quadriláteroé chamada de figura que consiste em quatro vértices, três dos quais não estão em uma linha reta, e segmentos que os conectam.

Existem muitos quadriláteros. Estes incluem paralelogramos, quadrados, losangos, trapézios. Encontrar pode ser encontrado nas laterais, facilmente calculado nas diagonais. Em um quadrilátero arbitrário, você também pode usar todos os elementos para derivar a fórmula da área de um quadrilátero. Primeiro, considere a fórmula para a área de um quadrilátero em termos da diagonal. Para usá-lo, você precisará dos comprimentos das diagonais e do tamanho do ângulo agudo entre elas. Conhecendo os dados necessários, você pode executar um exemplo de cálculo da área de um quadrilátero usando a seguinte fórmula:

Metade do produto das diagonais e o seno do ângulo agudo entre elas é a área do quadrilátero. Considere um exemplo de cálculo da área de um quadrilátero através de uma diagonal.

Seja um quadrilátero com duas diagonais d1 = 5 cm; d2 = 4 cm. Canto afiado entre eles é α = 30°. A fórmula para a área de um quadrilátero em termos de diagonais é facilmente aplicada a condições conhecidas. Vamos inserir os dados:

Usando o exemplo de cálculo da área de um quadrilátero através de diagonais, entendemos que a fórmula é muito semelhante ao cálculo.

Área de um quadrilátero por lados

Quando os comprimentos dos lados da figura são conhecidos, você pode aplicar a fórmula para a área de um quadrilátero ao longo dos lados. Para aplicar esses cálculos, você precisará encontrar o semiperímetro da figura. Lembramos que o perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados. O semiperímetro é metade do perímetro. Em nosso retângulo com lados a, b, c, d, a fórmula do semiperímetro ficará assim:
Conhecendo os lados, derivamos a fórmula. A área de um quadrilátero é a raiz do produto da diferença entre o meio perímetro e o comprimento de cada lado:

Considere um exemplo de cálculo da área de um quadrilátero através dos lados. Dado um quadrilátero arbitrário com lados a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 6 cm. Primeiro, encontre o semi-perímetro:

use o valor encontrado para calcular a área:

Área de um quadrilátero dada por coordenadas

A fórmula para a área de um quadrilátero por coordenadas é usada para calcular a área das figuras que estão localizadas no sistema de coordenadas. Nesse caso, primeiro você precisa calcular os comprimentos dos lados necessários. Dependendo do tipo de quadrilátero, a própria fórmula também pode mudar. Considere um exemplo de cálculo da área de um quadrilátero usando um quadrado que se encontra no sistema de coordenadas XY.

Dado um quadrado ABCD , localizado no sistema de coordenadas XY. Encontre a área da figura se as coordenadas dos vértices forem A (2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Sabemos que todos os lados da figura são iguais, e a fórmula para a área de um quadrado é encontrada pela fórmula:
Vamos encontrar um dos lados, por exemplo, AB:
Substitua os valores na fórmula:
Sabemos que todos os lados são iguais. Substituímos o valor na fórmula para calcular a área:

Se vários segmentos forem desenhados sequencialmente no plano, de modo que cada próximo comece no local onde o anterior terminou, será obtida uma linha quebrada. Esses segmentos são chamados de links, e os lugares onde eles se cruzam são chamados de vértices. Quando o final do último segmento cruza com ponto de partida primeiro, você obtém uma linha quebrada fechada dividindo o avião em duas partes. Um deles é finito e o segundo é infinito.

Uma linha simples fechada, juntamente com a parte do plano que a encerra (a que é finita) é chamada de polígono. Os segmentos são lados e os ângulos formados por eles são vértices. O número de lados de qualquer polígono é igual ao número de seus vértices. Uma figura que tem três lados é chamada de triângulo e quatro é chamada de quadrilátero. O polígono é caracterizado numericamente por um valor como a área, que mostra o tamanho da figura. Como encontrar a área de um quadrilátero? Isso é ensinado pelo ramo da matemática - geometria.

Para encontrar a área de um quadrilátero, você precisa saber a que tipo ele pertence - convexo ou não convexo? o todo fica relativamente reto (e necessariamente contém um de seus lados) de um lado. Além disso, existem tipos de quadriláteros como um paralelogramo com pares iguais e paralelos lados opostos(variedades dele: um retângulo com ângulos retos, um losango com lados iguais, um quadrado com todos os ângulos retos e quatro lados iguais), um trapézio com dois lados opostos paralelos e um deltóide com dois pares partes adjacentes, que são iguais.

