पंक्तियों का निर्माण मात्रा से, कहा जाता है परिवर्तन संबंधी.

वितरण श्रृंखला से मिलकर बनता है विकल्प(विशेषता मूल्य) और आवृत्तियों(समूहों की संख्या)। आवृत्तियों के रूप में व्यक्त सापेक्ष मूल्य(शेयर, प्रतिशत) कहलाते हैं आवृत्तियों. सभी आवृत्तियों के योग को वितरण श्रृंखला का आयतन कहा जाता है।

प्रकार से, वितरण श्रृंखला को विभाजित किया जाता है अलग(सुविधा के असंतत मूल्यों पर निर्मित) और मध्यान्तर(पर बनाया गया निरंतर मूल्यसंकेत)।

विविधता श्रृंखलादो स्तंभों (या पंक्तियों) का प्रतिनिधित्व करता है; जिनमें से एक चर विशेषता के अलग-अलग मान प्रदान करता है, जिसे वेरिएंट कहा जाता है और एक्स द्वारा दर्शाया जाता है; और दूसरे में - निरपेक्ष संख्या, दिखा रहा है कि प्रत्येक विकल्प कितनी बार (कितनी बार) आता है। दूसरे कॉलम के संकेतकों को बारंबारता कहा जाता है और पारंपरिक रूप से f द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर से ध्यान दें कि दूसरा कॉलम भी उपयोग कर सकता है सापेक्ष प्रदर्शनमें अलग-अलग वेरिएंट की आवृत्ति के अनुपात की विशेषता कुल राशिआवृत्तियों। इन सापेक्ष संकेतकों को आवृत्तियों कहा जाता है और पारंपरिक रूप से द्वारा निरूपित किया जाता है इस मामले में सभी आवृत्तियों का योग एक के बराबर होता है। हालाँकि, आवृत्तियों को प्रतिशत के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, और फिर सभी आवृत्तियों का योग 100% देता है।

यदि परिवर्ती श्रेणी के भिन्नरूपों को असतत मानों के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला कहलाती है असतत।

निरंतर सुविधाओं के लिए, भिन्नता श्रृंखला का निर्माण इस प्रकार किया जाता है मध्यान्तर, अर्थात्, उनमें विशेषता के मान "से ... से ..." व्यक्त किए जाते हैं। इस मामले में, ऐसे अंतराल में विशेषता के न्यूनतम मूल्यों को अंतराल की निचली सीमा कहा जाता है, और अधिकतम - ऊपरी सीमा।

अंतराल विविधता श्रृंखला भी अलग-अलग विशेषताओं के लिए बनाई गई है जो विस्तृत श्रृंखला में भिन्न होती हैं। अंतराल श्रृंखला हो सकती है बराबरऔर असमानअंतराल।

विचार करें कि समान अंतरालों का मान कैसे निर्धारित किया जाता है। आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

मैं- अंतराल मूल्य;

- अधिकतम मूल्यजनसंख्या की इकाइयों में एक संकेत;

- जनसंख्या की इकाइयों के लिए विशेषता का न्यूनतम मूल्य;

एन-आवंटित समूहों की संख्या।

यदि n ज्ञात है।

यदि आवंटित समूहों की संख्या पहले से निर्धारित करना मुश्किल है, तो स्टर्गेस द्वारा 1926 में प्रस्तावित सूत्र को पर्याप्त जनसंख्या आकार के साथ अंतराल के इष्टतम आकार की गणना करने के लिए अनुशंसित किया जा सकता है:

एन = 1+ 3.322 लॉग एन, जहां एन जनसंख्या में लोगों की संख्या है।

अध्ययन की वस्तु की विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए, प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में असमान अंतराल का मूल्य निर्धारित किया जाता है।

नमूने का सांख्यिकीय वितरणविकल्पों की सूची और उनकी संगत आवृत्तियों (या सापेक्ष आवृत्तियों) को कॉल करें।

नमूने के सांख्यिकीय वितरण को एक तालिका के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिसके पहले कॉलम में विकल्प हैं, और दूसरे में - इन विकल्पों के अनुरूप आवृत्तियों। नी, या सापेक्ष आवृत्तियों अनुकरणीय .

नमूने का सांख्यिकीय वितरण

अंतराल श्रृंखला को भिन्नता श्रृंखला कहा जाता है जिसमें उनके गठन में अंतर्निहित सुविधाओं के मूल्यों को कुछ सीमाओं (अंतराल) के भीतर व्यक्त किया जाता है। इस मामले में फ़्रीक्वेंसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को नहीं, बल्कि पूरे अंतराल को संदर्भित करती है।

अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण निरंतर मात्रात्मक विशेषताओं के साथ-साथ असतत विशेषताओं के अनुसार, एक महत्वपूर्ण सीमा के भीतर भिन्न होता है।

अंतराल श्रृंखला को नमूने के सांख्यिकीय वितरण द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो अंतराल और उनकी संगत आवृत्तियों को दर्शाता है। इस मामले में, इस अंतराल में आने वाले संस्करण की आवृत्तियों का योग अंतराल की आवृत्ति के रूप में लिया जाता है।

मात्रात्मक निरंतर विशेषताओं द्वारा समूहीकृत करते समय, अंतराल के आकार को निर्धारित करना महत्वपूर्ण है।

नमूना माध्य और नमूना विचरण के अलावा, भिन्नता श्रृंखला की अन्य विशेषताओं का भी उपयोग किया जाता है।

पहनावाउस प्रकार का नाम बताइए जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक है।

मापदण्ड नाम	अर्थ
लेख विषय:	विविधता श्रृंखला
रूब्रिक (विषयगत श्रेणी)	उत्पादन

देखे गए मान अनियमित चर एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स केबुलाया विकल्प.

