हम स्कूल में असमानताओं से मिले, जहां हम संख्यात्मक असमानताओं का उपयोग करते हैं। इस लेख में, हम संख्यात्मक असमानताओं के गुणों पर विचार करते हैं, जिनमें से कुछ उनके साथ काम करने के लिए निर्मित सिद्धांत हैं।

असमानताओं के गुण संख्यात्मक असमानताओं के गुणों के समान होते हैं। गुण, उसके औचित्य पर विचार किया जाएगा, हम उदाहरण देंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

संख्यात्मक असमानताएं: परिभाषा, उदाहरण

असमानता की अवधारणा को पेश करते समय, हमारे पास यह है कि उनकी परिभाषा रिकॉर्ड के प्रकार के अनुसार बनाई गई है। उपलब्ध बीजीय व्यंजक, जिसके चिन्ह हैं,< , >, , . आइए एक परिभाषा दें।

परिभाषा 1

संख्यात्मक असमानताअसमानता कहलाती है जिसमें दोनों पक्षों की संख्याएँ और संख्यात्मक व्यंजक होते हैं।

संख्यात्मक असमानताएंपढ़ाई के बाद स्कूल में वापस विचार करें प्राकृतिक संख्याएं. इस तरह की तुलना संक्रियाओं का चरण दर चरण अध्ययन किया जाता है। 1 . जैसा प्रारंभिक रूप< 5 , 5 + 7 >3. उसके बाद, नियमों को पूरक किया जाता है, और असमानताएं अधिक जटिल हो जाती हैं, फिर हम 5 2 3> 5, 1 (2), ln 0 के रूप की असमानताओं को प्राप्त करते हैं। 73 - 17 2< 0 .

संख्यात्मक असमानताओं के गुण

असमानताओं के साथ सही ढंग से काम करने के लिए, आपको संख्यात्मक असमानताओं के गुणों का उपयोग करना चाहिए। वे असमानता की अवधारणा से आते हैं। इस तरह की अवधारणा को एक बयान का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है, जिसे "से बड़ा" या "से कम" के रूप में दर्शाया जाता है।

परिभाषा 2

• संख्या a, b से बड़ी है, जब अंतर a - b एक धनात्मक संख्या है;
• संख्या a, b से कम है, जब अंतर a - b एक ऋणात्मक संख्या है;
• संख्या a, b के बराबर है, जब अंतर a - b शून्य के बराबर है।

परिभाषा का उपयोग "कम या बराबर", "अधिक या बराबर" संबंधों के साथ असमानताओं को हल करते समय किया जाता है। हमें वह मिलता है

परिभाषा 3

• a, b से बड़ा या उसके बराबर है, जब a - b एक गैर-ऋणात्मक संख्या है;
• a, b से कम या बराबर है, जब a - b एक गैर-धनात्मक संख्या है।

संख्यात्मक असमानताओं के गुणों को सिद्ध करने के लिए परिभाषाओं का उपयोग किया जाएगा।

मूल गुण

3 मुख्य असमानताओं पर विचार करें। संकेतों का प्रयोग< и >गुणों के साथ विशेषता:

परिभाषा 4

• विरोधी परावर्तन, जो कहता है कि कोई भी संख्या a असमानताओं से a< a и a >ए को अमान्य माना जाता है। यह ज्ञात है कि किसी भी a के लिए समानता a - a = 0 होती है, इसलिए हमें वह a = a मिलता है। तो एक< a и a >ए गलत है। उदाहरण के लिए, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 गलत हैं।
• विषमता. जब संख्याएँ a और b ऐसी हों कि a< b , то b >a , और यदि a > b , तो b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >ए। दूसरा भाग भी इसी प्रकार सिद्ध होता है।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, दी गई असमानता 5< 11 имеем, что 11 >5 है, तो इसकी संख्यात्मक असमानता − 0 , 27 > − 1, 3 को − 1, 3 के रूप में फिर से लिखा जाएगा< − 0 , 27 .

