Kapag ang isang estudyante ay pumunta sa mataas na paaralan, ang matematika ay nahahati sa 2 paksa: algebra at geometry. Parami nang parami ang mga konsepto, nagiging mas mahirap ang mga gawain. May mga taong nahihirapang umunawa ng mga fraction. Hindi nakuha ang unang aralin sa paksang ito, at voila. mga fraction? Isang tanong na magpapahirap sa buong buhay paaralan.

Ang konsepto ng algebraic fraction

Magsimula tayo sa isang kahulugan. Sa ilalim algebraic fraction Nauunawaan ang mga expression ng P/Q, kung saan ang P ay ang numerator at ang Q ay ang denominator. Sa ilalim alpabetikong notasyon maaaring magtago ng numero, numeric na expression, numerical-alphabetic na expression.

Bago ka magtaka kung paano malutas algebraic fractions Una sa lahat, kailangan mong maunawaan iyon katulad na pagpapahayag- bahagi ng kabuuan.

Bilang isang tuntunin, ang kabuuan ay 1. Ang numero sa denominator ay nagpapakita kung gaano karaming mga bahagi ang yunit ay hinati. Ang numerator ay kailangan upang malaman kung gaano karaming mga elemento ang kinuha. Ang fractional bar ay tumutugma sa tanda ng dibisyon. Pinapayagan ang pag-record fractional expression bilang isang mathematical operation na "Division". Sa kasong ito, ang numerator ay ang dibidendo, ang denominator ay ang divisor.

Ang pangunahing panuntunan para sa mga karaniwang fraction

Kapag pumasa ang mga estudyante ang paksang ito sa paaralan, binibigyan sila ng mga halimbawa upang palakasin. Upang malutas ang mga ito nang tama at mahanap iba't ibang paraan mula sa mahirap na mga sitwasyon, kailangan mong ilapat ang pangunahing katangian ng mga fraction.

Parang ganito: Kung i-multiply mo ang numerator at ang denominator sa parehong numero o expression (maliban sa zero), kung gayon ang halaga karaniwang fraction Hindi magbabago. Isang espesyal na kaso mula sa panuntunang ito ay ang paghahati ng parehong bahagi ng expression sa parehong numero o polynomial. Ang ganitong mga pagbabago ay tinatawag na magkaparehong pagkakapantay-pantay.

Sa ibaba ay isasaalang-alang natin kung paano lutasin ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction, upang maisagawa ang multiplikasyon, paghahati at pagbabawas ng mga fraction.

Mga pagpapatakbo ng matematika na may mga fraction

Isaalang-alang kung paano lutasin ang pangunahing katangian ng isang algebraic fraction, kung paano ilapat ito sa pagsasanay. Kung kailangan mong magparami ng dalawang fraction, idagdag ang mga ito, hatiin ang isa sa isa, o ibawas, dapat mong palaging sundin ang mga patakaran.

Kaya, para sa pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas, dapat mahanap ng isa karagdagang multiplier upang magdala ng mga ekspresyon sa karaniwang denominador. Kung sa simula ang mga fraction ay ibinibigay sa ang parehong mga expression Q, pagkatapos ay kailangan mong alisin ang item na ito. Kapag natagpuan ang isang karaniwang denominator, paano lutasin ang mga algebraic fraction? Magdagdag o magbawas ng mga numerator. Ngunit! Dapat tandaan na kung mayroong "-" sign sa harap ng fraction, ang lahat ng mga palatandaan sa numerator ay baligtad. Minsan hindi ka dapat gumawa ng anumang mga pamalit at mga operasyong matematikal. Ito ay sapat na upang baguhin ang sign sa harap ng fraction.

Ang termino ay kadalasang ginagamit bilang pagbawas ng fraction. Nangangahulugan ito ng sumusunod: kung ang numerator at denominator ay nahahati sa isang expression maliban sa pagkakaisa (pareho para sa parehong mga bahagi), pagkatapos ay isang bagong fraction ang makukuha. Ang dibidendo at divisor ay mas maliit kaysa dati, ngunit dahil sa pangunahing tuntunin ng mga fraction ay nananatili silang katumbas ng orihinal na halimbawa.