आवृत्तिविकल्प एक्समुझे एक नंबर कहा जाता है मैं (मैं=1,…,क) दिखा रहा है कि नमूने में यह विविधता कितनी बार होती है।

आवृत्ति(सापेक्ष आवृत्ति, शेयर) विकल्प एक्स मैं (मैं=1,…,क) को आमतौर पर इसकी आवृत्ति का अनुपात कहा जाता है मैंनमूना आकार के लिए एन.

आवृत्तियों और आवृत्तियों को कहा जाता है तराजू.

संचित आवृत्तियह विकल्पों की संख्या को कॉल करने के लिए प्रथागत है, जिनमें से मान दिए गए से कम हैं एक्स:

संचित आवृत्तियह संचित आवृत्ति के अनुपात को नमूना आकार में कॉल करने के लिए प्रथागत है:

विविधता श्रृंखला(सांख्यिकीय श्रृंखला) - यह आरोही क्रम में लिखे गए विकल्पों के अनुक्रम और उनके संबंधित भार को कॉल करने के लिए प्रथागत है।

विविधता श्रृंखला होनी चाहिए अलग(एक असतत यादृच्छिक चर के मूल्यों का नमूना) और निरंतर (अंतराल)(एक सतत यादृच्छिक चर के मूल्यों का चयन)।

असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का रूप है:

			…
			…

जब विकल्पों की संख्या बड़ी होती है या विशेषता निरंतर होती है (एक यादृच्छिक चर एक निश्चित अंतराल में कोई भी मान ले सकता है), वे हैं मध्यान्तरविविधता श्रृंखला।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाने के लिए, निष्पादित करें समूहीकरणविकल्प - वे अलग-अलग अंतराल में विभाजित हैं:

कभी-कभी अंतरालों की संख्या का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है स्टर्ज सूत्र:

फिर प्रत्येक अंतराल में आने वाले वेरिएंट की संख्या की गणना की जाती है - आवृत्तियों मैं(या आवृत्ति मैं/एन) यदि वेरिएंट अंतराल की सीमा पर है, तो यह सही अंतराल से जुड़ा हुआ है।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला का रूप है:

विकल्प			…
आवृत्तियों			…

अनुभवजन्य (सांख्यिकीय) वितरण समारोहयह एक फ़ंक्शन को कॉल करने के लिए प्रथागत है जिसका मूल्य बिंदु पर है एक्सबराबरी सापेक्ष आवृत्तितथ्य यह है कि संस्करण से कम मूल्य लेगा एक्स(के लिए संचयी आवृत्ति एक्स):

आवृत्ति बहुभुजएक पॉलीलाइन कहा जाता है जिसके खंड निर्देशांक के साथ बिंदुओं को जोड़ते हैं ( एक्स 1 ; एन 1), (एक्स 2 ; एन 2), …, (एक्स के; एनके) आवृत्ति बहुभुज, जो वितरण के बहुभुज का एक सांख्यिकीय एनालॉग है।

यह कहने योग्य है कि एक निरंतर परिवर्तनशील श्रृंखला के लिए, एक बहुभुज बनाया जा सकता है यदि मान एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स केअंतराल के मध्य बिंदु ले लो।

एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला को आमतौर पर का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है आयतचित्र.

दंड आरेख- एक चरणबद्ध आकृति जिसमें आयताकार होते हैं जिनके आधार आंशिक लंबाई अंतराल होते हैं एच= एक्स मैं +1 – एक्स मैं, मैं= 0,…,क-1, और ऊंचाई अंतराल के आवृत्तियों (या आवृत्तियों) के बराबर हैं मैं (मैं).

संचयी(संचयी वक्र) - संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) का वक्र। के लिए असतत श्रृंखलासंचयी बिंदुओं को जोड़ने वाली एक टूटी हुई रेखा है या , . के लिए अंतराल श्रृंखलासंचयी एक बिंदु से शुरू होता है, जिसका भुज पहले अंतराल की शुरुआत के बराबर है, और कोटि संचित आवृत्ति (आवृत्ति) है, शून्य. इस टूटी हुई रेखा के अन्य बिंदु अंतराल के सिरों के अनुरूप हैं।

विविधता श्रृंखला - अवधारणा और प्रकार। "विविधता श्रृंखला" 2017, 2018 श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं।

- वितरण की विविधता श्रृंखला

खुदरा कारोबार का वितरण रूसी संघ 1995 में स्वामित्व के प्रकार से, मिलियन रूबल वितरण श्रृंखला के प्रकार व्याख्यान VIII। वितरण श्रृंखला प्राथमिक सांख्यिकीय डेटा के प्रसंस्करण और व्यवस्थितकरण के परिणामस्वरूप, वे प्राप्त करते हैं ....

- विविधता श्रृंखला

सांख्यिकीय डेटा का सबसे सरल परिवर्तन परिमाण द्वारा उनका क्रम है। से नमूना मात्रा आबादी, तत्वों के गैर-घटते क्रम में आदेश दिया गया है, अर्थात। , कहा जाता है परिवर्तनशील श्रृंखला: . मामले में जब टिप्पणियों की मात्रा ....

- कार्य 2. अंतराल भिन्नता श्रृंखला

1. कार्य प्रकार के अनुरूप दिए गए नमूने के आधार पर, अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाएं; एक हिस्टोग्राम बनाएं और संचय करें (दो विधियों का उपयोग करें: एक एक्सेल चार्ट और "डेटा विश्लेषण" पैकेज का "हिस्टोग्राम" मोड सम्मिलित करना)। 2. परिणामी हिस्टोग्राम का विश्लेषण करें। ....

- सेम के बीज या उसी उम्र के किसी भी पौधे की पत्तियों की विशेषता की परिवर्तनशीलता की विविधता श्रृंखला संकलित करें। विशेषता परिवर्तनशीलता के पैटर्न प्रकट करें।

जनसंख्या - संरचनात्मक इकाईतरह। आबादी की संख्या। जनसंख्या में उतार-चढ़ाव के कारण। आबादी में और एक ही और विभिन्न प्रजातियों की विभिन्न आबादी के बीच व्यक्तियों का संबंध। 1. किसी प्रजाति की एक महत्वपूर्ण विशेषता समूहों में उसका वितरण है, आबादी में ...

