- polinomial. Pada artikel ini, kami akan menyajikan semua informasi awal dan yang diperlukan tentang polinomial. Ini termasuk, pertama, definisi polinomial dengan definisi terkait istilah polinomial, khususnya, istilah bebas dan istilah serupa. Kedua, kita membahas polinomial dari bentuk standar, memberikan definisi yang sesuai dan memberikan contoh-contohnya. Akhirnya, kami memperkenalkan definisi derajat polinomial, mencari cara untuk menemukannya, dan berbicara tentang koefisien suku polinomial.

Navigasi halaman.

Polinomial dan anggotanya - definisi dan contoh

Di kelas 7, polinomial dipelajari segera setelah monomial, ini dapat dimengerti, karena definisi polinomial diberikan dalam bentuk monomial. Mari kita berikan definisi ini untuk menjelaskan apa itu polinomial.

Definisi.

polinomial adalah jumlah monomial; monomial dianggap sebagai kasus khusus dari polinomial.

Definisi tertulis memungkinkan Anda untuk memberikan contoh polinomial sebanyak yang Anda suka. Setiap monomial 5 , 0 , 1 , x , 5 a b 3 , x 2 0.6 x (−2) y 12 , dll. adalah polinomial. Juga menurut definisi 1+x , a 2 +b 2 dan merupakan polinomial.

Untuk kenyamanan menggambarkan polinomial, definisi istilah polinomial diperkenalkan.

Definisi.

Anggota polinomial adalah monomial yang membentuk polinomial.

Misalnya, polinomial 3 x 4 2 x y+3−y 3 memiliki empat suku: 3 x 4 , −2 x y , 3 dan y 3 . Monomial dianggap polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Definisi.

Polinomial yang terdiri dari dua dan tiga anggota memiliki nama khusus - binomium dan trinomial masing-masing.

Jadi x+y adalah binomial, dan 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b adalah trinomial.

Di sekolah, paling sering Anda harus bekerja dengan binomial linier a x+b , di mana a dan b adalah beberapa angka dan x adalah variabel, dan dengan trinomial persegi a x 2 +b x+c , di mana a , b dan c adalah beberapa bilangan dan x adalah variabel. Berikut adalah contoh binomial linier: x+1 , x 7,2−4 , dan berikut adalah contohnya trinomial persegi: x 2 +3 x−5 dan .

Polinomial dalam notasinya dapat memiliki suku yang serupa. Misalnya, dalam polinomial 1+5 x−3+y+2 x suku-suku serupa adalah 1 dan 3 , serta 5 x dan 2 x . Mereka memiliki nama khusus mereka sendiri - anggota polinomial yang serupa.

Definisi.

Anggota polinomial yang serupa ditelepon seperti istilah dalam polinomial.

Pada contoh sebelumnya, 1 dan 3 , serta pasangan 5 x dan 2 x , seperti suku-suku polinomial. Dalam polinomial dengan anggota yang sama, dimungkinkan untuk melakukan pengurangan anggota yang sama untuk menyederhanakan bentuknya.

Polinomial bentuk standar

Untuk polinomial, serta untuk monomial, ada yang disebut tampilan standar. Mari kita bunyikan definisi yang sesuai.

Berdasarkan definisi ini, kita dapat memberikan contoh polinomial dari bentuk standar. Jadi polinomial 3 x 2 x y+1 dan ditulis dalam bentuk standar. Dan ekspresi 5+3 x 2 x 2 +2 x z dan x+x y 3 x z 2 +3 z bukan polinomial dari bentuk standar, karena yang pertama mengandung suku yang mirip 3 x 2 dan x 2 , dan dalam yang kedua, monomial x · y 3 · x · z 2 , yang bentuknya berbeda dari yang standar.

Perhatikan bahwa jika perlu, Anda selalu dapat membawa polinomial ke bentuk standar .

