თანამედროვე სამყაროში მათემატიკა სულ უფრო და უფრო ხდება ადამიანის მიერ მის გარშემო არსებული სამყაროს ცოდნის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტი. მათემატიკა არის თეორიული კვლევის მთავარი მეთოდი და პრაქტიკული ინსტრუმენტი ბუნებისმეტყველებასა და ტექნოლოგიაში, მათემატიკის გარეშე აბსოლუტურად შეუძლებელია სერიოზული სამეცნიერო და საინჟინრო გამოთვლების განხორციელება. გასაკვირი არ არის, რომ გერმანული კლასიკური ფილოსოფიის ფუძემდებელი იმანუელ კანტი (1742 - 1804 წწ.) ამტკიცებდა, რომ „თითოეულ ინდივიდში საბუნებისმეტყველო მეცნიერებამეცნიერების პოვნა შესაძლებელია მხოლოდ იმდენად, რამდენადაც მასში მათემატიკაა შესაძლებელი. მათემატიკა, როგორც მეცნიერება, წარმოიშვა პრაქტიკული ამოცანების გადაჭრის აუცილებლობასთან დაკავშირებით: გაზომვები ადგილზე, ნავიგაცია და ა.შ. შედეგად, მათემატიკა ყოველთვის იყო რიცხვითი მათემატიკა, მისი მიზანი იყო ამოცანების ამოხსნის მოპოვება რიცხვის სახით. კომპიუტერების შექმნამ ახალი ბიძგი მისცა მათემატიკის განვითარებას, გაჩნდა ახალი დისციპლინები - „მათემატიკური ეკონომიკა“, „მათემატიკური ქიმია“, „მათემატიკური ლინგვისტიკა“ და ა.შ. წარმოიშვა „მათემატიკური მოდელირების“ ცნება. სიტყვა " მოდელი"მოდის ლათინურიდან რეჟიმი(ასლი, სურათი, მონახაზი). მოდელირება არის ზოგიერთი ობიექტის A (ორიგინალი) ჩანაცვლება სხვა ობიექტით B (მოდელით).

მათემატიკური მოდელი არის რეალობის გამარტივებული აღწერა მათემატიკური ცნებების გამოყენებით. მათემატიკური მოდელირება – აგების და სწავლის პროცესი მათემატიკური მოდელებირეალური პროცესები და მოვლენები, ე.ი. ობიექტებისა და პროცესების შესწავლის მეთოდი რეალური სამყარომათემატიკის ენაზე მათი სავარაუდო აღწერების – მათემატიკური მოდელების დახმარებით. წარსულის უდიდესმა მეცნიერებმა თავიანთ ნაშრომებში გააერთიანეს როგორც ბუნებრივი მოვლენების მათემატიკური აღწერის აგება (მათემატიკური მოდელები) და მისი კვლევა. რთული მოდელების ანალიზი მოითხოვდა ახლის შექმნას, როგორც წესი, რიცხვითი მეთოდებიპრობლემის გადაჭრა.

აკადემიკოსი A.A. Samarsky სამართლიანად ითვლება შიდა მათემატიკური მოდელირების ფუძემდებლად. მან გამოხატა მათემატიკური მოდელირების მეთოდოლოგია ცნობილი ტრიადის მიერ « მოდელი– ალგორითმი– პროგრამა».

ეტაპი 1. მოდელი. შერჩეულია ან აგებულია შესასწავლი ობიექტის მოდელი, რომელიც ასახავს მის უმნიშვნელოვანეს თვისებებს მათემატიკური ფორმით. ჩვეულებრივ მათემატიკური მოდელები რეალური პროცესებისაკმაოდ რთულია და მოიცავს არაწრფივი ფუნქციონალურ-დიფერენციალური განტოლებების სისტემებს. მათემატიკური მოდელის ბირთვი, როგორც წესი, არის განტოლებები ნაწილობრივი წარმოებულებით. ობიექტის შესახებ წინასწარი ცოდნის მისაღებად აგებული მოდელი შესწავლილია გამოყენებითი მათემატიკის ტრადიციული ანალიტიკური საშუალებებით.

ეტაპი. ალგორითმი. გამოთვლითი ალგორითმი შერჩეულია ან შემუშავებულია კომპიუტერზე აგებული მოდელის დასანერგად, რომელიც არ უნდა დაამახინჯოს მოდელის ძირითად თვისებებს, უნდა იყოს ადაპტირებადი ამოცანების მახასიათებლებთან და გამოყენებულ გამოთვლით ინსტრუმენტებთან. აგებული მათემატიკური მოდელი შესწავლილია გამოთვლითი მათემატიკის მეთოდებით.

