Kahit noong first-year student pa lang ako, nagkaroon ako ng mainitang pagtatalo sa isa kong kaklase. Sinabi niya na ang isang four-dimensional na kubo ay hindi maaaring katawanin sa anumang anyo, at tiniyak ko na ito ay maaaring ilarawan nang malinaw. Pagkatapos ay gumawa pa ako ng isang projection ng isang hypercube papunta sa aming tatlong-dimensional na espasyo sa labas ng mga clip ng papel... Ngunit pag-usapan natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod.
Ano ang hypercube (tesseract) at four-dimensional na espasyo
Mayroong tatlong dimensyon sa ating nakagawiang espasyo. MULA SA geometric na punto of view, nangangahulugan ito na maaaring ipahiwatig dito ang tatlong magkaparehong patayong linya. Iyon ay, para sa anumang linya, makakahanap ka ng pangalawang linya na patayo sa una, at para sa isang pares, makakahanap ka ng ikatlong linya na patayo sa unang dalawa. Hindi na posible na mahanap ang ikaapat na tuwid na linya patayo sa tatlong umiiral na.
Ang four-dimensional space ay naiiba sa atin dahil mayroon itong isa pa karagdagang direksyon. Kung mayroon ka nang tatlong magkaparehong patayo na linya, makikita mo ang ikaapat na linya, upang ito ay patayo sa lahat ng tatlo.
Ang hypercube ay isang cube lamang sa apat na dimensyon.
Posible bang isipin ang isang four-dimensional na espasyo at isang hypercube?
Ang tanong na ito ay katulad ng tanong na: "maiisip mo ba Huling Hapunan tinitingnan ang pagpipinta ng parehong pangalan (1495-1498) ni Leonardo da Vinci (1452-1519)?”
Sa isang banda, siyempre, hindi mo maiisip kung ano ang nakita ni Jesus (nakaharap siya sa manonood), lalo na't hindi mo maamoy ang hardin sa labas ng bintana at ang lasa ng pagkain sa mesa, hindi mo maririnig ang mga ibon. pagkanta ... Hindi mo makukuha buong view tungkol sa nangyari noong gabing iyon, ngunit hindi masasabing wala kang matututuhan na bago at walang interes ang larawan.
Ang sitwasyon ay katulad ng tanong ng hypercube. Imposibleng ganap na isipin ito, ngunit maaari kang lumapit sa pag-unawa kung ano ito.
Space-time at Euclidean four-dimensional space
Sana naisip mo ang hypercube. Ngunit nagawa mo bang mas mapalapit sa pag-unawa kung paano gumagana ang four-dimensional space-time kung saan tayo nakatira? Naku, hindi naman.
Dito napag-usapan natin ang tungkol sa Euclidean four-dimensional space, ngunit ang space-time ay may ibang katangian. Sa partikular, sa anumang pag-ikot, ang mga segment ay palaging nananatiling nakakiling sa axis ng oras, alinman sa isang anggulong mas mababa sa 45 degrees, o sa isang anggulo na mas mataas sa 45 degrees.
Mga projection at pangitain ng isang naninirahan sa four-dimensional na espasyo
Ang ilang mga salita tungkol sa pangitain
Nabubuhay tayo sa isang three-dimensional na mundo, ngunit nakikita natin ito bilang two-dimensional. Ito ay dahil sa katotohanan na ang retina ng ating mga mata ay matatagpuan sa isang eroplano na may dalawang sukat lamang. Iyon ang dahilan kung bakit nagagawa nating makita ang dalawang-dimensional na mga larawan at makita ang mga ito na katulad ng katotohanan. (Siyempre, salamat sa akomodasyon, matatantya ng mata ang distansya sa isang bagay, ngunit isa na itong side effect na nauugnay sa mga optika na nakapaloob sa ating mata.)
Ang mga mata ng isang naninirahan sa four-dimensional na espasyo ay dapat na mayroong tatlong-dimensional na retina. Ang gayong nilalang ay maaaring makakita kaagad ng isang three-dimensional na pigura nang ganap: lahat ng mukha at loob nito. (Sa parehong paraan, makikita natin ang isang two-dimensional na pigura, lahat ng mukha at loob nito.)
Kaya, sa tulong ng ating mga organo ng pangitain, hindi natin nakikita ang isang four-dimensional na kubo sa parehong paraan kung paano ito makikita ng isang naninirahan sa isang four-dimensional na espasyo. Naku. Ito ay nananatili lamang upang umasa sa mata ng isip at pantasya, na, sa kabutihang palad, ay walang pisikal na limitasyon.
Gayunpaman, kapag naglalarawan ng hypercube sa isang eroplano, kailangan ko lang itong i-project dalawang-dimensional na espasyo. Isaisip ito kapag nag-aaral ng mga guhit.
Mga interseksyon sa gilid
Naturally, ang mga gilid ng hypercube ay hindi nagsalubong. Ang mga intersection ay makikita lamang sa mga figure. Gayunpaman, hindi ito dapat maging isang sorpresa, dahil ang mga gilid ng isang ordinaryong kubo sa mga figure ay nagsalubong din.
Haba ng rib
Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na ang lahat ng mga mukha at mga gilid ng isang apat na dimensional na kubo ay pantay. Sa figure, hindi sila pantay-pantay lamang dahil matatagpuan sila sa ilalim iba't ibang anggulo sa direksyon ng view. Gayunpaman, posible na i-unfold ang hypercube upang ang lahat ng mga projection ay may parehong haba.
Tesseract - isang four-dimensional hypercube - isang cube sa four-dimensional na espasyo.
Ayon sa Oxford Dictionary, ang salitang tesseract ay nilikha at ginamit noong 1888 ni Charles Howard Hinton (1853-1907) sa kanyang aklat na " bagong panahon mga kaisipan". Nang maglaon, tinawag ng ilang tao ang parehong figure na isang tetracube (Greek τετρα - apat) - isang four-dimensional na kubo.