Satu lagi konsep milik polinomial dari bentuk standar - konsep istilah bebas dari polinomial.

Definisi.

Anggota bebas polinomial memanggil anggota polinomial bentuk standar tanpa bagian huruf.

Dengan kata lain, jika ada bilangan dalam bentuk standar polinomial, maka disebut anggota bebas. Misalnya, 5 adalah suku bebas dari polinomial x 2 z+5 , sedangkan polinomial 7 a+4 a b+b 3 tidak memiliki suku bebas.

Derajat polinomial - bagaimana menemukannya?

Definisi penting lainnya yang terkait adalah definisi derajat polinomial. Pertama, kita mendefinisikan derajat polinomial dari bentuk standar, definisi ini didasarkan pada derajat monomial yang ada dalam komposisinya.

Definisi.

Derajat polinomial bentuk standar adalah pangkat terbesar dari monomial yang termasuk dalam notasinya.

Mari kita beri contoh. Derajat polinomial 5 x 3 4 sama dengan 3, karena monomial 5 x 3 dan 4 yang termasuk di dalamnya masing-masing memiliki derajat 3 dan 0, yang terbesar dari angka-angka ini adalah 3, yang merupakan derajat polinomial Menurut definisi. Dan derajat polinomial 4 x 2 y 3 5 x 4 y+6 x sama dengan bilangan terbesar 2+3=5 , 4+1=5 dan 1 , yaitu 5 .

Sekarang mari kita cari tahu cara mencari derajat polinomial tipe sewenang-wenang.

Definisi.

Derajat polinomial dari bentuk arbitrer adalah derajat polinomial yang sesuai dari bentuk standar.

Jadi, jika polinomial tidak ditulis dalam bentuk standar, dan Anda ingin menemukan derajatnya, maka Anda perlu membawa polinomial asli ke bentuk standar, dan menemukan derajat polinomial yang dihasilkan - itu akan menjadi yang diinginkan. Mari kita pertimbangkan sebuah contoh solusi.

Contoh.

Tentukan derajat polinomial 3 a 12 2 a b c a c b+y 2 z 2 2 a 12 a 12.

Keputusan.

Pertama, Anda perlu merepresentasikan polinomial dalam bentuk standar:
3 a 12 2 a b c a c b+y 2 z 2 2 a 12 a 12 = =(3 a 12 2 a 12 a 12)− 2 (a a) (b b) (c c)+y 2 z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Polinomial yang dihasilkan dari bentuk standar mencakup dua monomial 2 · a 2 · b 2 · c 2 dan y 2 · z 2 . Mari kita cari derajatnya: 2+2+2=6 dan 2+2=4 . Jelas, yang terbesar dari kekuatan ini adalah 6 , yang menurut definisi adalah derajat polinomial dari bentuk standar 2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, dan karenanya derajat polinomial asli., 3 x dan 7 dari polinomial 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 7 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-17. - M. : Pendidikan, 2008. - 240 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku siswa institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-17, tambahkan. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Aljabar dan mulai analisis matematis. Kelas 10: buku pelajaran. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 2010.- 368 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Konsep polinomial

Definisi polinomial: Polinomial adalah jumlah dari monomial. Contoh polinomial:

di sini kita melihat jumlah dari dua monomial, dan ini adalah polinomial, yaitu. jumlah monomial.

Suku-suku yang membentuk polinomial disebut anggota polinomial.

Apakah perbedaan monomial adalah polinomial? Ya, karena selisihnya mudah dijumlahkan, misalnya: 5a - 2b = 5a + (-2b).

Mononomial juga dianggap polinomial. Tetapi tidak ada jumlah dalam monomial, lalu mengapa dianggap polinomial? Dan Anda dapat menambahkan nol padanya dan mendapatkan jumlahnya dengan nol monomial. Jadi monomialnya adalah kasus spesial polinomial, terdiri dari satu suku.

Angka nol adalah polinomial nol.