A área de qualquer polígono é encontrada usando método geral, que é dividi-lo em triângulos, para cada um calcule a área triângulo arbitrário e somar os resultados. Qualquer quadrilátero convexo é dividido em dois triângulos, não convexos - em dois ou três; neste caso, pode ser adicionado a partir da soma e diferença dos resultados. A área de qualquer triângulo é calculada como metade do produto da base (a) pela altura (ħ) traçada para a base. A fórmula usada neste caso para o cálculo é escrita como: S \u003d ½. uma. ħ.

Como encontrar a área de um quadrilátero, por exemplo, um paralelogramo? Você precisa saber o comprimento da base (a), o comprimento do lado (ƀ) e encontrar o seno do ângulo α formado pela base e o lado (senα), a fórmula de cálculo ficará assim: S = a . ƀ. sinα. Como o seno do ângulo α é o produto da base do paralelogramo pela sua altura (ħ = ƀ), a linha perpendicular à base, então sua área é calculada multiplicando sua base pela altura: S = a. ħ. Esta fórmula também é adequada para calcular a área de um losango e um retângulo. Já que o retângulo ladoƀ coincide com a altura ħ, então sua área é calculada pela fórmula S = a. ƀ. porque a = ƀ será igual ao quadrado de seu lado: S = a. a = a². calculado como metade da soma de seus lados multiplicado pela altura (é traçado perpendicularmente à base do trapézio): S = ½. (a + ƀ). ħ.

Como encontrar a área de um quadrilátero se os comprimentos de seus lados são desconhecidos, mas suas diagonais (e) e (f) são conhecidas, assim como o seno do ângulo α? Nesse caso, a área é calculada como metade do produto de suas diagonais (as linhas que ligam os vértices do polígono) multiplicado pelo seno do ângulo α. A fórmula pode ser escrita desta forma: S = ½. (e. f). sinα. Em particular, neste caso será igual à metade do produto das diagonais (linhas que ligam os cantos opostos do losango): S = ½. (e. f).

Como encontrar a área de um quadrilátero que não é um paralelogramo ou um trapézio, geralmente é chamado de quadrilátero arbitrário. A área de tal figura é expressa em termos de seu semiperímetro (P é a soma de dois lados com pico comum), lados a, ƀ, c, d e a soma de dois cantos opostos(α + β): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d) - a. ƀ. c. d. cos² ½ (α + β)].

Se um φ \u003d 180 °, para calcular sua área, use a fórmula de Brahmagupta (um astrônomo e matemático indiano que viveu nos séculos 6 a 7 de nossa era): S \u003d √ [(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d)]. Se o quadrilátero é circunscrito por um círculo, então (a + c = ƀ + d), e sua área é calculada: S = √[ a . ƀ. c. d] . sen ½ (α + β). Se um quadrilátero é circunscrito por um círculo e inscrito em outro círculo, então a seguinte fórmula é usada para calcular a área: S = √.

I. Prefácio

Isso é azar: depois de duas semanas doente, você veio para a escola e descobriu que perdeu uma tópico importante, tarefas para as quais constarão de exames no 9º ano - "Triângulos, quadrângulos e sua área". Aqui seria correr para o professor de geometria com as perguntas: "Como encontrar a área de um quadrilátero?" Mas metade dos alunos tem medo de abordar os professores para que não sejam considerados atrasados, e a segunda metade encontra “ajuda” dos professores, semelhante ao “Olhe no livro didático, está tudo escrito lá!” ou "Você não deveria ter matado aula!" Mas no livro didático não há informações sobre as regras para encontrar a área de triângulos e quadriláteros. E as aulas foram puladas boa razão tem atestado médico. Mas muitos professores simplesmente desistirão desses argumentos. Claro, eles podem ser entendidos: eles não são pagos para martelar material de aula adicionalmente na cabeça de alunos que não entendem nada. Muitos alunos desistem dessa tarefa inútil e são reprovados no exame um ano depois, sem tirar dez pontos pelo problema de encontrar a área de triângulos e quadriláteros. E apenas alguns vão a bibliotecas e conhecidos com a pergunta: "Como encontrar a área de um quadrilátero?" MAS pessoas diferentes e os livros dão respostas diferentes, e há uma grande confusão de regras. Abaixo vou citar as principais formas de encontrar as áreas de triângulos e quadriláteros.

