हार्मोनिक कंपन

समारोह रेखांकन एफ(एक्स) = पाप ( एक्स) तथा जी(एक्स) = क्योंकि ( एक्स) कार्तीय तल पर।

हार्मोनिक दोलन- उतार-चढ़ाव जिसमें एक भौतिक (या कोई अन्य) मात्रा साइनसॉइडल या कोसाइन कानून के अनुसार समय के साथ बदलती है। हार्मोनिक दोलनों के गतिज समीकरण का रूप है

,

कहाँ पे एक्स- समय t पर संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन (विचलन); लेकिन- दोलन आयाम, यह वह मान है जो संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु के अधिकतम विचलन को निर्धारित करता है; ω - चक्रीय आवृत्ति, 2π सेकंड के भीतर होने वाले पूर्ण दोलनों की संख्या को दर्शाने वाला मान - पूरा चरणदोलन, - दोलनों का प्रारंभिक चरण।

सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन विभेदक रूप

(इसका कोई गैर-तुच्छ समाधान अंतर समीकरण- के साथ एक हार्मोनिक दोलन है चक्रीय आवृत्ति )

कंपन के प्रकार

हार्मोनिक गति में विस्थापन, वेग और त्वरण के समय में विकास

• मुक्त कंपनप्रणाली को संतुलन से बाहर लाने के बाद प्रणाली की आंतरिक शक्तियों की कार्रवाई के तहत बनाई जाती हैं। प्रति मुक्त कंपनहार्मोनिक थे, यह आवश्यक है कि ऑसिलेटरी सिस्टम रैखिक हो (वर्णित .) रेखीय समीकरणगति), और ऊर्जा का कोई अपव्यय नहीं था (बाद में भीगना होगा)।
• मजबूर कंपनएक बाहरी आवधिक बल के प्रभाव में प्रदर्शन किया। उनके लिए हार्मोनिक होने के लिए, यह पर्याप्त है कि ऑसीलेटरी सिस्टम रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और बाहरी बल स्वयं समय के साथ हार्मोनिक ऑसीलेशन के रूप में बदलता है (यानी, इस बल की समय निर्भरता साइनसॉइडल है) .

आवेदन पत्र

निम्नलिखित कारणों से हार्मोनिक कंपन अन्य सभी प्रकार के कंपनों से अलग हैं:

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

साहित्य

• भौतिक विज्ञान। प्राथमिक पाठ्यपुस्तकभौतिकी / एड। जी एस लैंसबर्ग। - तीसरा संस्करण। - एम।, 1962। - टी। 3.
• खायकिन एस.ई. भौतिक नींवयांत्रिकी - एम।, 1963।
• ए एम अफोनिन।यांत्रिकी की भौतिक नींव। - ईडी। एमएसटीयू आई.एम. बॉमन, 2006।
• गोरेलिक जी.एस.कंपन और लहरें। ध्वनिकी, रेडियोभौतिकी और प्रकाशिकी का परिचय। - एम।: फ़िज़मैटलिट, 1959. - 572 पी।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "हार्मोनिक कंपन" अन्य शब्दकोशों में क्या हैं:

आधुनिक विश्वकोश

हार्मोनिक कंपन- हार्मोनिक दोलन, एक भौतिक मात्रा में आवधिक परिवर्तन जो साइन कानून के अनुसार होते हैं। ग्राफिक रूप से, हार्मोनिक दोलनों को एक साइनसॉइड वक्र द्वारा दर्शाया जाता है। हार्मोनिक कंपन सबसे सरल तरीकाआवधिक आंदोलनों, द्वारा विशेषता ... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

उतार-चढ़ाव जिसमें एक भौतिक मात्रा समय के साथ साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदल जाती है। आलेखीय रूप से G. to. को एक साइनसॉइड या कोसाइन वक्र द्वारा दर्शाया जाता है (अंजीर देखें।); उन्हें इस रूप में लिखा जा सकता है: x = असिन (ωt + ) या x ... महान सोवियत विश्वकोश

हार्मोनिक दोलन, आवधिक गति, जैसे पेंडुलम की गति, परमाणु दोलन, या दोलन विद्युत सर्किट. एक पिंड बिना ढके हार्मोनिक दोलन करता है जब वह एक रेखा के साथ दोलन करता है, उसी से चलता है ... ... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

दोलन, k ryh भौतिक पर। (या कोई अन्य) मान साइनसॉइडल कानून के अनुसार समय के साथ बदलता है: x=Asin(wt+j), जहां x दिए गए में दोलन मान का मान है। समय का क्षण t (यांत्रिक G. to. के लिए, उदाहरण के लिए, विस्थापन या गति, के लिए ... ... भौतिक विश्वकोश

हार्मोनिक कंपन- यांत्रिक कंपन, जिसमें सामान्यीकृत समन्वय और (या) सामान्यीकृत गति समय पर रैखिक रूप से निर्भर तर्क के साथ साइन के अनुपात में बदल जाती है। [अनुशंसित शर्तों का संग्रह। अंक 106. यांत्रिक कंपन। विज्ञान अकादमी... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

दोलन, k ryh भौतिक पर। (या कोई अन्य) मात्रा साइनसॉइडल कानून के अनुसार समय में बदलती है, जहां x समय t पर दोलन मात्रा का मान है (यांत्रिक जी के लिए। उदाहरण के लिए, विद्युत वोल्टेज और वर्तमान ताकत के लिए विस्थापन और गति)। .. भौतिक विश्वकोश

हार्मोनिक दोलन- (देखें), जिसमें भौतिक। मूल्य समय के साथ साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदलता है (उदाहरण के लिए, परिवर्तन (देखें) और दोलन के दौरान गति (देखें) या परिवर्तन (देखें) और विद्युत जी के साथ वर्तमान ताकत। से।) ... महान पॉलिटेक्निक विश्वकोश

उन्हें कानून के अनुसार समय t में दोलन मान x (उदाहरण के लिए, संतुलन की स्थिति से पेंडुलम का विचलन, प्रत्यावर्ती धारा सर्किट में वोल्टेज, आदि) में परिवर्तन की विशेषता है: x = असिन (?t) + ?), जहां ए हार्मोनिक दोलनों का आयाम है, ? कोना… … बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

हार्मोनिक कंपन- 19. हार्मोनिक दोलन दोलन जिसमें दोलन मात्रा के मान कानून के अनुसार समय में बदलते हैं स्रोत ... मानक और तकनीकी दस्तावेज की शर्तों की शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