Bentuk standar polinomial

Apa yang dimaksud dengan polinomial bentuk standar? Polinomial adalah jumlah dari monomial, dan jika semua monomial yang membentuk polinomial ini ditulis dalam bentuk standar, selain itu, tidak boleh ada yang serupa di antara mereka, maka polinomial tersebut ditulis dalam bentuk standar.

Contoh polinomial dalam bentuk standar:

di sini polinomial terdiri dari 2 monomial yang masing-masing memiliki bentuk standar, di antara monomial tidak ada yang serupa.

Sekarang contoh polinomial yang tidak memiliki bentuk standar:

di sini ada dua monomial: 2a dan 4a serupa. Kita perlu menambahkannya, maka polinomial akan mendapatkan bentuk standar:

Contoh lain:

Apakah polinomial ini direduksi menjadi bentuk standar? Tidak, anggota kedua tidak ditulis dalam bentuk standar. Menulisnya dalam bentuk standar, kita memperoleh polinomial bentuk standar:

Derajat polinomial

Berapa derajat polinomial?

Definisi derajat polinomial:

Derajat polinomial - tingkatan tertinggi, yang memiliki monomial yang membentuk diberikan polinomial tampilan standar.

Contoh. Berapa derajat polinomial 5h? Derajat polinomial 5h sama dengan satu, karena polinomial ini hanya berisi satu monomial dan derajatnya sama dengan satu.

Contoh lain. Berapakah derajat polinomial 5a 2 h 3 s 4 +1? Derajat polinomial 5a 2 h 3 s 4 + 1 adalah sembilan, karena polinomial ini mencakup dua monomial, monomial pertama 5a 2 h 3 s 4 memiliki derajat tertinggi, dan derajatnya adalah 9.

Contoh lain. Berapa derajat polinomial 5? Derajat polinomial 5 adalah nol. Jadi, derajat polinomial yang hanya terdiri dari angka, mis. tanpa huruf sama dengan nol.

Contoh terakhir. Berapa derajat polinomial nol, mis. nol? Derajat polinomial nol tidak ditentukan.

polinomial, ekspresi bentuk

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + + Dxrts┘..wt,

di mana x, y, ..., w variabel, dan A, B, ..., D (koefisien M.) dan k, l, ..., t (eksponen bilangan bulat bilangan non-negatif) konstanta. Istilah terpisah dari bentuk Ahkyl┘..wm disebut anggota M. Urutan istilah, serta urutan faktor dalam setiap istilah, dapat diubah secara sewenang-wenang; dengan cara yang sama, suku-suku dengan koefisien nol dapat diperkenalkan atau dihilangkan, dan dalam setiap suku pangkat dengan pangkat nol. Dalam hal M. memiliki satu, dua atau tiga anggota, itu disebut satu anggota, dua anggota, atau tiga anggota. Dua suku M. disebut serupa jika pangkat di dalamnya untuk variabel yang sama adalah berpasangan sama. Anggota serupa

A "хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, .., D"xkyl┘..wm

dapat diganti dengan satu (pengurangan istilah serupa). Dua metrik dikatakan sama jika, setelah pengurangan metrik serupa, semua suku dengan koefisien bukan nol menjadi identik berpasangan (tetapi dapat ditulis dalam urutan yang berbeda), dan juga jika semua koefisien metrik ini menjadi menjadi sama dengan nol. PADA kasus terakhir M. disebut nol identik dan dilambangkan dengan tanda 0. M. dari satu variabel x selalu dapat ditulis dalam bentuk

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

dimana a0, a1,..., an koefisien.

