के साथ समस्याओं का समाधान करना जटिल आंकड़ेमूल परिभाषाओं को समझना आवश्यक है। मुख्य कार्यइस समीक्षा लेख में - यह समझाने के लिए कि जटिल संख्याएँ क्या हैं, और जटिल संख्याओं के साथ बुनियादी समस्याओं को हल करने के तरीके प्रस्तुत करने के लिए। इस प्रकार, एक सम्मिश्र संख्या एक संख्या का रूप है जेड = ए + द्वि, कहाँ ए, बी- वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें क्रमशः जटिल संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग कहा जाता है, और निरूपित करते हैं ए = रे (जेड), बी = आईएम (जेड).
मैंकाल्पनिक इकाई कहलाती है। मैं 2 \u003d -1. विशेष रूप से, किसी वास्तविक संख्या को जटिल माना जा सकता है: ए = ए + 0 आई, जहां a वास्तविक है। अगर ए = 0और बी ≠ 0, तो संख्या को विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है।

अब हम सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ प्रारंभ करते हैं।
दो सम्मिश्र संख्याओं पर विचार करें जेड 1 = ए 1 + बी 1 मैंऔर जेड 2 = ए 2 + बी 2 आई.

विचार करना जेड = ए + द्वि.

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, जो बदले में समुच्चय का विस्तार करता है भिन्नात्मक संख्याएंवगैरह। निवेश की इस श्रृंखला को चित्र में देखा जा सकता है: N - पूर्णांकों, Z पूर्णांक हैं, Q परिमेय हैं, R वास्तविक हैं, C जटिल हैं।

जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व

बीजगणितीय संकेतन।

एक जटिल संख्या पर विचार करें जेड = ए + द्विसम्मिश्र संख्या लिखने के इस रूप को कहते हैं बीजगणितीय. लेखन के इस रूप के बारे में हम पिछले अनुभाग में पहले ही विस्तार से चर्चा कर चुके हैं। अक्सर निम्नलिखित चित्रकारी ड्राइंग का उपयोग करें

त्रिकोणमितीय रूप।

यह आंकड़ा से देखा जा सकता है कि संख्या जेड = ए + द्विअलग लिखा जा सकता है। जाहिर है कि ए = आरसीओ (φ), बी = आरएसआईएन (φ), आर=|जेड|, इस तरह z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) एक जटिल संख्या का तर्क कहा जाता है। सम्मिश्र संख्या के इस निरूपण को कहते हैं त्रिकोणमितीय रूप. संकेतन का त्रिकोणमितीय रूप कभी-कभी बहुत सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, किसी सम्मिश्र संख्या को पूर्णांक घात तक बढ़ाने के लिए इसका उपयोग करना सुविधाजनक है, अर्थात्, यदि z = rcos(φ) + rsin(φ)i, वह z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, यह सूत्र कहलाता है डी मोइवर का सूत्र.

प्रदर्शनकारी रूप।

विचार करना z = rcos(φ) + rsin(φ)iमें एक सम्मिश्र संख्या है त्रिकोणमितीय रूप, दूसरे रूप में लिखें z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, अंतिम समानता यूलर सूत्र से आती है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं नए रूप मेजटिल संख्या प्रविष्टियाँ: z = पुनः iφ, जिसे कहा जाता है ठोस. एक सम्मिश्र संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाने के लिए संकेतन का यह रूप भी बहुत सुविधाजनक है: जेड एन = आर एन ई inφ, यहाँ एनजरूरी नहीं कि एक पूर्णांक हो, लेकिन एक मनमाना वास्तविक संख्या हो सकती है। समस्याओं को हल करने के लिए लेखन के इस रूप का अक्सर उपयोग किया जाता है।

उच्च बीजगणित का मौलिक प्रमेय

कल्पना कीजिए कि हमारे पास द्विघात समीकरण x 2 + x + 1 = 0 है। जाहिर है, इस समीकरण का विभेदक ऋणात्मक है और इसकी कोई वास्तविक जड़ नहीं है, लेकिन यह पता चला है कि इस समीकरण की दो अलग-अलग जटिल जड़ें हैं। तो, उच्च बीजगणित का मुख्य प्रमेय कहता है कि n डिग्री के किसी भी बहुपद में कम से कम एक जटिल जड़ होती है। इसका तात्पर्य है कि घात n वाले किसी भी बहुपद का बिल्कुल n होता है जटिल जड़ेंउनकी बहुलता को देखते हुए। यह प्रमेय बहुत है महत्वपूर्ण परिणामगणित में और व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस प्रमेय का एक सरल परिणाम यह है कि एकता के ठीक n विशिष्ट n-डिग्री मूल हैं।

