इकाई वेक्टर- यह वेक्टर, निरपेक्ष मान (मापांक) जिसका एक के बराबर. एक इकाई वेक्टर को निरूपित करने के लिए, हम सबस्क्रिप्ट ई का उपयोग करेंगे। इसलिए, यदि एक वेक्टर दिया गया है ए, तो इसका इकाई सदिश सदिश होगा एई. यह इकाई वेक्टर उसी दिशा में इंगित करता है जिस दिशा में स्वयं वेक्टर होता है ए, और इसका मापांक एक के बराबर है, अर्थात एक ई \u003d 1.

स्पष्टतः, ए= ए एई (ए - वेक्टर मापांक ए). यह उस नियम का अनुसरण करता है जिसके द्वारा एक अदिश को एक सदिश से गुणा करने की संक्रिया की जाती है।

यूनिट वैक्टरअक्सर समन्वय प्रणाली के समन्वय अक्षों से जुड़ा होता है (विशेष रूप से, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियों के साथ)। इनकी दिशा वैक्टरसंबंधित अक्षों की दिशाओं के साथ मेल खाता है, और उनकी उत्पत्ति को अक्सर समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के साथ जोड़ा जाता है।

आपको याद दिला दूं कि कार्तीय समन्वय प्रणालीअंतरिक्ष में पारंपरिक रूप से एक बिंदु पर परस्पर लंबवत अक्षों का एक तिहाई कहा जाता है जिसे मूल कहा जाता है। समायोजन ध्रुवआमतौर पर अक्षर X, Y, Z द्वारा निरूपित किया जाता है और इन्हें क्रमशः भुज अक्ष, y-अक्ष और अनुप्रयुक्त अक्ष कहा जाता है। डेसकार्टेस ने स्वयं केवल एक अक्ष का उपयोग किया था, जिस पर एब्सिसास प्लॉट किए गए थे। उपयोग की योग्यता प्रणालीकुल्हाड़ी उसके छात्रों की है। इसलिए वाक्यांश कार्तीय प्रणाली COORDINATESऐतिहासिक रूप से गलत बेहतर बात आयताकार समन्वय प्रणालीया ओर्थोगोनल समन्वय प्रणाली. फिर भी, हम परंपराओं को नहीं बदलेंगे और भविष्य में हम मान लेंगे कि कार्टेशियन और आयताकार (ऑर्थोगोनल) समन्वय प्रणाली एक समान हैं।

इकाई वेक्टर, एक्स अक्ष के साथ निर्देशित, निरूपित है मैं, इकाई वेक्टर, Y अक्ष के साथ निर्देशित, निरूपित है जे, ए इकाई वेक्टर, Z अक्ष के साथ निर्देशित, निरूपित है क. वैक्टर मैं, जे, कबुलाया orts(चित्र 12, बाएं), उनके पास एकल मॉड्यूल हैं, जो है
मैं = 1, जे = 1, के = 1।

कुल्हाड़ियों और orts आयताकार समन्वय प्रणालीकुछ मामलों में उनके अन्य नाम और पदनाम होते हैं। तो, भुज अक्ष X को स्पर्शरेखा अक्ष कहा जा सकता है, और इसका इकाई सदिश निरूपित किया जाता है τ (ग्रीक छोटा अक्षर ताऊ), y-अक्ष सामान्य अक्ष है, इसका इकाई सदिश निरूपित किया जाता है एन, अनुप्रयुक्त अक्ष द्विअसामान्य की धुरी है, इसकी इकाई वेक्टर निरूपित है बी. अगर सार वही रहता है तो नाम क्यों बदलें?

तथ्य यह है कि, उदाहरण के लिए, यांत्रिकी में, निकायों की गति का अध्ययन करते समय, एक आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग अक्सर किया जाता है। इसलिए, यदि समन्वय प्रणाली स्वयं गतिहीन है, और एक गतिमान वस्तु के निर्देशांक में परिवर्तन को इस गतिहीन प्रणाली में ट्रैक किया जाता है, तो आमतौर पर अक्ष एक्स, वाई, जेड और उनके ortsक्रमश: मैं, जे, क.

लेकिन अक्सर, जब कोई वस्तु किसी के साथ चलती है घुमावदार प्रक्षेपवक्र(उदाहरण के लिए, एक सर्कल के साथ) इस वस्तु के साथ चलने वाली समन्वय प्रणाली में यांत्रिक प्रक्रियाओं पर विचार करना अधिक सुविधाजनक है। ऐसी गतिमान समन्वय प्रणाली के लिए अक्षों के अन्य नामों और उनके इकाई सदिशों का उपयोग किया जाता है। यह अभी स्वीकार किया गया है। इस मामले में, एक्स-अक्ष को उस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित किया जाता है जहां इस पलयह वस्तु स्थित है। और फिर इस अक्ष को अब X अक्ष नहीं कहा जाता है, लेकिन स्पर्शरेखा अक्ष, और इसका इकाई वेक्टर अब निरूपित नहीं किया जाता है मैं, ए τ . Y अक्ष को प्रक्षेपवक्र की वक्रता त्रिज्या के साथ निर्देशित किया जाता है (एक सर्कल में आंदोलन के मामले में - सर्कल के केंद्र तक)। और चूंकि त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत है, अक्ष को सामान्य की धुरी कहा जाता है (लंबवत और सामान्य एक ही चीज है)। इस अक्ष का ओर्ट अब निरूपित नहीं किया जाता है जे, ए एन. तीसरी धुरी (पूर्व Z) पिछले दो अक्षों के लंबवत है। यह एक सदिश के साथ एक द्विअसामान्य है बी(चित्र। 12, दाएं)। वैसे, इस मामले में आयताकार प्रणाली COORDINATESअक्सर "प्राकृतिक" या प्राकृतिक के रूप में जाना जाता है।