Jumlah eksponen dari setiap anggota M. disebut derajat anggota ini. Jika M. tidak identik dengan nol, maka di antara suku-suku dengan koefisien bukan-nol (diasumsikan bahwa semua suku tersebut diberikan) ada satu atau lebih derajat terbesar; derajat terbesar ini disebut derajat M. Nol identik tidak memiliki derajat. M. nol derajat direduksi menjadi satu suku A (konstanta, bukan nol). Contoh: xyz + x + y + z adalah polinomial derajat ketiga, 2x + y z + 1 adalah polinomial derajat pertama (linier M.), 5x2 2x2 3x2 tidak memiliki derajat, karena itu adalah nol identik. M., semua anggotanya derajat yang sama, disebut M homogen, atau bentuk; bentuk derajat pertama, kedua dan ketiga disebut linier, kuadrat, kubik, dan sesuai dengan jumlah variabel (dua, tiga) biner (biner), triner (terner) (misalnya, x2 + y2 + z2 xy yz xz adalah bentuk kuadrat segitiga).

Berkenaan dengan koefisien matematika, diasumsikan bahwa mereka termasuk dalam bidang tertentu (lihat bidang Aljabar), misalnya, bidang rasional, nyata, atau bilangan kompleks. Melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada M. berdasarkan hukum komutatif, asosiatif, dan distributif, kita memperoleh kembali M. Jadi, totalitas semua M. dengan koefisien dari bidang yang diberikan membentuk cincin (lihat cincin Aljabar) cincin polinomial di atas bidang tertentu; cincin ini tidak memiliki pembagi nol, yaitu, produk dari M. tidak sama dengan 0 tidak dapat memberikan 0.

Jika untuk dua polinomial P(x) dan Q(x) dapat ditemukan suatu polinomial R(x) sehingga P = QR, maka dikatakan bahwa P habis dibagi Q; Q disebut pembagi, dan R hasil bagi. Jika P tidak habis dibagi Q, maka polinomial P(x) dan S(x) dapat dicari sedemikian rupa sehingga P = QR + S, dan derajat S(x) derajat lebih rendah T(x).

Dengan aplikasi berulang dari operasi ini, seseorang dapat menemukan yang terbesar pembagi bersama P dan Q, yaitu, pembagi dari P dan Q yang habis dibagi oleh setiap pembagi umum dari polinomial ini (lihat algoritma Euclidean). M., yang dapat direpresentasikan sebagai produk dari M. derajat yang lebih rendah dengan koefisien dari bidang yang diberikan disebut direduksi (dalam bidang yang diberikan), jika tidak tidak dapat direduksi. Massa yang tidak dapat direduksi memainkan peran dalam cincin massa yang mirip dengan bilangan prima dalam teori bilangan bulat. Jadi, misalnya, teorema ini benar: jika produk PQ habis dibagi oleh polinomial R yang tidak dapat direduksi, dan P tidak habis dibagi R, maka Q harus habis dibagi R. Setiap M. dengan derajat lebih besar dari nol terurai dalam lapangan menjadi produk dari faktor-faktor yang tidak dapat direduksi secara unik (hingga pengali derajat nol). Misalnya, polinomial x4 + 1, tak tereduksi di lapangan angka rasional, terurai menjadi dua faktor

di lapangan bilangan asli dan oleh empat faktor dalam bidang bilangan kompleks. Secara umum, setiap M. dalam satu variabel x terurai di bidang bilangan real menjadi faktor-faktor derajat pertama dan kedua, di bidang bilangan kompleks menjadi faktor-faktor derajat pertama (teorema dasar aljabar). Untuk dua dan lagi variabel ini tidak bisa lagi ditegaskan; misalnya, polinomial x3 + yz2 + z3 tidak dapat direduksi dalam bidang bilangan apa pun.