अगली संपत्ति पर जाने से पहले, हम ध्यान दें कि विषमता की मदद से, कोई भी असमानता को दाएं से बाएं और इसके विपरीत पढ़ सकता है। इस प्रकार, संख्यात्मक असमानता को बदला और बदला जा सकता है।

परिभाषा 5

• संक्रामिता. जब संख्याएँ a , b , c शर्त को पूरा करती हैं a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b और b > c , फिर a > c ।

सबूत 1

पहला दावा सिद्ध किया जा सकता है। शर्त ए< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

सकर्मक गुण वाला दूसरा भाग इसी प्रकार सिद्ध होता है।

उदाहरण 2

विश्लेषण की गई संपत्ति को असमानताओं के उदाहरण पर माना जाता है - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 और 1 8 > 1 32 यह इस प्रकार है कि 1 2 > 1 32 .

संख्यात्मक असमानताएं, जो गैर-सख्त असमानता संकेतों का उपयोग करके लिखी जाती हैं, उनमें रिफ्लेक्सिविटी का गुण होता है, क्योंकि a a और a a में समानता का मामला a = a हो सकता है। वे विषमता और संक्रमणीयता की विशेषता है।

परिभाषा 6

जिन असमानताओं में संकेतन में और हैं, उनमें निम्नलिखित गुण हैं:

• रिफ्लेक्सिविटी ए ए और ए ≤ ए को सच्ची असमानता माना जाता है;
• एंटीसिमेट्री जब a b , तो b ≥ a , और यदि a ≥ b , तो b ≤ a ।
• सकर्मकता जब a b और b ≤ c , तब a c , और साथ ही, यदि a b और b ≥ c , तो a c ।

प्रमाण उसी तरह से किया जाता है।

संख्यात्मक असमानताओं के अन्य महत्वपूर्ण गुण

असमानताओं के मुख्य गुणों के पूरक के लिए, ऐसे परिणामों का उपयोग किया जाता है जिनमें व्यावहारिक मूल्य. भावों के मूल्यों के मूल्यांकन की पद्धति का सिद्धांत लागू होता है, जिस पर असमानताओं को हल करने के सिद्धांत आधारित होते हैं।

यह खंड सख्त असमानता के एक संकेत के लिए असमानताओं के गुणों को प्रकट करता है। वही गैर सख्त लोगों के लिए किया जाता है। असमानता का सूत्रण करते हुए एक उदाहरण पर विचार करें यदि a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• यदि a > b , तो a + c > b + c ;
• यदि a b , तो a + c ≤ b + c ;
• यदि a b , तो a + c b + c ।

एक सुविधाजनक प्रस्तुति के लिए, हम संबंधित कथन देते हैं, जिसे नीचे लिखा जाता है और प्रमाण दिए जाते हैं, उपयोग के उदाहरण दिखाए जाते हैं।

परिभाषा 7

दोनों पक्षों में संख्या जोड़ना या गणना करना। दूसरे शब्दों में, जब a और b असमानता के अनुरूप होते हैं a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

सबूत 2

इसे सिद्ध करने के लिए यह आवश्यक है कि समीकरण a . की शर्त को संतुष्ट करता हो< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, यदि असमानता के दोनों भागों 7 > 3 में 15 की वृद्धि की जाती है, तो हमें वह 7 + 15 > 3 + 15 प्राप्त होता है। यह 22 > 18 के बराबर है।

परिभाषा 8

जब असमानता के दोनों भागों को एक ही संख्या c से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हमें सही असमानता प्राप्त होती है। यदि हम संख्या c ऋणात्मक लेते हैं, तो चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा। अन्यथा, यह इस तरह दिखता है: a और b के लिए, असमानता तब होती है जब a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >ई.पू.

सबूत 3

जब कोई मामला c > 0 होता है, तो असमानता के बाएँ और दाएँ भागों के बीच अंतर करना आवश्यक होता है। तब हम पाते हैं कि a · c - b · c = (a - b) · c । शर्त a . से< b , то a − b < 0 , а c >0 है, तो गुणनफल (a - b) · c ऋणात्मक होगा। इसका तात्पर्य है कि a c - b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

उपपत्ति में, एक पूर्णांक से भाग को दिए गए एक के व्युत्क्रम से गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, अर्थात 1 c । कुछ संख्याओं पर एक संपत्ति के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 4

