Ang isang porsyento ay isang daan ng isang numero. Ang konseptong ito ay ginagamit kapag ito ay kinakailangan upang ipahiwatig ang ratio ng isang bahagi sa isang kabuuan. Bilang karagdagan, ang ilang mga halaga ay maaaring ihambing bilang mga porsyento, habang kinakailangang ipahiwatig kung aling integer ang mga porsyento ay kinakalkula na may kaugnayan sa. Halimbawa, ang mga gastos ay 10% na mas mataas kaysa sa kita o ang presyo ng mga tiket sa tren ay tumaas ng 15% kumpara sa mga pamasahe ng nakaraang taon. Ang isang porsyento na higit sa 100 ay nangangahulugan na ang proporsyon ay mas malaki kaysa sa kabuuan, gaya ng kadalasang nangyayari sa mga istatistikal na kalkulasyon.
Interes bilang isang konsepto sa pananalapi - pagbabayad, ang nanghihiram sa nagpapahiram para sa pagkakaloob ng pera para sa pansamantalang paggamit. Sa negosyo, may ekspresyong "magtrabaho para sa interes." AT kasong ito nauunawaan na ang halaga ng sahod ay nakasalalay sa tubo o turnover (komisyon). Imposibleng gawin nang hindi kinakalkula ang interes sa accounting, negosyo, pagbabangko. Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, isang online na calculator ng porsyento ay binuo.
Pinapayagan ka ng calculator na kalkulahin ang:
- Porsiyento ng itinakdang halaga.
- Porsiyento ng halaga (buwis sa aktwal na suweldo).
- Porsiyento ng pagkakaiba (VAT mula sa ).
- At marami pang iba...
Kapag nilulutas ang mga problema sa isang calculator ng porsyento, kailangan mong gumana na may tatlong mga halaga, kung saan ang isa ay hindi kilala (ayon sa ibinigay na mga parameter variable ay kinakalkula). Dapat piliin ang senaryo ng pagkalkula batay sa mga ibinigay na kundisyon.
Mga halimbawa ng pagkalkula
1. Kalkulahin ang porsyento ng isang numero
Upang makahanap ng isang numero na 25% ng 1,000 rubles, kailangan mo:
- 1,000 × 25 / 100 = 250 rubles
- O 1,000 × 0.25 = 250 rubles.
Upang kalkulahin sa isang regular na calculator, kailangan mong i-multiply ang 1,000 sa 25 at pindutin ang% button.
2. Kahulugan ng isang integer (100%)
Alam namin na 250 rubles. ay 25% ng ilang bilang. Paano ito kalkulahin?
Gumawa tayo ng isang simpleng proporsyon:
- 250 kuskusin. - 25%
- Y kuskusin. - 100 %
- Y \u003d 250 × 100 / 25 \u003d 1,000 rubles.
3. Porsiyento sa pagitan ng dalawang numero
Ipagpalagay na ang tubo na 800 rubles ay dapat, ngunit nakatanggap sila ng 1,040 rubles. Ano ang overage na porsyento?
Ang proporsyon ay magiging:
- 800 kuskusin. - 100 %
- RUB 1,040 – Y%
- Y = 1040 × 100 / 800 = 130%
Overfulfillment ng plano para sa tubo - 30%, iyon ay, pagpapatupad - 130%.
4. Ang pagkalkula ay hindi mula sa 100%
Halimbawa, ang isang tindahan na may tatlong departamento ay binibisita ng 100% ng mga customer. Sa departamento ng grocery - 800 katao (67%), sa departamento ng mga kemikal sa sambahayan - 55. Ilang porsyento ng mga mamimili ang pumupunta sa departamento ng mga kemikal sa sambahayan?
Proporsyon:
- 800 bisita - 67%
- 55 bisita - Y %
- Y = 55 × 67 / 800 = 4.6%
5. Ilang porsyento ang mas mababa ng isang numero kaysa sa isa pa
Ang presyo ng mga kalakal ay nahulog mula 2,000 hanggang 1,200 rubles. Sa anong porsyento naging mas mura ang kalakal, o sa anong porsyento ang 1,200 ay mas mababa sa 2,000?
- 2 000 - 100 %
- 1 200 – Y%
- Y = 1200 × 100 / 2000 = 60% (60% hanggang 1200 ng 2000)
- 100% − 60% = 40% (bilang 1200 ay 40% mas mababa sa 2000)
6. Sa anong porsyento mas malaki ang isang numero kaysa sa isa pa
Ang suweldo ay tumaas mula 5,000 hanggang 7,500 rubles. Ilang porsyento ang pagtaas ng suweldo? Ilang porsyento ang 7,500 higit sa 5,000?
