Ang isang linya at isang eroplano ay tinatawag na parallel kung wala silang mga karaniwang punto. Kung ang isang linya na wala sa isang partikular na eroplano ay parallel sa isang linya sa eroplanong iyon

1. Kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang ibinigay na linya na kahanay ng isa pang eroplano at nag-intersect sa eroplanong ito, kung gayon ang linya ng intersection ng mga eroplano ay parallel sa ibinigay na linya.

2. Kung ang isa sa dalawang parallel na linya ay parallel sa isang partikular na eroplano, at ang kabilang linya ay may isang eroplano pangkaraniwang punto, pagkatapos ang linyang ito ay nasa ibinigay na eroplano. eroplano, pagkatapos ito ay parallel sa mismong eroplano.

kaso Kaugnay na posisyon tuwid at eroplano: a) ang linya ay nasa isang eroplano;

b) ang isang linya at isang eroplano ay may isang karaniwang punto lamang; c) isang linya at isang eroplano ay walang karaniwang punto.

2. Pagpapasiya ng natural na laki ng isang segment ng isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon sa pamamagitan ng paraan ng isang right triangle.

Ang natural na halaga (n.v.) ng isang line segment AB sa pangkalahatang posisyon ay ang hypotenuse ng isang right triangle ABK. Sa tatsulok na ito, ang leg AK ay parallel sa eroplano ng mga projection π1 at katumbas ng pahalang na projection ng segment A"B". Ang leg BK ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga distansya ng mga puntos A at B mula sa eroplano π1.

Sa pangkalahatang kaso, upang matukoy ang natural na sukat ng isang tuwid na linya ng segment, kinakailangan upang bumuo ng hypotenuse ng isang kanang tatsulok, ang isang binti kung saan ay ang pahalang (frontal) na projection ng segment, ang isa pang binti ay isang segment na katumbas. sa magnitude sa algebraic na pagkakaiba ng Z (Y) na mga coordinate ng mga matinding punto ng segment.

Ang anggulo α ay matatagpuan mula sa isang right-angled triangle - ang anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya sa pahalang na eroplano ng mga projection.

Upang matukoy ang anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya sa frontal projection plane, kinakailangan upang magsagawa ng mga katulad na constructions sa frontal projection ng segment.

3. Ang mga pangunahing linya ng eroplano (pahalang, pangharap).

Ang pahalang ng eroplanong P ay isang tuwid na linya na nasa eroplanong ito at kahanay ng pahalang na eroplano. Ang pahalang bilang isang tuwid na linya na parallel sa pahalang na eroplano ay may frontal projection ѓ parallel sa x-axis.

Ang harap ng eroplanong P ay isang tuwid na linya na nasa eroplanong ito at kahanay ng pangharap na eroplano.

Ang frontal ay isang tuwid na linya parallel sa frontal plane, at ang pahalang na projection f ay parallel sa x-axis.

4. Parehong posisyon ng mga tuwid na linya sa espasyo. Pagpapasiya ng visibility sa pamamagitan ng mga nakikipagkumpitensyang puntos. Dalawang tuwid na linya sa kalawakan ay maaaring magkaroon ng magkaibang lokasyon: A) magsalubong (nakahiga sa parehong eroplano). Ang isang espesyal na kaso ng intersection - sa isang tamang anggulo; B) ay maaaring magkatulad (nakahiga sa parehong eroplano); C) nag-tutugma - isang espesyal na kaso ng parallelism; D) cross (nakahiga sa iba't ibang mga eroplano at huwag mag-intersect).

Ang mga puntos na ang mga projection sa P1 ay nagtutugma ay tinatawag na nakikipagkumpitensya may kinalaman sa eroplanong P1, at ang mga punto na ang mga projection sa P2 ay nag-tutugma ay tinatawag nakikipagkumpitensya may kinalaman sa eroplanong P2.

Ang mga puntos na K at L ay nakikipagkumpitensya sa eroplanong P1, dahil sa eroplano P1 ang mga puntos na K at L ay inaasahang nasa isang punto: K1 = L1.

Ang punto K ay mas mataas kaysa sa punto L, dahil Ang K2 ay mas mataas kaysa sa puntong L2, samakatuwid ang K1 ay makikita sa P1.