II. Quadrângulos

Vamos começar com quadriláteros. Nas escolas e nos exames, apenas quadriláteros convexos então vamos falar sobre eles. No nível médio de ensino, são estudadas as áreas de paralelogramos e trapézios. Existem vários tipos de paralelogramos: um retângulo, um quadrado, um losango e um paralelogramo arbitrário, nos quais apenas suas principais características são observadas: os lados são paralelos e iguais aos pares, a soma dos ângulos adjacentes é 180 o. Mas os métodos para encontrar as áreas de todas essas figuras são diferentes. Vamos considerar cada um separadamente.

1. Retângulo

S do retângulo é encontrado pela fórmula: S = a * b, ondeuma- lado horizontal, b- lado vertical.*

2. Área dos quadrados

S do quadrado é encontrado pela fórmula: S = a * a, ondeuma- lado de um quadrado.

3. Área de losangos

S do losango é encontrado pela fórmula: S \u003d 0,5 * (d 1 * d 2), onded1- diagonal grande,** d2- diagonal menor.

4. Área de um paralelogramo arbitrário

S de um paralelogramo arbitrário é encontrado pela fórmula: S = a * h, uma- o lado do paralelogramo, h a

De jeito nenhum?

Terminamos com os paralelogramos. "Devo apenas aprender isso?" você pergunta levemente. Eu respondo: de paralelogramos - sim, apenas isso. Mas ainda existem trapézios e triângulos. Então vamos continuar.

III. Armadilha c e eu

Área do trapézio

S de um trapézio pode ser encontrado com uma fórmula, seja ela ordinária ou isósceles: S = ((a + b): 2) * h, ondea, b- suas bases, h- sua altura. Isso é tudo para o trapézio. Agora para a pergunta: "Como encontrar a área de um quadrilátero?" - você pode não apenas responder a si mesmo, mas também esclarecer os outros. Agora vamos para os triângulos.

4. Triângulo

Em geometria, três fórmulas foram identificadas para encontrar sua área: para triângulos retangulares, equiláteros e arbitrários.

1. Área de um triângulo

S de um triângulo arbitrário é calculado pela fórmula: S \u003d 0,5a * h uma, uma- lado do triângulo h a- a altura desenhada para este lado.

2. Área de triângulos equiláteros

S Triângulo Equilátero pode ser encontrado pela fórmula: S = 0,5a * h, ondeuma- a base do triângulo hé a altura deste triângulo.

3. Quadrado triângulos retângulos

A área dos triângulos retângulos é encontrada pela fórmula: S = (a * b): 2, ondeuma- 1ª perna, b- 2ª perna.

Conclusão

Bem, isso é tudo, na minha opinião. Você também precisa aprender um pouco sobre triângulos, certo? Agora dê uma olhada no que escrevi aqui. "Firs-sticks, levará um mês para aprender isso!" - você provavelmente exclama. E quem disse que tudo está aprendendo rápido? Mas, por outro lado, quando você aprender tudo isso, não terá medo de perguntas sobre o tópico "Como encontrar a área de um quadrilátero" ou "Área de um triângulo arbitrário" na certificação em grau 9. Então, se você quer ir a qualquer lugar, estude, estude e seja cientista!

___________________________________

Observação

* - uma e b não precisa estar nos lugares que defini. Ao resolver problemas, você pode chamar o lado vertical uma, e a horizontal b;

** - as diagonais podem ser trocadas e seus nomes podem ser alterados da mesma forma que na nota. *

Ao resolver tarefas planimétricas de um curso de geometria, muitas vezes é encontrada uma figura com 4 lados. Sim, nós estamos falando sobre o quadrilátero. Um polígono arbitrário com quatro cantos é menos comum do que seus casos especiais - trapézios, deltóides, paralelogramos. O último "grupo" também inclui losangos, retângulos, quadrados.
Vamos considerar quais dados da figura você precisa saber para calcular sua área.

Como encontrar a área de um quadrilátero

Polígono arbitrário

Para encontrar sua área, você precisa das diagonais da figura, bem como do ângulo obtido como resultado de sua interseção.

• S = (d1*d2*senα)/2,
• d1, d2 - diagonais,
• α é o ângulo obtido pela sua intersecção.

Polígono em um círculo

Se o quadrilátero dado for colocado em um círculo, o comprimento dos lados da figura é conhecido, então a razão ajudará a determinar a área do polígono:

S = √(p – m)(p – k)(p – l)(p – e), p = (m + k + l + e)/2.
m, k, l, e são seus lados.

