Dot - objek abstrak di ruang angkasa yang tidak memiliki karakteristik terukur (objek berdimensi nol). Titik adalah salah satu konsep dasar dalam matematika.
Titik dalam geometri Euclidean
Euclid mendefinisikan titik sebagai "sebuah objek tanpa bagian". Dalam aksioma modern geometri Euclidean, titik adalah konsep utama, hanya diberikan oleh daftar propertinya - aksioma.
Dalam sistem koordinat yang dipilih, setiap titik dari ruang Euclidean dua dimensi dapat direpresentasikan sebagai pasangan terurut ( x; kamu) bilangan asli. Demikian juga, titik n Ruang Euclidean -dimensi (serta ruang vektor atau affine) dapat direpresentasikan sebagai tupel ( sebuah 1 , sebuah 2 , … , sebuah n) dari n angka.
Tautan
- titik(Bahasa Inggris) di situs PlanetMath.
- Weisstein, Eric W. Titik di situs web Wolfram MathWorld.
intinya adalah:
titik titik kata benda, dengan baik., menggunakan Sering Morfologi: (tidak) apa? titik-titik, Apa? dot, (melihat apa? dot, bagaimana? dot, tentang apa? tentang intinya; hal. apa? titik-titik, (tidak) apa? poin, Apa? poin, (melihat apa? titik-titik, bagaimana? titik-titik, tentang apa? tentang poin 1. Dot- ini adalah bintik bulat kecil, jejak dari sentuhan dengan sesuatu yang tajam atau tulisan.Pola titik. | Titik tusukan. | Kota di peta ditunjukkan dengan titik kecil dan ketersediaan jalan pintas orang hanya bisa menebak.
2. Dot- ini adalah sesuatu yang sangat kecil, kurang terlihat karena keterpencilan atau karena alasan lain.
Titik di cakrawala. | Saat bola mendekati cakrawala di bagian barat langit, ukurannya mulai berkurang perlahan hingga berubah menjadi titik.
3. Dot- tanda baca yang ditempatkan di akhir kalimat atau saat menyingkat kata.
Beri poin. | Jangan lupa beri titik di akhir kalimat
4. Dalam matematika, geometri dan fisika dot adalah suatu satuan yang mempunyai kedudukan dalam ruang, batas suatu ruas garis.
5. dot ditelepon tempat tertentu di ruang angkasa, di tanah atau di permukaan sesuatu.
titik penempatan. | Titik sakit.
6. dot beri nama tempat di mana sesuatu berada atau dilakukan, simpul tertentu dalam sistem atau jaringan titik mana pun.
Setiap outlet harus memiliki tanda sendiri.
7. dot mereka menyebut batas perkembangan sesuatu, tingkat atau momen tertentu dalam perkembangan.
tidak titik tertinggi. | titik dalam pembangunan. | Keadaan telah mencapai titik kritis. | Ini adalah titik tertinggi manifestasi dari kekuatan spiritual manusia.
8. dot disebut batas suhu di mana transformasi suatu zat dari satu keadaan agregasi ke yang lain.
Titik didih. | Titik beku. | Titik lebur. | Bagaimana lebih tinggi semakin rendah titik didih air.
9. Titik koma (;) disebut tanda baca yang digunakan untuk memisahkan umum, more bagian independen kalimat majemuk.
PADA bahasa Inggris praktis tanda baca yang sama digunakan seperti dalam bahasa Rusia: titik, koma, titik koma, tanda hubung, apostrof, tanda kurung, elipsis, interogatif dan tanda seru, tanda hubung.
10. Ketika mereka berbicara tentang sudut pandang, berarti pendapat seseorang tentang masalah tertentu, melihat sesuatu.
Kurang populer sekarang adalah sudut pandang lain, yang sebelumnya hampir diakui secara universal. | Tidak ada yang berbagi sudut pandang ini hari ini.
11. Jika orang dikatakan memiliki titik kontak sehingga mereka memiliki kepentingan bersama.
Kita mungkin bisa menemukan kesamaan.
12. Jika sesuatu dikatakan titik ke titik, yang berarti kecocokan yang benar-benar tepat.
Titik ke titik di tempat yang ditunjukkan, ada mobil berwarna kopi.
13. Jika seseorang dikatakan mencapai titik, yang berarti bahwa ia telah mencapai batas ekstrim dalam manifestasi beberapa kualitas negatif.
Kami telah mencapai titik! Anda tidak bisa hidup seperti ini lagi! | Anda tidak dapat mengatakan kepadanya bahwa dinas rahasia telah mencapai titik di bawah kepemimpinannya yang bijaksana.
14. Jika seseorang mengakhiri dalam beberapa bisnis, itu berarti dia menghentikannya.
Kemudian dia kembali dari emigrasi ke tanah airnya, ke Rusia, untuk Uni Soviet, dan ini mengakhiri semua pencarian dan pikirannya.
15. Jika seseorang titik "dan"(atau lebih dari saya), yang berarti bahwa ia membawa masalah itu ke kesimpulan logisnya, tidak meninggalkan apa pun yang tidak terucapkan.
Mari kita beri titik pada i. Saya tidak tahu apa-apa tentang inisiatif Anda.
16. Jika seseorang mencapai satu titik, yang berarti bahwa ia memusatkan seluruh kekuatannya untuk mencapai satu tujuan.
Itulah mengapa citranya sangat berbeda; dia selalu mencapai satu poin, tidak pernah terbawa oleh detail sekunder. | Dia mengerti betul apa tugas bisnisnya, dan dengan sengaja mencapai satu titik.