असमानता के दोनों भागों की अनुमति है 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

अब हम निम्नलिखित दो परिणाम बनाते हैं जिनका उपयोग असमानताओं को हल करने में किया जाता है:

• परिणाम 1. संख्यात्मक असमानता के कुछ हिस्सों के संकेतों को बदलते समय, असमानता का चिन्ह स्वयं विपरीत में बदल जाता है, जैसे कि a< b , как − a >-बी। यह दोनों भागों को -1 से गुणा करने के नियम के अनुरूप है। यह संक्रमण के लिए लागू है। उदाहरण के लिए - 6< − 2 , то 6 > 2 .
• परिणाम 2. जब एक संख्यात्मक असमानता के हिस्सों को पारस्परिक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो इसका संकेत भी बदल जाता है, और असमानता सही रहती है। इसलिए हमारे पास है कि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, a< b , 1 a >1बी.

असमानता के दोनों भागों को विभाजित करते समय a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 हमारे पास वह 1 5 . है< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 बी गलत हो सकता है।

उदाहरण 5

उदाहरण के लिए, - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 अमान्य समानता हैं।

सभी बिंदु इस तथ्य से एकजुट हैं कि असमानता के कुछ हिस्सों पर कार्रवाई आउटपुट पर सही असमानता देती है। उन गुणों पर विचार करें जहां शुरू में कई संख्यात्मक असमानताएं हैं, और इसका परिणाम इसके भागों को जोड़कर या गुणा करके प्राप्त किया जाएगा।

परिभाषा 9

जब संख्या a , b , c , d असमानताओं के लिए मान्य हैं a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

सबूत 4

हम सिद्ध करते हैं कि (a + c) - (b + d) एक ऋणात्मक संख्या है, तो हम पाते हैं कि a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

संपत्ति का उपयोग तीन, चार या अधिक संख्यात्मक असमानताओं के टर्म-बाय-टर्म जोड़ के लिए किया जाता है। संख्याएँ a 1, a 2 , … , a n और b 1 , b 2 , … , b n असमानताओं के अधीन हैं a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

उदाहरण 6

उदाहरण के लिए, एक ही चिन्ह की तीन संख्यात्मक असमानताएँ दी गई हैं - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

परिभाषा 10

दोनों भागों को बार-बार गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है। एक के लिए< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

सबूत 5

इसे सिद्ध करने के लिए हमें असमानता के दोनों पक्षों की आवश्यकता है< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

यह गुण उन संख्याओं की संख्या के लिए मान्य माना जाता है जिनसे असमानता के दोनों पक्षों को गुणा किया जाना चाहिए। फिर ए 1 , ए 2 ,… , ए एनऔर बी 1, बी 2, ..., बी एनहैं सकारात्मक संख्यामील, जहां 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то ए 1 ए 2 ... ए एन< b 1 · b 2 · … · b n .

ध्यान दें कि असमानताओं को लिखते समय गैर-धनात्मक संख्याएँ होती हैं, तो उनका पद-दर-अवधि गुणन गलत असमानताओं की ओर ले जाता है।

उदाहरण 7

उदाहरण के लिए, असमानता 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

परिणाम: असमानताओं का टर्मवाइज गुणन a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

संख्यात्मक असमानताओं के गुण

संख्यात्मक असमानताओं के निम्नलिखित गुणों पर विचार करें।

1. ए< a , a >ए - झूठी असमानताएं,
   a ≤ a , a ≥ a सही असमानताएं हैं।
2. यदि एक< b , то b >ए - एंटीसिमेट्री।
3. यदि एक< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. यदि एक< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. यदि एक< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   यदि एक< b и c - отрицательное число, то a · c >ई.पू.

परिणाम 1: यदि एक< b , то - a >-बी।

परिणाम 2: यदि a और b धनात्मक संख्याएँ हैं और a< b , то 1 a >1बी.

1. अगर 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. यदि एक 1 , एक 2 , . . . , एक n , ख 1 , ख 2 , . . . , b n धनात्मक संख्याएँ हैं और a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

परिणाम 1: अगर ए< b , a और बी धनात्मक संख्याएँ हैं, तो a n< b n .

