Osiossa, joka koskee kysymystä siitä, kuinka suorat ovat yhdensuuntaisia???? kirjoittajan antama Alyonka Yakovleva paras vastaus on Yhdensuuntaisten viivojen ominaisuudet
Lause
Kaksi yhdensuuntaista suoraa kolmannen kanssa ovat yhdensuuntaisia.
Todiste.
Olkoot suorat a ja b yhdensuuntaiset suoran c kanssa. Oletetaan, että suorat a ja b eivät ole yhdensuuntaisia. Sitten ne leikkaavat jossain pisteessä C. Osoittautuu, että pisteen C kautta kulkee kaksi suoraa c:n suuntaista suoraa. Mutta tämä on ristiriidassa aksiooman kanssa "Pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, on mahdollista piirtää tasolle enintään yksi viiva, joka on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa." Lause on todistettu.
Lause
Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa kolmannen suoran, niin leikkaavat sisäkulmat ovat yhtä suuret.
Todiste.
Olkoon rinnakkaiset suorat a ja b, jotka leikkaavat sekanttiviivan c. Suora c leikkaa suoran a pisteessä A ja suoran b pisteessä B. Piirretään suora a1 pisteen A läpi siten, että suorat a1 ja b sekantin c kanssa muodostavat yhtäläiset sisäiset ristikkäiset kulmat. Viivojen yhdensuuntaisuuden kriteerin mukaan suorat a1 ja b ovat yhdensuuntaisia. Ja koska pisteen A läpi voidaan vetää vain yksi b:n suuntainen suora, niin a ja a1 osuvat yhteen.
Siten suoran a ja b muodostamat sisäpuoliset poikkileikkauskulmat ovat yhtä suuret. Lause on todistettu.
Lauseen perusteella todistetaan:
Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa kolmannen suoran, vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.
Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa kolmas suora, niin sisäpuolen summa yksipuoliset kulmat vastaa 180º

Ohje

Ennen kuin aloitat todistuksen, varmista, että viivat ovat samassa tasossa ja että ne voidaan piirtää siihen. Suurin osa yksinkertaisella tavalla todiste on viivaimen mittausmenetelmä. Mittaa tätä varten viivaimen avulla suorien viivojen välinen etäisyys useista kohdista mahdollisimman kaukana toisistaan. Jos etäisyys pysyy samana, annetut suorat ovat yhdensuuntaisia. Mutta tämä menetelmä ei ole tarpeeksi tarkka, joten on parempi käyttää muita menetelmiä.

Piirrä kolmas suora niin, että se leikkaa molemmat yhdensuuntaiset suorat. Se muodostaa niiden kanssa neljä ulko- ja neljä sisäkulmaa. Harkitse sisäiset kulmat. Niitä, jotka sijaitsevat sekanttiviivan läpi, kutsutaan ristikkäisiksi. Niitä, jotka makaavat yhdellä puolella, kutsutaan yksipuoleiksi. Mittaa kaksi diagonaalista sisäkulmaa astelevyllä. Jos ne ovat yhtä suuret, suorat ovat yhdensuuntaisia. Jos olet epävarma, mittaa yksipuoliset sisäkulmat ja laske yhteen saadut arvot. Viivat ovat yhdensuuntaisia, jos yksipuolisten sisäkulmien summa on 180º.

Jos sinulla ei ole astelevyä, käytä 90 asteen neliötä. Käytä sitä rakentaaksesi kohtisuoraan johonkin suorasta. Jatka sen jälkeen tätä kohtisuoraa siten, että se leikkaa toisen suoran. Tarkista samaa neliötä käyttämällä, missä kulmassa tämä kohtisuora leikkaa sen. Jos tämä kulma on myös 90º, niin viivat ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.

