In der modernen Welt wird die Mathematik immer mehr zu einem der wichtigsten Werkzeuge für das Wissen des Menschen über die ihn umgebende Welt. Mathematik ist die Hauptmethode der theoretischen Forschung und ein praktisches Werkzeug in Naturwissenschaft und Technik, ohne Mathematik ist es absolut unmöglich, ernsthafte wissenschaftliche und technische Berechnungen durchzuführen. Kein Wunder, dass der Begründer der deutschen klassischen Philosophie Immanuel Kant (1742 – 1804) argumentierte, dass „in jedem Individuum Naturwissenschaft eigentliche Wissenschaft kann man nur insofern finden, als man Mathematik in ihr finden kann. Die Mathematik als Wissenschaft entstand im Zusammenhang mit der Notwendigkeit, praktische Probleme zu lösen: Messungen am Boden, Navigation usw. Infolgedessen war Mathematik immer numerische Mathematik, ihr Ziel war es, Lösungen für Probleme in Form einer Zahl zu erhalten. Die Schaffung von Computern gab der Entwicklung der Mathematik neue Impulse, neue Disziplinen entstanden - "mathematische Ökonomie", "mathematische Chemie", "mathematische Linguistik" usw. Das Konzept der "mathematischen Modellierung" entstand. Wort " Modell“ kommt aus dem Lateinischen Modus(Text, Bild, Gliederung). Modellieren ist das Ersetzen eines Objekts A (Original) durch ein anderes Objekt B (Modell).

Ein mathematisches Modell ist eine vereinfachte Beschreibung der Realität unter Verwendung mathematischer Konzepte. Mathematische Modellierung - der Prozess des Bauens und Lernens Mathematische Modelle reale Prozesse und Phänomene, d.h. Methode zur Untersuchung von Objekten und Prozessen echte Welt mit Hilfe ihrer ungefähren Beschreibungen in der Sprache der Mathematik – mathematische Modelle. Die größten Wissenschaftler der Vergangenheit kombinierten in ihren Arbeiten sowohl die Konstruktion einer mathematischen Beschreibung natürlicher Phänomene (mathematische Modelle) als auch deren Erforschung. Die Analyse komplizierter Modelle erforderte in der Regel die Erstellung neuer Modelle, Numerische Methoden Probleme lösen.

Der Akademiker A. A. Samarsky gilt zu Recht als Begründer der inländischen mathematischen Modellierung. Er drückte die Methodik der mathematischen Modellierung durch die berühmte Triade aus « Modell– Algorithmus– Programm».

Stufe 1. Modell. Es wird ein Modell des Untersuchungsobjekts ausgewählt oder gebaut, das seine wichtigsten Eigenschaften in mathematischer Form widerspiegelt. Meist mathematische Modelle echte Prozesse sind recht komplex und umfassen Systeme nichtlinearer funktionaler Differentialgleichungen. Kern des mathematischen Modells sind in der Regel Gleichungen mit partiellen Ableitungen. Um Vorkenntnisse über das Objekt zu erhalten, wird das konstruierte Modell mit traditionellen Analysewerkzeugen der angewandten Mathematik untersucht.

Bühne. Algorithmus. Ein Berechnungsalgorithmus wird ausgewählt oder entwickelt, um das konstruierte Modell auf einem Computer zu implementieren, der die grundlegenden Eigenschaften des Modells nicht verfälschen sollte, der an die Merkmale der zu lösenden Aufgaben und die verwendeten Computerwerkzeuge anpassbar sein sollte. Das konstruierte mathematische Modell wird mit den Methoden der Computermathematik untersucht.