सामयिक उतार-चढ़ाव, क्रिख के साथ भौतिक समय में परिवर्तन। परिमाण ज्या या कोज्या के नियम के अनुसार होता है (चित्र देखें): s = असिन (wt + f0), जहाँ s अपने cf से उतार-चढ़ाव वाले मान का विचलन है। (संतुलन) मूल्य, ए = स्थिरांक आयाम, डब्ल्यू = स्थिरांक परिपत्र ... बड़ा विश्वकोश पॉलिटेक्निक शब्दकोश

1.18. हार्मोनिक दोलन और उनकी विशेषताएं

हार्मोनिक कंपन की परिभाषा। हार्मोनिक दोलनों के लक्षण: संतुलन की स्थिति से विस्थापन, दोलनों का आयाम, दोलनों का चरण, आवृत्ति और दोलनों की अवधि। एक दोलन बिंदु का वेग और त्वरण। हार्मोनिक थरथरानवाला की ऊर्जा। हार्मोनिक थरथरानवाला के उदाहरण: गणितीय, वसंत, मरोड़ और भौतिक पेंडुलम

ध्वनिकी, रेडियो इंजीनियरिंग, प्रकाशिकी और विज्ञान और प्रौद्योगिकी की अन्य शाखाएँ दोलनों और तरंगों के सिद्धांत पर आधारित हैं। बड़ी भूमिकायांत्रिकी में कंपन के सिद्धांत को निभाता है, विशेष रूप से विमान, पुलों की ताकत के लिए गणना में, ख़ास तरह केमशीनें और नोड्स।

उतार चढ़ाव ऐसी प्रक्रियाएं हैं जो नियमित अंतराल पर दोहराई जाती हैं (हालांकि, सभी दोहराई जाने वाली प्रक्रियाएं उतार-चढ़ाव नहीं होती हैं!) निर्भर करना भौतिक प्रकृतिएक दोहराई जाने वाली प्रक्रिया, यांत्रिक, विद्युत चुम्बकीय, विद्युत, आदि कंपनों को प्रतिष्ठित किया जाता है। यांत्रिक कंपन के दौरान, निकायों की स्थिति और निर्देशांक समय-समय पर बदलते रहते हैं।

बहाल बल - वह बल जिसके तहत दोलन प्रक्रिया होती है। यह बल आराम की स्थिति से विचलित शरीर या भौतिक बिंदु को उसकी मूल स्थिति में वापस कर देता है।

एक दोलनशील पिंड पर प्रभाव की प्रकृति के आधार पर, मुक्त (या प्राकृतिक) कंपन और मजबूर कंपन.

एक दोलन प्रणाली पर प्रभाव की प्रकृति के आधार पर, मुक्त दोलनों, मजबूर दोलनों, स्व-दोलनों और पैरामीट्रिक दोलनों को प्रतिष्ठित किया जाता है।

मुक्त (अपना) दोलन ऐसे दोलन कहलाते हैं जो किसी प्रणाली में उत्पन्न होते हैं जो उसे एक धक्का देने के बाद अपने आप छोड़ दिया जाता है, या इसे एक संतुलन स्थिति से बाहर ले जाया जाता है, अर्थात। जब केवल प्रत्यावर्तन बल दोलन करने वाले पिंड पर कार्य करता है। एक उदाहरण एक धागे पर निलंबित गेंद का कंपन है। कंपन पैदा करने के लिए, आपको या तो गेंद को धक्का देना चाहिए, या इसे एक तरफ ले जाकर छोड़ना चाहिए। इस घटना में कि कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं होता है, मुक्त दोलनों को बिना ढके रखा जाता है। हालांकि, वास्तविक दोलन प्रक्रियाओं को कम किया जाता है, क्योंकि एक दोलनशील पिंड गति के प्रतिरोध की ताकतों (मुख्य रूप से घर्षण बल) से प्रभावित होता है।

· मज़बूर ऐसे कंपनों को कहा जाता है, जिसके दौरान ऑसिलेटिंग सिस्टम बाहरी समय-समय पर बदलते बल के संपर्क में आता है (उदाहरण के लिए, पुल का कंपन जो तब होता है जब लोग कदम से चलते हैं)। कई मामलों में, सिस्टम दोलन करते हैं जिन्हें हार्मोनिक माना जा सकता है।

· आत्म-दोलन , साथ ही मजबूर दोलन, दोलन प्रणाली पर प्रभाव के साथ होते हैं बाहरी ताक़तें, हालांकि, समय के क्षण जब ये क्रियाएं की जाती हैं, दोलन प्रणाली द्वारा ही निर्धारित की जाती हैं। यानी सिस्टम ही बाहरी प्रभाव को नियंत्रित करता है। स्व-ऑसिलेटरी सिस्टम का एक उदाहरण एक घड़ी है जिसमें पेंडुलम को उठाए गए वजन या मुड़ वसंत की ऊर्जा के कारण झटके मिलते हैं, और ये झटके मध्य स्थिति से गुजरने वाले पेंडुलम के क्षणों में होते हैं।

· पैरामीट्रिक दोलन प्रणाली के मापदंडों में एक आवधिक परिवर्तन के साथ दोलन किए जाते हैं (एक व्यक्ति जो झूले पर झूलता है, समय-समय पर अपने गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को बढ़ाता है और कम करता है, जिससे सिस्टम के मापदंडों में बदलाव होता है)। कुछ शर्तों के तहत, सिस्टम अस्थिर हो जाता है - संतुलन की स्थिति से एक यादृच्छिक विचलन दोलनों के उद्भव और वृद्धि की ओर जाता है। इस घटना को दोलनों का पैरामीट्रिक उत्तेजना कहा जाता है (यानी, सिस्टम के मापदंडों को बदलकर दोलन उत्तेजित होते हैं), और दोलनों को स्वयं पैरामीट्रिक कहा जाता है।

विभिन्न भौतिक प्रकृति के बावजूद, दोलनों को समान नियमितताओं की विशेषता होती है, जिनका अध्ययन सामान्य तरीकों से किया जाता है। एक महत्वपूर्ण गतिज विशेषता कंपन का रूप है। यह समय के कार्य के रूप से निर्धारित होता है, जो दोलनों के दौरान एक या दूसरी भौतिक मात्रा के परिवर्तन का वर्णन करता है। सबसे महत्वपूर्ण वे उतार-चढ़ाव हैं जिनमें समय के साथ उतार-चढ़ाव का मूल्य बदलता रहता है ज्या या कोज्या के नियम के अनुसार . उन्हें कहा जाता है लयबद्ध .

