punkte werden als Definitionsbereich der Funktion betrachtet.

Im Beispiel hat man gesehen, dass es keine Wendepunkte gibt, da die zweite Ableitung beim Durchgang durch die Punkte x = ± 1 2 das Vorzeichen wechselt. Sie sind wiederum nicht im Definitionsbereich enthalten.

Horizontale und schiefe Asymptoten finden

Wenn man eine Funktion im Unendlichen definiert, muss man nach horizontalen und schiefen Asymptoten suchen.

Bestimmung 5

Schräge Asymptoten durch gerade Linien dargestellt durch die Gleichung gegeben y = k x + b , wobei k = lim x → ∞ f (x) x und b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Für k = 0 und b ungleich unendlich bekommen wir das schräge Asymptote wird horizontal.

Mit anderen Worten, die Asymptoten sind die Linien, denen sich der Graph der Funktion im Unendlichen nähert. Dies trägt zum schnellen Aufbau des Graphen der Funktion bei.

Wenn es keine Asymptoten gibt, aber die Funktion an beiden Unendlichkeiten definiert ist, ist es notwendig, den Grenzwert der Funktion an diesen Unendlichkeiten zu berechnen, um zu verstehen, wie sich der Graph der Funktion verhalten wird.

Beispiel 6

Betrachten Sie das als Beispiel

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 – 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) – k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ist ein horizontale Asymptote. Nachdem Sie die Funktion erforscht haben, können Sie mit dem Erstellen beginnen.

Berechnen des Wertes einer Funktion an Zwischenpunkten

Um das Plotten möglichst genau zu machen, wird empfohlen, mehrere Werte der Funktion an Zwischenpunkten zu finden.

Beispiel 7

Aus dem betrachteten Beispiel müssen die Werte der Funktion an den Punkten x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 ermittelt werden. Da die Funktion gerade ist, erhalten wir, dass die Werte mit den Werten an diesen Punkten übereinstimmen, dh wir erhalten x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Lassen Sie uns schreiben und lösen:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Maxima und Minima einer Funktion, Wendepunkte, Zwischenpunkte Es ist notwendig, Asymptoten zu konstruieren. Zur bequemen Bezeichnung sind Intervalle für Zunahme, Abnahme, Konvexität und Konkavität festgelegt. Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Es ist notwendig, Diagrammlinien durch die markierten Punkte zu ziehen, damit Sie den Asymptoten näher kommen können, indem Sie den Pfeilen folgen.

Damit ist die vollständige Untersuchung der Funktion abgeschlossen. Es gibt Fälle, in denen einige elementare Funktionen konstruiert werden, für die geometrische Transformationen verwendet werden.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

Führen Sie eine vollständige Studie durch und zeichnen Sie einen Funktionsgraphen

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funktionsumfang. Da die Funktion ein Bruch ist, musst du die Nullstellen des Nenners finden.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Wir schließen den einzigen Punkt x=1x=1 aus dem Funktionsdefinitionsbereich aus und erhalten:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Untersuchen wir das Verhalten der Funktion in der Nähe des Unstetigkeitspunktes. Einseitige Grenzen finden:

Da die Grenzen gleich unendlich sind, ist der Punkt x=1x=1 eine Unstetigkeit zweiter Art, die Gerade x=1x=1 eine senkrechte Asymptote.

3) Lassen Sie uns die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen bestimmen.

Finden wir die Schnittpunkte mit der Ordinatenachse OyOy, für die wir x=0x=0 gleichsetzen:

Somit hat der Schnittpunkt mit der Achse OyOy die Koordinaten (0;8)(0;8).

Finden wir die Schnittpunkte mit der Abszissenachse OxOx, für die wir y=0y=0 setzen:

Die Gleichung hat keine Wurzeln, daher gibt es keine Schnittpunkte mit der OxOx-Achse.

Beachten Sie, dass x2+8>0x2+8>0 für alle xx. Daher nimmt für x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) die Funktion y>0y>0(an positive Werte, der Graph liegt über der x-Achse), für x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) die Funktion y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, denn:

5) Wir untersuchen die Funktion auf Periodizität. Die Funktion ist nicht periodisch, da es sich um eine gebrochen rationale Funktion handelt.

6) Wir untersuchen die Funktion für Extrema und Monotonie. Dazu finden wir die erste Ableitung der Funktion:

Lassen Sie uns die erste Ableitung gleich Null setzen und die stationären Punkte finden (an denen y′=0y′=0):

Wir haben drei kritische Punkte: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Wir teilen den gesamten Definitionsbereich der Funktion durch gegebene Punkte in Intervalle und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall:

Für x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) ist die Ableitung y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Für x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) die Ableitung y′>0y′>0, wächst die Funktion auf diesen Intervallen.