इस पाठ में, हम सदिशों के साथ दो और संक्रियाओं को देखेंगे: वैक्टर का क्रॉस उत्पादऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद (जिन्हें इसकी आवश्यकता है उनके लिए तत्काल लिंक). यह ठीक है, कभी-कभी ऐसा होता है कि पूरी खुशी, के अतिरिक्त वैक्टर का डॉट उत्पाद, अधिक से अधिक की जरूरत है। ऐसा है वेक्टर एडिक्शन। ऐसा लग सकता है कि हम जंगल में चढ़ रहे हैं विश्लेषणात्मक ज्यामिति. यह सच नहीं है। उच्च गणित के इस खंड में, आमतौर पर बहुत कम जलाऊ लकड़ी होती है, सिवाय शायद पिनोच्चियो के लिए पर्याप्त। वास्तव में, सामग्री बहुत ही सामान्य और सरल है - शायद ही उससे अधिक कठिन अदिश उत्पाद, यहाँ तक की विशिष्ट कार्यकम होगा। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में मुख्य बात, जैसा कि कई लोग देखेंगे या पहले ही देख चुके हैं, गणना में गलती नहीं है। मंत्र की तरह दोहराएं, और आप खुश होंगे =)

यदि वेक्टर कहीं दूर चमकते हैं, जैसे क्षितिज पर बिजली चमकती है, तो कोई बात नहीं, पाठ से शुरू करें डमी के लिए वेक्टरपुनर्स्थापित या पुनर्खरीद करने के लिए मौलिक ज्ञानवैक्टर के बारे में। अधिक तैयार पाठक जानकारी से चुनिंदा रूप से परिचित हो सकते हैं, मैंने उदाहरणों का सबसे पूर्ण संग्रह एकत्र करने का प्रयास किया जो अक्सर पाए जाते हैं व्यावहारिक कार्य

आपको क्या खुशी देगा? जब मैं छोटा था, तो मैं दो या तीन गेंदों को भी जोड़ सकता था। इसने अच्छा काम किया। अब हथकंडा लगाने की बिल्कुल भी जरूरत नहीं है, क्योंकि हम विचार करेंगे केवल अंतरिक्ष वैक्टर, और दो निर्देशांक वाले समतल सदिशों को छोड़ दिया जाएगा। क्यों? इस प्रकार इन क्रियाओं का जन्म हुआ - वेक्टर और मिश्रित उत्पादवैक्टर परिभाषित हैं और में काम करते हैं त्रि-आयामी अंतरिक्ष. पहले से आसान!

इस ऑपरेशन में, उसी तरह जैसे अदिश उत्पाद में, दो वैक्टर. अविनाशी अक्षर हो।

कार्रवाई ही लक्षितइस अनुसार: । अन्य विकल्प हैं, लेकिन मैं वैक्टर के क्रॉस उत्पाद को इस तरह से निरूपित करता था, में वर्ग कोष्ठकएक क्रॉस के साथ।

और तुरंत प्रश्न: मैं फ़िन वैक्टर का डॉट उत्पाददो वैक्टर शामिल हैं, और यहां दो वैक्टर भी गुणा किए जाते हैं, फिर क्या अंतर है? एक स्पष्ट अंतर, सबसे पहले, परिणाम में:

वैक्टर के अदिश उत्पाद का परिणाम एक NUMBER है:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का परिणाम एक वेक्टर है: यानी हम सदिशों को गुणा करते हैं और फिर से एक सदिश प्राप्त करते हैं। बंद क्लब। दरअसल, इसलिए ऑपरेशन का नाम। कई जगहों पर शैक्षिक साहित्यअंकन भी भिन्न हो सकता है, मैं पत्र का उपयोग करूंगा।

क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

पहले तस्वीर के साथ परिभाषा होगी, फिर टिप्पणी।

परिभाषा: अन्योन्य गुणन गैर समरेखवैक्टर, इस क्रम में लिया, वेक्टर कहा जाता है, लंबाईजो संख्यात्मक रूप से है समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर, इन वैक्टर पर निर्मित; वेक्टर ओर्थोगोनल से सदिश, और निर्देशित किया जाता है ताकि आधार का सही अभिविन्यास हो:

हम हड्डियों द्वारा परिभाषा का विश्लेषण करते हैं, बहुत सी दिलचस्प बातें हैं!

तो, हम निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर प्रकाश डाल सकते हैं:

1) स्रोत सदिश , परिभाषा के अनुसार लाल तीरों द्वारा दर्शाया गया है समरेखीय नहीं. हो रहा संरेखीय सदिशकुछ देर बाद विचार करना उचित होगा।

2) वेक्टर लिया सख्त क्रम में: – "ए" को "बी" से गुणा किया जाता है, "बी" से "ए" नहीं। वेक्टर गुणन का परिणामवेक्टर है, जिसे नीले रंग में दर्शाया गया है। यदि सदिशों को से गुणा किया जाता है उल्टे क्रम, तो हमें लंबाई के बराबर और दिशा में विपरीत (क्रिमसन रंग) एक वेक्टर मिलता है। यानी समानता .

3) अब आइए सदिश उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ से परिचित हों। यह बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु! नीले वेक्टर (और, इसलिए, क्रिमसन वेक्टर) की लंबाई संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर होती है। आकृति में, यह समांतर चतुर्भुज काले रंग में छायांकित है।

टिप्पणी : चित्र योजनाबद्ध है, और निश्चित रूप से, क्रॉस उत्पाद की नाममात्र लंबाई समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर नहीं है।

हमें एक याद है ज्यामितीय सूत्र: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल गुणनफल के बराबर होता है आसन्न पार्टियांउनके बीच के कोण की ज्या द्वारा. इसलिए, पूर्वगामी के आधार पर, वेक्टर उत्पाद की लंबाई की गणना करने का सूत्र मान्य है:

मैं इस बात पर जोर देता हूं कि सूत्र में हम वेक्टर की लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, न कि वेक्टर के बारे में। व्यावहारिक अर्थ क्या है? और अर्थ यह है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र अक्सर वेक्टर उत्पाद की अवधारणा के माध्यम से पाया जाता है:

चलो एक सेकंड महत्वपूर्ण सूत्र. समांतर चतुर्भुज (लाल बिंदीदार रेखा) का विकर्ण इसे दो भागों में विभाजित करता है बराबर त्रिभुज. इसलिए, वैक्टर (लाल छायांकन) पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