(एक परिवर्तनशील श्रृंखला की परिभाषा; एक परिवर्तनशील श्रृंखला के घटक; एक परिवर्तनशील श्रृंखला के तीन रूप; एक अंतराल श्रृंखला के निर्माण की समीचीनता; निष्कर्ष जो निर्मित श्रृंखला से निकाले जा सकते हैं)

एक परिवर्तनशील श्रृंखला गैर-घटते क्रम में व्यवस्थित सभी नमूना तत्वों का एक क्रम है। समान तत्वदोहराया जाता है

भिन्नात्मक - ये मात्रात्मक आधार पर निर्मित श्रृंखलाएँ हैं।

विविधता श्रृंखलावितरण में दो तत्व होते हैं: वेरिएंट और फ़्रीक्वेंसी:

विकल्प हैं संख्यात्मक मूल्य मात्रात्मक विशेषतापरिवर्तनशील वितरण श्रृंखला में। वे सकारात्मक या नकारात्मक, पूर्ण या सापेक्ष हो सकते हैं। इसलिए, परिणामों के अनुसार उद्यमों को समूहीकृत करते समय आर्थिक गतिविधिसकारात्मक विकल्प लाभ हैं, और ऋणात्मक संख्याएक नुकसान है।

फ़्रीक्वेंसी अलग-अलग वेरिएंट या विविधता श्रृंखला के प्रत्येक समूह की संख्या है, अर्थात। ये संख्याएँ दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में कुछ निश्चित विकल्प कितनी बार आते हैं। सभी आवृत्तियों के योग को जनसंख्या का आयतन कहा जाता है और यह संपूर्ण जनसंख्या के तत्वों की संख्या से निर्धारित होता है।

फ़्रीक्वेंसी वे फ़्रीक्वेंसी हैं जिन्हें सापेक्ष मूल्यों (इकाइयों या प्रतिशत के अंश) के रूप में व्यक्त किया जाता है। आवृत्तियों का योग एक या 100% के बराबर होता है। फ़्रीक्वेंसी को फ़्रीक्वेंसी से बदलने से आप वेरिएबल सीरीज़ की तुलना कर सकते हैं अलग संख्याअवलोकन।

विविधता श्रृंखला के तीन रूप हैं:क्रमबद्ध श्रृंखला, असतत श्रृंखला और अंतराल श्रृंखला.

एक क्रमबद्ध श्रृंखला अध्ययन के तहत विशेषता के आरोही या अवरोही क्रम में जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों का वितरण है। रैंकिंग मात्रात्मक डेटा को समूहों में विभाजित करना आसान बनाती है, तुरंत सबसे छोटे का पता लगाती है और सबसे बड़ा मूल्यफ़ीचर, उन मानों को हाइलाइट करें जिन्हें सबसे अधिक बार दोहराया जाता है।

विविधता श्रृंखला के अन्य रूप अध्ययन के तहत विशेषता के मूल्यों में भिन्नता की प्रकृति के अनुसार संकलित समूह सारणी हैं। भिन्नता की प्रकृति से, असतत (असंतत) और निरंतर संकेत प्रतिष्ठित हैं।

असतत श्रृंखला- यह एक ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला है, जिसका निर्माण एक असंतत परिवर्तन (असतत संकेत) वाले संकेतों पर आधारित है। उत्तरार्द्ध में टैरिफ श्रेणी, परिवार में बच्चों की संख्या, उद्यम में कर्मचारियों की संख्या आदि शामिल हैं। ये संकेत केवल कुछ निश्चित मानों की सीमित संख्या ले सकते हैं।

एक असतत विविधता श्रृंखला एक तालिका है जिसमें दो कॉलम होते हैं। पहला कॉलम विशेषता के विशिष्ट मूल्य को इंगित करता है, और दूसरा - के साथ जनसंख्या इकाइयों की संख्या निश्चित मूल्यसंकेत।

यदि किसी चिन्ह में निरंतर परिवर्तन होता है (आय की राशि, कार्य अनुभव, किसी उद्यम की अचल संपत्तियों की लागत, आदि, जो कुछ सीमाओं के भीतर कोई भी मूल्य ले सकता है), तो इस संकेत के लिए एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाई जानी चाहिए।

यहां समूह तालिका में भी दो स्तंभ हैं। पहला अंतराल "से - से" (विकल्प) में सुविधा के मूल्य को इंगित करता है, दूसरा - अंतराल (आवृत्ति) में शामिल इकाइयों की संख्या।

आवृत्ति (पुनरावृत्ति आवृत्ति) - विशेषता मानों के एक विशेष प्रकार के दोहराव की संख्या, निरूपित फाई, और अध्ययन की गई आबादी के आयतन के बराबर आवृत्तियों का योग, निरूपित

जहाँ k विशेषता मान विकल्पों की संख्या है

बहुत बार, तालिका को एक स्तंभ के साथ पूरक किया जाता है जिसमें संचित आवृत्तियों एस की गणना की जाती है, जो दर्शाती है कि जनसंख्या की कितनी इकाइयों का एक विशेषता मान से अधिक नहीं है दिया गया मूल्य.

