जोड़ और गुणा की वितरण संपत्ति। पूर्णांकों के गुणन के मूल गुण

पाठ मकसद:

जोड़ और घटाव के संबंध में गुणन के वितरण गुण को व्यक्त करते हुए समानताएं प्राप्त करें।
विद्यार्थियों को इस गुण को बाएँ से दाएँ लागू करना सिखाएँ।
महत्वपूर्ण दिखाएं व्यावहारिक मूल्ययह संपत्ति।
छात्रों में विकास करें तर्कसम्मत सोच. अपने कंप्यूटर कौशल को मजबूत करें।

उपकरण:कंप्यूटर, पोस्टर, गुणन के गुणों के साथ, कारों और सेबों की छवियों के साथ, कार्ड।

कक्षाओं के दौरान

1. शिक्षक का परिचयात्मक भाषण।

आज के पाठ में हम गुणन के एक और गुण पर विचार करेंगे, जिसका बहुत व्यावहारिक महत्व है, यह बहु-अंकीय संख्याओं को शीघ्रता से गुणा करने में मदद करता है। आइए हम गुणन के पहले अध्ययन किए गए गुणों को दोहराएं। जैसे ही हम एक नए विषय का अध्ययन करते हैं, हम अपने गृहकार्य की जांच करेंगे।

2. मौखिक व्यायाम का समाधान।

मैं. बोर्ड पर लिखें:

1 - सोमवार
2 - मंगलवार
3 - बुधवार
4 - गुरुवार
5 - शुक्रवार
6 - शनिवार
7 - रविवार

व्यायाम। सप्ताह के दिन पर विचार करें। नियोजित दिन की संख्या को 2 से गुणा करें। उत्पाद में 5 जोड़ें। योग को 5 से गुणा करें। उत्पाद को 10 गुना बढ़ाएं। परिणाम का नाम दें। आपने अनुमान लगाया है ... एक दिन।

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

द्वितीय. से कार्य इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तक"गणित 5-11kl। गणित के पाठ्यक्रम में महारत हासिल करने के नए अवसर। प्रैक्टिकम"। ड्रोफा एलएलसी 2004, डॉस एलएलसी 2004, सीडी-रोम, एनएफपीके। खंड "गणित। पूर्णांक"। टास्क नंबर 8. एक्सप्रेस नियंत्रण। श्रृंखला में खाली कोशिकाओं को भरें। विकल्प 1।

तृतीय. डेस्क पर:

ए+बी
(ए+बी)*सी
एम-एन
एम * सी - एन * सी

2) सरल करें:

5*x*6*y
3*2*ए
ए * 8 * 7
3*ए*बी

3) x के किन मानों के लिए समानता सत्य हो जाती है:

एक्स + 3 = 3 + एक्स
407 * एक्स = एक्स * 407? क्यों?

गुणन के किन गुणों का उपयोग किया गया था?

3. नई सामग्री सीखना।

बोर्ड पर कारों की तस्वीरों वाला एक पोस्टर है।

चित्र 1।

छात्रों (लड़कों) के 1 समूह के लिए कार्य।

गैरेज में 2 पंक्तियों में ट्रक और कारें हैं। भाव लिखें।

कितना ट्रकोंपहली पंक्ति में? कितनी कारें?
दूसरी पंक्ति में कितने ट्रक हैं? कितनी कारें?
गैरेज में कितनी कारें हैं?
लेन 1 में कितने ट्रक हैं? दो पंक्तियों में कितने ट्रक हैं?
पहली पंक्ति में कितनी कारें हैं? दो पंक्तियों में कितनी कारें हैं?
गैरेज में कितनी कारें हैं?

व्यंजक 3 और 6 के मान ज्ञात कीजिए। इन मानों की तुलना कीजिए। एक नोटबुक में भाव लिखें। समानता पढ़ें।

छात्रों (लड़कों) के 2 समूहों के लिए कार्य।

गैरेज में 2 पंक्तियों में ट्रक और कारें हैं। भावों का क्या अर्थ है:

4 – 3
4 * 2
3 * 2
(4 – 3) * 2
4 * 2 – 3 * 2

अंतिम दो भावों के मान ज्ञात कीजिए।

तो, इन भावों के बीच, आप चिह्न = लगा सकते हैं।

आइए पढ़ते हैं समानता: (4 - 3) * 2 = 4 * 2 - 3 * 2।

लाल और की छवियों के साथ पोस्टर हरे सेब.