मुख्य प्रकार के कार्य

यह खंड मुख्य प्रकारों को कवर करेगा सरल कार्यजटिल संख्या के लिए। परंपरागत रूप से, सम्मिश्र संख्याओं की समस्याओं को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

• सबसे सरल प्रदर्शन अंकगणितीय आपरेशनसजटिल संख्या से अधिक।
• सम्मिश्र संख्याओं में बहुपदों के मूल ज्ञात करना।
• सम्मिश्र संख्याओं को घात में उठाना।
• जटिल संख्याओं से जड़ों का निष्कर्षण।
• अन्य समस्याओं को हल करने के लिए जटिल संख्याओं का अनुप्रयोग।

अब विचार करें सामान्य तरीकेइन समस्याओं के समाधान।

पहले खंड में वर्णित नियमों के अनुसार जटिल संख्याओं के साथ सबसे सरल अंकगणितीय संचालन करना होता है, लेकिन यदि जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय या घातीय रूपों में प्रस्तुत किया जाता है, तो इस मामले में उन्हें बीजगणितीय रूप में परिवर्तित किया जा सकता है और ज्ञात नियमों के अनुसार संचालन किया जा सकता है।

बहुपदों की जड़ों को ढूँढना आमतौर पर द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए नीचे आता है। मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है, यदि इसका विविक्तकर गैर-ऋणात्मक है, तो इसके मूल वास्तविक होंगे और एक प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार पाए जाते हैं। यदि विवेचक नकारात्मक है, तो डी = -1∙ए 2, कहाँ एएक निश्चित संख्या है, तो हम विवेचक को रूप में दर्शा सकते हैं डी = (आईए) 2, इस तरह √डी = आई|ए|, और फिर आप उपयोग कर सकते हैं प्रसिद्ध सूत्रएक द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए।

उदाहरण. उपरोक्त पर वापस जाएं द्विघात समीकरणएक्स 2 + एक्स + 1 = 0।
विवेचक - डी \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
अब हम आसानी से जड़ें ढूंढ सकते हैं:

सम्मिश्र संख्याओं को घात तक बढ़ाना कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आप एक जटिल संख्या को बीजगणितीय रूप में एक छोटी शक्ति (2 या 3) तक उठाना चाहते हैं, तो आप इसे सीधे गुणा करके कर सकते हैं, लेकिन यदि डिग्री बड़ी है (समस्याओं में यह अक्सर बहुत बड़ी होती है), तो आपको इसकी आवश्यकता है इस संख्या को त्रिकोणमितीय या घातीय रूपों में लिखें और पहले से ज्ञात विधियों का उपयोग करें।

उदाहरण. z = 1 + i पर विचार करें और दसवीं शक्ति तक बढ़ाएँ।
हम z को चरघातांकी रूप में लिखते हैं: z = √2 e iπ/4 ।
तब z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
आइए बीजगणितीय रूप पर लौटें: z 10 = -32i।

सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना घातांक की व्युत्क्रम संक्रिया है, इसलिए इसे इसी तरह से किया जाता है। अक्सर जड़ों को निकालने के लिए प्रयोग किया जाता है। सांकेतिक रूपसंख्या प्रविष्टियाँ।

उदाहरण. एकता की डिग्री 3 के सभी मूल ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण z 3 = 1 की सभी जड़ों को ढूंढते हैं, हम जड़ों को घातीय रूप में देखेंगे।
समीकरण में स्थानापन्न: r 3 e 3iφ = 1 या r 3 e 3iφ = e 0 ।
इसलिए: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, इसलिए φ = 2πk/3।
विभिन्न मूल φ = 0, 2π/3, 4π/3 पर प्राप्त होते हैं।
अतः 1 , e i2π/3 , e i4π/3 मूल हैं।
या बीजगणितीय रूप में:

अंतिम कार्य प्रकार में शामिल हैं महान भीड़समस्याएं हैं और उन्हें हल करने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक सरल उदाहरण दिया गया है:

राशि ज्ञात कीजिए पाप (एक्स) + पाप (2x) + पाप (2x) + … + पाप (एनएक्स).

