Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya dan acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai studi untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau publik lainnya acara penting.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Petunjuk

Temukan ruang lingkup fungsi. Misalnya, fungsi sin(x) didefinisikan pada seluruh interval dari -∞ hingga +∞, dan fungsi 1/x didefinisikan dari -∞ hingga +∞, kecuali untuk titik x = 0.

Tentukan area kontinuitas dan titik putus. Biasanya suatu fungsi kontinu dalam domain yang sama di mana ia didefinisikan. Untuk mendeteksi diskontinuitas, Anda perlu menghitung ketika argumen mendekati titik terisolasi di dalam domain definisi. Misalnya, fungsi 1/x cenderung tak hingga ketika x→0+ dan ke minus tak hingga saat x→0-. Artinya pada titik x = 0 memiliki diskontinuitas jenis kedua.
Jika limit pada titik diskontinuitas terbatas tetapi tidak sama, maka ini adalah diskontinuitas jenis pertama. Jika mereka sama, maka fungsi tersebut dianggap kontinu, meskipun tidak didefinisikan pada titik yang terisolasi.

Menemukan asimtot vertikal, jika mereka adalah. Perhitungan dari langkah sebelumnya akan membantu Anda di sini, karena asimtot vertikal hampir selalu berada pada titik diskontinuitas jenis kedua. Namun, terkadang bukan titik individu yang dikeluarkan dari domain definisi, tetapi seluruh interval titik, dan kemudian asimtot vertikal dapat ditempatkan di tepi interval ini.

Periksa apakah fungsinya memiliki properti khusus: genap, ganjil dan periodik.
Fungsi akan genap jika untuk sembarang x dalam domain f(x) = f(-x). Misalnya cos(x) dan x^2 - fungsi genap.

Periodisitas adalah sifat yang menyatakan bahwa ada bilangan tertentu T yang disebut periode, dimana untuk setiap x f(x) = f(x + T). Misalnya, semua jurusan fungsi trigonometri(sinus, kosinus, tangen) - periodik.

Temukan poin. Untuk melakukan ini, hitung turunan dari fungsi yang diberikan dan temukan nilai x itu di mana ia menghilang. Misalnya, fungsi f(x) = x^3 + 9x^2 -15 memiliki turunan g(x) = 3x^2 + 18x yang hilang di x = 0 dan x = -6.

Untuk menentukan titik ekstrem mana yang maksimal dan mana yang minimal, telusuri perubahan tanda turunan pada nol yang ditemukan. g(x) mengubah tanda dari plus di x = -6 dan kembali dari minus ke plus di x = 0. Oleh karena itu, fungsi f(x) memiliki minimum pada titik pertama dan minimum pada titik kedua.

Dengan demikian, Anda juga telah menemukan area monotonisitas: f(x) meningkat secara monoton pada interval -∞;-6, menurun secara monoton pada -6;0 dan meningkat lagi pada 0;+∞.

Temukan turunan kedua. Akarnya akan menunjukkan di mana grafik fungsi yang diberikan akan cembung, dan di mana itu akan cekung. Misalnya, turunan kedua dari fungsi f(x) adalah h(x) = 6x + 18. Hilang di x = -3, mengubah tandanya dari minus ke plus. Oleh karena itu, grafik f (x) sebelum titik ini akan cembung, setelah itu - cekung, dan titik ini sendiri akan menjadi titik belok.

Suatu fungsi mungkin memiliki asimtot lain, kecuali yang vertikal, tetapi hanya jika domain definisinya mencakup . Untuk menemukannya, hitung limit f(x) ketika x→∞ atau x→-∞. Jika terbatas, maka Anda telah menemukan asimtot horizontal.

Asimtot miring adalah garis lurus berbentuk kx + b. Untuk mencari k, hitung limit f(x)/x sebagai x→∞. Mencari b - limit (f(x) – kx) dengan x→∞ yang sama.

