Perhatikan persamaan berikut:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x2 + y2 = 4;
4. 5*x 3 + y2 = 8.
Masing-masing persamaan di atas merupakan persamaan dengan dua variabel. Banyak poin bidang koordinat, yang koordinatnya mengubah persamaan menjadi persamaan yang benar persamaan numerik, disebut grafik persamaan dalam dua yang tidak diketahui.
Grafik persamaan dengan dua variabel
Persamaan dengan dua variabel memiliki variasi plot yang luas. Misalnya untuk persamaan 2*x + 3*y = 15 grafiknya berupa garis lurus, untuk persamaan x 2 + y 2 = 4 grafiknya berupa lingkaran dengan jari-jari 2, grafiknya persamaan y*x = 1 akan menjadi hiperbola, dll.
Persamaan bilangan bulat dengan dua variabel juga memiliki yang namanya derajat. Derajat ini ditentukan dengan cara yang sama seperti untuk seluruh persamaan dengan satu variabel. Untuk melakukan ini, persamaan dibawa ke bentuk ketika sisi kiri adalah polinomial tampilan standar, sedangkan yang kanan adalah nol. Hal ini dilakukan melalui transformasi setara.
Cara grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan
Mari kita cari tahu bagaimana menyelesaikan sistem persamaan yang akan terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel. Pertimbangkan cara grafis untuk menyelesaikan sistem seperti itu.
Contoh 1. Memecahkan sistem persamaan:
( x 2 + y 2 = 25
(y = -x 2 + 2*x + 5.
Mari kita plot grafik persamaan pertama dan kedua dalam sistem koordinat yang sama. Grafik persamaan pertama akan berupa lingkaran yang berpusat di titik asal dan jari-jari 5. Grafik persamaan kedua akan berbentuk parabola dengan cabang ke bawah.
Semua titik dari grafik masing-masing akan memenuhi persamaan mereka sendiri. Kita perlu menemukan titik-titik yang memenuhi persamaan pertama dan kedua. Jelas, ini akan menjadi titik di mana dua grafik ini berpotongan.
Dengan menggunakan gambar kami, kami menemukan nilai perkiraan koordinat di mana titik-titik ini berpotongan. Kami mendapatkan hasil sebagai berikut:
A(-2.2;-4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4,-3).
Jadi sistem persamaan kami memiliki empat solusi.
x1 -2.2; y1 -4.5;
x2 0; y2 5;
x3 2.2; y3 4,5;
x4 4,y4 -3.
Jika kita mengganti nilai-nilai ini ke dalam persamaan sistem kita, kita dapat melihat bahwa solusi pertama dan ketiga adalah perkiraan, dan yang kedua dan keempat tepat. Metode grafis sering digunakan untuk memperkirakan jumlah akar dan batas perkiraannya. Solusi lebih sering merupakan perkiraan daripada eksak.
Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan penyelesaian sistem dua persamaan dengan dua variabel. Pertama, pertimbangkan solusi grafis dari sistem dua persamaan linier, spesifik dari totalitas grafiknya. Selanjutnya, kami memecahkan beberapa sistem menggunakan metode grafis.
Topik: Sistem Persamaan
Pelajaran: Metode grafis untuk memecahkan sistem persamaan
Pertimbangkan sistemnya
Sepasang bilangan yang sekaligus merupakan penyelesaian persamaan pertama dan kedua dari sistem disebut solusi sistem persamaan.
Memecahkan sistem persamaan berarti menemukan semua solusinya, atau menetapkan bahwa tidak ada solusi. Kami telah mempertimbangkan grafik persamaan dasar, mari beralih ke pertimbangan sistem.
Contoh 1. Selesaikan sistem 
Keputusan:
Ini adalah persamaan linier, grafiknya masing-masing adalah garis lurus. Grafik persamaan pertama melewati titik (0; 1) dan (-1; 0). Grafik persamaan kedua melewati titik (0; -1) dan (-1; 0). Garis berpotongan di titik (-1; 0), ini adalah solusi sistem persamaan ( Beras. 1).