हालांकि इस समस्या का सूत्रीकरण नहीं है प्रश्न मेंजटिल संख्याओं के बारे में, लेकिन उनकी मदद से इसे आसानी से हल किया जा सकता है। इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित अभ्यावेदन का उपयोग किया जाता है:


यदि अब हम इस प्रतिनिधित्व को योग में प्रतिस्थापित करते हैं, तो समस्या सामान्य ज्यामितीय प्रगति के योग में कम हो जाती है।

निष्कर्ष

गणित में जटिल संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इस समीक्षा लेख में जटिल संख्याओं पर मुख्य संक्रियाओं पर विचार किया गया, जिनमें से कई प्रकार हैं मानक कार्यऔर संक्षेप में बताया सामान्य तरीकेउनके समाधान, जटिल संख्याओं की संभावनाओं के अधिक विस्तृत अध्ययन के लिए, विशेष साहित्य का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है।

साहित्य

जटिल आंकड़े।एक सम्मिश्र संख्या z=a+biabRi2=−1 के रूप की एक संख्या होती है

टिप्पणी।
वास्तविक संख्या a संख्या z का वास्तविक भाग है और इसे a=Rez द्वारा निरूपित किया जाता है
वास्तविक संख्या b, संख्या z का काल्पनिक भाग है और इसे b=Imz के रूप में निरूपित किया जाता है
वास्तविक संख्याएँ संख्याओं और उन पर संक्रियाओं का एक पूरा सेट होती हैं, जो ऐसा लगता है कि गणित के पाठ्यक्रम में किसी भी समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त होना चाहिए। लेकिन ऐसे समीकरण को वास्तविक संख्या x2+1=0 में कैसे हल करें? संख्याओं का एक और विस्तार है - सम्मिश्र संख्याएँ। जटिल संख्याएँ से जड़ें ले सकती हैं नकारात्मक संख्या.
बीजगणितीय रूपजटिल संख्या।जटिल संख्या का बीजीय रूप है z=a+bi(aRbRi2=−1)

टिप्पणी। यदि a=ReZ=0b=Imz=0, तो संख्या z काल्पनिक कहलाती है। अगर a=ReZ=0b=Imz=0, तो संख्या z को विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है

वास्तविक संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या वास्तविक रेखा है। इसके अलावा, वास्तविक रेखा पर "नए बिंदुओं के लिए कोई स्थान नहीं है", अर्थात, वास्तविक अक्ष पर कोई भी बिंदु वास्तविक संख्या से मेल खाता है। नतीजतन, जटिल संख्याएं अब इस रेखा पर स्थित नहीं हो सकती हैं, लेकिन साथ में विचार करने का प्रयास कर सकते हैं वास्तविक अक्ष, जिस पर हम सम्मिश्र संख्या के वास्तविक भाग को अंकित करेंगे, इसके लंबवत एक और अक्ष; हम इसे काल्पनिक अक्ष कहेंगे। फिर किसी भी सम्मिश्र संख्या z = a + ib को निर्देशांक तल पर एक बिंदु से जोड़ा जा सकता है। हम सम्मिश्र संख्या के वास्तविक भाग को भुज अक्ष पर और काल्पनिक भाग को कोटि अक्ष पर आलेखित करेंगे। इस प्रकार, सभी जटिल संख्याओं और विमान के सभी बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है। यदि ऐसा पत्राचार किया जाता है, तो विमान का समन्वयबुलाया जटिल विमान. जटिल संख्या z = a + b i की व्याख्या बिंदु O (0,0) पर शुरुआत के साथ निर्देशांक (a,b) के साथ वेक्टर OA है और बिंदु A(a,b) पर अंत

संयुग्मी संख्याएँ। संख्याएँ z=a+bi और z=a−bi संयुग्म सम्मिश्र संख्याएँ कहलाती हैं

संपत्ति। दो संयुग्मित जटिल संख्याओं का योग और उत्पाद वास्तविक संख्याएँ हैं: z+z=2azz=a2+b2

विपरीत संख्याएँ। संख्याएँ z=a+bi और −z=−a−bi विपरीत सम्मिश्र संख्याएँ कहलाती हैं।