Teorama

Kung straight, hindi kabilang sa eroplano, ay parallel sa ilang linya sa eroplanong ito, pagkatapos ay parallel din ito sa mismong eroplano.

Patunay

Hayaang ang α ay isang eroplano, isang linya na hindi nakalagay dito, at isang linya sa eroplano na α na kahanay ng linya a. Iguhit natin ang eroplanong α1 sa pamamagitan ng mga linyang a at a1. Ang mga eroplanong α at α1 ay nagsalubong sa linyang a1. Kung ang linyang a ay nag-intersect sa eroplanong α, kung gayon ang punto ng intersection ay kabilang sa linya a1. Ngunit ito ay imposible, dahil ang mga linya a at a1 ay magkatulad. Samakatuwid, ang linyang a ay hindi sumasalubong sa eroplanong α, at samakatuwid ay kahanay sa eroplanong α. Ang teorama ay napatunayan.

18. EROPLO

Kung ang dalawang magkatulad na eroplano ay nagsalubong sa isang pangatlo, kung gayon ang mga linya ng intersection ay magkatulad.(Larawan 333).

Sa katunayan, ayon sa kahulugan Ang mga parallel na linya ay mga linya na nasa parehong eroplano at hindi nagsalubong. Ang aming mga linya ay nasa parehong eroplano - ang secant na eroplano. Hindi sila nagsalubong, dahil ang mga magkatulad na eroplano na naglalaman ng mga ito ay hindi nagsalubong.

Kaya ang mga linya ay parallel, na kung ano ang gusto naming patunayan.

Ari-arian

§ Kung ang eroplano α ay parallel sa bawat isa sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa kabilang eroplano β, kung gayon ang mga eroplanong ito ay parallel

§ Kung ang dalawang magkatulad na eroplano ay nagsalubong sa isang pangatlo, kung gayon ang mga linya ng kanilang intersection ay magkatulad

§ Sa pamamagitan ng isang punto sa labas ng isang partikular na eroplano, posible na gumuhit ng isang eroplano na parallel sa isang ibinigay na isa, at higit pa rito, isa lamang

§ Ang mga segment ng parallel na linya na nalilimitahan ng dalawang parallel na eroplano ay pantay

§ Dalawang anggulo na may magkatulad na magkatulad at magkapantay na direksyon na mga gilid ay pantay at nakahiga sa magkatulad na mga eroplano

19.

Kung ang dalawang linya ay nasa parehong eroplano, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay madaling masukat - halimbawa, gamit ang isang protractor. At kung paano sukatin anggulo sa pagitan ng linya at eroplano?

Hayaang bumalandra ang linya sa eroplano, at hindi sa tamang anggulo, ngunit sa ibang anggulo. Ang ganitong linya ay tinatawag pahilig.

Ihulog natin ang isang patayo mula sa isang puntong nakahilig sa ating eroplano. Ikonekta ang base ng patayo sa punto ng intersection ng hilig at ng eroplano. Nakakuha kami projection ng isang pahilig na eroplano.

Ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay ang anggulo sa pagitan ng isang linya at ang projection nito sa isang partikular na eroplano..

Pakitandaan - pumili kami ng isang matinding anggulo bilang anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano.

Kung ang linya ay parallel sa eroplano, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano ay zero.

Kung ang isang linya ay patayo sa isang eroplano, ang projection nito sa eroplano ay isang punto. Malinaw, sa kasong ito ang anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano ay 90°.

Ang isang linya ay patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa anumang linya sa eroplanong iyon..

Ito ang kahulugan. Ngunit paano makipagtulungan sa kanya? Paano suriin na ang isang naibigay na linya ay patayo sa lahat ng mga linya na nakahiga sa eroplano? Pagkatapos ng lahat, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga ito.

Sa pagsasagawa, ito ay inilapat tanda ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano:

Ang isang linya ay patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa eroplanong iyon.

21. Dihedral anggulo- spatial geometric na pigura, na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na nagmumula sa isang tuwid na linya, pati na rin ang isang bahagi ng kalawakan na napapalibutan ng mga kalahating eroplanong ito.