17. Jika seseorang tepat sasaran, yang berarti bahwa dia mengatakan atau melakukan persis apa yang dibutuhkan, menebaknya.
Surat pertama yang datang ke babak kompetisi berikutnya mengejutkan para editor - di salah satu opsi yang terdaftar, pembaca kami segera mencapai sasaran!
titik adj.akupresur.
Kamus penjelasan bahasa Rusia Dmitriev. D.V. Dmitriev. 2003.
Dot
Dot Bisa berarti:
Wiktionary punya artikel "dot"- Titik adalah objek abstrak dalam ruang yang tidak memiliki karakteristik terukur selain koordinat.
- Dot - diakritik, yang dapat ditempatkan di atas, di bawah atau di tengah surat.
- Titik - unit pengukuran jarak dalam bahasa Rusia dan sistem bahasa Inggris Pengukuran.
- Titik adalah salah satu representasi dari pemisah desimal.
- Dot (teknologi jaringan) - penunjukan domain root dalam hierarki domain jaringan global.
- Tochka - jaringan toko elektronik dan hiburan
- Tochka - album grup "Leningrad"
- Point - Film Rusia tahun 2006 berdasarkan kisah dengan nama yang sama oleh Grigory Ryazhsky
- Dot adalah album studio kedua oleh rapper Sten.
- Tochka adalah sistem rudal divisi.
- Tochka - Jurnal Pemuda dan Subkultur Krasnoyarsk.
- Tochka adalah klub dan tempat konser di Moskow.
- Titik adalah salah satu karakter dalam kode Morse.
- Intinya adalah tempat tugas tempur.
- Titik (pemrosesan) - proses pemesinan, pembubutan, penajaman.
- POINT - Informasi dan program analitis di NTV.
- Tochka adalah band rock dari kota Norilsk, didirikan pada tahun 2012.
toponim
Kazakstan
- Dot- hingga 1992, nama desa Bayash Utepov di distrik Ulan di wilayah Kazakhstan Timur.
Rusia
- Tochka adalah sebuah desa di distrik Sheksninsky di wilayah Vologda.
- Tochka adalah sebuah desa di distrik Volotovsky di wilayah Novgorod.
- Tochka adalah sebuah desa di distrik Lopatinsky di wilayah Penza.
Dapatkah Anda memberikan definisi konsep-konsep seperti titik dan garis?
Sekolah dan universitas kami tidak memiliki definisi ini, meskipun menurut saya mereka adalah kunci (saya tidak tahu bagaimana ini di negara lain). Kita dapat mendefinisikan konsep-konsep ini sebagai "berhasil dan tidak berhasil" dan mempertimbangkan apakah ini berguna untuk pengembangan pemikiran.
pegulat
Aneh, tapi kami diberi definisi sebuah titik. Ini adalah objek abstrak (konvensi) yang terletak di ruang angkasa, yang tidak memiliki dimensi. Ini adalah hal pertama yang dipalu ke kepala kita di sekolah - sebuah titik tidak memiliki dimensi, itu adalah objek "berdimensi nol". Konsep bersyarat, seperti yang lainnya dalam geometri.
Garis lurus bahkan lebih sulit. Pertama-tama, itu adalah garis. Kedua, itu adalah seperangkat titik yang terletak di ruang dengan cara tertentu. di sangat definisi sederhana itu adalah garis yang ditentukan oleh dua titik yang dilaluinya.
Medivh
Titik adalah semacam objek abstrak. Sebuah titik memiliki koordinat tetapi tidak memiliki massa atau dimensi. Dalam geometri, semuanya dimulai dengan tepat dari suatu titik, ini adalah awal dari semua angka lainnya.(Ngomong-ngomong, dalam menulis juga, tanpa titik tidak akan ada awal kata). Garis lurus adalah jarak antara dua titik.
Leonid Kutny
Anda dapat mendefinisikan apa saja dan apa saja. Tetapi ada pertanyaan: akankah definisi ini "berfungsi" dalam ilmu tertentu? Berdasarkan apa yang kita miliki, tidak masuk akal untuk mendefinisikan titik, garis, dan bidang. Saya sangat menyukai komentar Arthur. Saya ingin menambahkan bahwa sebuah titik memiliki banyak sifat: tidak memiliki panjang, lebar, tinggi, tidak memiliki massa dan berat, dll. objek, objek di pesawat, di ruang angkasa. Makanya kita butuh point! Tapi, pembaca yang pintar akan bilang kalau kemudian buku, kursi, jam tangan dan lain-lain bisa dijadikan point. Benar-benar tepat! Oleh karena itu, tidak masuk akal untuk mendefinisikan suatu titik. Hormat kami, L.A. Kutniy
Garis lurus merupakan salah satu konsep dasar geometri.
Titik adalah tanda baca dalam tulisan dalam banyak bahasa.
Juga, titik adalah salah satu simbol kode Morse
Banyak banget definisinya :D
Definisi titik, garis, bidang diberikan oleh saya pada akhir 80-an dan awal 90-an abad ke-20. Saya memberikan tautan:
https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP
Dalam volume 328 halaman, esensi kognitif dari konsep-konsep ini dijelaskan dalam aspek yang sama sekali baru, yang dijelaskan berdasarkan pandangan dunia fisik yang nyata dan rasa saya ada, yang berarti "Saya" ada, sama seperti Semesta. itu sendiri yang saya milik ada.