- 5 000 kuskusin. - 100 %
- 7 500 kuskusin. - Y%
- Y = 7,500 × 100 / 5,000 = 150% (sa figure na 7,500 ay 150% ng 5,000)
- 150% - 100% = 50% (ang bilang na 7,500 ay 50% mas mataas sa 5,000)
7. Dagdagan ang bilang ng isang tiyak na porsyento
Ang presyo ng mga kalakal S ay mas mataas kaysa sa 1,000 rubles. ng 27%. Ano ang presyo ng item?
- 1 000 kuskusin. - 100 %
- S - 100% + 27%
- S \u003d 1,000 × (100 + 27) / 100 \u003d 1,270 rubles.
Ang online na calculator ay ginagawang mas madali ang mga kalkulasyon: kailangan mong piliin ang uri ng pagkalkula, magpasok ng isang numero at isang porsyento (sa kaso ng isang pagkalkula porsyento- ang pangalawang numero), ipahiwatig ang katumpakan ng pagkalkula at magbigay ng isang utos upang simulan ang mga aksyon.
Ngayon ay nagpapatuloy kami ng isang serye ng mga video tutorial sa porsyento ng mga problema mula sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri sa matematika. Sa partikular, susuriin namin nang buo ang dalawa tunay na mga gawain mula sa Unified State Examination at muli nating makikita kung gaano kahalaga na maingat na basahin ang kalagayan ng problema at bigyang-kahulugan ito ng tama.
Kaya ang unang gawain ay:
Gawain. 95% lamang at 37,500 nagtapos ng lungsod ang nakalutas ng tama sa problemang B1. Ilang tao ang wastong nalutas ang problema B1?
Sa unang sulyap, tila ito ay isang uri ng gawain para sa mga takip. Gaya ng:
Gawain. May 7 ibon sa puno. 3 sa kanila ay lumipad. Ilang ibon na ang lumipad?
Gayunpaman, gawin natin ang matematika. Kami ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng mga sukat. Kaya, mayroon kaming 37,500 mga mag-aaral - ito ay 100%. At mayroon ding isang tiyak na bilang ng x ng mga mag-aaral, na kung saan ay 95% ng mga napakaswerteng nalutas nang tama ang problema B1. Isinulat namin ito:
37 500 — 100%
X - 95%
Kailangan mong gumawa ng isang proporsyon at hanapin ang x. Nakukuha namin:
Bago tayo klasikal na proporsyon, ngunit bago gamitin ang pangunahing ari-arian at i-multiply ito nang crosswise, iminumungkahi kong hatiin ang parehong bahagi ng equation sa 100. Sa madaling salita, i-cross out namin ang dalawang zero sa numerator ng bawat fraction. Isulat muli natin ang resultang equation:
Ayon sa pangunahing pag-aari ng proporsyon, ang produkto ng mga matinding termino ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino. Sa ibang salita:
x = 375 95
maganda ito malalaking numero, kaya kailangan mong i-multiply ang mga ito sa isang column. Ipinaaalala ko sa iyo na mahigpit na ipinagbabawal ang paggamit ng calculator sa pagsusulit sa matematika. Nakukuha namin:
x = 35625
Kabuuang sagot: 35,625. Iyan ay kung gaano karaming mga tao sa orihinal na 37,500 na nalutas nang tama ang problema B1. Tulad ng nakikita mo, ang mga numerong ito ay medyo malapit, na makatuwiran dahil ang 95% ay napakalapit din sa 100%. Sa pangkalahatan, ang unang gawain ay nalutas. Lumipat tayo sa pangalawa.
Problema sa interes #2
Gawain. 80% lamang ng 45,000 nagtapos ng lungsod ang nakalutas ng tama sa problemang B9. Ilang tao ang hindi nalutas nang tama ang problema B9?