In diesem Fall ist x = –2x = –2 ein lokaler Minimalpunkt (die Funktion nimmt ab und steigt dann an), x = 4x = 4 ist ein lokaler Maximalpunkt (die Funktion steigt an und fällt dann ab).

Lassen Sie uns die Werte der Funktion an diesen Punkten finden:

Der Minimalpunkt ist also (−2;4)(−2;4), der Maximalpunkt ist (4;−8)(4;−8).

7) Wir untersuchen die Funktion auf Knicke und Konvexität. Finden wir die zweite Ableitung der Funktion:

Gleichsetzen Sie die zweite Ableitung mit Null:

Die resultierende Gleichung hat keine Wurzeln, also gibt es keine Wendepunkte. Wenn x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 erfüllt ist, d. h., die Funktion ist konkav, wenn x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Wir untersuchen das Verhalten der Funktion im Unendlichen, also bei .

Da die Grenzen unendlich sind, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Versuchen wir, schiefe Asymptoten der Form y=kx+by=kx+b zu bestimmen. Wir berechnen die Werte von k,bk,b nach den bekannten Formeln:

Wir haben festgestellt, dass die Funktion eine schiefe Asymptote y=−x−1y=−x−1 hat.

9) Zusätzliche Punkte. Lassen Sie uns den Wert der Funktion an einigen anderen Punkten berechnen, um ein genaueres Diagramm zu erstellen.

y(–5)=5,5;y(2)=–12;y(7)=–9,5.y(–5)=5,5;y(2)=–12;y(7)=–9,5.

10) Aus den gewonnenen Daten bauen wir einen Graphen auf, ergänzen ihn mit Asymptoten x=1x=1 (blau), y=−x−1y=−x−1 (grün) und markieren die charakteristischen Punkte (den Schnittpunkt mit dem y -Achse ist violett, Extrema sind orange, Zusatzpunkte sind schwarz) :

Aufgabe 4: Geometrische, ökonomische Aufgaben (keine Ahnung was, hier eine ungefähre Auswahl an Aufgaben mit Lösung und Formeln)

Beispiel 3.23. a

Entscheidung. x und j j
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für xa/4 S "> 0 und für x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24.

Entscheidung.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Beispiel 3.22. Finden Sie die Extrema der Funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Entscheidung. Da f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), dann sind die kritischen Punkte der Funktion x 1 \u003d 2 und x 2 \u003d 3. Extreme Punkte können nur an diesen Punkten sein.Wenn also beim Durchgang durch den Punkt x 1 \u003d 2 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, hat die Funktion an diesem Punkt ein Maximum.Beim Durchgang durch den Punkt x 2 \u003d 3, die Ableitung ändert das Vorzeichen von Minus zu Plus, daher hat die Funktion am Punkt x 2 \u003d 3 ein Minimum Berechnen der Werte der Funktion in Punkten
x 1 = 2 und x 2 = 3 finden wir die Extrema der Funktion: Maximum f(2) = 14 und Minimum f(3) = 13.

Beispiel 3.23. Es ist notwendig, in der Nähe der Steinmauer einen rechteckigen Bereich zu bauen, der auf drei Seiten mit Maschendraht eingezäunt ist und auf der vierten Seite an die Mauer angrenzt. Dafür gibt es a laufende Meter des Gitters. Bei welchem ​​Seitenverhältnis hat die Site die größte Fläche?

Entscheidung. Bezeichnen Sie die Seiten der Website durch x und j. Die Fläche des Standorts ist S = xy. Lassen j ist die Länge der an die Wand angrenzenden Seite. Dann muss per Bedingung die Gleichheit 2x + y = a gelten. Daher y = a - 2x und S = x(a - 2x), wobei
0 ≤ x ≤ a/2 (die Länge und Breite der Fläche dürfen nicht negativ sein). S "= a - 4x, a - 4x = 0 für x = a/4, woraus
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für xa/4 S "> 0 und für x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24. Es ist erforderlich, einen geschlossenen zylindrischen Tank mit einem Fassungsvermögen von V=16p ≈ 50 m 3 herzustellen. Welche Abmessungen sollte der Tank haben (Radius R und Höhe H), um möglichst wenig Material für seine Herstellung zu verwenden?

Entscheidung. Die Gesamtoberfläche des Zylinders ist S = 2pR(R+H). Wir kennen das Volumen des Zylinders V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Daher ist S(R) = 2p(R 2 + 16/R). Wir finden die Ableitung dieser Funktion:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S "(R) \u003d 0 für R 3 \u003d 8, daher
R = 2, H = 16/4 = 4.

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