Semuanya tertulis di pekerjaan ini ditegaskan oleh pengetahuan umat manusia tentang alam dan sifat-sifatnya yang telah lama ditemukan dan masih dipelajari saat ini waktu. Matematika menjadi begitu sulit untuk dipahami dan dimaknai untuk menerapkan gambaran abstraknya dalam praktik terobosan teknologi. Setelah mengungkapkan Fondasi, yang merupakan prinsip dasar, adalah mungkin untuk menjelaskan bahkan kepada seorang siswa sekolah dasar alasan yang mendasari keberadaan alam semesta. Baca dan dekati Kebenaran. Berani, dunia tempat kami ada terbuka di hadapan Anda dalam cahaya baru.
Apakah ada definisi konsep "titik" dalam matematika, geometri.
Mikhail Levin
"konsep yang tidak dapat ditentukan" adalah sebuah definisi?
Faktanya, ketidakpastian konseplah yang memungkinkan penerapan matematika pada objek yang berbeda.
Seorang ahli matematika bahkan dapat mengatakan "dengan suatu titik saya akan berarti bidang Euclidean, dengan pesawat saya akan berarti titik Euclidean" - periksa semua aksioma dan dapatkan geometri baru atau teorema baru.
Intinya adalah bahwa untuk mendefinisikan istilah A, Anda perlu menggunakan istilah B. Untuk mendefinisikan B, Anda perlu istilah C. Dan seterusnya ad infinitum. Dan untuk diselamatkan dari ketidakterbatasan ini, seseorang harus menerima beberapa istilah tanpa definisi dan membangun definisi lain di atasnya. ©
Grigory Piven
Dalam matematika, Piven Grigory Titik adalah bagian dari ruang yang secara abstrak (dicerminkan) diambil sebagai segmen panjang minimum sama dengan 1, yang digunakan untuk mengukur bagian lain dari ruang. Oleh karena itu, seseorang memilih skala titik untuk kenyamanan, untuk proses pengukuran yang produktif: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. e., 1 st. tahun. dll.
Lihat juga: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07
Abstraksi telah digunakan dalam matematika selama dua setengah milenium. titik tak berdimensi, yang tidak hanya bertentangan kewajaran, tetapi juga pengetahuan tentang dunia sekitarnya, yang diperoleh dari ilmu-ilmu seperti fisika, kimia, mekanika kuantum dan informatika.
Tidak seperti abstraksi lainnya, abstraksi titik matematis tak berdimensi tidak mengidealkan realitas, menyederhanakan kognisinya, tetapi dengan sengaja mendistorsinya, memberikan makna yang berlawanan, yang, khususnya, membuat secara fundamental mustahil untuk memahami dan mempelajari ruang dimensi yang lebih tinggi!
Penggunaan abstraksi titik tak berdimensi dalam matematika dapat dibandingkan dengan penggunaan dasar satuan moneter dengan biaya nol. Untungnya, ekonomi tidak memikirkan hal ini.
Mari kita buktikan absurditas abstraksi titik tak berdimensi.
Dalil. Poin matematikanya sangat banyak.
Bukti.
Karena dalam matematika
Titik_ukuran = 0,
Untuk segmen dengan panjang terbatas (bukan nol), kami memiliki:
Segment_size = 0 + 0 + ... + 0 = 0.
Ukuran nol segmen yang diperoleh, sebagai urutan titik-titik penyusunnya, bertentangan dengan kondisi panjang segmen yang terbatas. Selain itu, ukuran titik nol tidak masuk akal karena jumlah nol tidak bergantung pada jumlah suku, yaitu, jumlah titik "nol" di segmen tidak memengaruhi ukuran segmen.
Oleh karena itu, asumsi awal tentang ukuran nol titik matematika adalah SALAH.
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa suatu titik matematis memiliki ukuran bukan nol (hingga). Karena titik tidak hanya milik segmen, tetapi juga ruang di mana segmen itu berada, ia memiliki dimensi ruang, yaitu, titik matematika adalah volumetrik. Q.E.D.
Konsekuensi.
Pembuktian di atas, dilakukan dengan menggunakan peralatan matematika grup junior taman kanak-kanak menanamkan kebanggaan dalam kebijaksanaan tak terbatas dari para imam dan ahli dari "ratu semua ilmu", yang berhasil membawa selama ribuan tahun dan melestarikan untuk anak cucu dalam bentuk aslinya delusi kuno umat manusia.
Ulasan
Alexander yang terhormat! Saya tidak kuat dalam matematika, tetapi mungkin ANDA dapat memberi tahu saya di mana dan oleh siapa dinyatakan bahwa titik sama dengan nol? Hal lain, dia memiliki tak terbatas jumlah kecil, hingga konvensi, tetapi tidak nol sama sekali. Dengan demikian, setiap segmen dapat dianggap nol, karena ada segmen lain yang berisi set tak terbatas segmen awal, berbicara kasar. Mungkin kita tidak harus bingung matematika dan fisika. Matematika adalah ilmu tentang keberadaan, fisika adalah tentang yang ada. Sungguh-sungguh.