ეტაპი 3. პროგრამა. პროგრამული უზრუნველყოფა იქმნება მოდელისა და ალგორითმის კომპიუტერზე დასანერგად. შექმნილმა პროგრამულმა პროდუქტმა უნდა გაითვალისწინოს მათემატიკური მოდელირების ყველაზე მნიშვნელოვანი სპეციფიკა, რაც დაკავშირებულია მათემატიკური მოდელების ნაკრების გამოყენების აუცილებლობასთან და გამოთვლების მრავალვარიანტულობასთან. შედეგად, მკვლევარი იღებს უნივერსალურ, მოქნილ და იაფ ინსტრუმენტს, რომელიც ჯერ გამართულია, ტესტირება და კალიბრირებულია ნაკრების ხსნარზე. საცდელი ამოცანები. შემდეგ ტარდება მათემატიკური მოდელის ფართომასშტაბიანი შესწავლა შესასწავლი ობიექტის აუცილებელი თვისებრივი და რაოდენობრივი თვისებებისა და მახასიათებლების მისაღებად. შემოთავაზებული მეთოდოლოგია შემუშავებულია ტექნოლოგიის სახით. გამოთვლითი ექსპერიმენტი ". გამოთვლითი ექსპერიმენტი არის ინფორმაციული ტექნოლოგია, რომელიც შექმნილია გარემომცველი სამყაროს ფენომენების შესასწავლად, როდესაც სრულმასშტაბიანი ექსპერიმენტი ან შეუძლებელია (მაგალითად, ადამიანის ჯანმრთელობის შესწავლისას), ან ძალიან საშიში (მაგალითად, გარემოს ფენომენების შესწავლისას), ან ძალიან ძვირი და რთული (მაგალითად, ასტროფიზიკური ფენომენების შესწავლისას). ფართო აპლიკაციამათემატიკური მოდელირების კომპიუტერები, განვითარებული თეორია და მნიშვნელოვანი პრაქტიკული შედეგები საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ გამოთვლით ექსპერიმენტზე, როგორც ახალი ტექნოლოგიადა სამეცნიერო და პრაქტიკული კვლევის მეთოდოლოგია. გამოთვლითი ექსპერიმენტის სერიოზული დანერგვა საინჟინრო საქმიანობაში ჯერ კიდევ არ არის ძალიან გავრცელებული, მაგრამ იქ, სადაც ის რეალურად ხდება (საავიაციო და კოსმოსურ ინდუსტრიაში), მისი ნაყოფი ძალიან მნიშვნელოვანია. მოდით აღვნიშნოთ გამოთვლითი ექსპერიმენტის რამდენიმე უპირატესობა ბუნებრივთან შედარებით. გამოთვლითი ექსპერიმენტი, როგორც წესი, უფრო იაფია ვიდრე ფიზიკური. ეს ექსპერიმენტი შეიძლება ადვილად და უსაფრთხოდ ჩაითვალოს. საჭიროების შემთხვევაში ის შეიძლება განმეორდეს და ნებისმიერ დროს შეწყდეს. ამ ექსპერიმენტის დროს შეგიძლიათ მოახდინოთ ისეთი პირობების სიმულაცია, რომლებიც ლაბორატორიაში შეუძლებელია. ზოგიერთ შემთხვევაში, სრულმასშტაბიანი ექსპერიმენტის ჩატარება რთულია და ზოგჯერ შეუძლებელიც კი. ხშირად, სრულმასშტაბიანი ბუნებრივი ექსპერიმენტი ასოცირდება დამღუპველ ან არაპროგნოზირებად შედეგებთან (ბირთვული ომი, ციმბირის მდინარეების შემობრუნება) ან საშიშროება ადამიანის სიცოცხლისა და ჯანმრთელობისთვის. ხშირად საჭიროა კატასტროფული მოვლენების შესწავლა და პროგნოზირება (ავარია ბირთვული რეაქტორიᲑᲘᲠᲗᲕᲣᲚᲘ ᲔᲚᲔᲥᲢᲠᲝ ᲡᲐᲓᲒᲣᲠᲘ, გლობალური დათბობაან კლიმატის გაციება, ცუნამი, მიწისძვრა). ამ შემთხვევებში გამოთვლითი ექსპერიმენტი შეიძლება გახდეს კვლევის მთავარი საშუალება. მისი დახმარებით შესაძლებელია ახალი, ჯერ არ შექმნილი სტრუქტურებისა და მასალების თვისებების პროგნოზირება მათი დიზაინის ეტაპზე. ამავე დროს, უნდა გვახსოვდეს, რომ გამოთვლითი ექსპერიმენტის შედეგების გამოყენებადობა შემოიფარგლება მიღებული მათემატიკური მოდელის ჩარჩოებით. ბუნებრივი კვლევებისგან განსხვავებით, გამოთვლითი ექსპერიმენტი საშუალებას აძლევს ადამიანს დააგროვოს გარკვეული პრობლემების შესწავლისას მიღებული შედეგები და შემდეგ ეფექტურად გამოიყენოს ისინი სხვა სფეროებში პრობლემების გადასაჭრელად. მაგალითად, არაწრფივი სითბოს განტოლება აღწერს არა მხოლოდ თერმული პროცესები, არამედ მატერიის დიფუზია, მიწისქვეშა წყლების მოძრაობა, გაზის ფილტრაცია ფოროვან გარემოში. იცვლება მხოლოდ ამ განტოლებაში შემავალი რაოდენობების ფიზიკური მნიშვნელობა. გამოთვლითი ექსპერიმენტის პირველი ეტაპის შემდეგ შესაძლოა საჭირო გახდეს მოდელის დახვეწა. მეორე ეტაპზე მხედველობაში მიიღება დამატებითი ეფექტები და კავშირები შესასწავლ ფენომენში, ან ხდება გარკვეული კანონზომიერებებისა და კავშირების უგულებელყოფა. შემდეგ ეს პროცესი მეორდება მანამ, სანამ არ დავრწმუნდებით, რომ მოდელი ადეკვატურია შესასწავლ ობიექტთან. ჩვეულებრივ, მათემატიკური მოდელირებისა და გამოთვლითი ექსპერიმენტის პროცესში, პროფესიონალი მათემატიკოსებისა და პროგრამისტების გარდა, კონკრეტული საგნის (ბიოლოგია, ქიმია, მედიცინა და ა.შ.) სპეციალისტები მონაწილეობენ. პირველი სერიოზული გამოთვლითი ექსპერიმენტი ჩატარდა სსრკ-ში 1968 წელს მეცნიერთა ჯგუფის მიერ, რომელსაც ხელმძღვანელობდნენ აკადემიკოსები ა.ნ.ტიხონოვი და ა.ა. სამარა. ეს იყო ეგრეთ წოდებული T-ფენის ეფექტის აღმოჩენა (ტემპერატურის დენის ფურცელი პლაზმაში, რომელიც წარმოიქმნება MHD გენერატორებში) - ფენომენი, რომელიც რეალურად არავის დაუნახავს. და მხოლოდ რამდენიმე წლის შემდეგ T-ფენა დარეგისტრირდა ექსპერიმენტულ ფიზიკურ ლაბორატორიებში და MHD გენერატორის მუშაობის პრინციპი T- ფენით საბოლოოდ გახდა ნათელი ტექნოლოგებისთვის და ინჟინრებისთვის. AT ბოლო წლებირიგი ნობელის პრემია ქიმიაში, მედიცინაში, ეკონომიკაში, ელემენტარული ნაწილაკების ფიზიკაში მიენიჭა ნაშრომებს, რომელთა მეთოდოლოგიური საფუძველი სწორედ მათემატიკური მოდელირება იყო. მათემატიკური მოდელები მექანიკაში, ფიზიკაში და ბუნებისმეტყველების სხვა ზუსტ მეცნიერებებში შესასწავლი ფენომენების აღწერისთვის დიდი ხნის განმავლობაში გამოიყენება. 3-4 ათასი წლის წინ გადაჭრეს გამოყენებითი მათემატიკის ამოცანები ფართობებისა და მოცულობების გამოთვლასთან, უმარტივესი მექანიზმების გამოთვლებთან, ე.ი. არითმეტიკის, ალგებრის და გეომეტრიის მარტივი ამოცანებით. გამოთვლითი საშუალება იყო საკუთარი თითები, შემდეგ კი აბაკუსი. გამოთვლების უმეტესობა შესრულდა ზუსტად, დამრგვალების გარეშე. მე-17 საუკუნეში ისააკ ნიუტონმა სრულად აღწერა პლანეტების მოძრაობის ნიმუშები მზის გარშემო, გადაჭრა გეოდეზიის პრობლემები და ჩაატარა მექანიკური სტრუქტურების გამოთვლები. პრობლემები შემცირდა ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებამდე, ან ალგებრულ სისტემებამდე დიდი რიცხვიუცნობია, გამოთვლები განხორციელდა საკმარისად მაღალი სიზუსტით 8 მნიშვნელოვან ციფრამდე. გამოთვლებში გამოყენებულია ელემენტარული ფუნქციების ცხრილები, დამატების მანქანა, სლაიდის წესი; ამ პერიოდის ბოლოს გამოჩნდა კარგი კლავიატურის მანქანები ელექტროძრავით. იმ დროს შემუშავდა რიცხვითი მეთოდების ალგორითმები, რომლებიც დღემდე საპატიო ადგილს იკავებს გამოთვლითი მათემატიკის არსენალში. ასე რომ, ნიუტონმა შემოგვთავაზა ალგებრული განტოლებების ამოხსნის ეფექტური რიცხვითი მეთოდი, ხოლო ეილერმა შემოგვთავაზა რიცხვითი მეთოდი ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების გადასაჭრელად. რიცხვითი მეთოდების გამოყენების კლასიკური მაგალითია პლანეტა ნეპტუნის აღმოჩენა. ურანი არის პლანეტა სატურნის გვერდით, რომელიც მრავალი საუკუნის მანძილზე ითვლებოდა ყველაზე შორეულ პლანეტად. XIX საუკუნის 40-იანი წლებისთვის. ზუსტმა დაკვირვებებმა აჩვენა, რომ ურანი ძლივს შესამჩნევად გადაუხვევს იმ გზიდან, რომელიც უნდა გაჰყვეს, ყველა აშლილობის გათვალისწინებით. ცნობილი პლანეტები. ლე ვერიერმა (საფრანგეთში) და ადამსმა (ინგლისში) ვარაუდობდნენ, რომ თუ ცნობილი პლანეტებიდან არეულობა არ ხსნის ურანის მოძრაობის გადახრას, ეს ნიშნავს, რომ მასზე მოქმედებს ჯერ კიდევ უცნობი სხეულის მიზიდულობა. მათ თითქმის ერთდროულად გამოთვალეს, თუ სად უნდა იყოს ურანის უკან უცნობი სხეული, რომელიც წარმოქმნის ამ გადახრებს თავისი მიზიდულობით. მათ გამოთვალეს ორბიტა უცნობი პლანეტა, მისი მასა და მიუთითებდა ცაზე იმ ადგილს, სადაც მოცემულ დროს უცნობი პლანეტა უნდა ყოფილიყო. ეს პლანეტა ტელესკოპში მათ მიერ მითითებულ ადგილას 1846 წელს აღმოაჩინეს. მას ნეპტუნი ერქვა. ლე ვერიერს ექვსი თვე დასჭირდა ნეპტუნის ტრაექტორიის გამოსათვლელად. გამოყენებითი ამოცანების რიცხვითი ამოხსნა ყოველთვის აინტერესებდა მათემატიკოსებს. რიცხვითი მეთოდების შემუშავებაში მონაწილეობდნენ თავისი დროის უდიდესი მეცნიერები: ნიუტონი, ეილერი, ლობაჩევსკი, გაუსი, ჰერმიტი, ჩებიშევი და სხვები, მათ მიერ შემუშავებული რიცხვითი მეთოდები მათ სახელებს ატარებს. რიცხვითი მეთოდების შემუშავებამ ხელი შეუწყო მათემატიკის სფეროს მუდმივ გაფართოებას სხვა სამეცნიერო დისციპლინებში და გამოყენებითი განვითარებაში. კომპიუტერების გამოჩენამ ძლიერი სტიმული მისცა რიცხვითი მეთოდების კიდევ უფრო ფართო დანერგვას სამეცნიერო და ტექნიკური გამოთვლების პრაქტიკაში. გამოთვლითი ოპერაციების შესრულების სიჩქარე მილიონჯერ გაიზარდა, რამაც შესაძლებელი გახადა მათემატიკური ამოცანების ფართო სპექტრის ამოხსნა, რომლებიც მანამდე პრაქტიკულად გადაუჭრელი იყო. გამოთვლითი ალგორითმების შემუშავება და კვლევა, მათი გამოყენება კონკრეტული ამოცანების გადასაჭრელად არის თანამედროვე მათემატიკის უზარმაზარი მონაკვეთის - გამოთვლითი მათემატიკის შინაარსი. გამოთვლითი მათემატიკა, როგორც დამოუკიდებელი მათემატიკური დისციპლინა, ჩამოყალიბდა მეოცე საუკუნის დასაწყისში. გამოთვლითი მათემატიკა განიმარტება ფართო გაგებით, როგორც მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს კომპიუტერების გამოყენებასთან დაკავშირებულ საკითხთა ფართო სპექტრს. ვიწრო გაგებით, გამოთვლითი მათემატიკა განისაზღვრება, როგორც რიცხვითი მეთოდებისა და მათემატიკური ამოცანების გადაჭრის ალგორითმების თეორია. ჩვენს კურსში ჩვენ გავიგებთ გამოთვლით მათემატიკას ამ ტერმინის ვიწრო გაგებით. თანამედროვე კომპიუტერზე დაფუძნებული რიცხვითი მეთოდები უნდა აკმაყოფილებდეს მრავალფეროვან და ხშირად ურთიერთსაწინააღმდეგო მოთხოვნებს. ჩვეულებრივ, მოცემული მათემატიკური მოდელის რიცხვითი მეთოდის აგება ორ ეტაპად იყოფა: ორიგინალის დისკრეტიზაცია. მათემატიკური პრობლემადა გამოთვლითი ალგორითმის შემუშავება, რომელიც იძლევა დისკრეტული პრობლემის გადაწყვეტის პოვნის საშუალებას. რიცხვითი მეთოდების მოთხოვნების ორი ჯგუფი არსებობს. პირველი ჯგუფი დაკავშირებულია დისკრეტული მოდელის ადეკვატურობასთან თავდაპირველ მათემატიკურ პრობლემასთან, მეორე - რიცხვითი მეთოდის მიზანშეწონილობასთან არსებულ კომპიუტერულ ტექნოლოგიაზე. პირველ ჯგუფში შედის ისეთი მოთხოვნები, როგორიცაა რიცხვითი მეთოდის კონვერგენცია, კონსერვაციის კანონების დისკრეტული ანალოგების შესრულება და დისკრეტული პრობლემის გადაჭრის თვისობრივად სწორი ქცევა. დავუშვათ, რომ მათემატიკური ამოცანის დისკრეტული მოდელი არის სისტემა დიდი რიცხვიალგებრული განტოლებები. ჩვეულებრივ, რაც უფრო ზუსტად გვინდა ამონახსნის მიღება, მით მეტი განტოლება უნდა ავიღოთ. ითვლება, რომ რიცხვითი მეთოდი ერთმანეთს ემთხვევა, თუ განტოლებათა რიცხვი განუსაზღვრელი ვადით იზრდება, დისკრეტული ამოცანის ამოხსნა მიდრეკილია საწყისი ამოცანის ამოხსნისკენ. ვინაიდან რეალურ კომპიუტერს შეუძლია მხოლოდ სასრული რაოდენობის განტოლებაზე მუშაობა, კონვერგენცია ჩვეულებრივ პრაქტიკაში არ მიიღწევა. აქედან გამომდინარე, ძალზე მნიშვნელოვანია მეთოდის შეცდომის შეფასება იმის მიხედვით, თუ რა რაოდენობის განტოლებები ქმნიან დისკრეტულ მოდელს. ამავე მიზეზით, ისინი ცდილობენ ააგონ დისკრეტული მოდელი ისე, რომ იგი სწორად ასახავდეს თავდაპირველი ამოცანის ამოხსნის თვისობრივ ქცევას, თუნდაც განტოლებების შედარებით მცირე რაოდენობით. ასე რომ, მათემატიკური ფიზიკის ამოცანების დისკრეტიზაციისას მიდის განსხვავებულ სქემებთან, რომლებიც არის წრფივი ან არაწრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები. დიფერენციალური განტოლებებიმათემატიკური ფიზიკა ინტეგრალური კონსერვაციის კანონების შედეგია. მაშასადამე, ბუნებრივია მოვითხოვოთ, რომ ასეთი კონსერვაციის კანონების ანალოგები არსებობდეს განსხვავებების სქემისთვის. განსხვავებულ სქემებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ ამ მოთხოვნას, ეწოდება კონსერვატიული. აღმოჩნდა, რომ დისკრეტულ ამოცანში განტოლებების იგივე რაოდენობისთვის, კონსერვატიული განსხვავებების სქემები უფრო სწორად ასახავს თავდაპირველი განსხვავების პრობლემის ამოხსნის ქცევას, ვიდრე არაკონსერვატიული სქემები. რიცხვითი მეთოდის კონვერგენცია მჭიდრო კავშირშია მის სისწორესთან. დაე, ორიგინალური მათემატიკური ამოცანა სწორად იყოს ჩამოყალიბებული, ე.ი. მისი გადაწყვეტა არსებობს, უნიკალურია და მუდმივად დამოკიდებულია შეყვანის მონაცემებზე. მაშინ ამ პრობლემის დისკრეტული მოდელი უნდა აშენდეს ისე, რომ კარგად დაყენებული თვისება შენარჩუნდეს. შესაბამისად, რიცხვითი მეთოდის სისწორის კონცეფცია მოიცავს განტოლებათა შესაბამისი სისტემის უნიკალური ამოხსნადობის თვისებებს და მის სტაბილურობას. სტაბილურობა გაგებულია, როგორც უწყვეტი დამოკიდებულება შეყვანის მონაცემებზე. რიცხვითი მეთოდების მოთხოვნების მეორე ჯგუფი დაკავშირებულია მოცემულ კომპიუტერზე მოცემული დისკრეტული მოდელის განხორციელების შესაძლებლობასთან, ე.ი. მისაღებ დროში რიცხვითი ამოხსნის მიღების შესაძლებლობით. ჩვეულებრივ, რთული გამოთვლითი პრობლემები, რომლებიც წარმოიქმნება ფიზიკური და ტექნიკური პრობლემების შესწავლისას, იყოფა რამდენიმე ელემენტად. ბევრი ელემენტარული პრობლემა მარტივია, ისინი კარგად არის შესწავლილი, მათთვის უკვე შემუშავებულია რიცხვითი ამოხსნის მეთოდები და არსებობს გადაწყვეტის სტანდარტული პროგრამები. ამ თავის მიზანია გააცნოს ალგებრისა და გამოთვლების ძირითადი რიცხვითი მეთოდების აგებისა და კვლევის მეთოდოლოგია და ამოცანების რიცხვითი ამოხსნისას წარმოშობილი ამოცანები.