चित्र 2।

छात्रों (लड़कियों) के तीसरे समूह के लिए कार्य।

भावों की रचना करें।

एक लाल और एक हरे सेब का एक साथ द्रव्यमान कितना है?
सभी सेबों का एक साथ द्रव्यमान कितना है?
सभी लाल सेबों का एक साथ द्रव्यमान कितना है?
सभी हरे सेबों का एक साथ द्रव्यमान कितना है?
सभी सेबों का द्रव्यमान कितना होता है?

व्यंजकों 2 और 5 के मान ज्ञात कीजिए और उनकी तुलना कीजिए। इस व्यंजक को अपनी नोटबुक में लिखिए। पढ़ना।

छात्रों (लड़कियों) के 4 समूहों के लिए कार्य।

एक लाल सेब का द्रव्यमान 100 ग्राम है, एक हरे सेब का द्रव्यमान 80 ग्राम है।

भावों की रचना करें।

एक लाल सेब का द्रव्यमान हरे सेब के द्रव्यमान से कितने ग्राम अधिक है?
सभी लाल सेबों का द्रव्यमान कितना होता है?
सभी हरे सेबों का द्रव्यमान कितना होता है?
सभी लाल सेबों का द्रव्यमान हरे सेबों से कितने ग्राम अधिक है?

व्यंजकों 2 और 5 के मान ज्ञात कीजिए। उनकी तुलना कीजिए। समानता पढ़ें। क्या समानताएं केवल इन संख्याओं के लिए सही हैं?

4. गृहकार्य की जाँच करना।

व्यायाम। द्वारा संक्षेपाक्षरमुख्य प्रश्न रखने के लिए समस्या की स्थिति, एक अभिव्यक्ति की रचना करें और चर के दिए गए मानों के लिए इसका मान ज्ञात करें।

1 समूह

a = 82, b = 21, c = 2 के लिए व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

2 समूह

a = 82, b = 21, c = 2 पर व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

3 समूह

a = 60, b = 40, c = 3 के लिए व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

4 समूह

a = 60, b = 40, c = 3 पर व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

कक्षा का काम।

अभिव्यक्ति मूल्यों की तुलना करें।

समूह 1 और 2 के लिए: (a + b) * c और a * c + b * c

समूह 3 और 4 के लिए: (ए - बी) * सी और ए * सी - बी * सी

(ए + बी) * सी = ए * सी + बी * सी
(ए - बी) * सी \u003d ए * सी - बी * सी

तो, किसी भी संख्या a, b, c के लिए, यह सत्य है:

किसी योग को किसी संख्या से गुणा करते समय, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणामी गुणनफल जोड़ सकते हैं।
अंतर को किसी संख्या से गुणा करते समय, आप इस संख्या से गुणा और घटाकर गुणा कर सकते हैं और दूसरे को पहले उत्पाद से घटा सकते हैं।
योग या अंतर को किसी संख्या से गुणा करते समय, गुणन को कोष्ठक में संलग्न प्रत्येक संख्या पर वितरित किया जाता है। इसलिए, गुणन के इस गुण को जोड़ और घटाव के संबंध में गुणन का वितरण गुण कहा जाता है।

आइए पाठ्यपुस्तक से संपत्ति विवरण पढ़ें।

5. नई सामग्री का समेकन।

#548 पूरा करें। गुणन के वितरण गुण को लागू करें।

(68 + क) * 2
17 * (14 - एक्स)
(बी-7) *5
13*(2+y)

1) मूल्यांकन के लिए कार्यों का चयन करें।

"5" के मूल्यांकन के लिए असाइनमेंट।

उदाहरण 1. आइए गुणन 42 * 50 का मान ज्ञात करें। आइए संख्या 42 को संख्याओं 40 और 2 के योग के रूप में निरूपित करें।

हमें मिलता है: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. अब हम वितरण गुण लागू करते हैं:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

इसी तरह #546 हल करें:

ए) 91 * 8
ग) 6 * 52
ई) 202 * 3
छ) 24 * 11
ज) 35 * 12
मैं) 4 * 505

संख्याओं 91.52, 202, 11, 12, 505 को दहाई और इकाई के योग के रूप में निरूपित करें और योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण को लागू करें।