Saya menyebutkan Achilles dua kali secara rinci dan berkali-kali secara sepintas:
"Mengapa Achilles tidak mengejar kura-kura"
"Achilles dan kura-kura - sebuah paradoks dalam kubus"
Mungkin salah satu solusi untuk paradoks Zeno adalah bahwa ruang bersifat diskrit dan waktu adalah kontinu. Dia menganggap, mungkin bagi Anda, bahwa keduanya terpisah. Tubuh dapat tetap berada di suatu titik dalam ruang selama beberapa waktu. Tapi itu tidak bisa di tempat yang berbeda pada waktu yang sama pada waktu yang sama. Ini semua, tentu saja, amatir, seperti seluruh dialog kami. Sungguh-sungguh.
Omong-omong, jika suatu titik berbentuk 3D, berapakah dimensinya?
Keterbatasan waktu mengikuti, misalnya, dari aporia "Panah". "Secara bersamaan tinggal di tempat yang berbeda" hanya dapat menjadi elektron bagi fisikawan yang, pada prinsipnya, tidak memahami dan tidak menerima baik struktur eter maupun struktur ruang 4 dimensi. Saya tidak tahu contoh lain dari fenomena ini. Saya tidak melihat "amaturisme" dalam percakapan kami. Sebaliknya, semuanya sangat sederhana: sebuah titik tidak berdimensi atau memiliki ukuran; kontinuitas dan infinity baik ada atau tidak. Yang ketiga tidak diberikan - BENAR atau SALAH! Dasar-dasar matematikawan, sayangnya, dibangun di atas dogma palsu, diterima karena ketidaktahuan 2500 tahun yang lalu.
Ukuran titik tergantung pada kondisi masalah yang dipecahkan dan akurasi yang diperlukan. Misalnya, jika roda gigi dirancang untuk jam tangan, maka keakuratannya dapat dibatasi oleh ukuran atom, yaitu delapan tempat desimal. Atom itu sendiri di sini akan menjadi analog fisik dari titik matematika. Anda mungkin memerlukan presisi 16 karakter di suatu tempat; maka peran titik akan dimainkan oleh partikel eter. Perhatikan bahwa pembicaraan tentang akurasi yang diduga "tak terbatas" dalam praktiknya berubah menjadi omong kosong liar, atau, secara halus, absurditas.
Saya masih tidak mengerti: apakah intinya ada? Jika ada secara objektif, maka memiliki nilai fisik tertentu, jika ada secara subjektif, dalam bentuk abstraksi pikiran kita, maka memiliki nilai matematis. Nol tidak memiliki apa-apa, itu tidak ada, ini adalah definisi abstrak dari Ketidakberadaan dalam matematika atau kekosongan dalam fisika. Intinya tidak ada dengan sendirinya di luar hubungan. Segera setelah poin kedua muncul, segmen muncul - Sesuatu, dll. Topik ini dapat dikembangkan tanpa henti. Dengan uv.
Sepertinya saya membawa contoh yang baik, tapi mungkin tidak cukup detail. Secara obyektif, ada Dunia yang dikenali oleh sains, dan saat ini sebagian besar dikenali metode matematika. Matematika mengenali dunia dengan mengkonstruksi model matematika. Untuk membangun model ini, dasar abstraksi matematika, khususnya, seperti: titik, garis, kontinuitas, tak terhingga. Abstraksi-abstraksi ini bersifat mendasar karena tidak mungkin lagi untuk membagi dan menyederhanakannya lebih lanjut. Setiap abstraksi dasar dapat memadai realitas objektif(benar) atau tidak (salah). Semua abstraksi di atas pada awalnya salah, karena bertentangan dengan pengetahuan terkini tentang dunia nyata. Jadi abstraksi ini mencegah pemahaman yang benar dunia nyata. Seseorang entah bagaimana bisa bertahan dengan ini saat sains sedang mempelajari dunia 3 dimensi. Namun, abstraksi dari titik tak berdimensi dan kontinuitas membuat semua dunia berdimensi lebih tinggi pada prinsipnya tidak dapat diketahui!
Batu bata alam semesta - sebuah titik - tidak bisa kosong. Semua orang tahu bahwa tidak ada yang datang dari kekosongan. Fisikawan, menyatakan eter tidak ada, memenuhi dunia dengan kekosongan. Saya percaya bahwa matematika dengan titik kosongnya mendorong mereka ke kebodohan ini. Saya tidak berbicara tentang atom-poin dari dunia dengan dimensi yang lebih tinggi dari 4D. Jadi, untuk setiap dimensi, peran titik matematika yang tidak dapat dibagi (bersyarat) dimainkan oleh atom yang (bersyarat) yang tidak dapat dibagi di dunia ini (ruang, materi). Untuk 3D - atom fisik, untuk 4D - partikel eter, untuk 5D - atom astral, untuk 6D - atom mental, dan seterusnya. Sungguh-sungguh,
Jadi, apakah batu bata alam semesta memiliki nilai absolut? Dan apa yang diwakilinya, menurut pendapat Anda, di dunia halus atau mental. Saya takut bertanya tentang dunia itu sendiri. Dengan minat...
Partikel eter (ini bukan atom!) adalah pasangan elektron-positron, di mana partikel itu sendiri berputar relatif satu sama lain dengan kecepatan cahaya. Ini sepenuhnya menjelaskan struktur semua nukleon, propagasi osilasi elektromagnetik dan semua efek dari apa yang disebut vakum fisik. Struktur atom pemikiran tidak diketahui siapa pun. Hanya ada bukti bahwa SEMUA yang paling dunia yang lebih tinggi materi, yaitu, mereka memiliki atom sendiri. Sampai soal Yang Mutlak. Anda menjadi ironis, meskipun. Betulkah lubang cacing dan poni besar Apakah Anda merasa lebih bisa dipercaya?
