Das Geometriestudium ist breit, umfangreich und facettenreich: Es umfasst viele verschiedene Themen, Regeln, Theoreme und nützliches Wissen. Man kann sich vorstellen, dass alles in unserer Welt aus dem Einfachsten, sogar dem Komplexesten besteht. Punkte, Linien, Ebenen - all das ist in Ihrem Leben. Und sie sind den bestehenden Weltgesetzen über die Beziehung von Objekten im Raum zugänglich. Um dies zu beweisen, kann man versuchen, die Parallelität von Linien und Ebenen zu beweisen.

Eine gerade Linie ist eine Linie, die zwei Punkte auf dem kürzesten Weg verbindet, ohne zu enden und auf beiden Seiten bis ins Unendliche zu dauern. Eine Ebene ist eine Fläche, die während der kinematischen Bewegung einer Erzeugenden einer geraden Linie entlang einer Führung gebildet wird. Mit anderen Worten, wenn zwei beliebige Geraden einen Schnittpunkt im Raum haben, können sie auch in derselben Ebene liegen. Wie aber direkte ausdrücken, wenn diese Daten für eine solche Behauptung nicht ausreichen?

Die Hauptbedingung für die Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene ist, dass sie nicht vorhanden sind Gemeinsame Punkte. Im Gegensatz zu geraden Linien, die mangels gemeinsamer Punkte möglicherweise nicht parallel, sondern divergierend sind, ist die Ebene zweidimensional, was divergierende gerade Linien ausschließt. Wenn ein dieser Zustand Parallelität wird nicht beachtet - es bedeutet, dass die Linie die gegebene Ebene an einem Punkt schneidet oder vollständig darin liegt.

Was zeigt uns die Bedingung der Parallelität einer Geraden und einer Ebene am deutlichsten? Die Tatsache, dass an jedem Punkt im Raum der Abstand zwischen einer parallelen Linie und einer Ebene konstant ist. Selbst bei der geringsten Neigung im Milliardstel Grad wird die gerade Linie aufgrund der gegenseitigen Unendlichkeit früher oder später die Ebene kreuzen. Aus diesem Grund ist die Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene nur möglich, wenn diese Regel eingehalten wird, da sonst ihre Hauptbedingung - das Fehlen gemeinsamer Punkte - nicht eingehalten wird.

Was kann hinzugefügt werden, wenn es um die Parallelität von Linien und Ebenen geht? Die Tatsache, dass, wenn eine der parallelen Linien zur Ebene gehört, die zweite entweder parallel zur Ebene ist oder auch zu ihr gehört. Wie kann man es beweisen? Die Parallelität einer Geraden und einer Ebene, die eine Parallele zu einer gegebenen Geraden enthält, wird sehr einfach bewiesen. haben keine gemeinsamen Punkte - daher schneiden sie sich nicht. Und wenn die Gerade die Ebene nicht in einem Punkt schneidet, dann ist sie entweder parallel oder liegt auf der Ebene. Dies beweist einmal mehr die Parallelität einer Geraden und einer Ebene, die keine Schnittpunkte haben.

Es gibt auch einen Satz in der Geometrie, der besagt, dass wenn es zwei Ebenen und eine gerade Linie senkrecht zu beiden gibt, die Ebenen parallel sind. Ein ähnlicher Satz besagt, dass zwei Linien, die senkrecht zu einer Ebene stehen, zwangsläufig parallel zueinander sind. Ist die durch diese Sätze ausgedrückte Parallelität von Linien und Ebenen richtig und beweisbar?

Es stellt sich heraus, dass es so ist. Gerade, senkrecht zur Ebene, wird immer streng senkrecht zu jeder Linie sein, die in der gegebenen Ebene liegt und auch einen Schnittpunkt mit einer anderen Linie hat. Wenn eine Linie ähnliche Schnittpunkte mit mehreren Ebenen hat und in allen Fällen senkrecht zu ihnen steht, dann sind alle diese Ebenen parallel zueinander. gutes Beispiel Eine Kinderpyramide kann dienen: Ihre Achse ist die gewünschte senkrechte Linie, und die Ringe der Pyramide sind Ebenen.

