परिभाषा. भीतर आएं एन दोहराया प्रयोग (परीक्षण) कुछ घटना लेकिन आया एन ए एक बार।

संख्या एन ए घटना की आवृत्ति कहा जाता है लेकिन , और अनुपात

घटना की आपेक्षिक आवृत्ति (या आवृत्ति) कहलाती है लेकिन परीक्षणों की इस श्रृंखला में।

गुण सापेक्ष आवृत्ति

किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति में निम्नलिखित गुण होते हैं।

1. किसी भी घटना की बारंबारता शून्य से एक की सीमा में होती है, अर्थात।

2. आवृत्ति असंभव घटनाशून्य के बराबर है, अर्थात्।

3. एक निश्चित घटना की आवृत्ति 1 है, अर्थात।

4. दो . के योग की आवृत्ति असंगत घटनाएंइन घटनाओं की आवृत्तियों (आवृत्तियों) के योग के बराबर है, अर्थात। अगर =Ø, तो

आवृत्ति है संपत्ति , एक संपत्ति कहा जाता है सांख्यिकीय स्थिरता : प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ (अर्थात वृद्धि के साथ एन ) किसी घटना की आवृत्ति इस घटना की संभावना के करीब मान लेती है आर .

परिभाषा। घटना A की सांख्यिकीय प्रायिकतावह संख्या जिसके चारों ओर किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति में उतार-चढ़ाव होता है, कहलाती है लेकिन पर्याप्त बड़ी संख्यापरीक्षण (प्रयोग) एन .

घटना की संभावना लेकिन प्रतीक द्वारा निरूपित आर (लेकिन ) या आर (लेकिन ) "संभावना" की अवधारणा के प्रतीक के रूप में पत्र की उपस्थिति आर में प्रथम स्थान पर अपनी उपस्थिति से निर्धारित होता है अंग्रेज़ी शब्द संभावना - संभावना।

इसके अनुसार यह परिभाषा

सांख्यिकीय संभाव्यता गुण

1. सांख्यिकीय संभावनाकिसी घटना लेकिनशून्य और एक के बीच है, अर्थात

2. एक असंभव घटना की सांख्यिकीय संभावना ( लेकिन= ) शून्य के बराबर है, अर्थात।

3. एक निश्चित घटना की सांख्यिकीय संभावना ( लेकिन= ) एक के बराबर है, अर्थात,

4. सांख्यिकीय संभावना योग असंगत घटनाएँ इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती हैं, अर्थात्। अगर ए बी= , तब

क्लासिक परिभाषासंभावनाओं

प्रयोग को के साथ करने दें एन परिणाम जिन्हें असंगत समान रूप से संभावित घटनाओं के समूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। वह मामला जिसके कारण घटना घटित होती है लेकिन , अनुकूल या अनुकूल कहा जाता है, अर्थात। हो रहा वू घटना का कारण बनता है लेकिन , वा .

परिभाषा. किसी घटना की प्रायिकता लेकिन संख्या का अनुपात कहा जाता है एम इस घटना के अनुकूल मामलों की कुल संख्या एन मामले, यानी

"शास्त्रीय" संभावना के गुण

1. स्वयंसिद्ध गैर-नकारात्मकता : किसी घटना की प्रायिकता लेकिनगैर-ऋणात्मक है, अर्थात्।

आर(लेकिन) ≥ 0.

2. स्वयंसिद्ध मानकीकरण : कुछ घटना की संभावना ( लेकिन= ) एक के बराबर है:

3. स्वयंसिद्ध additivity : योग की प्रायिकता असंगत घटनाएँ (या दो असंगत घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता) इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है, अर्थात्। अगर ए बी=Ø, तब

घटना की संभावना: आर() = 1 – आर(लेकिन)।

किसी घटना की प्रायिकता के लिए जो योग है कोई भी दो घटनाएं लेकिनऔर पर,सही सूत्र है:

अगर घटनाएं लेकिनऔर परएक ही समय में एक परीक्षण के परिणामस्वरूप नहीं हो सकता है, अर्थात। दूसरे शब्दों में, यदि ए बी- असंभव घटना, उन्हें कहा जाता है असंगत या असंगत , और फिर आर(ए बी) = 0 और घटनाओं के योग की संभावना का सूत्र विशेष रूप से सरल रूप लेता है:

यदि घटनाएं लेकिनऔर परएक परीक्षण के परिणामस्वरूप हो सकता है, उन्हें कहा जाता है अनुकूल .

