ნახატზე ნაჩვენებია [–5, ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 6]. იპოვეთ f (x) გრაფიკის წერტილების რაოდენობა, რომელთაგან თითოეულში ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსი ემთხვევა ან პარალელურია x ღერძს.
ნახატზე ნაჩვენებია დიფერენცირებადი ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი y = f(x).
იპოვნეთ პუნქტების რაოდენობა ფუნქციის გრაფიკზე, სეგმენტს ეკუთვნის[–7; 7], რომელშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის y = –3x განტოლებით მოცემული სწორი ხაზის პარალელურად.
მატერიალური წერტილი M იწყება A წერტილიდან და მოძრაობს სწორი ხაზით 12 წამის განმავლობაში. გრაფიკი აჩვენებს, თუ როგორ შეიცვალა მანძილი A წერტილიდან M წერტილამდე დროთა განმავლობაში. აბსციზა აჩვენებს t დროს წამებში, ორდინატი აჩვენებს s მანძილს მეტრებში. დაადგინეთ, მოძრაობისას რამდენჯერ მივიდა M წერტილის სიჩქარე ნულამდე (უგულებელყოთ მოძრაობის დასაწყისი და დასასრული).
ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკის მონაკვეთები და მასზე ტანგენსი აბსცისის x \u003d 0 წერტილში. ცნობილია, რომ ეს ტანგენსი პარალელურია სწორი ხაზის, რომელიც გადის წერტილებში. გრაფიკი აბსციებით x \u003d -2 და x \u003d 3. ამის გამოყენებით იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა f "(o).
ნახატზე ნაჩვენებია გრაფიკი y = f'(x) - f(x) ფუნქციის წარმოებული, განსაზღვრული სეგმენტზე (−11; 2). იპოვეთ იმ წერტილის აბსციზა, რომელშიც y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია x ღერძის ან ემთხვევა მას.
მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორხაზოვნად კანონის მიხედვით x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან მეტრებში, t არის გაზომილი დრო წამებში. მოძრაობის დაწყებიდან. დროის რომელ მომენტში (წამებში) იყო მისი სიჩქარე 2 მ/წმ-ის ტოლი?
მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორი ხაზის გასწვრივ საწყისიდან საბოლოო პოზიციამდე. ნახატზე ნაჩვენებია მისი მოძრაობის გრაფიკი. აბსციზა აჩვენებს დროს წამებში, ორდინატი გვიჩვენებს მანძილს საწყისი პოზიციაქულები (მეტრებში). იპოვე საშუალო სიჩქარეწერტილის მოძრაობა. მიეცით პასუხი მეტრებში წამში.
ფუნქცია y \u003d f (x) განისაზღვრება ინტერვალზე [-4; 4]. ნახატზე ნაჩვენებია მისი წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკში, ტანგენსი, რომელშიც Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით ქმნის 45 ° კუთხეს.
ფუნქცია y \u003d f (x) განისაზღვრება ინტერვალზე [-2; 4]. ნახატზე ნაჩვენებია მისი წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკის წერტილის აბსცისა, რომელზეც ის იღებს უმცირესი ღირებულებასეგმენტზე [-2; -0.001].
ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, შედგენილი x0 წერტილში. ტანგენსი მოცემულია განტოლებით y = -2x + 15. იპოვეთ y = -(1/4)f(x) + 5 ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
დიფერენცირებადი ფუნქციის y = f(x) გრაფიკზე აღინიშნება შვიდი წერტილი: x1,..,x7. იპოვეთ ყველა მონიშნული წერტილი, სადაც f(x) ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე მეტი. ჩაწერეთ ამ ქულების რაოდენობა თქვენს პასუხში.
ნახატზე ნაჩვენებია f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი y \u003d f "(x), რომელიც განსაზღვრულია ინტერვალზე (-10; 2). იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებზეც ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე. f (x) პარალელურია y \u003d -2x-11 წრფის ან ემთხვევა მას.
ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) გრაფიკი - f (x) ფუნქციის წარმოებული. x ღერძზე აღინიშნება ცხრა წერტილი: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7. , x8, x9.
ამ წერტილებიდან რამდენი ეკუთვნის f(x) კლებადი ფუნქციის ინტერვალებს?
ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, შედგენილი x0 წერტილში. ტანგენსი მოცემულია განტოლებით y = 1.5x + 3.5. იპოვეთ y \u003d 2f (x) - 1 ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
ნახატზე ნაჩვენებია ერთ-ერთის y=F(x) გრაფიკი ანტიდერივატიული ფუნქციები f(x). გრაფიკზე მონიშნულია ექვსი წერტილი აბსცისებით x1, x2, ..., x6. ამ წერტილებიდან რამდენზე იღებს ფუნქცია y=f(x) უარყოფით მნიშვნელობებს?