Penyelesaian dari sistem ini adalah sepasang bilangan. Dengan mensubstitusikan pasangan bilangan ini ke dalam setiap persamaan, kita memperoleh persamaan yang benar.
Kita punya hanya keputusan sistem linier.
Ingatlah bahwa ketika memecahkan sistem linier, kasus-kasus berikut mungkin terjadi:
sistem memiliki solusi unik - garis berpotongan,
sistem tidak memiliki solusi - garis sejajar,
sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas - garis-garisnya bertepatan.
Kami telah meninjau kasus spesial sistem ketika p(x; y) dan q(x; y) adalah ekspresi linier dalam x dan y.
Contoh 2. Memecahkan sistem persamaan 
Keputusan:
Grafik persamaan pertama adalah garis lurus, grafik persamaan kedua adalah lingkaran. Mari kita buat grafik pertama dengan poin (Gbr. 2).
Pusat lingkaran berada di titik O (0; 0), jari-jarinya adalah 1.
Grafik berpotongan di titik A(0; 1) dan titik B(-1; 0).
Contoh 3. Selesaikan sistem secara grafis
Solusi: Mari kita buat grafik persamaan pertama - ini adalah lingkaran dengan pusat di titik O (0; 0) dan jari-jari 2. Grafik persamaan kedua adalah parabola. Itu digeser relatif ke titik asal sebesar 2 ke atas, mis. puncaknya adalah titik (0; 2) (Gbr. 3).
Grafik memiliki satu titik bersama- t.A(0; 2). Ini adalah solusi untuk sistem. Substitusikan beberapa angka ke dalam persamaan untuk memeriksa kebenarannya.
Contoh 4. Selesaikan sistemnya
Solusi: Mari kita buat grafik persamaan pertama - ini adalah lingkaran dengan pusat di titik O (0; 0) dan jari-jari 1 (Gbr. 4).
Mari kita buat grafik fungsi Ini adalah garis putus-putus (Gbr. 5).
Sekarang mari kita pindahkan ke bawah 1 sepanjang sumbu oy. Ini akan menjadi grafik fungsi
Mari kita tempatkan kedua grafik dalam sistem koordinat yang sama (Gbr. 6).
Kami mendapatkan tiga titik persimpangan - titik A (1; 0), titik B (-1; 0), titik C (0; -1).
Kami telah meninjau metode grafis solusi sistem. Jika memungkinkan untuk membuat grafik setiap persamaan dan menemukan koordinat titik-titik persimpangan, maka metode ini cukup memadai.
Tetapi seringkali metode grafis hanya memungkinkan untuk menemukan solusi perkiraan dari sistem atau menjawab pertanyaan tentang jumlah solusi. Oleh karena itu, diperlukan metode lain yang lebih akurat, dan kita akan membahasnya dalam pelajaran berikutnya.
1. Mordkovich A.G. dan lain-lain.Aljabar kelas 9: Proc. Untuk pendidikan umum Institusi - edisi ke-4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 hal.: sakit.
2. Mordkovich A.G. dan lain-lain Aljabar Kelas 9: Buku tugas untuk siswa institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina dan lainnya - edisi ke-4. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit.
3. Yu.N. Makarychev, Aljabar. Kelas 9: buku teks. untuk mahasiswa pendidikan umum. institusi / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - Edisi ke-7, Pdt. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Aljabar. Kelas 9 edisi ke-16. - M., 2011. - 287 hal.
5. Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 9 Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-12, terhapus. — M.: 2010. — 224 hal.: sakit.
6. Aljabar. Kelas 9 Pada 2 jam Bagian 2. Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina dan lainnya; Ed. A.G. Mordkovich. - Edisi ke-12, Pdt. — M.: 2010.-223 hal.: sakit.