एक असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूह एक विशेषता के अनुसार बनाए जाते हैं जो अलग-अलग होते हैं और केवल पूर्णांक मान लेते हैं।

वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूहीकरण विशेषता, जो समूहीकरण का आधार बनती है, एक निश्चित अंतराल में भिन्नात्मक सहित कोई भी मान ले सकती है।

एक अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की भिन्नता के अंतराल का एक क्रमबद्ध सेट है जिसमें उनमें से प्रत्येक में गिरने वाली मात्रा के मूल्यों की संबंधित आवृत्तियों या आवृत्तियों के साथ होता है।

एक अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करना समीचीन है, सबसे पहले, एक विशेषता की निरंतर भिन्नता के साथ, और यह भी कि यदि एक असतत भिन्नता एक विस्तृत श्रृंखला पर प्रकट होती है, अर्थात। असतत सुविधा के लिए विकल्पों की संख्या काफी बड़ी है।

इस श्रृंखला से पहले ही कई निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक भिन्नता श्रृंखला (माध्यिका) का औसत तत्व माप के सबसे संभावित परिणाम का अनुमान हो सकता है। भिन्नता श्रृंखला का पहला और अंतिम तत्व (अर्थात नमूने का न्यूनतम और अधिकतम तत्व) नमूने के तत्वों के प्रसार को दर्शाता है। कभी-कभी, यदि पहला या अंतिम तत्व बाकी नमूने से बहुत अलग होता है, तो उन्हें माप परिणामों से बाहर रखा जाता है, यह देखते हुए कि ये मान किसी प्रकार की सकल विफलता के परिणामस्वरूप प्राप्त किए गए थे, उदाहरण के लिए, प्रौद्योगिकी।

अभ्यास 1

वितरण की विभिन्न श्रृंखला

विविधता श्रृंखलाया वितरण के निकटविशेषता के मूल्यों में वृद्धि (अधिक बार) या घटते (कम अक्सर) के अनुसार जनसंख्या की इकाइयों के क्रमबद्ध वितरण को कहा जाता है और विशेषता के एक या दूसरे मूल्य के साथ इकाइयों की संख्या की गणना की जाती है।

3 . हैं तरहवितरण रेंज:

1) रैंक की गई पंक्ति- यह अध्ययन की गई विशेषता के आरोही क्रम में जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों की एक सूची है; यदि जनसंख्या इकाइयों की संख्या काफी बड़ी है, तो क्रमबद्ध श्रृंखला बोझिल हो जाती है, और ऐसे मामलों में, अध्ययन के तहत विशेषता के मूल्यों के अनुसार जनसंख्या इकाइयों को समूहीकृत करके वितरण श्रृंखला का निर्माण किया जाता है (यदि विशेषता एक छोटी संख्या लेती है मूल्यों का, फिर एक असतत श्रृंखला का निर्माण किया जाता है, और अन्यथा, एक अंतराल श्रृंखला);

2) असतत श्रृंखला- यह दो स्तंभों (पंक्तियों) से युक्त एक तालिका है - एक भिन्न विशेषता के विशिष्ट मान एक्स मैंऔर सुविधा के दिए गए मान के साथ जनसंख्या इकाइयों की संख्या एफ मैं- आवृत्तियों; असतत श्रृंखला में समूहों की संख्या चर विशेषता के वास्तव में मौजूदा मूल्यों की संख्या से निर्धारित होती है;

3) अंतराल श्रृंखला- यह दो स्तंभों (पंक्तियों) से युक्त एक तालिका है - एक भिन्न चिह्न के अंतराल एक्स मैंऔर किसी दिए गए अंतराल (आवृत्तियों) के भीतर आने वाली जनसंख्या इकाइयों की संख्या, या जनसंख्या की कुल संख्या (आवृत्तियों) में इस संख्या का अनुपात।

किसी दी गई जनसंख्या में व्यक्तिगत विकल्प कितनी बार आते हैं, यह दर्शाने वाली संख्याएँ कहलाती हैं आवृत्तियोंया तराजूविकल्प और चिह्नित हैं निचला मामलालैटिन वर्णमाला एफ. परिवर्ती श्रेणी की बारंबारताओं का कुल योग इस समष्टि के आयतन के बराबर होता है, अर्थात्।

कहाँ पे क- समूहों की संख्या, एन – कुल गणनाअवलोकन, या जनसंख्या का आकार।

फ़्रीक्वेंसी (वज़न) को न केवल निरपेक्ष, बल्कि सापेक्ष संख्याओं में भी व्यक्त किया जाता है - एक इकाई के अंशों में या इस सेट को बनाने वाले वेरिएंट की कुल संख्या के प्रतिशत के रूप में। ऐसे मामलों में, वज़न को कहा जाता है सापेक्ष आवृत्तियोंया आवृत्तियों।विवरण का कुल योग एक के बराबर है

या
,

यदि आवृत्तियों को प्रेक्षणों की कुल संख्या के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है पी।आवृत्तियों द्वारा आवृत्तियों का प्रतिस्थापन अनिवार्य नहीं है, लेकिन कभी-कभी यह उन मामलों में उपयोगी और आवश्यक भी हो जाता है जब एक दूसरे के साथ तुलना करना आवश्यक होता है जो उनके संस्करणों में बहुत भिन्न होते हैं।

इस पर निर्भर करता है कि विशेषता कैसे भिन्न होती है - अलग-अलग या लगातार, एक विस्तृत या संकीर्ण सीमा में - सांख्यिकीय आबादी को वितरित किया जाता है अंतराल रहितया मध्यान्तरभिन्नता रेखाएँ। पहले मामले में, फ़्रीक्वेंसी सीधे सुविधा के रैंक किए गए मानों को संदर्भित करती है, जो स्थिति प्राप्त करती है व्यक्तिगत समूहया परिवर्तनशील श्रृंखला के वर्ग, दूसरे में - व्यक्तिगत अंतराल या अंतराल (से - से) से संबंधित आवृत्तियों की गणना की जाती है, जिसमें विशेषता की सामान्य भिन्नता को इस जनसंख्या के न्यूनतम से अधिकतम रूपों की सीमा के भीतर विभाजित किया जाता है। . ये रिक्त स्थान, या वर्ग रिक्त स्थान, चौड़ाई के बराबर हो भी सकते हैं और नहीं भी। यहाँ से वे भेद करते हैं समान और असमान अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला।असमान अंतराल श्रृंखला में, वर्ग अंतराल की चौड़ाई में परिवर्तन के रूप में आवृत्ति वितरण की प्रकृति बदल जाती है। जीव विज्ञान में असमान-अंतराल समूह का प्रयोग अपेक्षाकृत कम ही किया जाता है। एक नियम के रूप में, बायोमेट्रिक डेटा को समान अंतराल श्रृंखला में वितरित किया जाता है, जो न केवल भिन्नता के पैटर्न की पहचान करने की अनुमति देता है, बल्कि सारांश डेटा की गणना की सुविधा भी देता है। संख्यात्मक विशेषताएंविविधता श्रृंखला, एक दूसरे के साथ वितरण श्रृंखला की तुलना।