Daher ist es ziemlich einfach, die Parallelität einer Linie und einer Ebene zu beweisen. Dieses Wissen wird von Schülern beim Studium der Grundlagen der Geometrie erworben und bestimmt maßgeblich die weitere Aneignung des Stoffes. Wenn Sie wissen, wie Sie das zu Beginn der Ausbildung erworbene Wissen richtig anwenden, können Sie wo operieren große Menge Formeln und überspringen unnötige logische Verknüpfungen zwischen ihnen. Die Hauptsache ist, die Grundlagen zu verstehen. Wenn es nicht da ist, dann kann das Studium der Geometrie mit dem Bauen ohne Fundament verglichen werden. Genau deswegen dieses Thema erfordert genaue Aufmerksamkeit und gründliche Recherche.

Die Definition paralleler Linien und ihre Eigenschaften im Raum sind die gleichen wie in der Ebene (siehe Punkt 11).

Gleichzeitig ist ein weiterer Fall der Anordnung von Linien im Raum möglich - schräge Linien. Geraden, die sich nicht schneiden und nicht in derselben Ebene liegen, heißen sich schneidende Geraden.

Abbildung 121 zeigt den Grundriss des Wohnzimmers. Sie sehen, dass die Linien, zu denen die Segmente AB und BC gehören, schief sind.

Der Winkel zwischen sich schneidenden Linien ist der Winkel zwischen sich schneidenden Linien parallel zu ihnen. Dieser Winkel hängt nicht davon ab, welche Schnittlinien genommen werden.

Es wird angenommen, dass das Gradmaß des Winkels zwischen parallelen Linien Null ist.

Eine gemeinsame Senkrechte zweier sich schneidender Linien ist ein Segment mit Enden auf diesen Linien, das eine Senkrechte zu jeder von ihnen ist. Es lässt sich beweisen, dass zwei sich schneidende Geraden eine gemeinsame Senkrechte haben, und zwar nur eine. Es ist eine gemeinsame Senkrechte der parallelen Ebenen, die durch diese Linien gehen.

Der Abstand zwischen sich schneidenden Geraden ist die Länge ihrer gemeinsamen Senkrechten. Es ist gleich dem Abstand zwischen parallelen Ebenen, die durch diese Linien verlaufen.

Um also den Abstand zwischen den sich schneidenden Linien a und b (Abb. 122) zu finden, ist es notwendig, parallele Ebenen a und durch jede dieser Linien zu zeichnen. Der Abstand zwischen diesen Ebenen ist der Abstand zwischen den Schnittlinien a und b. In Abbildung 122 ist dieser Abstand beispielsweise der Abstand AB.

Beispiel. Die Linien a und b sind parallel und die Linien c und d schneiden sich. Kann jede der Geraden ein und beide Geraden schneiden

Entscheidung. Die Linien a und b liegen in derselben Ebene, und daher liegt jede Linie, die sie schneidet, in derselben Ebene. Wenn also jede der Linien a, b beide Linien c und d schneidet, dann würden die Linien in derselben Ebene mit den Linien a und b liegen, und das kann nicht sein, da sich die Linien schneiden.

42. Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene.

Eine Gerade und eine Ebene heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden, d. h. keine gemeinsamen Punkte haben. Wenn die Linie a parallel zur Ebene a ist, dann schreiben sie:.

Abbildung 123 zeigt eine gerade Linie a parallel zur Ebene a.

Wenn gerade, nicht zum Flugzeug gehören, parallel zu irgendeiner Linie in dieser Ebene ist, dann ist sie auch parallel zur Ebene selbst (ein Zeichen der Parallelität der Linie und der Ebene).

Dieser Satz erlaubt spezifische Situation Beweisen Sie, dass eine Gerade und eine Ebene parallel sind. Abbildung 124 zeigt eine gerade Linie b parallel zu einer geraden Linie a, die in der Ebene a liegt, d.h. entlang der geraden Linie b parallel zur Ebene a, d.h.

Beispiel. Durch die Spitze rechter Winkel Von rechteckig Dreieck ABC Parallel zur Hypotenuse wird im Abstand von 10 cm eine Ebene gezogen. Die Projektionen der Beine auf dieser Ebene betragen 30 und 50 cm. Finden Sie die Projektion der Hypotenuse auf derselben Ebene.

Entscheidung. Aus rechtwinklige Dreiecke BBVC und (Abb. 125) finden wir:

Aus dem Dreieck ABC finden wir:

Die Projektion der Hypotenuse AB auf die Ebene a ist . Da AB parallel zur Ebene a ist, gilt So,.

43. Parallele Ebenen.

Zwei Ebenen heißen parallel. wenn sie sich nicht schneiden.