Jos rivit on annettu Karteesinen järjestelmä koordinaatit, etsi niiden suunta tai normaalivektorit. Jos nämä vektorit ovat vastaavasti kollineaarisia keskenään, niin suorat ovat yhdensuuntaisia. Tuo suorien yhtälö yleiseen muotoon ja löydä kunkin suoran normaalivektorin koordinaatit. Sen koordinaatit ovat yhtä suuret kuin kertoimet A ja B. Siinä tapauksessa, että normaalivektorien vastaavien koordinaattien suhde on sama, ne ovat kollineaarisia ja suorat ovat yhdensuuntaisia.

Esimerkiksi suorat on annettu yhtälöillä 4x-2y+1=0 ja x/1=(y-4)/2. Ensimmäinen yhtälö on yleisnäkymä, toinen on kanoninen. Tuo toinen yhtälö yleiseen muotoon. Käytä tähän suhteiden muunnossääntöä, niin saat tulokseksi 2x=y-4. Yleiseen muotoon pelkistyksen jälkeen saadaan 2x-y + 4 = 0. Koska minkä tahansa rivin yleinen yhtälö on kirjoitettu Ax + Vy + C = 0, niin ensimmäiselle riville: A = 4, B = 2 ja toiselle riville A = 2, B = 1. Normaalivektorin ensimmäiselle suoralle koordinaatille (4;2) ja toiselle - (2;1). Etsi normaalivektorien vastaavien koordinaattien suhde 4/2=2 ja 2/1=2. Nämä luvut ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että vektorit ovat kollineaarisia. Koska vektorit ovat kollineaarisia, suorat ovat yhdensuuntaisia.

Kahden suoran yhdensuuntaisuuden merkit

Lause 1. Jos sekantin kahden suoran leikkauskohdassa:

vinottain makaavat kulmat ovat yhtä suuret tai

vastaavat kulmat ovat yhtä suuret tai

yksipuolisten kulmien summa on 180°

viivat ovat yhdensuuntaisia(Kuva 1).

Todiste. Rajaudumme tapauksen 1 todisteisiin.

Oletetaan, että suorien a ja b leikkauskohdassa AB-leikkauskulmat ovat yhtä suuret. Esimerkiksi ∠ 4 = ∠ 6. Osoitetaan, että a || b.

Oletetaan, että suorat a ja b eivät ole yhdensuuntaisia. Sitten ne leikkaavat jossain pisteessä M ja siten yksi kulmista 4 tai 6 on kolmion ABM ulkokulma. Olkoon varmuuden vuoksi ∠ 4 kolmion ABM ulkokulma ja ∠ 6 sisäkulma. Kolmion ulkokulman lauseesta seuraa, että ∠ 4 on suurempi kuin ∠ 6, ja tämä on ristiriidassa ehdon kanssa, mikä tarkoittaa, että suorat a ja 6 eivät voi leikkiä, joten ne ovat yhdensuuntaisia.

Seuraus 1. Kaksi erillistä suoraa samaan viivaan nähden kohtisuorassa tasossa ovat yhdensuuntaisia(Kuva 2).

Kommentti. Tapaa, jolla juuri todistimme Lauseen 1 tapauksen 1, kutsutaan todistusmenetelmäksi ristiriidalla tai pelkistetyksi absurdiksi. Tämä menetelmä sai etunimensä, koska päättelyn alussa tehdään oletus, joka on päinvastainen (päinvastainen) kuin todistettava. Sitä kutsutaan järjettömyydeksi pelkistymiseksi siitä syystä, että esitetyn oletuksen perusteella väittelemällä päädymme absurdiin johtopäätökseen (absurdi). Tällaisen päätelmän saaminen pakottaa meidät hylkäämään alussa tehdyn oletuksen ja hyväksymään sen, joka vaadittiin todistettavaksi.

Tehtävä 1. Rakenna viiva läpi annettu piste M ja yhdensuuntainen tietyn suoran a kanssa, joka ei kulje pisteen M läpi.

Ratkaisu. Piirretään suora p pisteen M kautta kohtisuoraan suoraa a vastaan ​​(kuva 3).

Sitten vedetään suora b pisteen M kautta kohtisuoraan suoraa p vastaan. Suora b on yhdensuuntainen suoran a kanssa Lauseen 1 seurauksen mukaan.