We solve in the same way. Sa una, mayroong 45,000 nagtapos - ito ay 100%. Pagkatapos, ang mga x graduate ay dapat mapili mula sa numerong ito, na dapat ay 80% ng orihinal na numero. Gumagawa kami ng isang proporsyon at lutasin:
45 000 — 100%
x - 80%
Bawasan natin ang isang zero sa numerator at denominator ng 2nd fraction. Muli nating isulat muli ang resultang konstruksiyon:
Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon: ang produkto ng mga matinding termino ay katumbas ng produkto ng mga gitna. Nakukuha namin:
45,000 8 = x 10
Ito ang pinakasimple linear equation. Ipahayag natin ang variable na x mula dito:
x = 45,000 8:10
Binabawasan namin ang isang zero sa 45,000 at sa 10, ang denominator ay nananatiling isa, kaya ang kailangan lang namin ay hanapin ang halaga ng expression:
x = 4500 8
Maaari mong, siyempre, gawin ang parehong bilang huling beses, at i-multiply ang mga numerong ito sa isang column. Ngunit huwag nating gawing mahirap ang buhay para sa ating sarili, at sa halip na i-multiply sa isang hanay, nabubulok natin ang walo sa mga salik:
x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36,000
At ngayon - ang pinakamahalagang bagay na napag-usapan ko sa pinakadulo simula ng aralin. Kailangan mong maingat na basahin ang kalagayan ng problema!
Ano ang kailangan nating malaman? Ilang tao ang nakalutas ng problema B9 hindi tama. At natagpuan lang namin ang mga taong nagdesisyon nang tama. Ang mga ito ay naging 80% ng orihinal na numero, ibig sabihin. 36,000. Nangangahulugan ito na upang makuha ang pinal na sagot, ang ating 80% ay dapat ibawas sa orihinal na bilang ng mga mag-aaral. Nakukuha namin:
45 000 − 36 000 = 9000
Ang resultang numero 9000 ay ang sagot sa problema. Sa kabuuan, sa lungsod na ito, sa 45,000 nagtapos, 9,000 katao ang hindi nalutas nang tama ang problema B9. Lahat, ang gawain ay nalutas.
Mula sa punto ng view ng matematika, ang isang proporsyon ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios. Ang pagtutulungan ay katangian ng lahat ng bahagi ng proporsyon, pati na rin ang kanilang hindi nagbabagong resulta. Maiintindihan mo kung paano gumawa ng isang proporsyon sa pamamagitan ng pamilyar sa iyong sarili sa mga katangian at formula ng proporsyon. Upang maunawaan ang prinsipyo ng paglutas ng mga proporsyon, sapat na upang isaalang-alang ang isang halimbawa. Direktang paglutas lamang ng mga proporsyon, madali at mabilis mong matututunan ang mga kasanayang ito. At ang artikulong ito ay makakatulong sa mambabasa dito.
Mga katangian at formula ng proporsyon
- Pagbabaligtad ng proporsyon. Kung ang ibinigay na pagkakapantay-pantay ay mukhang 1a: 2b = 3c: 4d, isulat ang 2b: 1a = 4d: 3c. (Bukod dito, ang 1a, 2b, 3c at 4d ay mga pangunahing numero, maliban sa 0).
- pagpaparami ibinigay na mga miyembro cross proporsyon. AT literal na pagpapahayag ganito ang hitsura nito: 1a: 2b = 3c: 4d, at ang pagsulat ng 1a4d = 2b3c ay magiging katumbas nito. Kaya, ang produkto ng mga matinding bahagi ng anumang proporsyon (mga numero sa mga gilid ng pagkakapantay-pantay) ay palaging katumbas ng produkto gitnang bahagi (mga numerong matatagpuan sa gitna ng pagkakapantay-pantay).
- Kapag nag-compile ng isang proporsyon, ang gayong pag-aari nito bilang isang permutasyon ng sukdulan at gitnang mga termino ay maaari ding maging kapaki-pakinabang. Ang equality formula 1a: 2b = 3c: 4d ay maaaring ipakita sa mga sumusunod na paraan:
- 1a: 3c = 2b: 4d (kapag ang mga gitnang miyembro ng proporsyon ay muling inayos).
- 4d: 2b = 3c: 1a (kapag ang mga extreme na miyembro ng proporsyon ay muling inayos).
- Perpektong nakakatulong sa paglutas ng proporsyon ng pag-aari nito ng pagtaas at pagbaba. Gamit ang 1a: 2b = 3c: 4d, isulat ang:
- (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagtaas ng proporsyon).
- (1a - 2b): 2b = (3c - 4d): 4d (pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagpapababa ng proporsyon).
- Maaari kang lumikha ng mga proporsyon sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas. Kapag ang proporsyon ay isinulat bilang 1a:2b = 3c:4d pagkatapos ay:
- (1a + 3c): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (idinagdag ang proporsyon).
- (1a - 3c): (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (binabawas ang proporsyon).