Jika variabel x, y, ..., w diberikan nilai numerik tertentu (misalnya, nyata atau kompleks), maka M. juga akan menerima nilai tertentu nilai numerik. Dari sini dapat disimpulkan bahwa setiap M. dapat dianggap sebagai fungsi dari variabel-variabel yang bersesuaian. Fungsi ini kontinu dan terdiferensiasi untuk setiap nilai variabel; itu dapat dicirikan sebagai keseluruhan fungsi rasional, yaitu, fungsi yang diperoleh dari variabel dan beberapa konstanta (koefisien) dengan cara penambahan, pengurangan, dan perkalian yang dilakukan dalam urutan tertentu. utuh fungsi rasional termasuk dalam kelas fungsi rasional yang lebih luas, di mana pembagian ditambahkan ke tindakan yang terdaftar: setiap fungsi rasional dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua M. Akhirnya, fungsi rasional terkandung dalam kelas fungsi aljabar.

Ke nomor sifat yang paling penting M. mengacu pada fakta bahwa setiap fungsi kontinu M dapat diganti dengan kesalahan kecil yang sewenang-wenang (teorema Weierstrass; formulasi yang tepat mensyaratkan bahwa fungsi yang diberikan kontinu pada beberapa titik yang terbatas dan tertutup, misalnya, pada segmen sumbu numerik). Fakta ini, yang dapat dibuktikan dengan analisis matematis, memungkinkan untuk memperkirakan hubungan apa pun antara kuantitas yang dipelajari dalam setiap pertanyaan sains dan teknologi alam. Cara ekspresi seperti itu dipelajari dalam bagian khusus matematika (lihat Pendekatan dan interpolasi fungsi, kuadrat terkecil metode).

Dalam aljabar dasar, polinomial kadang-kadang disebut ekspresi aljabar seperti itu di mana tindakan terakhir adalah penambahan atau pengurangan, misalnya

menyala. : Kurosh A. G., Kursus Aljabar Tinggi, edisi ke-9., M., 1968; Mishina A. P., Proskuryakov I. V., Aljabar Tinggi, edisi ke-2., M., 1965.

Setelah mempelajari monomial, kita beralih ke polinomial. Artikel ini akan mencakup semua informasi yang perlu diperlukan untuk melakukan tindakan pada mereka. Kami akan mendefinisikan polinomial dengan definisi istilah polinomial yang menyertainya, yaitu, bebas dan serupa, mempertimbangkan polinomial dari bentuk standar, memperkenalkan gelar dan mempelajari cara menemukannya, bekerja dengan koefisiennya.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polinomial dan anggotanya - definisi dan contoh

Definisi polinomial diperlukan dalam 7 kelas setelah mempelajari monomial. Mari kita lihat definisi lengkapnya.

Definisi 1

polinomial jumlah monomial dipertimbangkan, dan monomial itu sendiri adalah kasus khusus dari polinomial.

Ini mengikuti dari definisi bahwa contoh polinomial dapat berbeda: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z dan seterusnya. Dari definisi kita memiliki itu 1+x, a2 + b2 dan ekspresi x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x adalah polinomial.

Mari kita lihat beberapa definisi lagi.

Definisi 2

Anggota polinomial monomial penyusunnya disebut.

Perhatikan contoh ini, di mana kita memiliki polinomial 3 x 4 2 x y + 3 y 3 , yang terdiri dari 4 anggota: 3 x 4 , 2 x y , 3 dan y 3. Monomial semacam itu dapat dianggap sebagai polinomial, yang terdiri dari satu suku.

Definisi 3

Polinomial yang memiliki 2, 3 trinomial dalam komposisinya memiliki nama yang sesuai - binomium dan trinomial.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa ekspresi bentuk x+y– adalah binomial, dan ekspresi 2 x 3 q q x x + 7 b adalah trinomial.

Oleh kurikulum sekolah bekerja dengan binomial linier dari bentuk a x + b, di mana a dan b adalah beberapa angka, dan x adalah variabel. Perhatikan contoh binomial linier dalam bentuk: x + 1 , x · 7 , 2 4 dengan contoh trinomial persegi x 2 + 3 · x 5 dan 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Untuk transformasi dan solusi, perlu untuk menemukan dan membawa istilah serupa. Misalnya, polinomial dengan bentuk 1 + 5 x 3 + y + 2 x memiliki suku yang sama 1 dan - 3, 5 x dan 2 x. Mereka dibagi menjadi grup khusus dengan nama suku-suku polinomial yang serupa.