Como encontrar a área de um quadrilátero - um trapézio

Esta figura é distinguida pela presença de 2 lados paralelos. Para determinar a área de tal polígono, use os seguintes parâmetros:

• Se os valores são conhecidos lados paralelos e a altura perpendicular desenhada a eles, a área é calculada usando a expressão S = ((a + b)*h)/2,
  a e b são bases,
  h - altura perpendicular.
• Com base na definição da linha média (k = (a + b)/2)), a fórmula anterior torna-se próxima visualização: S = k*h,
  k é a linha do meio.
  Diagonais conhecidas de um trapézio e medida de grau o ângulo formado como resultado de sua interseção também ajudará a determinar a área da figura: S \u003d (d1 * d2 * sinβ) / 2,
  d1, d2 - diagonais,
  β é o ângulo obtido pela sua intersecção.
• 4 lados são dados: S \u003d ((m + l) √ k 2 - ((m - l) 2 + k 2 - d 2) 2 / (4 (m - l) 2)) / 2,
  m, l - lados paralelos,
  k, d - lados laterais.

Como encontrar a área de um quadrilátero - um deltóide

O polígono-deltoide é caracterizado pela presença de 2 pares lados iguais. Calcular a área de tal quadrilátero é calculado da seguinte forma:

• Os lados da figura e o ângulo formado pelos lados de diferentes comprimentos são conhecidos:
  S = m*l*senϕ,
  m, l são os lados do deltoide,
  ϕ é o ângulo entre eles.
• Os lados da figura e os ângulos formados por lados de igual comprimento são conhecidos:
  S \u003d m 2 *senα / 2 + l 2 * sinβ / 2,
  m, l são os lados do deltoide,
  α, β são os ângulos entre lados iguais.
• Disponibilidade diagonais conhecidas também permite determinar a área da figura:
  S = d1*d2/2,
  d1, d2 são as diagonais do deltoide.
• Se um círculo estiver inscrito na figura, conhecer seu raio permite calcular a área do deltoide: S \u003d (m + l) * r,
  m, l são os lados do deltoide,
  r é o raio no caso de um círculo inscrito.

Como encontrar a área de um quadrilátero - um paralelogramo

Se um polígono convexo tem 2 pares de lados que não se cruzam, então você tem um paralelogramo à sua frente.

Expressão geral

Para determinar a área desse tipo de figura, você precisará:

• O lado do quadrilátero e a altura baixada sobre ele: S = k * h (k),
  k - lado da figura,
  h(k) é a altura dele.
• O comprimento de dois lados que têm um vértice e a medida em grau do ângulo em um determinado vértice:
  S = l*k*senϕ,
  k, l são os lados do polígono,
  ϕ é o ângulo entre eles.
• As diagonais da figura e o ângulo obtido como resultado de sua interseção: S = d1*d2*sinβ/2,
  d1, d2 - diagonais,
  β - ângulo - o resultado de sua interseção.

Losango

Este quadrilátero é caso especial paralelogramo com 4 lados iguais. Portanto, expressões válidas para um paralelogramo também são válidas para ele. Então

• S = k*h(k),
  k é o lado da figura, h(k) é a altura dela.
• S = k 2 *senϕ,
  k é o lado do quadrilátero, ϕ é o ângulo entre os lados.
• S = d1*d2/2
  d1, d2 são as diagonais do polígono.

Retângulo

Tal polígono tem 2 pares de lados iguais e a medida em graus de seus ângulos é 90°. Para encontrar sua área, as seguintes expressões são válidas:

• S = k*l,
  k, l são os lados da figura.
• S = d2 *senβ/2,
  d - diagonais do quadrilátero, β - ângulo - o resultado de sua interseção.
• S = 2R 2 *senβ,
  R é o raio no caso de um círculo circunscrito.

Quadrado

NO este caso as razões obtidas na etapa anterior terão a seguinte forma (porque os lados desse tipo de retângulo são iguais):

• S \u003d k 2, k é o lado da figura.

• S = d 2 /2, d é a diagonal do quadrado.

• S = 2R 2 , R é o raio no caso do círculo circunscrito.
• S = 4r 4 , r é o raio no caso de um círculo inscrito.

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Definição de área

O que é uma área? Pergunta estranha, não é? NO vida comum estamos acostumados ao fato de que todos figuras planas(como a superfície de uma mesa, uma cadeira, o piso de nossos apartamentos, etc.) não há apenas comprimento e largura, mas também alguma outra característica que nós, sem hesitação, chamamos de área. E agora vamos pensar: afinal, o que é a área?

Vamos começar com o mais simples. Baseia-se no fato de que:

Em outras palavras, consideramos a área de um quadrado com um metro de lado como sendo um "metro de área".