ობიექტის ან ფენომენის მოდელის შექმნა იწყება მისი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებლებისა და თვისებების ხაზგასმით და მათემატიკური ურთიერთობების გამოყენებით. შემდეგ მათემატიკური მოდელის შექმნის შემდეგ ხდება მისი შესწავლა მათემატიკური მეთოდებით, ე.ი. მოცემული მათემატიკური ამოცანის ამოხსნა.

მათემატიკური მედლის აგება ობიექტის შესწავლის ერთ-ერთი ყველაზე რთული და საპასუხისმგებლო ეტაპია. მათემატიკური მოდელი არასოდეს არის განსახილველი ობიექტის იდენტური, არ გადმოსცემს მის ყველა თვისებასა და თვისებას. იგი ეფუძნება გამარტივებას, იდეალიზაციას და წარმოადგენს ობიექტის აღწერის მიახლოებას. ამიტომ, ამ მოდელის საფუძველზე მიღებული შედეგები ყოველთვის სავარაუდოა. მათი სიზუსტე განისაზღვრება შესაბამისობის, მოდელისა და ობიექტის ადეკვატურობის ხარისხით. სიზუსტის საკითხი ყველაზე მნიშვნელოვანია გამოყენებით მათემატიკაში. თუმცა, ეს არ არის წმინდა მათემატიკის კითხვადა მათემატიკურად ამოხსნა შეუძლებელია. ჭეშმარიტების მთავარი კრიტერიუმი ექსპერიმენტია, ე.ი. მათემატიკური მოდელის საფუძველზე მიღებული შედეგების შედარება განსახილველ ობიექტთან. მხოლოდ პრაქტიკა გვაძლევს საშუალებას შევადაროთ სხვადასხვა ჰიპოთეტური მოდელები და ავირჩიოთ მათ შორის ყველაზე მარტივი და სანდო, მიუთითოთ გამოყენების სფეროები სხვადასხვა მოდელებიდა მათი გაუმჯობესების მიმართულება. განვიხილოთ მოდელის შემუშავება კუთხით საწყისი სიჩქარით გამოთავისუფლებული სხეულის ტრაექტორიის განსაზღვრის ცნობილი ბალისტიკური პრობლემის მაგალითზე. ჰორიზონტისკენ. პირველი, დავუშვათ, რომ სიჩქარე და სხეულის ფრენის დიაპაზონი მცირეა. შემდეგ გალილეოს მათემატიკური მოდელი, რომელიც დაფუძნებულია შემდეგ ვარაუდებზე, მართებული იქნება ამ პრობლემისთვის:

1) დედამიწა არის ინერციული სისტემა;

2) თავისუფალი ვარდნის აჩქარება
;

3) დედამიწა ბრტყელი სხეულია;

4) არ არის ჰაერის წინააღმდეგობა.

ამ შემთხვევაში, სხეულის სიჩქარის კომპონენტები ღერძების გასწვრივ Xდა ზეთანაბარი

და მათი გზები

, (6.2)

სადაც ტ - მოგზაურობის დრო.

პირველი განტოლებიდან t განვსაზღვროთ და მეორეში ჩავანაცვლოთ, მივიღებთ სხეულის ტრაექტორიის განტოლებას, რომელიც არის პარაბოლა.

(6.3)

მდგომარეობიდან
მიიღეთ სხეულის დიაპაზონი

(6.4)

თუმცა, როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ამ მოდელის საფუძველზე მიღებული შედეგები მოქმედებს მხოლოდ სხეულის დაბალი საწყისი სიჩქარით. ვ<30м/с. С увеличением скоростиფრენის დიაპაზონი ხდება (6.1) ფორმულით მოცემულ მნიშვნელობაზე ნაკლები.

თ რა შეუსაბამობა ექსპერიმენტსა და გამოთვლის ფორმულას შორის (6.1) მიუთითებს გალილეოს მოდელის უზუსტობაზე, რომელიც არ ითვალისწინებს ჰაერის წინააღმდეგობას.

ბრინჯი. 6.1 - სხეულის ფრენის გზა

ბალისტიკური პრობლემის მოდელის შემდგომი დახვეწა ჰაერის წინააღმდეგობის გათვალისწინების თვალსაზრისით განხორციელდა ნიუტონის მიერ. ამან შესაძლებელი გახადა საკმარისი სიზუსტით გამოეთვალა მნიშვნელოვანი საწყისი სიჩქარით ნასროლი ქვემეხების ტრაექტორიები.

გლუვლიანი იარაღიდან თოფიან იარაღზე გადასვლამ შესაძლებელი გახადა ჭურვების სიჩქარის, დიაპაზონის და სიმაღლის გაზრდა, რამაც გამოიწვია პრობლემის მათემატიკური მოდელის შემდგომი დახვეწა. ახალ მათემატიკურ მოდელში გადაიხედა გალილეის მოდელში მიღებული ყველა დაშვება, ე.ი. დედამიწა აღარ ითვლებოდა ბრტყელ და ინერციულ სისტემად და დედამიწის მიზიდულობის ძალა მუდმივი არ იყო მიჩნეული.

პრობლემის მათემატიკური მოდელის შემდგომი გაუმჯობესება დაკავშირებულია ალბათობის თეორიის მეთოდების გამოყენებასთან. ეს გამოწვეული იყო იმით, რომ ჭურვების, იარაღის, მუხტისა და გარემოს პარამეტრები, ტოლერანტობისა და სხვა მიზეზების გამო, არ რჩება უცვლელი, მაგრამ ექვემდებარება შემთხვევით რყევებს.

თანმიმდევრული დახვეწისა და გაუმჯობესების შედეგად შეიქმნა მათემატიკური მოდელი, რომელიც ყველაზე სრულად და ზუსტად აღწერს გარე ბალისტიკის პრობლემას. მისი მონაცემების შედარება სროლის შედეგებთან კარგი შესატყვისი აჩვენა.

ამ მაგალითში ნაჩვენებია ობიექტის მათემატიკური მოდელის შექმნის, განვითარებისა და დახვეწის ეტაპები, რომლებსაც მუდმივად ახლავს შედარება და პრაქტიკით გადამოწმება, ე.ი. თავად ფაქტობრივ ობიექტთან ან ფენომენთან. მოდელის მიერ მოწოდებული შედეგების ობიექტთან ზუსტად არასაკმარისად კარგი შეხამებაა მოდელის შემდგომი გაუმჯობესება.

1.მათემატიკური მოდელირება და კომპიუტერების გამოყენება გამოყენებითი ამოცანების ამოხსნისას.

თანამედროვე მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში მნიშვნელოვან როლს თამაშობს მათემატიკური მოდელირება, რომელიც ანაცვლებს ექსპერიმენტებს რეალური ობიექტებიექსპერიმენტები მათთან მათემატიკური მოდელები.

მათემატიკური მოდელებიარის გარემომცველი სამყაროს ფენომენების ადამიანის შემეცნების ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი. მათემატიკური მოდელების მიხედვით გვესმის შესწავლილი ფენომენის თანდაყოლილი ძირითადი შაბლონები და ურთიერთობები. ეს შეიძლება იყოს ფორმულები ან განტოლებები, წესების ნაკრები ან კონვენციები, რომლებიც გამოხატულია მათემატიკური ფორმით. უხსოვარი დროიდან მათემატიკაში, მექანიკაში, ფიზიკაში და ბუნებისმეტყველების სხვა ზუსტ მეცნიერებებში მათემატიკური მოდელები გამოიყენებოდა მათ მიერ შესწავლილი ფენომენების აღსაწერად. ამრიგად, ნიუტონის კანონები მთლიანად განსაზღვრავს პლანეტების მოძრაობის ნიმუშებს მზის გარშემო. მექანიკის ძირითადი კანონების გამოყენებით, შედარებით მარტივია განტოლებების დაწერა, რომლებიც აღწერს კოსმოსური ხომალდის მოძრაობას, მაგალითად, დედამიწიდან მთვარემდე. თუმცა მათი ამოხსნის მიღება მარტივი ფორმულების სახით შეუძლებელია.

მათემატიკური მოდელირებისთვის კომპიუტერების გამოყენებამ შეცვალა „პრობლემის გადაჭრის“ კონცეფცია. მანამდე მკვლევარი მათემატიკური მოდელის დაწერით კმაყოფილდებოდა. და თუ მან მაინც შეძლო დაემტკიცებინა, რომ გადაწყვეტა (ალგორითმი) არსებობს პრინციპში, მაშინ ეს საკმარისი იყო, თუ აპრიორი ვივარაუდოთ, რომ მოდელი ადეკვატურად აღწერს შესასწავლ ფენომენს. ვინაიდან, როგორც წესი, არ არსებობს მარტივი ფორმულები, რომლებიც აღწერს მოდელის ქცევას და, შესაბამისად, მოდელის მიერ აღწერილ ობიექტს, ერთადერთი გზაა საკითხის გამოთვლებამდე დაყვანა, ამოხსნის რიცხვითი მეთოდების გამოყენება. პრობლემები.

ამჟამად შემუშავებულია რთული ამოცანების შესწავლის ტექნოლოგია, რომელიც ემყარება კომპიუტერის დახმარებით შესასწავლი ობიექტის მათემატიკური მოდელების აგებასა და ანალიზს. კვლევის ამ მეთოდს ე.წ გამოთვლითი ექსპერიმენტი.

მათემატიკური მოდელირება და გამოთვლითი ექსპერიმენტი დღეს გამოიყენება არა მხოლოდ ზუსტ მეცნიერებებსა და ტექნოლოგიაში, არამედ ეკონომიკურ მეცნიერებებში, სოციოლოგიაში და ბევრ სხვა სფეროებში, რომლებიც ტრადიციულად განიხილებოდა მათემატიკისა და კომპიუტერებისგან შორს. რატომ გვჭირდება გამოთვლითი ექსპერიმენტი? რთული ობიექტების დიზაინი, როგორიცაა ბირთვული, სივრცე და მრავალი სხვა, მოითხოვს უზარმაზარ გამოთვლებს. მაგალითად, აეროდინამიკის და ბირთვული ფიზიკის მრავალი გამოყენებითი პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა მისი შესრულება

მეტი არითმეტიკული მოქმედებები. თანამედროვე ტექნოლოგიები ხშირად იყენებენ შემზღუდველ რეჟიმებს, რომლებიც საჭიროებენ რთული არაწრფივი ფაქტორების გათვალისწინებას. ხშირად საჭიროა საგნის ქცევის შესწავლა

ექსტრემალური და საგანგებო სიტუაციები, რაც პრაქტიკულად შეუძლებელია სრულმასშტაბიანი ექსპერიმენტის საშუალებით, მაგალითად, ბირთვული აფეთქებების შესწავლისას, ტექნოგენური კატასტროფების შედეგების და მრავალი სხვა სიტუაციის დროს.

2. გამოთვლითი ექსპერიმენტი და მისი ეტაპები.

კომპიუტერების ფართო გამოყენება მათემატიკური მოდელირებაში, საკმარისად ძლიერი თეორიული და ექსპერიმენტული ბაზა საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ გამოთვლით ექსპერიმენტზე, როგორც ახალ ტექნოლოგიასა და მეთოდოლოგიაზე სამეცნიერო და გამოყენებითი კვლევებისთვის.