Satu dari tugas kritis kalkulus diferensial adalah perkembangan contoh umum mempelajari perilaku fungsi.

Jika fungsi y \u003d f (x) kontinu pada interval, dan turunannya positif atau sama dengan 0 pada interval (a, b), maka y \u003d f (x) bertambah (f "(x) 0). Jika fungsi y \u003d f (x) kontinu pada segmen , dan turunannya negatif atau sama dengan 0 pada interval (a,b), maka y=f(x) berkurang (f"( x)0)

Interval di mana fungsi tidak berkurang atau bertambah disebut interval monotonisitas fungsi. Sifat monotonisitas suatu fungsi hanya dapat berubah pada titik-titik domain definisinya, di mana tanda turunan pertama berubah. Titik di mana turunan pertama dari suatu fungsi hilang atau putus disebut titik kritis.

Teorema 1 (ke-1 kondisi cukup adanya ekstrem).

Biarkan fungsi y=f(x) didefinisikan pada titik x 0 dan biarkan ada lingkungan >0 sedemikian rupa sehingga fungsi kontinu pada segmen , terdiferensiasi pada interval (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dan turunannya mempertahankan tanda permanen pada masing-masing interval ini. Kemudian jika pada x 0 -δ, x 0) dan (x 0, x 0 + ) tanda turunannya berbeda, maka x 0 merupakan titik ekstrem, dan jika cocok, maka x 0 bukan titik ekstrem . Selain itu, jika ketika melewati titik x0, turunan berubah tanda dari plus ke minus (di sebelah kiri x 0, f "(x)> 0 dilakukan, maka x 0 adalah titik maksimum; jika turunan berubah tanda dari minus ke plus (di sebelah kanan x 0 dieksekusi oleh f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrem fungsi, dan titik maksimum dan minimum fungsi disebut nilai ekstremnya.

Teorema 2 (kriteria yang diperlukan untuk ekstrem lokal).

Jika fungsi y=f(x) memiliki ekstrem pada arus x=x 0, maka f'(x 0)=0 atau f'(x 0) tidak ada.
Pada titik ekstrem dari fungsi terdiferensial, garis singgung grafiknya sejajar dengan sumbu Ox.

Algoritma untuk mempelajari fungsi untuk ekstrem:

1) Tentukan turunan dari fungsi tersebut.
2) Temukan titik kritis, mis. titik di mana fungsi kontinu dan turunannya nol atau tidak ada.
3) Perhatikan tetangga dari masing-masing titik, dan periksa tanda turunan ke kiri dan kanan titik ini.
4) Tentukan koordinat titik ekstrim, untuk nilai ini titik kritis pasang ke fungsi ini. Menggunakan kondisi ekstrim yang cukup, menarik kesimpulan yang tepat.

Contoh 18. Selidiki fungsi y=x 3 -9x 2 +24x

Keputusan.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Menyamakan turunan dengan nol, kita menemukan x 1 =2, x 2 =4. Dalam hal ini, turunan didefinisikan di mana-mana; karenanya, selain dua titik yang ditemukan, tidak ada titik kritis lainnya.
3) Tanda turunan y "=3(x-2)(x-4) berubah tergantung pada interval seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Saat melewati titik x=2, turunan berubah tanda dari plus ke minus, dan ketika melewati titik x=4 - dari minus ke plus.
4) Pada titik x=2, fungsi memiliki maksimum y max =20, dan pada titik x=4 - minimum y min =16.

Teorema 3. (kondisi cukup kedua untuk keberadaan ekstrem).

Misalkan f "(x 0) dan f"" (x 0) ada pada titik x 0. Maka jika f "" (x 0) > 0, maka x 0 adalah titik minimum, dan jika f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pada segmen, fungsi y \u003d f (x) dapat mencapai nilai terkecil (setidaknya) atau terbesar (paling banyak) baik pada titik kritis fungsi yang terletak pada interval (a; b), atau di ujung dari segmen.