Ang isang ordinaryong tesseract sa Euclidean four-dimensional space ay tinukoy bilang convex hull ng mga puntos (±1, ±1, ±1, ±1). Sa madaling salita, maaari itong katawanin bilang sumusunod na hanay:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Ang isang tesseract ay nililimitahan ng walong hyperplane x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , na ang intersection sa Tinutukoy mismo ng tesseract ang mga 3D na mukha (na mga regular na cube) Ang bawat pares ng hindi parallel na 3D na mukha ay nagsalubong upang bumuo ng mga 2D na mukha (mga parisukat), atbp. Panghuli, ang isang tesseract ay may 8 3D na mukha, 24 2D, 32 na gilid, at 16 na vertices.
Sikat na Paglalarawan
Subukan nating isipin kung ano ang magiging hitsura ng hypercube nang hindi umaalis tatlong-dimensional na espasyo.
Sa isang-dimensional na "espasyo" - sa isang linya - pumili kami ng isang segment na AB ng haba L. Sa isang dalawang-dimensional na eroplano sa layo na L mula sa AB, gumuhit kami ng isang segment na DC parallel dito at ikinonekta ang kanilang mga dulo. Makakakuha ka ng isang parisukat na CDBA. Ang pag-uulit ng operasyong ito gamit ang isang eroplano, nakakakuha tayo ng isang three-dimensional cube CDBAGHFE. At sa pamamagitan ng paglilipat ng kubo sa ikaapat na dimensyon (patayo sa unang tatlo) sa layo na L, nakukuha natin ang CDBAGHFEKLJIOPNM hypercube.
Ang isang-dimensional na segment na AB ay nagsisilbing isang gilid ng dalawang-dimensional na parisukat na CDBA, ang parisukat ay ang gilid ng kubo CDBAGHFE, na, naman, ay magiging bahagi ng apat na-dimensional na hypercube. Ang segment ng tuwid na linya ay may dalawang boundary point, ang isang parisukat ay may apat na vertices, at ang isang cube ay may walo. Kaya, sa isang four-dimensional hypercube, magkakaroon ng 16 vertices: 8 vertices ng orihinal na cube at 8 vertices ang inilipat sa ika-apat na dimensyon. Mayroon itong 32 mga gilid - 12 bawat isa ay nagbibigay ng mga inisyal at panghuling posisyon ng orihinal na kubo, at 8 pang mga gilid ang "gumuhit" ng walong mga vertice nito na lumipat sa ikaapat na dimensyon. Ang parehong pangangatwiran ay maaaring gawin para sa mga mukha ng hypercube. Sa dalawang-dimensional na espasyo, ito ay isa (ang parisukat mismo), ang kubo ay may 6 sa kanila (dalawang mukha mula sa inilipat na parisukat at apat pa ang maglalarawan sa mga gilid nito). Ang isang four-dimensional hypercube ay may 24 square faces - 12 squares ng orihinal na cube sa dalawang posisyon at 12 squares mula sa labindalawang gilid nito.
Dahil ang mga gilid ng isang parisukat ay 4 na isang-dimensional na mga segment, at ang mga gilid (mga mukha) ng isang kubo ay 6 na dalawang-dimensional na mga parisukat, kaya para sa "four-dimensional na kubo" (tesseract) ang mga gilid ay 8 tatlong-dimensional na mga kubo. Ang mga puwang ng magkasalungat na pares ng mga tesseract cube (iyon ay, ang mga three-dimensional na espasyo kung saan nabibilang ang mga cube na ito) ay magkatulad. Sa figure, ito ay mga cube: CDBAGHFE at KLJIOPNM, CDBAKLJI at GHFEOPNM, EFBAMNJI at GHDCOPLK, CKIAGOME at DLJBHPNF.
Katulad nito, maaari nating ipagpatuloy ang pangangatwiran para sa hypercubes higit pa mga sukat, ngunit mas kawili-wiling makita kung ano ang magiging hitsura ng isang four-dimensional hypercube para sa atin, ang mga naninirahan sa three-dimensional na espasyo. Gamitin natin para dito ang pamilyar na paraan ng pagkakatulad.
Kunin natin ang wire cube ABCDHEFG at tingnan ito gamit ang isang mata mula sa gilid ng mukha. Makakakita tayo at maaring gumuhit ng dalawang parisukat sa eroplano (ang malapit at malayong mga mukha nito), na konektado ng apat na linya - mga gilid sa gilid. Katulad nito, ang isang four-dimensional na hypercube sa three-dimensional na espasyo ay magmumukhang dalawang cubic na "kahon" na ipinasok sa isa't isa at konektado ng walong gilid. Sa kasong ito, ang mga "kahon" mismo - tatlong-dimensional na mga mukha - ay ipapakita sa "aming" espasyo, at ang mga linya na nagkokonekta sa kanila ay mag-uunat sa direksyon ng ikaapat na axis. Maaari mo ring subukang isipin ang isang kubo hindi sa projection, ngunit sa isang spatial na imahe.
Kung paanong ang isang three-dimensional na kubo ay nabuo sa pamamagitan ng isang parisukat na inilipat ng haba ng isang mukha, ang isang kubo na inilipat sa ikaapat na dimensyon ay bubuo ng isang hypercube. Ito ay limitado ng walong cube, na sa hinaharap ay magmumukhang medyo kumplikadong pigura. Ang mismong four-dimensional hypercube ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga cube, tulad ng isang three-dimensional na cube ay maaaring "hiwain" sa isang walang katapusang bilang ng mga flat square.
Sa pamamagitan ng pagputol ng anim na mukha ng isang three-dimensional na kubo, maaari itong mabulok patag na pigura- isang walisin. Magkakaroon ito ng isang parisukat sa bawat gilid ng orihinal na mukha, kasama ang isa pa - ang mukha sa tapat nito. Ang isang three-dimensional na pag-unlad ng isang four-dimensional hypercube ay bubuuin ng orihinal na cube, anim na cube na "lumago" mula dito, kasama ang isa pa - ang panghuling "hyperface".
Ang mga katangian ng tesseract ay isang extension ng mga katangian mga geometric na hugis mas mababang dimensyon sa isang four-dimensional na espasyo.
Sa geometry hypercube- ito ay n-dimensional na pagkakatulad ng isang parisukat ( n= 2) at kubo ( n= 3). Ito ay isang closed convex figure, na binubuo ng mga grupo ng mga parallel na linya na matatagpuan sa magkabilang gilid ng figure, at konektado sa isa't isa sa tamang mga anggulo.