Ang dalawang eroplano ay sinasabing patayo kung ang dihedral na anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90 degrees.

§ Kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay patayo.

§ Kung mula sa isang puntong kabilang sa isa sa dalawa patayo na mga eroplano, gumuhit ng isang patayo sa isa pang eroplano, pagkatapos ang patayo na ito ay ganap na namamalagi sa unang eroplano.

§ Kung sa isa sa dalawang patayo na eroplano ay gumuhit tayo ng patayo sa kanilang linya ng intersection, kung gayon ang patayo na ito ay magiging patayo sa pangalawang eroplano.

Ang dalawang intersecting na eroplano ay bumubuo ng apat na dihedral na anggulo na may karaniwang gilid: mga pares patayong mga anggulo ay pantay at ang kabuuan ng dalawang magkatabing anggulo ay 180°. Kung tama ang isa sa apat na anggulo, pantay at tama rin ang tatlo. Ang dalawang eroplano ay tinatawag na patayo kung ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tama.

Teorama. Kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplano ay patayo.

Hayaan at maging dalawang eroplano na ito ay dumaan sa linyang AB, patayo sa at intersecting dito sa punto A (Larawan 49). Patunayan natin na _|_ . Ang mga eroplano at bumalandra sa ilang linya AC, at AB _|_ AC, dahil AB _|_ . Gumuhit tayo ng linyang AD sa eroplano, patayo sa linyang AC.

Pagkatapos ang anggulo BAD ay isang linear na anggulo dihedral na anggulo, nakapag-aral at . Pero< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. Ang polyhedron ay isang katawan na ang ibabaw ay binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga flat polygon.

1. alinman sa mga polygon na bumubuo sa polyhedron, maaari mong maabot ang alinman sa mga ito sa pamamagitan ng pagpunta sa isang katabi nito, at mula dito, sa turn, sa isang katabi nito, atbp.

Tinatawag ang mga polygon na ito mga mukha, ang kanilang mga panig - tadyang, at ang kanilang mga vertex ay mga taluktok polyhedron. Ang pinakasimpleng mga halimbawa ng polyhedra ay matambok na polyhedra, iyon ay, ang hangganan ng isang bounded subset ng Euclidean space, na siyang intersection ng isang finite number of half-spaces.

Ang kahulugan sa itaas ng polyhedron ay may ibang kahulugan depende sa kung paano tinukoy ang polygon, kung saan posible ang sumusunod na dalawang opsyon:

§ Mga patag na saradong putol na linya (kahit na sila ay nagsalubong sa sarili);

§ Mga bahagi ng eroplano na napapalibutan ng mga putol na linya.

Sa unang kaso, nakuha namin ang konsepto ng isang star polyhedron. Sa pangalawa, ang polyhedron ay isang ibabaw na binubuo ng mga polygonal na piraso. Kung ang ibabaw na ito ay hindi bumalandra sa sarili nito, kung gayon ito ang buong ibabaw ng ilang geometric na katawan, na tinatawag ding polyhedron. Kaya't ang ikatlong kahulugan ng polyhedron ay lumitaw, bilang ang geometric na katawan mismo.

tuwid na prisma

Ang prisma ay tinatawag tuwid kung ito gilid tadyang patayo sa mga base.
Ang prisma ay tinatawag pahilig kung ang mga gilid na gilid nito ay hindi patayo sa mga base.
Ang isang tuwid na prisma ay may mga mukha na parihaba.

Ang prisma ay tinatawag tama kung ang mga base nito ay mga regular na polygon.
Ang lugar ng lateral surface ng prisma ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha.
Buong ibabaw ng prisma katumbas ng kabuuan ng lateral surface at ang mga lugar ng mga base

Mga elemento ng prisma:
Points - tinatawag na vertices
Ang mga segment ay tinatawag na lateral edges
Ang mga polygon at - ay tinatawag na mga base. Ang mga eroplano mismo ay tinatawag ding mga base.

24. Parallelepiped(mula sa Greek παράλλος - parallel at Greek επιπεδον - plane) - isang prisma, ang base nito ay parallelogram, o (katumbas) isang polyhedron, na may anim na mukha at bawat isa sa kanila ay parallelogram.

