परिभाषा।समतल में किसी भी रेखा को प्रथम कोटि के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

आह + वू + सी = 0,

और अचर A, B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। इस प्रथम कोटि के समीकरण को कहा जाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।मूल्यों के आधार पर स्थिर ए, बीऔर सी, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

सी \u003d 0, ए 0, बी ≠ 0 - रेखा मूल से गुजरती है

ए \u003d 0, बी ≠ 0, सी 0 (बाय + सी \u003d 0) - रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है

बी \u003d 0, ए 0, सी ≠ 0 ( कुल्हाड़ी + सी \u003d 0) - रेखा ओए अक्ष के समानांतर है

बी \u003d सी \u003d 0, ए 0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए \u003d सी \u003d 0, बी 0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाती है

एक सीधी रेखा के समीकरण को में दर्शाया जा सकता है विभिन्न रूपकिसी दी गई प्रारंभिक शर्तों के आधार पर।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण

परिभाषा।कार्टेशियन में आयताकार प्रणालीघटकों के साथ समन्वय वेक्टर (ए, बी) रेखा के लंबवत है, समीकरण द्वारा दिया गयाआह + वू + सी = 0।

उदाहरण. बिंदु A(1, 2) से (3, -1) के लंबवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला. A = 3 और B = -1 पर, हम एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं: 3x - y + C = 0. गुणांक C को खोजने के लिए, हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। हम प्राप्त करते हैं: 3 - 2 + सी = 0, इसलिए, सी = -1। कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण:

यदि हर में से कोई भी शून्य, संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। समतल पर, ऊपर लिखी गई सीधी रेखा के समीकरण को सरल बनाया गया है:

यदि x 1 x 2 और x = x 1 यदि x 1 = x 2 है।

भिन्न = k कहा जाता है ढलान कारकसीधा।

उदाहरण. बिंदुओं A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला।उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु और एक ढलान से एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि कुल कुल्हाड़ी + वू + सी = 0 फॉर्म की ओर ले जाती है:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहलाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणक.

एक बिंदु और दिशा वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करते हुए पैराग्राफ के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा के असाइनमेंट और एक सीधी रेखा के एक निर्देशन वेक्टर में प्रवेश कर सकते हैं।

परिभाषा।प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2), जिसके घटक A α 1 + B α 2 = 0 की स्थिति को संतुष्ट करते हैं, रेखा का निर्देशन वेक्टर कहा जाता है

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण। दिशा सदिश (1, -1) और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला।हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0। परिभाषा के अनुसार, गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 के लिए हमें C / A = -3 प्राप्त होता है, अर्थात। वांछित समीकरण:

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि सरल रेखा के सामान्य समीकरण में Ah + Wu + C = 0 C≠0, तो –C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं: या

ज्यामितीय अर्थउस गुणांक में गुणांक ए x-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु का समन्वय।

उदाहरण।दिया गया सामान्य समीकरणरेखा x - y + 1 = 0. इस रेखा का समीकरण खण्डों में ज्ञात कीजिए।

सी \u003d 1, , ए \u003d -1, बी \u003d 1.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

यदि समीकरण Ax + Vy + C = 0 के दोनों पक्षों को संख्या से गुणा किया जाता है , इससे कहते है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण। सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μ *< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

उदाहरण. सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को देखते हुए 12x - 5y - 65 \u003d 0. इसे लिखना आवश्यक है विभिन्न प्रकार केइस रेखा के समीकरण

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

; cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कुल्हाड़ियों के समानांतर या मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएं।

उदाहरण. डायरेक्ट कट ऑफ समायोजन ध्रुवसमान सकारात्मक खंड। एक सरल रेखा का समीकरण लिखिए यदि इन खण्डों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी 2 है।

फेसला।सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: , ab /2 = 8; एबी = 16; ए = 4, ए = -4। ए = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

उदाहरण. बिंदु A (-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

फेसला. एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: , जहाँ x 1 \u003d y 1 \u003d 0; एक्स 2 \u003d -2; वाई 2 \u003d -3।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हों, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित होगा

.

दो रेखाएँ समांतर हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर होती हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक होते हैं। यदि 1 = भी हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दी गई रेखा के लंबवत गुजरने वाली रेखा का समीकरण

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया जाता है, तो रेखा Ax + Vy + C \u003d 0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

.