Ang figure na ito ay kilala rin bilang tesseract(tesseract). Ang tesseract ay sa kubo bilang ang kubo ay sa parisukat. Sa mas pormal na paraan, ang isang tesseract ay maaaring ilarawan bilang isang regular na matambok na apat na dimensyon na polytope (polytope) na ang hangganan ay binubuo ng walong cubic cell.
Ayon sa Oxford English Dictionary, ang salitang "tesseract" ay nilikha noong 1888 ni Charles Howard Hinton at ginamit sa kanyang aklat na A New Era of Thought. Ang salita ay nabuo mula sa Griyegong "τεσσερες ακτινες" ("apat na sinag"), ay nasa anyo ng apat na coordinate axes. Bilang karagdagan, sa ilang mga mapagkukunan, ang parehong figure ay tinawag tetracube(tetracube).
n-dimensional hypercube ay tinatawag din n-kubo.
Ang isang punto ay isang hypercube ng dimensyon 0. Kung inilipat mo ang isang punto sa pamamagitan ng isang yunit ng haba, makakakuha ka ng isang segment ng haba ng yunit - isang hypercube ng dimensyon 1. Dagdag pa, kung ililipat mo ang isang segment sa pamamagitan ng isang yunit ng haba sa isang direksyon na patayo sa direksyon ng segment, makakakuha ka ng isang kubo - isang hypercube ng dimensyon 2. Ang paglilipat ng parisukat sa pamamagitan ng isang yunit ng haba sa direksyon na patayo sa eroplano ng parisukat, isang kubo ang nakuha - isang hypercube ng dimensyon 3. Ang prosesong ito maaaring gawing pangkalahatan sa anumang bilang ng mga sukat. Halimbawa, kung inilipat mo ang isang kubo sa pamamagitan ng isang yunit ng haba sa ikaapat na dimensyon, makakakuha ka ng isang tesseract.
Ang pamilya ng hypercubes ay isa sa ilang regular na polyhedra na maaaring katawanin sa anumang dimensyon.
Mga elemento ng hypercube
Dimensyon hypercube n may 2 n"mga gilid" (isang-dimensional na linya ay may 2 puntos; dalawang-dimensional na parisukat - 4 na gilid; tatlong-dimensional na kubo - 6 na mukha; apat na-dimensional na tesseract - 8 mga cell). Ang bilang ng mga vertex (puntos) ng hypercube ay 2 n(halimbawa, para sa isang kubo - 2 3 vertices).
Dami m-dimensional hypercubes sa hangganan n-katumbas ng kubo
Halimbawa, sa hangganan ng isang hypercube mayroong 8 cubes, 24 squares, 32 edges at 16 vertices.
| n-kubo | Pangalan | Vertex (0-mukha) |
gilid (1-mukha) |
gilid (2-mukha) |
Cell (3-mukha) |
(4-mukha) | (5-mukha) | (6-mukha) | (7-mukha) | (8-mukha) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-kubo | Dot | 1 | ||||||||
| 1-kubo | Segment ng linya | 2 | 1 | |||||||
| 2-kubo | parisukat | 4 | 4 | 1 | ||||||
| 3-kubo | Cube | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||
| 4-kubo | tesseract | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||
| 5-kubo | Penteract | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||
| 6-kubo | Hexeact | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||
| 7-kubo | Hepteract | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |
| 8-kubo | Octeract | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 |
| 9-kubo | Eneneract | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
Projection ng eroplano
Ang pagbuo ng isang hypercube ay maaaring kinakatawan sa sumusunod na paraan:
- Dalawang puntos na A at B ay maaaring ikonekta upang bumuo ng segment ng linya AB.
- Dalawa parallel na segment Maaaring ikonekta ang AB at CD upang mabuo ang parisukat na ABCD.
- Dalawang magkatulad na parisukat ang ABCD at EFGH ay maaaring pagsamahin upang mabuo ang kubo na ABCDEFGH.
- Dalawang parallel cube na ABCDEFGH at IJKLMNOP ay maaaring ikonekta upang bumuo ng hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.
Ang huling istraktura ay hindi madaling isipin, ngunit posible na ilarawan ang projection nito sa dalawa o tatlong dimensyon. Bukod dito, ang mga projection sa isang 2D na eroplano ay maaaring maging mas kapaki-pakinabang sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga posisyon ng mga inaasahang vertices. Sa kasong ito, maaaring makuha ang mga larawan na hindi na sumasalamin sa mga spatial na relasyon ng mga elemento sa loob ng tesseract, ngunit naglalarawan ng istraktura ng mga koneksyon sa vertex, tulad ng sa mga halimbawa sa ibaba.
Ang unang ilustrasyon ay nagpapakita kung paano ang isang tesseract ay nabuo sa prinsipyo sa pamamagitan ng pagsali sa dalawang cube. Ang scheme na ito ay katulad ng scheme para sa paglikha ng isang kubo mula sa dalawang parisukat. Ang pangalawang diagram ay nagpapakita na ang lahat ng mga gilid ng tesseract ay may parehong haba. Ang pamamaraan na ito ay pinilit din na maghanap ng mga cube na konektado sa bawat isa. Sa ikatlong diagram, ang mga vertices ng tesseract ay matatagpuan alinsunod sa mga distansya sa kahabaan ng mga mukha na may kaugnayan sa ilalim na punto. Ang pamamaraan na ito ay kawili-wili dahil ito ay ginagamit bilang pangunahing circuit para sa topology ng network ng pagkonekta ng mga processor sa pag-aayos ng parallel computing: ang distansya sa pagitan ng alinmang dalawang node ay hindi lalampas sa 4 na haba ng gilid, at mayroong maraming iba't ibang mga paraan upang balansehin ang pagkarga.
Hypercube sa sining
Ang hypercube ay lumitaw sa science fiction mula noong 1940, nang si Robert Heinlein, sa kuwentong "The House That Teal Built" ("And He Built a Crooked House"), ay inilarawan ang isang bahay na itinayo sa hugis ng isang tesseract na nabuksan. Sa kuwento, ito Dagdag pa, ang bahay na ito ay nakatiklop, nagiging isang four-dimensional tesseract. Pagkatapos nito, lumilitaw ang hypercube sa maraming mga libro at nobela.