- Gayundin, kapag nilulutas ang isang proporsyon na naglalaman ng fractional o malalaking numero, maaari mong hatiin o i-multiply ang parehong miyembro nito sa pamamagitan ng ang parehong numero. Halimbawa, ang mga bahagi ng proporsyon na 70:40=320:60 ay maaaring isulat nang ganito: 10*(7:4=32:6).
- Ang variant ng paglutas ng proporsyon na may mga porsyento ay ganito ang hitsura. Halimbawa, isulat, 30=100%, 12=x. Ngayon ay dapat mong i-multiply ang mga gitnang termino (12 * 100) at hatiin sa kilalang sukdulan (30). Kaya, ang sagot ay: x=40%. Sa parehong paraan posible, kung kinakailangan, upang i-multiply ang mga kilalang extreme terms at hatiin ang mga ito sa isang naibigay na average na numero, makuha ang nais na resulta.
Kung interesado ka sa isang tiyak na formula ng proporsyon, kung gayon sa pinakasimpleng at pinakakaraniwang bersyon, ang proporsyon ay tulad ng isang pagkakapantay-pantay (pormula): a / b \u003d c / d, kung saan ang a, b, c at d ay apat na hindi -zero na mga numero.
§ 125. Ang konsepto ng proporsyon.
Ang proporsyon ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios. Narito ang mga halimbawa ng pagkakapantay-pantay na tinatawag na mga proporsyon:
Tandaan. Ang mga pangalan ng mga dami sa mga proporsyon ay hindi ipinahiwatig.
Karaniwang binabasa ang mga proporsyon tulad ng sumusunod: Ang 2 ay nauugnay sa 1 (isa), dahil ang 10 ay nauugnay sa 5 (ang unang proporsyon). Maaari mo itong basahin nang iba, halimbawa: Ang 2 ay napakaraming beses na mas malaki kaysa sa 1, kung gaano karaming beses ang 10 ay mas malaki kaysa sa 5. Ang ikatlong proporsyon ay mababasa tulad ng sumusunod: - 0.5 ay napakaraming beses na mas mababa sa 2, kung gaano karaming beses 0.75 ay mas mababa sa 3.
Ang mga numero sa isang proporsyon ay tinatawag miyembro ng proporsyon. Samakatuwid, ang proporsyon ay binubuo ng apat na miyembro. Ang una at huling mga miyembro, ibig sabihin, ang mga miyembro na nakatayo sa mga gilid, ay tinatawag sukdulan, at ang mga termino ng proporsyon na nasa gitna ay tinatawag karaniwan mga miyembro. Nangangahulugan ito na sa unang proporsyon, ang mga numerong 2 at 5 ay magiging mga matinding miyembro, at ang mga numero 1 at 10 ay magiging mga gitnang miyembro ng proporsyon.
§ 126. Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon.
Isaalang-alang ang proporsyon:
Hiwalay naming i-multiply ang extreme at middle terms nito. Ang produkto ng matinding 6 4 \u003d 24, ang produkto ng average na 3 8 \u003d 24.
Isaalang-alang ang isa pang proporsyon: 10: 5 \u003d 12: 6. Hiwalay din naming i-multiply dito ang sukdulan at gitnang mga termino.
Ang produkto ng matinding 10 6 \u003d 60, ang produkto ng average na 5 12 \u003d 60.
Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon: ang produkto ng matinding termino ng proporsyon ay katumbas ng produkto ng gitnang termino nito.
AT pangkalahatang pananaw ang pangunahing pag-aari ng proporsyon ay nakasulat tulad ng sumusunod: ad = bc .
Suriin natin ito sa ilang mga proporsyon:
1) 12: 4 = 30: 10.
Ang proporsyon na ito ay totoo, dahil ang mga ratios kung saan ito ay binubuo ay pantay. Kasabay nito, ang pagkuha ng produkto ng mga matinding termino ng proporsyon (12 10) at ang produkto ng mga gitnang termino nito (4 30), makikita natin na sila ay katumbas ng bawat isa, i.e.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Tama ang proporsyon, na madaling i-verify sa pamamagitan ng pagpapasimple sa una at pangalawang relasyon. Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon ay kukuha ng anyo:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Madaling makita na kung isusulat natin ang gayong pagkakapantay-pantay, kung saan ang produkto ng alinmang dalawang numero ay nasa kaliwang bahagi, at ang produkto ng dalawa pang numero sa kanang bahagi, pagkatapos ay mula sa mga ito. apat na numero maaari kang gumawa ng isang proporsyon.