उपयोगी एल्गोरिथम

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हुए प्रायिकता ज्ञात करते समय, निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन किया जाना चाहिए।

1. यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि प्रयोग क्या है।

2. स्पष्ट रूप से बताएं कि घटना क्या है लेकिनजिसकी संभावना तलाशी जा रही है।

3. स्पष्ट रूप से तैयार करें कि विचाराधीन समस्या में प्राथमिक घटना क्या होगी। एक प्रारंभिक घटना को तैयार और परिभाषित करने के बाद, किसी को तीन शर्तों की जांच करनी चाहिए जो परिणामों के एक सेट से संतुष्ट होनी चाहिए, अर्थात। .

6. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के बाद, निर्धारित करें

समस्याओं का समाधान करते समय सबसे आम गलती एक प्राथमिक घटना के रूप में क्या लिया जाता है की एक अस्पष्ट समझ है वू , और सेट के निर्माण की शुद्धता और किसी घटना की संभावना की गणना की शुद्धता इस पर निर्भर करती है। आमतौर पर, व्यवहार में, सबसे सरल परिणाम को एक प्राथमिक घटना के रूप में लिया जाता है, जिसे सरल लोगों में "विभाजित" नहीं किया जा सकता है।

शास्त्रीय परिभाषा में, एक घटना की संभावना समानता Р(А)=m/n द्वारा निर्धारित की जाती है, जहां एम प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की संख्या है जो घटना की उपस्थिति के पक्ष में है; n संभावित प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या है।

यह माना जाता है कि प्राथमिक परिणाम बनते हैं पूरा समूहऔर समान रूप से संभव है।

घटना ए की सापेक्ष आवृत्ति: डब्ल्यू (ए) = एम / एन, जहां एम परीक्षण की संख्या है जिसमें घटना ए हुई; n-कुल संख्याकिए गए परीक्षण।

एक सांख्यिकीय परिभाषा में, किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति को किसी घटना की प्रायिकता के रूप में लिया जाता है।

उदाहरण: दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गिराए गए फलकों पर अंकों का योग सम है, और कम से कम एक पासे के फलक पर एक छक्का दिखाई देता है।

समाधान: "पहले" के गिरे हुए चेहरे पर पासाएक बिंदु प्रकट हो सकता है, ..., छह अंक। "दूसरा" पासा फेंकते समय समान छह प्राथमिक परिणाम संभव हैं। "पहले" थ्रो के प्रत्येक परिणाम को "सेकंड" थ्रो के प्रत्येक परिणाम के साथ जोड़ा जा सकता है। परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या 6 * 6 = 36 है। ये परिणाम एक पूर्ण समूह बनाते हैं और हड्डियों की समरूपता के कारण समान रूप से संभव हैं। अनुकूल घटनाएं 5 चालें हैं: 1) 6.2; 2) 6.4; 3) 6.6; 4) 2.6; 5) 4.6;

वांछित संभावना: P(A)=5/36

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विषय पर अधिक 3. सापेक्ष आवृत्ति। सापेक्ष आवृत्तियों की स्थिरता। संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा:

1. 4. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा। घटना की सापेक्ष आवृत्ति। सांख्यिकीय संभावना। ज्यामितीय संभावना।
2. 27. नमूने की सांख्यिकीय परिभाषा। विविधता श्रृंखला और उनका ग्राफिक प्रतिनिधित्व। बहुभुज और आवृत्तियों का हिस्टोग्राम (सापेक्ष आवृत्तियों)।
3. 39. अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण। आवृत्तियों और सापेक्ष आवृत्तियों का हिस्टोग्राम।
4. 4. स्वतंत्र परीक्षणों में स्थिर प्रायिकता से सापेक्ष आवृत्ति के विचलन की प्रायिकता