Cube 2: Ang Hypercube ay tungkol sa walong tao na nakulong sa isang network ng mga hypercube.
Ang pagpipinta na Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954 ni Salvador Dali ay naglalarawan kay Hesus na ipinako sa krus sa isang tesseract scan. Ang pagpipinta na ito ay makikita sa Museo ng Sining (Metropolitan Museum of Art) sa New York.
Konklusyon
Ang hypercube ay isa sa pinakasimpleng four-dimensional na bagay, sa halimbawa kung saan makikita mo ang lahat ng pagiging kumplikado at hindi pangkaraniwan. ikaapat na dimensyon. At ang mukhang imposible sa tatlong dimensyon ay posible sa apat, halimbawa, imposibleng mga numero. Kaya, halimbawa, ang mga bar ng isang imposibleng tatsulok sa apat na dimensyon ay konektado sa tamang mga anggulo. At ang figure na ito ay magmumukhang ganito mula sa lahat ng mga pananaw, at hindi mababaluktot, hindi katulad ng mga pagpapatupad ng imposibleng tatsulok sa tatlong-dimensional na espasyo (tingnan ang Fig.
Mga turo tungkol sa multidimensional na espasyo nagsimulang lumitaw sa kalagitnaan ng ikalabinsiyam siglo sa mga gawa ni G. Grassmann, A. Cayley, B. Riemann, W. Clifford, L. Schläfli at iba pang mga mathematician. Sa simula ng ika-20 siglo, sa pagdating ng teorya ng relativity ni A. Einstein at ang mga ideya ni G. Minkowski, nagsimula ang pisika na gumamit ng four-dimensional space-time coordinate system.
Pagkatapos ay hiniram ng mga manunulat ng science fiction ang ideya ng four-dimensional na espasyo mula sa mga siyentipiko. Sa kanilang mga gawa ay sinabi nila sa mundo ang tungkol kamangha-manghang mga himala ikaapat na dimensyon. Ang mga bayani ng kanilang mga gawa, gamit ang mga katangian ng four-dimensional na espasyo, ay makakain ng mga nilalaman ng itlog nang hindi nasisira ang shell, uminom ng inumin nang hindi binubuksan ang tapon ng bote. Nakuha ng mga kidnapper ang kayamanan mula sa safe hanggang sa ikaapat na dimensyon. Ang mga link ng kadena ay madaling matanggal, at ang buhol sa lubid ay maaaring matanggal nang hindi hawakan ang mga dulo nito. Ang mga surgeon ay nagsagawa ng mga operasyon sa lamang loob nang hindi pinuputol ang tissue ng katawan ng pasyente. Inilagay ng mga mistiko ang mga kaluluwa ng mga patay sa ikaapat na dimensyon. Para sa ordinaryong tao ang ideya ng isang four-dimensional na espasyo ay nanatiling hindi maintindihan at misteryoso, at marami sa pangkalahatan ay isinasaalang-alang ang apat na dimensyon na espasyo bilang bunga ng imahinasyon ng mga siyentipiko at mga manunulat ng science fiction, na walang kinalaman sa katotohanan.
Problema sa pang-unawa
Tradisyunal na pinaniniwalaan na ang isang tao ay hindi maaaring maramdaman at kumatawan sa mga four-dimensional na figure, dahil siya ay isang three-dimensional na nilalang. Nakikita ng paksa ang mga three-dimensional na figure sa tulong ng retina, na dalawang-dimensional. Upang makita ang mga four-dimensional na figure, kinakailangan ang isang three-dimensional na retina, ngunit ang isang tao ay walang ganoong pagkakataon.
Upang makakuha ng visual na representasyon ng mga four-dimensional na figure, gagamit kami ng mga pagkakatulad mula sa mga space na may mas mababang dimensyon para sa extrapolation sa mga figure na may mas mataas na dimensyon, gamitin ang paraan ng pagmomodelo, ilapat ang mga pamamaraan pag-aanalisa ng systema upang maghanap ng mga pattern sa pagitan ng mga elemento ng four-dimensional figure. Ang mga iminungkahing modelo ay dapat na sapat na naglalarawan sa mga katangian ng apat na dimensyon na mga figure, huwag sumalungat sa isa't isa at magbigay ng sapat na ideya ng isang four-dimensional na figure at, una sa lahat, ng kanyang geometric na hugis. Dahil walang sistematiko at visual na paglalarawan ng mga four-dimensional na figure sa panitikan, ngunit ang kanilang mga pangalan lamang ang nagpapahiwatig ng ilang mga katangian, ipinapanukala naming simulan ang pag-aaral ng mga four-dimensional na figure na may pinakasimpleng - four-dimensional na kubo, na tinatawag na hypercube.
Kahulugan ng hypercube
hypercubeang isang regular na polytope ay tinatawag, ang cell nito ay isang kubo.
Polytop ay isang four-dimensional figure, ang hangganan nito ay binubuo ng polyhedra. Ang isang analogue ng isang cell ng isang polytope ay isang mukha ng isang polyhedron. Ang hypercube ay kahalintulad sa isang three-dimensional na kubo.
Magkakaroon tayo ng ideya tungkol sa hypercube kung alam natin ang mga katangian nito. Nakikita ng paksa ang ilang bagay, na kumakatawan dito sa anyo ng ilang modelo. Gamitin natin ang pamamaraang ito at ipakita ang ideya ng isang hypercube sa anyo ng iba't ibang mga modelo.
Analytical Model
Isasaalang-alang namin ang isang isang-dimensional na espasyo (tuwid na linya) bilang isang nakaayos na hanay ng mga puntosM(x), saan x- coordinate di-makatwirang punto tuwid. Pagkatapos ay ibinibigay ang segment ng unit sa pamamagitan ng pagtukoy ng dalawang puntos:A(0) at B(1).