§ Ang parallelepiped ay simetriko tungkol sa midpoint ng dayagonal nito.

§ Anumang segment na may mga dulo, nabibilang sa ibabaw isang parallelepiped at dumadaan sa gitna ng dayagonal nito, hinahati ito sa kalahati; sa partikular, ang lahat ng mga diagonal ng parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ito.

§ Ang magkasalungat na mukha ng isang parallelepiped ay parallel at pantay.

§ Square ng diagonal na haba kuboid ay katumbas ng kabuuan mga parisukat ng tatlong sukat nito.

Lugar ng ibabaw ng isang cuboid ay katumbas ng dalawang beses ang kabuuan ng mga lugar ng tatlong mukha ng parallelepiped na ito:

1.	S= 2(S a+Sb+S c)= 2(ab+bc+ac)

25 .Pyramid at mga elemento nito

Isaalang-alang ang isang eroplano , isang polygon na nakahiga dito at isang punto S na hindi nakahiga dito. Ikonekta ang S sa lahat ng vertices ng polygon. Ang nagresultang polyhedron ay tinatawag na isang pyramid. Ang mga segment ay tinatawag na lateral edges. Ang polygon ay tinatawag na base, at ang puntong S ay tinatawag na tuktok ng pyramid. Depende sa bilang n, ang pyramid ay tinatawag na triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) at iba pa. Alternatibong pangalan para sa triangular na pyramid - tetrahedron. Ang taas ng isang pyramid ay ang perpendikular na iginuhit mula sa tuktok nito hanggang sa base plane.

Ang isang pyramid ay tinatawag na tama kung regular na polygon, at ang base ng taas ng pyramid (ang base ng patayo) ay ang sentro nito.

Ang programa ay dinisenyo upang kalkulahin ang lateral surface area tamang pyramid.
Ang pyramid ay isang polyhedron na may base sa anyo ng isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex.

Ang formula para sa pagkalkula ng lateral surface area ng isang regular na pyramid ay:

kung saan ang p ay ang perimeter ng base (polygon ABCDE),
a - apothem (OS);

Ang apothem ay ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito.

Upang mahanap ang lateral surface area ng isang regular na pyramid, ipasok ang pyramid perimeter at apothem na halaga, pagkatapos ay i-click ang "CALCULATE" na buton. Ang programa ay tutukuyin ang lateral surface area ng isang regular na pyramid, ang halaga nito ay maaaring nakalagay sa clipboard.

Pinutol na pyramid

Ang pinutol na pyramid ay isang bahagi kumpletong pyramid nakapaloob sa pagitan ng base at isang seksyon na kahanay nito.
Tinatawag na cross section itaas na base ng isang pinutol na pyramid, at ang base ng buong pyramid ay ibabang base pinutol na pyramid. (Ang mga base ay magkatulad.) Mga mukha sa gilid pinutol na pyramid - trapezoid. Sa isang pinutol na pyramid 3 n tadyang, 2 n mga taluktok, n+ 2 mukha, n(n- 3) mga dayagonal. Ang distansya sa pagitan ng itaas at mas mababang mga base ay ang taas ng pinutol na pyramid (ang segment na pinutol mula sa taas ng buong pyramid).
Square buong ibabaw ang pinutol na pyramid ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga mukha nito.
Ang dami ng pinutol na pyramid ( S at s- base area, H- taas)

Katawan ng pag-ikot tinatawag na katawan na nabuo bilang resulta ng pag-ikot ng isang linya sa paligid ng isang tuwid na linya.

Ang isang kanang pabilog na silindro ay nakasulat sa isang globo kung ang mga bilog ng mga base nito ay nasa sphere. Ang mga base ng silindro ay maliliit na bilog ng bola, ang gitna ng bola ay tumutugma sa gitna ng axis ng silindro. [ 2 ]

Ang isang kanang pabilog na silindro ay nakasulat sa isang globo kung ang mga bilog ng mga base nito ay nasa sphere. Malinaw, ang gitna ng globo ay wala sa gitna ng axis ng silindro. [ 3 ]

Dami ng anumang silindro ay katumbas ng produkto base area hanggang taas:

1.