Stufe 3. Programm. Software wird erstellt, um das Modell und den Algorithmus auf einem Computer zu implementieren. Das erstellte Softwareprodukt sollte die wichtigsten Besonderheiten der mathematischen Modellierung berücksichtigen, die mit der Notwendigkeit verbunden sind, einen Satz mathematischer Modelle und die Multivarianz von Berechnungen zu verwenden. Als Ergebnis erhält der Forscher ein universelles, flexibles und kostengünstiges Werkzeug, das zunächst an der Lösung des Sets debuggt, getestet und kalibriert wird Probeaufgaben. Dann wird eine groß angelegte Untersuchung des mathematischen Modells durchgeführt, um die notwendigen qualitativen und quantitativen Eigenschaften und Merkmale des Untersuchungsobjekts zu erhalten. Die vorgeschlagene Methodik wurde in Form von Technologie entwickelt " Rechenexperiment ". Ein Computerexperiment ist eine Informationstechnologie, die entwickelt wurde, um die Phänomene der umgebenden Welt zu untersuchen, wenn ein vollständiges Experiment entweder unmöglich ist (z. B. bei der Untersuchung der menschlichen Gesundheit) oder zu gefährlich ist (z. B. bei der Untersuchung von Umweltphänomenen) oder zu teuer und kompliziert (z. B. beim Studium astrophysikalischer Phänomene). Breite Anwendung Computer in der mathematischen Modellierung, die entwickelte Theorie und bedeutende praktische Ergebnisse lassen uns von einem Computerexperiment als einem sprechen neue Technologie und Methoden der wissenschaftlichen und praktischen Forschung. Eine ernsthafte Einführung eines Computerexperiments in Ingenieurtätigkeiten ist noch nicht sehr weit verbreitet, aber dort, wo es tatsächlich stattfindet (in der Luft- und Raumfahrtindustrie), sind seine Früchte sehr bedeutsam. Lassen Sie uns einige Vorteile des Computerexperiments gegenüber dem natürlichen festhalten. Ein Computerexperiment ist in der Regel billiger als ein physikalisches. Dieses Experiment kann leicht und sicher manipuliert werden. Sie kann bei Bedarf noch einmal wiederholt und jederzeit unterbrochen werden. Bei diesem Experiment können Sie Bedingungen simulieren, die im Labor nicht herstellbar sind. In einigen Fällen ist die Durchführung eines groß angelegten Experiments schwierig und manchmal sogar unmöglich. Oft ist ein groß angelegtes Naturexperiment mit katastrophalen oder unvorhersehbaren Folgen (Atomkrieg, Verdrehung der sibirischen Flüsse) oder der Gefahr für das Leben oder die Gesundheit von Menschen verbunden. Es ist oft notwendig, katastrophale Phänomene zu untersuchen und vorherzusagen (Unfall Kernreaktor ATOMKRAFTWERK, globale Erwärmung oder Abkühlung des Klimas, Tsunami, Erdbeben). In diesen Fällen kann ein Computerexperiment zum Hauptforschungsmittel werden. Mit seiner Hilfe ist es möglich, die Eigenschaften neuer, noch nicht geschaffener Strukturen und Materialien in der Phase ihres Entwurfs vorherzusagen. Gleichzeitig muss beachtet werden, dass die Anwendbarkeit der Ergebnisse eines Computerexperiments durch den Rahmen des akzeptierten mathematischen Modells begrenzt ist. Im Gegensatz zu natürlichen Studien ermöglicht ein Computerexperiment, die beim Studium einer bestimmten Reihe von Problemen erzielten Ergebnisse zu akkumulieren und sie dann effektiv auf die Lösung von Problemen in anderen Bereichen anzuwenden. Beispielsweise beschreibt die nichtlineare Wärmegleichung nicht nur thermische Prozesse, aber auch Stoffdiffusion, Grundwasserbewegung, Gasfiltration in porösen Medien. Lediglich die physikalische Bedeutung der in dieser Gleichung enthaltenen Größen ändert sich. Nach der ersten Stufe des Rechenexperiments kann es notwendig sein, das Modell zu verfeinern. In der zweiten Stufe werden zusätzliche Effekte und Zusammenhänge des untersuchten Phänomens berücksichtigt, oder es wird notwendig, einige Regelmäßigkeiten und Zusammenhänge zu vernachlässigen. Dann wird dieser Vorgang wiederholt, bis wir überzeugt sind, dass das Modell für das zu untersuchende Objekt geeignet ist. Am Prozess der mathematischen Modellierung und Computerexperimente sind in der Regel neben professionellen Mathematikern und Programmierern Spezialisten eines bestimmten Fachgebiets (Biologie, Chemie, Medizin usw.) beteiligt. Das erste ernsthafte Computerexperiment wurde 1968 in der UdSSR von einer Gruppe von Wissenschaftlern unter der Leitung der Akademiker A.N. Tikhonov und A.A. Samara. Dies war die Entdeckung des sogenannten T-Layer-Effekts (Temperaturstromschicht im Plasma, die in MHD-Generatoren entsteht) – ein Phänomen, das niemand wirklich beobachtete. Und nur wenige Jahre später wurde die T-Schicht in experimentellen physikalischen Labors registriert, und das Funktionsprinzip eines MHD-Generators mit einer T-Schicht wurde Technologen und Ingenieuren endlich klar. BEIM letzten Jahren Eine Reihe von Nobelpreisen in Chemie, Medizin, Wirtschaftswissenschaften, Elementarteilchenphysik wurden an Arbeiten verliehen, deren methodische Grundlage gerade mathematische Modellierung war. Mathematische Modelle zur Beschreibung der untersuchten Phänomene in Mechanik, Physik und anderen exakten Naturwissenschaften werden seit langem verwendet. Vor 3-4 Tausend Jahren lösten sie Probleme der angewandten Mathematik im Zusammenhang mit der Berechnung von Flächen und Volumen, Berechnungen der einfachsten Mechanismen, d. H. mit einfachen Problemen der Arithmetik, Algebra und Geometrie. Die Rechenmittel waren ihre eigenen Finger und dann der Abakus. Die meisten Berechnungen wurden exakt ohne Rundung durchgeführt. Im 17. Jahrhundert beschrieb Isaac Newton vollständig die Muster der Planetenbewegung um die Sonne, löste die Probleme der Geodäsie und führte Berechnungen mechanischer Strukturen durch. Die Probleme wurden auf gewöhnliche Differentialgleichungen oder auf algebraische Systeme mit reduziert eine große Anzahl unbekannt, die Berechnungen wurden mit einer ausreichend hohen Genauigkeit bis zu 8 signifikanten Stellen durchgeführt. Bei den Berechnungen wurden Tabellen mit elementaren Funktionen, eine Addiermaschine und ein Rechenschieber verwendet; Am Ende dieser Zeit erschienen gute Tastaturmaschinen mit Elektromotor. Damals wurden Algorithmen für numerische Verfahren entwickelt, die bis heute einen Ehrenplatz im Arsenal der Computermathematik einnehmen. Also schlug Newton ein effektives numerisches Verfahren zum Lösen algebraischer Gleichungen vor, und Euler schlug ein numerisches Verfahren zum Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen vor. Ein klassisches Beispiel für die Anwendung numerischer Methoden ist die Entdeckung des Planeten Neptun. Uranus ist der Planet neben Saturn, der viele Jahrhunderte lang als der am weitesten entfernte Planet galt. In den 40er Jahren des 19. Jahrhunderts. Genaue Beobachtungen haben gezeigt, dass Uranus kaum merklich von dem Weg abweicht, dem er folgen sollte, wenn man die Störungen von allen berücksichtigt bekannte Planeten. Le Verrier (in Frankreich) und Adams (in England) schlugen vor, dass, wenn Störungen von den bekannten Planeten die Abweichung in der Bewegung von Uranus nicht erklären, dies bedeutet, dass die Anziehungskraft eines noch unbekannten Körpers auf ihn einwirkt. Fast zeitgleich berechneten sie, wo sich hinter Uranus ein unbekannter Körper befinden sollte, der diese Abweichungen durch seine Anziehungskraft erzeugt. Sie berechneten die Umlaufbahn unbekannter Planet, seine Masse und zeigte den Ort am Himmel an, an dem sich der unbekannte Planet zu diesem Zeitpunkt befunden haben sollte. Dieser Planet wurde 1846 in einem Teleskop an der von ihnen angegebenen Stelle gefunden. Er wurde Neptun genannt. Le Verrier brauchte sechs Monate, um die Flugbahn von Neptun zu berechnen. Die numerische Lösung angewandter Probleme hat Mathematiker schon immer interessiert. An der Entwicklung numerischer Methoden waren die größten Wissenschaftler ihrer Zeit beteiligt: ​​Newton, Euler, Lobatschewski, Gauss, Hermit, Chebyshev ua Die von ihnen entwickelten numerischen Methoden tragen ihre Namen. Die Entwicklung numerischer Methoden trug zur ständigen Erweiterung des Geltungsbereichs der Mathematik in anderen wissenschaftlichen Disziplinen und angewandten Entwicklungen bei. Das Aufkommen von Computern gab einen starken Impuls für eine noch breitere Einführung numerischer Methoden in die Praxis des wissenschaftlichen und technischen Rechnens. Die Geschwindigkeit der Durchführung von Rechenoperationen ist millionenfach gewachsen, wodurch eine Vielzahl von mathematischen Problemen gelöst werden konnten, die zuvor praktisch unlösbar waren. Die Entwicklung und Erforschung von Rechenalgorithmen, ihre Anwendung zur Lösung spezifischer Probleme ist Inhalt eines großen Teils der modernen Mathematik - der Computermathematik. Die Computermathematik als eigenständige mathematische Disziplin entstand zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Computational Mathematics wird im weitesten Sinne als ein Zweig der Mathematik definiert, der ein breites Spektrum von Fragen im Zusammenhang mit der Verwendung von Computern untersucht. Computational Mathematics ist im engeren Sinne definiert als die Theorie numerischer Verfahren und Algorithmen zur Lösung mathematischer Probleme. In unserem Kurs werden wir Computermathematik im engeren Sinne verstehen. Moderne computergestützte numerische Verfahren müssen vielfältigen und oft widersprüchlichen Anforderungen genügen. Normalerweise wird die Konstruktion eines numerischen Verfahrens für ein gegebenes mathematisches Modell in zwei Phasen unterteilt: Diskretisierung des Originals mathematisches Problem und Entwicklung eines Rechenalgorithmus, der es ermöglicht, eine Lösung für ein diskretes Problem zu finden. Es gibt zwei Gruppen von Anforderungen an numerische Verfahren. Die erste Gruppe bezieht sich auf die Angemessenheit des diskreten Modells für das ursprüngliche mathematische Problem, die zweite auf die Durchführbarkeit der numerischen Methode auf der verfügbaren Computertechnologie. Die erste Gruppe umfasst Anforderungen wie die Konvergenz des numerischen Verfahrens, die Erfüllung diskreter Analoga von Erhaltungssätzen und das qualitativ korrekte Verhalten der Lösung eines diskreten Problems. Nehmen wir an, das diskrete Modell eines mathematischen Problems sei ein System eine große Anzahl algebraische Gleichungen. Je genauer wir eine Lösung erhalten wollen, desto mehr Gleichungen müssen wir nehmen. Ein numerisches Verfahren wird als konvergierend bezeichnet, wenn die Lösung des diskreten Problems bei unendlich zunehmender Anzahl von Gleichungen zur Lösung des ursprünglichen Problems tendiert. Da ein realer Computer nur mit einer endlichen Anzahl von Gleichungen arbeiten kann, wird Konvergenz in der Praxis normalerweise nicht erreicht. Daher ist es sehr wichtig, den Fehler der Methode in Abhängigkeit von der Anzahl der Gleichungen, aus denen das diskrete Modell besteht, abschätzen zu können. Aus dem gleichen Grund versuchen sie, ein diskretes Modell so aufzubauen, dass es das qualitative Verhalten der Lösung des ursprünglichen Problems auch mit einer relativ geringen Anzahl von Gleichungen korrekt widerspiegelt. Bei der Diskretisierung von Problemen der mathematischen Physik kommt man also zu Differenzenschemata, also Systemen linearer oder nichtlinearer algebraischer Gleichungen. Differentialgleichung mathematische Physik sind Folgen integraler Erhaltungssätze. Daher ist es natürlich zu fordern, dass Analoga solcher Erhaltungssätze für das Differenzenschema gelten. Differenzenschemata, die diese Anforderung erfüllen, heißen konservativ. Es stellte sich heraus, dass für die gleiche Anzahl von Gleichungen in einem diskreten Problem konservative Differenzenschemata das Verhalten der Lösung des ursprünglichen Differenzenproblems korrekter widerspiegeln als nicht-konservative Schemata. Die Konvergenz einer numerischen Methode hängt eng mit ihrer Korrektheit zusammen. Das ursprüngliche mathematische Problem sei richtig formuliert, d.h. seine Lösung existiert, ist eindeutig und hängt kontinuierlich von den Eingabedaten ab. Dann muss das diskrete Modell dieses Problems so konstruiert werden, dass die Wohlgestelltheitseigenschaft erhalten bleibt. Folglich umfasst der Begriff der Korrektheit eines numerischen Verfahrens die Eigenschaften der eindeutigen Lösbarkeit des entsprechenden Gleichungssystems und seiner Stabilität. Stabilität wird als kontinuierliche Abhängigkeit von den Eingangsdaten verstanden. Die zweite Gruppe von Anforderungen an numerische Methoden bezieht sich auf die Möglichkeit, ein gegebenes diskretes Modell auf einem gegebenen Computer zu implementieren, d.h. mit der Möglichkeit, in akzeptabler Zeit eine numerische Lösung zu erhalten. Normalerweise werden komplexe Rechenprobleme, die beim Studium physikalischer und technischer Probleme auftreten, in eine Reihe elementarer Probleme unterteilt. Viele elementare Probleme sind einfach, sie sind gut untersucht, für sie wurden bereits Methoden zur numerischen Lösung entwickelt, und es gibt Standardlösungsprogramme. Der Zweck dieses Kapitels ist es, die Methodik für den Aufbau und die Erforschung der wichtigsten numerischen Methoden der Algebra und Analysis sowie die Probleme vorzustellen, die bei der numerischen Lösung von Problemen auftreten.