Ang isang eroplano (two-dimensional space) ay maaaring tingnan bilang isang nakaayos na hanay ng mga puntos M(x; y). Ang parisukat ng yunit ay ganap na tutukuyin sa pamamagitan ng apat na vertice nito: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Ang mga coordinate ng mga vertex ng parisukat ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng zero sa mga coordinate ng segment, at pagkatapos ay isa.
Tatlong-dimensional na espasyo - isang nakaayos na hanay ng mga puntos M(x; y; z). Walong puntos ang kinakailangan upang tukuyin ang isang 3D cube:
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),
E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).
Ang mga coordinate ng kubo ay nakuha mula sa mga parisukat na coordinate sa pamamagitan ng pagdaragdag ng zero at pagkatapos ay isa.
Ang four-dimensional na espasyo ay isang nakaayos na hanay ng mga puntos M(x; y; z; t). Upang tukuyin ang isang hypercube, kailangan mong matukoy ang mga coordinate ng labing-anim na vertices nito:
A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),
E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),
K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),
O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).
Ang mga hypercube coordinate ay nakuha mula sa mga coordinate ng 3D cube sa pamamagitan ng pagdaragdag ng ikaapat na coordinate, sero, at pagkatapos ay pagkakaisa.
Paggamit ng mga formula analytical geometry para sa isang four-dimensional na Euclidean space, maaaring makuha ng isa ang mga katangian ng isang hypercube.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang pagkalkula ng haba ng pangunahing dayagonal ng isang hypercube. Hayaang kailanganin upang mahanap ang distansya sa pagitan ng mga punto A(0, 0, 0, 0) at R(1, 1, 1, 1). Upang gawin ito, ginagamit namin ang formula ng distansya sa four-dimensional na Euclidean space.
Sa dalawang-dimensional na espasyo (sa isang eroplano), ang distansya sa pagitan ng mga puntos A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay kinakalkula ng formula
Ang formula na ito ay sumusunod mula sa Pythagorean theorem.
Ang kaukulang formula para sa distansya sa pagitan ng mga puntos A(x 1 , y 1 , z 1) at B(x 2 , y 2 , z 2) sa tatlong-dimensional na espasyo ay may anyo
At sa isang-dimensional na espasyo (sa isang tuwid na linya) sa pagitan ng mga punto A( x 1) at B( x 2) maaari mong isulat ang kaukulang formula ng distansya:
Katulad nito, ang distansya sa pagitan ng mga puntos A(x 1 , y 1 , z 1 , t 1) at B(x 2 , y 2 , z 2 , t 2) sa four-dimensional space ay kakalkulahin ng formula:
Para sa iminungkahing halimbawa, nakita namin
Kaya, ang hypercube ay umiiral nang analytically, at ang mga katangian nito ay maaaring ilarawan nang hindi mas masahol kaysa sa mga katangian ng isang three-dimensional na kubo.
Dynamic na Modelo
Ang analytical na modelo ng hypercube ay napaka abstract, kaya isaalang-alang natin ang isa pang modelo - ang dynamic.
Ang isang punto (isang zero-dimensional na figure), na gumagalaw sa isang direksyon, ay bumubuo ng isang segment (isang one-dimensional na figure). Ang segment, na gumagalaw sa isang direksyon na patayo sa sarili nito, ay lumilikha ng isang parisukat (two-dimensional figure). Ang parisukat, na gumagalaw sa isang direksyon na patayo sa eroplano ng parisukat, ay lumilikha ng isang kubo (tatlong-dimensional na pigura).
Ang kubo, na gumagalaw patayo sa tatlong-dimensional na espasyo kung saan ito orihinal na matatagpuan, ay bumubuo ng hypercube (four-dimensional na pigura).
Ang hangganan ng hypercube ay tatlong-dimensional, may hangganan at sarado. Binubuo ito ng isang three-dimensional na cube in posisyon sa bahay, isang three-dimensional na kubo sa huling posisyon nito, at anim na cube na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng mga parisukat ng orihinal na kubo sa direksyon ng ikaapat na dimensyon. Ang buong hangganan ng hypercube ay binubuo ng 8 tatlong-dimensional na cube (mga cell).
Kapag gumagalaw sa paunang posisyon, ang kubo ay may 8 vertices at sa huling posisyon ay 8 vertices din. Samakatuwid, ang hypercube ay may kabuuan 16 na taluktok.
Apat na magkaparehong patayo na gilid ang nagmumula sa bawat vertex. Sa kabuuan, ang hypercube ay may 32 na mga gilid. Sa paunang posisyon, mayroon itong 12 mga gilid, sa huling posisyon ay 12 mga gilid din, at 8 mga gilid ang nabuo sa mga tuktok ng kubo kapag gumagalaw sa ika-apat na dimensyon.
Kaya, ang hangganan ng hypercube ay binubuo ng 8 cubes, na binubuo ng 24 na mga parisukat. Ibig sabihin, 6 na mga parisukat sa unang posisyon, 6 sa huling posisyon, at 12 mga parisukat na nabuo sa pamamagitan ng paglipat ng 12 mga gilid sa direksyon ng ikaapat na dimensyon.
geometric na modelo
Ang dynamic na modelo ng isang hypercube ay maaaring mukhang hindi sapat na malinaw. Samakatuwid, isaalang-alang ang geometric na modelo ng hypercube. Paano natin makukuha ang geometric na modelo ng isang 3D cube? Binubuksan namin ito, at mula sa pagbuka ay "pinadikit" namin ang modelo ng kubo. Ang pagbuo ng isang three-dimensional na kubo ay binubuo ng isang parisukat, sa mga gilid nito ay nakakabit ng isang parisukat kasama ang isa pang parisukat. 
Pinihit namin ang magkatabing mga parisukat sa paligid ng mga gilid ng parisukat, at ikinonekta ang mga katabing gilid ng mga parisukat sa bawat isa. At isinasara namin ang natitirang apat na panig sa huling parisukat (Larawan 1).