გამოთვლითი ექსპერიმენტი - ეს არის ექსპერიმენტი კომპიუტერზე ობიექტის მათემატიკურ მოდელზე, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ მოდელის ერთ-ერთი პარამეტრი გამოიყენება მისი სხვა პარამეტრების გამოსათვლელად და ამის საფუძველზე კეთდება დასკვნები თვისებების შესახებ. მათემატიკური მოდელით აღწერილი ფენომენი.

გამოთვლით ექსპერიმენტში მონაწილეობს მკვლევართა გუნდი, კონკრეტული საგნის სპეციალისტები, მათემატიკოსები, თეორეტიკოსები, კალკულატორები, გამოყენებითი ინჟინრები, პროგრამისტები. Ეს არის

და დამუშავების შედეგები. აქ შეგიძლიათ ნახოთ ანალოგია სამუშაოსთან

საკონტროლო ექსპერიმენტები, სერიული ექსპერიმენტები, ექსპერიმენტული მონაცემების დამუშავება და მათი ინტერპრეტაცია და ა.შ. ამრიგად, ფართომასშტაბიანი კომპლექსური გამოთვლების განხორციელება უნდა ჩაითვალოს კომპიუტერზე ჩატარებულ ექსპერიმენტად ან გამოთვლით ექსპერიმენტად.

გამოთვლა				ექსპერიმენტი თამაშობს
ჩვეულებრივი			ექსპერიმენტი			კვლევა
Თანამედროვე		ჰიპოთეზა		თითქმის ყოველთვის		აქვს მათემატიკური			აღწერა,
			ექსპერიმენტების ჩატარება.
	ამ კონცეფციის დანერგვა							ხაზს უსვამს უნარს
კომპიუტერი		შეასრულოს დიდი					გამოთვლა,		ახორციელებს
კვლევა. წინააღმდეგ შემთხვევაში					კომპიუტერი გაძლევთ საშუალებას

ფიზიკური, ქიმიური და ა.შ ექსპერიმენტი არის გამოთვლითი ექსპერიმენტი.

გამოთვლითი ექსპერიმენტი, სრულმასშტაბიანთან შედარებით, გაცილებით იაფი და ხელმისაწვდომია, მის მომზადებას და განხორციელებას ნაკლები დრო სჭირდება, მისი ხელახლა გაკეთება მარტივია და უფრო დეტალურ ინფორმაციას გვაწვდის. გარდა ამისა, გამოთვლითი ექსპერიმენტის მსვლელობისას, საზღვრები

მათემატიკური მოდელის გამოყენებადობა, რომელიც იძლევა ექსპერიმენტის პროგნოზირების საშუალებას ბუნებრივ პირობებში. აქედან გამომდინარე, გამოთვლითი ექსპერიმენტის გამოყენება შემოიფარგლება იმ მათემატიკური მოდელებით, რომლებიც ჩართულია კვლევაში. ამ მიზეზით, გამოთვლითი ექსპერიმენტი სრულად ვერ ჩაანაცვლებს სრულმასშტაბიან ექსპერიმენტს და გამოსავალი ამ სიტუაციიდან მათ გონივრულ კომბინაციაშია. ამ შემთხვევაში რთული ექსპერიმენტის ჩატარებისას გამოიყენება მათემატიკური მოდელების ფართო სპექტრი: პირდაპირი ამოცანები, შებრუნებული ამოცანები, ოპტიმიზაციის ამოცანები, იდენტიფიკაციის ამოცანები.

გამოთვლითი ექსპერიმენტის გამოყენებას, როგორც რთული გამოყენებითი პრობლემების გადაჭრის საშუალებას, აქვს თავისი სპეციფიკური მახასიათებლები თითოეული კონკრეტული ამოცანისა და თითოეული კონკრეტული სამეცნიერო გუნდის შემთხვევაში. მიუხედავად ამისა, საერთო დამახასიათებელი ძირითადი ნიშნები ყოველთვის ნათლად ჩანს, რაც საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ ამ პროცესის ერთიან სტრუქტურაზე. ამჟამად, გამოთვლითი ექსპერიმენტის ტექნოლოგიური ციკლი ჩვეულებრივ იყოფა რამდენიმე ტექნოლოგიურ ეტაპად. და მიუხედავად იმისა, რომ ასეთი დაყოფა ძირითადად თვითნებურია, ის საშუალებას გვაძლევს უკეთ გავიგოთ თეორიული კვლევის ჩატარების ამ მეთოდის არსი.

ამრიგად, როგორც ნებისმიერი ექსპერიმენტი, გამოთვლითი ექსპერიმენტი გარკვეულ წესებს მიჰყვება. სქემატურად, გამოთვლითი ექსპერიმენტის ეტაპები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

	ფიზიკური		მათემატიკური		რიცხვითი მეთოდი =
					დისკრეტული მოდელი +
კვლევა					გამოთვლა
					ალგორითმი

ბრინჯი. B. 1. გამოთვლითი ექსპერიმენტის სქემა

გამოთვლითი ექსპერიმენტის საფუძველია ტრიადა: მოდელი - მეთოდი (ალგორითმი) - პროგრამა. თავდაპირველად აშენდა გარკვეული ვარაუდებით ობიექტის ფიზიკური მოდელი.ფიზიკური მოდელი არის შეზღუდვების, ვარაუდებისა და გამარტივების ერთობლიობა, რომელიც დაწესებულია განსახილველ ფენომენზე. შემდეგში აღწერილია მათემატიკური მოდელი. მათემატიკური მოდელი არის განტოლება, განტოლებათა სისტემა ან განტოლებათა სისტემების ნაკრები, რომელიც აღწერს ფიზიკურ

მოდელი. მაშინ აუცილებელია განტოლებათა ამ სისტემების ამოხსნა. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ჩვეულებრივ, საჭიროა განაცხადი რიცხვითი მეთოდები. რიცხვითი მეთოდი გაგებულია, როგორც ნაკრები დისკრეტული მოდელიდანერგილი კომპიუტერზე და გამოთვლითი ალგორითმი, რაც დისკრეტირებული პრობლემის გადაჭრის საშუალებას იძლევა. რიცხვითი მეთოდის განსახორციელებლად აუცილებელია პროგრამის შემუშავება პროგრამირების ერთ-ერთ ენაზე ან გამოყენებული პროგრამების მზა პაკეტის გამოყენება. ამჟამად, არსებობს აპლიკაციების პაკეტები, როგორიცაა MathCAD, Matlab, Maple, Mathematica და სხვა, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გადაჭრას პრაქტიკაში წარმოქმნილი პრობლემების უმეტესობა. თუმცა, პრობლემის კომპეტენტური ფორმულირება, ამოხსნის მეთოდის რაციონალური არჩევანი და შედეგების სწორი ინტერპრეტაცია მოითხოვს რიცხვითი მეთოდების სერიოზულ ცოდნას. გამართვის შემდეგ, იწარმოება პროგრამები გამოთვლა კომპიუტერზე(როგორც წესი, საჭიროა გამოთვლების მრავალი ვარიანტის განხორციელება, რისთვისაც საჭიროა გამოთვლითი ექსპერიმენტის დაგეგმვა) და შედეგების ანალიზი. შედეგების მიღების შემდეგ, შემოწმებულია გამოთვლითი ექსპერიმენტის შედეგების შესაბამისობა რეალური ობიექტის ფუნქციონირების პროცესთან და, საჭიროების შემთხვევაში, გამოთვლითი ექსპერიმენტის სქემის კომპონენტები (ნახ. B.1) დახვეწილია დამაკმაყოფილებელ შედეგებამდე. მიღებული.

3. რიცხვითი მეთოდები

ფართო გაგებით, რიცხვითი მეთოდი, როგორც ზემოთ აღინიშნა, გაგებულია, როგორც კომპიუტერზე განხორციელებული დისკრეტული მოდელის ნაკრები და გამოთვლითი ალგორითმი, რომელიც საშუალებას იძლევა გადაჭრას დისკრეტირებული პრობლემა.

ერთი და იგივე მათემატიკური მოდელი შეიძლება ასოცირებული იყოს დისკრეტული მოდელებისა და გამოთვლითი ალგორითმების ერთობლიობასთან, ანუ რიცხვით მეთოდებთან. რიცხვითი მეთოდის არჩევისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული მოთხოვნების ორი ჯგუფი:

დისკრეტული მოდელი უნდა იყოს მათემატიკური მოდელის ადეკვატური;

რიცხვითი მეთოდი უნდა იყოს სწორი და განსახორციელებელი კომპიუტერზე.

ადეკვატურობის უზრუნველსაყოფად, დისკრეტულ მოდელს უნდა ჰქონდეს თვისებები რიცხვითი მეთოდის კონვერგენცია, კონსერვაციის დისკრეტული ანალოგების დანერგვა და ამოხსნის თვისობრივად სწორი ქცევა..

მაგალითად, რიცხვითი მეთოდის კონვერგენცია ნიშნავს, რომ ინტეგრაციის ინტერვალის დაყოფის საფეხურის შემცირებით, რიცხვითი ინტეგრაციის სიზუსტე იზრდება. სხვადასხვა მათემატიკური მოდელი არის ფიზიკური კონსერვაციის კანონების გამოხატულება, ამიტომ დისკრეტული მოდელისთვის, კონსერვაციის კანონებიც უნდა იყოს დაკმაყოფილებული. დისკრეტული მოდელის თვისობრივად სწორი ქცევა ნიშნავს, რომ მოდელის ქცევის დისკრეტული ბუნების გამო რეალური სისტემის ქცევის ზოგიერთი დეტალი არ იკარგება.

რიცხვითი მეთოდის სისწორენიშნავს, რომ დისკრეტული პრობლემა უნდა იყოს ცალსახად გადაჭრადი და მდგრადია საწყისი მონაცემების შეცდომებისა და გამოთვლითი შეცდომების მიმართ. რიცხვითი მეთოდის განხორციელებადობა კომპიუტერზეშეზღუდულია კომპიუტერის მეხსიერების რაოდენობით და სიჩქარით. გამოთვლითი ალგორითმი კომპიუტერულ რესურსებზე გონივრული მოთხოვნები უნდა იყოს. მაგალითად, მათემატიკურად სწორი კრამერის მეთოდი ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად აბსოლუტურად შეუსაბამოა რეალური ამოცანების გადასაჭრელად: თუ დავუშვებთ, რომ თითოეული არითმეტიკული ოპერაცია შესრულებულია 10 − 6 წამში, მაშინ მილიონ წელზე მეტი დასჭირდება ამოხსნას. სისტემა 20 უცნობით კრამერის მეთოდით. ამავდროულად, ამ სისტემის ამოხსნა შესაძლებელია უმარტივესი გაუსის მეთოდით წამის ნაწილად.

ვიწრო გაგებით, ქვეშ რიცხვითი მეთოდებიმათემატიკური ამოცანების მიახლოებითი ამოხსნის მეთოდების გაგება, რომლებიც მცირდება რიცხვებზე ელემენტარული მოქმედებების სასრული რაოდენობის შესრულებამდე. ელემენტარულ ოპერაციებში შედის არითმეტიკული მოქმედებები, რომლებიც ჩვეულებრივ შესრულებულია დაახლოებით, ასევე დამხმარე ოპერაციები - შუალედური შედეგების ჩანაწერები, ცხრილებიდან შერჩევა და ა.შ. რიცხვები მოცემულია ციფრთა შეზღუდული სიმრავლით ზოგიერთ პოზიციურ რიცხვთა სისტემაში (ათწილადი, ორობითი და ა.შ.). ამრიგად, რიცხვით მეთოდებში რიცხვითი წრფე იცვლება რიცხვთა დისკრეტული სისტემით (ბადე); უწყვეტი არგუმენტის ფუნქცია იცვლება ქსელში მისი მნიშვნელობების ცხრილით; უწყვეტ ფუნქციებზე მოქმედი ანალიზის ოპერაციები ჩანაცვლებულია ალგებრული ოპერაციებით ქსელში ფუნქციების მნიშვნელობებზე.