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

संभावना - संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं में से एक। इस अवधारणा की कई परिभाषाएँ हैं। संभावना एक संख्या है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री को दर्शाती है।

संभावित परीक्षा परिणामों में से प्रत्येक को कहा जाता है प्रारंभिक परिणाम (प्राथमिक घटना)।पदनाम:…,

वे प्रारंभिक परिणाम जिनमें हमारे लिए रुचि की घटना घटित होती है, हम उन्हें कॉल करेंगे अनुकूल।

उदाहरण:कलश 10 . में समान गेंदजिनमें से 4 काले, 6 सफेद हैं। घटना - कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है। कलश से सफेद गेंदों को निकालने वाले अनुकूल परिणामों की संख्या 4 है।

घटना के अनुकूल प्राथमिक परिणामों की संख्या और उनकी कुल संख्या के अनुपात को घटना की प्रायिकता कहा जाता है; संकेतन हमारे उदाहरण में

किसी घटना की प्रायिकताइस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या के अनुपात को सभी समान रूप से संभव असंगत प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या से अनुपात कहते हैं जो एक पूर्ण समूह बनाते हैं,

घटना के पक्ष में प्राथमिक परिणामों की संख्या कहां है; परीक्षण के सभी संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या।

संभाव्यता गुण:

1. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है, अर्थात्।

2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है, अर्थात।इ।

3. एक यादृच्छिक घटना की संभावना है सकारात्मक संख्याशून्य और एक के बीच, अर्थात्।इ।

या

गुण 1 और 2 को ध्यान में रखते हुए, किसी भी घटना की संभावना असमानता को संतुष्ट करती है

4 . मूल सूत्रसाहचर्य

कॉम्बिनेटरिक्स कुछ शर्तों के अधीन संयोजनों की संख्या का अध्ययन करता है जो एक मनमानी प्रकृति के तत्वों के दिए गए सीमित सेट से बना हो सकता है। संभावनाओं की सीधे गणना करते समय, कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों का अक्सर उपयोग किया जाता है। हम उनमें से सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले प्रस्तुत करते हैं।

क्रमपरिवर्तनउसी से मिलकर बनने वाले संयोजन कहलाते हैं विभिन्न तत्वऔर केवल उसी क्रम में भिन्न होते हैं जिसमें वे स्थित होते हैं।

सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों की संख्या

कहाँ पे यह स्वीकार किया जाता है कि

उदाहरण।तीन अंकों की संख्या की संख्या जब प्रत्येक अंक को छवि में शामिल किया जाता है तीन अंकों की संख्याबस एक बार, वही

प्लेसमेंटतत्वों द्वारा विभिन्न तत्वों से बने संयोजन कहलाते हैं जो या तो तत्वों की संरचना में या उनके क्रम में भिन्न होते हैं। सभी संभावित नियुक्तियों की संख्या

उदाहरण। 6 झंडों से संकेतों की संख्या विभिन्न रंग 2 द्वारा लिया गया:

युग्मकम से कम एक तत्व से भिन्न तत्वों द्वारा विभिन्न तत्वों से बने संयोजन कहलाते हैं। संयोजनों की संख्या

उदाहरण। 10 भागों वाले बॉक्स से दो भागों को चुनने के तरीकों की संख्या:

प्लेसमेंट की संख्या, क्रमपरिवर्तन और संयोजन समानता से संबंधित हैं

समस्याओं को हल करते समय, कॉम्बिनेटरिक्स का उपयोग करते हैं निम्नलिखित नियम:

योग नियम. यदि किसी वस्तु को वस्तुओं के समूह से तरीकों से चुना जा सकता है, और किसी अन्य वस्तु को तरीकों से चुना जा सकता है, तो या तो , या तरीकों से चुना जा सकता है।