Das Erstellen eines Modells eines Objekts oder Phänomens beginnt damit, seine wichtigsten Merkmale und Eigenschaften hervorzuheben und sie mithilfe mathematischer Beziehungen zu beschreiben. Nach der Erstellung eines mathematischen Modells wird es dann mit mathematischen Methoden untersucht, d.h. das gegebene mathematische Problem lösen.

Die Konstruktion einer mathematischen Medaille ist eine der schwierigsten und verantwortungsvollsten Phasen beim Studium eines Objekts. Ein mathematisches Modell ist niemals identisch mit dem betrachteten Objekt, vermittelt nicht alle seine Eigenschaften und Merkmale. Es basiert auf Vereinfachung, Idealisierung und ist eine Annäherung an die Beschreibung des Objekts. Daher sind die auf der Grundlage dieses Modells erhaltenen Ergebnisse immer ungefähr. Ihre Genauigkeit wird durch den Übereinstimmungsgrad, die Angemessenheit des Modells und des Objekts bestimmt. Die Frage der Genauigkeit ist die wichtigste in der angewandten Mathematik. Es ist jedoch nicht rein Mathe Frage und mathematisch nicht lösbar. Das Hauptkriterium der Wahrheit ist das Experiment, d.h. Vergleich der auf der Grundlage des mathematischen Modells erhaltenen Ergebnisse mit dem betrachteten Objekt. Nur die Praxis ermöglicht es uns, verschiedene hypothetische Modelle zu vergleichen und das einfachste und zuverlässigste unter ihnen auszuwählen und die Anwendungsbereiche anzugeben verschiedene Modelle und Richtung für ihre Verbesserung. Betrachten wir die Entwicklung des Modells am Beispiel des bekannten ballistischen Problems der Bestimmung der Flugbahn eines mit einer schrägen Anfangsgeschwindigkeit ausgelösten Körpers bis zum Horizont. Nehmen wir zunächst an, dass die Geschwindigkeit und die Flugreichweite des Körpers ist gering. Dann gilt für dieses Problem das mathematische Modell von Galileo, das auf den folgenden Annahmen basiert:

1) Die Erde ist ein Inertialsystem;

2) Beschleunigung im freien Fall
;

3) Die Erde ist ein flacher Körper;

4) es gibt keinen Luftwiderstand.

In diesem Fall sind die Komponenten der Geschwindigkeit des Körpers entlang der Achsen X und beim gleich

und ihre Wege

, (6.2)

wo t - Reisezeit.

Indem wir t aus der ersten Gleichung bestimmen und in die zweite einsetzen, erhalten wir die Gleichung für die Bahn des Körpers, die eine Parabel ist

(6.3)

aus dem Zustand
Holen Sie sich die Reichweite des Körpers

(6.4)

Wie die Praxis zeigt, sind die auf der Grundlage dieses Modells erhaltenen Ergebnisse jedoch nur bei niedrigen Anfangsgeschwindigkeiten des Körpers gültig v<30м/с. С увеличением скоростиdie Flugreichweite wird kleiner als der durch Formel (6.1) gegebene Wert.

T Welche Diskrepanz zwischen dem Experiment und der Berechnungsformel (6.1) weist auf die Ungenauigkeit des Galileo-Modells hin, das den Luftwiderstand nicht berücksichtigt.

Reis. 6.1 - Körperflugbahn

Eine weitere Verfeinerung des Modells des ballistischen Problems im Hinblick auf die Berücksichtigung des Luftwiderstands wurde von Newton vorgenommen. Dies ermöglichte es, die Flugbahnen von Kanonenkugeln, die mit erheblichen Anfangsgeschwindigkeiten abgefeuert wurden, mit ausreichender Genauigkeit zu berechnen.

Der Übergang von Waffen mit glattem Lauf zu Gewehren ermöglichte es, die Geschwindigkeit, Reichweite und Höhe der Projektile zu erhöhen, was zu einer weiteren Verfeinerung des mathematischen Modells des Problems führte. Im neuen mathematischen Modell wurden alle im Galileischen Modell akzeptierten Annahmen revidiert, d.h. Die Erde wurde nicht mehr als flaches und inertiales System betrachtet, und die Anziehungskraft der Erde wurde nicht als konstant angenommen.

Die anschließende Verbesserung des mathematischen Modells des Problems ist mit der Verwendung von Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie verbunden. Dies lag daran, dass die Parameter von Granaten, Kanonen, Ladungen und der Umgebung aufgrund von Toleranzen und anderen Gründen nicht unverändert bleiben, sondern zufälligen Schwankungen unterliegen.

Als Ergebnis sukzessiver Verfeinerungen und Verbesserungen wurde ein mathematisches Modell geschaffen, das das Problem der Außenballistik am vollständigsten und genauesten beschreibt. Der Vergleich ihrer Daten mit den Schussergebnissen zeigte eine gute Übereinstimmung.

Dieses Beispiel zeigt die Phasen der Erstellung, Entwicklung und Verfeinerung des mathematischen Modells des Objekts, die ständig von Vergleich und Überprüfung durch die Praxis begleitet werden, d.h. mit dem eigentlichen Objekt oder Phänomen selbst. Gerade die unzureichend gute Übereinstimmung der vom Modell gelieferten Ergebnisse mit dem Objekt bewirkt eine weitere Verbesserung des Modells.

1. Mathematische Modellierung und Einsatz von Computern zur Lösung angewandter Probleme.

In der modernen Wissenschaft und Technik spielt die mathematische Modellierung eine wichtige Rolle, die Experimente ersetzt echte Objekte Experimente mit ihnen Mathematische Modelle.

Mathematische Modelle sind eines der wichtigsten Werkzeuge für die menschliche Wahrnehmung der Phänomene der umgebenden Welt. Unter den mathematischen Modellen verstehen Sie die grundlegenden Muster und Beziehungen, die dem untersuchten Phänomen innewohnen. Dies können Formeln oder Gleichungen, Regelwerke oder in mathematischer Form ausgedrückte Konventionen sein. Seit jeher werden in Mathematik, Mechanik, Physik und anderen exakten Naturwissenschaften mathematische Modelle verwendet, um die untersuchten Phänomene zu beschreiben. Somit bestimmen die Newtonschen Gesetze vollständig die Bewegungsmuster der Planeten um die Sonne. Mit den Grundgesetzen der Mechanik lassen sich relativ einfach Gleichungen aufstellen, die die Bewegung eines Raumfahrzeugs beispielsweise von der Erde zum Mond beschreiben. Es ist jedoch nicht möglich, ihre Lösung in Form einfacher Formeln zu erhalten.

Die Verwendung von Computern für die mathematische Modellierung hat das eigentliche Konzept des „Lösens eines Problems“ verändert. Davor begnügte sich der Forscher damit, ein mathematisches Modell zu schreiben. Und wenn es ihm dennoch gelang zu beweisen, dass eine Lösung (Algorithmus) prinzipiell existiert, dann reichte dies, wenn a priori davon ausgegangen wurde, dass das Modell das untersuchte Phänomen adäquat beschreibt. Da es in der Regel keine einfachen Formeln gibt, die das Verhalten des Modells und damit des durch das Modell beschriebenen Objekts beschreiben, bleibt nur die Reduktion auf Berechnungen, die Anwendung numerischer Lösungsverfahren Probleme.

Gegenwärtig wurde eine Technologie zum Studium komplexer Probleme entwickelt, die auf der Konstruktion und Analyse mathematischer Modelle des untersuchten Objekts mit Hilfe eines Computers basiert. Diese Forschungsmethode heißt Rechenexperiment.

Mathematische Modellierung und Computerexperimente werden heute nicht nur in den exakten Naturwissenschaften und der Technik eingesetzt, sondern auch in den Wirtschaftswissenschaften, der Soziologie und vielen anderen Bereichen, die traditionell weit entfernt von Mathematik und Computern betrachtet wurden. Warum brauchen wir ein Computerexperiment? Das Design komplexer Objekte, wie Nuklear-, Weltraum- und viele andere, erfordert enorme Mengen an Berechnungen. Um beispielsweise viele angewandte Probleme der Aerodynamik und Kernphysik zu lösen, ist es erforderlich, Leistung zu erbringen

mehr Rechenoperationen. Moderne Technologien verwenden häufig einschränkende Regime, die die Berücksichtigung komplexer nichtlinearer Faktoren erfordern. Oft ist es notwendig, das Verhalten eines Objekts zu untersuchen

Extrem- und Notfallsituationen, was durch ein Experiment im großen Maßstab praktisch unmöglich ist, beispielsweise bei der Untersuchung von Atomexplosionen, den Folgen von Menschen verursachten Katastrophen und in vielen anderen Situationen.