Algoritma untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu y=f(x) pada segmen :

1) Temukan f "(x).
2) Temukan titik-titik di mana f "(x) = 0 atau f" (x) - tidak ada, dan pilih dari mereka yang terletak di dalam segmen.
3) Hitung nilai fungsi y \u003d f (x) pada titik-titik yang diperoleh pada paragraf 2), serta di ujung segmen dan pilih yang terbesar dan terkecil: masing-masing adalah yang terbesar ( untuk nilai fungsi terbesar) dan terkecil (untuk terkecil) pada interval .

Contoh 19. Temukan nilai terbesar dari fungsi kontinu y=x 3 -3x 2 -45+225 pada ruas .

1) Kami memiliki y "=3x 2 -6x-45 pada segmen
2) Turunan y" ada untuk semua x. Mari kita cari titik di mana y"=0; kita mendapatkan:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Hitung nilai fungsi di titik x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Hanya titik x=5 yang termasuk dalam segmen. Nilai terbesar dari fungsi yang ditemukan adalah 225, dan yang terkecil adalah angka 50. Jadi, pada maks = 225, pada maks = 50.

Penyelidikan fungsi pada konveksitas

Gambar tersebut menunjukkan grafik dua fungsi. Yang pertama diputar dengan tonjolan ke atas, yang kedua - dengan tonjolan ke bawah.

Fungsi y=f(x) kontinu pada segmen dan terdiferensiasi pada interval (a;b), disebut cembung atas (bawah) pada segmen ini, jika untuk axb grafiknya tidak lebih tinggi (tidak lebih rendah) dari garis singgung ditarik pada sembarang titik M 0 (x 0 ;f(x 0)), di mana axb.

Teorema 4. Biarkan fungsi y=f(x) memiliki turunan kedua di sembarang titik interior x dari segmen dan kontinu di ujung segmen ini. Kemudian jika pertidaksamaan f""(x)0 dipenuhi pada interval (a;b), maka fungsinya cembung ke bawah pada segmen ; jika pertidaksamaan f""(x)0 dipenuhi pada interval (а;b), maka fungsi tersebut cembung ke atas pada .

Teorema 5. Jika fungsi y=f(x) memiliki turunan kedua pada interval (a;b) dan jika berubah tanda ketika melalui titik x 0 , maka M(x 0 ;f(x 0)) adalah sebuah titik belok.

Aturan untuk mencari titik belok:

1) Temukan titik di mana f""(x) tidak ada atau hilang.
2) Periksa tanda f""(x) di kiri dan kanan setiap titik yang ditemukan pada langkah pertama.
3) Berdasarkan Teorema 4, buatlah kesimpulan.

Contoh 20. Temukan titik ekstrem dan titik belok dari grafik fungsi y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kami memiliki f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Jelas, f"(x)=0 untuk x 1 =0, x 2 =1. Turunan ketika melalui titik x=0, berubah tanda dari minus menjadi plus, dan ketika melalui titik x=1 tidak berubah tanda. Ini berarti bahwa x=0 adalah titik minimum (y min =12), dan tidak ada titik ekstrem di titik x=1. Selanjutnya, kita menemukan . Turunan kedua hilang di titik x 1 =1, x 2 =1/3. Tanda-tanda turunan kedua berubah sebagai berikut: Pada sinar (-∞;) kita memiliki f""(x)>0, pada interval (;1) kita memiliki f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Oleh karena itu, x= adalah titik belok dari grafik fungsi (peralihan dari cembung ke cembung ke atas) dan x=1 juga merupakan titik belok (peralihan dari cembung ke atas ke cembung ke bawah). Jika x=, maka y= ; jika, maka x=1, y=13.