1. Bagian College.ru tentang matematika ().
2. Proyek Internet "Tugas" ().
3. Portal pendidikan"AKU AKAN MENYELESAIKAN PENGGUNAAN" ().
1. Mordkovich A.G. et al Aljabar Kelas 9: Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit. Nomor 105, 107, 114, 115.
Pelajaran video "Metode grafis untuk memecahkan sistem persamaan" menyajikan bahan pendidikan untuk mengeksplorasi topik ini. Bahan mengandung: konsep umum tentang memecahkan sistem persamaan, serta penjelasan detail menggunakan contoh bagaimana sistem persamaan diselesaikan secara grafis.
Bantuan visual menggunakan animasi untuk pelaksanaan konstruksi yang lebih nyaman dan mudah dipahami, serta cara yang berbeda alokasi konsep penting dan detail untuk pemahaman materi yang mendalam, menghafalnya lebih baik.
Video tutorial dimulai dengan memperkenalkan topik. Siswa diingatkan apa itu sistem persamaan, dan sistem persamaan apa yang sudah mereka pelajari di kelas 7. Sebelumnya, siswa harus menyelesaikan sistem persamaan berbentuk ax+by=c. Memperdalam konsep penyelesaian sistem persamaan dan untuk membentuk kemampuan menyelesaikannya, video pembelajaran ini membahas penyelesaian sistem yang terdiri dari dua persamaan derajat kedua, serta satu persamaan derajat kedua, dan persamaan derajat kedua. - dari tingkat pertama. Mengingatkan Anda tentang solusi sistem persamaan. Definisi solusi sistem sebagai pasangan nilai variabel yang membalikkan persamaannya saat mensubstitusikan ke persamaan yang benar ditampilkan di layar. Sesuai dengan definisi solusi sistem, tugas ditentukan. Ini ditampilkan di layar untuk mengingat bahwa memecahkan sistem berarti menemukan solusi yang sesuai atau membuktikan ketidakhadirannya.
Diusulkan untuk menguasai metode grafis untuk memecahkan sistem persamaan tertentu. Aplikasi metode ini dipertimbangkan pada contoh penyelesaian sistem yang terdiri dari persamaan x 2 + y 2 \u003d 16 dan y \u003d - x 2 + 2x + 4. Solusi grafis sistem dimulai dengan memplot masing-masing persamaan ini. Jelas, grafik persamaan x 2 + y 2 \u003d 16 akan menjadi lingkaran. Titik-titik yang termasuk dalam lingkaran ini adalah solusi dari persamaan. Di sebelah persamaan, sebuah lingkaran dengan jari-jari 4 dibangun di atas bidang koordinat dengan pusat O di titik asal. Grafik persamaan kedua adalah parabola, yang cabang-cabangnya diturunkan ke bawah. Parabola ini dibangun pada bidang koordinat, sesuai dengan grafik persamaan. Setiap titik yang termasuk dalam parabola adalah solusi untuk persamaan y \u003d -x 2 + 2x + 4. Dijelaskan bahwa solusi sistem persamaan adalah titik-titik pada grafik yang secara bersamaan termasuk dalam grafik kedua persamaan. Ini berarti bahwa titik potong dari grafik yang dibangun akan menjadi solusi untuk sistem persamaan.
Perlu dicatat bahwa metode grafis terdiri dalam menemukan nilai perkiraan koordinat titik-titik yang terletak di persimpangan dua grafik, yang mencerminkan himpunan solusi untuk setiap persamaan sistem. Gambar tersebut menandai koordinat titik potong yang ditemukan dari dua grafik: A, B, C, D[-2;-3.5]. Titik-titik ini adalah solusi dari sistem persamaan yang ditemukan secara grafis. Anda dapat memeriksa kebenarannya dengan memasukkannya ke dalam persamaan dan mendapatkan persamaan yang adil. Setelah memasukkan titik-titik ke dalam persamaan, dapat dilihat bahwa beberapa titik memberikan nilai yang tepat solusi, dan bagian mewakili nilai perkiraan solusi persamaan: x 1 =0, y 1 =4; x 2 \u003d 2, y 2 3.5; x 3 3.5, y 3 \u003d -2; x 4 \u003d -2, y 4 -3.5.