Ang layunin ng operasyong ito ay upang makakuha ng bagong hindi mababawasang ekspresyon. Magpasya ang gawaing ito posible, kung bawasan natin ang numerator at denominator ng pinakamalaki karaniwang divisor. Ang algorithm ng operasyon ay binubuo ng dalawang puntos:

1. Paghahanap ng GCD para sa parehong bahagi ng isang fraction.
2. Ang paghahati sa numerator at denominator sa nahanap na expression at pagkuha ng isang hindi mababawasan na fraction na katumbas ng nauna.

Ang talahanayan sa ibaba ay nagpapakita ng mga formula. Para sa kaginhawahan, maaari mo itong i-print at dalhin ito sa isang notebook. Gayunpaman, upang sa hinaharap, kapag nilutas ang isang kontrol o pagsusulit, walang mga paghihirap sa tanong kung paano malutas ang mga algebraic fraction, sinabi formula dapat matutunan ng puso.

Ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon

Sa teoretikal na punto Isinasaalang-alang ng view ang tanong kung paano lutasin ang mga algebraic fraction. Ang mga halimbawang ibinigay sa artikulo ay makakatulong sa iyo na mas maunawaan ang materyal.

1. I-convert ang mga fraction at dalhin ang mga ito sa isang common denominator.

2. I-convert ang mga fraction at dalhin ang mga ito sa isang common denominator.

Matapos pag-aralan ang teoretikal na bahagi at pagsasaalang-alang praktikal na mga isyu hindi dapat mangyari muli.

Mga layunin:

1. pang-edukasyon- pagsama-samahin ang nakuhang kaalaman at kasanayan sa pagbabawas ng mga algebraic fraction kapag nagso-solve ng higit pa mahirap na pagsasanay, paglalapat ng factorization ng isang polynomial sa iba't ibang paraan, upang maisagawa ang kakayahang bawasan ang mga algebraic fraction. Ulitin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: (a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 =isang 2 -2ab+b2,isang 2 -b 2 =(a+b)(a-b), paraan ng pagpapangkat, na inaalis ang karaniwang salik sa mga bracket.

2. Pagbuo - pagbuo ng lohikal na pag-iisip para sa malay-tao na pang-unawa materyal na pang-edukasyon, atensyon, aktibidad ng mga mag-aaral sa aralin.

3. Pangangalaga - pagpapalaki aktibidad na nagbibigay-malay, pagbuo mga personal na katangian: katumpakan at kalinawan pandiwang pagpapahayag mga kaisipan; konsentrasyon at atensyon; tiyaga at pananagutan, positibong pagganyak na pag-aralan ang paksa, kawastuhan, pagiging matapat at isang pakiramdam ng responsibilidad.

Mga gawain:

1. Upang pagsamahin ang pinag-aralan na materyal, pagbabago ng mga uri ng trabaho, sa paksang ito "Algebraic fraction. Pagbawas ng mga fraction.

2. Bumuo ng mga kasanayan at kakayahan, sa pagbabawas ng algebraic fractions gamit iba't ibang paraan factorization ng numerator at denominator, bumuo lohikal na pag-iisip, tama at may kakayahan pagsasalita sa matematika, pag-unlad ng kalayaan at pagtitiwala sa kanilang kaalaman at kasanayan kapag gumaganap iba't ibang uri gumagana.

3. Itaas ang interes sa matematika sa pamamagitan ng pagpapakilala ng iba't ibang uri ng pagsasama-sama ng materyal: gawaing pasalita, magtrabaho sa isang aklat-aralin, magtrabaho sa pisara, mathematical dictation, pagsubok, malayang gawain, laro " Math Tournament»; pagpapasigla at paghikayat sa mga aktibidad ng mga mag-aaral.

Plano:
ako. Oras ng pag-aayos.
II . gawaing pasalita.
III. Pagdidikta sa matematika.
IV.
1. Magtrabaho ayon sa aklat at sa pisara.
2. Magtrabaho sa mga grupo sa mga card - ang larong "Mathematical Tournament".
3. Pansariling gawain ayon sa mga antas (A, B, C).
v. kinalabasan.
1. Pagsubok (mutual verification).
VI. Takdang aralin.

Sa panahon ng mga klase:

I. Pansamahang sandali.

Emosyonal na kalooban at kahandaan ng guro at mga mag-aaral para sa aralin. Ang mga mag-aaral ay nagtatakda ng mga layunin at layunin ang araling ito, sa mga nangungunang tanong ng guro, tukuyin ang paksa ng aralin.