प्रॉडक्ट नियम. यदि किसी वस्तु का चयन वस्तुओं के संग्रह से तरीकों से किया जा सकता है, और ऐसे प्रत्येक चयन के बाद वस्तु को तरीकों से चुना जा सकता है, तो उस क्रम में वस्तुओं की एक जोड़ी को तरीकों से चुना जा सकता है।

सापेक्ष आवृत्तिभी संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा है।

सापेक्ष आवृत्तिघटनाएँ उन परीक्षणों की संख्या का अनुपात हैं जिनमें घटना वास्तव में किए गए परीक्षणों की कुल संख्या के लिए प्रकट हुई और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

,

परीक्षण में घटना की घटनाओं की संख्या, परीक्षणों की कुल संख्या कहां है।

संभाव्यता और सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषाओं की तुलना करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि संभाव्यता की परिभाषा में परीक्षण की आवश्यकता नहीं होती है, और सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषा में वास्तविक परीक्षण शामिल होता है।

लंबी अवधि के अवलोकन से पता चलता है कि प्रयोग करते समय समान शर्तें, सापेक्ष आवृत्ति में स्थिरता का गुण होता है। यह गुण इस तथ्य में निहित है कि प्रयोगों की विभिन्न श्रृंखलाओं में परीक्षणों की सापेक्ष आवृत्ति श्रृंखला से श्रृंखला में बहुत कम होती है, एक निश्चित स्थिर संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव होती है। ये है स्थिर संख्याऔर घटना घटने की संभावना बनी रहती है।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा में कुछ कमियां हैं:

1) परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों की संख्या सीमित है, व्यवहार में यह संख्या अनंत हो सकती है;

2) बहुत बार परीक्षा परिणाम को प्राथमिक घटनाओं के एक सेट के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है;

इन कारणों से, प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के साथ, कोई उपयोग करता है सांख्यिकीय परिभाषा: मेंगुणवत्ता सांख्यिकीय संभावना घटनाएँ एक सापेक्ष आवृत्ति पर होती हैं।

सापेक्ष आवृत्ति। सापेक्ष आवृत्ति स्थिरता

किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति उन परीक्षणों की संख्या का अनुपात है जिनमें घटना घटित हुई और वास्तव में किए गए परीक्षणों की कुल संख्या है। , घटना A की आपेक्षिक आवृत्ति द्वारा दी गई है

जहाँ m घटना की घटनाओं की संख्या है, n परीक्षणों की कुल संख्या है।

संभाव्यता के निर्धारण के लिए यह आवश्यक नहीं है कि परीक्षण वास्तविकता में किए जाएं; सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषा मानती है कि परीक्षण वास्तव में किए गए थे। दूसरे शब्दों में, संभावना की गणना अनुभव से पहले की जाती है, और सापेक्ष आवृत्ति की गणना अनुभव के बाद की जाती है।

लंबी अवधि के अवलोकनों से पता चला है कि यदि प्रयोग उन्हीं परिस्थितियों में किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में परीक्षणों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो सापेक्ष आवृत्ति स्थिरता की संपत्ति को प्रदर्शित करती है। यह संपत्ति है कि विभिन्न अनुभवसापेक्ष आवृत्ति में थोड़ा बदलाव होता है (कम, अधिक परीक्षण किए जाते हैं), एक निश्चित स्थिर संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव। यह पता चला कि यह स्थिर संख्या किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है।

, मामले में अनुभवसापेक्ष आवृत्ति सेट की जाती है, तो परिणामी संख्या को संभाव्यता के अनुमानित मूल्य के रूप में लिया जा सकता है।

उदाहरण 1. एक सिक्के को उछालने पर बार-बार प्रयोग किए गए, जिसमें 'हथियारों के कोट' के आने की संख्या को गिना गया। कई प्रयोगों के परिणाम तालिका में दिए गए हैं।

सापेक्ष आवृत्ति नगण्य है। संख्या 0.5 से विचलन करें, और इससे कम अधिक संख्यापरीक्षण।