संपत्ति। दो विपरीत सम्मिश्र संख्याओं का योग शून्य होता है:
z+(−z)=0

समान संख्या। दो सम्मिश्र संख्याएँ समान कहलाती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों।

बीजगणितीय रूप में दी गई जटिल संख्याओं के साथ संक्रियाएँ:

अतिरिक्त संपत्ति: दो जटिल संख्याओं का योग z1=a+bi और z2=c+di फॉर्म की एक जटिल संख्या होगी z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d) मैं
उदाहरण: 5+3i+3−i=8+2i

घटाव संपत्ति: दो जटिल संख्याओं का अंतर z1=a+bi और z2=c+di फॉर्म का एक जटिल संख्या होगी z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d) मैं

उदाहरण: । 5+3i−3−i=2+4i

गुणन गुण: दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल z1=a+bi और z2=c+di फॉर्म का एक सम्मिश्र संख्या होगी z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i

उदाहरण: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i

विभाजन संपत्ति: दो जटिल संख्याओं का भागफल z1=a+bi और z2=c+di रूप का एक जटिल संख्या होगी z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi

उदाहरण: । 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i

त्रिकोणमितीय रूप में दी गई जटिल संख्याओं के साथ संक्रियाएँ
सम्मिश्र संख्या z = a + bi को z=rcos+isin के रूप में लिखने पर सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप कहा जाता है।

सम्मिश्र संख्या का मापांक: r=a2+b2

सम्मिश्र संख्या तर्क: cos=rasin=rb

काल्पनिक और जटिल संख्याएँ

अपूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें:
एक्स 2 \u003d ए,
जहाँ एक - ज्ञात मात्रा. इस समीकरण का हल इस प्रकार लिखा जा सकता है:
यहां तीन संभावित मामले हैं:

1). यदि ए = 0, तो एक्स = 0।

2). यदि एक- सकारात्मक संख्या, तो यह वर्गमूलइसके दो अर्थ हैं: एक सकारात्मक, दूसरा नकारात्मक; उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 \u003d 25 की दो जड़ें हैं: 5 और - 5। इसे अक्सर दोहरे चिन्ह के साथ जड़ के रूप में लिखा जाता है:
3) यदि एक ऋणात्मक संख्या है, तो इस समीकरण का ज्ञात धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बीच कोई हल नहीं है, क्योंकि किसी भी संख्या की दूसरी शक्ति एक गैर-ऋणात्मक संख्या है (इसके बारे में सोचें!)। परन्तु यदि हम समीकरण x 2 = a का हल भी प्राप्त करना चाहते हैं नकारात्मक मूल्य a, हमें एक नए प्रकार की संख्या - काल्पनिक संख्याएँ पेश करने के लिए मजबूर किया जाता है। इस प्रकार, एक काल्पनिक संख्या एक संख्या है जिसकी दूसरी शक्ति एक ऋणात्मक संख्या है। काल्पनिक संख्याओं की इस परिभाषा के अनुसार हम एक काल्पनिक इकाई को भी परिभाषित कर सकते हैं:
तब समीकरण x 2 = - 25 के लिए हमें दो काल्पनिक मूल प्राप्त होते हैं:
इन दोनों मूलों को अपने समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक सर्वसमिका प्राप्त होती है। (जाँच करना!)। काल्पनिक संख्याओं के विपरीत, अन्य सभी संख्याएँ (धनात्मक और ऋणात्मक, पूर्णांक और भिन्नात्मक, परिमेय और अपरिमेय) कहलाती हैं वास्तविक या वास्तविक संख्या. वास्तविक और का योग काल्पनिक संख्याएक जटिल संख्या कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है:

जहां ए, बी - वास्तविक संख्या, मैं काल्पनिक इकाई है।

सम्मिश्र संख्याओं के उदाहरण: 3 + 4 i , 7 - 13.6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 + i।

याद करना आवश्यक जानकारीजटिल संख्याओं के बारे में।

जटिल संख्यास्वरूप की अभिव्यक्ति है ए + द्वि, कहाँ ए, बीवास्तविक संख्याएँ हैं, और मैं- तथाकथित काल्पनिक इकाई, प्रतीक जिसका वर्ग -1 है, अर्थात मैं 2 = -1। संख्या एबुलाया वास्तविक भाग, और संख्या बी - काल्पनिक भागजटिल संख्या जेड = ए + द्वि. अगर बी= 0, तो इसके बजाय ए + 0मैंसरलता से लिखें ए. यह देखा जा सकता है कि वास्तविक संख्याएँ हैं विशेष मामलाजटिल आंकड़े।