एक समान-अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण शुरू करते समय, वर्ग अंतराल की चौड़ाई को सही ढंग से रेखांकित करना महत्वपूर्ण है। तथ्य यह है कि एक मोटा समूह (जब बहुत व्यापक वर्ग अंतराल निर्धारित किया जाता है) भिन्नता की विशिष्ट विशेषताओं को विकृत करता है और श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की सटीकता में कमी की ओर जाता है। अत्यधिक संकीर्ण अंतराल का चयन करते समय, संख्यात्मक विशेषताओं के सामान्यीकरण की सटीकता बढ़ जाती है, लेकिन श्रृंखला बहुत विस्तारित हो जाती है और भिन्नता की स्पष्ट तस्वीर नहीं देती है।

एक अच्छी तरह से परिभाषित विविधता श्रृंखला प्राप्त करने के लिए और इससे गणना की गई संख्यात्मक विशेषताओं की पर्याप्त सटीकता सुनिश्चित करने के लिए, विशेषता की भिन्नता (न्यूनतम से अधिकतम विकल्पों की सीमा में) को ऐसे कई समूहों या वर्गों में विभाजित करना आवश्यक है जो दोनों आवश्यकताओं को पूरा करेंगे। विविधता श्रृंखला का निर्माण करते समय नियोजित समूहों या वर्गों की संख्या से विशेषता की भिन्नता की सीमा को विभाजित करके इस समस्या को हल किया जाता है:

,

कहाँ पे एच- अंतराल मूल्य; एक्सएम ए एक्स आई एक्सन्यूनतम अधिकतम है और न्यूनतम मूल्यकुल मिलाकर; कसमूहों की संख्या है।

अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करते समय, समूहों की इष्टतम संख्या (चरित्र अंतराल) चुनना और अंतराल की लंबाई (सीमा) निर्धारित करना आवश्यक है। चूंकि वितरण श्रृंखला का विश्लेषण आवृत्तियों की तुलना करता है विभिन्न अंतराल, यह आवश्यक है कि अंतरालों की लंबाई स्थिर हो। यदि आपको असमान अंतराल के साथ वितरण की एक अंतराल श्रृंखला से निपटना है, तो तुलनीयता के लिए आपको अंतराल की इकाई के लिए आवृत्ति या आवृत्ति लाने की आवश्यकता है, परिणामी मूल्य कहा जाता है घनत्व ρ , अर्थात
.

समूहों की इष्टतम संख्या को चुना जाता है ताकि समुच्चय में विशेषता के मूल्यों की विविधता पर्याप्त सीमा तक परिलक्षित हो और साथ ही, वितरण की नियमितता, इसका आकार यादृच्छिक आवृत्ति उतार-चढ़ाव से विकृत न हो। यदि बहुत कम समूह हैं, तो भिन्नता का कोई पैटर्न नहीं होगा; यदि बहुत अधिक समूह हैं, तो यादृच्छिक आवृत्ति छलांग वितरण के आकार को विकृत कर देगी।

अक्सर, वितरण श्रृंखला में समूहों की संख्या स्टर्गेस सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

कहाँ पे एन- जनसंख्या का आकार।

एक चित्रमय प्रतिनिधित्व एक वितरण श्रृंखला और उसके गुणों के विश्लेषण में आवश्यक सहायता प्रदान करता है। अंतराल श्रृंखला को एक बार चार्ट द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें एब्सिस्सा अक्ष के साथ स्थित सलाखों के आधार अलग-अलग विशेषता के मूल्यों के अंतराल होते हैं, और सलाखों की ऊंचाई पैमाने के अनुरूप आवृत्तियां होती हैं निर्देशांक अक्ष। इस प्रकार के आरेख को कहा जाता है हिस्टोग्राम

यदि कोई असतत वितरण श्रृंखला है या मध्य अंतराल का उपयोग किया जाता है, तो ऐसी श्रृंखला के ग्राफिक प्रतिनिधित्व को कहा जाता है बहुभुज, जो निर्देशांक के साथ सीधे बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है एक्स मैंऔर एफ मैं .

यदि वर्ग मानों को भुज अक्ष के अनुदिश आलेखित किया जाता है, और संचित आवृत्तियों को कोटि अक्ष के अनुदिश आलेखित किया जाता है, इसके बाद बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़कर, एक ग्राफ प्राप्त किया जाता है जिसे कहा जाता है संचयी।संचित आवृत्तियों को क्रमिक योग द्वारा पाया जाता है, या संचयीप्रथम श्रेणी से भिन्नता श्रृंखला के अंत तक की दिशा में आवृत्तियाँ।

उदाहरण. पोल्ट्री फार्म पर 1 वर्ष के लिए 50 अंडे देने वाली मुर्गियों के अंडे के उत्पादन के आंकड़े हैं (तालिका 1.1)।

टी ए बी एल ई 1.1

अंडा देने वाली मुर्गी

मुर्गियाँ बिछाने की संख्या	अंडा उत्पादन, पीसी।	मुर्गियाँ बिछाने की संख्या	अंडा उत्पादन, पीसी।	मुर्गियाँ बिछाने की संख्या	अंडा उत्पादन, पीसी।	मुर्गियाँ बिछाने की संख्या	अंडा उत्पादन, पीसी।	मुर्गियाँ बिछाने की संख्या	अंडा उत्पादन, पीसी।

एक अंतराल वितरण श्रृंखला बनाना और इसे हिस्टोग्राम, बहुभुज और संचयी के रूप में ग्राफिक रूप से प्रदर्शित करना आवश्यक है।

यह देखा जा सकता है कि यह विशेषता 1 वर्ष में एक बिछाने वाली मुर्गी से प्राप्त 212 से 245 अंडे से भिन्न होती है।

हमारे उदाहरण में, स्टर्गेस सूत्र का उपयोग करके, हम समूहों की संख्या निर्धारित करते हैं:

क = 1 + 3,322एलजी 50 = 6,643 ≈ 7.