2. Computerexperiment und seine Stadien.

Die weit verbreitete Verwendung von Computern in der mathematischen Modellierung, eine ausreichend leistungsfähige theoretische und experimentelle Basis, ermöglichen es uns, von einem Computerexperiment als einer neuen Technologie und Methodik in der wissenschaftlichen und angewandten Forschung zu sprechen.

Computerexperiment - Dies ist ein Experiment an einem mathematischen Modell eines Objekts auf einem Computer, das darin besteht, dass einer der Parameter des Modells zur Berechnung seiner anderen Parameter verwendet wird und auf dieser Grundlage Rückschlüsse auf die Eigenschaften des Modells gezogen werden Phänomen, das durch das mathematische Modell beschrieben wird.

An dem Rechenexperiment nimmt ein Team aus Forschern, Spezialisten auf einem bestimmten Fachgebiet, Mathematikern, Theoretikern, Rechnern, angewandten Ingenieuren, Programmierern teil. Das

und Verarbeitungsergebnisse. Hier sehen Sie eine Analogie zur Arbeit an

Kontrollexperimente, Reihenexperimente, Verarbeitung experimenteller Daten und deren Interpretation etc. Daher sollte die Durchführung umfangreicher komplexer Berechnungen als ein Computerexperiment oder ein Computerexperiment betrachtet werden.

Rechnen				Experiment spielt
gewöhnliche			Experiment			Forschung
Modern		Hypothese		fast immer		hat eine mathematische			Bezeichnung,
			Experimente durchführen.
	Einführung dieses Konzeptes							die Fähigkeit hervorheben
Computer		groß aufführen					rechnen,		umsetzen
Forschung. Ansonsten					Computer ermöglicht es Ihnen

Physikalisches, chemisches usw. Experiment ist ein Computerexperiment.

Ein Computerexperiment ist im Vergleich zu einem großen Experiment viel billiger und zugänglicher, seine Vorbereitung und Durchführung erfordert weniger Zeit, es ist einfach zu wiederholen und es liefert detailliertere Informationen. Außerdem werden im Laufe des Rechenversuchs die Grenzen

Anwendbarkeit des mathematischen Modells, die es ermöglichen, das Experiment unter natürlichen Bedingungen vorherzusagen. Daher ist die Verwendung eines Computerexperiments auf diejenigen mathematischen Modelle beschränkt, die in die Studie einbezogen werden. Aus diesem Grund kann ein Computerexperiment ein maßstäbliches Experiment nicht vollständig ersetzen, und der Ausweg aus dieser Situation liegt in ihrer sinnvollen Kombination. In diesem Fall wird bei der Durchführung eines komplexen Experiments eine breite Palette mathematischer Modelle verwendet: direkte Probleme, inverse Probleme, Optimierungsprobleme, Identifikationsprobleme.

Der Einsatz eines Computerexperiments als Mittel zur Lösung komplexer angewandter Probleme hat bei jeder spezifischen Aufgabenstellung und jedem spezifischen wissenschaftlichen Team seine eigenen Besonderheiten. Gleichwohl sind gemeinsame charakteristische Hauptmerkmale immer deutlich erkennbar, sodass von einer einheitlichen Struktur dieses Prozesses gesprochen werden kann. Derzeit wird der technologische Zyklus eines Computerexperiments üblicherweise in mehrere technologische Stufen unterteilt. Und obwohl eine solche Aufteilung weitgehend willkürlich ist, ermöglicht sie uns, das Wesen dieser Methode der theoretischen Forschung besser zu verstehen.

Wie jedes Experiment folgt auch ein Computerexperiment bestimmten Regeln. Schematisch lassen sich die Stationen des Rechenexperiments wie folgt darstellen:

	Physisch		mathematisch		Numerische Methode =
					diskretes Modell +
Forschung					rechnen
					Algorithmus

Reis. B. 1. Schema des Rechenexperiments

Grundlage des Rechenversuchs ist der Dreiklang: Modell - Methode (Algorithmus) - Programm. Zuerst mit einigen Annahmen gebaut das physische Modell des Objekts. Ein physikalisches Modell ist eine Reihe von Beschränkungen, Annahmen und Vereinfachungen, die dem betrachteten Phänomen auferlegt werden. Das Folgende beschreibt mathematisches Modell. Ein mathematisches Modell ist eine Gleichung, ein Gleichungssystem oder ein Satz von Gleichungssystemen, die das Physikalische beschreiben

Modell. Dann gilt es, diese Gleichungssysteme zu lösen. Wie bereits erwähnt, ist es in der Regel notwendig, sich zu bewerben Numerische Methoden. Das numerische Verfahren wird als Menge verstanden diskretes Modell auf einem Computer implementiert, und Rechenalgorithmus, wodurch das diskretisierte Problem gelöst werden kann. Um die numerische Methode zu implementieren, muss ein Programm in einer der Programmiersprachen entwickelt oder ein fertiges Paket angewandter Programme angewendet werden. Derzeit gibt es Anwendungssoftwarepakete wie MathCAD, Matlab, Maple, Mathematica und andere, mit denen die meisten in der Praxis auftretenden Probleme gelöst werden können. Eine kompetente Formulierung des Problems, eine rationale Wahl des Lösungsverfahrens und die korrekte Interpretation der Ergebnisse erfordern jedoch ernsthafte Kenntnisse numerischer Methoden. Nach dem Debuggen werden Programme erstellt Rechnen auf einem Computer(normalerweise müssen viele Berechnungsvarianten durchgeführt werden, für die ein Computerexperiment geplant werden muss) und Analyse der Ergebnisse. Nach Erhalt der Ergebnisse wird die Übereinstimmung der Ergebnisse des Rechenversuchs mit dem Funktionieren eines realen Objekts überprüft und ggf. die Komponenten des Rechenversuchsschemas (Abb. B.1) verfeinert, bis zufriedenstellende Ergebnisse vorliegen erhalten.

3. Numerische Methoden

Im weiteren Sinne wird ein numerisches Verfahren, wie oben erwähnt, als ein Satz aus einem diskreten Modell, das auf einem Computer implementiert ist, und einem Rechenalgorithmus verstanden, der die Lösung eines diskretisierten Problems ermöglicht.

Ein und dasselbe mathematische Modell kann einem Satz von diskreten Modellen und Rechenalgorithmen, d. h. numerischen Verfahren, zugeordnet werden. Bei der Wahl eines numerischen Verfahrens sind zwei Gruppen von Anforderungen zu berücksichtigen:

das diskrete Modell muss dem mathematischen Modell angemessen sein;

das numerische Verfahren muss korrekt und auf einem Computer umsetzbar sein.

Um die Angemessenheit sicherzustellen, muss ein diskretes Modell die Eigenschaften aufweisen Konvergenz der numerischen Methode, Implementierung diskreter Analoga der Erhaltung und qualitativ korrektes Verhalten der Lösung.

Die Konvergenz des numerischen Verfahrens bedeutet beispielsweise, dass mit einer Verringerung des Schrittes zum Aufteilen des Integrationsintervalls die Genauigkeit der numerischen Integration zunimmt. Verschiedene mathematische Modelle sind Ausdrücke physikalischer Erhaltungssätze, daher müssen für ein diskretes Modell auch Erhaltungssätze erfüllt werden. Das qualitativ korrekte Verhalten eines diskreten Modells bedeutet, dass aufgrund der diskreten Natur des Verhaltens des Modells einige Details des Verhaltens des realen Systems nicht verloren gehen.

Richtigkeit der numerischen Methode bedeutet, dass das diskrete Problem eindeutig lösbar und resistent gegen anfängliche Datenfehler und Rechenfehler sein muss. Implementierbarkeit des numerischen Verfahrens auf einem Computer begrenzt durch die Größe des Arbeitsspeichers und die Geschwindigkeit des Computers. Der Rechenalgorithmus muss angemessene Anforderungen an Computerressourcen stellen. Beispielsweise ist das mathematisch korrekte Cramer-Verfahren zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen absolut unanwendbar auf die Lösung realer Probleme: Wenn wir davon ausgehen, dass jede arithmetische Operation in 10 − 6 s durchgeführt wird, dann dauert es mehr als eine Million Jahre, a zu lösen System mit 20 Unbekannten nach der Cramer-Methode. Gleichzeitig kann dieses System mit der einfachsten Gauß-Methode in Sekundenbruchteilen gelöst werden.

Im engeren Sinne unter Numerische Methoden Methoden zur näherungsweisen Lösung mathematischer Probleme verstehen, die darauf reduziert sind, endlich viele elementare Operationen auf Zahlen durchzuführen. Zu den Elementaroperationen gehören Rechenoperationen, die meist näherungsweise ausgeführt werden, sowie Hilfsoperationen - Aufzeichnungen von Zwischenergebnissen, Auswahlen aus Tabellen usw. Zahlen werden durch einen begrenzten Satz von Ziffern in einem Positionszahlensystem (dezimal, binär usw.) angegeben. So wird bei numerischen Verfahren der Zahlenstrahl durch ein diskretes Zahlensystem (Gitter) ersetzt; die Funktion eines kontinuierlichen Arguments wird durch eine Tabelle seiner Werte in einem Raster ersetzt; Die auf kontinuierliche Funktionen wirkenden Analyseoperationen werden durch algebraische Operationen an den Werten von Funktionen im Gitter ersetzt.