Video tutorial menjelaskan secara rinci esensi dan penerapan metode grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan. Hal ini memungkinkan untuk digunakan sebagai bantuan video dalam pelajaran aljabar di sekolah ketika mempelajari topik ini. Juga, materi akan berguna untuk Belajar sendiri siswa dan dapat membantu menjelaskan topik dalam pembelajaran jarak jauh.
Tingkat pertama
Memecahkan persamaan, pertidaksamaan, sistem menggunakan grafik fungsi. panduan visual (2019)
Banyak tugas yang biasa kami hitung secara aljabar murni dapat diselesaikan dengan lebih mudah dan lebih cepat, menggunakan grafik fungsi akan membantu kami dalam hal ini. Anda mengatakan "bagaimana bisa?" menggambar sesuatu, dan menggambar apa? Percayalah, terkadang lebih nyaman dan lebih mudah. Haruskah kita mulai? Mari kita mulai dengan persamaan!
Solusi grafis dari persamaan
Solusi grafis dari persamaan linier
Seperti yang sudah Anda ketahui, grafik persamaan linier adalah garis lurus, maka nama jenis ini. Persamaan linier cukup mudah untuk diselesaikan secara aljabar - kami mentransfer semua yang tidak diketahui ke satu sisi persamaan, semua yang kami tahu - ke sisi lain, dan voila! Kami telah menemukan akarnya. Sekarang saya akan menunjukkan cara melakukannya cara grafis.
Jadi, Anda memiliki persamaan:
Bagaimana cara mengatasinya?
Pilihan 1, dan yang paling umum adalah memindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi, dan yang diketahui ke sisi lain, kita mendapatkan:
Dan sekarang kami sedang membangun. Apa yang kamu dapatkan?
Menurut Anda apa akar persamaan kita? Benar, koordinat titik potong grafik:
Jawaban kami adalah
Itulah seluruh kebijaksanaan dari solusi grafis. Seperti yang dapat Anda periksa dengan mudah, akar persamaan kami adalah angka!
Seperti yang saya katakan di atas, ini adalah opsi yang paling umum, dekat dengan solusi aljabar, tetapi juga dapat dilakukan dengan cara yang berbeda. Untuk mempertimbangkan solusi alternatif, mari kembali ke persamaan kita:
Kali ini kita tidak akan memindahkan apapun dari sisi ke sisi, tetapi akan membangun grafik secara langsung, seperti sekarang:
Dibuat? Lihat!
Apa solusinya kali ini? Baiklah. Sama dengan koordinat titik potong grafik:
Dan sekali lagi, jawaban kami adalah .
Seperti yang Anda lihat, dengan persamaan linear semuanya sangat sederhana. Saatnya untuk mempertimbangkan sesuatu yang lebih rumit... Misalnya, solusi grafis persamaan kuadrat.
Solusi grafis dari persamaan kuadrat
Jadi, sekarang mari kita mulai menyelesaikan persamaan kuadrat. Katakanlah Anda perlu menemukan akar persamaan ini:
Tentu saja, Anda sekarang dapat mulai menghitung melalui diskriminan, atau menurut teorema Vieta, tetapi banyak saraf membuat kesalahan saat mengalikan atau mengkuadratkan, terutama jika contohnya dengan angka besar, dan, seperti yang Anda tahu, Anda tidak akan memiliki kalkulator saat ujian ... Karena itu, mari kita coba bersantai sedikit dan menggambar sambil menyelesaikan persamaan ini.
Temukan solusi secara grafis persamaan yang diberikan bisa cara yang berbeda. Mempertimbangkan berbagai pilihan dan Anda dapat memilih mana yang paling Anda sukai.