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प्राचीन काल से ही व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में मूल्यों और मात्राओं की तुलना करना आवश्यक रहा है। उसी समय, अधिक और कम, उच्च और निम्न, हल्का और भारी, शांत और जोर से, सस्ता और अधिक महंगा आदि जैसे शब्द दिखाई दिए, जो सजातीय मात्राओं की तुलना के परिणामों को दर्शाते हैं।

वस्तुओं की गिनती, माप और मात्राओं की तुलना के संबंध में अधिक और कम की अवधारणा उत्पन्न हुई। उदाहरण के लिए, प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञ जानते थे कि किसी भी त्रिभुज की भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है और त्रिभुज की बड़ी भुजा बड़े कोण के विपरीत होती है। आर्किमिडीज ने एक वृत्त की परिधि की गणना करते हुए पाया कि किसी भी वृत्त की परिधि व्यास के तीन गुना के बराबर होती है, जो कि व्यास के सातवें से कम है, लेकिन व्यास के दस सत्तर से अधिक है।

> और b चिन्हों का प्रयोग करके संख्याओं और मात्राओं के बीच सांकेतिक रूप से संबंध लिखिए। प्रविष्टियाँ जिनमें दो संख्याएँ किसी एक चिन्ह से जुड़ी हुई हैं: > (इससे अधिक), आप प्राथमिक ग्रेड में संख्यात्मक असमानताओं से भी मिले। आप जानते हैं कि असमानताएँ सच हो भी सकती हैं और नहीं भी। उदाहरण के लिए, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) एक वैध संख्यात्मक असमानता है, 0.23 > 0.235 एक अमान्य संख्यात्मक असमानता है।

जिन असमानताओं में अज्ञात शामिल हैं, वे अज्ञात के कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकती हैं और दूसरों के लिए गलत हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, असमानता 2x+1>5 x = 3 के लिए सही है, लेकिन x = -3 के लिए गलत है। एक अज्ञात के साथ असमानता के लिए, आप कार्य निर्धारित कर सकते हैं: असमानता को हल करें। व्यवहार में असमानताओं को हल करने की समस्याओं को हल किया जाता है और समीकरणों को हल करने की समस्याओं से कम बार हल नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के अध्ययन और समाधान के लिए कई आर्थिक समस्याएं कम हो जाती हैं। गणित की कई शाखाओं में, समीकरणों की तुलना में असमानताएँ अधिक सामान्य हैं।

कुछ असमानताएँ किसी निश्चित वस्तु के अस्तित्व को सिद्ध या अस्वीकृत करने के लिए एकमात्र सहायक साधन के रूप में काम करती हैं, उदाहरण के लिए, एक समीकरण की जड़।

संख्यात्मक असमानताएं

आप पूर्णांक और दशमलव की तुलना कर सकते हैं। साधारण भिन्नों की समान हर लेकिन भिन्न-भिन्न अंशों से तुलना करने के नियमों को जानें; एक ही अंश के साथ लेकिन अलग-अलग भाजक। यहां आप सीखेंगे कि किन्हीं दो संख्याओं के अंतर का चिह्न ज्ञात करके उनकी तुलना कैसे की जाती है।

व्यवहार में संख्याओं की तुलना का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अर्थशास्त्री वास्तविक संकेतकों के साथ नियोजित संकेतकों की तुलना करता है, एक डॉक्टर एक मरीज के तापमान की तुलना सामान्य से करता है, एक टर्नर एक मशीनी हिस्से के आयामों की तुलना एक मानक से करता है। ऐसे सभी मामलों में कुछ संख्याओं की तुलना की जाती है। संख्याओं की तुलना के परिणामस्वरूप संख्यात्मक असमानताएँ उत्पन्न होती हैं।

परिभाषा।नंबर ए अधिक संख्या b यदि अंतर a-b धनात्मक है। नंबर ए संख्या से कम b यदि अंतर a-b ऋणात्मक है।

यदि a, b से बड़ा है, तो वे लिखते हैं: a > b; यदि a, b से कम है, तो वे लिखते हैं: a इस प्रकार, असमानता a> b का अर्थ है कि अंतर a - b धनात्मक है, अर्थात। a - b > 0. असमानता a निम्नलिखित तीन संबंधों में से किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए a > b, a = b, a प्रमेय।यदि a > b और b > c, तो a > c.