हार्मोनिक कंपनदोलनों को कहा जाता है, जिसमें दोलन भौतिक मात्रा साइन (या कोसाइन) नियम के अनुसार बदल जाती है।

इस प्रकार का दोलन निम्नलिखित कारणों से विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। सबसे पहले, प्रकृति और प्रौद्योगिकी में दोलनों में अक्सर एक चरित्र होता है जो हार्मोनिक के बहुत करीब होता है। दूसरे, एक अलग रूप (एक अलग समय निर्भरता के साथ) की आवधिक प्रक्रियाओं को हार्मोनिक दोलनों के एक ओवरले, या सुपरपोजिशन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हार्मोनिक थरथरानवाला समीकरण

आवधिक कानून द्वारा हार्मोनिक दोलन का वर्णन किया गया है:

चावल। 18.1. हार्मोनिक दोलन

वू

यहां
- विशेषता परिवर्तन दोलनों के दौरान किसी भी भौतिक मात्रा (संतुलन की स्थिति से पेंडुलम की स्थिति का बदलाव; संधारित्र पर वोल्टेज ऑसिलेटरी सर्किटआदि।), ए - दोलन आयाम ,
- दोलन चरण , - पहला भाग ,
- चक्रीय आवृत्ति ; मूल्य
यह भी कहा जाता है अपना कंपन आवृत्ति। यह नाम इस बात पर जोर देता है कि यह आवृत्ति थरथरानवाला प्रणाली के मापदंडों द्वारा निर्धारित की जाती है। एक प्रणाली जिसकी गति के नियम का रूप (18.1) है, कहलाता है एक आयामी हार्मोनिक थरथरानवाला . उपरोक्त मात्राओं के अलावा, दोलनों को चिह्नित करने के लिए निम्नलिखित अवधारणाएँ पेश की जाती हैं: अवधि , अर्थात। एक दोलन का समय।

(दोलन की अवधि टी समय की सबसे छोटी अवधि कहा जाता है जिसके बाद दोलन प्रणाली की अवस्थाओं को दोहराया जाता है (एक पूर्ण दोलन किया जाता है) और दोलन के चरण में 2p की वृद्धि प्राप्त होती है)।

तथा आवृत्तियों
, जो प्रति इकाई समय में दोलनों की संख्या निर्धारित करता है। आवृत्ति की इकाई ऐसे दोलन की आवृत्ति है, जिसकी अवधि 1 s है। इस इकाई को कहा जाता है हेटर्स (हर्ट्ज ).

दोलन आवृत्तिएन दोलन की अवधि का पारस्परिक कहा जाता है - प्रति इकाई समय में पूर्ण दोलनों की संख्या।

आयाम- ऑफ़सेट या परिवर्तन का अधिकतम मूल्य चरदोलन या तरंग गति में।

दोलन चरण- एक आवधिक कार्य का तर्क या एक हार्मोनिक ऑसीलेटरी प्रक्रिया का वर्णन करना (ω - कोणीय आवृत्ति, टी- समय, - दोलनों का प्रारंभिक चरण, अर्थात् समय के प्रारंभिक क्षण में दोलनों का चरण टी = 0).

एक हार्मोनिक रूप से दोलन मात्रा के पहली और दूसरी बार डेरिवेटिव भी उसी आवृत्ति के हार्मोनिक दोलन करते हैं:

पर ये मामलाकोसाइन के नियम के अनुसार लिखे गए हार्मोनिक दोलनों के समीकरण को आधार के रूप में लिया जाता है। इस मामले में, समीकरणों में से पहला (18.2) उस कानून का वर्णन करता है जिसके अनुसार दोलन की गति सामग्री बिंदु(शरीर), दूसरा समीकरण उस नियम का वर्णन करता है जिसके द्वारा एक दोलन बिंदु (शरीर) का त्वरण बदलता है।

आयाम
तथा
क्रमशः बराबर
तथा
. संकोच
से आगे
करने के लिए चरण में; और झिझक
से आगे
पर . मूल्यों एतथा दी गई प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित किया जा सकता है
तथा
:

,
. (18.3)

थरथरानवाला दोलन ऊर्जा

पी

चावल। 18.2. स्प्रिंग पेंडुलम

देखते हैं अब क्या होता है कंपन ऊर्जा . हार्मोनिक दोलनों के एक उदाहरण के रूप में, द्रव्यमान के एक पिंड द्वारा किए गए एक-आयामी दोलनों पर विचार करें एम प्रभाव में लोचदार ताकत
(उदाहरण के लिए, एक स्प्रिंग लोलक, अंजीर देखें। 18.2)। लोचदार से भिन्न प्रकृति के बल, लेकिन जिनमें F = -kx की स्थिति संतुष्ट होती है, कहलाते हैं अर्ध-लोचदार।इन बलों के प्रभाव में, पिंड भी हार्मोनिक दोलन करते हैं। होने देना:

पक्षपात:
रफ़्तार:
त्वरण:

वे। इस तरह के दोलनों के समीकरण में प्राकृतिक आवृत्ति के साथ (18.1) रूप होता है
. अर्ध-लोचदार बल है अपरिवर्तनवादी . इसलिए, ऐसे हार्मोनिक दोलनों की कुल ऊर्जा स्थिर रहनी चाहिए। दोलनों की प्रक्रिया में गतिज ऊर्जा का परिवर्तन होता है इ प्रतिएक संभावित में इ पीऔर इसके विपरीत, संतुलन की स्थिति से सबसे बड़े विचलन के क्षणों में, कुल ऊर्जा संभावित ऊर्जा के अधिकतम मूल्य के बराबर होती है, और जब सिस्टम संतुलन की स्थिति से गुजरता है, तो कुल ऊर्जा अधिकतम के बराबर होती है गतिज ऊर्जा का मूल्य। आइए जानें कि समय के साथ गतिज और स्थितिज ऊर्जा कैसे बदलती है:

गतिज ऊर्जा:

संभावित ऊर्जा:

(18.5)