Apa ironi di sini, hanya sedikit terkejut setelah longsoran informasi seperti itu. Saya, tidak seperti Anda, bukan seorang profesional dan saya merasa sulit untuk mengatakan apa pun tentang ruang lima atau enam dimensi. Saya semua tentang titik penderitaan panjang kami ... Sejauh yang saya mengerti, Anda menentang kontinuitas materi, dan intinya adalah bahwa Anda memiliki atom "demokratis" yang benar-benar ada. "Bata Semesta". Mungkin saya lalai, tetapi tetap saja, jangan ragu untuk mengulangi apa strukturnya, parameter fisiknya, dimensinya, dll.
Dan juga menjawab, apakah unit itu ada dalam dirinya sendiri, dengan demikian, di luar hubungan apa pun? Terima kasih.
Setelah berurusan dengan unit pengukuran dan dimensi apa, sekarang kita dapat beralih ke pengukuran yang sebenarnya. PADA matematika sekolah dua alat pengukur- (1) penggaris untuk mengukur jarak dan (2) busur derajat untuk mengukur sudut.
Dot
Jarak selalu diukur antara dua titik. Dari sudut pandang praktis, titik adalah bintik kecil yang tertinggal di atas kertas saat Anda menyodoknya dengan pensil atau pena. Cara lain yang lebih disukai untuk menentukan suatu titik adalah dengan menggambar salib dengan dua garis tipis, yang menetapkan dot persimpangan mereka. Pada gambar di buku, titik sering digambarkan sebagai lingkaran hitam kecil. Tapi ini semua hanya perkiraan. gambar visual, tetapi dalam arti matematika yang ketat, dot - itu adalah objek imajiner yang ukurannya ke segala arah adalah nol. Untuk matematikawan, seluruh dunia terdiri dari titik-titik. Titik-titik ada di mana-mana. Saat kita menyodok pena di atas kertas atau menggambar salib, kita tidak sedang menciptakan poin baru, tetapi hanya memberi tanda pada yang sudah ada untuk menarik perhatian seseorang. Kecuali dinyatakan lain, dapat dipahami bahwa poin-poin tersebut adalah tetap dan tidak berubah posisi relatif. Tetapi tidak sulit membayangkan sebuah titik bergerak yang berpindah dari satu tempat ke tempat lain, seolah-olah menyatu dengan satu titik pasti, lalu di sisi lain.
Lurus
Dengan menempelkan penggaris pada dua titik, kita dapat menggambar garis lurus melaluinya, dan terlebih lagi, satu-satunya jalan. matematika imajiner lurus, digambar di sepanjang penggaris ideal imajiner, memiliki ketebalan nol dan memanjang di kedua arah hingga tak terhingga. Dalam gambar nyata, desain imajiner ini berbentuk:
Faktanya, semua yang ada di gambar ini salah. Ketebalan garis di sini jelas lebih besar dari nol, dan tidak ada cara untuk mengatakan bahwa garis itu meluas hingga tak terhingga. Namun demikian, gambar yang salah seperti itu sangat berguna sebagai pendukung imajinasi, dan kami akan terus menggunakannya. Untuk membuatnya lebih mudah untuk membedakan satu titik dari yang lain, mereka biasanya ditandai huruf kapital alfabet latin. Dalam gambar ini, misalnya, titik ditandai dengan huruf A dan B. Garis yang melalui titik A dan B, secara otomatis menerima nama "langsung AB". Untuk singkatnya, notasi ( AB), di mana kata "lurus" dihilangkan dan kurung bulat. Garis juga dapat diberi label huruf kecil. Pada gambar di atas, garis lurus AB ditandai dengan huruf n.
Di luar titik-titik A dan B pada garis lurus n ada sejumlah besar titik lain, yang masing-masing dapat direpresentasikan sebagai persimpangan dengan beberapa garis lain. Banyak garis dapat ditarik melalui titik yang sama.
Jika kita tahu bahwa ada titik yang tidak bertepatan pada suatu garis A, B, C dan D, maka dengan tepat dapat dilambangkan tidak hanya sebagai ( AB), tetapi juga bagaimana ( AC), (BD), (CD) dll.
Segmen garis. panjang potong. Jarak antar titik
Bagian garis yang dibatasi oleh dua titik disebut segmen. Titik-titik pembatas ini juga milik segmen dan disebut itu. berakhir. Segmen yang titik akhirnya berada di titik A dan B, dilambangkan sebagai "segmen AB' atau, agak lebih pendek, [ AB].
Setiap segmen dicirikan panjang- jumlah (mungkin pecahan) dari "langkah" yang harus diambil sepanjang segmen untuk berpindah dari satu ujung ke ujung lainnya. Dalam hal ini, panjang "langkah" itu sendiri adalah nilai yang tetap, yang diambil sebagai unit pengukuran. Panjang segmen garis yang digambar pada selembar kertas paling mudah diukur dalam sentimeter. Jika titik akhir segmen jatuh pada titik A dan B, maka panjangnya dilambangkan sebagai | AB|.