Katulad nito, isaalang-alang ang paglalahad ng hypercube. Ang pagbuo nito ay magiging isang three-dimensional na pigura, na binubuo ng orihinal na three-dimensional na kubo, anim na cube na katabi ng bawat mukha ng orihinal na kubo, at isa pang kubo. Mayroong walong tatlong-dimensional na mga cube sa kabuuan (Larawan 2). Upang makakuha ng four-dimensional na cube (hypercube) mula sa pag-unlad na ito, ang bawat isa sa mga katabing cube ay dapat na paikutin ng 90 degrees. Ang mga magkadugtong na cube na ito ay matatagpuan sa ibang 3D space. Ikonekta ang magkatabing mukha (mga parisukat) ng mga cube sa isa't isa. I-embed ang ikawalong kubo kasama ang mga mukha nito sa natitirang hindi napunong espasyo. Nakakakuha kami ng isang four-dimensional figure - isang hypercube, ang hangganan nito ay binubuo ng walong three-dimensional na mga cube.
Hypercube na imahe
Ipinakita sa itaas kung paano "magdikit" ng isang hypercube na modelo mula sa isang three-dimensional na pag-scan. Kumuha kami ng mga larawan gamit ang projection. Ang gitnang projection ng isang three-dimensional na kubo (ang imahe nito sa isang eroplano) ay ganito ang hitsura (Larawan 3). Sa loob ng parisukat ay isa pang parisukat. Ang kaukulang mga vertex ng parisukat ay konektado sa pamamagitan ng mga segment. Ang mga katabing parisukat ay inilalarawan bilang mga trapezoid, bagama't sila ay mga parisukat sa 3D na espasyo. Magkaiba ang laki ng panloob at panlabas na mga parisukat, ngunit sa totoong 3D na espasyo ang mga ito ay pantay na mga parisukat.
Katulad nito, ang gitnang projection ng isang four-dimensional na cube papunta sa three-dimensional na espasyo ay magiging ganito: sa loob ng isang cube ay isa pang cube. Ang kaukulang mga vertex ng mga cube ay konektado sa pamamagitan ng mga segment. Ang panloob at panlabas na mga cube ay mayroon iba't ibang laki sa tatlong dimensyon, ngunit sa apat na dimensyon ito pantay na mga cube(Larawan 4).
Ang anim na pinutol na pyramids ay mga larawan ng pantay na anim na cell (cube) ng isang four-dimensional na kubo.
Ang three-dimensional na projection na ito ay maaaring iguhit sa isang eroplano at maaari mong i-verify ang katotohanan ng mga katangian ng hypercube na nakuha gamit ang dynamic na modelo.
Ang hypercube ay may 16 vertices, 32 edges, 24 faces (kuwadrado), 8 cell (cube). Apat na magkaparehong patayo na gilid ang nagmumula sa bawat vertex. Ang hangganan ng hypercube ay isang three-dimensional closed convex figure, ang dami nito (ang side volume ng hypercube) ay katumbas ng walong unit three-dimensional cubes. Sa loob mismo, ang figure na ito ay naglalaman ng isang unit hypercube, ang hypervolume nito ay katumbas ng hypervolume ng unit hypercube.
Konklusyon
Sa gawaing ito, ang layunin ay magbigay ng isang paunang kakilala sa apat na dimensyon na espasyo. Ginawa ito sa halimbawa ng pinakasimpleng figure - ang hypercube.
Ang mundo ng four-dimensional na espasyo ay kamangha-mangha! Sa loob nito, kasama ang mga katulad na figure sa three-dimensional na espasyo, mayroon ding mga figure na walang mga analogue sa three-dimensional na espasyo.
Maraming phenomena materyal na mundo, ang macrocosm at ang megaworld, sa kabila ng mga magagandang tagumpay sa physics, chemistry at astronomy, ay nanatiling hindi maipaliwanag.
Hindi pinag-isang teorya na nagpapaliwanag sa lahat ng puwersa ng kalikasan. Walang kasiya-siyang modelo ng Uniberso na nagpapaliwanag sa istraktura nito at hindi kasama ang mga kabalintunaan.
Sa pamamagitan ng pag-alam sa mga katangian ng four-dimensional na espasyo at paghiram ng ilang ideya mula sa four-dimensional na geometry, magiging posible hindi lamang na bumuo ng mas mahigpit na mga teorya at modelo ng materyal na mundo, kundi pati na rin upang lumikha ng mga tool at sistema na gumagana ayon sa mga batas. ng four-dimensional na mundo, kung gayon ang mga kakayahan ng tao ay magiging mas kahanga-hanga.
Magsimula tayo sa pagpapaliwanag kung ano ang isang four-dimensional na espasyo.
Ito ay isang one-dimensional na espasyo, iyon ay, simpleng axis ng OX. Ang anumang punto dito ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang coordinate.
Ngayon, iguhit natin ang OY axis patayo sa OX axis. Kaya nakakuha kami ng dalawang-dimensional na espasyo, iyon ay, ang XOY plane. Ang anumang punto dito ay nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang coordinate - ang abscissa at ang ordinate.
Iguhit natin ang OZ axis patayo sa mga axes na OX at OY. Makakakuha ka ng tatlong-dimensional na espasyo kung saan ang anumang punto ay may abscissa, ordinate at applicate.
Lohikal na ang ikaapat na axis, OQ, ay dapat na patayo sa mga axes na OX, OY at OZ sa parehong oras. Ngunit hindi namin tumpak na makagawa ng gayong axis, at samakatuwid ay nananatili lamang ito upang subukang isipin ito. Ang bawat punto sa four-dimensional space ay may apat na coordinate: x, y, z at q.
Ngayon tingnan natin kung paano lumitaw ang four-dimensional na kubo.
Ang larawan ay nagpapakita ng isang pigura ng isang-dimensional na espasyo - isang linya.
Kung tapos na parallel transfer ang linyang ito sa kahabaan ng axis ng OY, at pagkatapos ay ikonekta ang mga katumbas na dulo ng dalawang resultang linya, makakakuha ka ng isang parisukat.
Katulad nito, kung gumawa kami ng isang parallel na pagsasalin ng parisukat sa kahabaan ng OZ axis at ikonekta ang kaukulang mga vertices, makakakuha tayo ng isang kubo.
At kung gumawa tayo ng parallel na pagsasalin ng kubo sa kahabaan ng OQ axis at ikonekta ang mga vertices ng dalawang cube na ito, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang four-dimensional na kubo. Siyanga pala, tinatawag tesseract.