यह मानते हुए कि , अंतिम अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इस प्रकार, हार्मोनिक दोलन की कुल ऊर्जा स्थिर हो जाती है। संबंधों (18.4) और (18.5) से यह भी पता चलता है कि गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का औसत मान एक दूसरे के बराबर और कुल ऊर्जा का आधा है, क्योंकि औसत मान
तथा
अवधि के लिए 0.5 हैं। त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके, यह प्राप्त किया जा सकता है कि गतिज और संभावित ऊर्जाआवृत्ति के साथ बदलें
, अर्थात। आवृत्ति के साथ दो बार हार्मोनिक आवृत्ति।

एक हार्मोनिक थरथरानवाला के उदाहरण वसंत पेंडुलम, भौतिक पेंडुलम, गणितीय पेंडुलम और मरोड़ वाले पेंडुलम हैं।

1. स्प्रिंग पेंडुलम- यह द्रव्यमान m का भार है, जो बिल्कुल लोचदार वसंत पर निलंबित है और एक लोचदार बल F = -kx की कार्रवाई के तहत हार्मोनिक दोलन करता है, जहां k वसंत की कठोरता है। पेंडुलम की गति के समीकरण का रूप है या (18.8) सूत्र (18.8) से यह निम्नानुसार है कि स्प्रिंग पेंडुलम नियम के अनुसार हार्मोनिक दोलन करता है x \u003d एकोस (ω 0 t + φ) चक्रीय आवृत्ति के साथ

(18.9) और अवधि

(18.10) सूत्र (18.10) उस सीमा के भीतर लोचदार दोलनों के लिए सही है जिसमें हुक का नियम पूरा होता है, अर्थात यदि शरीर के द्रव्यमान की तुलना में वसंत का द्रव्यमान छोटा है। एक स्प्रिंग लोलक की स्थितिज ऊर्जा, (18.9) और पिछले खंड के स्थितिज ऊर्जा सूत्र का उपयोग करते हुए, है (18.5 देखें)

2. भौतिक लोलक- ये है ठोस, जो एक निश्चित क्षैतिज अक्ष के चारों ओर गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत दोलन करता है, जो बिंदु O से होकर गुजरता है, जो पिंड के द्रव्यमान C के केंद्र से मेल नहीं खाता है (चित्र 1)।

चित्र.18.3 भौतिक लोलक

यदि लोलक को संतुलन की स्थिति से एक निश्चित कोण α द्वारा विक्षेपित किया जाता है, तो, एक कठोर शरीर के घूर्णी गति की गतिशीलता के समीकरण का उपयोग करते हुए, पुनर्स्थापना बल का क्षण M (18.11) जहां J जड़ता का क्षण है निलंबन बिंदु O से गुजरने वाली धुरी के बारे में पेंडुलम, l अक्ष और पेंडुलम के द्रव्यमान के केंद्र के बीच की दूरी है, F τ –mgsinα ≈ –mgα पुनर्स्थापना बल है (ऋण चिह्न इंगित करता है कि दिशा F और α हमेशा विपरीत होते हैं; sinα α चूंकि पेंडुलम के दोलनों को छोटा माना जाता है, अर्थात पेंडुलम छोटे कोणों से संतुलन की स्थिति से विचलित होता है)। हम समीकरण (18.11) को इस प्रकार लिखते हैं

अथवा लेने पर (18.12) हमें समीकरण प्राप्त होता है

(18.8) के समान, जिसका समाधान हम पाते हैं और इस प्रकार लिखते हैं:

(18.13) सूत्र (18.13) से यह निम्नानुसार है कि छोटे दोलनों के लिए भौतिक पेंडुलम चक्रीय आवृत्ति 0 और एक अवधि के साथ हार्मोनिक दोलन करता है

(18.14) जहां मान L=J/(m .) मैं) - . सीधी रेखा OS की निरंतरता पर बिंदु O", जो कम लंबाई L की दूरी पर पेंडुलम के निलंबन के बिंदु O से अलग होता है, कहलाता है स्विंग सेंटर भौतिक लोलक(चित्र 18.3)। अक्ष के जड़त्व आघूर्ण के लिए स्टेनर प्रमेय का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं

अर्थात्, OO "हमेशा OS से बड़ा होता है। पेंडुलम का निलंबन बिंदु O और स्विंग केंद्र O" होता है विनिमेय संपत्ति: यदि निलंबन बिंदु को स्विंग केंद्र में ले जाया जाता है, तो पुराना निलंबन बिंदु O नया स्विंग केंद्र होगा, और भौतिक पेंडुलम की दोलन अवधि नहीं बदलेगी।

3. गणितीय लोलकएक आदर्श प्रणाली है जिसमें द्रव्यमान m का एक भौतिक बिंदु होता है, जो एक अविभाज्य भारहीन धागे पर निलंबित होता है, और जो गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत दोलन करता है। गणितीय पेंडुलम का एक अच्छा सन्निकटन एक छोटी, भारी गेंद है जिसे एक लंबे, पतले धागे से लटकाया जाता है। एक गणितीय लोलक की जड़ता का आघूर्ण

(8) जहां मैंलोलक की लंबाई है।

चूँकि गणितीय लोलक एक भौतिक लोलक का एक विशेष मामला है, यदि हम यह मान लें कि इसका सारा द्रव्यमान एक बिंदु पर केंद्रित है - द्रव्यमान का केंद्र, तो, (8) को (7) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अवधि के लिए एक व्यंजक पाते हैं एक गणितीय पेंडुलम (18.15) के छोटे दोलनों की तुलना में सूत्रों (18.13) और (18.15) की तुलना में, हम देखते हैं कि यदि भौतिक पेंडुलम की कम लंबाई एल लंबाई के बराबर है मैंएक गणितीय पेंडुलम, तो इन पेंडुलम के दोलन की अवधि समान होती है। माध्यम, एक भौतिक पेंडुलम की कम लंबाईऐसे गणितीय पेंडुलम की लंबाई है, जिसमें दोलन की अवधि किसी दिए गए भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि के साथ मेल खाती है। गणितीय पेंडुलम के लिए (द्रव्यमान के साथ सामग्री बिंदु एमलंबाई के भारहीन अविभाज्य धागे पर निलंबित मैंगुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र में मुक्त गिरावट त्वरण के बराबर जी) छोटे विक्षेपण कोणों पर (5-10 . से अधिक नहीं) कोणीय डिग्री) संतुलन की स्थिति से प्राकृतिक दोलन आवृत्ति:
.

