"Du kannst nicht durch Null teilen!" - Die meisten Schulkinder merken sich diese Regel auswendig, ohne Fragen zu stellen. Alle Kinder wissen, was „Nein“ ist und was passiert, wenn man darauf fragt: „Warum?“ Aber tatsächlich ist es sehr interessant und wichtig zu wissen, warum es unmöglich ist.
Die Sache ist die, dass die vier Operationen der Arithmetik – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – tatsächlich ungleich sind. Mathematiker erkennen nur zwei davon als vollwertig an - Addition und Multiplikation. Diese Operationen und ihre Eigenschaften sind in der eigentlichen Definition des Zahlenbegriffs enthalten. Alle anderen Aktionen sind auf die eine oder andere Weise aus diesen beiden aufgebaut.
Betrachten Sie zum Beispiel die Subtraktion. Was heißt 5 – 3 ? Der Schüler wird darauf einfach antworten: Sie müssen fünf Gegenstände nehmen, drei davon wegnehmen (entfernen) und sehen, wie viele übrig bleiben. Aber Mathematiker sehen dieses Problem ganz anders. Es gibt keine Subtraktion, nur Addition. Daher der Eintrag 5 – 3 bedeutet eine Zahl, die, wenn sie zu einer Zahl addiert wird 3 werde die Nummer geben 5 . Also 5 – 3 ist nur eine Abkürzung für die Gleichung: x + 3 = 5. In dieser Gleichung gibt es keine Subtraktion. Es gibt nur eine Aufgabe - zu finden passende Nummer.
Dasselbe gilt für Multiplikation und Division. Aufzeichnung 8: 4 kann als Ergebnis der Teilung von acht Objekten in vier gleiche Stapel verstanden werden. Aber es ist wirklich nur eine verkürzte Form der Gleichung 4 x = 8.
Hier wird deutlich, warum es unmöglich (oder besser gesagt unmöglich) ist, durch Null zu teilen. Aufzeichnung 5: 0 ist eine Abkürzung für 0 x = 5. Das heißt, diese Aufgabe besteht darin, eine Zahl zu finden, die multipliziert mit 0 wird geben 5 . Aber wir wissen das, wenn wir mit multiplizieren 0 stellt sich immer heraus 0 . Dies ist eine inhärente Eigenschaft von Null, streng genommen Teil seiner Definition.
Eine Zahl, die multipliziert mit 0 wird etwas anderes als null geben, existiert einfach nicht. Das heißt, unser Problem hat keine Lösung. (Ja, es kommt vor, nicht jedes Problem hat eine Lösung.) 5: 0 keiner bestimmten Zahl entspricht, und es steht einfach für nichts und macht daher keinen Sinn. Die Sinnlosigkeit dieses Eintrags wird kurz damit ausgedrückt, dass man nicht durch Null teilen kann.
Die aufmerksamsten Leser werden sich an dieser Stelle sicherlich fragen: Kann man Null durch Null teilen? In der Tat, da die Gleichung 0 x = 0 erfolgreich gelöst. Sie können zum Beispiel nehmen x=0, und dann bekommen wir 0 0 = 0. Es stellt sich heraus 0: 0=0 ? Aber beeilen wir uns nicht. Versuchen wir zu nehmen x=1. Werden 0 1 = 0. Korrekt? Meint, 0: 0 = 1 ? Aber Sie können jede Zahl nehmen und bekommen 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 usw.
Aber wenn irgendeine Zahl geeignet ist, dann haben wir keinen Grund, uns für eine von ihnen zu entscheiden. Das heißt, wir können nicht sagen, welche Nummer dem Eintrag entspricht 0: 0 . Und wenn ja, dann müssen wir zugeben, dass auch dieser Rekord keinen Sinn macht. Es stellt sich heraus, dass selbst Null nicht durch Null geteilt werden kann. (In der mathematischen Analyse gibt es Fälle, in denen man aufgrund zusätzlicher Bedingungen des Problems einem der Vorzug geben kann Optionen Lösung der Gleichung 0 x = 0; Mathematiker sprechen in solchen Fällen von "Offenbarung der Unbestimmtheit", aber in der Arithmetik kommen solche Fälle nicht vor.)
Dies ist das Merkmal der Divisionsoperation. Genauer gesagt haben die Multiplikationsoperation und die ihr zugeordnete Zahl Null.
Nun, die Akribischsten, die bis zu diesem Punkt gelesen haben, mögen sich fragen: Warum kann man nicht durch Null dividieren, aber Null subtrahieren? In gewisser Weise beginnt hier echte Mathematik. Sie können es erst beantworten, nachdem Sie sich mit dem Formalen vertraut gemacht haben mathematische Definitionen Zahlenmengen und Operationen auf ihnen. Es ist nicht so schwierig, aber aus irgendeinem Grund wird es nicht in der Schule gelernt. Aber in Mathematikvorlesungen an der Uni wird dir das erst mal beigebracht.
Die mathematische Regel zur Division durch Null wurde allen Erstklässlern erklärt. Weiterführende Schule. „Du kannst nicht durch Null teilen“, lehrten sie uns alle und untersagten unter Schmerz eines Schlags in den Rücken, durch Null zu dividieren und dieses Thema generell zu diskutieren. Obwohl einige Grundschullehrer noch versuchten, anhand einfacher Beispiele zu erklären, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen, waren diese Beispiele so unlogisch, dass es einfacher war, sich diese Regel zu merken und nicht zu viele Fragen zu stellen. Aber all diese Beispiele waren unlogisch, weil die Lehrer uns das in der ersten Klasse nicht logisch erklären konnten, da wir in der ersten Klasse nicht einmal annähernd wussten, was eine Gleichung ist, aber logisch ist sie mathematische Regel kann nur mit Gleichungen erklärt werden.
Jeder weiß, dass beim Teilen einer beliebigen Zahl durch Null eine Lücke entsteht. Warum genau Leere, werden wir später betrachten.
Im Allgemeinen werden in der Mathematik nur zwei Verfahren mit Zahlen als unabhängig anerkannt. Das ist Addition und Multiplikation. Die verbleibenden Verfahren werden als Derivate dieser beiden Verfahren betrachtet. Schauen wir uns das an einem Beispiel an.
Sag mir, wie viel wird es sein, zum Beispiel 11-10? Wir werden alle sofort antworten, dass es 1 sein wird. Und wie haben wir eine solche Antwort gefunden? Jemand wird sagen, dass es bereits klar ist, dass es 1 sein wird, jemand wird sagen, dass er 10 von 11 Äpfeln genommen und berechnet hat, dass es sich um einen Apfel handelt. Aus logischer Sicht ist alles richtig, aber nach den Gesetzen der Mathematik wird dieses Problem anders gelöst. Es muss daran erinnert werden, dass Addition und Multiplikation als Hauptverfahren betrachtet werden, daher müssen Sie die folgende Gleichung aufstellen: x + 10 \u003d 11 und erst dann x \u003d 11-10, x \u003d 1. Beachten Sie, dass die Addition zuerst kommt und erst dann, basierend auf der Gleichung, können wir subtrahieren. Es scheint, warum so viele Verfahren? Schließlich ist die Antwort so offensichtlich. Aber nur solche Verfahren können die Unmöglichkeit der Division durch Null erklären.
Das machen wir zum Beispiel Matheproblem: möchte 20 durch null teilen. Also 20:0=x. Um herauszufinden, wie viel es sein wird, müssen Sie daran denken, dass das Divisionsverfahren aus der Multiplikation folgt. Mit anderen Worten, die Division ist das Ableitungsverfahren der Multiplikation. Daher müssen Sie aus der Multiplikation eine Gleichung erstellen. Also 0*x=20. Hier ist die Sackgasse. Egal welche Zahl wir mit Null multiplizieren, es wird immer noch 0 sein, aber nicht 20. Hier gilt die Regel: Du kannst nicht durch Null teilen. Null kann durch jede Zahl geteilt werden, aber eine Zahl kann nicht durch null geteilt werden.
Dies wirft eine weitere Frage auf: Ist es möglich, Null durch Null zu teilen? 0:0=x bedeutet also 0*x=0. Diese Gleichung kann gelöst werden. Nehmen wir zum Beispiel x=4, was 0*4=0 bedeutet. Es stellt sich heraus, dass Sie 4 erhalten, wenn Sie Null durch Null teilen. Aber auch hier ist nicht alles so einfach. Wenn wir zum Beispiel x=12 oder x=13 nehmen, dann kommt dieselbe Antwort heraus (0*12=0). Im Allgemeinen kommt immer noch 0 heraus, egal welche Zahl wir ersetzen.Wenn also 0: 0 ist, wird sich unendlich ergeben. Hier ist etwas einfache Mathematik. Leider ist auch das Verfahren zum Teilen von Null durch Null sinnlos.