ფიგურაში ნაჩვენებია მანქანის განრიგი მარშრუტის გასწვრივ. დრო გამოსახულია აბსცისის ღერძზე (საათებში), ორდინატთა ღერძზე - გავლილი მანძილი (კილომებში). იპოვეთ მანქანის საშუალო სიჩქარე ამ მარშრუტზე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში
მატერიალური წერტილი მართკუთხედად მოძრაობს კანონის მიხედვით x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან (მეტრებში), t არის დრო. მოძრაობის (წამებში). იპოვეთ მისი სიჩქარე (მეტრებში წამში) t=6 წმ დროს
ნახატზე ნაჩვენებია ზოგიერთი ფუნქციის y \u003d f (x) ანტიწარმოებული y \u003d F (x) გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია ინტერვალზე (-6; 7). ფიგურის გამოყენებით განსაზღვრეთ f(x) ფუნქციის ნულების რაოდენობა მოცემულ ინტერვალში.
ნახატზე ნაჩვენებია (-7; 5) ინტერვალზე განსაზღვრული ზოგიერთი ფუნქციის f(x) ერთ-ერთი ანტიწარმოებულის y = F(x) გრაფიკი. ნახატის გამოყენებით განსაზღვრეთ f(x) = 0 განტოლების ამონახსნების რაოდენობა სეგმენტზე [- 5; 2].
ნახატზე ნაჩვენებია დიფერენცირებადი ფუნქციის y=f(x) გრაფიკი. x ღერძზე აღინიშნება ცხრა წერტილი: x1, x2, ... x9. იპოვეთ ყველა მონიშნული წერტილი, სადაც f(x)-ის წარმოებული უარყოფითია. ჩაწერეთ ამ ქულების რაოდენობა თქვენს პასუხში.
მატერიალური წერტილი მართკუთხედად მოძრაობს კანონის მიხედვით x(t)=12t^3−3t^2+2t, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან მეტრებში, t არის დრო წამებში გაზომილი მოძრაობის დაწყებიდან. იპოვეთ მისი სიჩქარე (მეტრებში წამში) t=6 წმ დროს.
ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და x0 წერტილში დახატული ამ გრაფიკის ტანგენსი. ტანგენტის განტოლება ნაჩვენებია სურათზე. იპოვეთ y=4*f(x)-3 ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
(ნახ.1)
სურათი 1. წარმოებულის გრაფიკი
წარმოებული ნაკვეთის თვისებები
- მზარდი ინტერვალებით, წარმოებული დადებითია. თუ წარმოებული გარკვეულ წერტილში რაღაც ინტერვალიდან აქვს დადებითი ღირებულება, მაშინ ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი იზრდება.
- კლებულ ინტერვალებზე წარმოებული უარყოფითია (მინუს ნიშნით). თუ წარმოებული გარკვეულ წერტილში რაღაც ინტერვალიდან აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა, მაშინ ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი მცირდება.
- წარმოებული x წერტილში არის კუთხოვანი კოეფიციენტიიმავე წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსი.
- ფუნქციის მაქსიმალურ-მინიმალურ წერტილებში წარმოებული ნულის ტოლია. ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი ამ წერტილში არის OX ღერძის პარალელურად.
მაგალითი 1
წარმოებულის გრაფიკის (ნახ. 2) მიხედვით დაადგინეთ სეგმენტის რომელ წერტილში [-3; 5] ფუნქცია მაქსიმალურია.
სურათი 2. წარმოებულის გრაფიკი
გამოსავალი: ჩართულია ამ სეგმენტსწარმოებული უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია მცირდება მარცხნიდან მარჯვნივ და უმაღლესი ღირებულებამდებარეობს მარცხენა მხარეს -3 წერტილში.
მაგალითი 2
წარმოებულის გრაფიკის მიხედვით (ნახ. 3) დაადგინეთ სეგმენტზე მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა [-11; 3].
სურათი 3. წარმოებულის გრაფიკი
ამოხსნა: მაქსიმალური ქულები შეესაბამება იმ წერტილებს, სადაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება დადებითიდან უარყოფითზე. ამ ინტერვალზე ფუნქცია ორჯერ ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუს - წერტილში -10 და -1 წერტილში. ასე რომ, მაქსიმალური ქულების რაოდენობა არის ორი.
მაგალითი 3
წარმოებულის გრაფიკის მიხედვით (ნახ. 3) განსაზღვრეთ სეგმენტში მინიმალური წერტილების რაოდენობა [-11; -ერთი].
ამოხსნა: მინიმალური ქულები შეესაბამება იმ წერტილებს, სადაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება უარყოფითიდან დადებითზე. ამ სეგმენტზე მხოლოდ -7 არის ასეთი წერტილი. ეს ნიშნავს, რომ მინიმალური ქულების რაოდენობა მოცემული სეგმენტი-- ერთი.
მაგალითი 4
წარმოებულის გრაფიკის მიხედვით (ნახ. 3) დაადგინეთ ექსტრემალური წერტილების რაოდენობა.
გამოსავალი: ექსტრემუმი არის როგორც მინიმალური, ასევე მაქსიმალური წერტილი. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებზეც წარმოებული ცვლის ნიშანს.
B8. გამოყენება
1. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, დახატული x0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: 2
2.