यदि हम इस बात को ध्यान में रखें कि एक सिक्के को उछालने पर के प्रकट होने की प्रायिकता = 0.5, तो हम फिर से आश्वस्त हो जाते हैं कि यह संबंधित है। आवृत्ति ver-ty के आसपास उतार-चढ़ाव करती है।

ज़्यादातर कमजोर पक्षक्लासिक ver-ty की परिभाषा यह है कि प्राथमिक घटनाओं के रूप में एक परीक्षण के परिणाम का प्रतिनिधित्व करना अक्सर असंभव होता है। Element.ob-I को समान रूप से संभावित मानने के लिए आधारों को इंगित करना और भी कठिन है। इस कारण से, क्लासिक के साथ Ver-ty की परिभाषा आदि का प्रयोग किया जाता है।
Ref.rf . पर होस्ट किया गया
def। देखें। विशेष रूप से, सांख्यिकीय:रिश्तेदारों को घटनाओं के सांख्यिकीय सत्य के रूप में लिया जाता है। आवृत्ति या उसके करीब की संख्या।

साथ ही, सांख्यिकीय ver-ty की परिभाषा का अपना -ʼʼ है। उदाहरण के लिए, सांख्यिकीय ver-ty की अस्पष्टता। तो माना उदाहरण में, न केवल 0.5, बल्कि 0.5069, और 0.5016, आदि को घटना के रूप में लिया जा सकता है।

संकल्पना ज्यामितीय संस्करणकॉम्प. अगले:

क्षेत्र G का पथ यादृच्छिक रूप से एक बिंदु से फेंका जाता है। अभिव्यक्ति "यादृच्छिक रूप से फेंका गया" को आमतौर पर इस अर्थ में समझा जाता है कि फेंका गया बिंदु क्षेत्र G के किसी भी बिंदु से टकरा सकता है। क्षेत्र G का भाग इस भाग (लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन) के माप के समानुपाती होता है और यह इसके स्थान और आकार पर निर्भर नहीं करता है।

उस। यदि g क्षेत्र G का भाग है, तो परिभाषा के अनुसार क्षेत्र g से टकराने की प्रायिकता = P (g) = माप g/माप G. ध्यान दें कि यहां सभी प्रारंभिक परिणामों का समुच्चय G क्षेत्र के सभी बिंदुओं का संयोग है और इसलिए, इसमें शामिल हैं एक अनंत संख्याप्राथमिक घटनाएँ => geom की अवधारणा। Ver-tʼʼ को "क्लासिक" की अवधारणा का सामान्यीकरण माना जा सकता है। Ver-tʼʼ के साथ प्रयोगों के मामले में एक अनंत संख्यापरिणाम।

बैठक कार्य. हल करें: व्यक्तियों ए और बी के आगमन के समय एक्स और वाई द्वारा निरूपित करें। बैठक होगी यदि |x-y|≤10।

यदि आप x और y को के रूप में निरूपित करते हैं कार्तीय निर्देशांकवर्ग पर, तो सभी संभावित परिणामों को एक वर्ग के बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा जिसकी भुजाएँ 60 हैं।

10≤y-x≤10

बफन की समस्या. रेश-ई: आइए संकेतन का परिचय दें: x सुई के बीच से निकटतम समानांतर तक की दूरी है;

φ वह कोण है जो यह समानांतर सुई के साथ बनाता है।

सुई की स्थिति पूरी तरह से x और के दिए गए विशिष्ट मानों से निर्धारित होती है। इसके अलावा, एक्स (0; ए), φЄ (0; )। दूसरे शब्दों में, सुई का मध्य भाग a और वाले आयत के किसी भी बिंदु से टकरा सकता है।

उस। दिया गया आयतएक आकृति G के रूप में माना जा सकता है, जिसके बिंदु सुई के मध्य की सभी संभावित स्थितियाँ हैं। जाहिर है, यह आंकड़ा \u003d а का क्षेत्र है।

आइए एक आंकड़ा जी खोजें, जिसका प्रत्येक बिंदु हमारे लिए रुचि की घटना का पक्ष लेता है, .ᴇ. आकृति का प्रत्येक बिंदु सुई के मध्य के रूप में काम कर सकता है, जिसे समानांतर द्वारा पार किया जाता है।