Algoritma untuk mencari asimtot suatu graf

I. Jika y=f(x) sebagai x → a , maka x=a adalah asimtot vertikal.
II. Jika y=f(x) sebagai x → atau x → -∞ maka y=A adalah asimtot horizontal.
AKU AKU AKU. Untuk menemukan asimtot miring, kami menggunakan algoritma berikut:
1) Hitung. Jika limit ada dan sama dengan b, maka y=b adalah asimtot horizontal; jika , maka lanjutkan ke langkah kedua.
2) Hitung. Jika batas ini tidak ada, maka tidak ada asimtot; jika ada dan sama dengan k, lanjutkan ke langkah ketiga.
3) Hitung. Jika batas ini tidak ada, maka tidak ada asimtot; jika ada dan sama dengan b, maka lanjutkan ke langkah keempat.
4) Tuliskan persamaan asimtot miring y=kx+b.

Contoh 21: Temukan asimtot untuk suatu fungsi

1)
2)
3)
4) Persamaan asimtot miring memiliki bentuk

Skema studi fungsi dan konstruksi grafiknya

I. Temukan domain dari fungsi tersebut.
II. Temukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat.
AKU AKU AKU. Temukan asimtot.
IV. Temukan titik ekstrem yang mungkin.
V. Temukan titik kritis.
VI. Dengan menggunakan gambar bantu, selidiki tanda turunan pertama dan kedua. Tentukan area kenaikan dan penurunan fungsi, temukan arah kecembungan grafik, titik ekstrem, dan titik belok.
VII. Buat grafik, dengan mempertimbangkan studi yang dilakukan pada paragraf 1-6.

Contoh 22: Plot grafik fungsi sesuai dengan skema di atas

Keputusan.
I. Daerah asal fungsi tersebut adalah himpunan semua bilangan real, kecuali x=1.
II. Karena persamaan x 2 +1=0 tidak memiliki akar real, maka grafik fungsi tersebut tidak memiliki titik potong dengan sumbu Ox, tetapi memotong sumbu Oy di titik (0; -1).
AKU AKU AKU. Mari kita perjelas pertanyaan tentang keberadaan asimtot. Kami menyelidiki perilaku fungsi di dekat titik diskontinuitas x=1. Karena y → untuk x → -∞, y → +∞ untuk x → 1+, maka garis x=1 adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi tersebut.
Jika x → +∞(x → -∞), maka y → +∞(y → -∞); oleh karena itu, grafik tidak memiliki asimtot horizontal. Selanjutnya, dari adanya batasan

Memecahkan persamaan x 2 -2x-1=0, kita mendapatkan dua titik dari kemungkinan ekstrem:
x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2

V. Untuk mencari titik kritis, kita hitung turunan kedua:

Karena f""(x) tidak hilang, tidak ada titik kritis.
VI. Kami menyelidiki tanda turunan pertama dan kedua. Kemungkinan titik ekstrem yang dipertimbangkan: x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2, bagilah luas keberadaan fungsi menjadi interval (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) dan (1+√2;+).

Di masing-masing interval ini, turunan mempertahankan tandanya: di yang pertama - plus, di yang kedua - minus, di yang ketiga - plus. Urutan tanda turunan pertama akan ditulis sebagai berikut: +, -, +.
Kami mendapatkan bahwa fungsi pada (-∞;1-√2) meningkat, pada (1-√2;1+√2) menurun, dan pada (1+√2;+∞) meningkat lagi. Titik ekstrem: maksimum pada x=1-√2, apalagi f(1-√2)=2-2√2 minimum pada x=1+√2, apalagi f(1+√2)=2+2√2. Pada (-∞;1) grafiknya cembung ke atas, dan pada (1;+∞) - ke bawah.
VII Mari kita buat tabel dari nilai yang diperoleh

VIII Berdasarkan data yang diperoleh, kami membuat sketsa grafik fungsi

Jika tugas membutuhkan studi penuh fungsi f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 dengan konstruksi grafiknya, maka kami akan mempertimbangkan prinsip ini secara rinci.