V=π r 2 h

Buong lugar ibabaw ng silindro ay katumbas ng kabuuan ng lateral surface ng silindro at dobleng parisukat base ng silindro.

Ang formula para sa pagkalkula ng kabuuang lugar ng ibabaw ng isang silindro ay:

27. Ang isang bilog na kono ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang kanang tatsulok sa paligid ng isa sa mga binti nito, kaya naman ang isang bilog na kono ay tinatawag ding isang kono ng rebolusyon. Tingnan din ang Dami ng isang bilog na kono

Kabuuang lugar ng ibabaw ng isang pabilog na kono ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng lateral surface ng kono at ang base nito. Ang base ng isang kono ay isang bilog at ang lugar nito ay kinakalkula gamit ang formula para sa lugar ng isang bilog:

2.	S=π rl+π r 2=π r(r+l)

28. Frustum nakuha sa pamamagitan ng pagguhit ng isang seksyon na kahanay sa base ng isang kono. Ang katawan na nakatali sa seksyong ito, ang base at ang lateral na ibabaw ng kono ay tinatawag na pinutol na kono. Tingnan din ang Dami ng isang pinutol na kono

Kabuuang lugar ng ibabaw ng isang pinutol na kono ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng lateral surface ng pinutol na kono at ang mga base nito. Ang mga base ng isang pinutol na kono ay mga bilog at ang kanilang lugar ay kinakalkula gamit ang formula para sa lugar ng isang bilog: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)l+ r 2 2)

29. Ang bola ay isang geometric na katawan na napapalibutan ng isang ibabaw, ang lahat ng mga punto ay nasa pantay na distansya mula sa gitna. Ang distansya na ito ay tinatawag na radius ng globo.

Sphere(Greek σφαῖρα - bola) - isang saradong ibabaw, geometric na lugar mga punto sa espasyo na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag na sentro ng globo. Ang sphere ay isang espesyal na kaso ng isang ellipsoid, kung saan ang lahat ng tatlong axes (kalahating axes, radii) ay pantay. Ang sphere ay ang ibabaw ng bola.

Ang lugar ng spherical surface ng spherical segment (spherical sector) at ang spherical layer ay nakasalalay lamang sa kanilang taas at radius ng bola at katumbas ng circumference ng malaking bilog ng bola, na pinarami ng taas.

Dami ng bola katumbas ng volume ng pyramid, ang base nito ay may parehong lugar sa ibabaw ng bola, at ang taas ay ang radius ng bola

Ang volume ng isang sphere ay isa at kalahating beses na mas mababa kaysa sa volume ng isang silindro na nakapaligid dito.

mga elemento ng bola

Ball Segment Hinahati ng cutting plane ang bola sa dalawang segment ng bola. H- taas ng segment, 0< H < 2 R, r- segment base radius, Dami ng segment ng bola Ang lugar ng spherical surface ng spherical segment
Spherical layer Ang spherical layer ay isang bahagi ng isang sphere na nakapaloob sa pagitan ng dalawang parallel na seksyon. Distansya ( H) sa pagitan ng mga seksyon ay tinatawag taas ng layer, at ang mga seksyon mismo - mga base ng layer. Spherical surface area( dami) ng spherical layer ay makikita bilang pagkakaiba sa mga lugar mga spherical na ibabaw(mga volume) ng mga spherical na segment.

 1. Pagpaparami ng vector sa isang numero(Larawan 56).

Produktong vector PERO bawat numero λ tinatawag na vector AT, na ang modulus ay katumbas ng produkto ng modulus ng vector PERO bawat modulo number λ :

Hindi nagbabago ang direksyon kung λ > 0 ; pagbabago sa kabaligtaran kung λ < 0 . Kung ang λ = −1, pagkatapos ay ang vector

tinatawag na vector, kabaligtaran ng vector PERO, at tinutukoy

 2. Pagdaragdag ng vector. Upang mahanap ang kabuuan ng dalawang vectors PERO at AT vector

Kung gayon ang kabuuan ay magiging isang vector, ang simula nito ay tumutugma sa simula ng una, at ang pagtatapos - sa pagtatapos ng pangalawa. Ang panuntunan sa pagdaragdag ng vector na ito ay tinatawag na "tuntunin ng tatsulok" (Larawan 57). ito ay kinakailangan upang ilarawan ang summand vectors upang ang simula ng pangalawang vector ay tumutugma sa dulo ng una.