II. gawaing pasalita.

1. Bawasan ang mga fraction:

2. Hanapin ang halaga ng algebraic fraction:
sa c = 8, c = -13, c = 11.
Sagot: 6; -isa; 3.

3. Sagutin ang mga tanong:

1) Ano ang kapaki-pakinabang na pagkakasunud-sunod sa factoring polynomials?
(Kapag nagfa-factor ng polynomials, kapaki-pakinabang na obserbahan ang sumusunod na pagkakasunud-sunod: a) take out karaniwang salik para sa panaklong, kung mayroon man; b) subukang i-factor ang polynomial gamit ang mga pinaikling pormula ng multiplikasyon; c) subukang ilapat ang paraan ng pagpapangkat kung ang mga naunang pamamaraan ay hindi humantong sa layunin).

2) Ano ang parisukat ng kabuuan?
(Ang parisukat ng kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng parisukat unang numero plus dalawang beses ang produkto ng unang numero at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang numero).

3) Ano ang parisukat ng pagkakaiba?
(Ang parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero ay katumbas ng parisukat ng unang numero na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng unang numero at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang numero.)

4) Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng dalawang numero?
(Ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga numerong ito at ang kanilang kabuuan).

5) Ano ang kailangang gawin kapag gumagamit ng paraan ng pagpapangkat? (Upang i-factor ang isang polynomial sa pamamagitan ng paraan ng pagpapangkat, kailangan mong: a) pagsamahin ang mga miyembro ng polynomial sa mga pangkat na may isang karaniwang kadahilanan sa anyo ng isang polynomial; b) alisin ang karaniwang salik na ito sa mga bracket).
6) Upang alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, kailangan mo ng ......?
(Hanapin ang karaniwang salik na ito; 2. alisin ito sa mga bracket).

7) Anong mga paraan ng pag-factor ng polynomial ang alam mo?
(Bracketing the common factor, grouping method, abbreviated multiplication formulas).

8) Ano ang kailangan para mabawasan ang fraction?
(Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator sa kanilang karaniwang salik).

III. Pagdidikta sa matematika.

1. Salungguhitan ang mga algebraic fraction:

Opsyon ko:

II opsyon:

1. Posible bang kumatawan sa expression

Opsyon ko:

II opsyon:

bilang isang polynomial? Kung maaari mong isipin?

3. Anong mga halaga ng titik ang wasto para sa pagpapahayag:
Opsyon ko:

II opsyon:
(x-5)(x+7).

4. Sumulat ng algebraic fraction na may numerator
Opsyon ko:
3x2.
II opsyon:
5y.
at denominador

Opsyon ko:
x(x+3).
II opsyon:
y 2 (y+7).
at paikliin ito.

IV. Pagsasama-sama ng paksa: “Algebraic fraction. Pagbawas ng mga fraction ":

1. Magtrabaho ayon sa aklat at sa pisara.

I-factor ang numerator at denominator ng isang fraction at bawasan ito.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2. Magtrabaho sa mga grupo sa mga card - ang larong "Mathematical Tournament".

(Mga gawain para sa laro - "Appendix 1".)
Ang pagsasama-sama at pagsubok ng mga kasanayan sa paglutas ng mga halimbawa sa paksang ito ay isinasagawa sa anyo ng isang paligsahan. Ang klase ay nahahati sa mga grupo at sila ay inaalok ng mga gawain sa mga card (mga card ng iba't ibang antas).
Sa pamamagitan ng tiyak na oras, dapat isulat ng bawat mag-aaral ang solusyon sa mga gawain ng kanyang pangkat sa isang kuwaderno at maipaliwanag ang mga ito.
Ang mga konsultasyon sa loob ng pangkat ay pinapayagan (ang mga ito ay isinasagawa ng kapitan).
Pagkatapos ay magsisimula ang paligsahan: ang bawat koponan ay may karapatang hamunin ang iba, ngunit isang beses lamang. Halimbawa, tinawag ng kapitan ng unang pangkat ang mga mag-aaral mula sa pangalawang pangkat upang lumahok sa paligsahan; ganoon din ang ginagawa ng kapitan ng pangalawang koponan, pumunta sila sa board, makipagpalitan ng mga card at mag-solve ng mga gawain, atbp.