उदाहरण 2. गुणनफल 39 * 80 का मान ज्ञात कीजिए।

आइए संख्या 39 को 40 और 1 के बीच के अंतर के रूप में निरूपित करें।

हमें मिलता है: 39 * 80 \u003d (40 - 1) \u003d 40 * 80 - 1 * 80 \u003d 3200 - 80 \u003d 3120।

#546 से हल करें:

बी) 7 * 59
ई) 397 * 5
डी) 198 * 4
ज) 25 * 399

संख्या 59, 397, 198, 399 को दहाई और इकाई के बीच के अंतर के रूप में निरूपित करें और घटाव के संबंध में गुणन के वितरण गुण को लागू करें।

"4" के मूल्यांकन के लिए कार्य।

संख्या 546 (ए, सी, ई, जी, एच, आई) से हल करें। गुणन के वितरण गुण को योग के सन्दर्भ में लागू कीजिए।

संख्या 546 (बी, डी, एफ, जे) से हल करें। घटाव के संबंध में गुणन के वितरण गुण को लागू करें।

मूल्यांकन "3" के लिए कार्य।

हल संख्या 546 (ए, सी, ई, जी, एच, आई)। गुणन के वितरण गुण को योग के सन्दर्भ में लागू कीजिए।

हल संख्या 546 (बी, डी, एफ, जे)।

समस्या संख्या 552 को हल करने के लिए एक व्यंजक बनाइए और एक चित्र बनाइए।

दोनों गांवों के बीच की दूरी 18 किमी है। उनमें से गए विभिन्न पक्षदो साइकिल चालक। एक m किमी प्रति घंटे की यात्रा करता है, और दूसरा n किमी की यात्रा करता है। 4 घंटे बाद वे कितने दूर होंगे?

(मौखिक। उदाहरण दर्ज किए गए हैं दूसरी तरफबोर्ड।)

लापता संख्याओं के साथ बदलें:

इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तक से असाइनमेंट "गणित 5-11kl। गणित के पाठ्यक्रम में महारत हासिल करने के नए अवसर। प्रैक्टिकम"। ड्रोफा एलएलसी 2004, डॉस एलएलसी 2004, सीडी-रोम, एनएफपीके। खंड "गणित। पूर्णांक"। टास्क नंबर 7. एक्सप्रेस नियंत्रण। लापता नंबरों को पुनर्स्थापित करें।

6. पाठ को सारांशित करना।

इसलिए, हमने जोड़ और घटाव के संबंध में गुणन के वितरण गुण पर विचार किया है। आइए हम संपत्ति के सूत्रीकरण को दोहराएं, संपत्ति को व्यक्त करने वाली समानताएं पढ़ें। बाएँ से दाएँ गुणन के वितरण गुण का अनुप्रयोग "खुले कोष्ठक" की स्थिति द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि अभिव्यक्ति समानता के बाईं ओर कोष्ठक में संलग्न थी, लेकिन दाईं ओर कोई कोष्ठक नहीं हैं। सप्ताह के दिन का अनुमान लगाने के लिए मौखिक अभ्यासों को हल करते समय, हमने योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण का भी उपयोग किया।

(नंबर * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * नंबर + 250, और फिर फॉर्म के समीकरण को हल करें:
100 * नहीं + 250 = ए

हमने पूर्णांकों के योग, गुणा, घटाव और भाग को परिभाषित किया है। इन क्रियाओं (संचालन) के कई विशिष्ट परिणाम होते हैं, जिन्हें गुण कहा जाता है। इस लेख में, हम पूर्णांकों के जोड़ और गुणा के मूल गुणों पर विचार करेंगे, जिनसे इन संक्रियाओं के अन्य सभी गुण अनुसरण करते हैं, साथ ही पूर्णांकों के घटाव और विभाजन के गुण।

पृष्ठ नेविगेशन।

पूर्णांक जोड़ में कई अन्य बहुत महत्वपूर्ण गुण हैं।

उनमें से एक शून्य के अस्तित्व से संबंधित है। पूर्णांक योग का यह गुण बताता है कि किसी भी पूर्ण संख्या में शून्य जोड़ने से वह संख्या नहीं बदलती. आइए लिखते हैं दी गई संपत्तिअक्षरों का उपयोग करके जोड़: a+0=a और 0+a=a (यह समानता जोड़ की कम्यूटेटिव संपत्ति के कारण मान्य है), a कोई पूर्णांक है। आपने सुना होगा कि पूर्णांक शून्य को इसके अतिरिक्त उदासीन तत्व भी कहा जाता है। आइए एक दो उदाहरण दें। एक पूर्णांक −78 और शून्य का योग −78 है; यदि आप शून्य में एक पूर्णांक जोड़ते हैं सकारात्मक संख्या 999 है, तो परिणामस्वरूप हमें 999 नंबर मिलता है।