Im Allgemeinen ist die Zahl Null in der Mathematik am interessantesten. Zum Beispiel weiß jeder, dass jede Zahl hoch null eins ergibt. Natürlich mit einem solchen Beispiel in wahres Leben wir treffen uns nicht, sondern mit Division durch Null Lebenssituationen kommen sehr oft vor. Denken Sie also daran, dass Sie nicht durch Null teilen können.
Sehr oft fragen sich viele Leute, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen? In diesem Artikel werden wir sehr detailliert darauf eingehen, woher diese Regel stammt und welche Aktionen mit Null ausgeführt werden können.
In Kontakt mit
Null kann als eine der interessantesten Zahlen bezeichnet werden. Diese Zahl hat keine Bedeutung, es bedeutet Leere in buchstäblich die Wörter. Wenn Sie jedoch eine Null neben eine beliebige Ziffer setzen, wird der Wert dieser Ziffer um ein Vielfaches größer.
Die Nummer ist an sich sehr mysteriös. Es wurde auch verwendet antike Menschen Maya. Für die Maya bedeutete Null „Anfang“ und der Countdown Kalendertage auch von vorne angefangen.
Höchst interessante Tatsache ist, dass das Nullzeichen und das Unsicherheitszeichen ähnlich waren. Damit wollten die Maya zeigen, dass Null gleich ist identisches Zeichen sowie Unsicherheit. In Europa tauchte die Bezeichnung Null erst vor relativ kurzer Zeit auf.
Außerdem kennen viele Menschen das mit der Null verbundene Verbot. Das wird jeder sagen kann nicht durch null geteilt werden. Das sagen die Lehrer in der Schule, und die Kinder nehmen sie normalerweise beim Wort. In der Regel interessieren sich Kinder entweder einfach nicht dafür, oder sie wissen, was passiert, wenn sie bei einem wichtigen Verbot sofort fragen: „Warum kannst du nicht durch Null teilen?“. Aber wenn man älter wird, erwacht das Interesse und man will mehr über die Gründe für ein solches Verbot erfahren. Es gibt jedoch vernünftige Beweise.
Aktionen mit Null
Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Aktionen mit Null ausgeführt werden können. Existieren mehrere Arten von Aktivitäten:
- Zusatz;
- Multiplikation;
- Subtraktion;
- Division (Null durch Zahl);
- Potenzierung.
Wichtig! Wenn beim Addieren zu einer beliebigen Zahl eine Null hinzugefügt wird, bleibt diese Zahl gleich und ändert sich nicht numerischer Wert. Dasselbe passiert, wenn Sie Null von einer beliebigen Zahl subtrahieren.
Bei Multiplikation und Division sieht es etwas anders aus. Wenn ein Multipliziere eine beliebige Zahl mit Null, dann wird auch das Produkt Null.
Betrachten Sie ein Beispiel:
Schreiben wir das als Ergänzung:
Es gibt insgesamt fünf hinzugefügte Nullen, also stellt sich heraus, dass
Versuchen wir, eins mit null zu multiplizieren. Das Ergebnis ist ebenfalls null.
Null kann auch durch jede andere Zahl ungleich geteilt werden. In diesem Fall stellt sich heraus, dass der Wert ebenfalls Null ist. Die gleiche Regel gilt für negative Zahlen. Wenn Sie Null durch eine negative Zahl teilen, erhalten Sie Null.
Sie können auch eine beliebige Zahl erhöhen in Null Grad . In diesem Fall erhalten Sie 1. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass der Ausdruck „null hoch null“ absolut bedeutungslos ist. Wenn Sie versuchen, Null mit irgendeiner Potenz zu potenzieren, erhalten Sie Null. Beispiel:
Wir verwenden die Multiplikationsregel, wir erhalten 0.
Kann man durch null teilen
Hier kommen wir also zur Hauptfrage. Kann man durch null teilen allgemein? Und warum ist es unmöglich, eine Zahl durch Null zu teilen, wenn alle anderen Operationen mit Null vollständig existieren und gelten? Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie sich der höheren Mathematik zuwenden.
Beginnen wir mit der Definition des Begriffs, was ist Null? Schullehrer sagen, dass Null nichts ist. Leere. Das heißt, wenn Sie sagen, dass Sie 0 Stifte haben, bedeutet dies, dass Sie überhaupt keine Stifte haben.
In der höheren Mathematik ist der Begriff „Null“ weiter gefasst. Es bedeutet überhaupt nicht leer. Hier wird Null als Unsicherheit bezeichnet, da wir ziehen ein wenig Recherche, stellt sich heraus, dass wir bei der Division von Null durch Null jede andere Zahl als Ergebnis erhalten können, die nicht unbedingt Null sein muss.
Wussten Sie, dass diese einfach sind Rechenoperationen dass Sie in der Schule studiert haben, sind untereinander nicht so gleichberechtigt? Die grundlegendsten Schritte sind Addition und Multiplikation.
Für Mathematiker existieren die Begriffe „“ und „Subtraktion“ nicht. Angenommen: Wenn drei von fünf abgezogen werden, bleiben zwei übrig. So sieht Subtraktion aus. Mathematiker würden es jedoch so schreiben:
Es stellt sich also heraus, dass die unbekannte Differenz eine bestimmte Zahl ist, die zu 3 addiert werden muss, um 5 zu erhalten. Das heißt, Sie müssen nichts subtrahieren, Sie müssen nur eine passende Zahl finden. Diese Regel gilt für die Addition.
Etwas anders verhält es sich mit Multiplikations- und Divisionsregeln. Es ist bekannt, dass eine Multiplikation mit Null zu einem Nullergebnis führt. Wenn zum Beispiel 3:0=x, dann erhalten Sie 3*x=0, wenn Sie die Schallplatte umdrehen. Und die Zahl, die mit 0 multipliziert wird, ergibt Null im Produkt. Es stellt sich heraus, dass es keine Zahl gibt, die im Produkt mit Null einen anderen Wert als Null ergeben würde. Das bedeutet, dass die Division durch Null bedeutungslos ist, das heißt, sie passt zu unserer Regel.
Aber was passiert, wenn Sie versuchen, Null durch sich selbst zu teilen? Nehmen wir x als eine unbestimmte Zahl. Es stellt sich die Gleichung 0 * x \u003d 0 heraus. Es kann gelöst werden.
Wenn wir versuchen, anstelle von x die Null zu nehmen, erhalten wir 0:0=0. Es würde logisch erscheinen? Aber wenn wir versuchen, anstelle von x eine andere Zahl zu nehmen, zum Beispiel 1, dann landen wir bei 0:0=1. Die gleiche Situation wird sein, wenn Sie eine andere Nummer nehmen und setze es in die Gleichung ein.
In diesem Fall stellt sich heraus, dass wir jede andere Zahl als Faktor nehmen können. Das Ergebnis wird eine unendliche Zahl sein verschiedene Nummern. Manchmal macht die Division durch 0 in der höheren Mathematik trotzdem Sinn, aber dann gibt es meist eine bestimmte Bedingung, aufgrund derer wir trotzdem eine passende Zahl auswählen können. Diese Aktion wird als „Uncertainty Disclosure“ bezeichnet. In der gewöhnlichen Arithmetik verliert die Division durch Null wieder ihre Bedeutung, da wir dann keine Zahl aus der Menge auswählen können.
Wichtig! Null kann nicht durch Null geteilt werden.
Null und unendlich
Unendlichkeit ist in der höheren Mathematik sehr verbreitet. Da es für Schulkinder einfach nicht wichtig ist zu wissen, dass es noch mathematische Operationen mit Unendlich gibt, können Lehrer Kindern nicht richtig erklären, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen.
Hauptsächlich mathematische Geheimnisse Die Schüler beginnen erst im ersten Jahr des Instituts zu lernen. Die höhere Mathematik bietet eine große Anzahl von Problemen, für die es keine Lösung gibt. Die bekanntesten Probleme sind die Probleme mit der Unendlichkeit. Sie können mit gelöst werden mathematische Analyse.
Sie können sich auch auf unendlich bewerben elementare mathematische Operationen: Addition, Multiplikation mit einer Zahl. Subtraktion und Division werden ebenfalls häufig verwendet, aber am Ende laufen sie immer noch auf zwei einfache Operationen hinaus.
Schon in der Schule versuchten die Lehrer, uns die einfachste Regel einzuhämmern: "Jede Zahl multipliziert mit Null ergibt Null!", - aber trotzdem entstehen ständig viele Kontroversen um ihn herum. Jemand hat gerade die Regel auswendig gelernt und kümmert sich nicht um die Frage „warum?“. „Du kannst hier nicht alles machen, denn in der Schule hieß es ja, Regel ist Regel!“ Jemand kann ein halbes Notizbuch mit Formeln füllen und diese Regel beweisen oder umgekehrt ihre Unlogik.