3. Malayang gawain ayon sa mga antas (A, B, C)

"Didactic material" L.I. Zvavich et al., p. 95, p-52. (Lahat ng estudyante ay may aklat)
PERO . №1: I opsyon-1) a, b; 2) a, c; 5) a.
II opsyon-1) c, d; 2) b, d, 5) c.
B . №2: Pagpipilian I - a.
Pagpipilian II - b.
AT . №3: Pagpipilian I - a.
Pagpipilian II - b.

v. kinalabasan.

1. Pagsubok (mutual verification).
(Mga gawain para sa pagsusulit - "Appendix 2".)
(sa mga card para sa bawat mag-aaral, ayon sa mga opsyon)

VI. Takdang aralin.

1) "D.M." pahina 95 Blg. 1. (3,4,6);
2) Blg. 447 (kahit);
3) §24, ulitin ang §19 - §23.

Ang pagbabawas ng mga fraction ay kinakailangan upang dalhin ang fraction sa isang mas simpleng anyo, halimbawa, sa sagot na nakuha bilang isang resulta ng paglutas ng expression.

Pagbawas ng mga fraction, kahulugan at formula.

Ano ang pagbawas ng fraction? Ano ang ibig sabihin ng pagbabawas ng isang fraction?

Kahulugan:
Pagbabawas ng fraction ay ang paghahati ng numerator at denominator sa parehong fraction positibong numero hindi sero at yunit. Bilang resulta ng pagbabawas, ang isang fraction na may mas maliit na numerator at denominator ay nakuha, katumbas ng nakaraang fraction ayon sa.

Formula ng pagbawas ng fraction pangunahing ari-arian mga rational na numero.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Bawasan ang fraction \(\frac(9)(15)\)

Desisyon:
Maaari naming i-faction ang isang fraction sa prime factor at bawasan ang mga common factor.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Sagot: pagkatapos ng pagbabawas nakuha namin ang fraction \(\frac(3)(5)\). Ayon sa pangunahing pag-aari ng mga rational na numero, ang inisyal at nagreresultang mga fraction ay pantay.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Paano bawasan ang mga fraction? Pagbawas ng isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo.

Upang makakuha tayo ng hindi mababawasang bahagi bilang resulta, kailangan natin hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) para sa numerator at denominator ng isang fraction.

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang GCD, gagamitin namin ang decomposition ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan sa halimbawa.

Kunin ang irreducible fraction \(\frac(48)(136)\).

Desisyon:
Hanapin ang GCD(48, 136). Isulat natin ang mga numerong 48 at 136 sa mga pangunahing salik.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(pula) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Ang panuntunan para sa pagbabawas ng isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo.

1. Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor para sa numerator at denominator.
2. Kailangan mong hatiin ang numerator at denominator sa pinakamalaking karaniwang divisor bilang resulta ng paghahati upang makakuha ng hindi mababawasang bahagi.

Halimbawa:
Bawasan ang fraction \(\frac(152)(168)\).

Desisyon:
Hanapin ang GCD(152, 168). Isulat natin ang mga numerong 152 at 168 sa mga pangunahing salik.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Sagot: Ang \(\frac(19)(21)\) ay isang irreducible fraction.

Pagpapaikli ng isang improper fraction.

Paano mag-cut hindi wastong bahagi?
Ang mga patakaran para sa pagbabawas ng mga praksiyon para sa wasto at hindi wastong mga praksiyon ay pareho.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Bawasan ang hindi tamang fraction \(\frac(44)(32)\).

Desisyon:
Isulat natin ang numerator at denominator sa mga pangunahing salik. At pagkatapos ay binabawasan namin ang mga karaniwang kadahilanan.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Pagbawas ng mga pinaghalong fraction.

Ang mga pinaghalong fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran tulad ng mga ordinaryong fraction. Ang pinagkaiba lang ay kaya natin huwag hawakan ang buong bahagi, ngunit bawasan ang praksyonal na bahagi o I-convert ang mixed fraction sa improper fraction, bawasan at i-convert pabalik sa proper fraction.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Bawasan ang pinaghalong fraction \(2\frac(30)(45)\).