Di bawah jarak antara dua titik adalah panjang ruas yang menghubungkannya. Namun, pada kenyataannya, tidak perlu menggambar segmen untuk mengukur jarak - cukup dengan menempelkan penggaris ke kedua titik (di mana jejak "langkah" sudah ditandai sebelumnya). Karena titik adalah objek fiksi dalam matematika, tidak ada yang menghalangi kita untuk menggunakan penggaris ideal dalam imajinasi kita yang mengukur jarak dengan akurasi mutlak. Namun, orang tidak boleh lupa bahwa penggaris nyata yang diterapkan pada titik atau pusat persilangan di atas kertas memungkinkan Anda untuk mengatur jarak hanya kira-kira - dengan akurasi satu milimeter. Jarak selalu non-negatif.
Posisi titik pada garis
Mari kita diberikan beberapa garis lurus. Kami menandai titik sewenang-wenang di atasnya dan menunjukkannya dengan huruf HAI. Mari kita letakkan angka 0 di sebelahnya. Salah satu dari keduanya kemungkinan arah sepanjang garis lurus kita sebut "positif", dan kebalikannya - "negatif". Biasanya, arah positif diambil dari kiri ke kanan atau dari bawah ke atas, tetapi ini tidak perlu. Tandai arah positif dengan panah, seperti yang ditunjukkan pada gambar:
Sekarang untuk setiap titik yang terletak pada garis, kita dapat menentukannya posisi. Posisi titik A diberikan oleh nilai yang bisa negatif, nol atau positif. Dia nilai mutlak sama dengan jarak antar titik HAI dan A(yaitu, panjang segmen HAIA), dan tanda ditentukan oleh arah dari titik HAI Anda harus bergerak untuk sampai ke intinya A. Jika Anda perlu bergerak ke arah yang positif, maka tandanya positif. Jika negatif, maka tandanya negatif. Alih-alih kata "posisi", kata " koordinat».
Bilangan irasional dan nyata (riil)
Ketika kita berurusan dengan gambar nyata dan menentukan posisi titik nyata pada lubang nyata menggunakan penggaris sekolah, kita mendapatkan nilai yang dibulatkan ke milimeter terdekat. Dengan kata lain, hasilnya adalah nilai yang diambil dari deret berikut:
0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm dll.
Hasilnya tidak bisa sama dengan, misalnya, 1/3 cm, karena, seperti yang kita ketahui, sepertiga sentimeter dapat dinyatakan sebagai pecahan periodik tak terhingga
0,333333333... cm,
yang setelah pembulatan harus sama dengan 0.3 cm.
Lain halnya jika kita memanipulasi objek matematika ideal dalam imajinasi kita.
Pertama, dalam hal ini, seseorang dapat dengan mudah membuang satuan pengukuran dan beroperasi secara eksklusif dengan besaran tak berdimensi. Kemudian kita sampai pada konstruksi geometris yang kita temui ketika kita melewatinya angka rasional, dan yang kami beri nama nomor baris:
Karena kata "garis" dalam geometri sudah banyak "dibebani", konstruksi yang sama sering disebut sumbu numerik atau hanya sumbu.
Kedua, kita dapat membayangkan bahwa koordinat suatu titik diberikan oleh beberapa periodik desimal, menyukai
Selain itu, kita bisa membayangkan yang tak terbatas non-periodik pecahan, seperti
1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...
1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...
Bilangan imajiner seperti itu, yang direpresentasikan sebagai pecahan desimal tak berulang tak berhingga, disebut irasional. Bilangan irasional, bersama dengan bilangan rasional yang sudah kita kenal, membentuk apa yang disebut sah angka. Alih-alih kata "valid" kami juga menggunakan kata " nyata". Setiap posisi yang mungkin dari suatu titik pada suatu garis dapat dinyatakan sebagai bilangan real. Dan sebaliknya, jika kita diberikan beberapa bilangan real x, kita selalu bisa membayangkan sebuah titik X, yang posisinya diberikan oleh nomor x.
Bias
Biarlah sebuah- titik koordinat A, sebuah b- titik koordinat B. Maka nilai
v = b − sebuah
adalah pemindahan, yang menerjemahkan intinya A tepat B. Ini menjadi sangat jelas jika persamaan sebelumnya ditulis ulang sebagai
b = sebuah + v.
Terkadang alih-alih kata "perpindahan" mereka menggunakan kata " vektor". Sangat mudah untuk melihat bahwa posisinya x titik sewenang-wenang X tidak lebih dari offset yang menerjemahkan titik HAI(dengan koordinat sama dengan nol) ke suatu titik X:
x= 0 + x.
Perpindahan dapat ditambahkan satu sama lain, serta dikurangkan satu sama lain. Jadi, jika offset ( b − sebuah) menerjemahkan titik A tepat B, dan offset ( c − b) titik B tepat C, maka offsetnya
(b − sebuah) + (c − b) = c − sebuah
menerjemahkan intinya A tepat C.
Catatan. Menurut logika hal, harus diklarifikasi di sini cara menambah dan mengurangi bilangan irasional, karena biasnya mungkin tidak rasional. Tentu saja, matematikawan berhati-hati untuk mengembangkan prosedur formal yang sesuai, tetapi dalam praktiknya kita tidak akan berurusan dengan ini, karena untuk solusinya tugas praktek perkiraan perhitungan dengan nilai yang dibulatkan selalu cukup. Untuk saat ini, kita hanya akan percaya bahwa konsep "penambahan" dan "pengurangan" - serta "perkalian" dan "pembagian" - didefinisikan dengan benar untuk dua bilangan real apa pun (dengan peringatan bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol).