Magkaroon tayo ng pagkakapantay-pantay, na kinabibilangan ng apat na numero, na pinarami nang pares:
ang apat na numerong ito ay maaaring mga miyembro ng isang proporsyon, na hindi mahirap isulat, kung kukunin natin ang unang produkto bilang produkto ng matinding termino, at ang pangalawa bilang produkto ng mga nasa gitna. Ang nai-publish na pagkakapantay-pantay ay maaaring gawin, halimbawa, ang sumusunod na proporsyon:
Sa pangkalahatan, mula sa pagkakapantay-pantay ad = bc maaari mong makuha ang mga sumusunod na proporsyon:
Gawin ang sumusunod na ehersisyo sa iyong sarili. Dahil sa produkto ng dalawang pares ng mga numero, isulat ang proporsyon na naaayon sa bawat pagkakapantay-pantay:
a) 1 6 = 2 3;
b) 2 15 = b 5.
§ 127. Pagkalkula ng hindi kilalang mga miyembro ng proporsyon.
Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang alinman sa mga tuntunin ng proporsyon kung ito ay hindi alam. Kunin natin ang proporsyon:
X : 4 = 15: 3.
Sa proporsyon na ito, hindi alam ang isang matinding termino. Alam natin na sa bawat proporsyon ang produkto ng mga matinding termino ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino. Sa batayan na ito, maaari tayong sumulat:
x 3 = 4 15.
Matapos i-multiply ang 4 sa 15, maaari nating muling isulat ang equation na ito tulad ng sumusunod:
X 3 = 60.
Tingnan natin ang pagkakapantay-pantay na ito. Sa loob nito, ang unang kadahilanan ay hindi kilala, ang pangalawang kadahilanan ay kilala, at ang produkto ay kilala. Alam namin na upang makahanap ng hindi kilalang kadahilanan, sapat na upang hatiin ang produkto sa isa pang (kilalang) kadahilanan. Pagkatapos ito ay lalabas:
X = 60:3, o X = 20.
Suriin natin ang nahanap na resulta sa pamamagitan ng pagpapalit ng numero 20 sa halip na X sa proporsyon na ito:
Tama ang proporsyon.
Pag-isipan natin kung anong mga aksyon ang kailangan nating gawin upang kalkulahin ang hindi alam na sukdulang termino ng proporsyon. Sa apat na miyembro ng proporsyon, isang sukdulan lamang ang hindi namin alam; dalawang middle at second extreme ang kilala. Upang mahanap ang matinding termino ng proporsyon, pinarami muna namin ang mga gitnang termino (4 at 15), at pagkatapos ay hinati ang produktong natagpuan sa kilalang extreme term. Ngayon ay ipapakita namin na ang mga aksyon ay hindi magbabago kung ang ninanais na matinding termino ng proporsyon ay wala sa unang lugar, ngunit sa huli. Kunin natin ang proporsyon:
70: 10 = 21: X .
Isulat natin ang pangunahing katangian ng proporsyon: 70 X = 10 21.
Ang pagpaparami ng mga numero 10 at 21, muling isusulat namin ang pagkakapantay-pantay sa form na ito:
70 X = 210.
Ang isang kadahilanan ay hindi alam dito, upang makalkula ito, sapat na upang hatiin ang produkto (210) sa isa pang kadahilanan (70),
X = 210: 70; X = 3.
Kaya, masasabi natin iyan ang bawat matinding miyembro ng proporsyon ay katumbas ng produkto ng mga average na hinati ng isa pang extreme.
Magpatuloy tayo ngayon sa pagkalkula ng hindi kilalang mean term. Kunin natin ang proporsyon:
30: X = 27: 9.
Isulat natin ang pangunahing pag-aari ng proporsyon:
30 9 = X 27.
Kinakalkula namin ang produkto ng 30 by 9 at muling ayusin ang mga bahagi ng huling pagkakapantay-pantay:
X 27 = 270.
Hanapin natin ang hindi kilalang kadahilanan:
X = 270: 27, o X = 10.
Suriin natin gamit ang isang pagpapalit:
30:10 = 27:9. Tama ang proporsyon.
Kumuha tayo ng isa pang proporsyon:
12:b= X : 8. Isulat natin ang pangunahing katangian ng proporsyon:
12 . 8 = 6 X . Ang pagpaparami ng 12 at 8 at muling pagsasaayos ng mga bahagi ng equation, nakukuha natin:
6 X = 96. Hanapin ang hindi alam na salik:
X = 96:6, o X = 16.
kaya, lahat gitnang miyembro ang proporsyon ay katumbas ng produkto ng mga sukdulan, na hinati sa isa pang average.