Desisyon:
Lutasin natin ito sa dalawang paraan:
Unang paraan:
Isusulat namin ang fractional na bahagi sa prime factor, at hindi namin hawakan ang integer na bahagi.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Pangalawang paraan:
Una, isinasalin natin sa isang hindi wastong bahagi, at pagkatapos ay isusulat natin ito sa mga pangunahing kadahilanan at bawasan ito. I-convert ang nagresultang improper fraction sa tamang fraction.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Mga kaugnay na tanong:
Maaari bang bawasan ang mga fraction kapag nagdaragdag o nagbabawas?
Sagot: hindi, kailangan mo munang magdagdag o magbawas ng mga fraction ayon sa mga patakaran, at pagkatapos ay bawasan. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Suriin ang expression na \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Desisyon:
Madalas silang nagkakamali sa pagputol parehong mga numero sa numerator at denominator sa aming kaso, ang numero ay 20, ngunit hindi sila maaaring bawasan hanggang sa magsagawa ka ng karagdagan at pagbabawas.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Sa anong numero maaari mong bawasan ang isang fraction?
Sagot: Maaari mong bawasan ang isang fraction ng pinakamalaking karaniwang divisor o ang karaniwang divisor ng numerator at denominator. Halimbawa, ang fraction \(\frac(100)(150)\).

Isulat natin ang mga numerong 100 at 150 sa mga pangunahing salik.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay ang bilang ng gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Nakuha namin ang irreducible fraction \(\frac(2)(3)\).

Ngunit hindi kinakailangan na laging hatiin sa GCD, hindi palaging kailangan ang isang hindi mababawasang bahagi, maaari mong bawasan ang bahagi sa pamamagitan ng isang simpleng divisor ng numerator at denominator. Halimbawa, ang numerong 100 at 150 ay may karaniwang divisor 2. Bawasan natin ang fraction na \(\frac(100)(150)\) ng 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Nakuha namin ang pinababang fraction \(\frac(50)(75)\).

Anong mga fraction ang maaaring bawasan?
Sagot: Maaari mong bawasan ang mga fraction kung saan ang numerator at denominator ay may isang karaniwang divisor. Halimbawa, ang fraction \(\frac(4)(8)\). Ang numero 4 at 8 ay may numero kung saan pareho silang nahahati sa bilang na ito 2. Samakatuwid, ang nasabing fraction ay maaaring bawasan ng bilang 2.

Halimbawa:
Paghambingin ang dalawang fraction na \(\frac(2)(3)\) at \(\frac(8)(12)\).

Ang dalawang fraction na ito ay pantay. Isaalang-alang ang bahaging \(\frac(8)(12)\) nang detalyado:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \beses 1=\frac(2)(3)\)

Mula dito nakukuha natin, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Ang dalawang fraction ay pantay-pantay kung at kung ang isa sa mga ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng isa pang fraction ng isang karaniwang salik ng numerator at denominator.

Halimbawa:
Bawasan ang mga sumusunod na fraction kung maaari: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Desisyon:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) hindi mababawasan na fraction
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ beses 5)=\frac(2)(5)\)

Unang antas

Pagbabagong ekspresyon. Detalyadong teorya (2019)

Pagbabago ng ekspresyon

Madalas nating marinig ito isang hindi kanais-nais na parirala: "pasimplehin ang expression." Karaniwan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lang!) ordinaryong numero(oo, sa impiyerno sa mga titik na iyon).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Basahin? Kung oo, handa ka na.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimple sa kanila ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Napagdaanan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan parang terms- ito at.

Naalala?

Upang magdala ng mga katulad na termino ay nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.

Ngunit paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Saka ano ang expression? Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito:

Upang hindi malito, hayaan iba't ibang titik kumakatawan sa iba't ibang bagay. Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:

Mga halimbawa:

Magdala ng katulad:

Mga sagot:

2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Ito ang kadalasang pinaka pangunahing bahagi sa pagpapasimple ng mga ekspresyon. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang nagreresultang expression ay dapat na isasaalang-alang, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: pagkatapos ng lahat, upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga detalyadong pamamaraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, lutasin ang ilan mga halimbawa(isasaalang-alang):

Mga solusyon:

3. Pagbabawas ng fraction.

Buweno, ano ang maaaring mas maganda kaysa sa ekis ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Yan ang kagandahan ng abbreviation.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mo:

1) numerator at denominator i-factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang tanggalin.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Gusto kong makatawag pansin sa isa tipikal na pagkakamali kapag binabawasan. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon putulin- ibig sabihin hatiin numerator at denominator sa parehong numero.

