Persamaan kuadrat digunakan untuk memecahkan banyak masalah. Sebagian besar masalah yang mudah diselesaikan dengan menggunakan persamaan derajat pertama dapat diselesaikan secara aritmatika murni, meskipun terkadang dengan cara yang jauh lebih sulit, panjang, dan sering kali dibuat-buat. Masalah yang mengarah ke persamaan kuadrat, sebagai suatu peraturan, tidak dapat diselesaikan sama sekali solusi aritmatika. Dan permasalahan seperti ini menimbulkan banyak sekali pertanyaan yang beragam di bidang fisika, mekanika, mekanika fluida, aerodinamika dan banyak ilmu terapan lainnya.

Tahapan pokok penyusunan persamaan kuadrat menurut kondisi permasalahannya sama dengan penyelesaian permasalahan yang mengarah pada persamaan derajat pertama. Mari kita beri contoh.

Tugas. 1. Dua juru ketik mengetik naskah dalam waktu 6 jam. 40 menit. Berapa lama setiap juru ketik, yang bekerja sendiri, dapat mengetik ulang naskahnya jika juru ketik pertama menghabiskan 3 jam lebih banyak untuk pekerjaan ini daripada juru ketik kedua?

Larutan. Biarkan juru ketik kedua menghabiskan waktu x jam untuk mengetik naskah. Artinya juru ketik pertama akan menghabiskan waktu berjam-jam untuk pekerjaan yang sama.

Mari kita cari tahu bagian mana dari total pekerjaan yang dilakukan setiap juru ketik dalam satu jam dan bagian mana yang keduanya bersamaan.

Juru ketik pertama menyelesaikan bagian itu dalam satu jam

Bagian kedua.

Kedua juru ketik melakukan bagian itu.

Dari sini kita memiliki:

Sesuai dengan arti tugasnya nomor positif

Kalikan kedua ruas persamaan dengan Setelah disederhanakan, diperoleh persamaan kuadrat:

Karena , persamaan tersebut mempunyai dua akar. Dengan menggunakan rumus (B) kita menemukan:

Namun sebagaimana mestinya, nilai tersebut tidak valid untuk tugas ini.

Menjawab. Juru ketik pertama akan menghabiskan waktu berjam-jam untuk mengerjakannya, juru ketik kedua akan menghabiskan 12 jam.

Tugas 2. Kecepatan sendiri kilometer pesawat per jam. Pesawat terbang sejauh 1 km dua kali: pertama dengan angin, kemudian melawan angin, dan pada penerbangan kedua menghabiskan waktu lebih lama. Hitung kecepatan angin.

Kemajuan penyelesaian akan digambarkan dalam bentuk diagram.

Persamaan kuadrat dipelajari di kelas 8, jadi tidak ada yang rumit disini. Kemampuan untuk menyelesaikannya mutlak diperlukan.

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dengan koefisien a, b, dan c adalah bilangan sembarang, dan a ≠ 0.

Sebelum belajar metode tertentu solusinya, perhatikan bahwa semua persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga kelas:

1. Tidak mempunyai akar;
2. Memiliki tepat satu akar;
3. Mereka mempunyai dua akar yang berbeda.

Ini perbedaan penting persamaan kuadrat dari persamaan linier yang akar-akarnya selalu ada dan unik. Bagaimana cara menentukan berapa banyak akar suatu persamaan? Ada hal yang luar biasa untuk ini - diskriminan.

Diskriminan

Misalkan diberikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. Maka diskriminannya hanyalah bilangan D = b 2 − 4ac.