Ziel der Lehrveranstaltung "Numerische Methoden" ist das Studium der theoretischen Grundlagen und der Erwerb praktischer Fähigkeiten zur Lösung von Rechenproblemen und zur Durchführung eines Rechenexperiments.

MINDESTPROGRAMM

Kandidatenprüfung im Fachgebiet

13.05.18 "Mathematische Modellierung,
Numerische Methoden und Softwarepakete"

über Chemie, Geologie und Mineralogie
und Biowissenschaften

Einführung

Dieses Programm basiert auf den folgenden Disziplinen: Informatik; Computermathematik; Computers; Methoden der Kybernetik in Chemie und Chemischer Technik; Analyse und Synthese chemisch-technologischer Systeme; Theorie der künstlichen Intelligenz und hybrider Expertensysteme in der chemischen Technologie; mathematische Modellierung chemisch-technologischer Prozesse; Zuverlässigkeit und Effizienz technischer Systeme.

Das Programm wurde vom Expertenrat der Höheren Bescheinigungskommission des Bildungsministeriums der Russischen Föderation in Chemie (in anorganischer Chemie) unter Beteiligung der Russischen Universität für Chemische Technologie entwickelt. .

1. Methoden der Computermathematik

Allgemeine Informationen aus der Theorie der Differenzenschemata. Grundbegriffe und Definitionen. Annäherung. Stabilität zählen. Konvergenzsatz. Finite-Differenzen-Analoga einiger Probleme der mathematischen Physik.

Methoden zur Konstruktion von Differenzenschemata zur Lösung von Differentialgleichungen. Variationsmethoden in der mathematischen Physik. Konstruktion von Grundfunktionen zur Lösung eindimensionaler Probleme. Konstruktion von Grundfunktionen zur Lösung mehrdimensionaler Probleme. Variationsdifferenz- und Projektionsgitterschemata. Konstruktion von Schemata für instationäre Probleme mit der Projektionsgittermethode.

Interpolation von Gitterfunktionen. Nichtstationäre iterative Verfahren. Splitting-Methode. Iterative Verfahren für Systeme mit singulären Matrizen.

Methoden zur Lösung nichtstationärer Probleme. Differenzenschemata zweiter Näherungsordnung mit zeitabhängigen Operatoren. Inhomogene Gleichungen evolutionärer Art. Splittingverfahren für nichtstationäre Probleme. Mehrkomponenten-Aufteilung von Aufgaben. Methoden zum Lösen von Gleichungen vom hyperbolischen Typ.

Adjungierte Gleichungen und Störungsmethoden. Grundlegende und adjungierte Gleichungen. Störungsalgorithmen. Störungstheoretische Methode für Eigenwertprobleme. Adjungierte Gleichungen und Störungstheorie für lineare Funktionale.

Anweisung und numerische Methoden zur Lösung einiger inverser Probleme. Grundlegende Definitionen und Beispiele. Lösung inverser Evolutionsprobleme mit einem konstanten Operator. Ein inverses Evolutionsproblem mit einem zeitabhängigen Operator. Darstellung inverser Probleme basierend auf Methoden der Störungstheorie.

2. Numerische Methoden der mathematischen Analyse

Methoden der Interpolation und numerische Differenzierung. Darstellung des Problems der Approximation von Funktionen. Lagrange-Interpolationspolynom. Eine Schätzung für den Restterm des Lagrange-Interpolationspolynoms. Getrennte Differenzen und ihre Eigenschaften. Newtonsche Interpolationsformel mit geteilten Differenzen. Split-Differenzen und Interpolation mit mehreren Knoten. Gleichungen in endlichen Differenzen. Tschebyscheff-Polynome. Minimierung der Schätzung des Restterms der Interpolationsformel. Unterschiede beenden. Interpolationsformeln für Tabellen mit konstanter Schrittweite. Zusammenstellung von Tabellen. Über den Rundungsfehler bei der Interpolation. Anwendungen des Interpolationsapparates. umgekehrte Interpolation. Numerische Differenzierung. Über den Rechenfehler numerischer Differentiationsformeln. rationale Interpolation.

Methoden und Algorithmen zur numerischen Integration. Die einfachsten Quadraturformeln. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Quadraturfehlerschätzungen. Newton-Cotes-Quadraturformeln. Orthogonale Polynome. Quadraturformeln von Gauß. Praktische Abschätzung des Fehlers elementarer Quadraturformeln. Integration schnell schwingender Funktionen. Verbesserung der Integrationsgenauigkeit durch Aufteilen des Segments in gleiche Teile. Zur Formulierung von Optimierungsproblemen. Aufstellung des Quadraturoptimierungsproblems. Optimierung der Verteilung von Quadraturformelknoten. Beispiele für die Optimierung der Knotenverteilung. Führender Fehlerbegriff. Runges Regel der praktischen Fehlerschätzung. Verfeinerung des Ergebnisses durch Interpolation höherer Ordnung. Berechnung von Integralen im irregulären Fall. Grundlagen zum Erstellen von Standardprogrammen mit automatischer Schrittauswahl.

Methoden der Funktionsnäherung. Beste Annäherungen im linear normierten Raum. Die beste Näherung im Hilbert-Raum und Fragen zu seiner praktischen Konstruktion. trigonometrische Interpolation. Diskrete Fourier-Transformation. Schnelle Fourier-Transformation. Die beste einheitliche Annäherung. Beispiele für die beste einheitliche Approximation. Ein iteratives Verfahren zum Konstruieren eines Polynoms der besten einheitlichen Annäherung. Interpolation und Approximation durch Splines. Entropie und e - Entropie.

Mehrdimensionale Aufgaben. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Methode der kleinsten Quadrate und Regularisierung. Beispiele für Regularisierung. Reduktion mehrdimensionaler Probleme auf eindimensionale. Interpolation von Funktionen in einem Dreieck. Abschätzung des Fehlers der numerischen Integration auf einem einheitlichen Gitter. Untere Grenze für den Fehler der numerischen Integration. Monte-Carlo-Methode. Diskussion der Legitimität der Verwendung nichtdeterministischer Methoden zur Problemlösung. Beschleunigung der Konvergenz der Monte-Carlo-Methode.

Numerische Methoden der Algebra. Methoden des sukzessiven Ausschlusses von Unbekannten. Reflexionsmethode. Einfache Iterationsmethode. Merkmale der Implementierung des Verfahrens der einfachen Iteration auf einem Computer. b2-Prozess der praktischen Fehlerschätzung und Konvergenzbeschleunigung. Optimierung der Konvergenzrate iterativer Prozesse. Seidel-Methode. Methode des steilsten Gradientenabstiegs. Konjugierte Gradientenmethode. Iterative Methoden mit spektral äquivalenten Operatoren. Der Fehler der Näherungslösung des Gleichungssystems und die Bedingtheit der Matrizen. Regulierung. Das Problem der Eigenwerte. Lösung des vollständigen Eigenwertproblems mit dem QR-Algorithmus.

Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen und Optimierungsproblemen. Einfache Iterationsmethode und verwandte Probleme. Newtonsche Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungen. Abstiegsmethoden. Andere Methoden, um mehrdimensionale Probleme auf Probleme niedrigerer Dimension zu reduzieren. Lösung stationärer Probleme durch Etablierung.

Numerische Methoden zur Lösung des Cauchy-Problems für gewöhnliche Differentialgleichungen. Lösung des Cauchy-Problems mit der Taylor-Formel. Runge-Kutta-Methoden. Methoden mit Schrittfehlerkontrolle. Fehlerschätzungen für Einschrittverfahren. Finite-Differenzen-Methoden. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Untersuchung der Eigenschaften von Finite-Differenzen-Methoden auf Modellprobleme. Abschätzung des Fehlers von Finite-Differenzen-Methoden. Merkmale der Integration von Gleichungssystemen. Methoden zur numerischen Integration von Gleichungen zweiter Ordnung.

Numerische Methoden zur Lösung von Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen. Die einfachsten Methoden zur Lösung eines Randwertproblems für eine Gleichung zweiter Ordnung. Greensche Funktion eines Gitterrandwertproblems. Lösung des einfachsten Randwertproblems. Abschlüsse von Rechenalgorithmen. Diskussion der Formulierung von Randwertproblemen für lineare Systeme erster Ordnung. Algorithmen zur Lösung von Randwertproblemen für Gleichungssysteme erster Ordnung. Nichtlineare Randwertprobleme. Annäherungen besonderer Art. Finite-Differenzen-Methoden zum Finden von Eigenwerten. Optimierung der Verteilung von Integrationsknoten. Konstruktion numerischer Verfahren unter Verwendung von Variationsprinzipien. Verbesserung der Konvergenz von Variationsverfahren im irregulären Fall. Einfluss von Rechenfehlern in Abhängigkeit von der Form der Finite-Differenzen-Gleichung.