Walang pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.

Halimbawa: kailangan mong gawing simple.

Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

"The smartest" will do this:.

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay nabubulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:

Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tandaan madaling paraan kung paano matukoy kung ang isang expression ay naka-factor:

Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing". Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi naka-factor (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang ayusin ito, lutasin ito sa iyong sarili ng ilang mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na i-factorize:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Pagdagdag at pagbawas ordinaryong fraction- kilalang kilala ang operasyon: naghahanap kami ng common denominator, pinarami namin ang bawat fraction sa nawawalang factor at idinagdag / ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominator at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Unang bagay dito pinaghalong fraction gawin silang mali, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa simple:

a) Ang mga denominador ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:

ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominator ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng common denominator na walang mga titik:

Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;

Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga simpleng salik:

Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idinaragdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Bumalik tayo sa mga titik. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

Binubulok namin ang mga denominator sa mga salik;

tukuyin ang mga karaniwang (magkaparehong) multiplier;

isulat ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang isang beses;

Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

Kaya ang karaniwang denominator ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominador, lahat lamang ng may iba't ibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

hanggang sa

hanggang sa

hanggang sa

sa degree.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan mo ang iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag nagdala ka ng mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Dito at paramihin. At i-multiply sa:

Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementarya na mga kadahilanan". Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.

Paano naman ang expression? Elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang expression na may mga titik ay isang analogue pangunahing mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.

Nakikita natin na ang parehong denominator ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).

Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

ayos! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang mga karaniwang kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang totoo ay:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Ngayon suriin natin.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito dapat nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito:

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Paano kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, pareho! Una sa lahat, gawin natin ito maximum na halaga Ang mga kadahilanan sa mga denominador ay pareho:

Bigyang-pansin: kung babaguhin mo ang mga palatandaan sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga senyales sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay mababaligtad muli. Bilang resulta, siya (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin nang buo ang unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idinagdag namin dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisusulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Ibig sabihin, ito ay ganito:

Hmm ... Sa mga fraction, malinaw kung ano ang gagawin. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan mong tiyakin na ang deuce ay magiging isang fraction! Tandaan: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling bigla mong nakalimutan). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na. At nasa unahan natin ang pinakasimpleng, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan sa pagbibilang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, pinaalalahanan kita.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!

Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit hindi iyon katulad ng isang ekspresyon na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Sa halip lamang mga operasyon sa aritmetika kailangan mong gawin ang algebraic, iyon ay, ang mga aksyon na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong gamitin ang i o alisin lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon mayroon tayong pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay i-represent ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idagdag:

Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

Ayan yun. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan. Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas. Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko nang eskematiko ang mga hakbang:

Ngayon ay ipapakita ko ang buong proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon na may pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.

2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang exception ay mga fraction na idinaragdag o ibinabawas mo: kung mayroon sila parehong denominador, pagkatapos ay ang pagbawas ay dapat iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At nangako sa simula pa lang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
• Pagbabawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
  1) numerator at denominator i-factorize
  2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

Sa artikulong ito, pagtutuunan natin ng pansin pagbabawas ng mga algebraic fraction. Una, alamin natin kung ano ang ibig sabihin ng terminong "pagbawas ng isang algebraic fraction", at alamin kung ang isang algebraic fraction ay palaging mababawasan. Susunod, nagbibigay kami ng isang panuntunan na nagpapahintulot sa amin na isagawa ang pagbabagong ito. Panghuli, isaalang-alang ang mga solusyon mga halimbawa ng katangian na magpapahintulot sa iyo na maunawaan ang lahat ng mga subtleties ng proseso.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng bawasan ang isang algebraic fraction?

Sa pag-aaral, napag-usapan namin ang pagbabawas nila. tinawag namin ang dibisyon ng numerator at denominator nito sa pamamagitan ng karaniwang salik. Halimbawa, ang karaniwang fraction na 30/54 ay maaaring bawasan ng 6 (iyon ay, hinati sa 6 ang numerator at denominator nito), na magdadala sa atin sa fraction na 5/9.