Käsitellystä ongelmasta seuraa tärkeä johtopäätös:
Pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, voidaan aina piirtää viiva, joka on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa..

Yhdensuuntaisten viivojen pääominaisuus on seuraava.

Yhdensuuntaisten viivojen aksiooma. Tietyn pisteen läpi, joka ei ole tietyllä suoralla, on vain yksi suora yhdensuuntainen annetun suoran kanssa.

Tarkastellaan joitain rinnakkaisten suorien ominaisuuksia, jotka seuraavat tästä aksioomasta.

1) Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se leikkaa toisen (kuva 4).

2) Jos kaksi eri suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia ​​(kuva 5).

Myös seuraava lause pitää paikkansa.

Lause 2. Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa sekantti, niin:

makuukulmat ovat yhtä suuret;

vastaavat kulmat ovat yhtä suuret;

yksipuolisten kulmien summa on 180°.

Seuraus 2. Jos suora on kohtisuorassa toiseen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se on myös kohtisuorassa toiseen.(katso kuva 2).

Kommentti. Lausea 2 kutsutaan Lauseen 1 käänteiseksi. Lauseen 1 johtopäätös on Lauseen 2 ehto. Ja Lauseen 1 ehto on Lauseen 2 johtopäätös. Jokaisella lauseella ei ole käänteisosaa, eli jos tämä lause on tosi, niin käänteinen lause voi olla väärä.

Selvitetään tämä lauseen esimerkillä pystysuorat kulmat. Tämä lause voidaan muotoilla seuraavasti: jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret. Käänteinen lause olisi tämä: jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, ne ovat pystysuorat. Ja tämä ei tietenkään pidä paikkaansa. Kaksi yhtäläiset kulmat ei tarvitse olla pystysuora.

Esimerkki 1 Kaksi yhdensuuntaista viivaa ylittää kolmas. Tiedetään, että kahden sisäisen yksipuolisen kulman välinen ero on 30°. Etsi ne kulmat.

Ratkaisu. Olkoon kuvion 6 ehdon mukainen.

Tämä artikkeli käsittelee yhdensuuntaisia ​​viivoja ja yhdensuuntaisia ​​viivoja. Aluksi annetaan tasossa ja avaruudessa olevien yhdensuuntaisten viivojen määritelmä, esitellään merkinnät, annetaan esimerkkejä ja graafisia kuvia yhdensuuntaisista viivoista. Lisäksi analysoidaan suorien viivojen yhdensuuntaisuuden merkkejä ja ehtoja. Ratkaisut esitetään johtopäätöksessä. ominaisia ​​tehtäviä todistaa suorien viivojen yhdensuuntaisuuden, jotka on annettu joidenkin suoran yhtälöiden avulla suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit koneessa ja sisällä kolmiulotteinen tila.

Sivulla navigointi.

Rinnakkaisviivat - perustiedot.

Määritelmä.

Kahta tasossa olevaa suoraa kutsutaan rinnakkain jos heillä ei ole yhteisiä kohtia.

Määritelmä.

Kutsutaan kahta viivaa kolmessa ulottuvuudessa rinnakkain jos ne sijaitsevat samassa tasossa eikä niillä ole yhteisiä pisteitä.

Huomaa, että "jos ne sijaitsevat samassa tasossa" lauseke avaruuden yhdensuuntaisten viivojen määrittelyssä on erittäin tärkeä. Selvennetään tämä kohta: kaksi suoraa kolmiulotteisessa avaruudessa, joilla ei ole yhteisiä pisteitä ja jotka eivät ole samassa tasossa, eivät ole yhdensuuntaisia, vaan ovat vinossa.

Tässä on esimerkkejä yhdensuuntaisista viivoista. Muistikirjan vastakkaiset reunat ovat yhdensuuntaisilla viivoilla. Suorat viivat, joita pitkin talon seinän taso leikkaa katon ja lattian tasot, ovat yhdensuuntaiset. Tasaisella maalla olevia rautateitä voidaan pitää myös yhdensuuntaisina linjoina.

