Merkitse a:lla vektorin ja projektioakselin välinen kulma ja siirrä vektoria

niin, että sen origo osuu yhteen akselin jonkin pisteen kanssa. Jos vektorin komponentin ja akselin suunnat ovat samat, niin kulma a on terävä ja, kuten kuvasta 12 voidaan nähdä. 24, a,

jossa a on vektorin a moduuli. Jos vektorin ja akselin suunnat ovat vastakkaiset, niin projektion etumerkki huomioon ottaen meillä on - (ks. kuva 24, b)

eli edellinen lauseke (muista, että in Tämä tapaus kulma a on tylppä ja

Siten vektorin projektio akselille on yhtä suuri kuin vektorin moduulin ja vektorin ja akselin välisen kulman kosinin tulo:

Tämän lisäksi yksinomaan merkitys kaavat, vektorin projektio akselille, vielä yksi yksinkertainen kaava. Asetetaan vertailupiste akselille ja valitaan asteikko, joka on yhteinen vektorien asteikon kanssa. Kuten tiedät, pisteen koordinaatti on luku, joka ilmaisee valitulla asteikolla etäisyyden akselin origosta tietyn pisteen projektioon akselilla, ja tämä luku otetaan plusmerkillä, jos pisteen projektio poistetaan origosta akselin suunnassa ja miinusmerkillä muuten tapaus. Joten esimerkiksi pisteen A koordinaatti (kuva 23, b) on etumerkillinen luku, joka ilmaisee janan pituuden, ja pisteen B koordinaatti otetaan merkillä - numerolla, joka määrittää janan pituuden. segmentti (emme viivyttele tässä

tarkemmin, olettaen, että lukija tuntee pistekoordinaattien käsitteen alkeismatematiikan kurssista).

Merkitään x-akselilla olevan vektorin alun koordinaatilla ja lopun koordinaatilla. Sitten, kuten kuvasta näkyy. 23, a, meillä on

Vektorin projektio x-akselille on yhtä suuri kuin

tai ottaen huomioon aikaisemmat yhtäläisyydet,

On helppo nähdä, että tämä kaava on yleinen luonne eikä se riipu vektorin sijainnista suhteessa akseliin ja origoon. Harkitse tosiaankin kuvassa esitettyä tapausta. 23, s. Pisteiden koordinaattien määrittelystä ja vektorin projektiosta saadaan peräkkäin

(Lukija voi helposti tarkistaa kaavan oikeellisuuden ja vektorin eri sijainnin suhteessa akseliin ja origoon).

Kohdasta (6.11) seuraa, että vektorin projektio akselille on yhtä suuri kuin vektorin lopun ja alun koordinaattien välinen erotus.

Vektorin projektion laskenta akselille on useimmiten hyvin yleistä erilaisia ​​asioita. Siksi on tarpeen kehittää vankkaa ennusteiden laskemisen taitoa. Voit määrittää joitain temppuja, jotka helpottavat ennusteiden laskentaa.

1. Vektorin projektion etumerkki akselille voidaan pääsääntöisesti määrittää suoraan piirustuksesta ja projektiomoduuli voidaan laskea kaavalla

missä - terävä kulma vektorin ja projektioakselin välillä - jos ja jos Tämä tekniikka ilman mitään perustavanlaatuista uutta on jonkin verran

helpottaa projektion laskemista, koska se ei vaadi trigonometrisiä muunnoksia.

2. Jos haluat määrittää vektorin projektion kahdelle keskenään kohtisuoralle akselille x ja y (oletetaan, että vektori on näiden akselien tasolla) ja on terävä kulma vektorin ja x-akselin välillä, niin

(projektiomerkki määritetään piirustuksesta).