Metode 1. Langsung
Kami hanya membangun parabola menurut persamaan ini:
Untuk membuatnya cepat, saya akan memberi Anda satu petunjuk kecil: akan lebih mudah untuk memulai konstruksi dengan menentukan titik parabola. Rumus berikut akan membantu menentukan koordinat titik parabola:
Anda mengatakan "Berhenti! Rumus untuk sangat mirip dengan rumus untuk menemukan diskriminan "ya, itu, dan itu minus besar konstruksi "langsung" parabola untuk menemukan akarnya. Namun, mari kita hitung sampai akhir, dan kemudian saya akan menunjukkan cara membuatnya (banyak!) lebih mudah!
Apakah Anda menghitung? Berapakah koordinat titik sudut parabola? Mari kita cari tahu bersama:
Jawaban yang sama persis? Sudah selesai dilakukan dengan baik! Dan sekarang kita sudah mengetahui koordinat titiknya, dan untuk membangun parabola, kita membutuhkan lebih banyak ... poin. Bagaimana menurut Anda, berapa banyak poin minimum yang kita butuhkan? Benar, .
Anda tahu bahwa parabola simetris dengan titik puncaknya, misalnya:
Dengan demikian, kita membutuhkan dua titik lagi di sepanjang cabang kiri atau kanan parabola, dan di masa depan kita akan mencerminkan titik-titik ini secara simetris di sisi yang berlawanan:
Kami kembali ke parabola kami. Untuk kasus kami, intinya. Kami membutuhkan dua poin lagi, masing-masing, dapatkah kami mengambil yang positif, tetapi dapatkah kami mengambil yang negatif? Apa poin terbaik untuk Anda? Lebih nyaman bagi saya untuk bekerja dengan yang positif, jadi saya akan menghitung dengan dan.
Sekarang kita memiliki tiga titik, dan kita dapat dengan mudah membangun parabola kita dengan mencerminkan dua titik terakhir tentang puncaknya:
Menurut Anda apa solusi dari persamaan tersebut? Itu benar, titik-titik di mana, yaitu, dan. Karena.
Dan jika kita mengatakan itu, maka itu berarti juga harus sama, atau.
Hanya? Kami telah menyelesaikan persamaan dengan Anda dalam cara grafis yang kompleks, atau akan ada lebih banyak lagi!
Tentu saja, Anda dapat memeriksa jawaban kami secara aljabar - Anda dapat menghitung akar melalui teorema Vieta atau Diskriminan. Apa yang kamu dapatkan? Sama? Kamu melihat! Sekarang mari kita lihat solusi grafis yang sangat sederhana, saya yakin Anda akan sangat menyukainya!
Metode 2. Bagi menjadi beberapa fungsi
Mari kita ambil semuanya juga, persamaan kita: , tetapi kita menulisnya dengan cara yang sedikit berbeda, yaitu:
Bisakah kita menulisnya seperti ini? Kita bisa, karena transformasinya ekivalen. Mari kita lihat lebih jauh.
Mari kita membangun dua fungsi secara terpisah:
- - grafiknya adalah parabola sederhana, yang dapat Anda buat dengan mudah bahkan tanpa mendefinisikan titiknya menggunakan rumus dan membuat tabel untuk menentukan titik lainnya.
- - grafiknya adalah garis lurus, yang dapat Anda buat dengan mudah dengan memperkirakan nilai dan di kepala Anda bahkan tanpa menggunakan kalkulator.
Dibuat? Bandingkan dengan yang saya dapatkan:
Apakah Anda berpikir bahwa di kasus ini apakah akar-akar persamaan tersebut? Benar! Koordinat dengan, yang diperoleh dengan melintasi dua grafik dan, yaitu:
Dengan demikian, solusi untuk persamaan ini adalah:
Apa yang kamu katakan? Setuju, cara penyelesaian ini jauh lebih mudah dari cara sebelumnya dan bahkan lebih mudah daripada mencari akar melalui diskriminan! Jika ya, coba metode ini untuk menyelesaikan persamaan berikut:
Apa yang kamu dapatkan? Mari kita bandingkan grafik kita:
Grafik menunjukkan bahwa jawabannya adalah:
Apakah Anda berhasil? Sudah selesai dilakukan dengan baik! Sekarang mari kita lihat persamaan yang sedikit lebih rumit, yaitu, solusi persamaan campuran, yaitu persamaan yang mengandung fungsi dari jenis yang berbeda.