Methoden zur Lösung einer partiellen Differentialgleichung. Grundbegriffe der Theorie der Grid-Methode. Approximation der einfachsten hyperbolischen Probleme. Das Prinzip der eingefrorenen Koeffizienten. Numerische Lösung nichtlinearer Probleme mit unstetigen Lösungen. Differenzenschemata für eine eindimensionale Parabelgleichung. Differenzennäherung elliptischer Gleichungen. Lösung parabolischer Gleichungen mit mehreren Raumvariablen. Methoden zum Lösen von elliptischen Gittergleichungen.

Numerische Methoden zum Lösen von Integralgleichungen. Lösen von Integralgleichungen durch Ersetzen des Integrals durch eine Quadratursumme. Lösen von Integralgleichungen durch Ersetzen des Kernels durch einen entarteten. Fredholmsche Integralgleichung erster Art.

3. Methoden der linearen Programmierung

Grundlagen der Theorie linearer Ungleichungen.

Mathematische Formulierung linearer Programmierprobleme.

Simplex-Verfahren zur Lösung linearer Programmierprobleme. Simplex-Verfahren. Simplex-Verfahren in tabellarischer Form. Modifiziertes Simplex-Verfahren. Dual-Simplex-Verfahren.

Rekordlänge und theoretische Komplexität linearer Ungleichungen und linearer Programmierung.

Duale Methode, Ausscheidungsmethode und Entspannungsmethode. Direktes duales Verfahren. Fourier-Motzkin-Ausschlussverfahren. Entspannungsmethode.

Weitere Ergebnisse zur polynomialen Lösbarkeit in der linearen Programmierung. Polynomialer linearer Programmieralgorithmus, entwickelt von Karmarkar. Stark polynomielle Algorithmen. Megiddos linearer Algorithmus für eine feste Dimension. Kleines Abschneiden und Abrunden von Polytopen.

4. Methoden und Algorithmen der nichtlinearen Programmierung

Methoden der bedingungslosen Optimierung. Lineare Suche ohne Ableitungen. Lineare Suche mit Ableitung. Geschlossenheit algorithmischer Abbildungen der linearen Suche. Mehrdimensionale Suche ohne Ableitungen. Mehrdimensionale Suche mit. Methoden, die konjugierte Richtungen verwenden.

Methoden der Straf- und Barrierefunktionen. Das Konzept einer Straffunktion. Methode der Straffunktionen. Barrieremethode.

Methoden möglicher Richtungen. Die Zeutendijk-Methode. Konvergenzanalyse der Zeutendijk-Methode. Rosen-Gradientenprojektionsverfahren. Reduzierte Wolfe-Gradient-Methode. Konvexes Simplex-Zangwill-Verfahren.

Lineare Komplementarität. Quadratische, trennbare fraktional-lineare Programmierung. Lineares Komplementaritätsproblem. Quadratische Programmierung. Trennbare Programmierung. Teilweise lineare Programmierung.

5. Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
und mathematische Statistik

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Vorfall. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Direkte Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Die Häufigkeit oder statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Zufallswert. Fast unmögliche und fast sichere Ereignisse. Das Prinzip der praktischen Gewissheit.

Grundlegende Sätze der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zweck der Hauptsätze. Summe und Produkt von Ereignissen. Der Wahrscheinlichkeitssatz. Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Hypothesensatz (Bayes-Formel).

Wiederholung von Experimenten. Ein besonderer Satz über die Wiederholung von Experimenten. Allgemeiner Satz über die Wiederholung von Experimenten.

Zufallsvariablen und ihre Verteilungsgesetze. Verbreitungsgebiet. Verteilungspolygon. Verteilungsfunktion. Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable auf einem bestimmten Gebiet zu treffen. Verteilungsdichte. Numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen. Ihre Rolle und ihr Zweck. Positionsmerkmale (mathematische Erwartung, Modus, Median). Momente. Streuung. Standardabweichung. Das Gesetz der gleichmäßigen Dichte. Poissonsches Gesetz.

Normalverteilungsgesetz. Normales Recht und seine Parameter. Momente der Normalverteilung. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine dem Normalgesetz gehorchende Zufallsvariable in einen bestimmten Bereich fällt. Normalverteilungsfunktion. Wahrscheinliche (mittlere) Abweichung.

Bestimmung von Verteilungsgesetzen von Zufallsvariablen anhand experimenteller Daten. Die Hauptaufgaben der mathematischen Statistik. Eine einfache Statistik. Statistische Verteilungsfunktion. Statistische Linie. Balkendiagramm. Numerische Merkmale der statistischen Verteilung. Abgleich statistischer Reihen. Zustimmungskriterien.

Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie. Das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz. Chebyshevs Ungleichung. Gesetz der großen Zahlen (Satz von Tschebyscheff). Verallgemeinerter Satz von Tschebyscheff. Satz von Markov. Folge des Gesetzes der großen Zahlen: Satz von Bernoulli und Poisson. Massenzufallsphänomene und der zentrale Grenzwertsatz. Charakteristische Funktionen. Zentraler Grenzwertsatz für gleichverteilte Terme. Formeln, die den zentralen Grenzwertsatz ausdrücken und in seiner praktischen Anwendung angetroffen werden.

Bearbeitung von Experimenten. Funktionen zur Verarbeitung einer begrenzten Anzahl von Experimenten. Schätzungen für unbekannte Parameter des Verteilungsgesetzes. Schätzungen für den mathematischen Erwartungswert und die Varianz. Konfidenzintervall. Vertrauenswahrscheinlichkeit. Exakte Methoden zur Bildung von Konfidenzintervallen für die Parameter einer normalgesetzlich verteilten Zufallsvariablen. Schätzung der Wahrscheinlichkeit nach Häufigkeit. Schätzungen für numerische Eigenschaften eines Systems von Zufallsvariablen. Aufnahmeverarbeitung. Glättung experimenteller Abhängigkeiten nach der Methode der kleinsten Quadrate.

6. Allgemeine Merkmale der Verwendung von Informationstechnologien und Standardsoftwarepaketen zur Lösung von Problemen der mathematischen Modellierung

Zweck und Eigenschaften von Informations-CASE-Technologien.

Zweck und Eigenschaften von Informations-CAPE-Technologien.

Zweck und Eigenschaften von Informationen CALS-Technologien.

Stand und Perspektiven der Nutzung des INTERNET zur Lösung mathematischer Modellierungsprobleme.

Objektorientierte Programmiersprachen und visuelle Programmierwerkzeuge als Werkzeuge zur Erstellung von Softwarekomplexen für die mathematische Modellierung.

7. Theoretische Grundlagen der mathematischen Modellierung chemisch-technologischer Prozesse

Mathematische Modellierung komplexer chemischer Reaktionen. Testen von Hypothesen über den Reaktionsmechanismus und Abschätzen der kinetischen Konstanten. Verfeinerung kinetischer Parameter und Diskriminierung kinetischer Hypothesen.

Mathematische Modelle isothermischer Reaktoren. Modelle von Rohrreaktoren (Plug-Flow-Reaktoren) und Batch-Reaktoren. Modelle von Durchflussreaktoren mit Rührer (perfekter Mischreaktor). Modelle von Rohrströmungsreaktoren im Hinblick auf die Durchmischung (Diffusionsreaktor).

Mathematische Modelle nicht-isothermer Reaktoren . pseudohomogene Modelle. zweiphasige Modelle. Stabilitätsanalyse typischer Reaktorregime. Bestimmung des optimalen Temperaturprofils eines polytropen Reaktors. Modelle von autothermen Reaktoren.

Mathematische Modelle heterogener katalytischer Reaktoren. Begründung der Art der Gleichungen der Kinetik einfacher Reaktionen. Methode zur experimentellen Überprüfung der Angemessenheit der kinetischen Gleichungen einfacher Reaktionen.

Experimentell-statistische Methoden zur Entwicklung mathematischer Modelle physikalischer und chemischer Prozesse. Methoden der Regressions- und Korrelationsanalyse. Methoden zur Planung optimaler Experimente: Vollfaktorielles Experiment; Teilkopien; orthogonale Pläne zweiter Ordnung; drehbare Pläne zweiter Ordnung; Simplex-Methode zur Planung von Experimenten.

Methoden zur Überprüfung adäquater mathematischer Modelle . Konstruktion und Analyse von Tabellen, Histogrammen und Verteilungsfunktionen. Moment Methode. Methode der kleinsten Quadrate.