प्रमेय।यदि असमानता के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ दी जाए, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है।
परिणाम।इस पद के चिन्ह को विपरीत में बदलकर किसी भी पद को असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है।

प्रमेय।यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है। यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा।
परिणाम।यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही धनात्मक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है। यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा।

क्या तुम जानते हो संख्यात्मक समानताएंआप टर्म को टर्म से जोड़ और गुणा कर सकते हैं। इसके बाद, आप सीखेंगे कि असमानताओं के साथ समान कार्य कैसे करें। शब्द के आधार पर असमानताओं को जोड़ने और गुणा करने की क्षमता अक्सर व्यवहार में उपयोग की जाती है। ये क्रियाएं आपको अभिव्यक्ति मूल्यों के मूल्यांकन और तुलना की समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं।

निर्णय लेते समय विभिन्न कार्यअक्सर किसी को असमानताओं के बाएँ और दाएँ भागों को जोड़कर या गुणा करना पड़ता है। कभी-कभी यह कहा जाता है कि असमानताओं को जोड़ा या गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई पर्यटक पहले दिन 20 किमी से अधिक और दूसरे दिन 25 किमी से अधिक चला, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि दो दिनों में वह 45 किमी से अधिक चला। इसी तरह, यदि किसी आयत की लंबाई 13 सेमी से कम और चौड़ाई 5 सेमी से कम है, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि इस आयत का क्षेत्रफल 65 सेमी से कम है।

इन उदाहरणों पर विचार करते हुए निम्नलिखित असमानताओं के जोड़ और गुणा पर प्रमेय:

प्रमेय।एक ही चिन्ह की असमानताओं को जोड़ने पर, हमें एक ही चिन्ह की असमानता प्राप्त होती है: यदि a > b और c > d, तो a + c > b + d।

प्रमेय।एक ही चिन्ह की असमानताओं को गुणा करने पर, जिसके लिए बाएँ और दाएँ पक्ष धनात्मक होते हैं, एक ही चिन्ह की असमानता प्राप्त होती है: यदि a > b, c > d और a, b, c, d धनात्मक संख्याएँ हैं, तो ac > बी.डी.

चिन्ह के साथ असमानताएँ > (से अधिक) और 1/2, 3/4 b, c सख्त असमानताओं के साथ > और इसी तरह, असमानता \(a \geq b \) का अर्थ है कि संख्या a से बड़ी है या बी के बराबर, यानी और बी से कम नहीं।

चिह्न \(\geq \) या चिह्न \(\leq \) वाली असमानताओं को गैर-सख्त कहा जाता है। उदाहरण के लिए, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) सख्त असमानताएं नहीं हैं।

सख्त असमानताओं के सभी गुण गैर-सख्त असमानताओं के लिए भी मान्य हैं। इसके अलावा, यदि सख्त असमानताओं के लिए संकेतों को विपरीत माना जाता है और आप जानते हैं कि श्रृंखला को हल करने के लिए लागू कार्यआपको एक समीकरण या समीकरणों के निकाय के रूप में एक गणितीय मॉडल बनाना है। आगे, आपको पता चलेगा कि गणितीय मॉडलकई समस्याओं को हल करने के लिए अज्ञात के साथ असमानताएं हैं। हम असमानता को हल करने की अवधारणा का परिचय देंगे और दिखाएंगे कि कैसे जांचा जाए दी गई संख्याएक विशेष असमानता का समाधान।

फॉर्म की असमानताएं
\(ax > b, \quad ax जहां a और b को संख्याएं दी गई हैं और x अज्ञात है, कहा जाता है रैखिक असमानताएंएक अनजान के साथ.