4) से कम नहीं महत्वपूर्ण तथ्ययह है कि सदिश सदिशों के लिए ओर्थोगोनल है, अर्थात, . बेशक, विपरीत दिशा में निर्देशित वेक्टर (क्रिमसन तीर) भी मूल वैक्टर के लिए ओर्थोगोनल है।

5) सदिश को इस प्रकार निर्देशित किया जाता है कि आधारयह है सहीअभिविन्यास। . के बारे में एक पाठ में एक नए आधार पर संक्रमणमैंने के बारे में विस्तार से बात की है विमान अभिविन्यास, और अब हम यह पता लगाएंगे कि अंतरिक्ष का उन्मुखीकरण क्या है। मैं आपकी उंगलियों पर समझाऊंगा दायाँ हाथ . मानसिक रूप से गठबंधन तर्जनी अंगुली वेक्टर के साथ और बीच की ऊँगलीवेक्टर के साथ। अनामिका और छोटी उंगलीअपनी हथेली में दबाएं। नतीजतन अँगूठा - वेक्टर उत्पाद ऊपर दिखेगा। यह सही-उन्मुख आधार है (यह चित्र में है)। अब वैक्टर को स्वैप करें ( सूचकांक और बीच की उंगलियां ) कुछ स्थानों पर, परिणामस्वरूप, अंगूठा घूम जाएगा, और वेक्टर उत्पाद पहले से ही नीचे दिखेगा। यह भी एक सही-उन्मुख आधार है। शायद आपके पास एक प्रश्न है: किस आधार पर वामपंथी अभिविन्यास है? एक ही उँगलियों को "असाइन" करें बायां हाथवैक्टर , और लेफ्ट बेस और लेफ्ट स्पेस ओरिएंटेशन प्राप्त करें (इस मामले में, अंगूठा निचले वेक्टर की दिशा में स्थित होगा). लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, ये आधार "मोड़" या ओरिएंट स्पेस विभिन्न पक्ष. और इस अवधारणा को कुछ दूर की कौड़ी या अमूर्त नहीं माना जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, सबसे साधारण दर्पण अंतरिक्ष के उन्मुखीकरण को बदल देता है, और यदि आप "प्रतिबिंबित वस्तु को दर्पण से बाहर खींचते हैं", तो यह सामान्य मामलामूल के साथ मिलान नहीं किया जा सकता है। वैसे, तीन अंगुलियों को आईने में लाएं और प्रतिबिंब का विश्लेषण करें ;-)

... यह कितना अच्छा है कि अब आप इसके बारे में जानते हैं दाएं और बाएं उन्मुखआधार, क्योंकि अभिविन्यास के परिवर्तन के बारे में कुछ व्याख्याताओं के बयान भयानक हैं =)

संरेखीय सदिशों के सदिश गुणनफल

परिभाषा पर विस्तार से काम किया गया है, यह पता लगाना बाकी है कि जब सदिश संरेख होते हैं तो क्या होता है। यदि सदिश समरेखीय हैं, तो उन्हें एक सीधी रेखा पर रखा जा सकता है और हमारा समांतर चतुर्भुज भी एक सीधी रेखा में "फोल्ड" होता है। ऐसे का क्षेत्र, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, पतितसमांतर चतुर्भुज शून्य है। वही सूत्र से आता है - शून्य या 180 डिग्री की ज्या शून्य, और इसलिए क्षेत्रफल शून्य है

इस प्रकार, यदि, तो . कड़ाई से बोलते हुए, वेक्टर उत्पाद ही है शून्य वेक्टर, लेकिन व्यवहार में इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है और लिखा जाता है कि यह केवल शून्य के बराबर है।

विशेष मामलाएक वेक्टर और स्वयं का क्रॉस उत्पाद है:

क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके, आप त्रि-आयामी वैक्टर की समरूपता की जांच कर सकते हैं, और इस कार्यदूसरों के बीच, हम भी विश्लेषण करेंगे।

समाधान के लिए व्यावहारिक उदाहरणशायद जरूरत पड़े त्रिकोणमितीय तालिकाउसमें से ज्याओं का मान ज्ञात करना।

अच्छा, चलो आग लगाते हैं:

उदाहरण 1

a) सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि

ख) सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि

फेसला: नहीं, यह टाइपो नहीं है, मैंने जानबूझकर कंडीशन आइटम्स में प्रारंभिक डेटा को समान बनाया है। क्योंकि समाधानों का डिज़ाइन अलग होगा!

a) शर्त के अनुसार, यह खोजना आवश्यक है लंबाईवेक्टर (वेक्टर उत्पाद)। संबंधित सूत्र के अनुसार:

जवाब:

चूंकि यह लंबाई के बारे में पूछा गया था, तो जवाब में हम आयाम - इकाइयों को इंगित करते हैं।

बी) शर्त के अनुसार, यह खोजना आवश्यक है वर्गवैक्टर पर बनाया गया समांतर चतुर्भुज। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से क्रॉस उत्पाद की लंबाई के बराबर है:

जवाब:

कृपया ध्यान दें कि वेक्टर उत्पाद के उत्तर में कोई बात नहीं है, हमसे पूछा गया था आंकड़ा क्षेत्र, क्रमशः, आयाम वर्ग इकाई है।

हम हमेशा देखते हैं कि शर्त के अनुसार क्या पाया जाना चाहिए, और इसके आधार पर, हम तैयार करते हैं स्पष्टजवाब। यह शाब्दिकता की तरह लग सकता है, लेकिन शिक्षकों के बीच पर्याप्त साहित्यकार हैं, और अच्छे अवसरों वाले कार्य को पुनरीक्षण के लिए वापस कर दिया जाएगा। हालांकि यह विशेष रूप से तनावपूर्ण नाइटपिक नहीं है - यदि उत्तर गलत है, तो व्यक्ति को यह आभास होता है कि व्यक्ति को समझ में नहीं आता है सरल चीज़ेऔर / या कार्य के सार को नहीं समझा। किसी भी समस्या का समाधान करते हुए इस क्षण को हमेशा नियंत्रण में रखना चाहिए उच्च गणितऔर अन्य विषयों में भी।