Ang pagbabawas ng isang algebraic fraction ay nauunawaan bilang isang katulad na aksyon. Bawasan ang algebraic fraction ay upang hatiin ang numerator at denominator nito sa isang karaniwang salik. Ngunit kung ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang ordinaryong fraction ay maaari lamang maging isang numero, kung gayon ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay maaaring isang polynomial, sa partikular, isang monomial o isang numero.

Halimbawa, ang isang algebraic fraction ay maaaring bawasan ng numero 3, na nagbibigay ng fraction . Posible ring bawasan ang variable x , na magreresulta sa expression . Ang orihinal na algebraic fraction ay maaaring bawasan ng monomial na 3 x, gayundin ng alinman sa mga polynomial x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y o 3 x 2 +6 x y .

Ang pinakalayunin ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ay upang makakuha ng isang fraction pa simpleng anyo, sa pinakamagandang kaso- isang irreducible fraction.

Ang anumang algebraic fraction ay napapailalim sa pagbawas?

Alam natin na ang mga ordinaryong fraction ay nahahati sa . Irreducible fractions ay walang mga karaniwang salik maliban sa pagkakaisa sa numerator at denominator, samakatuwid, hindi sila napapailalim sa pagbawas.

Ang mga algebraic fraction ay maaari o walang karaniwang numerator at denominator na mga salik. Sa pagkakaroon ng mga karaniwang kadahilanan, posibleng bawasan ang algebraic fraction. Kung walang mga karaniwang kadahilanan, kung gayon ang pagpapasimple ng algebraic fraction sa pamamagitan ng pagbawas nito ay imposible.

AT pangkalahatang kaso sa hitsura algebraic fraction, medyo mahirap matukoy kung posible bang isagawa ang pagbabawas nito. Walang alinlangan, sa ilang mga kaso ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator ay halata. Halimbawa, malinaw na nakikita na ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay may karaniwang salik na 3. Madali ding makita na ang isang algebraic fraction ay maaaring bawasan ng x, ng y, o kaagad ng x·y. Ngunit mas madalas, ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay hindi agad nakikita, at mas madalas, ito ay hindi umiiral. Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring bawasan ng x−1 , ngunit ang karaniwang salik na ito ay malinaw na wala sa notasyon. At isang algebraic fraction hindi maaaring bawasan dahil ang numerator at denominator nito ay walang mga karaniwang salik.

Sa pangkalahatan, ang tanong ng contractibility ng isang algebraic fraction ay napakahirap. At kung minsan ay mas madaling lutasin ang isang problema sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa isang algebraic fraction sa orihinal nitong anyo kaysa malaman kung ang fraction na ito ay maaaring paunang bawasan. Ngunit gayon pa man, may mga pagbabagong-anyo na sa ilang mga kaso ay nagpapahintulot, na may kaunting pagsisikap, upang mahanap ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator, kung mayroon man, o upang tapusin na ang orihinal na algebraic fraction ay hindi mababawasan. Ang impormasyong ito ay ibubunyag sa susunod na talata.

Panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction

Ang impormasyon ng mga nakaraang talata ay nagbibigay-daan sa iyo upang natural na madama ang mga sumusunod panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction, na binubuo ng dalawang hakbang:

• una, ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator ng orihinal na fraction ay matatagpuan;
• kung mayroon man, ang pagbabawas ng mga salik na ito ay isinasagawa.

Ang mga hakbang na ito ng inihayag na panuntunan ay nangangailangan ng paglilinaw.

Karamihan maginhawang paraan Ang paghahanap ng karaniwan ay ang pag-factorize ng mga polynomial sa numerator at denominator ng orihinal na algebraic fraction. Sa kasong ito, ang mga karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay agad na nakikita, o nagiging malinaw na walang mga karaniwang kadahilanan.

Kung walang karaniwang mga kadahilanan, maaari nating tapusin na ang algebraic fraction ay hindi mababawasan. Kung ang mga karaniwang kadahilanan ay natagpuan, pagkatapos ay sa ikalawang hakbang sila ay nabawasan. Ang resulta ay isang bagong bahagi ng isang mas simpleng anyo.