Wer hat am Ende recht
Während dieser Streitigkeiten haben beide Personen gegensätzliche Punkte Vision, sehen einander an wie ein Widder und beweisen mit aller Macht, dass sie Recht haben. Wenn man sie jedoch von der Seite betrachtet, sieht man nicht einen, sondern zwei Widder, die sich mit ihren Hörnern aneinander lehnen. Der einzige Unterschied zwischen ihnen ist, dass einer etwas weniger gebildet ist als der andere. Meistens versuchen diejenigen, die diese Regel für falsch halten, auf diese Weise nach Logik zu rufen:
Ich habe zwei Äpfel auf meinem Tisch, wenn ich null Äpfel darauf lege, das heißt, ich lege keinen einzigen, dann werden meine zwei Äpfel nicht davon verschwinden! Die Regel ist unlogisch!
Tatsächlich verschwinden Äpfel nirgendwo, aber nicht, weil die Regel unlogisch ist, sondern weil hier eine etwas andere Gleichung verwendet wird: 2 + 0 \u003d 2. Lassen Sie uns diese Schlussfolgerung also gleich verwerfen - sie ist unlogisch, obwohl sie das Gegenteil hat Ziel - zur Logik aufrufen.
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Was ist multiplikation
Die ursprüngliche Multiplikationsregel wurde nur für natürliche Zahlen definiert: Multiplikation ist eine Zahl, die eine bestimmte Anzahl von Malen mit sich selbst addiert wird, was die Natürlichkeit der Zahl impliziert. Somit kann jede Zahl mit Multiplikation auf diese Gleichung reduziert werden:
Aus dieser Gleichung folgt die Schlussfolgerung, dass die Multiplikation eine vereinfachte Addition ist.
Was ist null
Jeder Mensch weiß von Kindesbeinen an: Null ist Leere, obwohl diese Leere eine Bezeichnung hat, trägt sie doch gar nichts. Altöstliche Wissenschaftler dachten anders – sie näherten sich dem Thema philosophisch und zogen einige Parallelen zwischen Leerheit und Unendlichkeit und sahen tiefe Bedeutung in dieser Nummer. Immerhin steht Null, die den Wert der Leere hat, neben jedem natürliche Zahl, multipliziert es zehnmal. Daher all die Kontroversen über die Multiplikation – diese Zahl ist so widersprüchlich, dass es schwierig wird, nicht verwirrt zu werden. Außerdem wird Null ständig verwendet, um leere Bits in zu identifizieren Dezimalbrüche, erfolgt dies sowohl vor als auch nach dem Komma.
Ist es möglich, mit Leerheit zu multiplizieren?
Es ist möglich, mit Null zu multiplizieren, aber es ist nutzlos, denn was man auch sagen mag, aber selbst wenn man negative Zahlen multipliziert, erhält man immer noch Null. Es reicht aus, sich nur an diese einfachste Regel zu erinnern und diese Frage nie wieder zu stellen. Tatsächlich ist alles einfacher, als es auf den ersten Blick scheint. Es gibt keine verborgene Bedeutungen und Mysterien, wie alte Gelehrte glaubten. Die logischste Erklärung wird unten gegeben, dass diese Multiplikation nutzlos ist, denn wenn man eine Zahl damit multipliziert, erhält man immer noch dasselbe - Null.
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Zurück zum Anfang, der Streit um zwei Äpfel, 2 mal 0 sieht so aus:
Denn 0 Mal einen Apfel zu essen bedeutet, keinen einzigen zu essen. Es wird sogar klar sein zu einem kleinen Kind. Ob es Ihnen gefällt oder nicht, 0 wird herauskommen, zwei oder drei können durch absolut jede Zahl ersetzt werden und absolut das Gleiche wird herauskommen. Und um es einfach auszudrücken, Null ist nichts und wenn du hast es gibt nichts, dann ist es egal, wie viel Sie multiplizieren - es ist alles gleich wird Null sein. Es gibt keine Magie und nichts wird einen Apfel ergeben, selbst wenn Sie 0 mit einer Million multiplizieren. Dies ist die einfachste, verständlichste und logischste Erklärung der Regel der Multiplikation mit Null. Für eine Person, die weit entfernt von allen Formeln und Mathematik ist, wird eine solche Erklärung ausreichen, um die Dissonanz im Kopf aufzulösen und alles in Ordnung zu bringen.
Aus all dem folgt eine weitere wichtige Regel:
Du kannst nicht durch Null dividieren!
Auch diese Regel wurde uns seit unserer Kindheit hartnäckig eingehämmert. Wir wissen nur, dass es unmöglich ist, und das alles, ohne uns den Kopf zu zerbrechen Zusatzinformation. Wenn Ihnen plötzlich die Frage gestellt wird, aus welchem Grund es verboten ist, durch Null zu teilen, ist die Mehrheit verwirrt und kann keine klare Antwort geben die einfachste Frage aus Lehrplan, weil es nicht so viele Kontroversen und Kontroversen um diese Regel gibt.
Jeder hat nur die Regel auswendig gelernt und dividiert nicht durch Null, ohne zu ahnen, dass die Antwort an der Oberfläche liegt. Addition, Multiplikation, Division und Subtraktion sind ungleich, nur Multiplikation und Addition sind voll davon, und alle anderen Manipulationen mit Zahlen sind daraus aufgebaut. Das heißt, der Eintrag 10: 2 ist eine Abkürzung der Gleichung 2 * x = 10. Daher ist der Eintrag 10: 0 dieselbe Abkürzung für 0 * x = 10. Es stellt sich heraus, dass die Division durch Null eine Aufgabe ist, die es zu finden gilt eine Zahl, die mit 0 multipliziert wird, ergibt 10. Und wir haben bereits herausgefunden, dass eine solche Zahl nicht existiert, was bedeutet, dass diese Gleichung keine Lösung hat und a priori falsch sein wird.
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Durch Null teilen. Faszinierende Mathematik
Die Zahl 0 kann als eine Art Grenze dargestellt werden, die die Welt der reellen Zahlen von den imaginären oder negativen Zahlen trennt. Aufgrund der nicht eindeutigen Position werden viele Operationen damit durchgeführt numerischer Wert nicht gehorchen mathematische Logik. Die Unmöglichkeit, durch Null zu teilen hell dazu Beispiel. Und erlaubte Rechenoperationen mit Null können mit allgemein anerkannten Definitionen durchgeführt werden.
Geschichte von Null
Null ist der Bezugspunkt in allem Standardsysteme Infinitesimalrechnung. Die Europäer begannen vor relativ kurzer Zeit, diese Nummer zu verwenden, aber die Weisen altes indien tausend Jahre lang die Null verwendet, bevor die leere Zahl von europäischen Mathematikern regelmäßig verwendet wurde. Schon vor den Indianern war die Null ein obligatorischer Wert im Maya-Zahlensystem. Dieses amerikanische Volk verwendete das Duodezimalsystem und begann den ersten Tag jedes Monats mit einer Null. Interessanterweise stimmte bei den Maya das Zeichen für „Null“ vollständig mit dem Zeichen für „Unendlichkeit“ überein. Daher kamen die alten Maya zu dem Schluss, dass diese Mengen identisch und nicht erkennbar waren.
Mathematische Operationen mit Null
Standard mathematische Operationen mit Null kann auf mehrere Regeln reduziert werden.
Addition: Wenn Sie zu einer beliebigen Zahl Null addieren, ändert sie ihren Wert nicht (0+x=x).
Subtraktion: Beim Subtrahieren von Null von einer beliebigen Zahl bleibt der Wert der Subtraktion unverändert (x-0=x).
Multiplikation: Jede Zahl multipliziert mit 0 ergibt 0 im Produkt (a*0=0).
Division: Null kann durch jede Zahl ungleich Null geteilt werden. In diesem Fall ist der Wert eines solchen Bruchs 0. Und eine Division durch Null ist verboten. 
Potenzierung. Diese Aktion kann mit einer beliebigen Nummer ausgeführt werden. Eine beliebige Zahl potenziert mit Null ergibt 1 (x 0 = 1).
Null zu jeder Potenz ist gleich 0 (0 a \u003d 0).
In diesem Fall ergibt sich sofort ein Widerspruch: Der Ausdruck 0 0 ergibt keinen Sinn.
Paradoxien der Mathematik
Dass eine Division durch Null nicht möglich ist, wissen viele von uns Schulbank. Aber aus irgendeinem Grund ist es nicht möglich, den Grund für ein solches Verbot zu erklären. In der Tat, warum gibt es die Division-durch-Null-Formel nicht, aber andere Aktionen mit dieser Zahl sind durchaus sinnvoll und möglich? Die Antwort auf diese Frage geben Mathematiker.
Die Sache ist, dass die üblichen arithmetischen Operationen, in denen Schulkinder lernen Grundschule sind eigentlich nicht so gleich wie wir denken. Alle einfachen Operationen mit Zahlen lassen sich auf zwei reduzieren: Addition und Multiplikation. Diese Operationen sind die Essenz des eigentlichen Konzepts einer Zahl, und der Rest der Operationen basiert auf der Verwendung dieser beiden.