परिभाषा।एक अज्ञात के साथ असमानता का समाधान अज्ञात का मान है जिसके लिए यह असमानता एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल जाती है। असमानता को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान खोजना या यह स्थापित करना कि कोई भी नहीं है।

आपने समीकरणों को सरलतम समीकरणों में घटाकर हल किया। इसी तरह, असमानताओं को हल करते समय, व्यक्ति गुणों की सहायता से उन्हें सरलतम असमानताओं के रूप में कम कर देता है।

एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताओं का समाधान

फॉर्म की असमानताएं
\(ax^2+bx+c >0 \) और \(ax^2+bx+c जहां x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएं हैं और \(a \neq 0 \) कहलाते हैं एक चर के साथ दूसरी डिग्री की असमानताएं.

असमानता का समाधान
\(ax^2+bx+c >0 \) या \(ax^2+bx+c \) को अंतराल खोजने के रूप में माना जा सकता है जहां फ़ंक्शन \(y= ax^2+bx+c \) सकारात्मक लेता है या नकारात्मक मान ऐसा करने के लिए, यह विश्लेषण करने के लिए पर्याप्त है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) समन्वय विमान में कैसे स्थित है: जहां परवलय की शाखाएं निर्देशित होती हैं - ऊपर या नीचे , क्या परवलय x अक्ष को काटता है और यदि करता है, तो किन बिंदुओं पर।

एक चर के साथ दूसरी डिग्री असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1) विभेदक का पता लगाएं वर्ग त्रिपद\(ax^2+bx+c \) और पता करें कि क्या त्रिपद के मूल हैं;
2) यदि ट्रिनोमियल की जड़ें हैं, तो उन्हें एक्स अक्ष पर चिह्नित करें और योजनाबद्ध रूप से चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से एक परवलय बनाएं, जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर> 0 या नीचे की ओर 0 या नीचे की ओर 3 पर निर्देशित होती हैं) खोजें x अक्ष पर अंतराल जिसके लिए बिंदु परवलय x-अक्ष के ऊपर स्थित हैं (यदि वे असमानता को हल करते हैं \(ax^2+bx+c >0 \)) या x-अक्ष के नीचे (यदि वे असमानता को हल करते हैं)
\(ax^2+bx+c अंतराल की विधि द्वारा असमानताओं का समाधान

समारोह पर विचार करें
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

इस फ़ंक्शन का डोमेन सभी संख्याओं का समूह है। फ़ंक्शन के शून्य संख्या -2, 3, 5 हैं। वे फ़ंक्शन के डोमेन को अंतराल \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) में विभाजित करते हैं। ) \) और \( (5; +\infty)\)

आइए जानें कि प्रत्येक संकेतित अंतराल में इस फ़ंक्शन के संकेत क्या हैं।

व्यंजक (x + 2)(x - 3)(x - 5) तीन कारकों का गुणनफल है। इन कारकों में से प्रत्येक का संकेत माना अंतराल में तालिका में दर्शाया गया है:

सामान्य तौर पर, फ़ंक्शन को सूत्र द्वारा दिया जाता है
एफ (एक्स) = (एक्स-एक्स 1) (एक्स-एक्स 2) ... (एक्स-एक्स एन),
जहाँ x एक चर है, और x 1 , x 2 , ..., x n समान संख्याएँ नहीं हैं। संख्याएँ x 1, x 2 , ..., x n फलन के शून्यक हैं। प्रत्येक अंतराल में जिसमें परिभाषा के क्षेत्र को फ़ंक्शन के शून्य से विभाजित किया जाता है, फ़ंक्शन का संकेत संरक्षित होता है, और जब शून्य से गुजरता है, तो इसका संकेत बदल जाता है।

इस गुण का उपयोग प्रपत्र की असमानताओं को हल करने के लिए किया जाता है
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) जहां x 1 , x 2 , ..., x n समान संख्याएं नहीं हैं

माना विधि असमानताओं को हल करना अंतरालों की विधि कहलाती है।

आइए हम अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करने के उदाहरण दें।

असमानता को हल करें:

पर लागू संख्यात्मक अक्षफ़ंक्शन के शून्य और प्रत्येक अंतराल पर चिह्न की गणना करें:

हम उन अंतरालों का चयन करते हैं जिन पर फलन शून्य से कम या उसके बराबर होता है और उत्तर लिख देते हैं।

जवाब:
\(x \in \ left (-\infty; \; 1 \right) \ cup \ left [4; \; +\infty \ right) \)