Untuk memecahkan masalah jenis ini, seseorang harus menggunakan properti dan grafik dari main fungsi dasar. Algoritma penelitian mencakup langkah-langkah berikut:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Menemukan domain definisi

Karena penelitian dilakukan pada domain fungsi, maka perlu untuk memulai dengan langkah ini.

Contoh 1

Di belakang diberikan contoh melibatkan menemukan nol penyebut untuk mengecualikan mereka dari DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 x - ; - 1 2 - 1 2 ; 1 2 1 2 ; +∞

Hasilnya, Anda bisa mendapatkan akar, logaritma, dan sebagainya. Kemudian ODZ dapat dicari akar dari derajat genap bertipe g (x) 4 dengan pertidaksamaan g (x) ≥ 0 , untuk logaritma log a g (x) dengan pertidaksamaan g (x) > 0 .

Investigasi batas ODZ dan menemukan asimtot vertikal

Ada asimtot vertikal pada batas-batas fungsi, ketika batas satu sisi pada titik-titik tersebut tidak terbatas.

Contoh 2

Misalnya, pertimbangkan titik perbatasan sama dengan x = ± 1 2 .

Maka perlu mempelajari fungsi untuk menemukan batas satu sisi. Maka diperoleh: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = +

Hal ini menunjukkan bahwa limit satu sisi adalah tak hingga, yang berarti bahwa garis x = ± 1 2 adalah asimtot vertikal dari grafik.

Investigasi fungsi dan untuk genap atau ganjil

Jika kondisi y (- x) = y (x) terpenuhi, fungsi tersebut dianggap genap. Hal ini menunjukkan bahwa grafik terletak simetris terhadap O y. Jika kondisi y (- x) = - y (x) terpenuhi, fungsi tersebut dianggap ganjil. Ini berarti bahwa simetri berjalan sehubungan dengan asal koordinat. Jika setidaknya satu pertidaksamaan gagal, kita memperoleh fungsi bentuk umum.

Pemenuhan persamaan y (- x) = y (x) menunjukkan bahwa fungsi tersebut genap. Saat membangun, perlu diperhitungkan bahwa akan ada simetri terhadap O y.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, interval kenaikan dan penurunan digunakan dengan kondisi f "(x) 0 dan f" (x) 0, berturut-turut.

Definisi 1

Titik stasioner adalah titik yang mengubah turunan menjadi nol.

Poin kritis adalah titik interior dari domain di mana turunan fungsi sama dengan nol atau tidak ada.

Saat membuat keputusan, poin-poin berikut harus dipertimbangkan:

• untuk interval kenaikan dan penurunan yang ada dari pertidaksamaan bentuk f "(x) > 0, titik kritis tidak termasuk dalam solusi;
• titik di mana fungsi didefinisikan tanpa turunan hingga harus dimasukkan dalam interval kenaikan dan penurunan (misalnya, y \u003d x 3, di mana titik x \u003d 0 membuat fungsi terdefinisi, turunan memiliki nilai tak terhingga pada titik ini, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = , x = 0 termasuk dalam interval kenaikan);
• untuk menghindari perbedaan pendapat, disarankan untuk menggunakan literatur matematika, yang direkomendasikan oleh Departemen Pendidikan.

Pencantuman titik kritis dalam interval naik dan turun jika memenuhi domain fungsi.

Definisi 2

Untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi, perlu untuk menemukan:

• turunan;
• titik kritis;
• pecahkan domain definisi dengan bantuan titik-titik kritis ke dalam interval;
• tentukan tanda turunan pada setiap interval, di mana + adalah kenaikan dan - adalah penurunan.

Contoh 3

Cari turunan pada domain f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Keputusan

Untuk memecahkan Anda perlu:

• temukan titik stasioner, contoh ini memiliki x = 0 ;
• carilah nol penyebutnya, contoh mengambil nilai nol pada x = ± 1 2 .