4. एक लोचदार धागे या अन्य लोचदार तत्व पर निलंबित एक शरीर, में दोलन करता है क्षैतिज समक्षेत्र, प्रतिनिधित्व करता है मरोड़ पेंडुलम।

यह एक यांत्रिक दोलन प्रणाली है जो लोचदार विकृतियों की ताकतों का उपयोग करती है। अंजीर पर। 18.4 एक रैखिक हार्मोनिक थरथरानवाला के कोणीय एनालॉग को दर्शाता है जो मरोड़ कंपन करता है। एक क्षैतिज रूप से स्थित डिस्क अपने द्रव्यमान के केंद्र में तय लोचदार धागे पर लटकती है। जब डिस्क कोण θ से घूमती है, तो बलों का एक क्षण उत्पन्न होता है एमलोचदार मरोड़ तनाव:

कहाँ पे मैं = मैंसी- अक्ष के बारे में डिस्क की जड़ता का क्षण, से गुजर रहा है ग्रैविटी केंद्र- कोणीय त्वरण।

वसंत पर भार के अनुरूप, आप प्राप्त कर सकते हैं।

यह एक आवधिक दोलन है, जिसमें समन्वय, गति, त्वरण, आंदोलन की विशेषता, साइन या कोसाइन कानून के अनुसार बदल जाता है। हार्मोनिक दोलन समीकरण समय पर शरीर के समन्वय की निर्भरता को स्थापित करता है

प्रारंभिक क्षण में कोसाइन ग्राफ का अधिकतम मूल्य होता है, और प्रारंभिक क्षण में साइन ग्राफ का शून्य मान होता है। यदि हम संतुलन की स्थिति से दोलन की जांच करना शुरू करते हैं, तो दोलन साइनसॉइड को दोहराएगा। यदि हम अधिकतम विचलन की स्थिति से दोलन पर विचार करना शुरू करते हैं, तो दोलन कोसाइन का वर्णन करेगा। या इस तरह के दोलन को प्रारंभिक चरण के साथ साइन सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

गणितीय लोलक

एक गणितीय पेंडुलम का दोलन।
गणितीय लोलक एक भारहीन अविभाज्य धागे (भौतिक मॉडल) पर निलंबित एक भौतिक बिंदु है।
हम लोलक की गति पर इस शर्त के तहत विचार करेंगे कि विक्षेपण कोण छोटा है, तो, यदि हम कोण को रेडियन में मापते हैं, तो कथन सत्य है: ।
गुरुत्वाकर्षण बल और धागे का तनाव शरीर पर कार्य करता है। इन बलों के परिणामी में दो घटक होते हैं: एक स्पर्शरेखा, जो परिमाण में त्वरण को बदलता है, और एक सामान्य, जो दिशा में त्वरण को बदलता है ( केन्द्राभिमुख त्वरण, शरीर एक चाप में चलता है)।
इसलिये कोण छोटा है, तो स्पर्शरेखा घटक प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा पर गुरुत्वाकर्षण के प्रक्षेपण के बराबर है: . रेडियन में कोण अनुपात के बराबर हैचाप की लंबाई से त्रिज्या (धागे की लंबाई), और चाप की लंबाई लगभग ऑफसेट के बराबर होती है ( एक्स एस): .
समीकरण के साथ परिणामी समीकरण की तुलना करें दोलन गति. यह देखा जा सकता है कि या एक गणितीय पेंडुलम के दोलनों के दौरान एक चक्रीय आवृत्ति है।
दोलन काल या (गैलीलियो का सूत्र)।	गैलीलियो सूत्र
सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष: गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि शरीर के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है!
इसी तरह की गणना ऊर्जा के संरक्षण के कानून का उपयोग करके की जा सकती है। आइए हम ध्यान दें कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में शरीर की संभावित ऊर्जा है, और कुल यांत्रिक ऊर्जाअधिकतम क्षमता या गतिज के बराबर:
हम ऊर्जा के संरक्षण के नियम को लिखते हैं और बाईं ओर का व्युत्पन्न लेते हैं और सही भागसमीकरण:। इसलिये एक स्थिर मान का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, तो . योग का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग के बराबर है: और।
इसलिए: , जिसका अर्थ है।

राज्य का आदर्श गैस समीकरण (मेंडेलीव-क्लैपेरॉन समीकरण)।
राज्य का समीकरण एक समीकरण है जो एक भौतिक प्रणाली के मापदंडों से संबंधित है और इसकी स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। 1834 में फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी बी क्लैपेरॉन, जिन्होंने सेंट पीटर्सबर्ग में लंबे समय तक काम किया, ने गैस के निरंतर द्रव्यमान के लिए एक आदर्श गैस के लिए राज्य का समीकरण निकाला। 1874 में डी. आई. मेंडेलीवअणुओं की एक मनमानी संख्या के लिए एक समीकरण व्युत्पन्न।
एमकेटी और आदर्श गैस थर्मोडायनामिक्स में मैक्रोस्कोपिक पैरामीटर हैं: पी, वी, टी, एम। हम जानते हैं कि . फलस्वरूप,। मान लें कि , हम पाते हैं:।
निरंतर मूल्यों का उत्पाद एक स्थिर मूल्य है, इसलिए: - सार्वभौमिक गैस स्थिरांक (सार्वभौमिक, क्योंकि यह सभी गैसों के लिए समान है)।
इस प्रकार, हमारे पास है: राज्य का समीकरण (मेंडेलीव-क्लैपेरॉन समीकरण)।
एक आदर्श गैस की अवस्था का समीकरण लिखने के अन्य रूप।
1. किसी पदार्थ के 1 मोल के लिए समीकरण। यदि n \u003d 1 mol, तो, एक मोल V m की मात्रा को दर्शाते हुए, हम प्राप्त करते हैं:। के लिये सामान्य स्थितिहम पाते हैं:
2. समीकरण को घनत्व के पदों में लिखिए :- घनत्व तापमान और दाब पर निर्भर करता है !
3. क्लैपेरॉन समीकरण। उस स्थिति की जांच करना अक्सर आवश्यक होता है जब गैस की स्थिति इसकी स्थिर मात्रा (एम = स्थिरांक) के साथ बदलती है और इसकी अनुपस्थिति में रसायनिक प्रतिक्रिया(एम = स्थिरांक)। इसका मतलब है कि पदार्थ की मात्रा n=const. फिर:
इस प्रविष्टि का अर्थ है कि किसी दिए गए गैस के दिए गए द्रव्यमान के लिएसमानता सत्य है:
के लिये स्थिर द्रव्यमानआदर्श गैस दबाव और आयतन के गुणनफल का अनुपात निरपेक्ष तापमानमें दिया गया राज्यएक स्थिर मूल्य है:।
गैस कानून।
1. अवोगाद्रो का नियम। पर बराबर मात्राएक ही समय में विभिन्न गैसें बाहरी स्थितियांस्थित वही नंबरअणु (परमाणु)। शर्त: वी 1 = वी 2 =…=वी एन; पी 1 \u003d पी 2 \u003d ... \u003d पी एन; टी 1 \u003d टी 2 \u003d ... \u003d टी एन
सबूत: इसलिए, जब समान शर्तें(दबाव, आयतन, तापमान) अणुओं की संख्या गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करती है और समान है।
2. डाल्टन का नियम। गैसों के मिश्रण का दबाव प्रत्येक गैस के आंशिक (निजी) दबावों के योग के बराबर होता है। सिद्ध कीजिए: p=p 1 +p 2 +…+p n सबूत:
3. पास्कल का नियम। किसी द्रव या गैस पर उत्पन्न दाब बिना किसी परिवर्तन के सभी दिशाओं में संचारित होता है।