अब हम पूर्णांक योग का एक अन्य गुणधर्म तैयार करेंगे, जो किसी पूर्णांक के लिए विपरीत संख्या के अस्तित्व से संबंधित है। विपरीत संख्या वाली किसी भी पूर्ण संख्या का योग शून्य होता है. यहाँ इस गुण का शाब्दिक रूप है: a+(−a)=0 , जहाँ a और −a विपरीत पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, योग 901+(−901) शून्य है; इसी तरह, विपरीत पूर्णांकों -97 और 97 का योग शून्य होता है।

पूर्णांकों के गुणन के मूल गुण

पूर्णांकों के गुणन में प्राकृत संख्याओं के गुणन के सभी गुण होते हैं। हम इन गुणों में से मुख्य सूचीबद्ध करते हैं।

जैसे शून्य योग के संबंध में एक तटस्थ पूर्णांक है, पूर्णांकों के गुणन के संबंध में एक तटस्थ पूर्णांक है। अर्थात, किसी भी पूर्ण संख्या को एक से गुणा करने पर उस संख्या के गुणा करने पर कोई परिवर्तन नहीं आता. अतः 1·a=a , जहां a कोई पूर्णांक है। अंतिम समानता को 1=a के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, यह हमें गुणन की कम्यूटेटिव संपत्ति बनाने की अनुमति देता है। आइए दो उदाहरण दें। पूर्णांक 556 बटा 1 का गुणनफल 556 है; एक इकाई और एक पूरे का उत्पाद ऋणात्मक संख्या-78 बराबर -78 है।

पूर्णांक गुणन का अगला गुण शून्य से गुणा से संबंधित है। किसी भी पूर्णांक a को शून्य से गुणा करने का परिणाम शून्य , वह है, एक 0=0 । समानता 0·a=0 पूर्णांकों के गुणन के क्रमविनिमेय गुण के कारण भी सत्य है। किसी विशेष मामले में, जब a=0, शून्य और शून्य का गुणनफल शून्य के बराबर होता है।

पूर्णांकों के गुणन के लिए, पिछले गुणनफल के विपरीत गुण भी सत्य है। यह दावा करता है कि दो पूर्णांकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर हो. शाब्दिक रूप में, यह गुण इस प्रकार लिखा जा सकता है: a·b=0 , यदि या तो a=0 , या b=0 , या दोनों a और b एक ही समय में शून्य के बराबर हैं।

योग के संबंध में पूर्णांकों के गुणन का वितरण गुण

पूर्णांकों का एक साथ जोड़ और गुणा हमें जोड़ के संबंध में गुणन के वितरण गुण पर विचार करने की अनुमति देता है, जो दो संकेतित क्रियाओं को जोड़ता है। जोड़ और गुणा एक साथ करने से खुल जाता है अतिरिक्त सुविधाओं, जिसे हम गुणन से अलग जोड़ने पर विचार करने से वंचित रह जाएंगे।

इसलिए, योग के संबंध में गुणन का वितरण गुण कहता है कि एक पूर्णांक a का गुणनफल और दो पूर्णांक a और b का योग a b और a c के गुणनफल के योग के बराबर होता है, अर्थात, ए (बी+सी)=ए बी+ए सी. उसी संपत्ति को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है: (ए+बी) सी=ए सी+बी सी .

वितरण संपत्तियोग के संबंध में पूर्णांकों का गुणन, योग के साहचर्य गुण के साथ, हमें एक पूर्णांक के गुणन को तीन के योग से निर्धारित करने की अनुमति देता है और अधिकपूर्णांक, और फिर - और योग द्वारा पूर्णांकों के योग का गुणन।

यह भी ध्यान दें कि पूर्णांकों के योग और गुणन के अन्य सभी गुण हमारे द्वारा दर्शाए गए गुणों से प्राप्त किए जा सकते हैं, अर्थात वे उपरोक्त गुणों के परिणाम हैं।

पूर्णांक घटाव गुण

प्राप्त समानता से, साथ ही पूर्णांकों के जोड़ और गुणा के गुणों से, पूर्णांकों के घटाव के निम्नलिखित गुण अनुसरण करते हैं (a, b और c मनमाने पूर्णांक हैं):