Solusi grafis dari persamaan campuran
Sekarang mari kita coba memecahkan masalah berikut:
Tentu saja, semuanya bisa dibawa ke faktor persekutuan, temukan akar persamaan yang dihasilkan, jangan lupa memperhitungkan ODZ, tetapi sekali lagi, kami akan mencoba menyelesaikannya secara grafis, seperti yang kami lakukan dalam semua kasus sebelumnya.
Kali ini mari kita plot 2 grafik berikut:
- - grafiknya hiperbola
- - grafik adalah garis lurus yang dapat Anda buat dengan mudah dengan memperkirakan nilai dan di kepala Anda bahkan tanpa menggunakan kalkulator.
Menyadari? Sekarang mulai membangun.
Inilah yang terjadi pada saya:
Melihat gambar ini, apa akar persamaan kita?
Itu benar, dan. Berikut konfirmasinya:
Coba masukkan akar kita ke dalam persamaan. Telah terjadi?
Baiklah! Setuju, memecahkan persamaan seperti itu secara grafis adalah suatu kesenangan!
Coba selesaikan sendiri persamaannya secara grafis:
Saya memberi Anda petunjuk: pindahkan bagian dari persamaan ke sisi kanan sehingga kedua belah pihak memiliki fungsi yang paling sederhana untuk dibangun. Punya petunjuk? Mengambil tindakan!
Sekarang mari kita lihat apa yang Anda dapatkan:
Masing-masing:
- - parabola kubik.
- - garis lurus biasa.
Nah, kami sedang membangun:
Seperti yang Anda tulis untuk waktu yang lama, akar dari persamaan ini adalah -.
Setelah memecahkan ini sejumlah besar contoh, saya yakin Anda menyadari bagaimana Anda dapat dengan mudah dan cepat menyelesaikan persamaan secara grafis. Saatnya mencari cara untuk memutuskan dengan cara yang sama sistem.
Solusi grafis sistem
Solusi grafis sistem pada dasarnya tidak berbeda dengan solusi grafis persamaan. Kami juga akan membangun dua grafik, dan titik persimpangannya akan menjadi akar dari sistem ini. Satu grafik adalah satu persamaan, grafik kedua adalah persamaan lain. Semuanya sangat sederhana!
Mari kita mulai dengan yang paling sederhana - memecahkan sistem persamaan linier.
Memecahkan sistem persamaan linear
Katakanlah kita memiliki sistem berikut:
Untuk memulainya, kami akan mengubahnya sedemikian rupa sehingga di sebelah kiri ada semua yang terhubung, dan di kanan - apa yang terhubung. Dengan kata lain, kami menulis persamaan ini sebagai fungsi dalam bentuk biasa untuk kami:
Dan sekarang kita hanya membangun dua garis lurus. Apa solusi dalam kasus kami? Benar! Titik persimpangan mereka! Dan di sini Anda harus sangat, sangat berhati-hati! Pikirkan mengapa? Saya akan memberi Anda petunjuk: kita sedang berhadapan dengan sebuah sistem: sistem memiliki keduanya, dan... Mengerti?
Baiklah! Saat memecahkan sistem, kita harus melihat kedua koordinat, dan tidak hanya, seperti saat menyelesaikan persamaan! Lain poin penting- tuliskan dengan benar dan jangan bingung di mana kita memiliki nilainya, dan di mana nilainya! Tercatat? Sekarang mari kita bandingkan semuanya secara berurutan:
Dan jawaban: i. Lakukan pemeriksaan - gantikan akar yang ditemukan ke dalam sistem dan pastikan bahwa kami menyelesaikannya dengan benar secara grafis?