एक आदर्श गैस के लिए राज्य का समीकरण। गैस कानून।

स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या: यह स्वतंत्र चर (निर्देशांक) की संख्या है जो अंतरिक्ष में सिस्टम की स्थिति को पूरी तरह से निर्धारित करते हैं। कुछ समस्याओं में, एक परमाणु गैस अणु (चित्र 1, ए) को एक भौतिक बिंदु माना जाता है, जिसे अनुवाद गति की स्वतंत्रता की तीन डिग्री दी जाती है। यह घूर्णी गति की ऊर्जा को ध्यान में नहीं रखता है। यांत्रिकी में, पहले सन्निकटन में एक डायटोमिक गैस अणु को दो भौतिक बिंदुओं का एक समूह माना जाता है, जो एक गैर-विकृत बंधन (चित्र 1, बी) द्वारा कठोरता से जुड़े होते हैं। यह प्रणालीस्वतंत्रता की तीन डिग्री को छोड़कर आगे बढ़नाघूर्णी गति की स्वतंत्रता के दो और अंश हैं। दोनों परमाणुओं से गुजरने वाली तीसरी धुरी के चारों ओर घूमना व्यर्थ है। इसका मतलब है कि एक द्विपरमाणुक गैस में स्वतंत्रता की पांच डिग्री होती है ( मैं= 5)। एक त्रिपरमाण्विक (चित्र 1, ग) और बहुपरमाणुक अरेखीय अणु में स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है: तीन अनुवादकीय और तीन घूर्णी। यह मान लेना स्वाभाविक है कि परमाणुओं के बीच कोई कठोर बंधन नहीं है। इसलिए, वास्तविक अणुओं के लिए, कंपन गति की स्वतंत्रता की डिग्री को भी ध्यान में रखना आवश्यक है।

किसी दिए गए अणु की स्वतंत्रता की कितनी भी डिग्री के लिए, स्वतंत्रता की तीन डिग्री हमेशा अनुवादकीय होती हैं। स्वतंत्रता की किसी भी अनुवादात्मक डिग्री का दूसरों पर कोई फायदा नहीं है, जिसका अर्थ है कि उनमें से प्रत्येक के पास औसतन समान ऊर्जा है जो मूल्य के 1/3 के बराबर है<ε 0 >(अणुओं की अनुवादकीय गति की ऊर्जा): सांख्यिकीय भौतिकी में, अणुओं की स्वतंत्रता की डिग्री पर ऊर्जा के समान वितरण पर बोल्ट्जमैन का नियम: एक सांख्यिकीय प्रणाली के लिए जो थर्मोडायनामिक संतुलन में है, स्वतंत्रता की प्रत्येक अनुवादकीय और घूर्णी डिग्री के लिए, एक औसत है गतिज ऊर्जा, kT/2 के बराबर, और स्वतंत्रता की प्रत्येक कंपन डिग्री के लिए - औसतन, kT के बराबर ऊर्जा। कंपन डिग्री में दोगुनी ऊर्जा होती है, क्योंकि यह गतिज ऊर्जा (जैसा कि अनुवाद और घूर्णी गति के मामले में) और संभावित ऊर्जा दोनों के लिए जिम्मेदार है, और संभावित और गतिज ऊर्जा के औसत मूल्य समान हैं। अतः अणु की औसत ऊर्जा कहाँ पे मैं- अनुवादक की संख्या का योग, अणु की स्वतंत्रता की कंपन डिग्री की दोगुनी संख्या में घूर्णन की संख्या: मैं=मैंपोस्ट + मैंरोटेशन +2 मैंकंपन शास्त्रीय सिद्धांत में, अणुओं को परमाणुओं के बीच एक कठोर बंधन के साथ माना जाता है; लिए उन्हें मैंअणु की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के साथ मेल खाता है। के बाद से आदर्श गैसचूँकि अणुओं की परस्पर क्रिया की पारस्परिक स्थितिज ऊर्जा शून्य है (अणु एक दूसरे से परस्पर क्रिया नहीं करते हैं), तो गैस के एक मोल के लिए आंतरिक ऊर्जा अणुओं की गतिज ऊर्जा N A के योग के बराबर होगी: (1) आंतरिक ऊर्जा गैस का एक मनमाना द्रव्यमान m। जहां एम - दाढ़ जन, ν - पदार्थ की मात्रा।

घंटों में पेंडुलम की गति, भूकंप, प्रत्यावर्ती धाराएक विद्युत परिपथ में, रेडियो प्रसारण और रेडियो रिसेप्शन की प्रक्रियाएं पूरी तरह से भिन्न होती हैं, नहीं बंधा हुआ दोस्तअन्य प्रक्रियाओं के साथ। उनमें से प्रत्येक का अपना है विशेष कारण, लेकिन वे एक संकेत से एकजुट होते हैं - परिवर्तन की प्रकृति की समानता का संकेत भौतिक मात्राअधिक समय तक। ये और विभिन्न भौतिक प्रकृति की कई अन्य प्रक्रियाएं, कई मामलों में, एक के रूप में विचार करना उचित हो जाता है विशेष प्रकारभौतिक घटनाएं - उतार-चढ़ाव।