पूर्णांकों का घटाव in सामान्य मामलाकम्यूटेटिव प्रॉपर्टी नहीं है: a−b≠b−a ।
बराबर पूर्णांकों का अंतर शून्य के बराबर होता है: a−a=0 ।
किसी दिए गए पूर्णांक से दो पूर्णांकों के योग को घटाने का गुण: a−(b+c)=(a−b)−c ।
दो पूर्णांकों के योग से एक पूर्णांक घटाने का गुण: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) ।
घटाव के संबंध में गुणन का वितरण गुण: a (b−c)=a b−a c और (a−b) c=a c−b c.
और पूर्णांक घटाव के अन्य सभी गुण।

पूर्णांक विभाजन गुण

पूर्णांकों के विभाजन के अर्थ के बारे में बहस करते हुए, हमने पाया कि पूर्णांकों का विभाजन एक क्रिया है, गुणन का पारस्परिक. हमने निम्नलिखित परिभाषा दी है: पूर्णांकों का विभाजन ज्ञात करना है अज्ञात गुणकपर प्रसिद्ध कामऔर एक ज्ञात गुणक। अर्थात्, हम पूर्णांक c को पूर्णांक a के भागफल को पूर्णांक b से विभाजित कहते हैं, जब गुणन c·b a के बराबर होता है।

यह परिभाषा, साथ ही ऊपर माने गए पूर्णांकों पर संक्रियाओं के सभी गुण, हमें पूर्णांकों के विभाजन के निम्नलिखित गुणों की वैधता स्थापित करने की अनुमति देते हैं:

किसी भी पूर्णांक को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है।
शून्य को एक गैर-शून्य पूर्णांक से विभाजित करने का गुण a : 0:a=0 ।
बराबर पूर्णांकों को विभाजित करने का गुण: a:a=1 , जहां a कोई शून्येतर पूर्णांक नहीं है।
एक मनमाना पूर्णांक a को एक से विभाजित करने का गुण: a:1=a ।
सामान्य तौर पर, पूर्णांकों के विभाजन में क्रमविनिमेय गुण नहीं होता है: a:b≠b:a ।
दो पूर्णांकों के योग और अंतर को एक पूर्णांक से विभाजित करने के गुण हैं: (a+b):c=a:c+b:c और (a−b):c=a:c−b:c , जहां a , b , और c ऐसे पूर्णांक हैं कि a और b दोनों c से विभाज्य हैं, और c अशून्य है।
दो पूर्णांकों a और b के गुणनफल को एक अशून्य पूर्णांक c से विभाजित करने का गुण: (a b):c=(a:c) b यदि a, c से विभाज्य है; (a b):c=a (b:c) यदि b, c से विभाज्य है; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) यदि a और b दोनों c से विभाज्य हैं।
एक पूर्णांक a को दो पूर्णांकों b और c के गुणनफल से विभाजित करने का गुण (संख्या a , b और c इस प्रकार a को b c से विभाजित करना संभव है): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) बी ।
पूर्णांक विभाजन का कोई अन्य गुण।

दो के गुणन के क्रमविनिमेय गुण की वैधता की पुष्टि करने वाले एक उदाहरण पर विचार करें प्राकृतिक संख्याएं. दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के अर्थ के आधार पर, हम संख्या 2 और 6 के गुणनफल की गणना करते हैं, साथ ही संख्या 6 और 2 के गुणनफल की गणना करते हैं, और गुणन परिणामों की समानता की जाँच करते हैं। संख्या 6 और 2 का गुणनफल 6+6 के योग के बराबर है, जोड़ तालिका से हम 6+6=12 पाते हैं। और संख्या 2 और 6 का गुणनफल 2+2+2+2+2+2 के योग के बराबर है, जो 12 के बराबर है (यदि आवश्यक हो, तो तीन या अधिक संख्याओं को जोड़कर लेख की सामग्री देखें)। इसलिए, 6 2=2 6 ।

यहाँ एक चित्र है जो दो प्राकृत संख्याओं को गुणा करने के क्रमविनिमेय गुण को दर्शाता है।