Ang panuntunan ng pagbabawas ng mga algebraic fraction ay batay sa pangunahing katangian ng isang algebraic fraction, na ipinahayag ng pagkakapantay-pantay , kung saan ang a , b at c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero. Sa unang hakbang, ang orihinal na algebraic fraction ay binabawasan sa anyo , kung saan makikita ang karaniwang salik c, at sa pangalawang hakbang, ang pagbabawas ay isinasagawa - ang paglipat sa fraction .

Lumipat tayo sa paglutas ng mga halimbawa gamit ang panuntunang ito. Sa kanila, susuriin namin ang lahat ng posibleng mga nuances na lumitaw kapag nabubulok ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction sa mga kadahilanan at kasunod na pagbawas.

Mga karaniwang halimbawa

Una kailangan mong sabihin ang tungkol sa pagbawas ng mga algebraic fraction, ang numerator at denominator na kung saan ay pareho. Ang ganitong mga fraction ay magkaparehong katumbas ng isa sa buong ODZ ng mga variable na kasama dito, halimbawa,
atbp.

Ngayon hindi nasaktan na tandaan kung paano ginaganap ang pagbawas ng mga ordinaryong fraction - pagkatapos ng lahat, ang mga ito ay isang espesyal na kaso ng mga algebraic fraction. Mga natural na numero sa numerator at denominator ng isang ordinaryong fraction, pagkatapos nito ay binabawasan ang mga karaniwang salik (kung mayroon man). Halimbawa, . Ang produkto ng magkatulad na pangunahing mga kadahilanan ay maaaring isulat sa anyo ng mga degree, at kapag binawasan, gamitin. Sa kasong ito, ang solusyon ay magiging ganito: , dito hinati natin ang numerator at denominator sa isang karaniwang salik 2 2 3 . O, para sa higit na kalinawan, batay sa mga katangian ng pagpaparami at paghahati, ang solusyon ay ipinakita sa anyo.

Ayon sa ganap na magkatulad na mga prinsipyo, ang pagbawas ng mga algebraic fraction ay isinasagawa, sa numerator at denominator kung saan mayroong mga monomial na may mga integer coefficient.

Halimbawa.

Bawasan ang algebraic fraction .

Desisyon.

Maaari mong katawanin ang numerator at denominator ng orihinal na algebraic fraction bilang isang produkto ng mga simpleng salik at variable, at pagkatapos ay isagawa ang pagbabawas:

Ngunit mas makatwiran na isulat ang solusyon bilang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan:

Sagot:

.

Tungkol naman sa pagbabawas ng mga algebraic fraction na mayroong fractional numerical coefficients sa numerator at denominator, maaari mong gawin ang dalawang bagay: alinman sa hiwalay na hatiin ang mga fractional coefficient na ito, o alisin muna ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa ilang natural na numero. Napag-usapan namin ang tungkol sa huling pagbabago sa artikulo na nagdadala ng isang algebraic fraction sa isang bagong denominator, maaari itong isagawa dahil sa pangunahing katangian ng isang algebraic fraction. Harapin natin ito ng isang halimbawa.

Halimbawa.

Magsagawa ng pagbawas ng fraction.

Desisyon.

Maaari mong bawasan ang fraction tulad nito: .

At posible na alisin muna ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa mga denominator ng mga coefficient na ito, iyon ay, sa pamamagitan ng LCM(5, 10)=10 . Sa kasong ito mayroon tayo .

Sagot:

.

Maaari kang magpatuloy sa mga algebraic fraction pangkalahatang pananaw, na ang numerator at denominator ay maaaring magkaroon ng parehong mga numero at monomial, at polynomial.

Kapag binabawasan ang mga naturang fraction, ang pangunahing problema ay ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi palaging nakikita. Bukod dito, hindi ito palaging umiiral. Upang makahanap ng isang karaniwang kadahilanan o matiyak na hindi ito umiiral, kailangan mong i-factor ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction.

Halimbawa.

Bawasan rational fraction .

Desisyon.

Upang gawin ito, isinasali namin ang mga polynomial sa numerator at denominator. Magsimula tayo sa panaklong: . Malinaw, ang mga nakakulong na expression ay maaaring ma-convert gamit ang