Zwei Ebenen sind parallel", wenn eine von ihnen parallel zu zwei sich schneidenden Geraden ist, die in einer anderen Ebene liegen (ein Zeichen der Parallelität zweier Ebenen).

In Abbildung 126 ist die Ebene a parallel zu den in der Ebene liegenden Schnittlinien a und b, dann sind entlang dieser Ebenen parallel.

Durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Ebene kann man eine Ebene parallel zu der gegebenen ziehen, und zwar nur eine.

Wenn sich zwei parallele Ebenen mit einer dritten schneiden, dann sind die Schnittlinien parallel.

Abbildung 127 zeigt zwei parallele Ebenen, und die Ebene y schneidet sie entlang der geraden Linien a und b. Dann können wir nach Satz 2.7 behaupten, dass die Geraden a und b parallel sind.

Segmente paralleler Linien, die zwischen zwei parallelen Ebenen eingeschlossen sind, sind gleich.

Nach T.2.8 sind die in Abbildung 128 gezeigten Segmente AB und gleich, da

Lass diese Ebenen sich schneiden. Zeichnen Sie eine Ebene senkrecht zur Schnittlinie. Sie schneidet diese Ebenen entlang zweier gerader Linien. Der Winkel zwischen diesen Linien wird Winkel zwischen diesen Ebenen genannt (Abb. 129). Der Winkel zwischen den so definierten Ebenen hängt nicht von der Wahl der Sekantenebene ab.

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Anfängliche Geometrie untersucht die Konzepte und Beziehungen von Objekten. Ohne eine klare Begründung ist es unmöglich, hineinzunavigieren Anwendungsbereich. Das Zeichen der Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene ist der erste Schritt in der Geometrie des Raums. Beherrschung der ersten Kategorien näher bringen wird in die faszinierende Welt der Präzision, Logik, Klarheit.

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Objektverhältnis: mögliche Optionen

Stereometrie ist ein Werkzeug, um die Welt zu verstehen. Es untersucht die Beziehung von Gegenständen zueinander, lehrt, wie man Entfernungen ohne Lineal berechnet. Erfolgreiche Praxis erfordert die Grundbegriffe beherrschen.

Es gibt eine Fläche a und eine Linie l. Es gibt drei Fälle von Objektkorrelation. Sie werden durch Schnittpunkte definiert. Leicht zu erinnern:

• 0 Punkte - parallel;
• 1 Punkt - schneiden sich gegenseitig;
• unendlich viele - die Linie liegt in der Ebene.

Es ist einfach, das Zeichen der Parallelität von Objekten zu beschreiben. Auf der Fläche a befindet sich eine Linie mit || l, dann l || a.

Eine einfache Behauptung erfordert Beweise. Lassen Sie die Fläche durch die Linien ziehen: l || c. In Ω ist a = c. l habe einen gemeinsamen Punkt mit a. Es sollte auf p liegen. Dies widerspricht der Bedingung: l || c. Dann ist l parallel zur Ebene a. Startposition Rechts.

Wichtig! Es gibt mindestens eine Zeile im Raum || ebene Fläche. Dies steht im Einklang mit der Aussage der Ausgangsgeometrie (Planimetrie).

Ein einfacher Gedanke: a gehört zu mehr als einem Punkt l, also gehört die Linie l vollständig zu a.

ein || Ich nur wenn das Fehlen eines einzigen Schnittpunktes.

Dies ist eine logische Definition der Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene.

Einfach zu finden praktischer Nutzen Bestimmungen. Wie beweist man, dass eine Gerade parallel zu einer Ebene ist?

Es reicht aus, die untersuchte Funktion zu verwenden.

Was ist nützlich zu wissen

Für eine kompetente Lösung von Problemen ist es erforderlich, zusätzliche Anordnungen von Objekten zu studieren. Die Basis ist ein Zeichen der Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene. Seine Verwendung wird das Verständnis anderer Elemente erleichtern. Die Raumgeometrie berücksichtigt Sonderfälle.

Schnittpunkte in der Stereometrie

Die Objekte sind die gleichen: flache Oberfläche a, Linien c, l. Wie koexistieren sie? Mit || l. L schneidet a. Es ist leicht zu verstehen: c wird definitiv a schneiden. Diese Idee ist ein Lemma über den Schnitt einer Ebene durch parallele Linien.