Olhe atentamente para a imagem e certifique-se de que ela está realmente desenhada lá - “metro quadrado”! E lembre-se da notação.

E agora a pergunta complicada: o que é isso? Área de um quadrado com um lado? Mas não!

Veja: um quadrado com um lado.

E para obter metros quadrados (ou seja,), devemos desenhar, por exemplo, assim:

E como obter, digamos,? Bem, por exemplo assim:

E, em geral, se pegarmos um retângulo cujos lados são iguais a metros e metros, então neste retângulo:

Encaixa plano metros quadrados. Observe com atenção: temos "camadas", cada uma com exatamente metros quadrados.

Então, no total, metros quadrados cabem em um retângulo de tamanho x. Este é o número, quantos metros quadrados cabem no retângulo, e aí está quadrado.

E se a figura não for um retângulo, mas algum tipo de abracadabra?

Vou surpreendê-lo - existem tantos jargões terríveis para os quais é absolutamente impossível estabelecer quantos metros quadrados existem. Mesmo aproximadamente! Infelizmente, desenhar tais figuras é impossível.

Mas eles são! Eles se parecem, por exemplo, com um "pente" com dentes muito finos.

E assim, para figuras normais, você pode intuitivamente (ou seja, para você mesmo) considerar que a área de uma figura é um número que “se encaixa” nessa figura unidades quadradas(metros, centímetros, etc.) Para uma definição mais rigorosa e "real" de área, consulte próximos níveis teorias.

E imagine, para muitas figuras os matemáticos aprenderam a expressar áreas através de alguns elementos lineares (aqueles que podem ser medidos com uma régua) de figuras. Essas expressões são chamadas de "fórmulas de área". Existem muitas dessas fórmulas - os matemáticos tentaram por um longo tempo. Você tenta se lembrar primeiro do mais simples e fórmulas básicas, e depois aqueles que são mais difíceis.

Fórmulas de área

Quadrado

Retângulo

Triângulo reto

Triângulo (arbitrário)

Para um triângulo, existem várias fórmulas de área ao mesmo tempo.

Fórmula básica

Segunda fórmula básica

Terceira fórmula

Que fórmula escolher para o seu problema? As principais são as fórmulas 1 e 2. A terceira fórmula deve ser aplicada se tudo for dado a você: os três lados e o raio do círculo inscrito. Mas isso não acontece, não é? É por isso fórmula 3 que usamos mais o contrário, para encontrar o raio de um círculo inscrito. Então você precisa encontrar a área usando uma das fórmulas 1, 2 ou 4, e então o raio:.

Bem, a fórmula 4 permite que você encontre a área nos ºs lados usando aritmética longa. E não cometa erros de aritmética ao aplicar a fórmula de Heron!

Quadrilátero arbitrário

Não há mais nada para um quadrilátero arbitrário, mas para um quadrilátero "bom" existem outras fórmulas.

Paralelogramo

Fórmula básica

Segunda fórmula

Losango

As diagonais de um losango são perpendiculares, então básico torna-se para ele Fórmula:

Segunda fórmula

MAS fórmula adicional torna-se

Trapézio

Fórmula básica

Segunda fórmula

"Perguntas complicadas sobre a praça"

Além de problemas em que eles simplesmente pedem para encontrar a área, também há todo tipo de perguntas. Bem, por exemplo:

Vamos responder a esta pergunta de duas maneiras. A primeira maneira é formal: usamos a fórmula da área quadrada. Assim, foi, assim - a área aumentou em tempos!

No caso dos quadrados, existe uma segunda forma de “sentir” e verificar diretamente este número.

Empate:

Se você não tiver um quadrado, tudo o que resta é substituir novos valores nas fórmulas - e não se surpreenda se os números de repente ficarem muito grandes.

ÁREA DE TRIÂNGULO E QUADRANGULAR. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

Triângulo reto

Bom, o assunto acabou. Se você está lendo essas linhas, então você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas são capazes de dominar algo por conta própria. E se você leu até o final, então você está nos 5%!

Agora o mais importante.

Você descobriu a teoria sobre este tópico. E, repito, é... é simplesmente super! Você já é melhor do que maioria absoluta seus pares.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

Para sucesso passando no exame, para admissão ao instituto no orçamento e, MAIS IMPORTANTE, para a vida.

Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

Pessoas que receberam uma boa educação, ganham muito mais do que quem não recebeu. Isso é estatística.

Mas isso não é o principal.

O principal é que eles são MAIS FELIZES (existem esses estudos). Talvez porque muito se abre diante deles. mais possibilidades e a vida se torna mais brilhante? Não sei...

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