Di sini, mungkin, akan tepat untuk mencatat perbedaan halus antara konsep "perpindahan" dan "jarak". Jarak selalu non-negatif. Faktanya, ini adalah offset yang diambil dari nilai mutlak. Jadi jika offset
v = b − sebuah
menerjemahkan intinya A tepat B, maka jarak s antar titik A dan B sama dengan
s = |v| = |b − sebuah |.
Persamaan ini tetap benar terlepas dari mana dari dua angka yang lebih besar - sebuah atau b.
Pesawat terbang
Dalam arti praktis, pesawat adalah selembar kertas tempat kita menggambar gambar geometris kita. imajiner bidang matematika berbeda dari selembar kertas yang memiliki ketebalan nol dan permukaan tak terbatas yang memanjang ke dalam sisi yang berbeda hingga tak terbatas. Selain itu, tidak seperti selembar kertas, bidang matematika benar-benar kaku: tidak pernah bengkok atau berkerut - bahkan jika itu robek dari meja dan ditempatkan di luar angkasa dengan cara apa pun.
Lokasi bidang dalam ruang secara unik diberikan oleh tiga titik (kecuali jika terletak pada satu garis lurus). Untuk memvisualisasikan ini dengan lebih baik, mari kita menggambar tiga poin sewenang-wenang, HAI, A dan B, dan tarik dua garis lurus melaluinya OA dan OB, seperti yang ditunjukkan pada gambar:
Sudah agak lebih mudah untuk "meregangkan" sebuah bidang dalam imajinasi pada dua garis yang berpotongan daripada "menyanderkannya" pada tiga titik. Tetapi untuk kejelasan yang lebih besar, kami akan melakukan beberapa konstruksi tambahan. Mari kita ambil beberapa poin secara acak: satu di mana saja di telepon OA, dan yang lainnya - di mana saja di telepon OB. Gambar garis baru melalui pasangan titik ini. Selanjutnya, dengan cara yang sama, kami memilih pasangan titik lain dan menggambar garis lain melaluinya. Dengan mengulangi prosedur ini berkali-kali, kami mendapatkan sesuatu seperti web:
Menempatkan bidang pada struktur seperti itu sudah cukup sederhana - terutama karena jaring imajiner ini dapat dibuat sangat tebal sehingga menutupi seluruh bidang tanpa celah.
Perhatikan bahwa jika kita mengambil sepasang titik yang tidak bertepatan pada sebuah bidang dan menggambar garis melaluinya, maka garis ini akan terletak pada bidang yang sama.
Abstrak
Dot (A, B, dll.): sebuah objek imajiner yang ukurannya ke segala arah adalah nol.
Lurus (n, m atau ( AB)): garis tipis tak terhingga; melewati dua titik ( A dan B) di sepanjang penggaris dengan cara yang jelas; meluas di kedua arah hingga tak terhingga.
Segmen garis ([AB]): bagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik ( A dan B) - ujung segmen, yang juga dianggap milik segmen.
potong panjang(|AB|): (pecahan) jumlah sentimeter (atau satuan pengukuran lain) yang pas di antara ujung-ujungnya ( A dan B).
Jarak antara dua titik: panjang ruas garis yang berakhir di titik-titik tersebut.
Posisi titik pada garis (koordinat): jarak dari suatu titik ke beberapa pusat yang telah dipilih sebelumnya (juga terletak pada garis lurus) dengan tanda plus atau minus yang ditetapkan, tergantung di sisi mana titik itu berada.
Posisi titik pada garis lurus diberikan sah(nyata)nomor, yaitu, pecahan desimal, yang dapat berupa (1) periodik hingga atau tak terbatas ( angka rasional), atau (2) tak berhingga tak periodik ( bilangan irasional).
Bias, yang menerjemahkan intinya A(dengan koordinat sebuah) tepat B(dengan koordinat b): v = b − sebuah.
Jarak sama dengan perpindahan, diambil dalam nilai absolut: | AB| = |b − sebuah|.
Pesawat terbang: selembar kertas tipis tak terhingga yang memanjang ke berbagai arah hingga tak terhingga; didefinisikan secara unik oleh tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama.
Konsep titik kritis dapat digeneralisasi untuk kasus pemetaan terdiferensiasi , dan kasus pemetaan terdiferensiasi dari manifold arbitrer f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\ke M^(m)). Dalam hal ini, definisi titik kritis adalah pangkat dari matriks Jacobian dari pemetaan f (\gaya tampilan f) memiliki kurang dari maksimum nilai yang mungkin, sama dengan .
Poin kritis fungsi dan pemetaan bermain peran penting di bidang matematika seperti persamaan diferensial, kalkulus variasi, teori stabilitas, dan mekanika dan fisika. Studi tentang titik-titik kritis pemetaan halus adalah salah satu pertanyaan utama dalam teori bencana. Gagasan tentang titik kritis juga digeneralisasikan untuk kasus fungsi yang didefinisikan pada ruang fungsi berdimensi tak hingga. Pencarian titik kritis dari fungsi tersebut adalah bagian penting kalkulus variasi. Titik kritis dari fungsi (yang, pada gilirannya, adalah fungsi) disebut ekstrim.