सूत्र का उपयोग करके अंतराल की लंबाई (सीमा) की गणना करें:

.

आइए 7 समूहों और 5 टुकड़ों के अंतराल के साथ एक अंतराल श्रृंखला बनाएं। अंडे (तालिका 1.2)। तालिका में रेखांकन बनाने के लिए, हम अंतराल के मध्य और संचित आवृत्ति की गणना करते हैं।

टी ए बी एल ई 1.2

अंडा उत्पादन के वितरण की अंतराल श्रृंखला

	अंडा उत्पादन के आकार के अनुसार मुर्गियाँ बिछाने का समूह एक्स मैं	मुर्गियाँ बिछाने की संख्या एफ मैं	अंतराल मध्यबिंदु एक्समैं'	संचित आवृत्ति एफ मैं ’

आइए अंडे के उत्पादन के वितरण का एक हिस्टोग्राम बनाएं (चित्र 1.1)।

चावल। 1.1. अंडा उत्पादन वितरण का हिस्टोग्राम

ये हिस्टोग्राम कई लक्षणों के वितरण विशेषता का रूप दिखाते हैं: विशेषता के औसत अंतराल के मूल्य अधिक सामान्य होते हैं, और विशेषता के चरम (छोटे और बड़े) मूल्य कम आम होते हैं। इस वितरण का रूप सामान्य वितरण कानून के करीब है, जो तब बनता है जब एक चर चर बड़ी संख्या में कारकों से प्रभावित होता है, जिनमें से किसी का भी प्रमुख मूल्य नहीं होता है।

अंडा उत्पादन के वितरण के बहुभुज और संचयी का रूप है (चित्र 1.2 और 1.3)।

चावल। 1.2. अंडा वितरण बहुभुज

चावल। 1.3. अंडा उत्पादन का संचयी वितरण

समस्या समाधान तकनीक में स्प्रेडशीट प्रोसेसर माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल अगला।

1. अंजीर के अनुसार प्रारंभिक डेटा दर्ज करें। 1.4.

2. पंक्ति को रैंक करें।

2.1. कक्ष A2:A51 का चयन करें।

2.2. बटन पर टूलबार पर बायाँ-क्लिक करें<Сортировка по возрастанию > .

3. वितरण की अंतराल श्रृंखला के निर्माण के लिए अंतराल का आकार निर्धारित करें।

3.1. सेल A2 को सेल E53 में कॉपी करें।

3.2. सेल A51 को सेल E54 में कॉपी करें।

3.3. भिन्नता की सीमा की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E55 . में सूत्र दर्ज करें =ई54-ई53.

3.4. विविधता समूहों की संख्या की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E56 . में सूत्र दर्ज करें =1+3.322*LOG10(50).

3.5. सेल E57 में समूहों की गोल संख्या दर्ज करें।

3.6. अंतराल की लंबाई की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E58 . में सूत्र दर्ज करें =ई55/ई57.

3.7. सेल E59 में अंतराल की गोल लंबाई दर्ज करें।

4. एक अंतराल श्रृंखला बनाएँ।

4.1. सेल E53 को सेल B64 में कॉपी करें।

4.2. सेल B65 . में सूत्र दर्ज करें =B64+$ई$59.

4.3. सेल B65 को सेल B66:B70 में कॉपी करें।

4.4. सेल C64 . में सूत्र दर्ज करें =बी65.

4.5. सेल C65 . में सूत्र दर्ज करें =C64+$ई$59.

4.6. सेल C65 को सेल C66:C70 में कॉपी करें।

समाधान के परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्न रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.5)।

5. अंतराल आवृत्ति की गणना करें।

5.1. कमांड निष्पादित करें सेवा,डेटा विश्लेषणबाईं माउस बटन के साथ बारी-बारी से क्लिक करके।

5.2. डायलॉग बॉक्स में डेटा विश्लेषणबाईं माउस बटन के साथ सेट करें: विश्लेषण उपकरण<Гистограмма>(चित्र। 1.6)।

5.3. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<ОК>.

5.4. टैब पर दंड आरेखअंजीर के अनुसार पैरामीटर सेट करें। 1.7.

5.5. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<ОК>.

समाधान के परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्न रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.8)।

6. तालिका "वितरण की अंतराल श्रृंखला" भरें।

6.1. सेल B74:B80 को सेल D64:D70 में कॉपी करें।

6.2. आवृत्तियों के योग की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल D64:D70 चुनें और टूलबार पर बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Автосумма > .

6.3. अंतराल के बीच की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E64 . में सूत्र दर्ज करें =(बी64+सी64)/2और सेल E65:E70 पर कॉपी करें।

6.4. संचित आवृत्तियों की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल D64 को सेल F64 में कॉपी करें। कक्ष F65 में, सूत्र =F64+D65 दर्ज करें और इसे कक्षों F66:F70 में कॉपी करें।

समाधान के परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्न रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.9)।

7. हिस्टोग्राम संपादित करें।

7.1 "पॉकेट" नाम पर आरेख पर राइट-क्लिक करें और दिखाई देने वाले टैब में, बटन पर क्लिक करें<Очистить>.