Upang gumuhit ng isang kubo sa isang eroplano, kailangan mo ito proyekto. Biswal ito ay ganito: 
Isipin na sa hangin sa itaas ng ibabaw ay nakabitin modelo ng wireframe kubo, iyon ay, na parang "gawa sa kawad", at sa itaas nito - isang ilaw na bombilya. Kung binuksan mo ang ilaw na bombilya, subaybayan ang anino ng kubo gamit ang isang lapis, at pagkatapos ay patayin ang ilaw na bombilya, pagkatapos ay isang projection ng kubo ang ipapakita sa ibabaw.
Lumipat tayo sa isang bagay na medyo mas kumplikado. Tingnan muli ang guhit na may ilaw na bombilya: tulad ng nakikita mo, ang lahat ng mga sinag ay nagtagpo sa isang punto. Ito ay tinatawag na nawawalang punto at ginagamit sa pagtatayo projection ng pananaw(at kung minsan ay parallel, kapag ang lahat ng mga sinag ay parallel sa isa't isa. Ang resulta ay na walang pakiramdam ng lakas ng tunog, ngunit ito ay mas magaan, at kung ang nawawalang punto ay sapat na malayo mula sa inaasahang bagay, kung gayon ang pagkakaiba sa pagitan ng mga ito. dalawang projection ay halos hindi napapansin). Upang i-project ibinigay na punto sa binigay na eroplano, gamit ang nawawalang punto, kailangan mong gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng nawawalang punto at ang ibinigay na punto, at pagkatapos ay hanapin ang intersection point ng nagresultang linya at ang eroplano. At para makapag-project pa kumplikadong pigura, sabihin nating, isang kubo, kailangan mong i-project ang bawat vertice nito, at pagkatapos ay ikonekta ang mga kaukulang punto. Dapat ito ay nabanggit na space-to-subspace projection algorithm maaaring gawing pangkalahatan sa 4D->3D, hindi lang 3D->2D.
Gaya ng sinabi ko, hindi natin maisip kung ano mismo ang hitsura ng OQ axis, at hindi rin ang tesseract. Ngunit maaari tayong makakuha ng isang limitadong ideya kung ipapalabas natin ito sa isang volume at pagkatapos ay iguhit ito sa isang screen ng computer!
Ngayon pag-usapan natin ang projection ng tesseract.
Sa kaliwa ay ang projection ng cube papunta sa eroplano, at sa kanan ay ang tesseract papunta sa volume. Ang mga ito ay medyo magkatulad: ang projection ng isang kubo ay mukhang dalawang parisukat, isang maliit at isang malaki, isa sa loob ng isa, na may kaukulang mga vertices na konektado sa pamamagitan ng mga linya. At ang projection ng tesseract ay mukhang dalawang cube, maliit at malaki, isa sa loob ng isa, at kung saan ang mga kaukulang vertices ay konektado. Ngunit nakita nating lahat ang kubo, at masasabi nating may kumpiyansa na ang maliit na parisukat at ang malaki, at ang apat na trapezoid sa itaas, sa ibaba, sa kanan at kaliwa ng maliit na parisukat, sa katunayan, ay mga parisukat, bukod dito, sila ay pantay. Ang parehong napupunta para sa Tesseract. At isang malaking kubo, at isang maliit na kubo, at anim pinutol na mga piramide sa mga gilid ng isang maliit na kubo - lahat ito ay mga cube, at sila ay pantay.
Ang aking programa ay hindi lamang maaaring gumuhit ng projection ng tesseract sa volume, ngunit pati na rin i-rotate ito. Tingnan natin kung paano ito ginagawa.
Una, sasabihin ko sa iyo kung ano ang pag-ikot parallel sa eroplano.
Isipin na ang kubo ay umiikot sa paligid ng OZ axis. Pagkatapos, ang bawat isa sa mga vertice nito ay naglalarawan ng isang bilog sa paligid ng OZ axis. 
Ang bilog ay isang patag na pigura. At ang mga eroplano ng bawat isa sa mga bilog na ito ay parallel sa isa't isa, at sa kasong ito ay parallel sa XOY plane. Iyon ay, maaari nating pag-usapan hindi lamang ang tungkol sa pag-ikot sa paligid ng OZ axis, kundi pati na rin ang tungkol sa pag-ikot parallel sa XOY plane. Gaya ng makikita mo, para sa mga puntos na umiikot parallel sa XOY axis, tanging ang abscissa at ordinate ang nagbabago, habang ang applicate nananatiling hindi nagbabago At, sa katunayan, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa pag-ikot sa paligid ng isang tuwid na linya kapag nakikitungo tayo sa tatlong-dimensional na espasyo. Sa 2D lahat ng bagay ay umiikot sa isang punto, sa 4D lahat ay umiikot sa isang eroplano, sa 5D na espasyo pinag-uusapan natin ang tungkol sa pag-ikot sa paligid ng isang volume. At kung maaari nating isipin ang pag-ikot sa paligid ng isang punto, kung gayon ang pag-ikot sa paligid ng eroplano at dami ay isang bagay na hindi maiisip. At kung pag-uusapan natin ang tungkol sa pag-ikot na kahanay sa eroplano, kung gayon sa anumang n-dimensional na espasyo ang isang punto ay maaaring paikutin parallel sa eroplano.