प्रमाण।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जा सकते हैं:

प्रणाली का दूसरा समीकरण से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है दिया गया बिंदुएम 0 दी गई रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; = /4।

उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

फेसला. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी। के =। फिर वाई =। क्योंकि ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक संतुष्ट होते हैं यह समीकरण: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

दो अंक दिए जाने दें एम(एक्स 1 ,पर 1) और एन(एक्स 2,आप 2))। आइए इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

चूँकि यह रेखा बिंदु . से होकर गुजरती है एम, तो सूत्र (1.13) के अनुसार इसके समीकरण का रूप है

पर – यू 1 = क(एक्स-एक्स 1),

कहाँ क- अनजान ढलान.

इस गुणांक का मान इस शर्त से निर्धारित होता है कि वांछित सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है एन, जिसका अर्थ है कि इसके निर्देशांक समीकरण (1.13) को संतुष्ट करते हैं

यू 2 – यू 1 = क(एक्स 2 – एक्स 1),

यहाँ से आप इस रेखा का ढाल ज्ञात कर सकते हैं:

,

या रूपांतरण के बाद

(1.14)

फॉर्मूला (1.14) परिभाषित करता है दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण एम(एक्स 1, यू 1) और एन(एक्स 2, यू 2).

विशेष मामले में जब अंक एम(ए, 0), एन(0, बी), लेकिन ¹ 0, बी 0, निर्देशांक अक्षों पर स्थित है, समीकरण (1.14) एक सरल रूप लेता है

समीकरण (1.15)बुलाया खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, यहाँ लेकिनऔर बीअक्षों पर एक सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंडों को निरूपित करें (चित्र 1.6)।

चित्र 1.6

उदाहरण 1.10. बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए एम(1, 2) और बी(3, –1).

. (1.14) के अनुसार, वांछित सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है

2(यू – 2) = -3(एक्स – 1).

सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करने पर, हम अंत में वांछित समीकरण प्राप्त करते हैं

3एक्स + 2यू – 7 = 0.

उदाहरण 1.11. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए समीकरण लिखिए एम(2, 1) और रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक्स+ वाई- 1 = 0, एक्स - वाई+ 2 = 0.

. इन समीकरणों को एक साथ हल करके हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते हैं

यदि हम इन समीकरणों को पदों के पदों में जोड़ते हैं, तो हमें 2 . प्राप्त होता है एक्स+ 1 = 0, कहाँ से। पाए गए मान को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करना, मूल्य खोजेंतालमेल पर:

अब बिंदुओं (2, 1) और से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखते हैं:

या ।

इसलिए या -5( यू – 1) = एक्स – 2.

अंत में, हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को रूप में प्राप्त करते हैं एक्स + 5यू – 7 = 0.

उदाहरण 1.12. बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए एम(2.1) और एन(2,3).

सूत्र (1.14) का उपयोग करके, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

इसका कोई मतलब नहीं है क्योंकि दूसरा हर शून्य है। समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि दोनों बिंदुओं के भुजों का मान समान है। अत: अभीष्ट रेखा अक्ष के समांतर है ओएऔर इसका समीकरण है: एक्स = 2.

टिप्पणी . यदि, सूत्र (1.14) के अनुसार एक सीधी रेखा के समीकरण को लिखते समय, हर में से एक शून्य के बराबर हो जाता है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर करके वांछित समीकरण प्राप्त किया जा सकता है।

आइए एक समतल पर सीधी रेखा स्थापित करने के अन्य तरीकों पर विचार करें।

1. मान लीजिए कि एक शून्येतर सदिश किसी दी गई रेखा पर लंब है ली, और बिंदु एम 0(एक्स 0, यू 0) इस रेखा पर स्थित है (चित्र 1.7)।

चित्र 1.7

निरूपित एम(एक्स, यू) मनमाना बिंदुएक सीधी रेखा पर ली. वेक्टर और ओर्थोगोनल। इन सदिशों के लिए ओर्थोगोनैलिटी शर्तों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं या लेकिन(एक्स – एक्स 0) + बी(यू – यू 0) = 0.

हमने एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त किया है एम 0 सदिश के लंबवत है। इस वेक्टर को कहा जाता है सामान्य वेक्टर एक सीधी रेखा के लिए ली. परिणामी समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

ओह + वू + साथ में= 0, जहां साथ में = –(लेकिनएक्स 0 + द्वारा 0), (1.16),

कहाँ लेकिनऔर परसामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं।

हम एक पैरामीट्रिक रूप में एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त करते हैं।

2. एक समतल पर एक रेखा को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है: मान लीजिए कि एक शून्येतर सदिश दी गई रेखा के समानांतर है लीऔर डॉट एम 0(एक्स 0, यू 0) इस रेखा पर स्थित है। फिर से, एक मनमाना बिंदु लें एम(एक्स, y) एक सीधी रेखा पर (चित्र 1.8)।

चित्र 1.8

वेक्टर और समरेख।

आइए हम इन सदिशों की संरेखता की स्थिति को लिखें: , जहां टीएक मनमाना संख्या है, जिसे एक पैरामीटर कहा जाता है। आइए इस समानता को निर्देशांक में लिखें:

इन समीकरणों को कहा जाता है पैरामीट्रिक समीकरण सीधा. आइए हम इन समीकरणों से बाहर करें पैरामीटर टी:

इन समीकरणों को इस रूप में लिखा जा सकता है

. (1.18)

परिणामी समीकरण कहलाता है विहित समीकरणसीधा. वेक्टर कॉल दिशा वेक्टर सीधे .