Addition und Multiplikation
Lass uns nehmen Standardbeispiel für Subtraktion: 10-2=8. In der Schule wird es einfach betrachtet: Wenn von zehn Gegenständen zwei weggenommen werden, bleiben acht übrig. Aber Mathematiker sehen diese Operation ganz anders. Schließlich gibt es für sie keine Operation wie Subtraktion. Dieses Beispiel kann auch anders geschrieben werden: x + 2 = 10. Für Mathematiker unbekannter Unterschied ist einfach die Zahl, die zu zwei addiert werden muss, um acht zu ergeben. Und hier ist keine Subtraktion erforderlich, Sie müssen nur einen geeigneten Zahlenwert finden.
Multiplikation und Division werden gleich behandelt. Im Beispiel von 12:4=3 kann man das verstehen wir redenüber die Teilung von acht Objekten in zwei gleiche Stapel. In Wirklichkeit ist dies jedoch nur eine umgekehrte Formel zum Schreiben von 3x4 \u003d 12. Solche Beispiele für die Division können endlos angegeben werden. 
Beispiele für die Division durch 0
Hier wird ein wenig deutlich, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen. Multiplikation und Division durch Null haben ihre eigenen Regeln. Alle Beispiele pro Teilung dieser Größe lassen sich als 6:0=x formulieren. Aber das ist ein umgekehrter Ausdruck des Ausdrucks 6 * x = 0. Aber wie Sie wissen, ergibt jede Zahl, die mit 0 multipliziert wird, im Produkt nur 0. Diese Eigenschaft ist dem eigentlichen Konzept eines Nullwerts inhärent.
Es stellt sich heraus, dass eine solche Zahl, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, einen greifbaren Wert ergibt, nicht existiert gestellte Aufgabe hat keine Lösung. Vor einer solchen Antwort sollte man keine Angst haben, sie ist eine natürliche Antwort auf Probleme dieser Art. Nur 6:0 zu schreiben macht keinen Sinn und kann nichts erklären. Kurz gesagt, dieser Ausdruck kann durch das unsterbliche „keine Division durch Null“ erklärt werden.
Gibt es einen 0:0-Betrieb? In der Tat, wenn die Operation des Multiplizierens mit 0 legal ist, kann Null durch Null geteilt werden? Schließlich ist eine Gleichung der Form 0x5=0 ganz legal. Anstelle der Zahl 5 können Sie 0 eingeben, das Produkt ändert sich dadurch nicht. 
Tatsächlich ist 0x0=0. Aber du kannst immer noch nicht durch 0 dividieren. Wie bereits erwähnt, ist die Division nur die Umkehrung der Multiplikation. Wenn also im Beispiel 0x5=0 der zweite Faktor bestimmt werden muss, erhalten wir 0x0=5. Oder 10. Oder unendlich. Unendlich durch Null teilen - wie gefällt es dir?
Aber wenn irgendeine Zahl in den Ausdruck passt, dann macht es keinen Sinn, wir können es nicht eine unendliche Zahl wähle eine Zahl. Und wenn ja, bedeutet das, dass der Ausdruck 0:0 keinen Sinn macht. Es stellt sich heraus, dass sogar Null selbst nicht durch Null geteilt werden kann.
Höhere Mathematik
Division durch Null bereitet Kopfschmerzen Schulmathematik. Studiert in technische Universitäten Die mathematische Analyse erweitert das Konzept der Probleme, die keine Lösung haben, geringfügig. Zum Beispiel schon berühmter Ausdruck 0:0 kommen neue hinzu, die keine Lösung enthalten Schulkurse Mathematik:
Es ist unmöglich, solche Ausdrücke mit elementaren Methoden zu lösen. Aber höhere Mathematik Dank an Zusatzfunktionen für eine Zahl ähnliche Beispiele gibt endgültige Lösungen. Besonders deutlich wird dies bei der Betrachtung von Problemen aus der Grenzwerttheorie.
Offenlegung von Unsicherheiten
In der Grenzwerttheorie wird der Wert 0 durch die Bedingung infinitesimal ersetzt Variable. Und die Ausdrücke, in denen beim Ersetzen gewünschter Wert Division durch Null ergibt, werden umgewandelt. Nachfolgend finden Sie ein Standardbeispiel für die Limiterweiterung mit dem Üblichen algebraische Transformationen:
Wie Sie im Beispiel sehen können, bringt eine einfache Kürzung eines Bruchs seinen Wert zu einer völlig rationalen Antwort.
Wenn man an die Grenzen denkt trigonometrische Funktionen ihre Ausdrücke neigen dazu, auf das erste reduziert zu werden wunderbare Grenze. Bei der Betrachtung der Grenzen, bei denen der Nenner auf 0 geht, wenn die Grenze ersetzt wird, wird die zweite bemerkenswerte Grenze verwendet.
L'Hopital-Methode
In einigen Fällen können die Grenzwerte von Ausdrücken durch den Grenzwert ihrer Ableitungen ersetzt werden. Guillaume Lopital - Französischer Mathematiker, Gründer Französische Schule mathematische Analyse. Er bewies, dass die Grenzen der Ausdrücke gleich den Grenzen der Ableitungen dieser Ausdrücke sind. BEIM mathematische Notation seine Regel ist wie folgt. 
Derzeit wird das L'Hopital-Verfahren erfolgreich zur Lösung von Unsicherheiten vom Typ 0:0 oder ∞:∞ eingesetzt.
Mathe: lange Division und Multiplikation
Multiplikation und Division von einstelligen Zahlen werden für jeden Schüler, der das Einmaleins gelernt hat, nicht schwierig sein. Es ist Teil des Lehrplans für Mathematik in der zweiten Klasse. Eine andere Sache ist, wenn es notwendig ist, mathematische Operationen mit mehrstelligen Zahlen durchzuführen. Sie beginnen mit solchen Aktionen im Mathematikunterricht der 3. Klasse. Parsing neues Thema"Division und Multiplikation in einer Spalte"
Multiplikation mehrstelliger Zahlen
Teile und multipliziere komplexe Zahlen Der einfachste Weg ist eine Spalte. Dazu benötigen Sie die Ziffern der Zahl: Hunderter, Zehner, Einer:
235 = 200 (Hunderter) + 30 (Zehner) + 5 (Einer).
Dafür brauchen wir korrekte Notation Zahlen, wenn sie multipliziert werden.
Wenn Sie zwei Zahlen schreiben, die multipliziert werden müssen, werden sie untereinander geschrieben, wobei die Zahlen in Ziffern (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner) gesetzt werden. Beim Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl treten keine Schwierigkeiten auf:
Die Aufnahme erfolgt wie folgt: 
Die Berechnung erfolgt vom Ende aus - aus der Kategorie der Einheiten. Bei der Multiplikation mit der ersten Ziffer - aus der Kategorie der Einheiten - erfolgt die Aufzeichnung ebenfalls von hinten:
- 3 x 5 = 15, 5 (Einer) aufschreiben, Zehner (1) merken;
- 2 x 5 \u003d 10 und 1 zehn, an die wir uns erinnerten, nur 11, wir schreiben 1 (Zehner) auf, wir erinnern uns an Hunderte (1);
- Da wir im Beispiel keine weiteren Ziffern haben, schreiben wir Hunderter auf (1 - die wurde uns gemerkt).
Der nächste Schritt ist die Multiplikation mit der zweiten Ziffer (Zehnerstelle):
Da wir mit einer Zahl ab der Zehnerstelle multipliziert haben, schreiben wir auf die gleiche Weise am Ende, beginnend mit der zweiten Stelle rechts (wo die Zehnerstelle ist).
1. Sie müssen die Multiplikation in einer Spalte nach Ziffern aufschreiben;
2. Berechnungen ausgehend von Einheiten durchführen;
3. Schreiben Sie die Summe nach Ziffern auf - wenn wir mit einer Zahl aus der Reihe der Einheiten multiplizieren - beginnen wir die Aufzeichnung ab der letzten Spalte, ab der Reihe - Zehner - aus dieser Spalte und führen die Aufzeichnung.
Die Regel, die für die Multiplikation in einer Spalte mit einer zweistelligen Zahl gilt, gilt auch für Zahlen mit große Menge Entladungen.
Um es einfacher zu machen, sich an die Regeln zum Schreiben von Multiplikationsbeispielen zu erinnern mehrstellige Zahlen In einer Spalte können Sie Karten erstellen, indem Sie sie markieren verschiedene Farben verschiedene Ränge.
Wenn Zahlen in einer Spalte mit Nullen am Ende multipliziert werden, werden sie bei der Berechnung nicht berücksichtigt, und der Datensatz wird so aufbewahrt, dass Signifikante Figur war unter dem Signifikanten, und die Nullen bleiben rechts. Nach den Berechnungen wird ihre Nummer rechts hinzugefügt:
Der Mathematiker Yakov Trakhtenberg entwickelte ein System des schnellen Zählens. Die Trachtenberg-Methode erleichtert die Multiplikation, wenn ein bestimmtes Berechnungssystem angewendet wird. Zum Beispiel mit 11 multiplizieren. Um das Ergebnis zu erhalten, müssen Sie eine Zahl zur nächsten hinzufügen:
2,253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.