Anda perlu hafal rumus ini. Dari mana asalnya tidak penting sekarang. Hal lain yang penting: dengan tanda diskriminan Anda dapat menentukan berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat. Yaitu:

1. Jika D< 0, корней нет;
2. Jika D = 0, terdapat tepat satu akar;
3. Jika D > 0 maka terdapat dua akar.

Harap dicatat: diskriminan menunjukkan jumlah akar, dan bukan tanda-tandanya sama sekali, seperti yang diyakini banyak orang karena alasan tertentu. Lihatlah contohnya dan Anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugas. Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Mari kita tuliskan koefisien persamaan pertama dan cari diskriminannya:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Jadi diskriminannya positif, jadi persamaannya mempunyai dua akar yang berbeda. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
sebuah = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminannya negatif, tidak ada akarnya. Persamaan terakhir yang tersisa adalah:
sebuah = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminan sama dengan nol- akan ada satu akar.

Harap dicatat bahwa koefisien telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, itu panjang, ya, itu membosankan, tetapi Anda tidak akan mencampuradukkan peluang dan membuat kesalahan bodoh. Pilih sendiri: kecepatan atau kualitas.

Ngomong-ngomong, jika Anda sudah menguasainya, setelah beberapa saat Anda tidak perlu menuliskan semua koefisiennya. Anda akan melakukan operasi seperti itu di kepala Anda. Kebanyakan orang mulai melakukan ini setelah 50-70 persamaan terselesaikan - secara umum, tidak sebanyak itu.

Akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita beralih ke solusi itu sendiri. Jika diskriminan D > 0, akar-akarnya dapat dicari dengan rumus:

Rumus dasar akar-akar persamaan kuadrat

Jika D = 0, Anda dapat menggunakan salah satu rumus berikut - Anda akan mendapatkan angka yang sama yang akan menjadi jawabannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Persamaan pertama:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ persamaan mempunyai dua akar. Mari kita temukan:

Persamaan kedua:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ persamaan tersebut kembali mempunyai dua akar. Ayo temukan mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \kiri(-1 \kanan))=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Terakhir, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ persamaan mempunyai satu akar. Rumus apa pun bisa digunakan. Misalnya, yang pertama:

Seperti yang Anda lihat dari contoh, semuanya sangat sederhana. Jika Anda mengetahui rumusnya dan bisa berhitung, maka tidak akan ada masalah. Paling sering, kesalahan terjadi saat melakukan substitusi ke dalam rumus koefisien negatif. Sekali lagi, teknik yang dijelaskan di atas akan membantu: lihat rumusnya secara harfiah, tuliskan setiap langkah - dan Anda akan segera menghilangkan kesalahan.

Persamaan kuadrat tidak lengkap

Kebetulan persamaan kuadrat sedikit berbeda dari yang diberikan dalam definisi. Misalnya:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan ini kehilangan salah satu sukunya. Persamaan kuadrat seperti itu bahkan lebih mudah diselesaikan daripada persamaan standar: persamaan tersebut bahkan tidak memerlukan penghitungan diskriminan. Jadi, mari kita perkenalkan konsep baru:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, yaitu. koefisien variabel x atau unsur bebas sama dengan nol.

Tentu saja, kasus yang sangat sulit mungkin terjadi jika kedua koefisien ini sama dengan nol: b = c = 0. Dalam hal ini, persamaannya berbentuk ax 2 = 0. Jelasnya, persamaan tersebut memiliki akar tunggal: x = 0.

Mari kita pertimbangkan kasus lainnya. Misalkan b = 0, maka diperoleh persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0. Mari kita transformasikan sedikit:

Sejak aritmatika Akar pangkat dua hanya ada dari bilangan non-negatif, persamaan terakhir hanya masuk akal untuk (−c /a) ≥ 0. Kesimpulan:

1. Jika dalam persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0 pertidaksamaan (−c /a) ≥ 0 terpenuhi, maka akan terdapat dua akar. Rumusnya diberikan di atas;
2. Jika (−c /a)< 0, корней нет.