Definisi 4

Anggota polinomial yang serupa seperti istilah dalam polinomial.

Dalam contoh di atas, kita memiliki bahwa 1 dan - 3 , 5 x dan 2 x adalah suku-suku yang serupa dari polinomial atau suku-suku serupa. Untuk menyederhanakan ekspresi, temukan dan kurangi suku yang serupa.

Polinomial bentuk standar

Semua monomial dan polinomial memiliki nama spesifik mereka sendiri.

Definisi 5

Polinomial bentuk standar Suatu polinomial disebut di mana setiap anggotanya memiliki monomial bentuk standar dan tidak mengandung anggota yang sama.

Dari definisi tersebut dapat dilihat bahwa polinomial bentuk standar dapat direduksi, misalnya 3 x 2 x y + 1 dan __formula__, dan catatan dalam bentuk standar. Persamaan 5 + 3 x 2 x 2 + 2 x z dan 5 + 3 x 2 x 2 + 2 x z bukan polinomial dalam bentuk standar, karena suku pertama memiliki suku yang serupa dalam bentuk 3 x 2 dan x2, dan yang kedua berisi monomial bentuk x · y 3 · x · z 2 , yang berbeda dari polinomial standar.

Jika keadaan mengharuskan demikian, terkadang polinomial direduksi menjadi bentuk standar. Konsep suku bebas dari polinomial juga dianggap sebagai polinomial bentuk standar.

Definisi 6

Anggota bebas polinomial adalah polinomial bentuk standar tanpa bagian huruf.

Dengan kata lain, ketika notasi polinomial dalam bentuk standar memiliki angka, itu disebut anggota bebas. Maka bilangan 5 adalah anggota bebas dari polinomial x 2 · z + 5 , dan polinomial 7 · a + 4 · a · b + b 3 tidak memiliki anggota bebas.

Derajat polinomial - bagaimana menemukannya?

Definisi derajat polinomial didasarkan pada definisi polinomial bentuk standar dan pada derajat monomial yang merupakan komponennya.

Definisi 7

Derajat polinomial bentuk standar sebutkan pangkat terbesar yang termasuk dalam notasinya.

Mari kita lihat sebuah contoh. Derajat polinomial 5 x 3 4 sama dengan 3, karena monomial yang termasuk dalam komposisinya memiliki derajat 3 dan 0, dan yang terbesar berturut-turut adalah 3. Definisi derajat dari polinomial 4 x 2 y 3 5 x 4 y + 6 x sama dengan bilangan terbesar, yaitu 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 dan 1 , jadi 5 .

Penting untuk mencari tahu bagaimana derajat itu sendiri ditemukan.

Definisi 8

Derajat polinomial dari bilangan arbitrer adalah derajat polinomial yang bersesuaian dalam bentuk standar.

Ketika polinomial tidak ditulis dalam bentuk standar, tetapi Anda perlu menemukan derajatnya, Anda perlu menguranginya ke bentuk standar, dan kemudian menemukan derajat yang diperlukan.

Contoh 1

Tentukan derajat polinomial 3 a 12 2 a b c a c b + y 2 z 2 2 a 12 a 12.

Keputusan

Pertama, kami menyajikan polinomial dalam bentuk standar. Kami mendapatkan ekspresi seperti:

3 a 12 2 a b c a c b + y 2 z 2 2 a 12 a 12 = = (3 a 12 2 a 12 a 12) 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Ketika memperoleh polinomial dari bentuk standar, kami menemukan bahwa dua di antaranya jelas dibedakan - 2 · a 2 · b 2 · c 2 dan y 2 · z 2 . Untuk menemukan derajat, kita menghitung dan mendapatkan bahwa 2 + 2 + 2 = 6 dan 2 + 2 = 4 . Dapat dilihat bahwa yang terbesar sama dengan 6. Dari definisi berikut, tepat 6 adalah derajat polinomial 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, maka nilai aslinya.