टिप्पणी . यह देखना आसान है कि यदि रेखा का सामान्य सदिश है ली, तो इसका दिशा सदिश सदिश हो सकता है, क्योंकि , अर्थात .

उदाहरण 1.13. एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए एम 0(1, 1) पंक्ति 3 . के समानांतर एक्स + 2पर– 8 = 0.

फेसला . वेक्टर दी गई और वांछित रेखाओं का सामान्य वेक्टर है। आइए एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करें एम 0 दिए गए सामान्य वेक्टर के साथ 3( एक्स –1) + 2(पर- 1) = 0 या 3 एक्स + 2 वर्ष- 5 \u003d 0. हमें वांछित सीधी रेखा का समीकरण मिला।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। लेख में" " मैंने आपको व्युत्पन्न खोजने के लिए प्रस्तुत समस्याओं को हल करने के दूसरे तरीके का विश्लेषण करने का वादा किया था यह चार्टफ़ंक्शन और इस ग्राफ के स्पर्शरेखा। हम इस विधि का पता लगाएंगे , याद मत करिएं! क्योंअगला?

तथ्य यह है कि एक सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग वहां किया जाएगा। बेशक, कोई बस दिखा सकता है यह सूत्रऔर आपको इसे सीखने की सलाह देते हैं। लेकिन यह समझाना बेहतर है कि यह कहां से आता है (इसे कैसे प्राप्त किया जाता है)। यह जरुरी है! यदि आप इसे भूल जाते हैं, तो इसे जल्दी से पुनर्स्थापित करेंमुश्किल नहीं होगा। सब कुछ नीचे विस्तृत है। तो हमारे पास विमान का समन्वयदो बिंदु हैं A(x 1; y 1) और B (x 2; y 2), इंगित बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है:

यहाँ प्रत्यक्ष सूत्र है:

*अर्थात, बिंदुओं के विशिष्ट निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y=kx+b के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है।

** यदि यह सूत्र केवल "याद" है, तो सूचकांकों के साथ भ्रमित होने की उच्च संभावना है जब एक्स. इसके अलावा, अनुक्रमित को विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

इसलिए इसका अर्थ समझना जरूरी है।

अब इस सूत्र की व्युत्पत्ति। सब कुछ बहुत आसान है!

त्रिभुज ABE और ACF समान हैं तेज़ कोने(समानता का पहला संकेत समकोण त्रिभुज) इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि संगत तत्वों के अनुपात बराबर होते हैं, अर्थात्:

अब हम इन खंडों को बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर के रूप में व्यक्त करते हैं:

बेशक, यदि आप तत्वों के संबंधों को एक अलग क्रम में लिखते हैं तो कोई त्रुटि नहीं होगी (मुख्य बात पत्राचार रखना है):

परिणाम एक सीधी रेखा का समान समीकरण है। यह सब है!

अर्थात्, बिंदु स्वयं (और उनके निर्देशांक) कैसे भी निर्दिष्ट हैं, इस सूत्र को समझने पर, आप हमेशा एक सीधी रेखा के समीकरण पाएंगे।

वैक्टर के गुणों का उपयोग करके सूत्र का अनुमान लगाया जा सकता है, लेकिन व्युत्पत्ति का सिद्धांत समान होगा, क्योंकि हम उनके निर्देशांक की आनुपातिकता के बारे में बात करेंगे। इस मामले में, समकोण त्रिभुजों की समान समानता काम करती है। मेरी राय में, ऊपर वर्णित निष्कर्ष अधिक समझ में आता है))।

वेक्टर निर्देशांक के माध्यम से आउटपुट देखें >>>

मान लीजिए कि दो . से गुजरने वाले निर्देशांक तल पर एक सीधी रेखा का निर्माण होता है दिए गए अंकए (एक्स 1; वाई 1) और बी (एक्स 2; वाई 2)। आइए हम निर्देशांक के साथ रेखा पर एक मनमाना बिंदु C चिह्नित करें ( एक्स; आप) हम दो वैक्टरों को भी निरूपित करते हैं:

यह ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं (या एक रेखा पर) पर स्थित सदिशों के लिए, उनके संगत निर्देशांक समानुपाती होते हैं, अर्थात्:

- हम संबंधित निर्देशांक के अनुपात की समानता लिखते हैं:

एक उदाहरण पर विचार करें:

निर्देशांक (2;5) और (7:3) के साथ दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आप खुद लाइन भी नहीं बना सकते। हम सूत्र लागू करते हैं:

यह महत्वपूर्ण है कि आप अनुपात बनाते समय पत्राचार को पकड़ लें। यदि आप लिखते हैं तो आप गलत नहीं हो सकते:

उत्तर: y=-2/5x+29/5 गो y=-0.4x+5.8

यह सुनिश्चित करने के लिए कि परिणामी समीकरण सही पाया गया है, इसे जांचना सुनिश्चित करें - बिंदुओं की स्थिति में डेटा निर्देशांक को इसमें बदलें। आपको सही समानताएं मिलनी चाहिए।

बस इतना ही। मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

निष्ठा से, सिकंदर।

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

मान लीजिए कि सीधी रेखा बिंदुओं M 1 (x 1; y 1) और M 2 (x 2; y 2) से होकर गुजरती है। बिंदु M 1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है y- y 1 \u003d क (एक्स - एक्स 1), (10.6)

कहाँ पे क - अभी भी अज्ञात गुणांक।

चूंकि सीधी रेखा बिंदु M 2 (x 2 y 2) से होकर गुजरती है, तो इस बिंदु के निर्देशांक को समीकरण (10.6): y 2 -y 1 \u003d को संतुष्ट करना चाहिए क (एक्स 2-एक्स 1)।

यहाँ से हम पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हुए पाते हैं क समीकरण (10.6) में, हम बिंदुओं M 1 और M 2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं:

यह माना जाता है कि इस समीकरण में x 1 x 2, y 1 y 2

यदि x 1 \u003d x 2, तो बिंदु M 1 (x 1, y I) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है। इसका समीकरण है एक्स = एक्स 1 .

यदि y 2 \u003d y I, तो सीधी रेखा के समीकरण को y \u003d y 1 के रूप में लिखा जा सकता है, सीधी रेखा M 1 M 2 x-अक्ष के समानांतर है।

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

मान लें कि सीधी रेखा ऑक्स अक्ष को बिंदु M 1 (a; 0) पर और Oy अक्ष को बिंदु M 2 (0; b) पर काटती है। समीकरण रूप लेगा:
वे।
. इस समीकरण को कहा जाता है खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, क्योंकि संख्या ए और बी इंगित करते हैं कि कौन सी रेखाएं समन्वय अक्षों पर सीधी रेखा काटती हैं.

किसी दिए गए सदिश के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

आइए किसी दिए गए बिंदु Mo (x O; y o) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें जो किसी दिए गए गैर-शून्य वेक्टर n = (A; B) के लंबवत है।

सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु M(x; y) लें और वेक्टर M 0 M (x - x 0; y - y o) पर विचार करें (चित्र 1 देखें)। चूँकि सदिश n और M o M लंबवत हैं, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है: अर्थात,

ए (एक्स - एक्सओ) + बी (वाई - यो) = 0। (10.8)

समीकरण (10.8) कहा जाता है किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण .

वेक्टर n = (ए; बी) रेखा के लंबवत को सामान्य कहा जाता है इस लाइन का सामान्य वेक्टर .

समीकरण (10.8) को फिर से लिखा जा सकता है आह + वू + सी = 0 , (10.9)

जहाँ A और B सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, C \u003d -Ax o - Vu o - मुक्त सदस्य। समीकरण (10.9) एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है(चित्र 2 देखें)।

Fig.1 Fig.2

सीधी रेखा के विहित समीकरण

,

कहाँ
उस बिंदु के निर्देशांक हैं जिससे होकर रेखा गुजरती है, और
- दिशा वेक्टर।

दूसरे क्रम के वक्र वृत्त

वृत्त किसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है, जिसे केंद्र कहा जाता है।

त्रिज्या के एक वृत्त का विहित समीकरण आर एक बिंदु पर केंद्रित
:

विशेष रूप से, यदि हिस्सेदारी का केंद्र मूल के साथ मेल खाता है, तो समीकरण इस तरह दिखेगा:

अंडाकार

एक दीर्घवृत्त एक विमान में बिंदुओं का एक समूह है, उनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग और , जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है
, foci . के बीच की दूरी से अधिक
.

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण जिसका फॉसी ऑक्स अक्ष पर स्थित है और जिसका मूल फॉसी के बीच में है, का रूप है
जी डेए प्रमुख अर्ध-अक्ष की लंबाई;बी लघु अर्धअक्ष की लंबाई है (चित्र 2)।