Der Beweis ist einfach: 11 = 10 + 1
2,253 x 10 + 2,253 = 22,530 + 2,253 = 24,783.
Berechnungsalgorithmen für verschiedene Zahlen sind unterschiedlich, aber Sie können Berechnungen schnell durchführen.
Video "Spaltenmultiplikation"
Division mehrstelliger Zahlen
Das Teilen durch eine Spalte mag für Kinder schwierig erscheinen, aber es ist nicht schwierig, sich an den Algorithmus zu erinnern. Betrachten Sie die Division mehrstelliger Zahlen durch einzelne Ziffer:
215: 5 = ?
Die Berechnung wird wie folgt geschrieben: 
Unter den Divisor schreiben wir das Ergebnis. Die Division wird wie folgt durchgeführt: Wir vergleichen die linke Ziffer des Dividenden mit dem Divisor: 2 ist kleiner als 5, wir können 2 nicht durch 5 teilen, also nehmen wir eine Ziffer mehr: 21 ist größer als 5, beim Teilen stellt sich heraus : 20: 5 = 4 (Rest 1)
Wir zerlegen die folgende Zahl auf den resultierenden Rest: Wir erhalten 15. 15 ist mehr als 5, wir dividieren: 15: 5 = 3
Die Lösung wird wie folgt aussehen:
So wird ohne Rest dividiert. Nach demselben Algorithmus wird die Division in eine Spalte mit Rest durchgeführt, mit dem einzigen Unterschied, dass in letzter Eintrag es wird nicht null sein, sondern der Rest.
Wenn es notwendig ist, dreistellige Zahlen in einer Spalte durch zweistellige zu dividieren, wird genauso vorgegangen wie bei der Division durch eine einstellige Zahl.
Hier sind einige Beispiele für die Aufteilung:
Ähnlich erfolgt die Berechnung bei der Division einer mehrstelligen Zahl durch eine zweistellige Zahl mit Rest: 853: 15 = 50 und (3) Rest 
Achten Sie auf diesen Eintrag: if Zwischenrechnungen das Ergebnis ist 0, aber das Beispiel wird nicht zu Ende gelöst, die Null wird nicht aufgeschrieben, sondern die nächste Ziffer sofort abgerissen und die Rechnung weitergeführt.
Es hilft, die Regeln zum Teilen mehrstelliger Zahlen in einer Video-Tutorial-Spalte zu lernen. Wenn Sie den Algorithmus auswendig gelernt und die Reihenfolge der Aufzeichnung von Berechnungen befolgt haben, werden Beispiele für Multiplikation und Division in einer Spalte in Klasse 4 nicht mehr so kompliziert erscheinen.
Wichtig! Folgen Sie dem Datensatz: Die Ziffern sollten in einer Spalte unter die Ziffern geschrieben werden.
Video "Division in einer Spalte"
Wenn ein Kind in der 2. Klasse das Einmaleins gelernt hat, Beispiele für Multiplikation und Division einer zweistelligen Zahl oder dreistellige Zahl im Mathematikunterricht der 4. Klasse wird ihm keine Schwierigkeiten bereiten.
www.razvitiedetei.info
Multiplikations- und Divisionsregeln
Nachdem das Einmaleins erlernt ist, werden den Schülern die Regeln der Multiplikation und Division erklärt und ihnen beigebracht, sie bei der Berechnung mathematischer Ausdrücke zu verwenden.
Was ist Multiplikation? Es ist eine intelligente Ergänzung
Beim Addieren und Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Zahlen einfache Ausdrücke Kinder haben keine Schwierigkeiten:
Bei solchen Berechnungen müssen Sie nur die Additions- und Subtraktionsregeln und das Einmaleins kennen.
Wenn mehr anfangen komplexe Übungen, Beispiele bestehen aus zwei oder mehr Aktionen, und selbst bei Klammern haben Kinder Fehler beim Lösen. Und die wichtigste ist Falsche Bestellung Aktionen.
Was ist der Unterschied?
Ist es in der Tat so wichtig, welche Aktion im Beispiel zuerst und welche dann auszuführen?
Wenn wir die Schritte der Reihe nach ausführen, erhalten wir:
Wir haben zwei unterschiedliche Antworten bekommen. Dies sollte jedoch nicht der Fall sein, daher ist die Reihenfolge, in der Aktionen ausgeführt werden, von Bedeutung. Besonders wenn der Ausdruck Klammern enthält:
Wir versuchen es auf zwei Arten zu lösen:
Die Antworten sind unterschiedlich, und um die Reihenfolge der Aktionen zu bestimmen, gibt es Klammern im Ausdruck - sie zeigen an, welche Aktion zuerst ausgeführt werden muss. Die richtige Lösung wäre also:
Für die Antwort im Beispiel sollte es keine andere Lösung geben.
Was ist wichtiger, Multiplikation oder Addition?
Beim Lösen von Beispielen
Vorgehen vereinbaren.
Multiplizieren oder dividieren - an erster Stelle.
Für Ausdrücke, in denen nicht addiert oder subtrahiert wird, sondern multipliziert oder geteilt wird, gilt die gleiche Regel: Alle Operationen mit Zahlen werden der Reihe nach von links beginnend ausgeführt:
Ein schwierigerer Fall ist, wenn Multiplikation oder Division mit Addition oder Subtraktion in einer Aufgabe vorkommen. Wie ist dann die Reihenfolge der Berechnungen?
Wenn Sie alle Schritte der Reihe nach durchführen, zuerst Division, dann Addition. Als Ergebnis erhalten wir:
Das Beispiel ist also richtig. Was ist, wenn es Klammern enthält?
Alles in Klammern hat immer Vorrang. Deshalb stehen sie im Ausdruck. Daher ist die Reihenfolge der Berechnungen in ähnliche Ausdrücke wird wie folgt sein:
Beispiel:
81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?
81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.
Und was wird die Priorität sein: Multiplikation - oder Division, Subtraktion - oder Addition, wenn beide Aktionen in der Aufgabe vorkommen? Nichts, sie sind gleich, in diesem Fall gilt die erste Regel - Aktionen werden nacheinander ausgeführt, beginnend von links.
Algorithmus zum Lösen des Ausdrucks:
28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?
- 11 – 4 = 7;
- 25 – 8 = 17;
- 28: 7 = 4;
- 4 + 18 = 22;
- 22 – 17 = 5.
Antwort: 28: (11 - 4) + 18 - (25 - 8) = 5.
Wichtig! Wenn der Ausdruck Buchstaben enthält, bleibt die Vorgehensweise gleich.
Runde Null ist so schön
Aber es hat nichts zu bedeuten.
In den Beispielen kommt Null nicht als Zahl vor, aber es kann das Ergebnis einer Zwischenaktion sein, zum Beispiel:
Beim Multiplizieren mit 0 besagt die Regel, dass das Ergebnis immer 0 sein wird. Warum? Es lässt sich einfach erklären: Was ist Multiplikation? Dies ist dieselbe Nummer, die mehrmals zu ihrer eigenen Art hinzugefügt wurde. Ansonsten:
0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;
Das Teilen durch 0 ist bedeutungslos, und das Teilen von Null durch eine beliebige Zahl ergibt immer 0:
0: 5 = 0.
Erinnern Sie sich an andere arithmetische Operationen mit Null:
Multiplikation und Division durch eins
Mathematische Operationen mit Eins unterscheiden sich von Operationen mit Null. Wenn eine Zahl mit 1 multipliziert oder dividiert wird, erhält man die ursprüngliche Zahl selbst:
7 x 1 = 7;
7: 1 = 7.
Wenn Sie 7 Freunde haben und jeder Ihnen eine Süßigkeit gegeben hat, haben Sie natürlich 7 Bonbons, und wenn Sie sie alleine gegessen haben, dh nur mit sich selbst geteilt haben, sind alle in Ihrem Magen gelandet.
Rechnen mit Brüchen, Potenzen und komplexen Funktionen
Das schwierige Fälle Informatik, die in der Grundschule nicht behandelt werden.
Multiplikation einfache Brüche miteinander ist nicht schwierig, es reicht aus, nur den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner zu multiplizieren.
Beispiel:
Nach Reduktion erhalten wir: \(\) = \(\).
Einfache Brüche zu dividieren ist nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick scheint. Es reicht aus, das Problem umzuwandeln - verwandeln Sie es in ein Beispiel mit Multiplikation. Dazu ist es ganz einfach: Sie müssen den Bruch umdrehen, sodass der Nenner zum Zähler und der Zähler zum Nenner wird.
Beispiel:
Wenn in der Aufgabe eine Zahl angetroffen wird, die als Potenz dargestellt wird, wird ihr Wert vor allen anderen berechnet (Sie können sich vorstellen, dass sie in Klammern eingeschlossen ist - und die Aktionen in Klammern zuerst ausgeführt werden).