კურსის „რიცხობრივი მეთოდები“ მიზანია თეორიული საფუძვლების შესწავლა და გამოთვლითი ამოცანების გადაჭრისა და გამოთვლითი ექსპერიმენტის ჩატარების პრაქტიკული უნარ-ჩვევების შეძენა.

მინიმალური პროგრამა

საკანდიდატო გამოცდა სპეციალობაში

05.13.18 "მათემატიკური მოდელირება,
რიცხვითი მეთოდები და პროგრამული პაკეტები"

ქიმიურ, გეოლოგიურ და მინერალოგიურ საკითხებზე
და ბიოლოგიური მეცნიერებები

შესავალი

ეს პროგრამა ეფუძნება შემდეგ დისციპლინებს: ინფორმატიკა; გამოთვლითი მათემატიკა; კომპიუტერები; კიბერნეტიკის მეთოდები ქიმიასა და ქიმიურ ტექნოლოგიაში; ქიმიურ-ტექნოლოგიური სისტემების ანალიზი და სინთეზი; ხელოვნური ინტელექტის თეორია და ჰიბრიდული საექსპერტო სისტემები ქიმიურ ტექნოლოგიაში; ქიმიურ-ტექნოლოგიური პროცესების მათემატიკური მოდელირება; ტექნოლოგიური სისტემების საიმედოობა და ეფექტურობა.

პროგრამა შეიმუშავა რუსეთის ფედერაციის განათლების სამინისტროს უმაღლესი საატესტაციო კომისიის ექსპერტთა საბჭომ ქიმიაში (არაორგანულ ქიმიაში) რუსეთის ქიმიური ტექნოლოგიური უნივერსიტეტის მონაწილეობით. .

1. გამოთვლითი მათემატიკის მეთოდები

ზოგადი ინფორმაცია განსხვავებების სქემების თეორიიდან.ძირითადი ცნებები და განმარტებები. დაახლოება. დათვლის სტაბილურობა. კონვერგენციის თეორემა. მათემატიკური ფიზიკის ზოგიერთი ამოცანის სასრულ განსხვავებების ანალოგები.

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის განსხვავებების სქემების აგების მეთოდები.ვარიაციული მეთოდები მათემატიკური ფიზიკაში. ერთგანზომილებიანი ამოცანების ამოხსნის ძირითადი ფუნქციების აგება. მრავალგანზომილებიანი ამოცანების ამოხსნის ძირითადი ფუნქციების აგება. ვარიაციულ-განსხვავებული და საპროექციო-ბადის სქემები. არასტაციონარული ამოცანების სქემების აგება საპროექციო ბადის მეთოდით.

ბადის ფუნქციების ინტერპოლაცია.არასტაციონარული განმეორებითი მეთოდები. გაყოფის მეთოდი. განმეორებითი მეთოდები სისტემებისთვის სინგულარული მატრიცებით.

არასტაციონარული ამოცანების გადაჭრის მეთოდები.მეორე რიგის დაახლოების სქემები ოპერატორებთან დროის მიხედვით. ევოლუციური ტიპის არაჰომოგენური განტოლებები. მეთოდების გაყოფა არასტაციონარული პრობლემებისთვის. დავალებების მრავალკომპონენტიანი გაყოფა. ჰიპერბოლური ტიპის განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

მიმდებარე განტოლებები და დარღვევის მეთოდები.ძირითადი და მიმდებარე განტოლებები. დარღვევის ალგორითმები. პერტურბაციის თეორიის მეთოდი საკუთრივ მნიშვნელობის პრობლემებისთვის. წრფივი ფუნქციონალებისთვის მიმდებარე განტოლებები და პერტურბაციის თეორია.

ზოგიერთი შებრუნებული ამოცანის ამოხსნის დებულება და რიცხვითი მეთოდები.ძირითადი განმარტებები და მაგალითები. შებრუნებული ევოლუციური ამოცანების ამოხსნა მუდმივი ოპერატორით. შებრუნებული ევოლუციური პრობლემა დროზე დამოკიდებული ოპერატორით. შებრუნებული ამოცანების ფორმულირება პერტურბაციის თეორიის მეთოდებზე დაყრდნობით.

2. მათემატიკური ანალიზის რიცხვითი მეთოდები

ინტერპოლაციის და რიცხვითი დიფერენციაციის მეთოდები.ფუნქციების მიახლოების პრობლემის დებულება. ლაგრანგის ინტერპოლაციის მრავალწევრი. ლაგრანგის ინტერპოლაციის მრავალწევრის დარჩენილი წევრის შეფასება. განცალკევებული განსხვავებები და მათი თვისებები. ნიუტონის ინტერპოლაციის ფორმულა გაყოფილი განსხვავებებით. განსხვავებების გაყოფა და ინტერპოლაცია მრავალი კვანძით. განტოლებები სასრულ სხვაობებში. ჩებიშევის პოლინომები. ინტერპოლაციის ფორმულის დარჩენილი ვადის შეფასების მინიმიზაცია. დაასრულეთ განსხვავებები. ინტერპოლაციის ფორმულები ცხრილებისთვის მუდმივი ნაბიჯით. ცხრილების შედგენა. დამრგვალების შეცდომაზე ინტერპოლაციაში. ინტერპოლაციის აპარატის აპლიკაციები. საპირისპირო ინტერპოლაცია. რიცხვითი დიფერენციაცია. რიცხვითი დიფერენციაციის ფორმულების გამოთვლითი შეცდომის შესახებ. რაციონალური ინტერპოლაცია.

რიცხვითი ინტეგრაციის მეთოდები და ალგორითმები.უმარტივესი კვადრატული ფორმულები. განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი. კვადრატული შეცდომის შეფასება. ნიუტონ-კოტესის კვადრატული ფორმულები. ორთოგონალური მრავალწევრები. გაუსის კვადრატული ფორმულები. ელემენტარული კვადრატული ფორმულების ცდომილების პრაქტიკული შეფასება. სწრაფად რხევადი ფუნქციების ინტეგრაცია. ინტეგრაციის სიზუსტის გაუმჯობესება სეგმენტის თანაბარ ნაწილებად დაყოფით. ოპტიმიზაციის პრობლემების ფორმულირების შესახებ. კვადრატული ოპტიმიზაციის პრობლემის განცხადება. კვადრატული ფორმულის კვანძების განაწილების ოპტიმიზაცია. კვანძების განაწილების ოპტიმიზაციის მაგალითები. შეცდომის წამყვანი ტერმინი. რუნგის პრაქტიკული შეცდომების შეფასების წესი. შედეგის დახვეწა უმაღლესი რიგის ინტერპოლაციით. ინტეგრალების გამოთვლა არარეგულარულ შემთხვევაში. სტანდარტული პროგრამების აგების პრინციპები ნაბიჯების ავტომატური შერჩევით.

ფუნქციების დაახლოების მეთოდები.საუკეთესო მიახლოებები ხაზოვან ნორმალურ სივრცეში. ჰილბერტის სივრცეში საუკეთესო მიახლოება და მის პრაქტიკულ კონსტრუქციაში წამოჭრილი კითხვები. ტრიგონომეტრიული ინტერპოლაცია. დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია. სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაცია. საუკეთესო ერთგვაროვანი მიახლოება. საუკეთესო ერთიანი დაახლოების მაგალითები. საუკეთესო ერთგვაროვანი მიახლოების მრავალწევრის აგების განმეორებითი მეთოდი. ინტერპოლაცია და დაახლოება სლაინებით. ენტროპია და ე - ენტროპია.

მრავალგანზომილებიანი ამოცანები.განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი. უმცირესი კვადრატების მეთოდი და რეგულაცია. რეგულარიზაციის მაგალითები. მრავალგანზომილებიანი ამოცანების შემცირება ერთგანზომილებიანზე. ფუნქციების ინტერპოლაცია სამკუთხედში. რიცხვითი ინტეგრაციის შეცდომის შეფასება ერთიან ბადეზე. რიცხვითი ინტეგრაციის შეცდომის ქვედა ზღვარი. მონტე კარლოს მეთოდი. პრობლემების გადასაჭრელად არადეტერმინისტული მეთოდების გამოყენების ლეგიტიმურობის განხილვა. მონტე კარლოს მეთოდის კონვერგენციის დაჩქარება.

ალგებრის რიცხვითი მეთოდები.უცნობთა თანმიმდევრული გამორიცხვის მეთოდები. ასახვის მეთოდი. მარტივი გამეორების მეთოდი. კომპიუტერზე მარტივი გამეორების მეთოდის განხორციელების თავისებურებები. b2-შეცდომის პრაქტიკული შეფასების პროცესი და კონვერგენციის აჩქარება. განმეორებითი პროცესების კონვერგენციის სიჩქარის ოპტიმიზაცია. სეიდელის მეთოდი. ყველაზე ციცაბო გრადიენტული დაღმართის მეთოდი. კონიუგატური გრადიენტის მეთოდი. განმეორებითი მეთოდები სპექტრულად ეკვივალენტური ოპერატორების გამოყენებით. განტოლებათა სისტემის სავარაუდო ამოხსნის შეცდომა და მატრიცების პირობითობა. რეგულარიზაცია. საკუთარი მნიშვნელობების პრობლემა. სრული საკუთარი მნიშვნელობის პრობლემის გადაჭრა QR ალგორითმის გამოყენებით.

არაწრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა და ოპტიმიზაციის ამოცანები.მარტივი გამეორების მეთოდი და მასთან დაკავშირებული საკითხები. ნიუტონის მეთოდი არაწრფივი განტოლებების ამოხსნისთვის. დაღმართის მეთოდები. მრავალგანზომილებიანი პრობლემების ქვედა განზომილების პრობლემებამდე შემცირების სხვა მეთოდები. სტაციონარული პრობლემების გადაწყვეტა დადგენით.

ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებისთვის კოშის ამოცანის ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები.კოშის პრობლემის გადაჭრა ტეილორის ფორმულის გამოყენებით. რუნგე-კუტას მეთოდები. ნაბიჯების შეცდომის კონტროლის მეთოდები. შეცდომების შეფასებები ერთსაფეხურიანი მეთოდებისთვის. სასრული განსხვავების მეთოდები. განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი. სასრული განსხვავების მეთოდების თვისებების გამოკვლევა მოდელის ამოცანებზე. სასრული განსხვავების მეთოდების ცდომილების შეფასება. განტოლებათა სისტემების ინტეგრაციის თავისებურებები. მეორე რიგის განტოლებათა რიცხვითი ინტეგრაციის მეთოდები.

ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებისათვის სასაზღვრო ამოცანების ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები.მეორე რიგის განტოლებისთვის სასაზღვრო ამოცანის ამოხსნის უმარტივესი მეთოდები. გრინის ფუნქცია ბადის სასაზღვრო ამოცანის შესახებ. უმარტივესი სასაზღვრო ამოცანის ამოხსნა. გამოთვლითი ალგორითმების დახურვა. პირველი რიგის ხაზოვანი სისტემებისთვის სასაზღვრო ამოცანების ფორმულირების განხილვა. პირველი რიგის განტოლებათა სისტემების სასაზღვრო ამოცანების ამოხსნის ალგორითმები. არაწრფივი სასაზღვრო ამოცანები. სპეციალური ტიპის მიახლოებები. სასრული განსხვავების მეთოდები საკუთარი მნიშვნელობების საპოვნელად. ინტეგრაციის კვანძების განაწილების ოპტიმიზაცია. რიცხვითი მეთოდების აგება ვარიაციული პრინციპების გამოყენებით. არარეგულარულ შემთხვევაში ვარიაციული მეთოდების კონვერგენციის გაუმჯობესება. გამოთვლითი შეცდომის გავლენა სასრული განსხვავების განტოლების ფორმის მიხედვით.

ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის მეთოდები.ბადის მეთოდის თეორიის ძირითადი ცნებები. უმარტივესი ჰიპერბოლური ამოცანების მიახლოება. გაყინული კოეფიციენტების პრინციპი. არაწრფივი ამოცანების რიცხვითი ამოხსნა წყვეტილი ამონახსნებით. განსხვავების სქემები ერთგანზომილებიანი პარაბოლური განტოლებისთვის. ელიფსური განტოლებების განსხვავების მიახლოება. პარაბოლური განტოლებების ამოხსნა რამდენიმე სივრცის ცვლადით. ბადის ელიფსური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

ინტეგრალური განტოლებების ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები.ინტეგრალური განტოლებების ამოხსნა ინტეგრალის კვადრატული ჯამით ჩანაცვლებით. ინტეგრალური განტოლებების ამოხსნა ბირთვის დეგენერატით ჩანაცვლებით. ფრედჰოლმის პირველი სახის ინტეგრალური განტოლება.

3. წრფივი პროგრამირების მეთოდები

წრფივი უტოლობების თეორიის საფუძვლები.

წრფივი პროგრამირების ამოცანების მათემატიკური ფორმულირება.

წრფივი პროგრამირების ამოცანების გადაჭრის მარტივი მეთოდი.მარტივი მეთოდი. მარტივი მეთოდი ცხრილის სახით. მოდიფიცირებული სიმპლექსის მეთოდი. ორმაგი სიმპლექსის მეთოდი.

წრფივი უტოლობებისა და წრფივი პროგრამირების ჩანაწერის სიგრძე და თეორიული სირთულე.

ორმაგი მეთოდი, ელიმინაციის მეთოდი და რელაქსაციის მეთოდი.პირდაპირი ორმაგი მეთოდი. ფურიე-მოცკინის გამორიცხვის მეთოდი. დასვენების მეთოდი.

დამატებითი შედეგები წრფივი პროგრამირების დროს მრავალწევრის ამოხსნადობაზე.კარმარკარის მიერ შემუშავებული პოლინომიური ხაზოვანი პროგრამირების ალგორითმი. ძლიერ პოლინომიური ალგორითმები. მეგიდოს წრფივი ალგორითმი ფიქსირებული განზომილებისთვის. პოლიტოპების მცირე ამოკვეთა და დამრგვალება.

4. არაწრფივი პროგრამირების მეთოდები და ალგორითმები

უპირობო ოპტიმიზაციის მეთოდები.ხაზოვანი ძებნა წარმოებულების გარეშე. ხაზოვანი ძიება წარმოებულის გამოყენებით. ხაზოვანი ძიების ალგორითმული რუკების დახურვა. მრავალგანზომილებიანი ძიება წარმოებულების გარეშე. მრავალგანზომილებიანი ძებნა გამოყენებით. მეთოდები კონიუგატური მიმართულებების გამოყენებით.

საჯარიმო და ბარიერის ფუნქციების მეთოდები.საჯარიმო ფუნქციის კონცეფცია. საჯარიმო ფუნქციების მეთოდი. ბარიერი მეთოდი.

შესაძლო მიმართულებების მეთოდები. Zeutendijk მეთოდი. Zeutendijk მეთოდის კონვერგენციული ანალიზი. როზენის გრადიენტური პროექციის მეთოდი. შემცირებული ვოლფის გრადიენტური მეთოდი. ამოზნექილი მარტივი ზანგვილის მეთოდი.

ხაზოვანი კომპლემენტარულობა. კვადრატული, განცალკევებული წილად-წრფივი პროგრამირება.ხაზოვანი კომპლემენტარობის პრობლემა. კვადრატული პროგრამირება. განცალკევებული პროგრამირება. წილადი წრფივი პროგრამირება.

5. ალბათობის თეორიის ელემენტები
და მათემატიკური სტატისტიკა

ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები.ღონისძიება. მოვლენის ალბათობა. ალბათობების პირდაპირი გამოთვლა. მოვლენის სიხშირე ან სტატისტიკური ალბათობა. შემთხვევითი მნიშვნელობა. თითქმის შეუძლებელი და თითქმის გარკვეული მოვლენები. პრაქტიკული დარწმუნების პრინციპი.

ალბათობის თეორიის ძირითადი თეორემები.ძირითადი თეორემების დანიშნულება. მოვლენათა ჯამი და პროდუქტი. ალბათობათა შეკრების თეორემა. ალბათობის გამრავლების თეორემა. საერთო ალბათობის ფორმულა. ჰიპოთეზის თეორემა (ბეიზის ფორმულა).

ექსპერიმენტების გამეორება.კონკრეტული თეორემა ექსპერიმენტების განმეორების შესახებ. ზოგადი თეორემა ექსპერიმენტების განმეორების შესახებ.

შემთხვევითი ცვლადები და მათი განაწილების კანონები.განაწილების დიაპაზონი. განაწილების პოლიგონი. განაწილების ფუნქცია. შემთხვევითი ცვლადის მოხვედრის ალბათობა მოცემულ ტერიტორიაზე. განაწილების სიმკვრივე. შემთხვევითი ცვლადების რიცხვითი მახასიათებლები. მათი როლი და მიზანი. პოზიციის მახასიათებლები (მათემატიკური მოლოდინი, რეჟიმი, მედიანა). მომენტები. დისპერსია. Სტანდარტული გადახრა. ერთგვაროვანი სიმკვრივის კანონი. პუასონის კანონი.

ნორმალური განაწილების კანონი.ნორმალური კანონი და მისი პარამეტრები. ნორმალური განაწილების მომენტები. ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ემორჩილება ნორმალურ კანონს, მოხვდება მოცემულ არეალში. ნორმალური განაწილების ფუნქცია. სავარაუდო (მედიანი) გადახრა.

შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონების განსაზღვრა ექსპერიმენტული მონაცემების საფუძველზე.მათემატიკური სტატისტიკის ძირითადი ამოცანები. მარტივი სტატისტიკა. სტატისტიკური განაწილების ფუნქცია. სტატისტიკური ხაზი. ზოლიანი დიაგრამა. სტატისტიკური განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები. სტატისტიკური სერიების გასწორება. თანხმობის კრიტერიუმები.

ალბათობის თეორიის ზღვრული თეორემები.დიდი რიცხვების კანონი და ცენტრალური ლიმიტის თეორემა. ჩებიშევის უთანასწორობა. დიდი რიცხვების კანონი (ჩებიშევის თეორემა). განზოგადებული ჩებიშევის თეორემა. მარკოვის თეორემა. დიდი რიცხვების კანონის შედეგი: ბერნულის და პუასონის თეორემები. მასობრივი შემთხვევითი მოვლენები და ცენტრალური ლიმიტის თეორემა. დამახასიათებელი ფუნქციები. ცენტრალური ლიმიტის თეორემა იდენტურად განაწილებული ტერმინებისთვის. ცენტრალური ლიმიტის თეორემის გამომხატველი და მის პრაქტიკულ გამოყენებაში ნაცნობი ფორმულები.

ექსპერიმენტების დამუშავება.შეზღუდული რაოდენობის ექსპერიმენტების დამუშავების თავისებურებები. განაწილების კანონის უცნობი პარამეტრების შეფასებები. შეფასებები მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიისთვის. Ნდობის ინტერვალი. ნდობის ალბათობა. ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის პარამეტრებისთვის დამაჯერებლობის ინტერვალების აგების ზუსტი მეთოდები. ალბათობის შეფასება სიხშირით. შემთხვევითი ცვლადების სისტემის რიცხვითი მახასიათებლების შეფასებები. სროლის დამუშავება. ექსპერიმენტული დამოკიდებულებების გასწორება უმცირესი კვადრატების მეთოდით.

6. მათემატიკური მოდელირების ამოცანების გადასაჭრელად საინფორმაციო ტექნოლოგიებისა და სტანდარტული პროგრამული პაკეტების გამოყენების ზოგადი მახასიათებლები.

საინფორმაციო CASE-ტექნოლოგიების დანიშნულება და მახასიათებლები.

საინფორმაციო CAPE-ტექნოლოგიების დანიშნულება და მახასიათებლები.

საინფორმაციო CALS-ტექნოლოგიების დანიშნულება და მახასიათებლები.

მათემატიკური მოდელირების ამოცანების გადასაჭრელად ინტერნეტის გამოყენების სტატუსი და პერსპექტივები.

ობიექტზე ორიენტირებული პროგრამირების ენები და ვიზუალური პროგრამირების ხელსაწყოები, როგორც ინსტრუმენტები მათემატიკური მოდელირებისთვის პროგრამული კომპლექსების შესაქმნელად.

7. ქიმიურ-ტექნოლოგიური პროცესების მათემატიკური მოდელირების თეორიული საფუძვლები

რთული ქიმიური რეაქციების მათემატიკური მოდელირება.რეაქციის მექანიზმის შესახებ ჰიპოთეზების ტესტირება და კინეტიკური მუდმივების შეფასება. კინეტიკური პარამეტრების დახვეწა და კინეტიკური ჰიპოთეზების დისკრიმინაცია.

იზოთერმული რეაქტორების მათემატიკური მოდელები.მილაკოვანი რეაქტორების (დასასვლელი რეაქტორების) და პარტიული რეაქტორების მოდელები. ნაკადის რეაქტორების მოდელები ამრევით (იდეალური შერევის რეაქტორი). მილაკოვანი ნაკადის რეაქტორების მოდელები შერევასთან დაკავშირებით (დიფუზიური ტიპის რეაქტორი).

არაიზოთერმული რეაქტორების მათემატიკური მოდელები . ფსევდო-ერთგვაროვანი მოდელები. ორფაზიანი მოდელები. ტიპიური რეაქტორული რეჟიმების სტაბილურობის ანალიზი. პოლიტროპული რეაქტორის ოპტიმალური ტემპერატურის პროფილის განსაზღვრა. ავტოთერმული რეაქტორების მოდელები.

ჰეტეროგენული კატალიზური რეაქტორების მათემატიკური მოდელები.მარტივი რეაქციების კინეტიკის განტოლებების ტიპის დასაბუთება. მარტივი რეაქციების კინეტიკური განტოლებების ადეკვატურობის ექსპერიმენტული შემოწმების მეთოდი.

მათემატიკის განვითარების ექსპერიმენტულ-სტატისტიკური მეთოდები ფიზიკური და ქიმიური პროცესების მოდელები. რეგრესიული და კორელაციური ანალიზის მეთოდები. ოპტიმალური ექსპერიმენტების დაგეგმვის მეთოდები: სრული ფაქტორული ექსპერიმენტი; ფრაქციული ასლები; მეორე რიგის ორთოგონალური გეგმები; მეორე რიგის მბრუნავი გეგმები; ექსპერიმენტების დაგეგმვის სიმპლექსის მეთოდი.

ადეკვატური მათემატიკური მოდელების შემოწმების მეთოდები . ცხრილების, ჰისტოგრამების და განაწილების ფუნქციების აგება და ანალიზი. მომენტის მეთოდი. მინიმალური კვადრატის მეთოდი.