Mathematische Modelle typischer chemisch-technologischer Prozesse . Mathematische Modelle typischer Strömungsstrukturen: Modelle der idealen Verschiebung; perfekte Mischmodelle; Ein-Parameter- und Zwei-Parameter-Diffusionsmodelle; Zellmodell; kombiniertes Modell. Mathematische Modelle typischer Wärmeübertragungsprozesse: Konvektive Fourier-Kirchhoff-Übertragungsgleichungen; Fourier-Wärmegleichung; Newtonsche Gleichung; ideales Verschiebungsmodell; ideales Mischmodell; Zell- und Diffusionsmodelle. Mathematische Modelle von Wärmetauschern (Rohr in Rohr). Mathematische Modelle typischer Stofftransportprozesse: Fick-Gleichungen für molekularen und konvektiven Transport; Newtons Gleichung. Mathematische Modelle von Trennprozessen von Zweistoff- und Mehrstoffgemischen in Destillationskolonnen. Methoden zur Analyse der Ähnlichkeit von Molekülen auf Basis der Graphentheorie.

8. Methoden der mathematischen Modellierung, Algorithmen zur Analyse und Synthese chemisch-technologischer Systeme

Grundlagen der mathematischen Modellierung und Analyse chemisch-technologischer Systeme (CTS ). Operatorsymbolisches mathematisches Modell von XTS. Direkte Verfahren zur Identifizierung statischer CTS-Modi. Mathematische Modellierung ist die Hauptmethode zur Lösung von Problemen beim Entwurf und Betrieb von CTS. Erklärung und Prinzipien zur Lösung von Problemen der Analyse von CTS. Merkmale des Blockprinzips der CTS-Analyse. Gesamtansicht des Stoff- und Wärmebilanzgleichungssystems der CES. Aufbereitung von Ausgangsdaten zur Erstellung von Stoffgleichungs- und Wärmebilanzsystemen. Anzeichen für die Existenz einer Lösung von Stoffgleichungssystemen und Wärmebilanzen. Bestimmung des Freiheitsgrades von CTS. Empfehlungen für die Auswahl regulierter und optimierender Informationsvariablen von CTS.

Prinzipien der Konstruktion topologischer Modelle von CTS . Klassifikation und Zuordnung topologischer Modelle von CTS. Grundlagen der Graphentheorie. Matrixdarstellung von Graphen. Flussdiagramme XTS. Parametrische Flussdiagramme. Materialflussdiagramme. Thermische Flussdiagramme. Exergieflussdiagramme. Zyklische Flussdiagramme. Informationsflussdiagramme XTS. Bipartite Informationsgraphen. Informationsgrafiken. Signalgraphen XTS. Strukturgraphen von XTS.

Zerlegungstopologische Methoden zur Analyse und Optimierung komplexer CTS. Allgemeine Eigenschaften numerischer Methoden zur Analyse von CTS. Numerische Methoden und Algorithmen zur Lösung von Systemen nichtlinearer Gleichungen: Einfache Iterationsverfahren und ihre Modifikationen; Newton-Methode; Quasi-Newtonsche Methoden; Minimierungsmethode; Methode der Parameterdifferenzierung. Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen: Allgemeine Eigenschaften numerischer Methoden zur Lösung von linearen algebraischen Gleichungssystemen; direkte iterative Methoden. Effizienz verschiedener numerischer Methoden zur Lösung von Systemen algebraischer Gleichungen von KhTS. Mathematische Problemstellung und Einordnung von Methoden zur Optimierung des CTS. Zwei-Ebenen-Optimierungsverfahren für komplexe CTS: allgemeine Strategie von Zwei-Ebenen-Verfahren; Methode zur Festlegung von Zwischenvariablen; Preismethode; allgemeine Eigenschaften spezieller Programme zur digitalen Modellierung von CTS.

9. Methoden der künstlichen Intelligenz
und Prinzipien der Erstellung von Expertensystemen

Künstliche Intelligenz ist die wissenschaftliche Grundlage für die Erstellung von Expertensystemen . Moderne Richtungen der wissenschaftlichen Forschung im Bereich der künstlichen Intelligenz. Nicht-formalisierte Aufgaben wissenschaftlich-technischer Tätigkeit und Klassifikation von Wissensrepräsentationsmodellen. Nicht-formalisierte Aufgaben in der Chemie. Nicht-formalisierte Aufgabenstellungen beim Entwurf chemisch-technologischer Systeme. Nicht-formalisierte Aufgaben beim Betrieb chemisch-technologischer Anlagen. Heuristische Programmierung und automatisiertes Lernen.

Allgemeine Eigenschaften von Wissensrepräsentationsmodellen und Verfahren zur Lösung nicht formalisierter Probleme. Logische und logisch-linguistische Modelle der Wissensrepräsentation. Netzwerk strukturell-linguistische Modelle der Wissensrepräsentation. Allgemeine Eigenschaften von Rahmen und Produktionsregeln. Beziehung zwischen Wissensrepräsentationsmodellen und Datenmodellen. Methoden und Verfahren zum Finden von Lösungen für nicht-formalisierte Probleme. Allgemeine Informationen zu natürlichen Sprachmodellen. Das Konzept neuronaler Netze und ihre Anwendung in der chemischen Technologie.

Fuzzy-Wissensrepräsentationsmodelle und nicht-deterministische Entscheidungsinferenzverfahren . Das Konzept des Fuzzy-Wissens in Chemie und chemischer Technologie. Methoden des ungenauen Denkens mit unzuverlässigen Daten. Allgemeine Informationen zu Fuzzy- und Wahrscheinlichkeitslogik. Grundbegriffe der Fuzzy-Set-Theorie. Modelle der Wissensrepräsentation basierend auf der Theorie der Fuzzy-Mengen.

Strukturell-linguistische Modelle der Wissensrepräsentation und Entscheidungsinferenzverfahren . Klassifikation und Prinzipien der Rahmenentwicklung. Hauptmerkmale von Frames und Inferenzverfahren. Konstruktionsprinzipien verschiedener Klassen semantischer Netze. Lösungsschlussverfahren unter Verwendung semantischer Netze.

Logische Modelle der Wissensrepräsentation und Inferenzverfahren . Wissensrepräsentationsmodelle basierend auf Prädikatenkalkül. Formale Inferenzverfahren in deduktiven Systemen. Inferenzverfahren nach dem Auflösungsprinzip. Softwareimplementierung des Prädikatenkalküls.

Produktionssysteme und -operationen zur Steuerung der Ausgabe von Entscheidungen. Grundkonzepte von Produktionssystemen als formale Wissensrepräsentationssysteme. Funktionsaufbau von Produktionssystemen als Programmiersysteme. Entscheidungsinferenzstrategien in Produktionssystemen. Operationen der geordneten begrenzten Suche nach Lösungen.

Expertensystemarchitektur und intelligente Programmiersprachen . Grundlegende Eigenschaften von Expertensystemen. Architektur von Expertensystemen. Betriebsarten und Klassifizierung von Expertensystemen. Die Hauptstadien der Entwicklung von Expertensystemen.

Programmiersprachen für künstliche Intelligenz sind Werkzeuge zur Entwicklung von Expertensystemen. Grundkonzepte und Klassifikation von Sprache und Softwarewerkzeugen. Allgemeine Merkmale funktionaler Programmiersprachen. Grundlegende Informationen zu logischen Programmiersprachen. Das Konzept der objektorientierten Programmierung. Eigenschaften objektorientierter Programmiersprachen.

Allgemeine Merkmale von Wissensrepräsentationssprachen . Rahmensprachen der Wissensrepräsentation. Produktionsorientierte Programmiersprachen. Der Sprachbegriff der grammatikalisch-semantischen Textverarbeitung.

Eigenschaften der Haupttypen von Expertensystemen in der chemischen Technologie . Expertensysteme zur automatisierten Synthese optimaler chemisch-technologischer Systeme. Beratung von Expertensystemen in der chemischen Technologie. Expertensysteme zur automatischen Steuerung und Diagnose chemisch-technologischer Prozesse. Expertensysteme in der Chemie. Intelligente automatisierte Systeme zur situativen Steuerung des Hauptgastransports. Semantisch-mathematisches Modell zum Verständnis der Bedeutung technischer Texte für Expertensysteme.

Prinzipien der Erstellung eines hybriden Expertensystems für die Synthese von Gasfraktionierungssystemen . Formulierung eines nicht formalisierten Problems zur Synthese von Gasfraktionierungssystemen. Produktionsrahmenmodelle der Wissensrepräsentation für die automatisierte Synthese von Gasfraktionierungssystemen. Zersetzungsheuristik-Produktionsverfahren zur Synthese von Gasfraktionierungssystemen. Production-Computing-Algorithmus zur Generierung der optimalen Reihenfolge für die Auswahl von Zielprodukten.

Entwicklung und Anwendung des instrumentellen Hybrid-Expertensystems „Ekran-XTS“. Zweck, Möglichkeiten und Betriebsarten. Architektur und Operationen des Funktionierens. Intelligenter Dialog zwischen Benutzer und Expertensystem.

Hauptliteratur

Marchuk Computermathematik: Proc. Zuschuss. Moskau: Nauka, 1989.