प्राकृतिक संख्याओं के गुणन का साहचर्य गुण।

आइए प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के साहचर्य गुण को आवाज़ दें: किसी दी गई संख्या को गुणा करें इस कामदो संख्याएं दी गई संख्या को पहले कारक से गुणा करने और परिणाम को दूसरे कारक से गुणा करने के समान हैं। अर्थात, ए (बी सी) = (ए बी) सी, जहां a , b और c कोई भी प्राकृत संख्या हो सकती है (in .) गोल कोष्ठकऐसे भाव होते हैं जिनके मूल्यों का मूल्यांकन पहले किया जाता है)।

आइए हम प्राकृत संख्याओं के गुणन के साहचर्य गुण की पुष्टि के लिए एक उदाहरण दें। गुणनफल 4·(3·2) की गणना करें। गुणा के अर्थ से, हमें मिलता है 3 2=3+3=6 , फिर 4 (3 2)=4 6=4+4+4+4+4+4=24 । अब गुणन (4 3) 2 करते हैं। चूँकि 4 3=4+4+4=12 , तब (4 3) 2=12 2=12+12=24 । इस प्रकार, समानता 4·(3·2)=(4·3)·2 सत्य है, जो मानी गई संपत्ति की वैधता की पुष्टि करता है।

आइए प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के साहचर्य गुण को दर्शाने वाला एक चित्र दिखाएं।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि गुणन की साहचर्य संपत्ति हमें तीन या अधिक प्राकृतिक संख्याओं के गुणन को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देती है।

जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण गुण।

अगली संपत्ति जोड़ और गुणा से संबंधित है। इसे इस प्रकार तैयार किया जाता है: दी गई दो संख्याओं के योग को दी गई संख्या से गुणा करना पहले पद के गुणनफल को जोड़ने के समान है और दी गई संख्यादूसरे पद और दी गई संख्या के गुणनफल के साथ। यह जोड़ के संबंध में गुणन का तथाकथित वितरण गुण है।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण को इस प्रकार लिखा जाता है (ए+बी) सी=ए सी+बी सी(अभिव्यक्ति a c + b c में, गुणन पहले किया जाता है, जिसके बाद जोड़ किया जाता है, इसके बारे में और अधिक लेख में लिखा गया है), जहाँ a, b और c मनमानी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि गुणन के क्रमविनिमेय गुण की प्रबलता, गुणन के वितरण गुण को इसमें लिखा जा सकता है निम्नलिखित प्रपत्र: ए (बी+सी)=ए बी+ए सी.

आइए हम एक उदाहरण दें जो प्राकृत संख्याओं के गुणन के वितरण गुण की पुष्टि करता है। आइए समानता की जाँच करें (3+4) 2=3 2+4 2 । हमारे पास (3+4) 2=7 2=7+7=14 , और 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 है, इसलिए समानता ( 3+4 ) 2=3 2+4 2 सही है।

आइए योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण के संगत एक चित्र दिखाते हैं।

घटाव के संबंध में गुणन का वितरण गुण।

यदि हम गुणन के अर्थ का पालन करते हैं, तो गुणनफल 0 n, जहाँ n एक से बड़ी एक मनमाना प्राकृतिक संख्या है, n पदों का योग है, जिनमें से प्रत्येक शून्य के बराबर है। इस प्रकार, . जोड़ के गुण हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि अंतिम योग शून्य है।

इस प्रकार, किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए, समानता 0 n=0 धारण करती है।

गुणन के क्रमविनिमेय गुण को वैध बनाए रखने के लिए, हम किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए समानता n·0=0 की वैधता को भी स्वीकार करते हैं।

इसलिए, शून्य और एक प्राकृत संख्या का गुणनफल शून्य होता है, अर्थात 0 एन = 0और एन 0 = 0जहाँ n एक मनमाना प्राकृत संख्या है। अंतिम कथन एक प्राकृत संख्या और शून्य के गुणन गुण का सूत्रीकरण है।

अंत में, हम इस उपधारा में चर्चा किए गए गुणन के गुण से संबंधित कुछ उदाहरण देते हैं। संख्या 45 और 0 का गुणनफल शून्य है। 0 को 45970 से गुणा करने पर हमें भी शून्य प्राप्त होता है।

अब आप सुरक्षित रूप से उन नियमों का अध्ययन करना शुरू कर सकते हैं जिनके द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का गुणन किया जाता है।

ग्रंथ सूची।

गणित। शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 1, 2, 3, 4 के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।
गणित। शैक्षणिक संस्थानों की 5 कक्षाओं के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।