ტიპიური ქიმიურ-ტექნოლოგიური პროცესების მათემატიკური მოდელები . ტიპიური დინების სტრუქტურების მათემატიკური მოდელები: იდეალური გადაადგილების მოდელები; სრულყოფილი შერევის მოდელები; ერთპარამეტრული და ორპარამეტრიანი დიფუზიის მოდელები; უჯრედის მოდელი; კომბინირებული მოდელი. ტიპიური სითბოს გადაცემის პროცესების მათემატიკური მოდელები: ფურიე-კირჩჰოფის კონვექციური გადაცემის განტოლებები; ფურიეს სითბოს განტოლება; ნიუტონის განტოლება; იდეალური გადაადგილების მოდელი; იდეალური შერევის მოდელი; უჯრედისა და დიფუზიის მოდელები. სითბოს გადამცვლელების მათემატიკური მოდელები (მილის მილში). ტიპიური მასის გადაცემის პროცესების მათემატიკური მოდელები: ფიკის განტოლებები მოლეკულური და კონვექციური გადაცემისთვის; ნიუტონის განტოლება. ორობითი და მრავალკომპონენტიანი ნარევების გამოყოფის პროცესების მათემატიკური მოდელები დისტილაციურ სვეტებში. მოლეკულების მსგავსების ანალიზის მეთოდები გრაფიკების თეორიაზე დაყრდნობით.

8. მათემატიკური მოდელირების მეთოდები, ქიმიურ-ტექნოლოგიური სისტემების ანალიზისა და სინთეზის ალგორითმები.

ქიმიურ-ტექნოლოგიური სისტემების მათემატიკური მოდელირებისა და ანალიზის პრინციპები (CTS ). XTS-ის ოპერატორ-სიმბოლური მათემატიკური მოდელი. პირდაპირი მეთოდები CTS სტატიკური რეჟიმების იდენტიფიკაციისთვის. მათემატიკური მოდელირება არის CTS-ის დიზაინისა და მუშაობის პრობლემების გადაჭრის მთავარი მეთოდი. CTS-ის ანალიზის ამოცანების გადაჭრის განცხადება და პრინციპები. CTS ანალიზის ბლოკის პრინციპის მახასიათებლები. CES-ის მატერიალური და სითბოს ნაშთების განტოლების სისტემის ზოგადი ხედი. მასალისა და სითბოს ნაშთების განტოლებების სისტემების შედგენისთვის საწყისი მონაცემების მომზადება. მატერიალური და სითბოს ნაშთების განტოლებების სისტემების ამოხსნის არსებობის ნიშნები. CTS-ის თავისუფლების ხარისხის განსაზღვრა. რეკომენდაციები CTS-ის რეგულირებადი და ოპტიმიზაციის საინფორმაციო ცვლადების არჩევისთვის.

CTS-ის ტოპოლოგიური მოდელების აგების პრინციპები . CTS-ის ტოპოლოგიური მოდელების კლასიფიკაცია და მინიჭება. გრაფიკის თეორიის საფუძვლები. გრაფიკების მატრიცული წარმოდგენა. ნაკადის გრაფიკები XTS. პარამეტრული ნაკადის გრაფიკები. მასალის ნაკადის გრაფიკები. თერმული ნაკადის გრაფიკები. ექსერგიის ნაკადის გრაფიკები. ციკლური ნაკადის გრაფიკები. ინფორმაციის ნაკადის გრაფიკები XTS. ორმხრივი ინფორმაციის გრაფიკები. ინფორმაციის გრაფიკები. სიგნალის გრაფიკები XTS. XTS-ის სტრუქტურული გრაფიკები.

რთული CTS-ის ანალიზისა და ოპტიმიზაციის დაშლა-ტოპოლოგიური მეთოდები. CTS-ის ანალიზის რიცხვითი მეთოდების ზოგადი მახასიათებლები. არაწრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები და ალგორითმები: მარტივი გამეორების მეთოდი და მისი მოდიფიკაციები; ნიუტონის მეთოდი; კვაზინიუტონის მეთოდები; მინიმიზაციის მეთოდი; პარამეტრის დიფერენციაციის მეთოდი. წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მეთოდები: წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის რიცხვითი მეთოდების ზოგადი მახასიათებლები; პირდაპირი განმეორებითი მეთოდები. ხთს-ის ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის სხვადასხვა რიცხვითი მეთოდების ეფექტურობა. პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება და CTS ოპტიმიზაციის მეთოდების კლასიფიკაცია. ორდონიანი ოპტიმიზაციის მეთოდები რთული CTS-ისთვის: ორდონიანი მეთოდების ზოგადი სტრატეგია; შუალედური ცვლადების დაფიქსირების მეთოდი; ფასის მეთოდი; CTS-ის ციფრული მოდელირების სპეციალური პროგრამების ზოგადი მახასიათებლები.

9. ხელოვნური ინტელექტის მეთოდები
და საექსპერტო სისტემების შექმნის პრინციპები

ხელოვნური ინტელექტი არის მეცნიერული საფუძველი საექსპერტო სისტემების შესაქმნელად . სამეცნიერო კვლევის თანამედროვე მიმართულებები ხელოვნური ინტელექტის სფეროში. სამეცნიერო და ტექნიკური საქმიანობის არაფორმალიზებული ამოცანები და ცოდნის წარმოდგენის მოდელების კლასიფიკაცია. არაფორმალური პრობლემები ქიმიაში. არაფორმალური ამოცანები ქიმიურ-ტექნოლოგიური სისტემების დიზაინში. არაფორმალური ამოცანები ქიმიურ-ტექნოლოგიური სისტემების ექსპლუატაციაში. ევრისტიკული პროგრამირება და ავტომატური სწავლება.

ცოდნის წარმოდგენის მოდელებისა და პროცედურების ზოგადი მახასიათებლები არაფორმალიზებული პრობლემების გადაწყვეტის მოსაძებნად. ცოდნის წარმოდგენის ლოგიკური და ლოგიკურ-ლინგვისტური მოდელები. ცოდნის წარმოდგენის ქსელური სტრუქტურულ-ლინგვისტური მოდელები. ჩარჩოების ზოგადი მახასიათებლები და წარმოების წესები. ცოდნის წარმოდგენის მოდელებსა და მონაცემთა მოდელებს შორის კავშირი. არაფორმალიზებული პრობლემების გადაჭრის მეთოდები და პროცედურები. ზოგადი ინფორმაცია ბუნებრივი ენის მოდელების შესახებ. ნერვული ქსელების კონცეფცია და მათი გამოყენება ქიმიურ ტექნოლოგიაში.

ბუნდოვანი ცოდნის წარმოდგენის მოდელები და გადაწყვეტილების არადეტერმინისტული დასკვნის პროცედურები . ბუნდოვანი ცოდნის კონცეფცია ქიმიასა და ქიმიურ ტექნოლოგიაში. არაზუსტი მსჯელობის მეთოდები არასანდო მონაცემებით. ზოგადი ინფორმაცია ბუნდოვანი და ალბათური ლოგიკის შესახებ. ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიის ძირითადი ცნებები. ბუნდოვანი სიმრავლეების თეორიაზე დაფუძნებული ცოდნის წარმოდგენის მოდელები.

ცოდნის წარმოდგენისა და გადაწყვეტილების გამოტანის პროცედურის სტრუქტურულ-ლინგვისტური მოდელები . კლასიფიკაცია და ჩარჩოს განვითარების პრინციპები. ჩარჩოების ძირითადი მახასიათებლები და დასკვნის პროცედურები. სხვადასხვა კლასის სემანტიკური ქსელების აგების პრინციპები. ამოხსნის დასკვნის პროცედურები სემანტიკური ქსელების გამოყენებით.

ცოდნის წარმოდგენისა და დასკვნის პროცედურების ლოგიკური მოდელები . ცოდნის წარმოდგენის მოდელები დაფუძნებული პრედიკატების კალკულუსზე. ფორმალური დასკვნის პროცედურები დედუქციურ სისტემებში. გადაწყვეტის პრინციპზე დაფუძნებული დასკვნის პროცედურები. პრედიკატების კალკულუსის პროგრამული დანერგვა.

წარმოების სისტემები და ოპერაციები გადაწყვეტილებების გამომუშავების კონტროლისთვის. წარმოების სისტემების ძირითადი ცნებები, როგორც ცოდნის ფორმალური წარმომადგენლობის სისტემები. წარმოების სისტემების, როგორც პროგრამირების სისტემების ფუნქციური სტრუქტურა. გადაწყვეტილების დასკვნის სტრატეგიები წარმოების სისტემებში. გადაწყვეტილებების შეკვეთილი შეზღუდული ძიების ოპერაციები.

საექსპერტო სისტემების არქიტექტურა და ინტელექტუალური პროგრამირების ენები . საექსპერტო სისტემების ძირითადი თვისებები. საექსპერტო სისტემების არქიტექტურა. საექსპერტო სისტემების მუშაობის რეჟიმები და კლასიფიკაცია. საექსპერტო სისტემების განვითარების ძირითადი ეტაპები.

ხელოვნური ინტელექტის პროგრამირების ენები არის ინსტრუმენტები საექსპერტო სისტემების განვითარებისთვის. ენისა და პროგრამული ინსტრუმენტების ძირითადი ცნებები და კლასიფიკაცია. ფუნქციონალური პროგრამირების ენების ზოგადი მახასიათებლები. ძირითადი ინფორმაცია ლოგიკური პროგრამირების ენების შესახებ. ობიექტზე ორიენტირებული პროგრამირების კონცეფცია. ობიექტზე ორიენტირებული პროგრამირების ენების მახასიათებლები.

ცოდნის წარმომადგენლობითი ენების ზოგადი მახასიათებლები . ცოდნის წარმოდგენის ჩარჩო ენები. წარმოებაზე ორიენტირებული პროგრამირების ენები. გრამატიკულ-სემანტიკური ტექსტის დამუშავების ენის ცნება.

ქიმიურ ტექნოლოგიაში საექსპერტო სისტემების ძირითადი ტიპების მახასიათებლები . ოპტიმალური ქიმიურ-ტექნოლოგიური სისტემების ავტომატური სინთეზის საექსპერტო სისტემები. საექსპერტო სისტემების კონსულტაცია ქიმიურ ტექნოლოგიაში. ქიმიურ-ტექნოლოგიური პროცესების ავტომატური კონტროლისა და დიაგნოსტიკის საექსპერტო სისტემები. საექსპერტო სისტემები ქიმიაში. ინტელექტუალური ავტომატური სისტემები ძირითადი გაზის ტრანსპორტირების სიტუაციური კონტროლისთვის. საექსპერტო სისტემებისთვის ტექნოლოგიური ტექსტების მნიშვნელობის გაგების სემანტიკურ-მათემატიკური მოდელი.

გაზის ფრაქციული სისტემების სინთეზისთვის ჰიბრიდული საექსპერტო სისტემის შექმნის პრინციპები . გაზის ფრაქციული სისტემების სინთეზის არაფორმალური პრობლემის ფორმულირება. გაზის ფრაქციული სისტემების ავტომატური სინთეზის ცოდნის წარმოდგენის საწარმოო ჩარჩო მოდელები. გაზის ფრაქციული სისტემების სინთეზის დაშლის ევრისტიკული წარმოების პროცედურა. წარმოება-გამოთვლითი ალგორითმი სამიზნე პროდუქტების შერჩევის ოპტიმალური თანმიმდევრობის გენერირებისთვის.

ინსტრუმენტული ჰიბრიდული საექსპერტო სისტემის "Ekran-XTS" შემუშავება და გამოყენება. მიზანი, შესაძლებლობები და მუშაობის რეჟიმი. ფუნქციონირების არქიტექტურა და ოპერაციები. ინტელექტუალური დიალოგი მომხმარებელსა და ექსპერტ სისტემას შორის.

მთავარი ლიტერატურა

მარჩუკის გამოთვლითი მათემატიკა: პროკ. შემწეობა. მოსკოვი: ნაუკა, 1989 წ.

Ryaben'kii გამოთვლით მათემატიკაში. მოსკოვი: ნაუკა, 1994 წ.

კობელკოვის მეთოდები. პროკ. შემწეობა. მოსკოვი: ნაუკა, 1987 წ.