Menjawab: 6 .

Koefisien suku-suku polinomial

Definisi 9

Ketika semua suku dari polinomial adalah monomial dari bentuk standar, maka dalam hal ini mereka memiliki nama koefisien suku polinomial. Dengan kata lain, mereka dapat disebut koefisien polinomial.

Jika memperhatikan contoh, dapat dilihat bahwa polinomial dari bentuk 2 x 0, 5 x y + 3 x + 7 memiliki 4 polinomial dalam komposisinya: 2 x, 0, 5 x y, 3 x dan 7 dengan masing-masing koefisien 2 , 0, 5 , 3 dan 7 . Oleh karena itu, 2 , 0, 5 , 3 dan 7 dianggap sebagai koefisien dari suku-suku polinomial yang diberikan dalam bentuk 2 · x 0, 5 · x · y + 3 · x + 7 . Saat mengonversi, penting untuk memperhatikan koefisien di depan variabel.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Menurut definisi, polinomial adalah ekspresi aljabar yang merupakan jumlah monomial.

Misalnya: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 adalah polinomial, dan ekspresi z/(x - x*y^2 + 4) bukan polinomial karena ini bukan jumlah dari monomial. Sebuah polinomial kadang-kadang juga disebut polinomial, dan monomial yang merupakan bagian dari polinomial adalah anggota dari polinomial atau monomial.

Konsep kompleks polinomial

Jika polinomial terdiri dari dua suku, maka disebut binomial, jika terdiri dari tiga - trinomial. Nama-nama suku empat, suku lima dan lainnya tidak digunakan, dan dalam kasus seperti itu mereka hanya mengatakan, polinomial. Nama-nama seperti itu, tergantung pada jumlah istilah, meletakkan semuanya pada tempatnya.

Dan istilah monomial menjadi intuitif. Dari sudut pandang matematika, monomial adalah kasus khusus dari polinomial. Monomial adalah polinomial yang hanya memiliki satu suku.

Sama seperti monomial, polinomial memiliki bentuk standarnya sendiri. Bentuk standar polinomial adalah notasi polinomial di mana semua monomial yang termasuk di dalamnya karena suku-sukunya ditulis dalam bentuk standar dan diberikan suku-suku yang serupa.

Bentuk standar polinomial

Prosedur untuk membawa polinomial ke bentuk standar adalah membawa masing-masing monomial ke bentuk standar, dan kemudian menambahkan semua monomial tersebut bersama-sama. Penambahan anggota polinomial yang serupa disebut pengurangan suku yang serupa.
Sebagai contoh, berikan suku-suku serupa pada polinomial 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Istilah 4*a*b^2*c^3 dan 6*a*b^2*c^3 serupa di sini. Jumlah suku-suku ini akan menjadi monomial 10*a*b^2*c^3. Oleh karena itu, polinomial asli 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b dapat ditulis ulang menjadi 10*a*b^2*c^3 - a* b. Entri ini akan menjadi bentuk standar polinomial.

Dari fakta bahwa setiap monomial dapat direduksi menjadi bentuk standar, juga berarti bahwa setiap polinomial dapat direduksi menjadi bentuk standar.

Ketika polinomial direduksi menjadi bentuk standar, kita dapat membicarakan konsep seperti derajat polinomial. Derajat suatu polinomial adalah derajat terbesar dari suatu monomial yang termasuk dalam suatu polinomial tertentu.
Jadi, misalnya, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 adalah polinomial derajat kelima, karena derajat maksimum dari suatu monomial termasuk dalam polinomial (5*x^3*y^ 2) adalah yang kelima.