Memecahkan sistem persamaan nonlinier
Tetapi bagaimana jika alih-alih satu garis lurus, kita akan memiliki persamaan kuadrat? Tidak apa-apa! Anda hanya membangun parabola, bukan garis lurus! Tidak percaya? Coba selesaikan sistem berikut:
Apa kita? langkah berikutnya? Benar, tuliskan agar nyaman bagi kita untuk membuat grafik:
Dan sekarang ini semua tentang hal kecil - saya membuatnya dengan cepat dan inilah solusi untuk Anda! Bangunan:
Apakah grafiknya sama? Sekarang tandai solusi sistem pada gambar dan tulis dengan benar jawaban yang terungkap!
Aku sudah melakukan semuanya? Bandingkan dengan catatan saya:
Baiklah? Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda sudah mengklik tugas-tugas seperti kacang! Dan jika demikian, mari beri Anda sistem yang lebih rumit:
Apa yang kita lakukan? Benar! Kami menulis sistem sehingga nyaman untuk membangun:
Saya akan memberi Anda sedikit petunjuk, karena sistemnya terlihat sangat rumit! Saat membangun grafik, buatlah "lebih banyak", dan yang paling penting, jangan kaget dengan jumlah titik persimpangan.
Jadi ayo pergi! dihembuskan? Sekarang mulai membangun!
Nah, bagaimana? Cantik? Berapa banyak titik persimpangan yang Anda dapatkan? Saya punya tiga! Mari kita bandingkan grafik kita:
Cara yang sama? Sekarang dengan hati-hati tuliskan semua solusi dari sistem kami:
Sekarang lihat kembali sistemnya:
Bisakah Anda bayangkan bahwa Anda menyelesaikannya hanya dalam 15 menit? Setuju, matematika masih sederhana, terutama ketika melihat ekspresi, Anda tidak takut membuat kesalahan, tetapi Anda mengambilnya dan memutuskan! Kamu sudah besar!
Solusi grafis dari ketidaksetaraan
Solusi grafis dari pertidaksamaan linier
Setelah contoh terakhir Anda memiliki segalanya di bahu Anda! Sekarang buang napas - dibandingkan dengan bagian sebelumnya, yang ini akan sangat, sangat mudah!
Kami akan mulai, seperti biasa, dengan solusi grafis pertidaksamaan linier. Misalnya, yang ini:
Untuk memulainya, kami akan melakukan transformasi paling sederhana - kami akan membuka tanda kurung kotak penuh dan tambahkan istilah seperti:
Pertidaksamaan tidak ketat, oleh karena itu - tidak termasuk dalam interval, dan solusinya adalah semua titik yang ke kanan, karena lebih banyak, dan seterusnya:
Menjawab:
Itu saja! Mudah? Selesaikan pertidaksamaan sederhana dengan dua variabel:
Mari kita menggambar fungsi dalam sistem koordinat.
Apakah Anda memiliki grafik seperti itu? Dan sekarang kita hati-hati melihat apa yang kita miliki dalam ketidaksetaraan? Lebih kecil? Jadi, kami mengecat semua yang ada di sebelah kiri garis lurus kami. Bagaimana jika ada lebih banyak? Itu benar, maka mereka akan melukis semua yang ada di sebelah kanan garis lurus kita. Semuanya sederhana.
Semua solusi dari ketidaksetaraan ini "berbayang" jeruk. Itu saja, pertidaksamaan dua variabel diselesaikan. Ini berarti bahwa koordinat dan setiap titik dari daerah yang diarsir adalah solusinya.
Solusi grafis dari pertidaksamaan kuadrat
Sekarang kita akan membahas bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat secara grafis.
Tapi sebelum kita langsung ke intinya, mari kita rekap beberapa hal tentang fungsi kuadrat.
Untuk apa diskriminan bertanggung jawab? Betul sekali, untuk posisi grafik relatif terhadap sumbu (kalau tidak ingat, baca teori fungsi kuadrat pasti).