Definisi formal
kritis(atau spesial atau Perlengkapan tulis) titik dari pemetaan terdiferensiasi terus menerus f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\ke \mathbb (R) ^(m)) sebuah titik disebut di mana diferensial pemetaan ini f = f x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\parsial f)(\parsial x))) adalah merosot transformasi linier ruang singgung yang sesuai T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) dan T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), yaitu, dimensi dari gambar transformasi f (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) lebih kecil min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). Dalam notasi koordinat untuk n = m (\gaya tampilan n=m) ini berarti jacobian adalah determinan matriks jacobi dari pemetaan f (\gaya tampilan f), terdiri dari semua turunan parsial f j x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\parsial x_(i))))- menghilang pada satu titik. Spasi dan R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) dalam definisi ini dapat diganti dengan varietas N n (\gaya tampilan N^(n)) dan M m (\gaya tampilan M^(m)) dimensi yang sama.
teorema sard
Nilai tampilan pada titik kritis disebut kritis. Menurut teorema Sard, himpunan nilai kritis dari setiap pemetaan yang cukup halus f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\ke \mathbb (R) ^(m)) memiliki ukuran Lebesgue nol (walaupun mungkin ada sejumlah titik kritis, misalnya, untuk pemetaan yang identik, titik mana pun adalah kritis).
Pemetaan peringkat konstan
Jika di sekitar titik x 0 R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) peringkat pemetaan terdiferensiasi terus menerus f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\ke \mathbb (R) ^(m)) sama dengan bilangan yang sama r (\gaya tampilan r), lalu di sekitar titik ini x 0 (\gaya tampilan x_(0)) ada koordinat lokal yang berpusat di x 0 (\gaya tampilan x_(0)), dan di sekitar gambarnya - poin y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- ada koordinat lokal (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) berpusat pada f (\gaya tampilan f) diberikan oleh hubungan:
Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ltitik ,\ y_(m)=0.)
Secara khusus, jika r = n = m (\displaystyle r=n=m), maka ada koordinat lokal (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) berpusat pada x 0 (\gaya tampilan x_(0)) dan koordinat lokal (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) berpusat pada y 0 (\gaya tampilan y_(0)), sehingga mereka menampilkan f (\gaya tampilan f) identik.
Kejadian m = 1
Kapan definisi ini artinya gradien f = (f x 1 , … , f x n ) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) menghilang pada titik ini.
Mari kita asumsikan bahwa fungsi f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) memiliki kelas kehalusan minimal C 3 (\gaya tampilan C^(3)). Titik kritis suatu fungsi f ditelepon tidak merosot, jika berisi Hessian | 2 f x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) berbeda dari nol. Di sekitar titik kritis yang tidak merosot, ada koordinat di mana fungsi f memiliki bentuk normal kuadrat (lemma Morse).
Sebuah generalisasi alami dari lemma Morse untuk titik kritis merosot adalah Teorema Toujron: di sekitar titik kritis yang merosot dari fungsi f, dapat dibedakan jumlah tak terbatas kali() multiplisitas terbatas (\displaystyle \mu ) ada sistem koordinat di mana fungsi mulus memiliki bentuk polinomial derajat + 1 (\displaystyle \mu +1)(sebagai P + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x)) seseorang dapat mengambil polinomial Taylor dari fungsi f (x) (\gaya tampilan f(x)) pada suatu titik di koordinat awal).
Pada m = 1 (\displaystyle m=1) masuk akal untuk bertanya tentang maksimum dan minimum suatu fungsi. Menurut pernyataan terkenal analisis matematis, fungsi terdiferensialkan terus menerus f (\gaya tampilan f), didefinisikan di seluruh ruang R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) atau dalam himpunan bagian terbukanya, dapat mencapai maksimum lokal(minimum) hanya pada titik kritis, dan jika titik tersebut tidak berdegenerasi, maka matriks (∂ 2 f x 2) = (∂ 2 f x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\parsial ^(2)f)(\parsial x_(i)\parsial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) harus negatif (positif) pasti di dalamnya. Yang terakhir juga kondisi cukup maksimum lokal (masing-masing, minimum).
Kejadian n = m = 2
Kapan n=m=2 kami memiliki pemetaan f pesawat ke pesawat (atau manifold dua dimensi ke manifold dua dimensi lainnya). Mari kita asumsikan bahwa tampilan f terdiferensialkan berkali-kali ( C (\displaystyle C^(\infty ))). Dalam hal ini, titik kritis khas pemetaan f adalah mereka di mana determinan matriks Jacobian sama dengan nol, tetapi peringkatnya sama dengan 1, dan karenanya diferensial pemetaan f memiliki kernel satu dimensi pada titik-titik tersebut. Kondisi tipikal kedua adalah bahwa di sekitar titik yang dipertimbangkan pada bidang bayangan terbalik, himpunan titik-titik kritis membentuk kurva beraturan. S, dan di hampir semua titik kurva S inti ker f (\displaystyle \ker \,f_(*)) tidak peduli S, sedangkan titik-titik di mana hal ini tidak terjadi diisolasi dan singgungannya adalah orde pertama. Titik kritis dari tipe pertama disebut titik lipatan, dan tipe kedua titik berkumpul. Lipatan dan lipatan adalah satu-satunya jenis singularitas pemetaan bidang-ke-bidang yang stabil sehubungan dengan gangguan kecil: di bawah gangguan kecil, titik lipatan dan lipatan hanya bergerak sedikit seiring dengan deformasi kurva S, tetapi tidak menghilang, tidak merosot, dan tidak hancur menjadi singularitas lain.