Hanapin ang mga hindi kilalang termino ng mga sumusunod na proporsyon:
1) a : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .
Dalawa pinakabagong mga patakaran sa pangkalahatan maaari itong isulat tulad nito:
1) Kung ang proporsyon ay mukhang:
x: a = b: c , pagkatapos
2) Kung ang proporsyon ay mukhang:
a: x = b: c , pagkatapos
§ 128. Pagpapasimple ng proporsyon at muling pagsasaayos ng mga miyembro nito.
Sa seksyong ito, kukuha kami ng mga panuntunan na nagbibigay-daan sa aming pasimplehin ang proporsyon sa kaso kapag may kasama itong malalaking numero o fractional na termino. Ang mga pagbabagong hindi lumalabag sa proporsyon ay kinabibilangan ng mga sumusunod:
1. Sabay-sabay na pagtaas o pagbaba ng parehong miyembro ng anumang ratio sa parehong bilang ng beses.
HALIMBAWA 40:10 = 60:15.
Sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong termino ng unang kaugnayan sa pamamagitan ng 3 beses, nakukuha natin ang:
120:30 = 60: 15.
Hindi nagbago ang proporsyon.
Ang pagbabawas ng parehong mga termino ng pangalawang kaugnayan ng 5 beses, nakukuha natin ang:
Nakuha namin muli ang tamang proporsyon.
2. Sabay-sabay na pagtaas o pagbaba ng parehong nauna o parehong kasunod na termino sa parehong bilang ng beses.
Halimbawa. 16:8 = 40:20.
Doblehin natin ang mga nakaraang miyembro ng parehong relasyon:
Nakuha ang tamang proporsyon.
Bawasan natin ng 4 na beses ang mga susunod na termino ng parehong relasyon:
Hindi nagbago ang proporsyon.
Ang dalawang konklusyong nakuha ay maaaring ibuod tulad ng sumusunod: Ang proporsyon ay hindi malalabag kung sabay-sabay nating tataas o babawasan ang sinumang matinding miyembro ng proporsyon at alinmang gitna sa parehong bilang ng beses.
Halimbawa, sa pamamagitan ng pagbabawas ng 1st extreme at 2nd middle na miyembro ng proporsyon na 16:8 = 40:20 ng 4 na beses, nakukuha natin ang:
3. Sabay-sabay na pagtaas o pagbaba ng lahat ng miyembro ng proporsyon sa parehong bilang ng beses. Halimbawa. 36:12 = 60:20. Dagdagan natin ang lahat ng apat na numero ng 2 beses:
Hindi nagbago ang proporsyon. Bawasan natin ang lahat ng apat na numero ng 4 na beses:
Tama ang proporsyon.
Ang mga nakalistang pagbabago ay ginagawang posible, una, upang gawing simple ang mga proporsyon, at pangalawa, upang palayain ang mga ito mula sa mga fractional na miyembro. Magbigay tayo ng mga halimbawa.
1) Hayaang magkaroon ng isang proporsyon:
200: 25 = 56: x .
Sa loob nito, ang mga tuntunin ng unang kaugnayan ay medyo malalaking numero, at kung nais nating mahanap ang halaga X , pagkatapos ay kailangan nating magsagawa ng mga kalkulasyon sa mga numerong ito; ngunit alam natin na ang proporsyon ay hindi nilalabag kung ang parehong mga tuntunin ng ratio ay hinati sa parehong numero. Hatiin ang bawat isa sa kanila ng 25. Ang proporsyon ay kukuha ng anyo:
8:1 = 56: x .
Kaya nakuha namin ang isang mas maginhawang proporsyon, kung saan X makikita sa isip:
2) Kunin ang proporsyon:
2: 1 / 2 = 20: 5.
Sa proporsyon na ito mayroong isang fractional term (1 / 2), kung saan maaari mong mapupuksa. Upang gawin ito, kailangan nating i-multiply ang terminong ito, halimbawa, sa 2. Ngunit wala tayong karapatang dagdagan ang gitnang termino ng proporsyon; ito ay kinakailangan, kasama nito, upang madagdagan ang isa sa mga matinding termino; pagkatapos ay ang proporsyon ay hindi lalabag (batay sa unang dalawang puntos). Dagdagan natin ang una sa mga matinding termino
(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5, o 4: 1 = 20:5.