Ryaben'kii in Computermathematik. Moskau: Nauka, 1994.

Kobelkov-Methoden. Proz. Zuschuss. Moskau: Nauka, 1987.

Kahaner D., Moler C., Nash S. Numerische Methoden und Software. M.: Mir, 1998.

Timokhov-Optimierung in Aufgaben und Übungen. M.: Nauka, 1991.

Shreyver A. Theorie der linearen und ganzzahligen Programmierung. In 2 Bänden. Pro. aus dem Englischen. M.: Mir, 1991.

Bazara M., Shetty K. Nichtlineare Programmierung. Theorie und Algorithmen. Pro. aus dem Englischen. M.: Mir, 1982.

Meshalkin-Systeme in der chemischen Technologie. Grundlagen der Theorie, Erfahrung in Entwicklung und Anwendung. Moskau: Chemie, 1995.

Meshalkin und die Synthese chemisch-technologischer Systeme. Moskau: Chemie, 1991.

Wentzel-Wahrscheinlichkeiten. Proz. für Universitäten. 6. Aufl. gelöscht Moskau: Höhere Schule, 1999.

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Numerische Simulationsmethoden spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse und Entwicklung technischer Geräte, die durch Wärmeübertragung und Fluidströmung gekennzeichnet sind. Solche Methoden, verkörpert in bequemen Computerprogrammen, stellen aufgrund ihrer schnellen Implementierung und Wirtschaftlichkeit eine echte Alternative zu experimentellen Messungen dar. Die numerische Analyse kann reale Daten zu geometrischen Eigenschaften, Materialeigenschaften, Randbedingungen enthalten und vollständige und detaillierte Informationen über die Bereiche Temperatur, Geschwindigkeit und andere Größen sowie die damit verbundenen Strömungen liefern. In der Praxis können die Analyse und das Design von Geräten in einigen Fällen vollständig mit einem Computerprogramm durchgeführt werden. In Situationen, in denen es wünschenswert ist, experimentelle Forschung durchzuführen, kann die numerische Simulation bei der Planung und Gestaltung von Experimenten verwendet werden, um ihre Kosten erheblich zu senken sowie die Ergebnisse zu erweitern und zu bereichern.

Dynamische numerische Simulationsverfahren ahmen das Verhalten von Modellsystemen unter gegebenen Bedingungen nach und ähneln in dieser Hinsicht einem realen Experiment.

Methoden zur numerischen Modellierung molekularer Systeme (numerisches Experiment) werden zunehmend in der Praxis der physikalischen und chemischen Forschung eingesetzt. Doch selbst mit Hilfe modernster Computertechnologie ist es unmöglich, das Verhalten von Systemen, die aus mehr als mehreren tausend wechselwirkenden Teilchen bestehen, im Detail zu modellieren. Die geeignetsten Objekte zum Modellieren sind Systeme, die aus einer relativ kleinen Anzahl von Molekülen bestehen. In diesem Beitrag diskutieren wir die Modellierung von Clustern aus Wassermolekülen, wobei das Hauptaugenmerk auf den strukturellen Eigenschaften solcher Cluster liegt.

Kapitel 5 widmet sich Methoden der numerischen Simulation von Strömungen in Grenzschichten, Jets und Kanälen.

Die Monographie skizziert das wissenschaftliche Konzept, Computertechnologien und numerische Simulationsmethoden, die entwickelt wurden, um die Probleme der Verbesserung der Sicherheit und Effizienz des Betriebs von Hauptpipelinesystemen unter Verwendung moderner Errungenschaften in der Computermechanik und mathematischen Optimierung zu lösen. Das in der Monographie präsentierte Material ermöglicht es dem Leser, die vorgeschlagenen Grundlagen der numerischen Modellierung von Hauptleitungen im Detail zu studieren.

Numerische Simulationsmethoden sind in kein Gebiet der Physik so tief eingedrungen wie in die Plasmaphysik. Es ist heute einfach undenkbar, Plasmaprozesse vollständig genug zu beschreiben, indem man sich nur auf die analytischen Methoden der modernen theoretischen Physik stützt, ohne auf numerische Simulationsmethoden zurückzugreifen. Dies erklärt sich zum einen durch die Komplexität und Vielfalt der Plasmaprozesse, zum anderen durch das Vorhandensein eines fundierten Modells der Plasmadynamik - des Vlasov-Maxwell-Modells, mit dem sich quantitativ beschreiben lässt diese Prozesse mit beliebiger Genauigkeit. Um daher sehr aufwändige und teure physikalische Experimente zu vermeiden, haben Forscher auf dem Gebiet der Plasmaphysik bereits vor mehr als 25 Jahren damit begonnen, effektive numerische Methoden zur Analyse von Plasmaprozessen auf der Grundlage des Wlassow-Maxwell-Modells zu entwickeln, und haben dies getan erzielte enorme Erfolge in numerischen Experimenten.

Neben den angegebenen experimentellen Methoden gibt es Möglichkeiten, die Selbstdiffusionskoeffizienten durch numerische Simulationsmethoden zu berechnen. Die Methode der Molekulardynamik ist äußerst fruchtbar. Und obwohl er mit Modellsystemen arbeitet, sind die gewonnenen Ergebnisse hilfreich, um die Mechanismen der molekularen Mobilität und Regelmäßigkeiten beim Einfluss von Zustandsparametern aufzuklären. Bei richtiger Wahl der intermolekularen Potentialfunktionen erhält man Ergebnisse nahe an experimentellen.

Während der Vorbereitung dieses Buches sind viele neue Veröffentlichungen im Druck erschienen, die sich auf Methoden der numerischen Simulation hydrodynamischer Prozesse, Wärme- und Stoffübertragung auf der Grundlage der Navier-Stokes-Gleichungen beziehen. Wir werden nur einige Ergänzungen vornehmen, die den hier behandelten Fragen am nächsten kommen. In dieser Arbeit wird die Alternating-Triangular-Methode verwendet, um stationäre Probleme für die Gleichung vierter Ordnung bezüglich der Stromfunktion zu lösen.

Die Gesetzmäßigkeiten des Verhaltens solarer Strahlungsflüsse in Abhängigkeit von den Eigenschaften der Wolken und der bewölkten Atmosphäre wurden durch numerische Simulationsmethoden (Monte-Carlo-Methode), numerische Lösungen von Transportgleichungen und die Verwendung asymptotischer Beziehungen untersucht.

Das Buch wurde von hochqualifizierten Spezialisten übersetzt, die sich sowohl mit den Methoden der Theorie der Plasmaphysik als auch mit den Methoden der numerischen Simulation auskennen, insbesondere mit der Methode der großen Teilchen, die in der Plasmaphysik am weitesten verbreitet ist. Es richtet sich an einen ziemlich breiten Leserkreis, vom Studenten der Plasmaphysik bis zum Wissenschaftler, der in diesem Buch viel Nützliches und Interessantes finden wird.

Es sind die Schwächen der Informationsbasis, die analytische Ansätze unserer Meinung nach durchaus zu einer Alternative oder effektiven Ergänzung zu den Methoden der numerischen Modellierung von Vorhersageproblemen gemacht haben. Was das wichtigste Element der Prognose betrifft, die Schematisierung, so ist hier in der Regel den analytischen Methoden klar der Vorzug zu geben.

Der Zusammenhang zwischen der Transportgleichung für kosmische Strahlung und realistischer Hydrodynamik wurde zuerst mit einer selbstähnlichen hydrodynamischen Lösung hergestellt, aber jetzt wird dieser Zusammenhang durch numerische Simulationsmethoden erhalten. Darüber hinaus war es möglich, ein realistisches Spektrum der zu erwartenden kosmischen Strahlung zu berechnen, unter der Annahme, dass die Beschleunigung der Stoßwelle während der sogenannten selbstähnlichen Sedov-Phase erfolgt, wenn die Energie der Supernova erhalten bleibt und innerhalb des Stoßes verbleibt Vorderseite.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Anzahl der Teilchen, die den Strahl simulieren, in der Größenordnung von 102 liegt, was zwei Größenordnungen weniger ist als die erforderliche Teilchenzahl in dem vollständig numerischen Simulationsverfahren. Somit führt die Relaxation eines monoenergetischen Elektronenstrahls niedriger Dichte in einem Plasma zu einer ziemlich schnellen Erweiterung der Verteilungsfunktion im Geschwindigkeitsraum auf Werte vTb, die für die Anwendung der quasilinearen Näherung ausreichen, und die Wellenphasen haben Zeit, chaotisch zu werden .

Hier ist es sehr sinnvoll, numerische Simulationsmethoden einzusetzen.

Modelle der Entstehung der Struktur des Universums, die auf der Theorie der gravitativen Instabilität beruhen, beschreiben allgemein recht gut die Entstehung von C. Eine genauere Untersuchung dieses Prozesses durch numerische Simulationsmethoden ist aufgrund der Vielzahl von Berechnungen schwierig .