इस शर्त के तहत सुई इसके निकटतम समानांतर को पार करेगी: x≤l sinφ

वे। यदि सुई का मध्य चित्र (2) में छायांकित आकृति के किसी भी बिंदु में गिरता है। उस। छायांकित आकृति को g के रूप में देखा जा सकता है। आइए इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें:

उत्तर: 2 लीटर/

सापेक्ष आवृत्ति। सापेक्ष आवृत्ति स्थिरता - अवधारणा और प्रकार। "सापेक्ष आवृत्ति। सापेक्ष आवृत्ति स्थिरता" 2017, 2018 श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं।

संभाव्यता सिद्धांत का विषय। परीक्षण। घटना वर्गीकरण।

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो बड़े पैमाने पर सजातीय परीक्षणों (एमओटी) में होने वाले पैटर्न का अध्ययन करती है।

एक परीक्षण किसी भी स्थिति, क्रियाओं का एक जटिल है।

MY ऐसे परीक्षण हैं जिन्हें सैद्धांतिक रूप से अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है (अध्ययन, चुनाव, सिक्का टॉस)।

परीक्षण का परिणाम परीक्षण का संभावित परिणाम है।

एक घटना एक परीक्षण के परिणाम का एक अमूर्त है (चाहे एक घटना मेरी में हुई हो या नहीं)।

उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालना एक परीक्षा है, जबकि "ईगल" की उपस्थिति एक घटना है।

घटना को आमतौर पर बड़े अक्षांश से दर्शाया जाता है। अक्षर ए, बी, सी।

घटना के प्रकार:

1. एक निश्चित घटना को एक घटना कहा जाता है जो परीक्षण के किसी भी परिणाम के साथ घटित होगी।

2. असंभव - परीक्षण के किसी भी परिणाम के तहत नहीं होगा।

3. यादृच्छिक - परीक्षण के परिणामस्वरूप हो भी सकता है और नहीं भी।

जैसे एक पासा उछाला जाता है।

घटना ए - अंकों की संख्या> 6: महत्वपूर्ण नहीं है।

घटना बी - स्कोर> 6: असंभव।

घटना सी - 1 से 6: यादृच्छिक।

यादृच्छिक घटनाएँ

1. समतुल्य - वे जिसके लिए परीक्षण के व्यक्तिगत परिणामों की समानता है।

जैसे, ताश के पत्तों से राजा, इक्का, रानी, ​​जैक निकालना।

2. केवल वे ही संभव हैं यदि उनमें से कम से कम एक का परीक्षण में होना निश्चित है।

जैसे, एक परिवार में 2 बच्चे हैं: A - 2 लड़के, B - 2 लड़कियाँ, C - 1 मी और 1 d।

कॉम्बिनेटरिक्स। कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्र।

कॉम्बिनेटरिक्स यौगिकों का विज्ञान है। एक कनेक्शन को एक निश्चित सेट के तत्वों के किसी भी सेट के रूप में समझा जाता है।

उदाहरण के लिए, दर्शकों में बहुत सारे छात्र बैठे हैं।

सभी यौगिकों को 3 समूहों में बांटा गया है:

1) आवास। n el-t से m () पर R-mi ऐसे यौगिक कहलाते हैं जो या तो el-t की संरचना में, या el-t के संयोजन के क्रम में, या दोनों में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

अनम = एन!/(एनएम)!

काम। अंकों के समुच्चय (1; 2; 3; 4) से कितनी भिन्न 2-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, और ताकि संख्या के अंक भिन्न हों।

और 4 बटा 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12

2) संयोजन। m द्वारा n तत्वों के संयोजन ऐसे यौगिक कहलाते हैं जो केवल तत्वों की संरचना में एक दूसरे से भिन्न होते हैं (क्रम महत्वपूर्ण नहीं है)

n से m = n!/m!*(n-m)!