बड़ा अक्षर "एन" कहाँ गया? सिद्धांत रूप में, यह अतिरिक्त रूप से समाधान से जुड़ा हो सकता है, लेकिन रिकॉर्ड को छोटा करने के लिए, मैंने ऐसा नहीं किया। मुझे उम्मीद है कि हर कोई इसे समझता है और एक ही चीज़ का पदनाम है।

लोकप्रिय उदाहरणके लिए स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण 2

सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि

वेक्टर उत्पाद के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र परिभाषा के लिए टिप्पणियों में दिया गया है। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

व्यवहार में, कार्य वास्तव में बहुत सामान्य है, त्रिभुजों को आम तौर पर प्रताड़ित किया जा सकता है।

अन्य समस्याओं को हल करने के लिए, हमें चाहिए:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के गुण

हम पहले ही वेक्टर उत्पाद के कुछ गुणों पर विचार कर चुके हैं, हालांकि, मैं उन्हें इस सूची में शामिल करूंगा।

मनमाना वैक्टर और एक मनमाना संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1) सूचना के अन्य स्रोतों में, इस मद को आमतौर पर गुणों में हाइलाइट नहीं किया जाता है, लेकिन यह बहुत महत्वपूर्ण है व्यवहारिक अर्थों में. तो रहने दो।

2) - संपत्ति की भी ऊपर चर्चा की गई है, कभी-कभी इसे कहा जाता है प्रतिकम्यूटेटिविटी. दूसरे शब्दों में, वैक्टर का क्रम मायने रखता है।

3) - संयोजन या जोड़नेवालावेक्टर उत्पाद कानून। स्थिरांक आसानी से वेक्टर उत्पाद की सीमा से बाहर हो जाते हैं। सच में, वे वहाँ क्या कर रहे हैं?

4) - वितरण या वितरणवेक्टर उत्पाद कानून। ब्रैकेट खोलने में भी कोई समस्या नहीं है।

एक प्रदर्शन के रूप में, एक संक्षिप्त उदाहरण पर विचार करें:

उदाहरण 3

खोजें अगर

फेसला:शर्त के अनुसार, फिर से वेक्टर उत्पाद की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। आइए हमारे लघु को पेंट करें:

(1) साहचर्य कानूनों के अनुसार, हम सदिश उत्पाद की सीमा से परे स्थिरांक निकालते हैं।

(2) हम मॉड्यूल से स्थिरांक निकालते हैं, जबकि मॉड्यूल माइनस साइन को "खाता है"। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।

(3) आगे क्या स्पष्ट है।

जवाब:

लकड़ी को आग में फेंकने का समय आ गया है:

उदाहरण 4

सदिशों पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें यदि

फेसला: सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें . रोड़ा यह है कि वैक्टर "सीई" और "ते" स्वयं वैक्टर के योग के रूप में दर्शाए जाते हैं। यहां एल्गोरिदम मानक है और कुछ हद तक पाठ के उदाहरण संख्या 3 और 4 की याद दिलाता है। वैक्टर का डॉट उत्पाद. आइए इसे स्पष्टता के लिए तीन चरणों में विभाजित करें:

1) पहले चरण में, हम वेक्टर उत्पाद के माध्यम से वेक्टर उत्पाद को व्यक्त करते हैं, वास्तव में, वेक्टर को वेक्टर के रूप में व्यक्त करें. लंबाई पर अभी तक कोई शब्द नहीं!

(1) हम सदिशों के व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं।

(2) वितरण नियमों का प्रयोग करते हुए, बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठकों को खोलिए।

(3) साहचर्य कानूनों का उपयोग करते हुए, हम वेक्टर उत्पादों से परे सभी स्थिरांक निकालते हैं। थोड़े अनुभव के साथ, क्रिया 2 और 3 को एक साथ किया जा सकता है।

(4) सुखद गुण के कारण प्रथम और अंतिम पद शून्य (शून्य सदिश) के बराबर हैं। दूसरे कार्यकाल में, हम वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी संपत्ति का उपयोग करते हैं:

(5) हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।

नतीजतन, वेक्टर एक वेक्टर के माध्यम से व्यक्त किया गया, जिसे हासिल करने की आवश्यकता थी:

2) दूसरे चरण में, हमें उस सदिश उत्पाद की लंबाई ज्ञात होती है जिसकी हमें आवश्यकता होती है। यह क्रियाउदाहरण 3 की याद ताजा करती है:

3) अभीष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

समाधान के चरण 2-3 को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जा सकता है।

जवाब:

माना समस्या काफी आम है नियंत्रण कार्य, यहां स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 5

खोजें अगर

त्वरित समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर। आइए देखें कि पिछले उदाहरणों का अध्ययन करते समय आप कितने चौकस थे ;-)

निर्देशांक में वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

, ऑर्थोनॉर्मल आधार में दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

सूत्र वास्तव में सरल है: हम निर्धारक की शीर्ष पंक्ति में निर्देशांक वैक्टर लिखते हैं, हम दूसरी और तीसरी पंक्तियों में वैक्टर के निर्देशांक को "पैक" करते हैं, और हम डालते हैं सख्त क्रम में- पहले, वेक्टर "ve" के निर्देशांक, फिर वेक्टर "डबल-वे" के निर्देशांक। यदि वैक्टर को एक अलग क्रम में गुणा करने की आवश्यकता है, तो लाइनों को भी बदल दिया जाना चाहिए:

उदाहरण 10

जाँच करें कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष सदिश संरेख हैं:
ए)
बी)

फेसला: किसी एक दावे के आधार पर सत्यापन यह सबक: यदि सदिश संरेख हैं, तो उनका सदिश गुणनफल शून्य (शून्य सदिश) है: .