Esimerkki. Etsi kuvan 1 mukaisen voiman projektiot koordinaattiakseleilta x ja y. 25. Piirustuksesta voidaan nähdä, että molemmat projektiot ovat negatiivisia. Näin ollen

3. Joskus sovelletaan kaksoissuunnittelusääntöä, joka koostuu seuraavista. Olkoon vektori ja tasossa oleva akseli, pudotetaan kohtisuorat vektorin päästä tasoon ja suoraan ja sitten yhdistetään kohtisuorien kantat suorasegmentillä (kuva 26). Merkitään vektorin ja tason välistä kulmaa kulman välisen ja läpimenon kautta sekä vektorin ja projektioakselin välistä kulmaa a:n kautta. Koska kulma on oikea (rakenteesta), niin

Johdanto………………………………………………………………………………3

1. Vektorin ja skalaarin arvo………………………………………………….4

2. Pisteen projektion, akselin ja koordinaatin määrittely……………………5

3. Vektoriprojektio akselille………………………………………………………6

4. Vektorialgebran peruskaava………………………………..8

5. Vektorin moduulin laskeminen sen projektioista………………………9

Johtopäätös………………………………………………………………………………………………….

Kirjallisuus……………………………………………………………………………12

Esittely:

Fysiikka liittyy erottamattomasti matematiikkaan. Matematiikka antaa fysiikkaan yleiset ja tekniikat tarkka ilmaisu välisiä riippuvuuksia fyysisiä määriä, jotka löydetään kokeen tai teoreettisen tutkimuksen tuloksena.. Fysiikan pääasiallinen tutkimusmenetelmä on kuitenkin kokeellinen. Tämä tarkoittaa, että tiedemies paljastaa laskelmat mittausten avulla. Tarkoittaa suhdetta eri fyysisten suureiden välillä. Sitten kaikki käännetään matematiikan kielelle. Muodostettu matemaattinen malli. Fysiikka on tiede, joka tutkii yksinkertaisinta ja samalla eniten yleisiä malleja. Fysiikan tehtävänä on luoda mieleemme sellainen kuva fyysistä maailmaa, joka heijastaa täydellisesti sen ominaisuuksia ja tarjoaa sellaisia ​​mallin elementtien välisiä suhteita, jotka ovat olemassa elementtien välillä.

Joten fysiikka luo mallin ympäröivästä maailmasta ja tutkii sen ominaisuuksia. Mutta mikä tahansa malli on rajoitettu. Tietystä ilmiöstä malleja luotaessa otetaan huomioon vain ne ominaisuudet ja yhteydet, jotka ovat olennaisia ​​tietylle ilmiöalueelle. Tämä on tiedemiehen taidetta - kaikista lajikkeista valita tärkein asia.

Fysikaaliset mallit ovat matemaattisia, mutta matematiikka ei ole niiden perusta. Määrälliset suhteet fyysisten suureiden välillä selviää mittausten, havaintojen ja kokeelliset tutkimukset ja ne ilmaistaan ​​vain matematiikan kielellä. Kuitenkin toinen kieli rakentaa fyysiset teoriat ei ole olemassa.

1. Vektorin ja skalaarin arvo.

Fysiikassa ja matematiikassa vektori on suure, jolle on ominaista sen tunnus numeerinen arvo ja suunta. Fysiikassa on monia tärkeitä suureita, jotka ovat vektoreita, kuten voima, sijainti, nopeus, kiihtyvyys, vääntömomentti, liikemäärä, sähkö- ja magneettikentät. Ne voidaan verrata muihin suureisiin, kuten massaan, tilavuuteen, paineeseen, lämpötilaan ja tiheyteen, joita voidaan kuvata yhteinen numero, ja niitä kutsutaan skalaarit" .

Ne kirjoitetaan joko tavallisella kirjasimella tai numeroilla (a, b, t, G, 5, -7 ....). skalaarit voi olla positiivista ja negatiivista. Samaan aikaan joillakin tutkimuskohteilla voi olla tällaisia ​​ominaisuuksia, esim täydellinen kuvaus jonka pelkän numeerisen suuren tieto osoittautuu riittämättömäksi, on myös tarpeen karakterisoida nämä ominaisuudet avaruuden suunnalla. Tällaisia ​​ominaisuuksia kuvaavat vektorisuureet (vektorit). Vektorit, toisin kuin skalaarit, on merkitty lihavoiduilla kirjaimilla: a, b, g, F, C ....
Usein vektoria merkitään tavallisella (ei lihavoidulla) kirjaimella, mutta sen yläpuolella on nuoli:

Lisäksi vektoria merkitään usein kirjainparilla (yleensä isoilla kirjaimilla), jolloin ensimmäinen kirjain osoittaa vektorin alkua ja toinen kirjain sen loppua.