Beispiel:
Durch die Umwandlung der als Potenz dargestellten Zahl in einen regulären Ausdruck mit der Aktion der Multiplikation erwies sich die Lösung des Beispiels als einfach: zuerst Multiplikation, dann Subtraktion (weil sie in Klammern steht) und Division.
Da solche Funktionen nur im Rahmen von untersucht werden weiterführende Schule, wir werden sie nicht berücksichtigen, es genügt zu sagen, dass sie wie im Fall von Potenzen bei der Berechnung Vorrang haben: Zuerst wird der Wert dieses Ausdrucks gefunden, dann ist die Berechnungsreihenfolge normal - Klammern, Multiplikation mit Division, dann in der Reihenfolge von links nach rechts.
Hauptregeln zum Thema
Apropos Dur und Moll mathematische Operationen, muss gesagt werden, dass die vier Grundoperationen auf zwei reduziert werden können: Addition und Multiplikation. Wenn Subtraktion und Division für Schulkinder schwierig erscheinen, erinnern sie sich schneller an die Regeln der Addition und Multiplikation. Tatsächlich kann der Ausdruck 5 - 2 anders geschrieben werden:
In Fällen mit Multiplikation gelten ähnliche Regeln wie bei der Addition: Das Produkt ändert sich nicht durch eine Umordnung von Faktoren:
Bei der Entscheidung herausfordernde Aufgaben Die erste Aktion ist die in Klammern hervorgehobene, dann die Division oder Multiplikation, dann alle anderen Aktionen der Reihe nach.
Wenn Sie Beispiele ohne Klammern lösen müssen, wird zuerst multipliziert oder dividiert, dann subtrahiert oder addiert.
Multiplikation und Division von ganzen Zahlen
Beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen gelten mehrere Regeln. BEIM diese Lektion Wir werden uns jeden von ihnen ansehen.
Achten Sie beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen auf die Vorzeichen der Zahlen. Es hängt von ihnen ab, welche Regel anzuwenden ist. Sie müssen auch ein paar Gesetze der Multiplikation und Division lernen. Wenn Sie diese Regeln lernen, können Sie in Zukunft einige peinliche Fehler vermeiden.
Gesetze der Multiplikation
Einige der Gesetze der Mathematik haben wir in der Lektion die Gesetze der Mathematik betrachtet. Aber wir haben nicht alle Gesetze berücksichtigt. Es gibt viele Gesetze in der Mathematik, und es wäre klüger, sie nach Bedarf der Reihe nach zu studieren.
Erinnern wir uns zunächst daran, woraus die Multiplikation besteht. Multiplikation besteht aus drei Parameter: multiplizieren, Multiplikator und funktioniert. Beispielsweise ist im Ausdruck 3 × 2 = 6 die Zahl 3 der Multiplikand, die Zahl 2 der Multiplikator und die Zahl 6 das Produkt.
Multiplikand zeigt, was genau wir erhöhen. In unserem Beispiel erhöhen wir die Zahl 3.
Faktor Zeigt an, wie oft Sie den Multiplikanden erhöhen müssen. In unserem Beispiel ist der Multiplikator die Zahl 2. Dieser Multiplikator zeigt an, wie oft Sie den Multiplikator 3 erhöhen müssen. Das heißt, während der Multiplikationsoperation wird die Zahl 3 verdoppelt.
Arbeit dies ist eigentlich das Ergebnis der Multiplikationsoperation. In unserem Beispiel ist das Produkt die Zahl 6. Dieses Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von 3 mit 2.
Der Ausdruck 3 × 2 kann auch als Summe zweier Tripel verstanden werden. Multiplikator 2 Zoll dieser Fall zeigt an, wie oft Sie die Zahl 3 nehmen müssen:
Wenn Sie also zweimal hintereinander die Zahl 3 nehmen, erhalten Sie die Zahl 6.
Kommutatives Gesetz der Multiplikation
Der Multiplikator und der Multiplikator werden Eins genannt geläufiges Wort – Faktoren. Das Kommutativgesetz der Multiplikation sieht so aus:
Durch die Permutation der Stellen der Faktoren ändert sich das Produkt nicht.
Lassen Sie uns prüfen, ob dies der Fall ist. Multipliziere zum Beispiel 3 mit 5. Hier sind 3 und 5 Faktoren.
Jetzt tauschen wir die Faktoren aus:
In beiden Fällen erhalten wir die Antwort 15, was bedeutet, dass wir ein Gleichheitszeichen zwischen die Ausdrücke 3 × 5 und 5 × 3 setzen können, da sie denselben Wert haben:
Und mit Hilfe von Variablen Verschiebungsgesetz Multiplikation kann wie folgt geschrieben werden:
wo a und b- Faktoren
Assoziatives Gesetz der Multiplikation
Dieses Gesetz besagt, dass wenn ein Ausdruck aus mehreren Faktoren besteht, das Produkt nicht von der Reihenfolge der Operationen abhängt.
Beispielsweise besteht der Ausdruck 3 × 2 × 4 aus mehreren Faktoren. Um es zu berechnen, können Sie 3 und 2 multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit der verbleibenden Zahl 4 multiplizieren. Es sieht so aus:
3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24
Das war die erste Lösung. Die zweite Möglichkeit besteht darin, 2 und 4 zu multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit der verbleibenden Zahl 3 zu multiplizieren. Es sieht so aus:
3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24
In beiden Fällen erhalten wir die Antwort 24. Daher können wir zwischen den Ausdrücken (3 × 2) × 4 und 3 × (2 × 4) ein Gleichheitszeichen setzen, da sie denselben Wert haben:
(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)
und mit Hilfe von Variablen lässt sich das assoziative Multiplikationsgesetz wie folgt schreiben:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
wo statt a, b, c kann eine beliebige Zahl sein.
Distributives Gesetz der Multiplikation
Das Distributivgesetz der Multiplikation erlaubt es, eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren. Dazu wird jeder Term dieser Summe mit dieser Zahl multipliziert, dann werden die Ergebnisse addiert.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks (2 + 3) × 5 finden
Der Ausdruck in Klammern ist die Summe. Dieser Betrag muss mit der Zahl 5 multipliziert werden. Dazu muss jeder Term dieser Summe, also die Zahlen 2 und 3, mit der Zahl 5 multipliziert und dann die Ergebnisse addiert werden:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Der Wert des Ausdrucks (2 + 3) × 5 ist also 25 .
Mit Hilfe von Variablen wird das Distributivgesetz der Multiplikation wie folgt geschrieben:
(a + b) × c = a × c + b × c
wo statt a, b, c kann eine beliebige Zahl sein.
Das Gesetz der Multiplikation mit Null
Dieses Gesetz besagt, dass, wenn es in einer Multiplikation mindestens eine Null gibt, die Antwort Null sein wird.
Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null.
Beispielsweise ist der Ausdruck 0 × 2 Null
In diesem Fall ist die Zahl 2 ein Multiplikator und zeigt an, wie oft Sie den Multiplikanden erhöhen müssen. Das heißt, wie oft man Null erhöht. Dieser Ausdruck wird buchstäblich als „zweimal Null erhöhen“ gelesen. Aber wie kann man Null verdoppeln, wenn es Null ist?
Mit anderen Worten, wenn „nichts“ verdoppelt oder sogar millionenfach wird, wird es immer noch „nichts“ sein.
Und wenn wir im Ausdruck 0 × 2 die Faktoren vertauschen, erhalten wir wieder Null. Das kennen wir aus dem bisherigen Verdrängungsgesetz:
Beispiele für die Anwendung des Gesetzes der Multiplikation mit Null:
2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0
In den letzten beiden Beispielen gibt es mehrere Faktoren. Wenn wir Null in ihnen sehen, setzen wir sofort Null in die Antwort und wenden das Gesetz der Multiplikation mit Null an.
Wir haben die Grundgesetze der Multiplikation betrachtet. Betrachten Sie als Nächstes die Multiplikation ganzer Zahlen.
Ganzzahlige Multiplikation
Beispiel 1 Finde den Wert des Ausdrucks −5 × 2
Dies ist die Multiplikation von Zahlen mit verschiedene Vorzeichen. −5 ist negativ und 2 ist positiv. Für solche Fälle sollte die folgende Regel angewendet werden:
Um Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu multiplizieren, müssen Sie ihre Module multiplizieren und ein Minus vor die erhaltene Antwort setzen.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
Normalerweise kürzer geschrieben: −5 × 2 = −10
Jede Multiplikation kann als Summe von Zahlen dargestellt werden. Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 2 × 3. Er ist gleich 6.