Seperti yang Anda lihat, diskriminan tidak diperlukan—tidak ada perhitungan rumit sama sekali dalam persamaan kuadrat tidak lengkap. Bahkan, tidak perlu mengingat pertidaksamaan (−c /a) ≥ 0. Cukup dengan menyatakan nilai x 2 dan melihat sisi lain dari tanda sama dengan. Jika ada bilangan positif, maka akan ada dua akar. Jika negatif maka tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita lihat persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, yang unsur bebasnya sama dengan nol. Semuanya sederhana di sini: akan selalu ada dua akar. Cukup dengan memfaktorkan polinomialnya:

Pemindahan pengganda umum keluar dari braket

Produknya nol jika setidaknya salah satu faktornya nol. Dari sinilah akarnya berasal. Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa persamaan berikut:

Tugas. Selesaikan persamaan kuadrat:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Tidak ada akar, karena persegi tidak bisa sama dengan bilangan negatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1.5.

TIGA KOTAK III

§ 50 Persamaan kuadrat

Persamaan bentuk

kapak 2 + bx+c = 0, (1)

Di mana X - kuantitas yang tidak diketahui, a, b, c- nomor yang diberikan ( A =/= 0), disebut persegi.

Dengan mengisolasi pada ruas kiri persamaan kuadrat persegi sempurna(lihat rumus (1) § 49), kita peroleh:

Jelasnya, persamaan (2) setara dengan persamaan (1) (lihat § 2). Persamaan (2) hanya dapat mempunyai akar real jika atau B 2 - 4ac > 0 (sejak 4 A 2 > 0).

Karena peran khusus yang dimainkan oleh ekspresi D = B 2 - 4ac saat menyelesaikan persamaan (1), ekspresi ini diberi nama khusus - diskriminan persamaan kuadrat kapak 2 + bx+c = 0 (atau diskriminan trinomial kuadrat kapak 2 + bx+c ). Jadi, jika diskriminan suatu persamaan kuadrat bernilai negatif, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar real.

Jika D = B 2 - 4ac > 0, maka dari (2) diperoleh:

Jika diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah non-negatif, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar real. Ditulis sebagai pecahan, yang pembilangnya memuat koefisien persamaan di X , diambil dari tanda yang berlawanan, ditambah atau dikurangi akar kuadrat dari diskriminan, dan pada penyebutnya - dua kali lipat koefisien di X 2 .

Jika diskriminan suatu persamaan kuadrat bernilai positif, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar real yang berbeda:

Jika diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah nol, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar sebenarnya:

X = - B / 2 A

(Dalam hal ini terkadang dikatakan persamaannya ada dua akar yang sama: X 1 = X 2 = - B / 2 A )

Contoh.

1) Untuk persamaan 2 X 2 - X - 3 = 0 diskriminan D = (- 1) 2 - 4 2 (- 3) = 25 > 0. Persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda:

2) Untuk persamaan 3 X 2 - 6X + 3 = 0 D = (- 6) 2 - 4 3 3 = 0. Persamaan ini mempunyai satu akar real

3) Untuk persamaan 5 X 2 + 4X + 7 = 0 D = 4 2 - 4 5 7 = - 124< 0. Это уравнение не имеет действительных корней.

4) Cari tahu pada nilai apa A persamaan kuadrat X 2 + Oh + 1 = 0:

a) memiliki satu akar;

b) memiliki dua akar yang berbeda;

c) tidak memiliki akar sama sekali,

Diskriminan persamaan kuadrat ini sama dengan

D= A 2 - 4.

Jika | sebuah | = 2, maka D = 0; dalam hal ini persamaan mempunyai satu akar.

Jika | sebuah | > 2, lalu D > 0; dalam hal ini persamaan mempunyai dua akar yang berbeda.

Akhirnya, jika | sebuah | < 2, то persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.

Latihan

Selesaikan persamaan (No. 364-369):

364. 6X 2 - X - 1 = 0. 367. - X 2 + 8X - 16 = 0.

365. 3X 2 - 5X + 1 = 0. 368. 2X 2 - 12X + 12 == 0.