Kami mengekspos titik pada sumbu numerik untuk menentukan turunan pada setiap interval. Untuk melakukan ini, cukup mengambil titik mana pun dari interval dan membuat perhitungan. Jika hasilnya positif, kami menggambar + pada grafik, yang berarti peningkatan fungsi, dan - berarti penurunannya.

Misalnya, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, yang berarti interval pertama di sebelah kiri memiliki tanda +. Pertimbangkan nomornya garis.

Menjawab:

• ada peningkatan fungsi pada interval - ; - 1 2 dan (- 1 2 ; 0 ] ;
• ada penurunan pada interval [ 0 ; 1 2) dan 1 2 ; + .

Dalam diagram, menggunakan + dan -, fungsi positif dan negatif digambarkan, dan panah menunjukkan penurunan dan peningkatan.

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik di mana fungsi didefinisikan dan melalui mana turunannya berubah tanda.

Contoh 4

Jika kita mempertimbangkan contoh di mana x \u003d 0, maka nilai fungsi di dalamnya adalah f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Ketika tanda turunan berubah dari + ke - dan melewati titik x \u003d 0, maka titik dengan koordinat (0; 0) dianggap sebagai titik maksimum. Ketika tanda diubah dari - ke +, kita mendapatkan titik minimum.

Kecembungan dan kecekungan ditentukan dengan memecahkan pertidaksamaan bentuk f "" (x) 0 dan f "" (x) 0 . Lebih jarang mereka menggunakan nama bulge down bukannya concavity, dan bulge up bukannya bulge.

Definisi 3

Untuk menentukan celah kecekungan dan kecembungan diperlukan:

• temukan turunan kedua;
• temukan nol dari fungsi turunan kedua;
• pecahkan domain definisi dengan titik-titik yang muncul menjadi interval;
• menentukan tanda kesenjangan.

Contoh 5

Temukan turunan kedua dari domain definisi.

Keputusan

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Kami menemukan nol dari pembilang dan penyebut, di mana, menggunakan contoh kami, kami memiliki bahwa nol penyebut x = ± 1 2

Sekarang Anda perlu menambahkan poin sumbu numerik dan tentukan tanda turunan kedua dari setiap interval. Kami mengerti

Menjawab:

• fungsinya cembung dari interval - 1 2 ; 12 ;
• fungsinya cekung dari celah - ; - 1 2 dan 1 2 ; + .

Definisi 4

titik belok adalah titik dalam bentuk x 0 ; f(x0) . Ketika memiliki garis singgung pada grafik fungsi, maka ketika melewati x 0, fungsi berubah tanda ke kebalikannya.

Dengan kata lain, ini adalah titik yang dilalui turunan kedua dan berubah tanda, dan pada titik itu sendiri sama dengan nol atau tidak ada. Semua titik dianggap sebagai domain fungsi.

Pada contoh terlihat bahwa tidak ada titik belok, karena turunan kedua berubah tanda saat melewati titik x = ± 1 2 . Mereka, pada gilirannya, tidak termasuk dalam domain definisi.

Menemukan asimtot horizontal dan miring

Ketika mendefinisikan suatu fungsi di tak hingga, kita harus mencari asimtot horizontal dan miring.

Definisi 5

Asimtot miring diwakili oleh garis lurus diberikan oleh persamaan y = k x + b , di mana k = lim x → f (x) x dan b = lim x → f (x) - k x .

Untuk k = 0 dan b tidak sama dengan tak terhingga, kita peroleh asimtot miring menjadi horisontal.

Dengan kata lain, asimtot adalah garis-garis yang didekati oleh grafik fungsi di tak hingga. Ini berkontribusi pada pembangunan grafik fungsi yang cepat.

Jika tidak ada asimtot, tetapi fungsi terdefinisi pada kedua tak hingga, maka perlu menghitung limit fungsi pada tak hingga ini untuk memahami bagaimana grafik fungsi akan berperilaku.