Multiplikator ein gegebenen Ausdruck ist die Zahl 3. Dieser Multiplikator zeigt, wie oft Sie die beiden erhöhen müssen. Der Ausdruck 2 × 3 kann aber auch so verstanden werden die Summe von drei Zweien:
Dasselbe passiert mit dem Ausdruck −5 × 2. Dieser Ausdruck kann als Summe dargestellt werden
Und der Ausdruck (-5) + (-5) ist gleich -10, und das wissen wir aus der letzten Lektion. Dies ist die Addition negativer Zahlen. Denken Sie daran, dass das Ergebnis der Addition negativer Zahlen eine negative Zahl ist.
Beispiel 2 Finde den Wert des Ausdrucks 12 × (−5)
Dies ist die Multiplikation von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. 12 - positive Zahl, (−5) ist negativ. Auch hier wenden wir die vorherige Regel an. Wir multiplizieren die Zahlenmodule und setzen ein Minus vor die erhaltene Antwort:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
Normalerweise kürzer geschrieben: 12 × (−5) = −60
Beispiel 3 Finde den Wert des Ausdrucks 10 × (−4) × 2
Dieser Ausdruck setzt sich aus mehreren Faktoren zusammen. Multiplizieren Sie zuerst 10 und (−4), dann multiplizieren Sie die resultierende Zahl mit 2. Wenden Sie dabei die zuvor studierten Regeln an:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
Zweite Aktion:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
Der Wert des Ausdrucks 10 × (−4) × 2 ist also −80
Normalerweise kürzer geschrieben: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80
Beispiel 4 Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−4) × (−2)
Dies ist die Multiplikation negativer Zahlen. In solchen Fällen sollte die folgende Regel gelten:
Um negative Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie ihre Module multiplizieren und ein Plus vor die erhaltene Antwort setzen.
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
Außerdem schreiben wir traditionell nicht auf, also schreiben wir einfach die Antwort 8 auf.
Normalerweise kürzer geschrieben (−4) × (−2) = 8
Es stellt sich die Frage, warum beim Multiplizieren negativer Zahlen plötzlich eine positive Zahl herauskommt. Versuchen wir zu beweisen, dass (−4) × (−2) gleich 8 ist und sonst nichts.
Zuerst schreiben wir den folgenden Ausdruck:
Schließen wir es in Klammern ein:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck (−4) × (−2) zu diesem Ausdruck hinzufügen. Setzen wir es auch in Klammern:
Wir setzen das alles gleich Null:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
Jetzt beginnt der Spaß. Die Quintessenz ist, dass wir die linke Seite dieses Ausdrucks berechnen müssen und als Ergebnis 0 erhalten.
Das erste Produkt (4 × (−2)) ist also −8. Schreiben wir statt des Produkts (4 × (−2)) die Zahl −8 in unseren Ausdruck.
Jetzt setzen wir anstelle des zweiten Produkts vorübergehend ein Auslassungszeichen
Schauen wir uns nun den Ausdruck −8 + […] = 0 genau an. Welche Zahl sollte anstelle der Auslassungspunkte verwendet werden, damit die Gleichheit eingehalten wird? Die Antwort liegt nahe. Anstelle eines Auslassungspunktes sollte eine positive Zahl 8 stehen und keine andere. Nur so bleibt die Gleichberechtigung erhalten. Weil −8 + 8 gleich 0 ist.
Wir kehren zum Ausdruck −8 + ((−4) × (−2)) = 0 zurück und schreiben anstelle des Produkts ((−4) × (−2)) die Zahl 8
Beispiel 5 Finden Sie den Wert des Ausdrucks −2 × (6 + 4)
Wir wenden das Distributivgesetz der Multiplikation an, d.h. wir multiplizieren die Zahl −2 mit jedem Glied der Summe (6 + 4)
−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)
Lassen Sie uns nun die Ausdrücke in Klammern auswerten. Dann addieren wir die Ergebnisse. Wende dabei die zuvor erlernten Regeln an. Der Eintrag mit Modulen kann weggelassen werden, um den Ausdruck nicht zu überladen
−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12
−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8
Dritte Aktion:
Der Wert des Ausdrucks −2 × (6 + 4) ist also −20
Normalerweise kürzer geschrieben: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
Beispiel 6 Finde den Wert des Ausdrucks (−2) × (−3) × (−4)
Der Ausdruck setzt sich aus mehreren Faktoren zusammen. Zuerst multiplizieren wir die Zahlen -2 und -3, und das resultierende Produkt wird mit der verbleibenden Zahl -4 multipliziert. Wir überspringen den Eintrag mit Modulen, um den Ausdruck nicht zu überladen
Der Wert des Ausdrucks (−2) × (−3) × (−4) ist also −24
Normalerweise kürzer geschrieben: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
Teilungsgesetze
Vor der Division ganzer Zahlen ist es notwendig, zwei Divisionsgesetze zu studieren.
Erinnern wir uns zunächst daran, woraus die Division besteht. Die Division besteht aus drei Parametern: teilbar, Teiler und Privat. Zum Beispiel in Ausdruck 8: 2 = 4, 8 ist der Dividende, 2 ist der Divisor, 4 ist der Quotient.
Dividende zeigt genau das, was wir teilen. In unserem Beispiel dividieren wir die Zahl 8.
Teiler Zeigt an, durch wie viele Teile der Dividende geteilt werden soll. In unserem Beispiel ist der Divisor die Zahl 2. Dieser Divisor zeigt an, durch wie viele Teile der Dividende 8 geteilt werden muss. Das heißt, während der Divisionsoperation wird die Zahl 8 in zwei Teile geteilt.
Privat ist das tatsächliche Ergebnis der Divisionsoperation. In unserem Beispiel ist der Quotient 4. Dieser Quotient ergibt sich aus der Division von 8 durch 2.
Kann nicht durch Null dividieren
Jede Zahl kann nicht durch Null geteilt werden. Dies liegt daran, dass die Division die Umkehrung der Multiplikation ist. Wenn zum Beispiel 2 × 6 = 12, dann ist 12:6 = 2
Es ist ersichtlich, dass der zweite Ausdruck eingeschrieben ist umgekehrte Reihenfolge.
Jetzt machen wir dasselbe für den Ausdruck 5 × 0. Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Also ist auch der Ausdruck 5 × 0 Null
Wenn wir diesen Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge schreiben, erhalten wir:
Die Antwort, die sofort ins Auge fällt, ist 5, was das Ergebnis der Division von Null durch Null ist. Es ist unmöglich und dumm.
Ein anderer ähnlicher Ausdruck kann in umgekehrter Reihenfolge geschrieben werden, zum Beispiel 2 × 0 = 0
Im ersten Fall erhalten wir 5, wenn wir null durch null teilen, und im zweiten Fall 2. Das heißt, jedes Mal, wenn wir null durch null teilen, können wir bekommen unterschiedliche Bedeutungen, was nicht akzeptabel ist.
Die zweite Erklärung ist, dass das Teilen des Dividenden durch den Divisor bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit dem Divisor multipliziert wird, den Dividenden ergibt.
Zum Beispiel bedeutet der Ausdruck 8: 2, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 2 multipliziert wird, 8 ergibt
Hier sollte anstelle der Auslassungspunkte eine Zahl stehen, die multipliziert mit 2 die Antwort 8 ergibt. Um diese Zahl zu finden, reicht es aus, diesen Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge zu schreiben:
Stellen Sie sich nun vor, dass Sie den Wert des Ausdrucks 5: 0 finden müssen. In diesem Fall ist 5 der Dividende, 0 der Divisor. 5 durch 0 dividieren bedeutet, eine Zahl zu finden, die multipliziert mit 0 5 ergibt
Hier sollte anstelle der Auslassungspunkte eine Zahl stehen, die multipliziert mit 0 die Antwort 5 ergibt. Aber es gibt keine Zahl, die multipliziert mit null 5 ergibt.
Der Ausdruck […] × 0 = 5 widerspricht dem Gesetz der Multiplikation mit Null, das besagt, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Den Ausdruck […] × 0 = 5 in umgekehrter Reihenfolge zu schreiben, 5 durch 0 zu dividieren, macht also keinen Sinn. Deshalb sagen sie, dass man nicht durch Null teilen kann.
Verwenden von Variablen dieses Gesetz wird wie folgt geschrieben:
Beim b ≠ 0
Anzahl a kann durch eine Zahl geteilt werden b, unter der Vorraussetzung, dass b nicht gleich Null.
Privatbesitz
Dieses Gesetz besagt, dass sich der Quotient nicht ändert, wenn der Dividende und der Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.
Betrachten Sie beispielsweise den Ausdruck 12: 4. Der Wert dieses Ausdrucks ist 3
Versuchen wir, den Dividenden und den Divisor mit derselben Zahl zu multiplizieren, zum Beispiel mit der Zahl 4. Wenn wir der Quotienteneigenschaft glauben, sollten wir wieder die Zahl 3 als Antwort erhalten
(12×4): (4×4)
(12 × 4) : (4 × 4) = 48 : 16 = 3
Versuchen wir nun, nicht zu multiplizieren, sondern den Dividenden und den Divisor durch die Zahl 4 zu dividieren
(12: 4) : (4: 4)
(12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3
Antwort erhalten 3.