7.2. चार्ट पर राइट-क्लिक करें और दिखाई देने वाले टैब पर, बटन पर क्लिक करें<Исходные данные>.

7.3. डायलॉग बॉक्स में आरंभिक डेटा x-अक्ष लेबल बदलें। ऐसा करने के लिए, कक्ष B64:C70 (चित्र 1.10) का चयन करें।

7.5. कुंजी दबाएं .

परिणाम स्क्रीन पर प्रदर्शित होते हैं निम्नलिखित प्रपत्र(चित्र 1.11)।

8. अंडा वितरण बहुभुज बनाएँ।

8.1. बटन पर टूलबार पर बायाँ-क्लिक करें<Мастер диаграмм > .

8.2. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विज़ार्ड (चरण 4 में से 1)सेट करने के लिए बाएँ माउस बटन का उपयोग करें: मानक<График>(चित्र 1.12)।

8.3. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Далее>.

8.4. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विजार्ड (4 का चरण 2)अंजीर के अनुसार पैरामीटर सेट करें। 1.13.

8.5. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Далее>.

8.6. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विजार्ड (चरण 3 का 4)चार्ट और अक्ष Y के नाम दर्ज करें (चित्र 1.14)।

8.7. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Далее>.

8.8. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विज़ार्ड (चरण 4 का 4)अंजीर के अनुसार पैरामीटर सेट करें। 1.15.

8.9. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Готово>.

परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.16)।

9. चार्ट पर डेटा लेबल डालें।

9.1. चार्ट पर राइट-क्लिक करें और दिखाई देने वाले टैब पर, बटन पर क्लिक करें<Исходные данные>.

9.2. डायलॉग बॉक्स में आरंभिक डेटाएक्स-अक्ष लेबल बदलें। ऐसा करने के लिए, सेल E64:E70 (चित्र। 1.17) का चयन करें।

9.3. कुंजी दबाएं .

परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.18)।

वितरण संचयी संचयी आवृत्तियों के आधार पर वितरण बहुभुज के समान बनाया गया है।

उन्हें वितरण श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किया जाता है और प्रारूपित किया जाता है।

एक वितरण श्रृंखला एक प्रकार का समूहन है।

वितरण रेंज- एक निश्चित भिन्न विशेषता के अनुसार समूहों में अध्ययन की गई आबादी की इकाइयों के क्रमबद्ध वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

वितरण श्रृंखला के गठन में अंतर्निहित विशेषता के आधार पर, वहाँ हैं गुणकारी और परिवर्तनशीलवितरण रैंक:

• ठहराव- गुणात्मक आधार पर निर्मित वितरण श्रृंखला को बुलाओ।
• मात्रात्मक विशेषता के मूल्यों के आरोही या अवरोही क्रम में निर्मित वितरण श्रृंखला कहलाती है परिवर्तन संबंधी.

वितरण की विविधता श्रृंखला में दो कॉलम होते हैं:

पहले कॉलम में शामिल हैं मात्रात्मक मूल्यपरिवर्तनशील विशेषता, जिसे कहा जाता है विकल्पऔर अंकित हैं। असतत संस्करण - एक पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया गया। अंतराल विकल्प से और तक की सीमा में है। प्रकार के प्रकार के आधार पर, एक असतत या अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला का निर्माण संभव है।
दूसरे कॉलम में शामिल हैं रकम विशिष्ट विकल्प , आवृत्तियों या आवृत्तियों के संदर्भ में व्यक्त किया गया:

आवृत्तियों- ये निरपेक्ष संख्याएँ हैं जो दर्शाती हैं कि दी गई विशेषता मान कुल में कितनी बार आता है, जो दर्शाता है। सभी आवृत्तियों का योग संपूर्ण जनसंख्या की इकाइयों की संख्या के बराबर होना चाहिए।

आवृत्तियों() कुल के प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाने वाली आवृत्तियाँ हैं। प्रतिशत के रूप में व्यक्त सभी आवृत्तियों का योग एक के अंशों में 100% के बराबर होना चाहिए।

वितरण श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व

ग्राफिक छवियों का उपयोग करके वितरण श्रृंखला की कल्पना की जाती है।

वितरण श्रृंखला को इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है:

• बहुभुज
• हिस्टोग्राम
• संचयी
• तोरण

बहुभुज

क्षैतिज अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) पर बहुभुज का निर्माण करते समय, भिन्न विशेषता के मान प्लॉट किए जाते हैं, और पर ऊर्ध्वाधर अक्ष(y-अक्ष) - आवृत्तियाँ या आवृत्तियाँ।

अंजीर में बहुभुज। 6.1 1994 में रूस की जनसंख्या की सूक्ष्म जनगणना के अनुसार बनाया गया था।

6.1. आकार के अनुसार घरों का वितरण

स्थिति: टैरिफ श्रेणियों द्वारा उद्यमों में से एक के 25 कर्मचारियों के वितरण पर डेटा दिया गया है:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
काम: एक असतत विविधता श्रृंखला बनाएं और इसे एक वितरण बहुभुज के रूप में ग्राफिक रूप से चित्रित करें।
फेसला:
पर यह उदाहरणविकल्प कर्मचारी की मजदूरी श्रेणी है। आवृत्तियों को निर्धारित करने के लिए, उपयुक्त वेतन श्रेणी वाले कर्मचारियों की संख्या की गणना करना आवश्यक है।

बहुभुज का उपयोग असतत भिन्नता श्रृंखला के लिए किया जाता है।

एब्सिस्सा (एक्स) के साथ एक वितरण बहुभुज (छवि 1) बनाने के लिए, हम अलग-अलग विशेषता के मात्रात्मक मूल्यों को प्लॉट करते हैं - वेरिएंट, और ऑर्डिनेट - आवृत्तियों या आवृत्तियों के साथ।