Vektorin moduuli, eli suunnatun suoraviivaisen segmentin pituus, on merkitty samoilla kirjaimilla kuin itse vektori, mutta tavallisella (ei lihavoidulla) kirjoituksella ja ilman nuolta niiden yläpuolella tai samalla tavalla vektorina (eli lihavoituna tai tavallinen, mutta nuolella), mutta sitten vektorinimitys on suljettu pystysuoralla katkoviivalla.
Vektori on monimutkainen kohde, jolle on tunnusomaista sekä suuruus että suunta samaan aikaan.

Positiivisia ei myöskään ole negatiiviset vektorit. Mutta vektorit voivat olla samat keskenään. Tällöin esimerkiksi a:lla ja b:llä on samat moduulit ja ne on suunnattu samaan suuntaan. Tässä tapauksessa ennätys a= b. On myös syytä muistaa, että vektorisymbolia voi edeltää miinusmerkki, esimerkiksi -c, mutta tämä merkki osoittaa symbolisesti, että vektorilla -c on sama moduuli kuin vektorilla c, mutta se on suunnattu vastakkainen suunta.

Vektoria -c kutsutaan vektorin c vastakohtaksi (tai käänteiseksi).
Fysiikassa jokainen vektori on kuitenkin täytetty tietyllä sisällöllä, ja vertailtaessa samantyyppisiä vektoreita (esimerkiksi voimia) voi myös niiden soveltamispisteillä olla suuri merkitys.

2.Pisteen projektion, akselin ja koordinaatin määrittäminen.

Akseli on suora, jolle on annettu suunta.
Akseli ilmaistaan ​​millä tahansa kirjaimella: X, Y, Z, s, t ... Yleensä akselilta valitaan (mielivaltaisesti) piste, jota kutsutaan origoksi ja joka yleensä ilmaistaan ​​kirjaimella O Tästä pisteestä mitataan etäisyydet muihin meille kiinnostaviin kohteisiin.

pisteen projektio akselilla kutsutaan tästä pisteestä annettuun akseliin pudotetun kohtisuoran kantaa. Eli pisteen projektio akselille on piste.

pisteen koordinaatti tätä akselia kutsutaan numeroksi, absoluuttinen arvo joka on yhtä suuri kuin akselin segmentin pituus (valitussa mittakaavassa), joka on akselin origon ja pisteen tälle akselille projektion välissä. Tämä luku otetaan plusmerkillä, jos pisteen projektio sijaitsee akselin suunnassa sen alusta alkaen ja miinusmerkillä, jos pisteen projektio on vastakkaisessa suunnassa.

3. Vektorin projektio akselille.

Vektorin projektio akselille on vektori, joka saadaan kertomalla vektorin skalaariprojektio tälle akselille ja tämän akselin yksikkövektorille. Esimerkiksi, jos x on vektorin a skalaariprojektio X-akselille, niin a x i on sen vektoriprojektio tälle akselille.

Merkitään vektoriprojektio samalla tavalla kuin itse vektori, mutta sen akselin indeksillä, jolle vektori projisoidaan. Joten vektorin a vektoriprojektio X-akselilla on merkitty x:llä (lihavoitu kirjain, joka tarkoittaa vektoria ja akselin nimen alaindeksiä) tai

(ei lihavoitu kirjain, joka ilmaisee vektoria, mutta yläosassa on nuoli (!) ja akselin nimen alaindeksi).