Kahaner D., Moler C., Nash S. Numerical Methods and Software. მ.: მირი, 1998 წ.

ტიმოხოვის ოპტიმიზაცია ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. მ.: ნაუკა, 1991 წ.

Shreyver A. წრფივი და მთელი რიცხვების პროგრამირების თეორია. 2 ტომში. პერ. ინგლისურიდან. მ.: მირი, 1991 წ.

Bazara M., Shetty K. არაწრფივი პროგრამირება. თეორია და ალგორითმები. პერ. ინგლისურიდან. მ.: მირი, 1982 წ.

მეშალკინის სისტემები ქიმიურ ტექნოლოგიაში. თეორიის საფუძვლები, გამოცდილება განვითარებასა და გამოყენებაში. მოსკოვი: ქიმია, 1995 წ.

მეშალკინი და ქიმიურ-ტექნოლოგიური სისტემების სინთეზი. მოსკოვი: ქიმია, 1991 წ.

ვენცელის ალბათობა. პროკ. უნივერსიტეტებისთვის. მე-6 გამოცემა. წაშლილია მოსკოვი: უმაღლესი სკოლა, 1999 წ.

Გვერდი 1

რიცხვითი სიმულაციის მეთოდები მნიშვნელოვან როლს თამაშობს ტექნიკური მოწყობილობების ანალიზსა და განვითარებაში, რომლებიც ხასიათდება სითბოს გადაცემით და სითხის ნაკადით. მოხერხებულ კომპიუტერულ პროგრამებში ჩასმული ასეთი მეთოდები წარმოადგენს ექსპერიმენტული გაზომვების რეალურ ალტერნატივას მათი სწრაფი განხორციელებისა და ეკონომიურობის გამო. რიცხვითი ანალიზი შეიძლება შეიცავდეს რეალურ მონაცემებს გეომეტრიულ მახასიათებლებზე, მატერიალური თვისებების, სასაზღვრო პირობების შესახებ და უზრუნველყოს სრული და დეტალური ინფორმაცია ტემპერატურის, სიჩქარის და სხვა რაოდენობების ველების, აგრეთვე მათთან დაკავშირებული ნაკადების შესახებ. პრაქტიკაში, ზოგიერთ შემთხვევაში, მოწყობილობების ანალიზი და დიზაინი შეიძლება მთლიანად განხორციელდეს კომპიუტერული პროგრამის გამოყენებით. იმ სიტუაციებში, როდესაც სასურველია ექსპერიმენტული კვლევის ჩატარება, რიცხვითი სიმულაცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას ექსპერიმენტების დიზაინსა და დიზაინში, რათა მნიშვნელოვნად შემცირდეს მათი ღირებულება, ასევე გააფართოვოს და გამდიდრდეს შედეგები.

დინამიური რიცხვითი სიმულაციის მეთოდები ასახავს მოდელის სისტემების ქცევას მოცემულ პირობებში და ამ მხრივ რიცხვითი სიმულაცია რეალური ექსპერიმენტის მსგავსია.

მოლეკულური სისტემების რიცხვითი მოდელირების მეთოდები (რიცხობრივი ექსპერიმენტი) სულ უფრო ხშირად გამოიყენება ფიზიკური და ქიმიური კვლევის პრაქტიკაში. თუმცა, ყველაზე მოწინავე კომპიუტერული ტექნოლოგიის დახმარებითაც კი, შეუძლებელია რამდენიმე ათასზე მეტი ურთიერთმოქმედი ნაწილაკებისგან შემდგარი სისტემების ქცევის დეტალური მოდელირება. მოდელირებისთვის ყველაზე მოსახერხებელი ობიექტებია სისტემები, რომლებიც შედგება შედარებით მცირე რაოდენობის მოლეკულებისგან. ამ ნაშრომში განვიხილავთ წყლის მოლეკულების გროვების მოდელირებას, ძირითადი ყურადღება დაეთმობა ასეთი მტევნის სტრუქტურულ მახასიათებლებს.

მე-5 თავი ეძღვნება სასაზღვრო ფენებში, ჭავლებსა და არხებში ნაკადების რიცხვითი სიმულაციის მეთოდებს.

მონოგრაფიაში მოცემულია მეცნიერული კონცეფცია, გამოთვლითი ტექნოლოგიები და რიცხვითი სიმულაციის მეთოდები, რომლებიც შექმნილია მაგისტრალური მილსადენის სისტემების მუშაობის უსაფრთხოებისა და ეფექტურობის გაუმჯობესების პრობლემების გადასაჭრელად გამოთვლითი მექანიკისა და მათემატიკური ოპტიმიზაციის თანამედროვე მიღწევების გამოყენებით. მონოგრაფიაში წარმოდგენილი მასალა მკითხველს საშუალებას აძლევს დეტალურად შეისწავლოს მაგისტრალური მილსადენების რიცხვითი მოდელირების შემოთავაზებული საფუძვლები.

რიცხვითი სიმულაციის მეთოდებმა არ შეაღწია ისე ღრმად ფიზიკის არც ერთ სფეროში, როგორც პლაზმის ფიზიკაში. დღეს უბრალოდ წარმოუდგენელია პლაზმური პროცესების სრულად საკმარისად აღწერა, მხოლოდ თანამედროვე თეორიული ფიზიკის ანალიტიკურ მეთოდებზე დაყრდნობით, რიცხვითი სიმულაციური მეთოდების გამოყენების გარეშე. ეს აიხსნება, ერთის მხრივ, პლაზმური პროცესების სირთულითა და მრავალფეროვნებით, ხოლო მეორეს მხრივ, პლაზმური დინამიკის კარგად დასაბუთებული მოდელის არსებობით - ვლასოვ-მაქსველის მოდელი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას რაოდენობრივად აღწერისთვის. ეს პროცესები ნებისმიერი ხარისხის სიზუსტით. ამიტომ, ძალიან რთული და ძვირადღირებული ფიზიკური ექსპერიმენტების ინჟინერიის თავიდან აცილების მიზნით, პლაზმის ფიზიკის დარგის მკვლევარებმა დიდი ხანია, 25 წელზე მეტი ხნის წინ, დაიწყეს ვლასოვ-მაქსველის მოდელის საფუძველზე პლაზმური პროცესების ანალიზის ეფექტური რიცხვითი მეთოდების შემუშავება. მიაღწია უზარმაზარ წარმატებას ციფრულ ექსპერიმენტებში.

მითითებული ექსპერიმენტული მეთოდების გარდა, არსებობს თვითდიფუზიის კოეფიციენტების გამოთვლის გზები რიცხვითი სიმულაციური მეთოდებით. მოლეკულური დინამიკის მეთოდი უკიდურესად ნაყოფიერია. და მიუხედავად იმისა, რომ ის მუშაობს სამოდელო სისტემებით, მიღებული შედეგები სასარგებლოა მოლეკულური მობილობის მექანიზმებისა და მდგომარეობის პარამეტრების გავლენის კანონზომიერებების გასარკვევად. ინტერმოლეკულური პოტენციური ფუნქციების სწორად შერჩევის შემთხვევაში მიიღება ექსპერიმენტულთან მიახლოებული შედეგები.

ამ წიგნის მომზადების დროს ბეჭდვით გამოჩნდა მრავალი ახალი პუბლიკაცია, რომელიც ეხებოდა ჰიდროდინამიკური პროცესების რიცხვითი სიმულაციის მეთოდებს, სითბოს და მასის გადაცემას ნავიე-სტოქსის განტოლებებზე დაყრდნობით. ჩვენ გავაკეთებთ მხოლოდ რამდენიმე დამატებას, რომლებიც ყველაზე ახლოსაა აქ განხილულ კითხვებთან. ამ ნაშრომში გამოყენებულია ალტერნატიულ-სამკუთხა მეთოდი მეოთხე რიგის განტოლების სტაციონარული ამოცანების გადასაჭრელად ნაკადის ფუნქციის მიმართ.

მზის გამოსხივების ნაკადების ქცევის კანონზომიერებები ღრუბლების თვისებებზე და მოღრუბლული ატმოსფეროდან გამომდინარე შესწავლილი იქნა რიცხვითი სიმულაციური მეთოდებით (მონტე კარლოს მეთოდი), სატრანსპორტო განტოლებების რიცხვითი ამონახსნებით და ასიმპტომური მიმართებების გამოყენებით.

წიგნი თარგმნეს მაღალკვალიფიციური სპეციალისტების მიერ, რომლებიც კარგად ერკვევიან როგორც პლაზმის ფიზიკის თეორიის მეთოდებში, ასევე რიცხვითი სიმულაციის მეთოდებში, განსაკუთრებით დიდი ნაწილაკების მეთოდში, ყველაზე გავრცელებული პლაზმის ფიზიკაში. იგი განკუთვნილია მკითხველთა საკმაოდ ფართო წრისთვის, დაწყებული სტუდენტებიდან, რომლებიც სწავლობენ პლაზმის ფიზიკას და დამთავრებული მეცნიერებით დამთავრებული, რომლებიც ამ წიგნში ბევრ სასარგებლო და საინტერესოს იპოვიან.

ეს არის საინფორმაციო ბაზის სისუსტეები, რამაც ანალიტიკურ მიდგომებს საკმაოდ ქმედუნარიანი გახადა, ჩვენი აზრით, ალტერნატიული ან ეფექტური დამატება პროგნოზირებადი პრობლემების რიცხვითი მოდელირების მეთოდებისთვის. რაც შეეხება პროგნოზის ყველაზე მნიშვნელოვან ელემენტს - სქემატიზაციას, აქ, როგორც წესი, აშკარა უპირატესობა უნდა მიენიჭოს ანალიტიკურ მეთოდებს.

კავშირი კოსმოსური სხივების ტრანსპორტირების განტოლებასა და რეალისტურ ჰიდროდინამიკას შორის პირველად დამყარდა მსგავსი ჰიდროდინამიკური ამოხსნის გამოყენებით, მაგრამ ახლა ეს კავშირი მიღებულია რიცხვითი სიმულაციის მეთოდებით. გარდა ამისა, შესაძლებელი იყო მოსალოდნელი კოსმოსური სხივების რეალისტური სპექტრის გამოთვლა იმ ვარაუდით, რომ დარტყმის ტალღაზე აჩქარება ხდება ეგრეთ წოდებული თვითმსგავსი სედოვის ფაზაში, როდესაც სუპერნოვას ენერგია შენარჩუნებულია და რჩება შოკის შიგნით. წინა.

უნდა აღინიშნოს, რომ სხივის სიმულაციური ნაწილაკების რაოდენობა არის 102-ის ბრძანებით, რაც სიდიდის ორი რიგით ნაკლებია ნაწილაკების საჭირო რაოდენობაზე სრული რიცხვითი სიმულაციის მეთოდით. ამრიგად, პლაზმაში დაბალი სიმკვრივის მონოენერგეტიკული ელექტრონული სხივის რელაქსაცია იწვევს განაწილების ფუნქციის საკმაოდ სწრაფ გაფართოებას სიჩქარის სივრცეში vTb მნიშვნელობებამდე, რომელიც საკმარისია კვაზიწრფივი მიახლოების გამოსაყენებლად, ხოლო ტალღის ფაზებს დრო აქვთ ქაოტური გახდეს. .

აქ ძალიან სასარგებლოა რიცხვითი სიმულაციის მეთოდების გამოყენება.

სამყაროს სტრუქტურის ფორმირების მოდელები, რომლებიც ეფუძნება გრავიტაციული არასტაბილურობის თეორიას, ზოგადად, საკმაოდ კარგად აღწერს C-ს წარმოქმნას. ამ პროცესის უფრო დეტალური შესწავლა რიცხვითი სიმულაციის მეთოდებით რთულია გამოთვლების დიდი რაოდენობის გამო. .