Dagdagan natin ang pangalawang extreme term:
2: (2 1/2) = 20: (2 5), o 2: 1 = 20:10.
Isaalang-alang natin ang tatlo pang halimbawa ng pagpapalaya ng proporsyon mula sa mga fractional na miyembro.
Halimbawa 1. 1/4: 3/8 = 20:30.
Dalhin ang mga fraction sa karaniwang denominador:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Ang pagpaparami ng parehong termino ng unang kaugnayan sa pamamagitan ng 8, nakukuha natin:
Halimbawa 2. 12: 15 / 14 \u003d 16: 10 / 7. Dalhin natin ang mga fraction sa isang common denominator:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
I-multiply namin ang parehong kasunod na termino sa 14, nakukuha namin ang: 12:15 \u003d 16:20.
Halimbawa 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.
I-multiply natin ang lahat ng termino ng proporsyon sa 48:
24: 1 = 960: 40.
Kapag nilulutas ang mga problema kung saan nagaganap ang ilang proporsyon, kadalasang kinakailangan na muling ayusin ang mga tuntunin ng proporsyon para sa iba't ibang layunin. Isaalang-alang kung aling mga permutasyon ang legal, ibig sabihin, hindi lumalabag sa mga proporsyon. Kunin natin ang proporsyon:
3: 5 = 12: 20. (1)
Ang muling pagsasaayos ng mga matinding termino dito, nakukuha natin:
20: 5 = 12:3. (2)
Inaayos namin ngayon ang mga gitnang termino:
3:12 = 5: 20. (3)
Muli naming inaayos ang parehong extreme at middle terms nang sabay-sabay:
20: 12 = 5: 3. (4)
Ang lahat ng mga proporsyon na ito ay tama. Ngayon ilagay natin ang unang kaugnayan sa lugar ng pangalawa, at ang pangalawa sa lugar ng una. Kunin ang proporsyon:
12: 20 = 3: 5. (5)
Sa proporsyon na ito, gagawin namin ang parehong mga permutasyon na ginawa namin dati, ibig sabihin, muling ayusin namin ang mga matinding termino, pagkatapos ay ang mga gitna, at, sa wakas, ang parehong sukdulan at ang gitna sa parehong oras. Tatlo pang proporsyon ang lalabas, na magiging patas din:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Kaya, mula sa isang ibinigay na proporsyon, sa pamamagitan ng muling pagsasaayos, maaari kang makakuha ng 7 higit pang mga proporsyon, na kasama ng isang ito ay gumagawa ng 8 proporsyon.
Ang bisa ng lahat ng mga proporsyon na ito ay lalong madaling maihayag kapag pagpasok ng liham. Ang 8 proporsyon na nakuha sa itaas ay nasa anyo:
a: b = c: d; c:d = a:b;
d:b = c:a; b:d = a:c;
a:c = b:d; c:a = d:b;
d:c=b:a; b:a = d:c.
Madaling makita na sa bawat isa sa mga proporsyon na ito ang pangunahing ari-arian ay nasa anyo:
ad = b.c.
Kaya, ang mga permutasyong ito ay hindi lumalabag sa pagiging patas ng proporsyon at maaari silang gamitin kung kinakailangan.
Sa huling video tutorial, isinasaalang-alang namin ang paglutas ng mga problema sa porsyento gamit ang mga proporsyon. Pagkatapos, ayon sa kondisyon ng problema, kailangan naming hanapin ang halaga ng isa o ibang dami.
Sa pagkakataong ito, ang paunang at panghuling halaga ay naibigay na sa amin. Samakatuwid, sa mga gawain ay kakailanganing maghanap ng mga porsyento. Mas tiyak, sa kung anong porsyento ang pagbabago nito o ang halagang iyon. Subukan Natin.
Gawain. Ang mga sneaker ay nagkakahalaga ng 3200 rubles. Matapos ang pagtaas ng presyo, nagsimula silang gumastos ng 4000 rubles. Sa anong porsyento ang pagtaas ng presyo ng mga sneaker?
Kaya, nalulutas namin sa pamamagitan ng proporsyon. Ang unang hakbang - ang orihinal na presyo ay katumbas ng 3200 rubles. Samakatuwid, ang 3200 rubles ay 100%.