ए) वेक्टर उत्पाद खोजें:

अतः सदिश संरेख नहीं हैं।

बी) वेक्टर उत्पाद खोजें:

जवाब: ए) समरेख नहीं, बी)

यहाँ, शायद, वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के बारे में सभी बुनियादी जानकारी है।

यह अनुभागबहुत बड़ा नहीं होगा, क्योंकि कुछ समस्याएं हैं जहां वैक्टर के मिश्रित उत्पाद का उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सब कुछ परिभाषा, ज्यामितीय अर्थ और कुछ काम करने वाले फ़ार्मुलों पर टिका होगा।

वैक्टर का मिश्रित उत्पाद है तीन . का उत्पादवैक्टर:

इस तरह वे एक ट्रेन की तरह लाइन में खड़े होते हैं और प्रतीक्षा करते हैं, वे तब तक इंतजार नहीं कर सकते जब तक उनकी गणना नहीं हो जाती।

पहले फिर से परिभाषा और तस्वीर:

परिभाषा: मिश्रित उत्पाद गैर समतलीयवैक्टर, इस क्रम में लिया, कहा जाता है समानांतर चतुर्भुज का आयतन, इन वैक्टरों पर बनाया गया है, यदि आधार सही है तो "+" चिह्न से सुसज्जित है, और यदि आधार छोड़ दिया गया है तो "-" चिह्न।

चलो ड्राइंग करते हैं। हमारे लिए अदृश्य रेखाएँ एक बिंदीदार रेखा द्वारा खींची जाती हैं:

आइए परिभाषा में गोता लगाएँ:

2) वेक्टर लिया एक निश्चित क्रम में, अर्थात्, उत्पाद में वैक्टर का क्रमपरिवर्तन, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, परिणाम के बिना नहीं जाता है।

3) ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करने से पहले, मैं ध्यान देता हूँ स्पष्ट तथ्य: वैक्टर का मिश्रित उत्पाद एक NUMBER . है: . शैक्षिक साहित्य में, डिजाइन कुछ अलग हो सकता है, मैं एक मिश्रित उत्पाद को नामित करता था, और "पे" अक्षर के साथ गणना का परिणाम।

ए-प्राथमिकता मिश्रित उत्पाद समानांतर चतुर्भुज का आयतन है, सदिशों पर निर्मित (आकृति लाल सदिशों और काली रेखाओं से खींची गई है)। अर्थात्, संख्या दी गई समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है।

टिप्पणी : आरेखण योजनाबद्ध है।

4) आइए आधार और स्थान के उन्मुखीकरण की अवधारणा के साथ फिर से परेशान न हों। अंतिम भाग का अर्थ यह है कि वॉल्यूम में ऋण चिह्न जोड़ा जा सकता है। सरल शब्दों में, मिश्रित उत्पाद ऋणात्मक हो सकता है: .

वैक्टर पर बने समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना करने का सूत्र सीधे परिभाषा से आता है।

परिभाषा (x 1 , x 2 , ... , x n) n . का क्रमित समुच्चय वास्तविक संख्याबुलाया एन-आयामी वेक्टर, और संख्याएँ x i (i = ) - अवयवया निर्देशांक,

उदाहरण। यदि, उदाहरण के लिए, एक निश्चित ऑटोमोबाइल प्लांट को 50 . का उत्पादन करना है कारों, 100 ट्रक, 10 बसें, कारों के लिए स्पेयर पार्ट्स के 50 सेट और के लिए 150 सेट ट्रकोंऔर बसों, इस संयंत्र के उत्पादन कार्यक्रम को पांच घटकों के साथ एक वेक्टर (50, 100, 10, 50, 150) के रूप में लिखा जा सकता है।

संकेतन। सदिशों को बोल्ड में दर्शाया गया है निचला मामलाया शीर्ष पर बार या तीर वाले अक्षर, उदाहरण के लिए, एया. दो वैक्टर को कहा जाता है बराबरयदि उनके पास है वही नंबरघटक और उनके संगत घटक बराबर होते हैं।

वेक्टर घटकों को आपस में बदला नहीं जा सकता, जैसे (3, 2, 5, 0, 1)और (2, 3, 5, 0, 1) विभिन्न सदिश।
वैक्टर पर संचालन।काम एक्स= (x 1 , x 2 , ... ,x n) एक वास्तविक संख्या के लिएλ वेक्टर कहा जाता हैλ एक्स= (λ x 1 , λ x 2 , ... , x n)।

जोड़एक्स= (एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन) और आप= (y 1 , y 2 , ... ,y n) को सदिश कहा जाता है एक्स+वाई= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n)।

वैक्टर का स्थान।एन -आयामी वेक्टर अंतरिक्ष आर n को सभी n-आयामी सदिशों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए द्वारा गुणा के संचालन वास्तविक संख्याऔर जोड़।

आर्थिक चित्रण। एक एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष का एक आर्थिक चित्रण: माल की जगह (चीज़ें) नीचे वस्तुहम कुछ अच्छी या सेवा को समझेंगे जो एक निश्चित समय पर बिक्री के लिए गई थी निश्चित स्थान. मान लें कि n उपलब्ध वस्तुओं की एक सीमित संख्या है; उपभोक्ता द्वारा खरीदे गए उनमें से प्रत्येक की मात्रा माल के एक सेट की विशेषता है

एक्स= (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन),

जहां x i उपभोक्ता द्वारा खरीदे गए i-वें माल की मात्रा को दर्शाता है। हम मान लेंगे कि सभी वस्तुओं में मनमानी विभाज्यता का गुण होता है, ताकि उनमें से प्रत्येक की कोई भी गैर-ऋणात्मक मात्रा खरीदी जा सके। तब माल के सभी संभावित सेट माल के स्थान के सदिश हैं C = ( एक्स= (एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन)एक्स मैं 0, मैं =)।

रैखिक स्वतंत्रता। प्रणाली इ 1 , इ 2 , ... , इ m n-विमीय सदिश कहलाते हैं रैखिक रूप से आश्रितअगर ऐसी संख्याएं हैं 1 , 2 , ... , मी , जिनमें से कम से कम एक शून्येतर है, जो समानता को संतुष्ट करता है 1 इ 1 + 2 इ 2+...+λm इएम = 0; अन्यथा यह प्रणालीवैक्टर कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्रयानी यह समानता तभी संभव है जब सभी . ज्यामितीय अर्थ रैखिक निर्भरतामें वैक्टर आर 3, निर्देशित खंडों के रूप में व्याख्या की गई, निम्नलिखित प्रमेयों की व्याख्या करें।

प्रमेय 1. एक एकल वेक्टर से युक्त एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल यदि यह वेक्टर शून्य है।

प्रमेय 2। दो वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समरेखीय (समानांतर) हों।