Skalaariprojektio vektori per akseli kutsutaan määrä, jonka itseisarvo on yhtä suuri kuin vektorin alkupisteen ja loppupisteen projektioiden välissä olevan akselin segmentin pituus (valitussa mittakaavassa). Yleensä ilmaisun sijaan skalaariprojektio sano vain - projektio. Projektio on merkitty samalla kirjaimella kuin projisoitu vektori (normaalilla, ei-lihavoidulla kirjoituksella), ja sen akselin nimen alaindeksi (yleensä) jolle tämä vektori projisoidaan. Esimerkiksi jos vektori projisoidaan x-akselille a, sitten sen projektiota merkitään x:llä. Projisoitaessa samaa vektoria toiselle akselille, jos akseli on Y , sen projektiota merkitään y .

Projektion laskemiseen vektori akselilla (esimerkiksi X-akselilla) on tarpeen vähentää alkupisteen koordinaatti sen loppupisteen koordinaatista, eli

ja x \u003d x k - x n.

Vektorin projektio akselille on luku. Lisäksi projektio voi olla positiivinen, jos arvo x to enemmän arvoa x n,

negatiivinen, jos x k:n arvo on pienempi kuin x n:n arvo

ja nolla, jos x k on yhtä suuri kuin x n.

Vektorin projektio akselille voidaan löytää myös tietämällä vektorin moduuli ja kulma, jonka se muodostaa kyseisen akselin kanssa.

Kuvasta voidaan nähdä, että a x = a Cos α

Eli vektorin projektio akselille on yhtä suuri kuin vektorin moduulin ja akselin ja akselin suunnan välisen kulman kosinin tulo. vektorin suunta. Jos kulma on terävä, niin
Cos α > 0 ja a x > 0, ja jos tylppä, niin kosini tylppä kulma on negatiivinen, ja vektorin projektio akselille on myös negatiivinen.

Akselista vastapäivään laskettuja kulmia pidetään positiivisina ja suunnassa negatiivisina. Koska kosini on kuitenkin parillinen funktio, eli Cos α = Cos (− α), projektioita laskettaessa voidaan kulmia laskea sekä myötä- että vastapäivään.

Vektorin projektion akselille löytämiseksi tämän vektorin moduuli on kerrottava akselin suunnan ja vektorin suunnan välisen kulman kosinilla.

4. Vektorialgebran peruskaava.

Suunnitellaan vektori a X- ja Y-akseleille suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit. Etsi vektorin a vektoriprojektiot näillä akseleilla:

ja x = a x i ja y = a y j.

Mutta vektorin lisäyssäännön mukaan

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

Olemme siis ilmaisseet vektorin suorakulmaisen koordinaatiston projektioiden ja orttien perusteella (tai sen vektoriprojektioina).

Vektoriprojektioita a x ja a y kutsutaan vektorin a komponenteiksi tai komponenteiksi. Suoritettuamme operaatiota kutsutaan vektorin hajottamiseksi suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän akseleita pitkin.

Jos vektori on annettu avaruudessa, niin

a = a x i + a y j + a z k.

Tätä kaavaa kutsutaan peruskaava vektorialgebra. Tietysti sen voi kirjoittaa myös näin.

Algebrallinen projektio vektori millä tahansa akselilla on yhtä suuri kuin vektorin pituuden ja akselin ja vektorin välisen kulman kosinin tulo:

Oikea a b = |b|cos(a,b) tai

missä a b - vektorien pistetulo, |a| - vektorin a moduuli.

Ohje. Löytää vektorin Пp a b projektio sisään online-tilassa sinun on määritettävä vektorien a ja b koordinaatit. Tässä tapauksessa vektori voidaan antaa tasossa (kaksi koordinaattia) ja avaruudessa (kolme koordinaattia). Tuloksena oleva ratkaisu tallennetaan Word-tiedostoon. Jos vektorit annetaan pisteiden koordinaattien kautta, niin sitä on käytettävä tämä laskin.