Das Tätigkeitsfeld erweitert sich. Den untersuchten Objekten wird eine Oberfläche hinzugefügt. Sie besitzt l. An den Originalobjekten ändert sich nichts: l || a. Nochmal, es ist einfach: bei Schnittpunkt von Ebenen gemeinsame Linie d || l. Das Konzept folgt sofort: welche zwei Ebenen als schneidend bezeichnet werden. Diejenigen, die eine gemeinsame Linie haben.

Welche Theoreme müssen untersucht werden

Die Hauptbegriffe der Objektbeziehung führen zur Beschreibung der Hauptaussagen. Sie sind erfordern einen erweiterten Nachweis. Erstens: Sätze über die Parallelität einer Geraden und einer Ebene. Es werden verschiedene Fälle betrachtet.

1. Objekte: Flächen P, Q, R, Linien AB, CD. Bedingung: P||Q, R schneidet sie. Natürlich AB||CD.

1. Studienfächer: Linien AB, CD, A1B1, C1D1. AB schneidet CD in einer Ebene, A1B1 schneidet C1D1 in einer anderen. AB||A1B1, CD||C1D1. Fazit: Flächen, die sich paarweise schneiden parallele Linien, ||.

Ein neues Konzept entsteht . Sich kreuzende Linien sind selbst nicht parallel. obwohl sie in parallelen Ebenen liegen. Dies sind C1D1 und AB, A1B1 und CD. Dieses Phänomen wird in der praktischen Stereometrie häufig verwendet.

Natürliche Aussage: Durch eine der sich kreuzenden Linien ist es echt geht durch eine einzige parallele Ebene.

1. Dann kommt man leicht auf den Spursatz. Dies ist die dritte der Aussagen über die Parallelität einer Linie und einer Fläche. Es gibt eine Linie l. Sie || a. Ich gehöre zu. In Ω ist a = d. Die einzig mögliche Option ist: d || l.

Wichtig! Die Linie und die Ebene heißen || in Ermangelung gemeinsamer Objekte - Punkte.

Parallelitätseigenschaften und ihre Beweise

Es ist einfach, auf das Konzept der Lage von ebenen Flächen zu kommen:

• leere Menge gemeinsamer Punkte (genannt parallel);
• schneiden sich in einer geraden Linie.

Sie werden in der Stereometrie verwendet parallele Eigenschaften. Jedes räumliche Bild hat Flächen und Linien. Für erfolgreiche Lösung Probleme ist es erforderlich, die Hauptsätze zu studieren:

• Untersuchte Objekte: ein || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Ausgabe: l||m. Die Annahme bedarf eines Beweises. Die Position von l und m ist eine von zwei: schneiden oder parallel. Aber im zweiten Fall haben die Flächen keine gemeinsamen Punkte. Dann l || m. Die Behauptung ist bewiesen. Es sei daran erinnert: Wenn die Linie in einer Ebene liegt, haben sie mehr als einen Schnittpunkt.

• Es gibt eine Fläche a, der Punkt A gehört nicht zu a. Dann gibt es nur eine Fläche b || a Durchgang durch A. Der Satz ist leicht zu beweisen. Sei l Ω m; l, m gehören zu a. Durch jeden von ihnen wird ein Flugzeug gebaut und A. Sie überquert a. Es hat eine Linie, die durch A und || verläuft a. Im Punkt A schneiden sie sich. Sie bilden die einzige Fläche b || a.

• Es gibt Schnittlinien l und m. Dann gibt es || Flächen a und b, zu denen l und m gehören. Es ist logisch, dies zu tun: auf l und m zu wählen willkürliche Punkte. Bewege m1 || m, l1 || l. Sich paarweise kreuzende Linien || => ein || b. Die Position hat sich bewährt.

Die Kenntnis der Eigenschaften der Parallelität einer Geraden und einer Ebene ermöglicht es Ihnen, diese in der Praxis geschickt anzuwenden. Einfache und logische Beweise helfen Ihnen bei der Navigation faszinierende Welt Stereometrie.

Ebenen: Bewertung der Parallelität

Das Konzept zu beschreiben ist einfach. Frage: Was bedeutet es, eine Gerade und eine Ebene sind parallel, gelöst. Das Studium der anfänglichen Kategorien der Raumgeometrie führte zu einer komplexeren Aussage.

Bei der Entscheidung angewandte Aufgaben Parallelität gilt. Einfache Beschreibung: l Ω m, l1 Ω m1, l, m gehören zu a, l1, m1 – b. In diesem Fall l || l1, m || m1. Dann ein || b.

Ohne Anwendung mathematische Symbole: Ebenen werden als parallel bezeichnet, wenn sie durch sich schneidende paarweise parallele Linien gezogen werden.