Contoh 6

Sebagai contoh, pertimbangkan bahwa

k = lim x → f (x) x = lim x → x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → (f (x) - k x) = lim x → x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 y = 1 4

adalah asimtot horizontal. Setelah meneliti fungsinya, Anda dapat mulai membangunnya.

Menghitung nilai suatu fungsi pada titik-titik perantara

Untuk membuat plot paling akurat, disarankan untuk menemukan beberapa nilai fungsi pada titik perantara.

Contoh 7

Dari contoh yang telah kami pertimbangkan, perlu untuk menemukan nilai fungsi pada titik x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Karena fungsinya genap, kami mendapatkan bahwa nilai-nilai bertepatan dengan nilai-nilai pada titik-titik ini, yaitu, kami mendapatkan x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Mari kita tulis dan selesaikan:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 - 0,08

Untuk menentukan maksima dan minima suatu fungsi, titik belok, titik perantara perlu untuk membangun asimtot. Untuk penunjukan yang nyaman, interval kenaikan, penurunan, kecembungan, kecekungan ditetapkan. Perhatikan gambar di bawah ini.

Penting untuk menggambar garis grafik melalui titik-titik yang ditandai, yang akan memungkinkan Anda untuk lebih dekat ke asimtot, mengikuti panah.

Ini menyimpulkan studi lengkap fungsi. Ada kasus membangun beberapa fungsi dasar yang transformasi geometris digunakan.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Lakukan studi lengkap dan plot grafik fungsi

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Lingkup fungsi. Karena fungsinya adalah pecahan, Anda perlu mencari nol penyebutnya.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Kami mengecualikan satu-satunya titik x=1x=1 dari area definisi fungsi dan mendapatkan:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Mari kita pelajari perilaku fungsi di sekitar titik diskontinuitas. Temukan batas satu sisi:

Karena limitnya sama dengan tak hingga, titik x=1x=1 adalah diskontinuitas jenis kedua, garis x=1x=1 adalah asimtot vertikal.

3) Tentukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat.

Mari kita cari titik potong dengan sumbu ordinat OyOy, yang kita samakan x=0x=0:

Dengan demikian, titik potong dengan sumbu OyOy memiliki koordinat (0;8)(0;8).

Mari kita cari titik potong dengan sumbu absis OxOx, yang kita tetapkan y=0y=0:

Persamaan tidak memiliki akar, sehingga tidak ada titik potong dengan sumbu OxOx.

Perhatikan bahwa x2+8>0x2+8>0 untuk xx apa pun. Oleh karena itu, untuk x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) fungsi y>0y>0(mengambil nilai positif, grafik berada di atas sumbu x), untuk x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) fungsi y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil karena:

5) Kami menyelidiki fungsi untuk periodisitas. Fungsi ini tidak periodik, karena merupakan fungsi rasional pecahan.

6) Kami menyelidiki fungsi untuk ekstrem dan monotonisitas. Untuk melakukan ini, kami menemukan turunan pertama dari fungsi:

Mari kita samakan turunan pertama dengan nol dan mencari titik-titik stasioner (di mana y′=0y′=0):

Kami mendapatkan tiga titik kritis: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Kami membagi seluruh domain fungsi menjadi interval dengan titik-titik yang diberikan dan menentukan tanda-tanda turunan di setiap interval:

Untuk x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) turunan y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Untuk x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) turunan y′>0y′>0, fungsi meningkat pada interval ini.

Dalam hal ini, x=−2x=−2 adalah titik minimum lokal (fungsi menurun dan kemudian meningkat), x=4x=4 adalah titik maksimum lokal (fungsi meningkat dan kemudian menurun).

Mari kita cari nilai fungsi pada titik-titik ini:

Jadi, titik minimumnya adalah (−2;4)(−2;4), titik maksimumnya adalah (4;−8)(4;−8).