Bilang karagdagan, binigyan kami ng pangwakas na presyo - 4000 rubles. Ito ay isang hindi kilalang porsyento, kaya't tukuyin natin ito bilang x . Nakukuha namin ang sumusunod na konstruksyon:
3200 — 100%
4000 - x%
Well, ang kondisyon ng problema ay nakasulat. Gumagawa kami ng isang proporsyon:
Ang fraction sa kaliwa ay perpektong nababawasan ng 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Bilang karagdagan, maaari mong bawasan ng 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Nakukuha namin ang sumusunod na proporsyon:
Gamitin natin ang pangunahing pag-aari ng proporsyon: ang produkto ng mga matinding termino ay katumbas ng produkto ng mga nasa gitna. Nakukuha namin:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Ito ang karaniwang linear equation. Mula dito makikita natin ang x :
x=1000:8=125
Kaya, nakuha namin ang huling porsyento x = 125. Ngunit ang bilang 125 ba ang solusyon sa problema? Hindi pwede! Dahil ang gawain ay nangangailangan sa iyo na malaman kung gaano karaming porsyento ang pagtaas ng presyo ng mga sneaker.
Kung gaano karaming porsyento - nangangahulugan ito na kailangan nating maghanap ng pagbabago:
∆ = 125 − 100 = 25
Nakakuha kami ng 25% - iyan ang itinaas sa orihinal na presyo. Ito ang sagot: 25.
Problema B2 para sa interes #2
Lumipat tayo sa pangalawang gawain.
Gawain. Ang shirt ay nagkakahalaga ng 1800 rubles. Matapos ang pagbawas ng presyo, nagsimula itong nagkakahalaga ng 1530 rubles. Ilang porsyento ang nabawas sa presyo ng kamiseta?
Isinasalin namin ang kundisyon sa wikang matematikal. Ang paunang presyo ng 1800 rubles ay 100%. At ang huling presyo ay 1530 rubles - alam namin ito, ngunit hindi alam kung gaano karaming porsyento ito ng orihinal na halaga. Samakatuwid, tinutukoy namin ito ng x. Nakukuha namin ang sumusunod na konstruksyon:
1800 — 100%
1530 - x%
Batay sa resultang record, binubuo namin ang proporsyon:
Paghiwalayin natin ang parehong bahagi upang gawing simple ang mga karagdagang kalkulasyon. ibinigay na equation sa pamamagitan ng 100. Sa madaling salita, ang numerator ng kaliwa at tamang fraction tatawid tayo ng dalawang zero. Nakukuha namin:
Ngayon ay muli nating gamitin ang pangunahing pag-aari ng proporsyon: ang produkto ng matinding termino ay katumbas ng produkto ng karaniwan.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Ito ay nananatili upang mahanap ang x :
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Nakuha namin ang x = 85. Ngunit, tulad ng sa nakaraang problema, ang numerong ito mismo ay hindi ang sagot. Balik tayo sa ating kalagayan. Alam na natin ngayon na ang bagong presyo pagkatapos ng pagbawas ay 85% ng lumang presyo. At upang mahanap ang mga pagbabago, kailangan mo mula sa lumang presyo, i.e. 100%, ibawas bagong presyo, ibig sabihin. 85%. Nakukuha namin:
∆ = 100 − 85 = 15
Ang numerong ito ang magiging sagot: Pakitandaan: eksaktong 15, at sa anumang kaso ay 85. Iyon lang! Nalutas ang problema.
Ang matulungin na mga mag-aaral ay malamang na magtanong: bakit sa unang gawain, kapag nahanap ang pagkakaiba, ibinawas namin ang paunang numero mula sa huling numero, at sa pangalawang gawain ay ginawa namin ang eksaktong kabaligtaran: mula sa paunang 100% ay ibinawas namin ang huling 85%?
Linawin natin ito. Sa pormal na paraan, sa matematika, ang pagbabago sa dami ay palaging ang pagkakaiba sa pagitan pangwakas na halaga at inisyal. Sa madaling salita, sa pangalawang problema, hindi dapat 15, kundi -15.
Gayunpaman, sa anumang kaso ay hindi dapat isama ang minus na ito sa sagot, dahil ito ay isinasaalang-alang na sa kondisyon ng orihinal na problema. Sinasabi doon mismo ang tungkol sa pagbabawas ng presyo. Ang 15% na pagbaba ng presyo ay kapareho ng isang -15% na pagtaas ng presyo. Iyon ang dahilan kung bakit sa solusyon at sagot ng problema ay sapat na upang magsulat lamang ng 15 - nang walang anumang mga minus.
Lahat, sana, sa sandaling ito ay naunawaan natin. Ito ang nagtatapos sa ating aralin para sa araw na ito. Hanggang sa muli!