Symbolia "" käytetään merkitsemään yhdensuuntaisia ​​viivoja. Eli jos suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia, voit kirjoittaa lyhyesti a b.

Huomaa, että jos suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia, voidaan sanoa, että suora a on yhdensuuntainen suoran b kanssa ja myös suora b on yhdensuuntainen suoran a kanssa.

Kuulkaamme lausunnon, joka pelaa tärkeä rooli Tason yhdensuuntaisten viivojen tutkimuksessa: pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, kulkee ainoa suora, joka on yhdensuuntainen tietyn kanssa. Tämä väite hyväksytään tosiasiaksi (ei voida todistaa planimetrian tunnettujen aksioomien perusteella), ja sitä kutsutaan rinnakkaisten suorien aksioomaksi.

Avaruuden tapauksessa lause pitää paikkansa: minkä tahansa avaruuden pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, kulkee yksi suora yhdensuuntainen annetun kanssa. Tämä lause voidaan helposti todistaa käyttämällä yllä olevaa rinnakkaisten suorien aksioomaa (selle todistus löytyy geometrian oppikirjan 10-11 luokasta, joka on lueteltu artikkelin lopussa bibliografiassa).

Avaruuden tapauksessa lause pitää paikkansa: minkä tahansa avaruuden pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, kulkee yksi suora yhdensuuntainen annetun kanssa. Tämä lause on helppo todistaa käyttämällä yllä annettua yhdensuuntaisten suorien aksioomaa.

Viivojen rinnakkaisuus - yhdensuuntaisuuden merkit ja ehdot.

Merkki yhdensuuntaisista viivoista On riittävä kunto suorien yhdensuuntaisuus, eli sellainen ehto, jonka täyttyminen takaa suorien yhdensuuntaisuuden. Toisin sanoen tämän ehdon täyttyminen riittää osoittamaan, että suorat ovat yhdensuuntaisia.

Myös yhdensuuntaisille viivoille tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa on tarpeelliset ja riittävät edellytykset.

Selvitetään ilmaisun "tarpeellinen ja riittävä edellytys yhdensuuntaisille viivoille" merkitys.

Olemme jo käsitelleet yhdensuuntaisten linjojen riittävän ehdon. Ja mikä on " välttämätön edellytys yhdensuuntaiset viivat? Nimellä "välttämätön" on selvää, että tämän ehdon täyttyminen on välttämätöntä, jotta viivat ovat yhdensuuntaisia. Toisin sanoen, jos yhdensuuntaisten viivojen välttämätön ehto ei täyty, suorat eivät ole yhdensuuntaisia. Tällä tavalla, välttämätön ja riittävä edellytys, jotta viivat ovat yhdensuuntaisia on ehto, jonka täyttyminen on sekä välttämätön että riittävä yhdensuuntaisille viivoille. Eli toisaalta tämä on merkki yhdensuuntaisista viivoista, ja toisaalta tämä on ominaisuus, joka rinnakkaisilla viivoilla on.

Ennen kuin sanotaan tarvittava ja riittävä ehto, jotta suorat ovat yhdensuuntaisia, on hyödyllistä muistaa muutama apumääritelmä.

sekanttiviiva on suora, joka leikkaa kummankin kahdesta annetusta ei-samanaikaisesta suorasta.

Sekantin kahden viivan risteyskohdassa muodostuu kahdeksan käyttämätöntä. Niin kutsuttu ristikkäin, vastaava ja yksipuoliset kulmat. Esitetään ne piirustuksessa.

Lause.

Jos kaksi tasossa olevaa suoraa leikkaa sekantti, niin niiden yhdensuuntaisuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että poikkisuuntaiset makuukulmat ovat yhtä suuret tai vastaavat kulmat ovat yhtä suuret tai yksipuolisten kulmien summa on 180 astetta.