काम। 30 लोगों का एक समूह कितने तरीकों से उससुरी सेनेटोरियम को वाउचर वितरित कर सकता है।

30 बटा 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060।

3) क्रमपरिवर्तन (पीएन)। n तत्वों के क्रमपरिवर्तन ऐसे यौगिक हैं जिनमें सभी n तत्व शामिल होते हैं और केवल उनके कनेक्शन के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं।

काम। परेड ग्राउंड पर 6 कैडेटों को कितने तरीकों से लाइन में खड़ा किया जा सकता है?

SUM RULE - यदि ऑब्जेक्ट a को सेट से अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है, और ऑब्जेक्ट b को r अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है, तो तत्वों में से एक या बार का चुनाव अलग-अलग r + s तरीकों से किया जा सकता है।

उत्पाद नियम - यदि वस्तु a को अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है, और प्रत्येक ऐसी पसंद के बाद वस्तु b को r अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है, तो तत्वों की एक जोड़ी का चुनाव अलग-अलग r*s तरीकों से किया जा सकता है (a और b = आर * एस)।

संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा। संभाव्यता गुण।

एक घटना ए की संभावना इस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या का अनुपात है जो एक पूर्ण समूह (पी (ए) = एम / एन) बनाने वाले सभी समान रूप से संभावित असंगत प्राथमिक परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है।

गुण इन-टीआई:

1) वी-टी निश्चित घटना = 1।

क्योंकि डी- निश्चित घटना, तो परीक्षण के प्रत्येक संभावित परिणाम घटना के पक्ष में हैं, अर्थात। एम = एन।

पी (डी) = एम/एन = एन/एन = 1/

2) असंभव घटना का मान शून्य होता है। क्योंकि घटना N असंभव है, तो कोई भी प्रारंभिक परिणाम घटना के पक्ष में नहीं है, अर्थात। एम = 0।

पी (डी) = एम/एन = 0/एन = 0/

3) एक यादृच्छिक घटना की संख्या 0 और 1 के बीच एक धनात्मक संख्या होती है। एक यादृच्छिक घटना S केवल के पक्ष में होती है कुल गणनातत्व। परीक्षण के परिणाम, अर्थात्। 0

0

इस प्रकार, किसी भी घटना का इन-वें दोहरी असमानता को संतुष्ट करता है: 0<=P(A)<=1.

सापेक्ष आवृत्ति। सापेक्ष आवृत्तियों की स्थिरता। संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा।

किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति उन परीक्षणों की संख्या का अनुपात है जिनमें घटना घटित हुई और वास्तव में किए गए परीक्षणों की कुल संख्या है।

W(A)=m/n, जहां m घटना के घटित होने की संख्या है, n परीक्षणों की कुल संख्या है।

V-Th सुझाव देता है, और सापेक्ष आवृत्ति ठीक हो जाती है। V-Th की आवश्यकता नहीं है कि ईवेंट आयोजित किए गए, और सापेक्ष आवृत्ति - की आवश्यकता है। दूसरे शब्दों में, इन-वें ईवेंट की गणना प्रयोगों से पहले की जाती है, और रिले. आवृत्ति के बाद।

सापेक्ष आवृत्ति की स्थिरता।

लंबी अवधि के अवलोकनों से पता चला है कि यदि प्रयोग उन्हीं परिस्थितियों में किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में परीक्षणों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो सापेक्ष आवृत्ति स्थिरता की संपत्ति को प्रदर्शित करती है।

यह गुण इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न प्रयोगों में सापेक्ष आवृत्ति में थोड़ा परिवर्तन होता है, एक निश्चित स्थिर संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव होता है।

यह पता चला कि यह स्थिर संख्या घटना W(A) = P(A) की घटना है।

किसी घटना का सांख्यिकीय भाग वह संख्या है जिसके चारों ओर इस घटना की सापेक्ष आवृत्तियों को समूहीकृत किया जाता है, और निरंतर परिस्थितियों और परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के तहत, सापेक्ष आवृत्ति इस संख्या से थोड़ी भिन्न होती है।