Annettu:
kaksi vektorin koordinaattia
kolmen koordinaatin vektori
a: ; ;
b: ; ;

Vektoriprojektioluokitus

Projektiotyypit määritelmän vektoriprojektiolla

Projektiotyypit koordinaattijärjestelmän mukaan

Vektoriprojektion ominaisuudet

1. Vektorin geometrinen projektio on vektori (sillä on suunta).
2. Vektorin algebrallinen projektio on luku.

Vektoriprojektiolauseet

Lause 1. Vektorien summan projektio millä tahansa akselilla on yhtä suuri kuin vektoreiden termien projektio samalla akselilla.

Lause 2. Vektorin algebrallinen projektio mille tahansa akselille on yhtä suuri kuin vektorin pituuden ja akselin ja vektorin välisen kulman kosinin tulo:

Oikea a b = |b|cos(a,b)

Vektoriprojektioiden tyypit

1. projektio OX-akselille.
2. projektio OY-akselille.
3. projektio vektoriin.

Projektio OX-akselille	Projektio OY-akselille	Projektio vektoriin
Jos vektorin A'B' suunta osuu yhteen OX-akselin suunnan kanssa, niin vektorin A'B' projektiolla on positiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta osuu yhteen OY-akselin suunnan kanssa, niin vektorin A'B' projektiolla on positiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta on sama kuin vektorin NM suunta, niin vektorin A'B' projektiolla on positiivinen etumerkki.
Jos vektorin suunta on vastakkainen OX-akselin suuntaan, niin vektorin A’B’ projektiolla on negatiivinen merkki.	Jos vektorin A'B' suunta on vastakkainen OY-akselin suuntaan, niin vektorin A'B' projektiolla on negatiivinen etumerkki.	Jos vektorin A'B' suunta on vastakkainen vektorin NM suuntaan nähden, niin vektorin A'B' projektiolla on negatiivinen etumerkki.
Jos vektori AB on yhdensuuntainen akselin OX kanssa, niin vektorin A'B' projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB moduuli.	Jos vektori AB on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa, niin vektorin A'B' projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB moduuli.	Jos vektori AB on yhdensuuntainen vektorin NM kanssa, niin vektorin A'B' projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB moduuli.
Jos vektori AB on kohtisuorassa akseliin OX nähden, niin A'B':n projektio on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).	Jos vektori AB on kohtisuorassa OY-akselia vastaan, niin A'B':n projektio on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).	Jos vektori AB on kohtisuorassa vektoriin NM nähden, niin A'B':n projektio on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).

1. Kysymys: Voiko vektorin projektiolla olla negatiivinen etumerkki? Vastaus: Kyllä, vektoriprojektiot voivat olla negatiivinen arvo. Tässä tapauksessa vektorilla on vastakkainen suunta(katso kuinka akseli OX ja vektori AB on suunnattu)
2. Kysymys: Voiko vektorin projektio osua yhteen vektorin moduulin kanssa? Vastaus: Kyllä voi. Tässä tapauksessa vektorit ovat yhdensuuntaisia ​​(tai sijaitsevat samalla viivalla).
3. Kysymys: Voiko vektorin projektio olla yhtä suuri kuin nolla (nollavektori). Vastaus: Kyllä voi. Tässä tapauksessa vektori on kohtisuorassa vastaavaan akseliin (vektoriin) nähden.

Esimerkki 1. Vektori (kuva 1) muodostaa 60 o kulman OX-akselin kanssa (sen antaa vektori a). Jos OE on skaalausyksikkö, niin |b|=4, joten .

Itse asiassa vektorin pituus ( geometrinen projektio b) on yhtä suuri kuin 2 ja suunta on sama kuin OX-akselin suunta.

Esimerkki 2. Vektori (kuva 2) muodostaa kulman OX-akselin kanssa (vektorin a kanssa) (a,b) = 120 o . Pituus |b| vektori b on yhtä suuri kuin 4, joten pr a b=4 cos120 o = -2.

Itse asiassa vektorin pituus on yhtä suuri kuin 2 ja suunta on vastakkainen akselin suuntaan.