Bagaimanapun, inilah sedikit pengingat untuk Anda:
Sekarang setelah kita menyegarkan semua materi dalam ingatan kita, mari kita mulai - kita akan menyelesaikan ketidaksetaraan secara grafis.
Saya akan segera memberi tahu Anda bahwa ada dua opsi untuk menyelesaikannya.
Pilihan 1
Kami menulis parabola kami sebagai fungsi:
Dengan menggunakan rumus, kami menentukan koordinat titik parabola (dengan cara yang sama seperti ketika memecahkan persamaan kuadrat):
Apakah Anda menghitung? Apa yang kamu dapatkan?
Sekarang mari kita ambil dua lagi berbagai titik dan hitung untuk mereka:
Kami mulai membangun satu cabang parabola:
Kami secara simetris mencerminkan titik kami pada cabang lain parabola:
Sekarang kembali ke ketidaksetaraan kita.
Kita perlu menjadi kurang dari nol, masing-masing:
Karena dalam ketidaksetaraan kami ada tanda yang sangat kurang, kami mengecualikan titik akhir - kami "mencongkel".
Menjawab:
Jauh, kan? Sekarang saya akan menunjukkan versi sederhana dari solusi grafis menggunakan ketidaksetaraan yang sama sebagai contoh:
pilihan 2
Kami kembali ke ketidaksetaraan kami dan menandai interval yang kami butuhkan:
Setuju, ini jauh lebih cepat.
Yuk tulis jawabannya sekarang:
Pertimbangkan solusi lain yang menyederhanakan dan bagian aljabar, tapi yang utama jangan bingung.
Kalikan ruas kiri dan kanan dengan:
Coba selesaikan pertidaksamaan kuadrat berikut ini sendiri dengan cara apa pun yang Anda suka: .
Apakah Anda berhasil?
Lihat bagaimana grafik saya berubah:
Menjawab: .
Solusi grafis dari ketidaksetaraan campuran
Sekarang mari kita beralih ke ketidaksetaraan yang lebih kompleks!
Bagaimana Anda menyukai ini:
Mengerikan, bukan? Sejujurnya, saya tidak tahu bagaimana menyelesaikan ini secara aljabar ... Tapi, itu tidak perlu. Secara grafis, tidak ada yang rumit dalam hal ini! Mata takut, tetapi tangan melakukannya!
Hal pertama yang kita mulai adalah dengan membangun dua grafik:
Saya tidak akan menulis tabel untuk semua orang - saya yakin Anda dapat melakukannya sendiri dengan sempurna (tentu saja, ada begitu banyak contoh untuk dipecahkan!).
Dilukis? Sekarang buat dua grafik.
Mari kita bandingkan gambar kita?
Apakah Anda memiliki hal yang sama? Bagus! Sekarang mari kita mengatur titik persimpangan dan menentukan dengan warna grafik mana yang seharusnya kita miliki, secara teori, harus lebih besar, yaitu. Lihat apa yang terjadi pada akhirnya:
Dan sekarang kita lihat saja dimana chart yang kita pilih lebih tinggi dari chart? Jangan ragu untuk mengambil pensil dan melukis daerah yang diberikan! Ini akan menjadi solusi untuk ketidaksetaraan kompleks kita!
Pada interval berapa di sepanjang sumbu kita lebih tinggi dari? Benar, . Ini adalah jawabannya!
Nah, sekarang Anda dapat menangani persamaan apa pun, dan sistem apa pun, dan terlebih lagi ketidaksetaraan apa pun!
SINGKAT TENTANG UTAMA
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan menggunakan grafik fungsi:
- Ekspresikan melalui
- Tentukan jenis fungsi
- Mari kita buat grafik dari fungsi yang dihasilkan
- Temukan titik potong grafik
- Tulis jawaban dengan benar (dengan memperhatikan ODZ dan tanda pertidaksamaan)
- Periksa jawabannya (substitusikan akar dalam persamaan atau sistem)
Untuk informasi lebih lanjut tentang merencanakan grafik fungsi, lihat topik "".