Näytämme graafinen kuva tämä välttämätön ja riittävä ehto yhdensuuntaisille viivoille tasossa.

Näistä rinnakkaisten suorien ehdoista löytyy todisteita geometrian oppikirjoista luokille 7-9.

Huomaa, että näitä ehtoja voidaan käyttää myös kolmiulotteisessa avaruudessa - tärkeintä on, että kaksi viivaa ja sekantti ovat samassa tasossa.

Tässä on vielä muutama lause, joita käytetään usein suorien yhdensuuntaisuuden todistamisessa.

Lause.

Jos kaksi suoraa tasossa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia. Tämän ominaisuuden todiste seuraa rinnakkaisten suorien aksioomasta.

Olemassa samanlainen tila linjojen samansuuntaisuus kolmiulotteisessa avaruudessa.

Lause.

Jos kaksi suoraa avaruudessa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia. Tämän ominaisuuden todisteita tarkastellaan luokan 10 geometrian tunneilla.

Havainnollistetaan soinnilliset lauseet.

Annetaan vielä yksi lause, jonka avulla voimme todistaa suorien yhdensuuntaisuuden tasossa.

Lause.

Jos kaksi suoraa tasossa ovat kohtisuorassa kolmatta suoraa vastaan, ne ovat yhdensuuntaisia.

Samanlainen lause on olemassa avaruuden viivoille.

Lause.

Jos kaksi suoraa kolmiulotteisessa avaruudessa ovat kohtisuorassa samaan tasoon nähden, ne ovat yhdensuuntaisia.

Piirretään näitä lauseita vastaavat kuvat.

Kaikki edellä esitetyt lauseet, merkit sekä välttämättömät ja riittävät ehdot sopivat erinomaisesti suorien yhdensuuntaisuuden osoittamiseen geometrian menetelmin. Toisin sanoen kahden annetun suoran yhdensuuntaisuuden osoittamiseksi on tarpeen osoittaa, että ne ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, tai osoittaa ristikkäisten kulmien yhtäläisyys jne. Monet näistä ongelmista ratkaistaan ​​geometrian tunneilla lukio. On kuitenkin huomattava, että monissa tapauksissa on kätevää käyttää koordinaattimenetelmää suorien yhdensuuntaisuuden osoittamiseksi tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa. Muotoilkaamme tarvittavat ja riittävät ehdot suorakulmaisessa koordinaatistossa annettujen suorien yhdensuuntaisuudelle.

Viivojen rinnakkaisuus suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.

Tässä artikkelin osassa muotoilemme tarvittavat ja riittävät edellytykset yhdensuuntaisille linjoille suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, riippuen yhtälöiden tyypistä, jotka määrittävät nämä suorat, ja annamme myös yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja tyypillisiä tehtäviä.

Aloitetaan kahden suoran yhdensuuntaisuuden ehdolla suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa Oxy . Hänen todistuksensa perustuu suoran suuntausvektorin määrittelyyn ja suoran normaalivektorin määritelmään tasossa.

Lause.

Jotta kaksi ei-yhtenäistä suoraa olisi yhdensuuntainen tasossa, on välttämätöntä ja riittävää, että näiden suorien suuntavektorit ovat kollineaarisia tai näiden suorien normaalivektorit ovat kollineaarisia tai yhden suoran suuntavektori on kohtisuorassa normaaliin nähden toisen rivin vektori.

Ilmeisesti kahden tason yhdensuuntaisuuden ehto pienenee arvoon (suorien suuntavektorit tai suorien normaalivektorit) tai (yhden suoran suuntavektori ja toisen suoran normaalivektori). Siten jos ja ovat suorien a ja b suuntavektorit ja ja ovat suorien a ja b normaalivektorit, niin rinnakkaisten suorien a ja b välttämätön ja riittävä ehto voidaan kirjoittaa , tai , tai , jossa t on jokin reaaliluku. Suorien a ja b suunta- ja (tai) normaalivektorien koordinaatit puolestaan ​​löytyvät tunnetuista suorien yhtälöistä.