प्रमेय 3 . तीन सदिशों के रैखिक रूप से आश्रित होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समतलीय हों (एक ही तल में पड़े हों)।

वैक्टर के बाएँ और दाएँ ट्रिपल। गैर समतलीय सदिशों का एक तिहाई ए, बी, सीबुलाया सही, अगर उनमें से पर्यवेक्षक आम शुरुआतवैक्टर के सिरों को छोड़कर ए, बी, सीउस क्रम में दक्षिणावर्त आगे बढ़ना प्रतीत होता है। अन्यथा ए, बी, सी -लेफ्ट ट्रिपल. सदिशों के सभी दाएं (या बाएं) त्रिगुण कहलाते हैं समान रूप से उन्मुखी।

आधार और निर्देशांक। तिकड़ी इ 1, इ 2 , इ 3 गैर समतलीय सदिश in आर 3 बुलाया आधार, और स्वयं वैक्टर इ 1, इ 2 , इ 3 - बुनियादी. कोई वेक्टर एआधार वैक्टर के संदर्भ में एक अनोखे तरीके से विस्तार किया जा सकता है, अर्थात इसे रूप में दर्शाया जा सकता है

ए= एक्स 1 इ 1 + x2 इ 2 + एक्स 3 इ 3, (1.1)

संख्याएँ x 1 , x 2 , x 3 विस्तार में (1.1) कहलाती हैं COORDINATESएआधार पर इ 1, इ 2 , इ 3 और निरूपित हैं ए(एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3)।

ऑर्थोनॉर्मल आधार। यदि वैक्टर इ 1, इ 2 , इ 3 जोड़ीवार लंबवत हैं और उनमें से प्रत्येक की लंबाई एक के बराबर है, तो आधार को कहा जाता है ऑर्थोनॉर्मल, और निर्देशांक x 1 , x 2 , x 3 - आयताकार।एक लम्बवत आधार के आधार सदिशों को निरूपित किया जाएगा मैं, जे, के।

हम मान लेंगे कि अंतरिक्ष में आर 3 कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक की सही प्रणाली (0, मैं, जे, के}.

वेक्टर उत्पाद. वेक्टर कला एप्रति वेक्टर बीवेक्टर कहा जाता है सी, जो निम्नलिखित तीन स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

1. वेक्टर लंबाई सीसंख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर एऔर बी,अर्थात।
सी= |ए||बी|पाप ( ए^बी).

2. वेक्टर सीप्रत्येक वैक्टर के लंबवत एऔर बी।

3. वैक्टर ए, बीऔर सी, उस क्रम में लिया गया, एक सही ट्रिपल बनाते हैं।

वेक्टर उत्पाद के लिए सीपदनाम पेश किया गया है सी =[अब] या
सी = ए × बी।

यदि वैक्टर एऔर बीसंरेख हैं, तो sin( ए ^ बी) = 0 और [ अब] = 0, विशेष रूप से, [ आ] = 0. orts के वेक्टर उत्पाद: [ आईजेयू]=क, [जेके] = मैं, [किओ]=जे.

यदि वैक्टर एऔर बीआधार में दिया गया मैं, जे, के COORDINATES ए(ए 1, ए 2, ए 3), बी(बी 1 , बी 2 , बी 3), तब

मिश्रित कार्य। यदि दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद एऔर बीअदिश को तीसरे सदिश से गुणा किया जाता है सी,तो तीन सदिशों का ऐसा गुणनफल कहलाता है मिश्रित उत्पादऔर प्रतीक . द्वारा निरूपित किया जाता है ए ई.पू.

यदि वैक्टर ए, बीऔर सीआधार पर मैं, जे, केउनके निर्देशांक द्वारा निर्धारित
ए(ए 1, ए 2, ए 3), बी(बी 1, बी 2, बी 3), सी(सी 1 , सी 2 , सी 3), तब

.

मिश्रित उत्पाद की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है - यह एक अदिश है, जिसके अनुसार निरपेक्ष मूल्यतीन दिए गए सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर।

यदि वैक्टर एक सही ट्रिपल बनाते हैं, तो उनका मिश्रित उत्पाद संकेतित मात्रा के बराबर एक सकारात्मक संख्या है; अगर तीन ए, बी, सी -बाएं, फिर ए बी सी<0 и V = - ए बी सी, इसलिए वी =|ए बी सी|.

पहले अध्याय की समस्याओं में सामने आए सदिशों के निर्देशांक सही ऑर्थोनॉर्मल आधार के सापेक्ष दिए गए हैं। इकाई सदिश सदिश की दिशा में ए,प्रतीक द्वारा निरूपित एके विषय में। प्रतीक आर=ओएमबिंदु M के त्रिज्या सदिश द्वारा निरूपित, प्रतीक a, AB या|ए|, | एबी |वैक्टर के मॉड्यूल निरूपित हैं एऔर एबी.

उदाहरण 1.2. वैक्टर के बीच का कोण खोजें ए= 2एम+4एनऔर बी= एम-एन, कहाँ पे एमऔर एन-इकाई वैक्टर और कोण के बीच एमऔर एन 120 ओ के बराबर।

फेसला. हमारे पास है: क्योंकि = अब/एबी, एबी =(2एम+4एन) (एम-एन) = 2एम 2 - 4एन 2 +2एम.एन.=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; ए = ; ए 2 = (2एम+4एन) (2एम+4एन) =
= 4एम 2 +16एम.एन.+16एन 2 = 4+16(-0.5)+16=12, इसलिए a = . ख = ; बी 2 =
= (एम-एन)(एम-एन) = एम 2 -2एम.एन.+एन 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, इसलिए b = . अंत में हमारे पास है: cos\u003d -1/2, \u003d 120 ओ।

उदाहरण 1.3।जानने वाले वैक्टर अब(-3,-2.6) और ईसा पूर्व(-2,4,4), त्रिभुज ABC की ऊंचाई AD परिकलित करें।

फेसला. त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को S से निरूपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
एस = 1/2 ई.पू. फिर AD=2S/BC, BC== = 6,
एस = 1/2| एबी ×एसी |. एसी = एबी + बीसी, तो वेक्टर एसीनिर्देशांक हैं
. .