7) Kami memeriksa fungsi untuk ketegaran dan kecembungan. Mari kita cari turunan kedua dari fungsi:

Samakan turunan kedua dengan nol:

Persamaan yang dihasilkan tidak memiliki akar, sehingga tidak ada titik belok. Selain itu, ketika x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 dipenuhi, yaitu, fungsi cekung ketika x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Kami menyelidiki perilaku fungsi di tak terhingga, yaitu di .

Karena batasnya tidak terbatas, tidak ada asimtot horizontal.

Mari kita coba menentukan asimtot miring dari bentuk y=kx+by=kx+b. Kami menghitung nilai k,bk,b sesuai dengan rumus yang diketahui:

Kami menemukan bahwa fungsi tersebut memiliki satu asimtot miring y=−x−1y=−x−1.

9) Poin tambahan. Mari kita hitung nilai fungsi di beberapa titik lain untuk membuat grafik dengan lebih akurat.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Berdasarkan data yang diperoleh, kita akan membuat grafik, melengkapinya dengan asimtot x=1x=1 (biru), y=−x−1y=−x−1 (hijau) dan menandai titik-titik karakteristik (perpotongan dengan y -sumbu berwarna ungu, ekstrem berwarna oranye, titik tambahan berwarna hitam):

Tugas 4: Geometris, Masalah ekonomi (Saya tidak tahu apa, berikut adalah pilihan perkiraan masalah dengan solusi dan rumus)

Contoh 3.23. sebuah

Keputusan. x dan kamu kamu
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Karena x = a/4 adalah satu-satunya titik kritis, mari kita periksa apakah tanda turunan berubah ketika melewati titik ini. Untuk xa/4 S "> 0, dan untuk x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Contoh 3.24.

Keputusan.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Contoh 3.22. Tentukan ekstrem dari fungsi f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Keputusan. Karena f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 \u003d 2 dan x 2 \u003d 3. Titik ekstrem dapat hanya berada di titik-titik ini. Jadi ketika melewati titik x 1 \u003d 2, turunan berubah tanda dari plus ke minus, maka pada titik ini fungsinya memiliki maksimum.Ketika melewati titik x 2 \u003d 3, turunan berubah tanda dari minus ke plus, oleh karena itu, pada titik x 2 \u003d 3, fungsi memiliki minimum.Menghitung nilai fungsi dalam poin
x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita temukan ekstrem dari fungsi tersebut: f(2) maksimum = 14 dan minimum f(3) = 13.

Contoh 3.23. Perlu untuk membangun area persegi panjang di dekat dinding batu sehingga dipagari dengan wire mesh di tiga sisi, dan berdampingan dengan dinding di sisi keempat. Untuk ini ada sebuah meter linier dari grid. Pada rasio aspek apa situs akan memiliki area terbesar?

Keputusan. Tunjukkan sisi situs melalui x dan kamu. Luas situs adalah S = xy. Biarlah kamu adalah panjang sisi yang berdekatan dengan dinding. Maka, dengan syarat, persamaan 2x + y = a harus berlaku. Oleh karena itu y = a - 2x dan S = x(a - 2x), di mana
0 x a/2 (panjang dan lebar luas tidak boleh negatif). S "= a - 4x, a - 4x = 0 untuk x = a/4, dari mana
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Karena x = a/4 adalah satu-satunya titik kritis, mari kita periksa apakah tanda turunan berubah ketika melewati titik ini. Untuk xa/4 S "> 0, dan untuk x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Contoh 3.24. Diperlukan untuk membuat tangki silinder tertutup dengan kapasitas V=16p 50 m 3 . Berapa dimensi tangki (jari-jari R dan tinggi H) agar dapat menggunakan bahan paling sedikit untuk pembuatannya?

Keputusan. Luas permukaan total silinder adalah S = 2pR(R+H). Kita mengetahui volume silinder V = pR 2 H H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Jadi, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Kami menemukan turunan dari fungsi ini:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 untuk R 3 \u003d 8, oleh karena itu,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informasi serupa.