Madaling patunayan na para sa mga vector "ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa isang pagbabago sa mga lugar ng mga termino."
Ipahiwatig natin ang isa pang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga vector - ang "parallelogram rule". Kung pagsasamahin natin ang mga simula ng summand vectors at bumuo ng parallelogram sa mga ito, kung gayon ang kabuuan ay magiging isang vector na tumutugma sa dayagonal ng parallelogram na ito (Fig. 58).

Malinaw na ang pagdaragdag ayon sa "parallelogram rule" ay humahantong sa parehong resulta tulad ng ayon sa "triangle rule".
Ang "triangle rule" ay madaling i-generalize (sa kaso ng ilang termino). Para mahanap kabuuan ng mga vector

Kinakailangan na pagsamahin ang simula ng pangalawang vector sa dulo ng una, ang simula ng pangatlo - sa dulo ng pangalawa, atbp. Pagkatapos ay ang simula ng vector MULA SA tumutugma sa simula ng una, at sa wakas MULA SA- sa dulo ng huli (Larawan 59).

 3. Pagbabawas ng mga vector. Ang operasyon ng pagbabawas ay nabawasan sa dalawang nakaraang operasyon: ang pagkakaiba ng dalawang vector ay ang kabuuan ng una na may vector na kabaligtaran ng pangalawa:

Maaari mo ring bumalangkas ng "triangle rule" para sa pagbabawas ng mga vector: kinakailangan na pagsamahin ang mga simula ng mga vector. PERO at AT, kung gayon ang kanilang pagkakaiba ay ang vector

Iginuhit mula sa dulo ng vector AT patungo sa dulo ng vector PERO(Larawan 60).

Sa mga sumusunod, pag-uusapan natin ang tungkol sa displacement vector materyal na punto, iyon ay, isang vector na nagkokonekta sa inisyal at huling mga posisyon ng punto. Sumang-ayon na ang ipinakilalang mga panuntunan ng pagkilos sa mga vector ay medyo halata para sa mga displacement vectors.

 4. Dot product ng mga vectors. resulta produkto ng tuldok dalawang vector PERO at AT ay ang bilang c katumbas ng produkto ng mga module ng mga vectors at ang cosine ng anggulo α sa pagitan

Ang scalar na produkto ng mga vector ay napakalawak na ginagamit sa pisika. Sa hinaharap, madalas nating haharapin ang ganitong operasyon.

Ang kahulugan ng mga parallel na linya at ang kanilang mga katangian sa kalawakan ay kapareho ng sa eroplano (tingnan ang aytem 11).

Kasabay nito, ang isa pang kaso ng pag-aayos ng mga linya ay posible sa espasyo - mga skew na linya. Ang mga linyang hindi nagsalubong at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay tinatawag na mga intersecting na linya.

Ipinapakita ng Figure 121 ang layout ng sala. Nakikita mo na ang mga linya kung saan nabibilang ang mga segment na AB at BC ay skew.

Ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya ay ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya na kahanay sa kanila. Ang anggulong ito ay hindi nakadepende sa kung aling mga intersecting na linya ang kinukuha.

Ang sukat ng antas ng anggulo sa pagitan ng mga parallel na linya ay ipinapalagay na zero.

Ang isang karaniwang patayo ng dalawang magkasalubong na linya ay isang segment na may mga dulo sa mga linyang ito, na isang patayo sa bawat isa sa kanila. Maaari itong patunayan na ang dalawang intersecting na linya ay may isang karaniwang patayo, at higit pa rito, isa lamang. Ito ay isang karaniwang patayo ng mga parallel na eroplano na dumadaan sa mga linyang ito.

Ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya ay ang haba ng kanilang karaniwang patayo. Ito ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano na dumadaan sa mga linyang ito.