जटिल संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन वास्तविक के समान हैं: उन्हें एक दूसरे से जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। जोड़ और घटाव नियम के अनुसार आगे बढ़ते हैं ( ए + द्वि) ± ( सी + डि) = (ए ± सी) + (बी ± डी)मैं, और गुणन - नियम के अनुसार ( ए + द्वि) · ( सी + डि) = (एसी – बी.डी) + (विज्ञापन + ईसा पूर्व)मैं(यहाँ इसका उपयोग सिर्फ यही किया गया है मैं 2 = -1)। संख्या = ए – द्विबुलाया जटिल सन्युग्मको जेड = ए + द्वि. समानता जेड · = ए 2 + बी 2 आपको यह समझने की अनुमति देता है कि एक सम्मिश्र संख्या को दूसरी (गैर-शून्य) सम्मिश्र संख्या से कैसे विभाजित किया जाए:

(उदाहरण के लिए, .)

जटिल संख्याओं में एक सुविधाजनक और दृश्य है ज्यामितीय प्रतिनिधित्व: संख्या जेड = ए + द्विनिर्देशांक के साथ एक वेक्टर के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ( ए; बी) पर कार्टेशियन विमान(या, जो लगभग समान है, एक बिंदु - इन निर्देशांक के साथ वेक्टर का अंत)। इस मामले में, दो सम्मिश्र संख्याओं के योग को संबंधित सदिशों (जो समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा पाया जा सकता है) के योग के रूप में दर्शाया गया है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, निर्देशांक के साथ सदिश की लंबाई ( ए; बी) के बराबर है । यह मान कहलाता है मापांकजटिल संख्या जेड = ए + द्विऔर | द्वारा निरूपित किया जाता है जेड|। यह सदिश x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ जो कोण बनाता है (वामावर्त गिना जाता है) कहलाता है तर्कजटिल संख्या जेडऔर अर्ग द्वारा निरूपित जेड. तर्क को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन केवल 2 के गुणकों के योग तक π रेडियंस (या 360 डिग्री, यदि आप डिग्री में गिनते हैं) - आखिरकार, यह स्पष्ट है कि मूल के चारों ओर इस तरह के कोण से घूमने से वेक्टर नहीं बदलेगा। लेकिन अगर लंबाई का वेक्टर आरकोण बनाता है φ एक्स-अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ, तो इसके निर्देशांक बराबर हैं ( आरओल φ ; आरपाप φ ). इसलिए यह निकला त्रिकोणमितीय अंकनजटिल संख्या: जेड = |जेड| (कॉस (आर्ग जेड) + मैंपाप (अर्ग जेड)). इस रूप में जटिल संख्याओं को लिखना अक्सर सुविधाजनक होता है, क्योंकि यह गणनाओं को बहुत सरल करता है। त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याओं का गुणन बहुत सरल दिखता है: जेड 1 · जेड 2 = |जेड 1 | · | जेड 2 | (कॉस (आर्ग जेड 1+अर्ग जेड 2) + मैंपाप (अर्ग जेड 1+अर्ग जेड 2)) (दो जटिल संख्याओं को गुणा करते समय, उनके मॉड्यूल को गुणा किया जाता है और तर्क जोड़े जाते हैं)। यहाँ से पालन करें डी मोइवर सूत्र: जेड एन = |जेड|एन(क्योंकि( एन(आर्ग जेड)) + मैंपाप ( एन(आर्ग जेड)))। इन सूत्रों की मदद से, यह सीखना आसान है कि जटिल संख्याओं से किसी भी डिग्री के मूल कैसे निकालें। जड़ एनटी डिग्रीनंबर जेड सेइतनी जटिल संख्या है डब्ल्यू, क्या डब्ल्यू एन = जेड. यह स्पष्ट है कि , और कहाँ कसेट से कोई भी मान ले सकता है (0, 1, ..., एन- 1). इसका मतलब है कि हमेशा सटीक होता है एनजड़ों एनएक जटिल संख्या से वें डिग्री (विमान पर वे एक नियमित के कोने पर स्थित हैं एन-गॉन)।