366. X 2 - X + 1 = 0. 369. 2X - X 2 - 6 = 0.

370. Dapatkah bilangan 15 direpresentasikan sebagai penjumlahan dua bilangan sehingga hasil kali keduanya sama dengan 70?

371. Pada nilai apa A persamaannya

X 2 - 2Oh + A (1 + A ) = 0

a) memiliki dua akar yang berbeda;

b) hanya memiliki satu akar;

c) tidak memiliki akar?

372. Pada nilai apa A persamaannya

(1 - A ) X 2 - 4Oh + 4 (1 - A ) = 0

a) tidak memiliki akar;

b) tidak memiliki lebih dari satu akar;

c) memiliki setidaknya satu akar?

373. Berapa nilainya A persamaannya X 2 + Oh Apakah +1 = 0 mempunyai satu akar? Sama dengan apa?

374. Dalam batasan apa suatu bilangan terkandung? A , jika diketahui persamaannya

X 2 + x+a = 0 dan X 2 + x - sebuah = 0

375. Apa yang dapat Anda katakan tentang ukurannya A , jika persamaannya

4A (X 2 + X ) = A - 2.5 dan X (X - 1) = 1,25 - A

memiliki nomor yang sama akar?

376. Kereta tertunda di stasiun di T menit. Mengejar Waktu yang hilang, pengemudi meningkatkan kecepatannya sebesar A km/jam dan pada tahap berikutnya B km menghilangkan penundaan. Berapa kecepatan kereta api yang melaju sebelum terjadi penundaan di stasiun?

377. Dua derek, bekerja sama, menurunkan muatan tongkang di belakang T h. Berapa lama masing-masing crane dapat membongkar muatan tongkang secara individual jika salah satu dari mereka menghabiskan waktu A h kurang dari yang lain?

378. Salah satu pabrik memenuhi pesanan tertentu 4 hari lebih cepat dari pabrik lainnya. Berapa lama setiap pabrik dapat menyelesaikan suatu pesanan, bekerja secara terpisah, jika diketahui kapan bekerja bersama dalam 24 hari mereka menyelesaikan pesanan 5 kali lebih besar?

Selesaikan persamaan (No. 379, 380).

(Harap dicatat bahwa dalam persamaan ini, penyebut pecahan mengandung hal yang tidak diketahui. Akar yang dihasilkan perlu diperiksa!)

381*. Pada nilai apa A persamaan

X 2 + Oh + 1 = 0 dan X 2 + X + A = 0

memiliki setidaknya satu akar yang sama?

Farafonova Natalya Igorevna

Subjek: Persamaan kuadrat tidak lengkap.

Tujuan pelajaran:- Memperkenalkan konsep persamaan kuadrat tidak lengkap;

Belajar menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap.

Tujuan pelajaran:- Mampu menentukan jenis persamaan kuadrat;

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap.

Buku web: Aljabar: Buku Teks. untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / Sh.A.Alimov, Yu.M.Kolyagin, Yu.V.Sidorov, dll. - M.: Pendidikan, 2010.

Selama kelas.

1. Ingatkan siswa bahwa sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun, persamaan tersebut harus direduksi menjadi tampilan standar. Ingat definisinya persamaan kuadrat lengkap:kapak 2 +bx+c = 0,sebuah ≠ 0.

Dalam persamaan kuadrat berikut, sebutkan koefisien a, b, c:

a) 2x 2 - x + 3 = 0; b) x 2 + 4x - 1 = 0; c) x 2 - 4 = 0; d) 5x 2 + 3x = 0.

2. Definisikan persamaan kuadrat tidak lengkap:

Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 disebut tidak lengkap, jika setidaknya salah satu koefisien, b atau c, sama dengan 0. Perhatikan bahwa koefisien a ≠ 0. Dari persamaan di atas, pilih persamaan kuadrat tidak lengkap.