Erityisesti jos suora a suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy tasossa määrittää muodon suoran yleisen yhtälön , ja suora b - , silloin näiden viivojen normaalivektoreilla on koordinaatit ja vastaavasti, ja suorien a ja b yhdensuuntaisuuden ehto kirjoitetaan muodossa .

Jos suora a vastaa suoran yhtälöä muodon kaltevuuskertoimen kanssa . Siksi, jos suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän tasossa olevat suorat ovat yhdensuuntaisia ​​ja ne voidaan antaa yhtälöillä, joilla on kaltevuuskertoimet, niin kaltevuustekijät rivit ovat yhtä suuret. Ja päinvastoin: jos ei-yhdenmukaiset suorat suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa olevalla tasolla voidaan antaa yhtälöillä yhtälöillä, joilla on samat kaltevuuskertoimet, niin tällaiset suorat ovat yhdensuuntaisia.

Jos suora a ja suora b suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa määrittelevät suoran kanoniset yhtälöt muodon tasolla ja , tai muodon tasolla olevan suoran parametriset yhtälöt ja vastaavasti, niin näiden linjojen suuntavektoreilla on koordinaatit ja , ja linjojen a ja b yhdensuuntaisuusehto kirjoitetaan muodossa .

Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkki.

Ovatko viivat yhdensuuntaiset? ja ?

Ratkaisu.

Kirjoitetaan uudelleen muotoon suoran yhtälö segmenteiksi yleinen yhtälö suoraan: . Nyt on selvää, että - normaali vektori suoraan , ja on suoran normaalivektori. Nämä vektorit eivät ole kollineaarisia, koska sellaisia ​​ei ole oikea numero t, jolle tasa-arvo ( ). Siten välttämätön ja riittävä ehto suorien yhdensuuntaisuudelle tasossa ei täyty, joten annetut suorat eivät ole yhdensuuntaisia.

Vastaus:

Ei, viivat eivät ole yhdensuuntaisia.

Esimerkki.

Ovatko suorat ja yhdensuuntaisuudet?

Ratkaisu.

Tuodaan kanoninen yhtälö suora kaltevuuden sisältävän suoran yhtälöön: . Ilmeisesti suorien ja yhtälöt eivät ole samoja (tässä tapauksessa annetut suorat olisivat samat) ja viivojen jyrkkyys ovat yhtä suuret, joten alkuperäiset suorat ovat yhdensuuntaisia.

Tasossa suoria kutsutaan yhdensuuntaisiksi, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä, eli ne eivät leikkaa. Yhdensuuntaisuuden ilmaisemiseksi käytä erityistä kuvaketta || (rinnakkaisviivat a || b).

Avaruudessa sijaitseville viivoille ei riitä vaatimus, että yhteisiä pisteitä ei ole - jotta ne olisivat avaruudessa yhdensuuntaisia, niiden on kuuluttava samaan tasoon (muuten ne ovat vinossa).

Sinun ei tarvitse mennä kauas esimerkkejä yhdensuuntaisista viivoista, ne seuraavat meitä kaikkialla, huoneessa ne ovat seinän ja katon ja lattian leikkausviivoja, muistikirjan arkissa on vastakkaisia ​​reunoja jne.

On aivan selvää, että kun kaksi suoraa on yhdensuuntainen ja kolmas yhdensuuntainen kahden ensimmäisen kanssa, se on yhdensuuntainen toisen kanssa.

Tason yhdensuuntaiset suorat yhdistetään lauseella, jota ei voida todistaa planimetrian aksioomeilla. Se hyväksytään tosiasiana, aksioomana: jokaiselle tason pisteelle, joka ei ole suoralla, on yksi suora, joka kulkee sen läpi yhdensuuntaisesti annetun pisteen kanssa. Jokainen kuudesluokkalainen tietää tämän aksiooman.