यदि अभिलक्षणिक मानों को अंतराल के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो ऐसी श्रृंखला को अंतराल श्रृंखला कहा जाता है।
अंतराल श्रृंखलावितरणों को चित्रमय रूप से हिस्टोग्राम, संचयी या तोरण के रूप में दिखाया जाता है।

सांख्यिकीय तालिका

स्थिति: जमाराशियों के आकार पर डेटा 20 दिया गया है व्यक्तियोंएक बैंक में (हजार रूबल) 60; 25; 12; दस; 68; 35; 2; 17; 51; नौ; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; अठारह; 7; 42.
काम: समान अंतरालों के साथ अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाएं।
फेसला:

1. प्रारंभिक जनसंख्या में 20 इकाइयाँ होती हैं (N = 20)।
2. स्टर्गेस सूत्र का उपयोग करते हुए, हम परिभाषित करते हैं आवश्यक धनप्रयुक्त समूह: n=1+3.322*lg20=5
3. आइए बराबर अंतराल के मान की गणना करें: i=(152 - 2) /5 = 30 हजार रूबल
4. हम प्रारंभिक आबादी को 30 हजार रूबल के अंतराल के साथ 5 समूहों में विभाजित करते हैं।
5. समूहीकरण के परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं:

एक सतत विशेषता की ऐसी रिकॉर्डिंग के साथ, जब एक ही मान दो बार होता है (एक अंतराल की ऊपरी सीमा और दूसरे अंतराल की निचली सीमा के रूप में), तो यह मान उस समूह से संबंधित होता है जहां यह मान ऊपरी सीमा के रूप में कार्य करता है।

दंड आरेख

एब्सिस्सा के साथ एक हिस्टोग्राम बनाने के लिए, अंतराल की सीमाओं के मूल्यों को इंगित करें और उनके आधार पर आयतों का निर्माण करें जिनकी ऊंचाई आवृत्तियों (या आवृत्तियों) के समानुपाती होती है।

अंजीर पर। 6.2. 1997 में आयु समूहों द्वारा रूस की जनसंख्या के वितरण का हिस्टोग्राम दिखाया गया है।

चावल। 6.2. आयु समूहों द्वारा रूस की जनसंख्या का वितरण

स्थिति: कंपनी के 30 कर्मचारियों को मासिक वेतन के आकार के अनुसार वितरण दिया जाता है

काम: अंतराल भिन्नता श्रृंखला को हिस्टोग्राम के रूप में ग्राफिक रूप से प्रदर्शित करें और संचयी करें।
फेसला:

1. खुले (पहले) अंतराल की अज्ञात सीमा दूसरे अंतराल के मूल्य से निर्धारित होती है: 7000 - 5000 = 2000 रूबल। उसी मूल्य के साथ हम पाते हैं निम्न परिबंधपहला अंतराल: 5000 - 2000 = 3000 रूबल।
2. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक हिस्टोग्राम का निर्माण करने के लिए, एब्सिस्सा अक्ष के साथ, हम उन खंडों को अलग करते हैं जिनके मान भिन्न पंक्ति के अंतराल के अनुरूप होते हैं।
   ये खंड निचले आधार के रूप में कार्य करते हैं, और संबंधित आवृत्ति (आवृत्ति) गठित आयतों की ऊंचाई के रूप में कार्य करती है।
3. आइए एक हिस्टोग्राम बनाएं:

संचयी के निर्माण के लिए, संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) की गणना करना आवश्यक है। वे पिछले अंतरालों की आवृत्तियों (आवृत्तियों) के क्रमिक योग द्वारा निर्धारित किए जाते हैं और एस द्वारा निरूपित होते हैं। संचित आवृत्तियों से पता चलता है कि जनसंख्या की कितनी इकाइयों का एक विशेषता मान विचाराधीन से अधिक नहीं है।

संचयी

संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) के अनुसार एक परिवर्तनशील श्रृंखला में एक विशेषता के वितरण को संचयी का उपयोग करके दर्शाया गया है।

संचयीया संचयी वक्र, बहुभुज के विपरीत, संचित आवृत्तियों या आवृत्तियों पर निर्मित होता है। इसी समय, फीचर के मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष पर रखा जाता है, और संचित आवृत्तियों या आवृत्तियों को ऑर्डिनेट अक्ष (चित्र। 6.3) पर रखा जाता है।

चावल। 6.3. आकार के अनुसार घरों का संचयी वितरण

4. संचित आवृत्तियों की गणना करें:
पहले अंतराल की घुटने की आवृत्ति की गणना निम्नानुसार की जाती है: 0 + 4 = 4, दूसरे के लिए: 4 + 12 = 16; तीसरे के लिए: 4 + 12 + 8 = 24, आदि।

संचयी का निर्माण करते समय, संबंधित अंतराल की संचित आवृत्ति (आवृत्ति) को इसकी ऊपरी सीमा को सौंपा जाता है:

ओगिवा

ओगिवासंचयी के समान ही इस अंतर के साथ बनाया गया है कि संचित आवृत्तियों को एब्सिस्सा अक्ष पर रखा जाता है, और सुविधा मान को ऑर्डिनेट अक्ष पर रखा जाता है।

संचयी का एक रूपांतर सांद्रता वक्र या लोरेंज प्लॉट है। दोनों अक्षों पर सांद्रण वक्र आलेखित करने के लिए आयताकार प्रणालीनिर्देशांक, एक स्केल स्केल 0 से 100 तक प्रतिशत में लागू होता है। इस मामले में, एब्सिस्सा संचित आवृत्तियों को इंगित करता है, और ऑर्डिनेट फीचर की मात्रा द्वारा शेयर के संचित मूल्यों (प्रतिशत में) को इंगित करता है।

चिन्ह का एकसमान वितरण ग्राफ पर वर्ग के विकर्ण से मेल खाता है (चित्र 6.4)। असमान वितरण के साथ, ग्राफ एक अवतल वक्र है जो विशेषता के एकाग्रता स्तर पर निर्भर करता है।

6.4. एकाग्रता वक्र