Kaya, upang mahanap ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b (Larawan 122), kinakailangan upang gumuhit ng mga parallel na eroplano a at sa bawat isa sa mga linyang ito. Ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong ito ay ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b. Sa figure 122, ang distansya na ito ay, halimbawa, ang distansya AB.

Halimbawa. Ang mga linyang a at b ay magkatulad at ang mga linyang c at d ay nagsalubong. Maaari bang i-intersect ng bawat isa sa mga linya ang magkabilang linya

Solusyon. Ang mga linyang a at b ay nasa parehong eroplano, at samakatuwid ang anumang linya na nagsalubong sa bawat isa sa kanila ay nasa parehong eroplano. Samakatuwid, kung ang bawat isa sa mga linya a, b ay nagsalubong sa parehong mga linya c at d, kung gayon ang mga linya ay nasa parehong eroplano na may mga linya ng a at b, at hindi ito maaaring, dahil ang mga linya ay nagsalubong.

42. Paralelismo ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

Ang isang linya at isang eroplano ay tinatawag na parallel kung hindi sila magsalubong, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang punto. Kung ang linya a ay parallel sa eroplano a, pagkatapos ay isusulat nila:.

Ang Figure 123 ay nagpapakita ng isang tuwid na linya na kahanay ng eroplano a.

Kung ang isang linya na hindi kabilang sa isang eroplano ay parallel sa ilang linya sa eroplanong ito, kung gayon ito ay parallel din sa mismong eroplano (isang tanda ng parallelism ng linya at ng eroplano).

Ang teorama na ito ay nagpapahintulot tiyak na sitwasyon Patunayan na ang isang linya at isang eroplano ay parallel. Ang Figure 124 ay nagpapakita ng isang tuwid na linya b, parallel sa isang tuwid na linya a, na nakahiga sa eroplano a, ibig sabihin, sa kahabaan ng tuwid na linya b parallel sa eroplano a, i.e.

Halimbawa. Sa pamamagitan ng tuktok tamang anggulo Mula sa hugis-parihaba tatsulok ABC Ang isang eroplano ay iginuhit parallel sa hypotenuse sa layo na 10 cm mula dito. Ang mga projection ng mga binti sa eroplanong ito ay 30 at 50 cm.Hanapin ang projection ng hypotenuse sa parehong eroplano.

Solusyon. Mula sa kanang tatsulok Ang BBVC at (Larawan 125) ay makikita natin:

Mula sa tatsulok na ABC nakita namin:

Ang projection ng hypotenuse AB sa eroplano a ay . Dahil ang AB ay parallel sa eroplano a, kung gayon So,.

43. Parallel na eroplano.

Dalawang eroplano ay tinatawag na parallel. kung hindi sila magsalubong.

Dalawang eroplano ay parallel" kung ang isa sa mga ito ay parallel sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isa pang eroplano (isang tanda ng parallelism ng dalawang eroplano).

Sa Figure 126, ang eroplano a ay parallel sa mga intersecting na linya a at b na nakahiga sa eroplano, at sa kahabaan ng mga eroplanong ito ay parallel.

Sa pamamagitan ng isang punto sa labas ng isang naibigay na eroplano, posible na gumuhit ng isang eroplano na parallel sa ibinigay na isa, at higit pa rito, isa lamang.

Kung ang dalawang magkatulad na eroplano ay nagsalubong sa isang pangatlo, kung gayon ang mga linya ng intersection ay magkatulad.

Ang Figure 127 ay nagpapakita ng dalawang parallel na eroplano, at ang y plane ay nag-intersect sa kanila sa mga tuwid na linya a at b. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Theorem 2.7, maaari nating igiit na ang mga linyang a at b ay magkatulad.

Ang mga segment ng parallel lines na nakapaloob sa pagitan ng dalawang parallel planes ay pantay.

Ayon sa T.2.8, ang mga segment AB at ipinapakita sa Figure 128 ay pantay, dahil

Hayaang magsalubong ang mga eroplanong ito. Gumuhit ng isang eroplano na patayo sa linya ng kanilang intersection. Nag-intersect ang mga eroplanong ito sa dalawang tuwid na linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tinatawag na anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ito (Larawan 129). Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano na tinukoy sa ganitong paraan ay hindi nakasalalay sa pagpili ng secant plane.