भौतिक घटनाओं की एक सामान्य विशेषता, जिसे दोलन कहा जाता है, समय में उनकी पुनरावृत्ति है। एक अलग भौतिक प्रकृति के साथ, एक ही नियम के अनुसार कई दोलन होते हैं, जिससे इसे लागू करना संभव हो जाता है सामान्य तरीकेउनके विवरण और विश्लेषण के लिए।

हार्मोनिक कंपन।से एक बड़ी संख्या मेंप्रकृति और प्रौद्योगिकी में विभिन्न दोलन, हार्मोनिक दोलन विशेष रूप से सामान्य हैं। हार्मोनिक दोलन वे होते हैं जो कोसाइन या साइन के नियम के अनुसार होते हैं:

एक मूल्य कहां है जो उतार-चढ़ाव का अनुभव करता है; - समय; - लगातार, जिसका अर्थ बाद में समझाया जाएगा।

किसी मात्रा का वह अधिकतम मान जो एक हार्मोनिक नियम के अनुसार बदलता है, दोलनों का आयाम कहलाता है। हार्मोनिक दोलनों के लिए कोसाइन या साइन के तर्क को दोलन का चरण कहा जाता है

समय के प्रारंभिक क्षण में दोलन के चरण को प्रारंभिक चरण कहा जाता है। पहला भागसमय के प्रारंभिक क्षण में मात्रा का मूल्य निर्धारित करता है

साइन या कोसाइन फ़ंक्शन के मान तब दोहराए जाते हैं जब फ़ंक्शन तर्क में परिवर्तन होता है, इसलिए, हार्मोनिक दोलनों के साथ, परिमाण मान दोहराए जाते हैं जब दोलन चरण में परिवर्तन होता है। दूसरी ओर, एक हार्मोनिक दोलन के दौरान, मात्रा को एक समय अंतराल में समान मान लेना चाहिए जिसे दोलन अवधि T कहा जाता है। इसलिए, चरण परिवर्तन होता है

दोलन अवधि के माध्यम से टी। उस स्थिति के लिए जब हम प्राप्त करते हैं:

व्यंजक (1.2) से यह इस प्रकार है कि हार्मोनिक दोलनों के समीकरण में स्थिरांक सेकंड में होने वाले दोलनों की संख्या है। मान को चक्रीय दोलन आवृत्ति कहा जाता है। व्यंजक (1.2) का उपयोग करते हुए, समीकरण (1.1) को आवृत्ति या दोलनों की अवधि T के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

साथ में विश्लेषणात्मक तरीके सेहार्मोनिक दोलनों का विवरण व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ग्राफिक तरीकेउनकी प्रस्तुतियाँ।

पहला तरीका है उतार-चढ़ाव का शेड्यूल सेट करना कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक। समय I को भुज के साथ प्लॉट किया जाता है, और बदलते मान का मान कोटि के साथ प्लॉट किया जाता है। हार्मोनिक दोलनों के लिए, यह ग्राफ एक साइन या कोसाइन तरंग है (चित्र 1)।

दोलन प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करने का दूसरा तरीका वर्णक्रमीय है। आयाम को निर्देशांक अक्ष के साथ मापा जाता है, और हार्मोनिक दोलनों की आवृत्ति को भुज अक्ष के साथ मापा जाता है। आवृत्ति और आयाम के साथ हार्मोनिक थरथरानवाला प्रक्रिया इस मामले में एक ऊर्ध्वाधर खंड द्वारा एक बिंदु से खींची गई सीधी लंबाई के साथ एब्सिस्सा अक्ष (छवि 2) पर एक समन्वय के साथ प्रतिनिधित्व किया जाता है।

हार्मोनिक दोलनों का वर्णन करने का तीसरा तरीका है विधि वेक्टर आरेख. इस पद्धति में, किसी भी समय एक हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलने वाली मात्रा के मूल्य को खोजने के लिए निम्नलिखित, विशुद्ध रूप से औपचारिक तकनीक का उपयोग किया जाता है:

हम विमान पर एक मनमाने ढंग से निर्देशित चुनते हैं समन्वय अक्षजिसके साथ हम अपने लिए ब्याज के मूल्य की गणना करेंगे अक्ष के साथ मूल से हम एक सदिश मापांक खींचते हैं जो हार्मोनिक दोलन xm के आयाम के बराबर है। यदि अब हम कल्पना करें कि वेक्टर एक स्थिर कोणीय वेग c वामावर्त के साथ एक विमान में मूल के चारों ओर घूमता है, तो किसी भी समय घूर्णन वेक्टर और अक्ष के बीच का कोण अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यांत्रिक हार्मोनिक दोलन- यह सीधा है असमान गति, जिस पर समय के आधार पर कोसाइन या साइन कानून के अनुसार एक दोलनशील पिंड (भौतिक बिंदु) के निर्देशांक बदलते हैं।

इस परिभाषा के अनुसार, समय के आधार पर समन्वय परिवर्तन के नियम का रूप है:

जहां wt कोसाइन या साइन साइन के तहत मान है; वू- गुणांक, भौतिक अर्थजिसे हम नीचे प्रकट करेंगे; ए यांत्रिक हार्मोनिक दोलनों का आयाम है।

समीकरण (4.1) बुनियादी हैं गतिज समीकरणयांत्रिक हार्मोनिक दोलन।

विचार करना अगला उदाहरण. आइए ऑक्स अक्ष को लें (चित्र 64)। बिंदु 0 से हम त्रिज्या R = A के साथ एक वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए कि स्थिति 1 से बिंदु M एक स्थिर गति से वृत्त के चारों ओर घूमना शुरू करता है वी(या निरंतर कोणीय वेग के साथ वू, वी = डब्ल्यूए) कुछ समय बाद t, त्रिज्या एक कोण से घूमेगी एफ: एफ = डब्ल्यूटी.

बिंदु M की परिधि के साथ इस तरह के आंदोलन के साथ, x-अक्ष M x पर इसका प्रक्षेपण x-अक्ष के साथ आगे बढ़ेगा, जिसका समन्वय x x \u003d A cos के बराबर होगा एफ = = एक्योंकि डब्ल्यूटी. इस प्रकार, यदि कोई भौतिक बिंदु त्रिज्या A के एक वृत्त के साथ चलता है, जिसका केंद्र मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, तो इस बिंदु का x-अक्ष पर (और y-अक्ष पर) प्रक्षेपण हार्मोनिक बना देगा यांत्रिक कंपन.