3. Lebih mudah menyajikan jenis persamaan kuadrat tidak lengkap dengan contoh penyelesaiannya dalam bentuk tabel:

1. Tanpa menyelesaikannya, tentukan jumlah akar setiap persamaan kuadrat tidak lengkap:

a) 2x 2 - 3 = 0; b) 3x 2 + 4 = 0; c) 5x 2 - x = 0; d) 0,6x 2 = 0; e) -8x 2 - 4 = 0.

1. Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap (menyelesaikan persamaan, dengan memeriksa di papan, 2 pilihan):

c) 2x 2 + 15 = 0

d) 3x 2 + 2x = 0

e) 2x 2 - 16 = 0

f) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)

g) (x + 1) 2 - 4 = 0

c) 2x 2 + 7 = 0

d) x 2 + 9x = 0

e) 81x 2 - 64 = 0

f) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)

g) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. Pekerjaan mandiri sesuai pilihan:

1 pilihan

a) 3x 2 - 12 = 0

b) 2x 2 + 6x = 0

e) 7x 2 - 14 = 0

pilihan 2

b) 6x 2 + 24 = 0

c) 9y 2 - 4 = 0

d) -kamu 2 + 5 = 0

e) 1 - 4 tahun 2 = 0

e) 8kamu 2 + kamu = 0

Pilihan 3

a) 6y - y 2 = 0

b) 0,1 tahun 2 - 0,5 tahun = 0

c) (x + 1)(x -2) = 0

d) x(x + 0,5) = 0

e) x 2 - 2x = 0

e) x 2 - 16 = 0

Pilihan 4

a) 9x 2 - 1 = 0

b) 3x - 2x 2 = 0

d) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

e) 3x 2 + 7 = 12x+ 7

Pilihan 5

a) 2x 2 - 18 = 0

b) 3x 2 - 12x = 0

d) x 2 + 16 = 0

e) 6x 2 - 18 = 0

e) x 2 - 5x = 0

Opsi 6

b) 4x 2 + 36 = 0

c) 25y 2 - 1 = 0

d) -kamu 2 + 2 = 0

e) 9 - 16 tahun 2 = 0

e) 7kamu 2 + kamu = 0

Pilihan 7

a) 4y - kamu 2 = 0

b) 0,2y 2 - y = 0

c) (x + 2)(x - 1) = 0

d) (x - 0,3)x = 0

e) x 2 + 4x = 0

e) x 2 - 36 = 0

Opsi 8

a) 16x 2 - 1 = 0

b) 4x - 5x 2 = 0

d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

e) 5x 2 - 6 = 15x - 6

Jawaban untuk pekerjaan mandiri:

Opsi 1: a)2, b)0;-3; c)0; d) tidak ada akar; D);

Opsi 2 a)0; b) akar; V); G); D); e)0;- ;

Opsi 3 a)0;6; b)0;5; c)-1;2; d)0;-0,5; d)0;2; e)4

4 opsi a); b)0;1,5; c)0;3; d)3; d)0;4 f)5

5 pilihan a)3; b)0;4; c)0; d) tidak ada akar; e)f)0;5

6 opsi a)0; b) tidak ada akar; c) d) e) f)0;-

7 opsi a)0;4; b)0;5; c)-2;1; d)0;0,03; d)0;-4; e)6

8 opsi a) b)0; c)0;7; d)4; d)0;3; e)

Ringkasan pelajaran: Konsep “persamaan kuadrat tidak lengkap” dirumuskan; solusi ditampilkan jenis yang berbeda persamaan kuadrat tidak lengkap. Sedang berlangsung berbagai tugas keterampilan untuk memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap telah dikembangkan.

7. Pekerjaan rumah: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Tugas tambahan:

Untuk nilai a berapakah persamaan tersebut merupakan persamaan kuadrat tidak lengkap? Selesaikan persamaan nilai a yang diperoleh:

a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

b) (a - 2)x 2 + kapak = 4 - a 2 = 0