Wir sehen, dass sich der Quotient nicht ändert, wenn der Dividende und der Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.
Division ganzer Zahlen
Beispiel 1 Finde den Wert von Ausdruck 12: (−2)
Dies ist die Teilung von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. 12 ist eine positive Zahl, (−2) ist negativ. In solchen Fällen brauchen Sie
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
Normalerweise kürzer als 12 geschrieben: (−2) = −6
Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks −24: 6
Dies ist die Teilung von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. −24 ist negativ, 6 ist positiv. Auch in solchen Fällen Teilen Sie den Dividendenmodul durch den Divisormodul und setzen Sie ein Minuszeichen vor die erhaltene Antwort.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
Normalerweise kürzer als -24 geschrieben: 6 = -4
Beispiel 3 Finde den Wert des Ausdrucks (−45) : (−5)
Dies ist die Division negativer Zahlen. In solchen Fällen brauchen Sie Teilen Sie den Dividendenmodul durch den Divisormodul und setzen Sie ein Pluszeichen vor die erhaltene Antwort.
(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
Normalerweise kürzer geschrieben (−45) : (−5) = 9
Beispiel 4 Finde den Wert des Ausdrucks (−36) : (−4) : (−3)
Wenn der Ausdruck nur Multiplikation oder Division enthält, müssen gemäß der Reihenfolge der Operationen alle Aktionen von links nach rechts in der Reihenfolge ausgeführt werden, in der sie erscheinen.
Teilen Sie (−36) durch (−4) und teilen Sie die resultierende Zahl durch (−3)
Erste Aktion:
(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
Normalerweise kürzer geschrieben (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
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Jeder erinnert sich aus der Schule daran, dass man nicht durch Null teilen kann. Jüngeren Schülern wird nie gesagt, warum sie es nicht tun sollten. Sie bieten nur an, es für selbstverständlich zu halten, zusammen mit anderen Verboten wie „Du darfst deine Finger nicht in Steckdosen stecken“ oder „Du solltest Erwachsenen keine dummen Fragen stellen“.
Die Zahl 0 kann als eine Art Grenze dargestellt werden, die die Welt der reellen Zahlen von den imaginären oder negativen Zahlen trennt. Aufgrund der mehrdeutigen Position gehorchen viele Operationen mit diesem Zahlenwert nicht der mathematischen Logik. Die Unmöglichkeit, durch Null zu teilen, ist ein Paradebeispiel dafür. Und erlaubte Rechenoperationen mit Null können mit allgemein anerkannten Definitionen durchgeführt werden.
Algebraische Erklärung für die Unmöglichkeit der Division durch Null
Algebraisch kann man nicht durch Null dividieren, weil es keinen Sinn macht. Nehmen wir zwei beliebige Zahlen, a und b, und multiplizieren sie mit Null. a × 0 ist Null und b × 0 ist Null. Es stellt sich heraus, dass a × 0 und b × 0 gleich sind, da das Produkt in beiden Fällen gleich Null ist. Somit können wir die Gleichung schreiben: 0 × a = 0 × b. Nehmen wir nun an, wir könnten durch Null dividieren: Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch Null und erhalten, dass a = b. Es stellt sich heraus, dass alle Zahlen gleich sind, wenn wir die Operation der Division durch Null zulassen. Aber 5 ist nicht gleich 6 und 10 ist nicht gleich ½. Es entsteht Unsicherheit, was Lehrer neugierigen Grundschülern lieber nicht sagen.
Gibt es einen 0:0-Betrieb?
In der Tat, wenn die Operation des Multiplizierens mit 0 legal ist, kann Null durch Null geteilt werden? Schließlich ist eine Gleichung der Form 0x5=0 ganz legal. Anstelle der Zahl 5 können Sie 0 eingeben, das Produkt ändert sich dadurch nicht. Tatsächlich ist 0x0=0. Aber du kannst immer noch nicht durch 0 dividieren. Wie gesagt, die Division ist nur die Umkehrung der Multiplikation. Wenn also im Beispiel 0x5=0 der zweite Faktor bestimmt werden muss, erhalten wir 0x0=5. Oder 10. Oder unendlich. Unendlich durch Null teilen - wie gefällt es dir? Aber wenn irgendeine Zahl in den Ausdruck passt, dann macht es keinen Sinn, wir können keine aus einer unendlichen Menge von Zahlen auswählen. Und wenn ja, bedeutet das, dass der Ausdruck 0:0 keinen Sinn macht. Es stellt sich heraus, dass sogar Null selbst nicht durch Null geteilt werden kann.
Erklärung der Unmöglichkeit der Division durch Null in Bezug auf die mathematische Analyse
In der High School studieren sie die Theorie der Grenzen, die auch von der Unmöglichkeit spricht, durch Null zu teilen. Diese Zahl wird dort interpretiert als „auf unbestimmte Zeit kleiner Wert". Wenn wir also im Rahmen dieser Theorie die Gleichung 0 × X = 0 betrachten, werden wir feststellen, dass X nicht gefunden werden kann, weil wir dazu Null durch Null teilen müssten. Und das macht auch keinen Sinn, da sowohl der Dividende als auch der Divisor in diesem Fall unbestimmte Größen sind, also kein Rückschluss auf deren Gleichheit oder Ungleichheit möglich ist.
Wann kann man durch Null teilen?
Im Gegensatz zu Schülern können Studenten technischer Universitäten durch Null teilen. Eine Operation, die in der Algebra unmöglich ist, kann in anderen Bereichen des mathematischen Wissens durchgeführt werden. Sie haben neu zusätzliche Bedingungen Aufgaben, die diese Aktion zulassen. Das Teilen durch Null wird für diejenigen möglich sein, die eine Vorlesung über Nichtstandardanalysis hören, die Dirac-Delta-Funktion studieren und sich mit der erweiterten komplexen Ebene vertraut machen.
Geschichte von Null
Null ist der Bezugspunkt in allen gängigen Zahlensystemen. Die Verwendung der Zahl durch Europäer ist relativ neu, aber die Weisen des alten Indien verwendeten tausend Jahre lang die Null, bevor die leere Zahl von europäischen Mathematikern regelmäßig verwendet wurde. Schon vor den Indianern war die Null ein obligatorischer Wert im Maya-Zahlensystem. Dieses amerikanische Volk verwendete das Duodezimalsystem und begann den ersten Tag jedes Monats mit einer Null. Interessanterweise stimmte bei den Maya das Zeichen für „Null“ vollständig mit dem Zeichen für „Unendlichkeit“ überein. Daher kamen die alten Maya zu dem Schluss, dass diese Mengen identisch und nicht erkennbar waren.
Höhere Mathematik
Die Division durch Null ist ein Kopfschmerz für die Highschool-Mathematik. Die mathematische Analyse, die an technischen Universitäten studiert wird, erweitert das Konzept der Probleme, die keine Lösung haben, geringfügig. Beispielsweise werden zum bereits bekannten Ausdruck 0:0 neue hinzugefügt, die im Schulmathematikunterricht keine Lösung haben: Unendlich dividiert durch Unendlich: ∞:∞; unendlich minus unendlich: ∞−∞; Einheit unendlich potenziert: 1∞; unendlich multipliziert mit 0: ∞*0; einige andere.
Es ist unmöglich, solche Ausdrücke mit elementaren Methoden zu lösen. Aber die höhere Mathematik liefert dank zusätzlicher Möglichkeiten für eine Reihe ähnlicher Beispiele endgültige Lösungen. Besonders deutlich wird dies bei der Betrachtung von Problemen aus der Grenzwerttheorie.
Offenlegung von Unsicherheiten
In der Grenzwerttheorie wird der Wert 0 durch eine bedingte infinitesimale Variable ersetzt. Und Ausdrücke, in denen eine Division durch Null erhalten wird, wenn der gewünschte Wert ersetzt wird, werden umgewandelt.
Unten ist ein Standardbeispiel für die Erweiterung des Grenzwerts mit den üblichen algebraischen Transformationen: Wie Sie im Beispiel sehen können, bringt eine einfache Kürzung eines Bruchs seinen Wert zu einer völlig rationalen Antwort.
Wenn man die Grenzen trigonometrischer Funktionen betrachtet, werden ihre Ausdrücke in der Regel auf die erste bemerkenswerte Grenze reduziert. Bei der Betrachtung der Grenzen, bei denen der Nenner auf 0 geht, wenn die Grenze ersetzt wird, wird die zweite bemerkenswerte Grenze verwendet.
L'Hopital-Methode
In einigen Fällen können die Grenzwerte von Ausdrücken durch den Grenzwert ihrer Ableitungen ersetzt werden. Guillaume Lopital - französischer Mathematiker, Gründer der französischen Schule der mathematischen Analyse. Er bewies, dass die Grenzen der Ausdrücke gleich den Grenzen der Ableitungen dieser Ausdrücke sind.
In mathematischer Notation lautet seine Regel wie folgt.