პასუხი: -5
3.
ინტერვალზე (–9; 4).
პასუხი: 2
4.
იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში პასუხი: 0.5
5. იპოვეთ შეხების წერტილი y = 3x + 8 წრფესა და y = x3+x2-5x-4 ფუნქციის გრაფიკს შორის. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ პუნქტის აბსცისა. პასუხი: -2
6.
განსაზღვრეთ არგუმენტის მთელი მნიშვნელობების რაოდენობა, რომლისთვისაც f(x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. პასუხი: 4
7.
პასუხი: 2
8.
იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა y=5–x წრფეს. პასუხი: 3
9.
ინტერვალი (-8; 3).
პირდაპირი y = -20. პასუხი: 2
10.
პასუხი: -0.5
11
პასუხი: 1
12. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.
იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: 0.5
13. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.
იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: -0.25
14.
იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა y = x+7 წრფეს. პასუხი: 4
15
იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: -2
16.
ინტერვალი (-14;9).
იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა [-12;7] ინტერვალზე. პასუხი: 3
17
ინტერვალზე (-10; 8).
იპოვეთ f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა [-9;7] ინტერვალზე. პასუხი: 4
18. y = 5x-7 წრფე ეხება y = 6x2 + bx-1 ფუნქციის გრაფიკს 0-ზე ნაკლები აბსცისის მქონე წერტილში. იპოვეთ b. პასუხი: 17
19
პასუხი:-0,25
20
პასუხი: 6
21. იპოვეთ y=x2+6x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი y=5x+11 წრფის პარალელურად. თქვენს პასუხში მიუთითეთ კონტაქტის წერტილის აბსციზა. პასუხი: -0,5
22.
პასუხი: 4
23. ვ "(x) ინტერვალზე (-16; 4).
სეგმენტზე [-11; 0] იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა. პასუხი: 1
B8 ფუნქციების გრაფიკები, ფუნქციების წარმოებულები. ფუნქციის კვლევა . გამოყენება
1.
ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, დახატული x0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
2. ნახატზე ნაჩვენებია (-6; 5) ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი.
სეგმენტის რომელ წერტილში [-5; -1] f(x) იღებს უმცირეს მნიშვნელობას?
3. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, განსაზღვრული
ინტერვალზე (–9; 4).
იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი წრფის პარალელურია.
y = 2x-17 ან იგივე.
4. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.
იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში
5. იპოვეთ შეხების წერტილი y = 3x + 8 წრფესა და y = x3+x2-5x-4 ფუნქციის გრაფიკს შორის. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ პუნქტის აბსცისა.
6. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-7; 5) ინტერვალზე.
განსაზღვრეთ არგუმენტის მთელი მნიშვნელობების რაოდენობა, რომლისთვისაც f(x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია.
7. ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია ინტერვალზე (-8; 8).
იპოვეთ f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა, რომელიც მიეკუთვნება [-4; 6].
8. სურათზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია ინტერვალზე (-8; 4).
იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა y=5–x წრფეს.
9. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი განსაზღვრული
ინტერვალი (-8; 3).
იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელია
პირდაპირი y = -20.
10. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.
იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
11 . ნახატზე ნაჩვენებია f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-9; 9) ინტერვალზე.
იპოვეთ $f(x)$ ფუნქციის მინიმალური რაოდენობა [-6;8] სეგმენტზე. 1
12. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.
იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
13. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.
იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
14. ნახატზე ნაჩვენებია f (x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-6; 8) ინტერვალზე.
იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა y = x+7 წრფეს.
15 . ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.
იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
16. ნახატზე ნაჩვენებია f(x)-ზე განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი
ინტერვალი (-14;9).
იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა [-12;7] ინტერვალზე.
17 . ნახატზე ნაჩვენებია განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი
ინტერვალზე (-10; 8).
იპოვეთ f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა [-9;7] ინტერვალზე.
18. y = 5x-7 წრფე ეხება y = 6x2 + bx-1 ფუნქციის გრაფიკს 0-ზე ნაკლები აბსცისის მქონე წერტილში. იპოვეთ b.
19 . ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი აბსცისის x0 წერტილში.
იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.
20 . იპოვეთ წერტილების რაოდენობა ინტერვალში (-1;12), სადაც გრაფიკზე ნაჩვენები y = f(x) ფუნქციის წარმოებული 0-ის ტოლია.
21. იპოვეთ y=x2+6x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი y=5x+11 წრფის პარალელურად. თქვენს პასუხში მიუთითეთ კონტაქტის წერტილის აბსციზა.
22. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი. იპოვეთ მთელი რიცხვების რაოდენობა იმ ინტერვალში (-2;11), სადაც f(x) ფუნქციის წარმოებული დადებითია.
23. ნახატზე ნაჩვენებია y= ფუნქციის გრაფიკივ "(x) ინტერვალზე (-16; 4).
სეგმენტზე [-11; 0] იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა.