आइए एक पिंजरे में 5 सेमी और 3 सेमी के किनारों के साथ एक कागज के टुकड़े पर एक आयत बनाएं। आइए इसे 1 सेमी (अंजीर। 143) के साथ वर्गों में तोड़ दें। आइए आयत में स्थित कोशिकाओं की संख्या गिनें। यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह।

1 सेमी भुजा वाले वर्गों की संख्या 5*3 है। ऐसे प्रत्येक वर्ग में चार कोशिकाएँ होती हैं। इसलिए कुल गणनासेल (5 * 3 ) * 4 है।

एक ही समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता है। आयत के पाँच स्तंभों में से प्रत्येक में 1 सेमी की भुजा वाले तीन वर्ग होते हैं। इसलिए, एक स्तंभ में 3 * 4 कोशिकाएँ होती हैं। इसलिए, कुल मिलाकर 5*(3*4) सेल होंगे।

चित्र 143 में कोशिकाओं की संख्या दो तरह से प्रदर्शित होती है गुणन की साहचर्य संपत्तिसंख्या 5, 3 और 4 के लिए। हमारे पास है: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 )।

दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं।

(एबी) सी = ए (बीसी)

यह गुणन के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से निम्नानुसार है कि कई संख्याओं को गुणा करते समय, कारकों को आपस में जोड़ा जा सकता है और कोष्ठक में संलग्न किया जा सकता है, जिससे गणना का क्रम निर्धारित होता है।

उदाहरण के लिए, समानताएं सत्य हैं:

एबीसी = सीबीए

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

आकृति 144 में, खंड AB ऊपर माने गए आयत को एक आयत और एक वर्ग में विभाजित करता है।

हम 1 सेमी भुजा वाले वर्गों की संख्या दो प्रकार से गिनते हैं।

एक ओर, परिणामी वर्ग में उनमें से 3 * 3 और आयत में 3 * 2 हैं। कुल मिलाकर हमें 3 * 3 + 3 * 2 वर्ग मिलते हैं। दूसरी ओर, तीन पंक्तियों में से प्रत्येक में दिया गया आयत 3 + 2 वर्ग हैं। तब उनको कुलबराबर 3 * (3 + 2)।

इक्वलस्टो 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 दिखाता है जोड़ के संबंध में गुणन की वितरण संपत्ति.

किसी संख्या को दो संख्याओं के योग से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा कर सकते हैं और परिणामी गुणनफल जोड़ सकते हैं।

शाब्दिक रूप में, यह गुण इस प्रकार लिखा गया है:

ए (बी + सी) = एबी + एसी

यह जोड़ के संबंध में गुणन के वितरण गुण से निम्नानुसार है कि

एबी + एसी = ए (बी + सी)।

यह समानता सूत्र P = 2 a + 2 b को एक आयत के परिमाप को निम्न प्रकार से लिखने की अनुमति देती है:

पी = 2 (ए + बी)।

ध्यान दें कि वितरण संपत्ति तीन या अधिक शर्तों के लिए मान्य है। उदाहरण के लिए:

ए (एम + एन + पी + क्यू) = एएम + ए + एपी + एक्यू।

घटाव के संबंध में गुणन का वितरण गुण भी धारण करता है: यदि b> c या b = c, तो

ए (बी - सी) = एबी - एसी

उदाहरण 1 . गणना सुविधाजनक तरीका:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) हम क्रमविनिमेय और ग्रहण का प्रयोग करते हैं सहयोगी गुणगुणन:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) हमारे पास है:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

उदाहरण 2 . अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 4 ए * 3 बी;

2) 18मी - 13मी.

1) गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

4 ए * 3 बी \u003d (4 * 3) * एबी \u003d 12 एबी।

2) घटाव के संबंध में गुणन के वितरण गुण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

18m - 13m = m(18 - 13 ) = m * 5 = 5m।

उदाहरण 3 . व्यंजक 5 (2 m + 7) लिखिए ताकि उसमें कोष्ठक न हों।

योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण के अनुसार, हमारे पास है:

5 (2 मी + 7) = 5 * 2 मी + 5 * 7 = 10 मी + 35।

इस तरह के परिवर्तन को कहा जाता है उद्घाटन कोष्ठक.

उदाहरण 4 . एक सुविधाजनक तरीके से व्यंजक 125 * 24 * 283 के मान की गणना करें।

फेसला। हमारे पास है:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

उदाहरण 5 . गुणन करें: 3 दिन 18 घंटे * 6.