उदाहरण 1.4 . दो वैक्टर दिए गए ए(11,10,2) और बी(4,0,3)। इकाई वेक्टर खोजें सी,ओर्थोगोनल से सदिश एऔर बीऔर निर्देशित किया ताकि वैक्टर के ट्रिपल का आदेश दिया जा सके ए, बी, सीठीक था।

फेसला।आइए हम सदिश के निर्देशांकों को निरूपित करें सी x, y, z के पदों में दिए गए दायीं ओर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में।

जहां तक ​​कि सी ⊥ एसी ⊥बी, तब सीए= 0सीबी= 0. समस्या की स्थिति के अनुसार, यह आवश्यक है कि c = 1 तथा ए बी सी >0.

हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है x, y, z . ढूँढना: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों से हमें z = -4/3 x, y = -5/6 x मिलता है। y और z को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा: x 2 = 36/125, जहाँ से
एक्स =± . शर्त का उपयोग करना ए बी सी > 0, हमें असमानता मिलती है

z और y के व्यंजकों को ध्यान में रखते हुए, हम परिणामी असमानता को इस रूप में फिर से लिखते हैं: 625/6 x > 0, जहां से यह x>0 का अनुसरण करता है। तो x = , y = - , z = - ।

7.1 क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

तीन गैर-समतलीय सदिश a , b और c , संकेतित क्रम में लिए गए, एक दायां ट्रिपल बनाते हैं यदि तीसरे वेक्टर c के अंत से पहले वेक्टर a से दूसरे वेक्टर b में सबसे छोटा मोड़ वामावर्त देखा जाता है, और एक बाएं अगर दक्षिणावर्त (चित्र देखें। सोलह)।

सदिश a और सदिश b के सदिश गुणनफल को सदिश c कहते हैं, जो :

1. सदिश a और b के लंबवत, अर्थात c ^ a और c ^ बी;

2. इसकी लंबाई संख्यात्मक रूप से वैक्टर a और . पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती हैबीपक्षों के रूप में (अंजीर देखें। 17), अर्थात्।

3. सदिश a , b और c एक लम्ब त्रिक बनाते हैं।

सदिश गुणनफल को a x b या [a,b] निरूपित किया जाता है। एक सदिश उत्पाद की परिभाषा से, मेरे द्वारा सीधे अनुसरण किए जाने वाले orts के बीच निम्नलिखित संबंध, जेऔर क(अंजीर देखें। 18):

आई एक्स जे \u003d के, जे एक्स के \u003d आई, के एक्स आई \u003d जे।
आइए हम सिद्ध करें, उदाहरण के लिए, किमैं एक्सजे \u003d के।

1) के ^ आई, के ^ जे;

2) |के |=1, लेकिन | मैं एक्स जे| = |मैं | |जे| पाप (90°)=1;

3) सदिश i , j और कएक सही ट्रिपल बनाएं (चित्र 16 देखें)।

7.2. क्रॉस उत्पाद गुण

1. जब कारकों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो वेक्टर उत्पाद संकेत बदलता है, अर्थात। और xb \u003d (b xa) (चित्र 19 देखें)।

वेक्टर a xb और b xa समरेखीय हैं, समान मॉड्यूल हैं (समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र अपरिवर्तित रहता है), लेकिन विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं (विपरीत अभिविन्यास के ट्रिपल ए, बी, और एक्सबी और ए, बी, बी एक्स ए)। वह है कुल्हाड़ी = -(बीएक्सए).

2. वेक्टर उत्पाद है संबंधी संपत्तिएक अदिश कारक के संबंध में, अर्थात l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b)।

चलो एल> 0। सदिश l (a xb) सदिश a और b के लंबवत है। वेक्टर ( मैंए) एक्स बीसदिश a और . के लंबवत भी है बी(वेक्टर ए, मैंलेकिन एक ही विमान में झूठ)। तो वैक्टर मैं(ए एक्सबी) और ( मैंए) एक्स बीसमरेख। यह स्पष्ट है कि उनकी दिशाएँ मेल खाती हैं। उनकी लंबाई समान है:

इसलिए मैं(ए एक्सबी) = मैंएक एक्सबी। यह इसी प्रकार सिद्ध होता है मैं<0.

3. दो शून्येतर सदिश a और बीसंरेख हैं यदि और केवल यदि उनका सदिश गुणनफल शून्य सदिश के बराबर है, अर्थात, और ||b<=>और एक्सबी \u003d 0.

विशेष रूप से, i *i =j *j =k *k =0 ।

4. वेक्टर उत्पाद में वितरण गुण होता है:

(ए+बी) xs = a xs + बीएक्सएस

बिना सबूत के स्वीकार करें।

7.3. निर्देशांक के संदर्भ में क्रॉस उत्पाद अभिव्यक्ति

हम वेक्टर क्रॉस उत्पाद तालिका i का उपयोग करेंगे, जेऔर कश्मीर:

यदि पहले वेक्टर से दूसरे तक सबसे छोटे पथ की दिशा तीर की दिशा के साथ मेल खाती है, तो उत्पाद तीसरे वेक्टर के बराबर है, यदि यह मेल नहीं खाता है, तो तीसरा वेक्टर ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है।

माना दो सदिश a =a x i +a y जे+अज़ी कऔर बी = बीएक्स मैं+द्वारा जे+bz क. आइए इन वैक्टरों के वेक्टर उत्पाद को बहुपद के रूप में गुणा करके (वेक्टर उत्पाद के गुणों के अनुसार) खोजें:

परिणामी सूत्र को और भी छोटा लिखा जा सकता है:

चूँकि समानता का दायाँ पक्ष (7.1) पहली पंक्ति के तत्वों के संदर्भ में तीसरे क्रम के निर्धारक के विस्तार से मेल खाता है। समानता (7.2) को याद रखना आसान है।

7.4. क्रॉस उत्पाद के कुछ अनुप्रयोग

सदिशों की संरेखता स्थापित करना

एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की परिभाषा के अनुसार एऔर बी |ए एक्सबी | =|ए | * |b |sin g , यानी S par = |a x b |। और, इसलिए, डी एस \u003d 1/2 | ए एक्स बी |।