Marahil marami sa inyo ang nakarinig ng rotation matrix. Ang pagpaparami ng isang punto sa pamamagitan nito, makakakuha tayo ng isang punto na pinaikot parallel sa eroplano sa pamamagitan ng isang anggulo phi. Para sa isang dalawang-dimensional na espasyo, ganito ang hitsura: 
Paano i-multiply: x ng isang punto na pinaikot ng isang anggulo phi = cosine ng anggulo phi*x ng orihinal na punto minus ang sine ng anggulo phi*y ng orihinal na punto;
y ng puntong pinaikot ng anggulo phi=sine ng anggulo phi*x ng orihinal na punto kasama ang cosine ng anggulo phi*y ng orihinal na punto.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, kung saan ang Xa at Ya ay ang abscissa at ordinate ng point na paiikutin, ang Xa` at Ya` ay ang abscissa at ordinate ng naiikot na point
Para sa isang three-dimensional na espasyo, ang matrix na ito ay pangkalahatan tulad ng sumusunod: 
Pag-ikot parallel sa XOY plane. Tulad ng nakikita mo, ang Z coordinate ay hindi nagbabago, ngunit ang X at Y lamang ang nagbabago.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (talagang Za`=Za)
Pag-ikot parallel sa XOZ plane. Walang bago,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (sa katunayan, Ya`=Ya)
Za`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za
At ang ikatlong matris.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (talagang Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinФ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za
At para sa ikaapat na dimensyon, ganito ang hitsura nila: 
Sa tingin ko naiintindihan mo na kung ano ang dapat i-multiply, kaya hindi ko na ito ipipinta muli. Ngunit tandaan ko na ginagawa nito ang parehong bilang ng matrix para sa pag-ikot parallel sa eroplano sa tatlong-dimensional na espasyo! Parehong iyon at ang isang ito ay nagbabago lamang ng ordinate at ang applicate, at ang natitirang mga coordinate ay hindi hinawakan, samakatuwid maaari itong gamitin sa three-dimensional na kaso, na binabalewala lamang ang ikaapat na coordinate.
Ngunit sa formula ng projection, hindi lahat ay napakasimple. Kahit gaano ko basahin ang mga forum, wala sa mga pamamaraan ng projection ang nababagay sa akin. Hindi nababagay sa akin ang Parallel, dahil hindi magiging three-dimensional ang projection. Sa ilang mga formula ng projection, upang makahanap ng isang punto, kailangan mong lutasin ang isang sistema ng mga equation (at hindi ko alam kung paano magturo sa isang computer upang malutas ang mga ito), hindi ko lang naiintindihan ang iba ... Sa pangkalahatan, nagpasya ako para makabuo ng sarili kong paraan. Isaalang-alang para dito ang projection 2D->1D.
Ang ibig sabihin ng pov ay "Point of view" (point of view), ang ptp ay nangangahulugang "Point to project" (point to be projected), at ang ptp` ay gustong punto sa OX axis.
Ang mga anggulo na povptpB at ptpptp`A ay katumbas ng katumbas (ang mga putol-putol na linya ay parallel sa axis OX, ang linyang povptp ay secant).
Ang x ng ptp` ay katumbas ng x ng ptp na binawasan ang haba ng segment na ptp`A. Ang segment na ito ay matatagpuan mula sa tatsulok na ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangent ng anggulo ptpptp`A. Mahahanap natin ang tangent na ito mula sa tatsulok na povptpB: tangent ng anggulo ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Sagot: Xptp`=Xptp-Yptp/tangent ng anggulo ptpptp`A.
Hindi ko inilarawan ang algorithm na ito nang detalyado dito, dahil maraming mga espesyal na kaso kung saan medyo nagbabago ang formula. Sino ang nagmamalasakit - tingnan ang source code ng programa, ang lahat ay nakasulat sa mga komento.
Upang mai-proyekto ang isang punto sa three-dimensional na espasyo sa isang eroplano, isinasaalang-alang lang namin ang dalawang eroplano - XOZ at YOZ, at lutasin ang problemang ito para sa bawat isa sa kanila. Sa kaso ng isang four-dimensional na espasyo, kinakailangang isaalang-alang ang tatlong eroplano: XOQ, YOQ at ZOQ.
At sa wakas, tungkol sa programa. Ito ay gumagana tulad nito: magpasimula ng labing-anim na vertices ng tesseract -> depende sa mga command na ipinasok ng user, paikutin ito -> project sa volume -> depende sa mga command na ipinasok ng user, i-rotate ang projection nito -> project sa isang eroplano -> gumuhit.
Mga projection at rotation na sinulat ko sa sarili ko. Gumagana sila ayon sa mga formula na inilarawan ko. Ang OpenGL library ay gumuhit ng mga linya at naghahalo rin ng mga kulay. At ang mga coordinate ng vertices ng tesseract ay kinakalkula sa ganitong paraan:
Line vertex coordinate na nakasentro sa pinanggalingan at haba 2 - (1) at (-1);
- "-" - isang parisukat - "-" - at isang gilid ng haba 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) at (-1; -1);
- " - " - kubo - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Gaya ng nakikita mo, ang parisukat ay isang linya sa itaas ng OY axis at isang linya sa ibaba ng OY axis; ang isang cube ay isang parisukat sa harap ng XOY plane, at isa sa likod nito; ang tesseract ay isang cube sa kabilang panig ng volume ng XOYZ, at isa sa panig na ito. Ngunit mas madaling makita ang paghahalili ng mga unit at minus na unit kung ito ay nakasulat sa isang column
1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1
Sa unang column, isa at minus one ang kahalili. Sa pangalawang hanay, una mayroong dalawang plus, pagkatapos ay dalawang minus. Sa pangatlo - apat na kasama ang isa, at pagkatapos ay apat na minus isa. Ito ang mga tuktok ng kubo. Ang tesseract ay may dalawang beses na mas marami sa kanila, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang magsulat ng isang cycle para sa pagdedeklara ng mga ito, kung hindi, ito ay napakadaling malito.
Ang aking programa ay marunong ding gumuhit ng anaglyph. Ang mga masayang may-ari ng 3D na baso ay makakapanood ng stereoscopic na larawan. Walang nakakalito sa pagguhit ng isang larawan, ito ay gumuhit lamang ng dalawang projection sa isang eroplano, para sa kanan at kaliwang mata. Ngunit ang programa ay nagiging mas visual at kawili-wili, at pinaka-mahalaga - nagbibigay pinakamahusay na pagganap tungkol sa four-dimensional na mundo.
Hindi gaanong makabuluhang mga pag-andar - pag-highlight ng isa sa mga mukha sa pula, upang mas makita mo ang mga pagliko, pati na rin ang mga menor de edad na kaginhawahan - pagsasaayos ng mga coordinate ng mga punto ng "mata", pagtaas at pagbaba ng bilis ng pag-ikot.
I-archive kasama ang program, source code at mga tagubilin para sa paggamit.