Stereometrie berücksichtigt Eigenschaften paralleler Ebenen. Sie werden durch die Sätze beschrieben:

Untersuchte Objekte: ein || b, ein Ω c = l, b Ω c = m. Dann l || m. Offensichtlich Beweis. und Geraden liegen in derselben Ebene, wenn sie || oder schneiden. Die Aussage über die Parallelität von Linie und Fläche sollte gelten. Dann wird klar: l und m können sich nicht schneiden. Bleibt nur noch l || m.

Eine Gerade und eine Ebene heißen parallel, wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben. Wenn eine Linie, die nicht in einer bestimmten Ebene liegt, parallel zu einer Linie in dieser Ebene ist

1. Wenn eine Ebene durch eine gegebene Gerade parallel zu einer anderen Ebene verläuft und diese Ebene schneidet, dann ist die Schnittlinie der Ebenen parallel zu der gegebenen Geraden.

2. Wenn eine der beiden parallelen Geraden parallel zu einer gegebenen Ebene ist und die andere Gerade einen gemeinsamen Punkt mit der Ebene hat, dann liegt diese Gerade in der gegebenen Ebene. Ebene, dann ist sie parallel zur Ebene selbst.

Fälle der gegenseitigen Anordnung einer Geraden und einer Ebene: a) die Linie liegt in einer Ebene;

b) eine Gerade und eine Ebene haben nur einen gemeinsamen Punkt, c) eine Gerade und eine Ebene haben keinen gemeinsamen Punkt.

2. Bestimmung der natürlichen Größe eines Segments einer geraden Linie in allgemeiner Position durch die Methode eines rechtwinkligen Dreiecks.

Der natürliche Wert (n.v.) eines Liniensegments AB in allgemeiner Position ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ABK. In diesem Dreieck ist der Schenkel AK parallel zur Projektionsebene π1 und gleich der horizontalen Projektion des Segments A"B". Der Schenkel BK ist gleich der Differenz zwischen den Abständen der Punkte A und B von der Ebene π1.

Im allgemeinen Fall ist es zur Bestimmung der natürlichen Größe eines geraden Liniensegments erforderlich, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu konstruieren, dessen eines Bein die horizontale (frontale) Projektion des Segments ist, das andere Bein ist ein Segment gleich in der Größe der algebraischen Differenz der Z (Y)-Koordinaten der Extrempunkte des Segments.

Der Winkel α ergibt sich aus einem rechtwinkligen Dreieck - dem Neigungswinkel einer geraden Linie zur horizontalen Projektionsebene.

Um den Neigungswinkel einer Geraden zur Frontalprojektionsebene zu bestimmen, müssen ähnliche Konstruktionen an der Frontalprojektion des Segments durchgeführt werden.

3. Die Hauptlinien der Ebene (horizontal, frontal).

Die Horizontale der Ebene P ist eine Gerade, die in dieser Ebene liegt und parallel zur Horizontalebene verläuft. Die Horizontale als Gerade parallel zur Horizontalebene hat eine Frontalprojektion ѓ parallel zur x-Achse.

Die Front der Ebene P ist eine gerade Linie, die in dieser Ebene liegt und parallel zur Frontalebene ist.

Die Frontale ist eine gerade Linie parallel zur Frontalebene, und ihre horizontale Projektion f ist parallel zur x-Achse.

4. Gegenseitige Lage von Geraden im Raum. Bestimmung der Sichtbarkeit durch konkurrierende Punkte. Zwei Geraden im Raum können unterschiedliche Orte haben: A) sich schneiden (in derselben Ebene liegen). Ein Sonderfall der Überschneidung - im rechten Winkel; B) kann parallel sein (in derselben Ebene liegen); C) zusammenfallen - ein Sonderfall der Parallelität; D) kreuzen (in verschiedenen Ebenen liegen und sich nicht schneiden).

Punkte, deren Projektionen auf P1 zusammenfallen, werden genannt im Wettbewerb in Bezug auf die Ebene P1, und die Punkte, deren Projektionen auf P2 zusammenfallen, werden genannt im Wettbewerb bezüglich der Ebene P2.

Die Punkte K und L konkurrieren in Bezug auf die Ebene P1, da auf der Ebene P1 die Punkte K und L in einen Punkt projiziert werden: K1 = L1.

Punkt K ist höher als Punkt L, weil K2 ist höher als Punkt L2, daher ist K1 auf P1 sichtbar.