एक बिंदु के बारे में बल के क्षण का निर्धारण

मान लीजिए बिंदु A पर एक बल लगाया जाता है एफ = एबीजाने दो हे- अंतरिक्ष में कुछ बिंदु (चित्र 20 देखें)।

भौतिकी से ज्ञात होता है कि टॉर्कः एफ बिंदु के सापेक्ष हेवेक्टर कहा जाता है एम ,जो बिंदु . से होकर गुजरता है हेऔर:

1) बिन्दुओं से गुजरने वाले तल के लंबवत् ओ, ए, बी;

2) संख्यात्मक रूप से बल और कंधे के उत्पाद के बराबर

3) सदिश OA और A B के साथ एक सम त्रिक बनाता है।

इसलिए, एम \u003d ओए एक्स एफ।

घूर्णन की रैखिक गति ज्ञात करना

रफ़्तार वीकोणीय वेग से घूमते हुए एक कठोर पिंड का बिंदु M वूएक निश्चित अक्ष के चारों ओर, यूलर सूत्र v \u003d w x r द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ r \u003d OM, जहाँ O अक्ष का कुछ निश्चित बिंदु है (चित्र 21 देखें)।

परिभाषा। एक सदिश (गुणक) द्वारा एक सदिश (गुणक) का सदिश गुणनफल, जो इसके संरेख नहीं है, तीसरा सदिश c (उत्पाद) है, जिसका निर्माण इस प्रकार किया गया है:

1) इसका मापांक अंजीर में समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। 155), सदिशों पर निर्मित, अर्थात्, यह उल्लिखित समांतर चतुर्भुज के तल के लंबवत दिशा के बराबर है;

3) इस मामले में, वेक्टर सी की दिशा चुनी जाती है (दो संभावित लोगों में से) ताकि वेक्टर सी एक दाएं हाथ की प्रणाली (§ 110) बना सके।

पदनाम: या

परिभाषा के लिए परिशिष्ट। यदि सदिश संरेख हैं, तो आकृति को (सशर्त) समांतर चतुर्भुज मानते हुए, शून्य क्षेत्र निर्दिष्ट करना स्वाभाविक है। इसलिए, संरेखी सदिशों के सदिश गुणनफल को अशक्त सदिश के बराबर माना जाता है।

चूंकि अशक्त वेक्टर को कोई भी दिशा दी जा सकती है, यह सम्मेलन परिभाषा के आइटम 2 और 3 का खंडन नहीं करता है।

टिप्पणी 1. "वेक्टर उत्पाद" शब्द में, पहला शब्द इंगित करता है कि एक क्रिया का परिणाम एक वेक्टर है (एक अदिश उत्पाद के विपरीत; cf। 104, टिप्पणी 1)।

उदाहरण 1. वेक्टर उत्पाद का पता लगाएं जहां सही समन्वय प्रणाली के मुख्य वैक्टर (चित्र। 156)।

1. चूँकि मुख्य सदिशों की लंबाई स्केल इकाई के बराबर होती है, समांतर चतुर्भुज (वर्ग) का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक के बराबर होता है। अतः सदिश गुणनफल का मापांक एक के बराबर होता है।

2. चूँकि समतल का लंब अक्ष है, वांछित सदिश उत्पाद सदिश k के समीप एक सदिश संरेख है; और चूंकि दोनों में मापांक 1 है, आवश्यक क्रॉस उत्पाद या तो k या -k है।

3. इन दो संभावित वैक्टरों में से, पहले को चुना जाना चाहिए, क्योंकि वेक्टर k एक सही प्रणाली बनाते हैं (और वेक्टर एक बाएं बनाते हैं)।

उदाहरण 2. क्रॉस उत्पाद खोजें

फेसला। उदाहरण 1 में, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सदिश या तो k या -k है। लेकिन अब हमें -k चुनने की जरूरत है, क्योंकि वैक्टर सही सिस्टम बनाते हैं (और वैक्टर बाईं ओर बनाते हैं)। इसलिए,

उदाहरण 3 सदिशों की लंबाई क्रमशः 80 और 50 सेमी है, और वे 30° का कोण बनाते हैं। लंबाई की एक इकाई के रूप में मीटर लेते हुए, वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाएं a

फेसला। वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल बराबर है वांछित वेक्टर उत्पाद की लंबाई के बराबर है

उदाहरण 4. लंबाई की एक इकाई के रूप में सेंटीमीटर लेते हुए समान वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की लंबाई पाएं।

फेसला। चूँकि सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सदिश गुणनफल की लंबाई के बराबर होता है 2000 सेमी, अर्थात्।

उदाहरण 3 और 4 की तुलना से, यह देखा जा सकता है कि वेक्टर की लंबाई न केवल कारकों की लंबाई पर निर्भर करती है, बल्कि लंबाई की इकाई की पसंद पर भी निर्भर करती है।

वेक्टर उत्पाद का भौतिक अर्थ।सदिश गुणन द्वारा निरूपित अनेक भौतिक राशियों में से हम केवल बल आघूर्ण पर विचार करेंगे।

मान लें कि A बल के अनुप्रयोग का बिंदु है। बिंदु O के सापेक्ष बल का क्षण वेक्टर उत्पाद कहलाता है। चूंकि इस वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल संख्यात्मक रूप से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है (चित्र 157), क्षण का मॉड्यूल ऊंचाई के आधार के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात, बल को बिंदु O से उस सीधी रेखा तक की दूरी से गुणा किया जाता है जिसके साथ बल कार्य करता है।

यांत्रिकी में, यह साबित होता है कि एक कठोर शरीर के संतुलन के लिए, यह आवश्यक है कि न केवल शरीर पर लागू बलों का प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टरों का योग, बल्कि बलों के क्षणों का योग भी शून्य के बराबर होना चाहिए। मामले में जब सभी बल एक ही विमान के समानांतर होते हैं, तो क्षणों का प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर के जोड़ को उनके मॉड्यूल के जोड़ और घटाव से बदला जा सकता है। लेकिन बलों की मनमानी दिशाओं के लिए, ऐसा प्रतिस्थापन असंभव है। इसके अनुसार, क्रॉस उत्पाद को एक वेक्टर के रूप में परिभाषित किया जाता है, न कि एक संख्या के रूप में।