Sen spatiaalinen yleistys, eli väite, että jokaiselle avaruuden pisteelle, joka ei ole suoralla, on ainutlaatuinen suora, joka kulkee sen läpi yhdensuuntaisesti annetun pisteen kanssa, on helppo todistaa käyttämällä jo tunnettua rinnakkaisuuden aksioomaa. kone.

Yhdensuuntaisten viivojen ominaisuudet

• Jos jokin kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta on yhdensuuntainen kolmannen kanssa, ne ovat keskenään yhdensuuntaisia.

Rinnakkaisilla viivoilla on tämä ominaisuus sekä tasossa että avaruudessa.
Harkitse esimerkkinä sen perusteluja stereometriassa.

Olkoon suorat b yhdensuuntaiset suoran a kanssa.

Tapaus, jossa kaikki suorat ovat samassa tasossa, jätetään planimetrian tehtäväksi.

Oletetaan, että a ja b kuuluvat betta-tasoon ja gamma on taso, johon a ja c kuuluvat (avaruuden yhdensuuntaisuuden määritelmän mukaan suorien tulee kuulua samaan tasoon).

Jos oletetaan, että betta- ja gamma-tasot ovat erilaisia ​​ja merkitsemme tietyn pisteen B suoralle b betta-tasosta, niin pisteen B ja suoran c kautta piirretyn tason on leikattava betta-taso suorassa linjassa (merkitsimme se b1).

Jos tuloksena oleva suora b1 leikkaa gammatason, niin toisaalta leikkauspisteen pitäisi olla a:lla, koska b1 kuuluu betta-tasoon ja toisaalta sen täytyy kuulua myös c:hen, koska b1 kuuluu kolmanteen tasoon.
Mutta yhdensuuntaiset suorat a ja c eivät saa leikkiä.

Siten suoran b1 täytyy kuulua betta-tasoon ja samalla sillä ei ole yhteisiä pisteitä a:n kanssa, joten yhdensuuntaisuuden aksiooman mukaan se osuu yhteen b:n kanssa.
Olemme saaneet suoran b kanssa yhtäpitävän suoran b1, joka kuuluu samaan tasoon suoran c kanssa eikä leikkaa sitä, eli b ja c ovat yhdensuuntaisia

• Pisteen, joka ei ole annetulla suoralla yhdensuuntaisen tietyn suoran kanssa, läpi voi kulkea vain yksi suora.

• Kaksi suoraa, jotka sijaitsevat kolmanteen nähden kohtisuorassa tasossa, ovat yhdensuuntaisia.

• Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta leikkaa tason, toinen suora leikkaa saman tason.

• Vastaavat ja ristikkäin sijaitsevat sisäkulmat, jotka muodostuvat kahden yhdensuuntaisen kolmannen suoran leikkauspisteestä, ovat yhtä suuret, tässä tapauksessa muodostuneiden sisäisten yksipuolisten kulmien summa on 180 °.

Myös käänteiset väitteet pitävät paikkansa, mikä voidaan pitää merkkinä kahden suoran yhdensuuntaisuudesta.

Yhdensuuntaisten viivojen kunto

Edellä esitetyt ominaisuudet ja merkit ovat suorien yhdensuuntaisuuden ehtoja ja ne voidaan todistaa geometrian menetelmin. Toisin sanoen kahden käytettävissä olevan suoran yhdensuuntaisuuden osoittamiseksi riittää, kun todistetaan niiden yhdensuuntaisuus kolmannen suoran kanssa tai kulmien yhtäläisyys, ovatko ne vastaavat vai poikki ja niin edelleen.

Todistuksessa käytetään pääasiassa "ristiriitaisesti" -menetelmää, eli olettaen, että suorat eivät ole yhdensuuntaisia. Tämän oletuksen perusteella voidaan helposti osoittaa, että tässä tapauksessa annettuja ehtoja rikotaan, esimerkiksi ristikkäiset sisäkulmat osoittautuvat epätasa-arvoisiksi, mikä todistaa tehdyn oletuksen virheellisyyden.