यदि मान wt, जो कोसाइन चिह्न के नीचे है, और आयाम A ज्ञात है, तो x को समीकरण (4.1) में भी निर्धारित किया जा सकता है।

मान wt, जो कोसाइन (या साइन) चिह्न के नीचे होता है, जो विशिष्ट रूप से दिए गए आयाम पर दोलन बिंदु के समन्वय को निर्धारित करता है, कहलाता है दोलन चरण. एक वृत्त के अनुदिश गतिमान बिंदु M के लिए, मान w का अर्थ है उसका कोणीय वेग। बिंदु M x के लिए मान w का भौतिक अर्थ क्या है, जो यांत्रिक हार्मोनिक दोलन करता है? दोलन बिंदु M x के निर्देशांक किसी समय t और (T +1) (अवधि T की परिभाषा से) पर समान होते हैं, अर्थात A cos डब्ल्यूटी =ए कॉस डब्ल्यू (टी + टी), जिसका अर्थ है कि वू(टी + टी) - डब्ल्यूटी = 2 अनुकरणीय(कोज्या फलन के आवर्त गुण से)। इसलिए यह इस प्रकार है कि

इसलिए, एक भौतिक बिंदु के लिए जो हार्मोनिक यांत्रिक दोलन करता है, w के मान की व्याख्या एक निश्चित के लिए दोलनों की संख्या के रूप में की जा सकती है। चक्रके बराबर समय 2ली. इसलिए, मान वूबुलाया चक्रीय(या वृत्ताकार) आवृत्ति.

यदि बिंदु M बिंदु 1 से नहीं बल्कि बिंदु 2 से अपनी गति शुरू करता है, तो समीकरण (4.1) का रूप लेगा:

मूल्य च 0बुलाया पहला भाग.

हम समय के संबंध में निर्देशांक के व्युत्पन्न के रूप में बिंदु M x की गति पाते हैं:

हम गति के व्युत्पन्न के रूप में हार्मोनिक कानून के अनुसार एक बिंदु के त्वरण को परिभाषित करते हैं:

यह सूत्र (4.4) से देखा जा सकता है कि हार्मोनिक दोलन करने वाले एक बिंदु की गति भी कोसाइन कानून के अनुसार बदल जाती है। लेकिन चरण में वेग निर्देशांक से आगे है पीआई/2. हार्मोनिक दोलन के दौरान त्वरण कोसाइन कानून के अनुसार बदलता है, लेकिन चरण में समन्वय से आगे है पी. समीकरण (4.5) को x निर्देशांक के रूप में लिखा जा सकता है:

हार्मोनिक दोलनों के दौरान त्वरण विस्थापन c . के समानुपाती होता है विपरीत चिन्ह. हम समीकरण (4.5) के दाएँ और बाएँ भागों को दोलन सामग्री बिंदु m के द्रव्यमान से गुणा करते हैं, हमें निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं:

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, अभिव्यक्ति के दाईं ओर (4.6) का भौतिक अर्थ बल F x का प्रक्षेपण है, जो हार्मोनिक प्रदान करता है यांत्रिक गति:

F x का मान विस्थापन x के समानुपाती होता है और इसके विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। ऐसे बल का एक उदाहरण लोचदार बल है, जिसका परिमाण विरूपण के समानुपाती होता है और इसके विपरीत निर्देशित होता है (हुक का नियम)।

विस्थापन पर त्वरण की निर्भरता की नियमितता, जो हमारे द्वारा यांत्रिक हार्मोनिक दोलनों के लिए माने गए समीकरण (4.6) से होती है, को एक अलग भौतिक प्रकृति के दोलनों पर विचार करते समय सामान्यीकृत और लागू किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, एक दोलन में वर्तमान में परिवर्तन सर्किट, चार्ज में बदलाव, वोल्टेज, इंडक्शन चुंबकीय क्षेत्रआदि।)। इसलिए, समीकरण (4.8) को मुख्य समीकरण कहा जाता है हार्मोनिक दोलनों की गतिशीलता.

वसंत और गणितीय पेंडुलम की गति पर विचार करें।

मान लीजिए कि एक स्प्रिंग (चित्र 63), क्षैतिज रूप से स्थित है और बिंदु 0 पर स्थिर है, एक छोर पर m द्रव्यमान का एक पिंड जुड़ा हुआ है, जो बिना घर्षण के x अक्ष के साथ आगे बढ़ सकता है। मान लीजिए कि स्प्रिंग नियतांक k के बराबर है। हम शरीर को प्राप्त करते हैं m बाहरी बलसंतुलन की स्थिति से और जाने दो। फिर, एक्स अक्ष के साथ, केवल लोचदार बल शरीर पर कार्य करेगा, जो हुक के नियम के अनुसार बराबर होगा: F ypr = -kx।

इस पिंड की गति का समीकरण इस तरह दिखेगा:

समीकरणों (4.6) और (4.9) की तुलना करते हुए, हम दो निष्कर्ष निकालते हैं:

सूत्रों (4.2) और (4.10) से हम वसंत पर भार की दोलन अवधि के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

गणितीय लोलकनगण्य द्रव्यमान के लंबे अविभाज्य धागे पर निलंबित द्रव्यमान m का एक पिंड है। संतुलन की स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण बल और धागे का लोचदार बल इस पिंड पर कार्य करेगा। ये ताकतें एक दूसरे को संतुलित करेंगी।

यदि धागा एक कोण पर विक्षेपित होता है एकसंतुलन की स्थिति से, फिर वही बल शरीर पर कार्य करते हैं, लेकिन वे अब एक-दूसरे को संतुलित नहीं करते हैं, और शरीर चाप के साथ स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित गुरुत्वाकर्षण घटक की क्रिया के तहत चाप के साथ चलना शुरू कर देता है और मिलीग्राम पाप के बराबर होता है एक.

पेंडुलम की गति का समीकरण रूप लेता है:

दाईं ओर ऋण चिह्न का अर्थ है कि बल F x = mg sin a विस्थापन के विरुद्ध निर्देशित है। हार्मोनिक दोलन विचलन के छोटे कोणों पर होगा, अर्थात, शर्त के तहत एक 2*पाप एक.

पाप बदलें और मेंसमीकरण (4.12) से हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है।